《任意角的三角函数》教案[002]完美版
奉化市高一数学新课程教学研讨会及名师带徒活动
时间:2009-12-9
地点：奉化二中
《任意角的三角函数》教案
浙江省奉化中学 范权彪
一、教学任务分析
知识目标：
1.借助单位圆理解任意角的三角函数的定义；
2.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值；
3.从定义认识三角函数的定义域、函数值的符号，理解诱导公式（一）
能力目标：
1.理解并掌握任意角的三角函数的定义；
2.树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；
3.能初步应用定义分析解决与三角函数值有关的一些简单问题。
德育目标：
1．使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（实数）与三角函数值（实数）之间的一种对应；
2.学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；
二、教学重点、难点
教学重点：任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义
教学难点：用单位圆上的点的坐标刻画三角函数。理解三角函数就是实数与实数之间的一种
对应
三、教学情景设计
1.复习引入：
问1 你能回忆一下锐角三角函数的定义吗？
在AB Rt ?中，设A 对边为a ，B 对边为b ，C 对边为c ，锐角A 的正弦、余弦、正切依次为,,a b a sinA cosA tanA c c b ===。
从学生原有的认知出发，来认识任意角三角函数的定义。从角度到实数（三角函数值）之间的对应。
问2 如何用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数?
引导学生用坐标法来研究锐角三角函数。以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x 轴的非负半轴重合。
2.新授
问3 改变终边上的点的位置，这三个比值会改变？为什么？
说明比值与终边上的点的位置无关，只与角α的终边有关。引导学生利用相似三角形的性质证明。
问4 能否通过取适当的点使表达式简化呢？
引出单位圆的定义，三角函数的定义。体现简约思想，从特殊到一般的思想。
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点),(y x P ，那么：（1）y 叫做α的正弦，
记作αsin ，即y =αsin ；（2）x 叫做α的余弦，记作αcos ，即x =αcos ；（3）x y 叫做α的正切，记作αtan ，即)0(tan ≠=x x
y α。 问5 通过三角函数定义，你能体会到对应的改变吗?
让学生体会到函数从角（角度）到实数（三角函数值）的对应，通过角度与弧度的转换，转变为实数（弧度数）到实数（三角函数值）的对应。从而实现了函数是从非空数集到非空数之间对应的条件。
引导学生理解αsin 的写法、读法和意义。
实质上，由锐角三角函数的定义到任意角的三角函数的定义是由特殊到一般的认识和研究过程。
问6 对一个新的函数的讨论有哪些方面？
让学生回顾讨论函数的几个方面（定义域、值域、图象、单调性、奇偶性、周期性、最值等），有一些我们是放在图象之后。从定义中我们可以讨论函数的定义域、终边在各象限上三角函数值的符号、终边在轴上的意义。那么，如何讨论函数的定义域、终边在各象限上三角函数值的符号呢？
三角函数的定义域、值域
3.典例评析 例1 已知角α终边上一点)2
3,21(-P ，求角α的正弦、余弦和正切值。 让学生去发现点P 是终边与单位圆的交点，于是，可以利用定义直接得出结果。
变式：改变点)3,1(-P ？
学生往往犯错，根据定义直接得出1cos ,3sin -==αα。目的是让学生体会定义中终边与单位圆的交点),(y x P ；三角函数值与点P 在终边（不含原点）上的位置无关。解题时的关键，计算角α的终边与单位圆交点的坐标。通过相似三角形的比例关系，进一步体会给出终边上任意一点),(y x p ，022>+=
=y x op r ，则r y =αsi n ，x y r x ==ααtan ,cos 的一般定义。
例2 求3
5π的正弦、余弦和正切值。 理解角α的终边被确定则三角函数值也确定。尽管三角函数值与点P 在终边上的位置无
y 函 余 弦
切 x
o
关，但我们还是去计算终边与单位圆交点的坐标。同时，体会终边相同的角的同名三角函数值相同，即得出诱导公式（一）。进而体会三角函数值有“周而复始”的变化规律。明确求任意角三角函数值，转化为0到π2角的三角函数值。
问7 通过例1、2的学习你有什么体会？
明确可以用角α终边上任意一点的坐标来定义任意角的三角函数，但用单位圆上点的坐标来定义，既不失一般性，而且简单，更容易看清对应关系。
4.课堂练习
引导学生独立完成例3、4、5，P15练习1-7.教师作适当指导。目的是认识不同位置的角对应的三角函数值的符号及理解诱导公式一。
5.课堂小结
（1）本节课我们学习了哪些知识
（2）通过本课学习你体会到哪些解题的思想方法
四、板书设计（略）