概率论第五章习题解答(科学出版社)

概率论第五章习题解答（科学出版社）

1、据以往的经验，某种电器元件的寿命服从均值为100h 的指数分布，现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件的寿命的总和1920h 的概率。 解 设这16只元件的寿命为i X ，1,2,

,16i =，则16

1

i i X X ==∑，

因为()100i E X μθ===，22()10000i D X σθ===

于是随机变量

16

16

1600

1600

400

i

i

X

n X

X Z μ

-?--=

=

=

∑∑近似的服从(0,1)N

160019201600{1920}{

}400400X P X P -->=>1600

{0.8}400X P -=>

1600

1{0.8}400

X P -=-<1(0.8)=-Φ＝10.78810.2119=-=.

2\（1）一保险公司有10000个汽车保险投保人，每个投保人索赔金额的数学期望为280美元，标准差为800美元，求索赔总金额不超过2700000美元的概率； （2）一公司有50张签约保险单，每张保险单的索赔金额为i X ，1,2,

,50i =（以千美元

计）服从韦布尔分布，均值()5i E X =，方差()6i D X =求50张保险单索赔的合计总金额大于300的概率。

解 （1）设每个投保人索赔金额为i X ，1,2,,10000i =，则索赔总金额为10000

1

i

i X X

==

∑

又 ()280i E X =，2()800i D X =，所以， 索赔总金额不超过2700000美元的概率

{2700000}1`{270000}P X P X >=-≤

10000

1

28010000

27000002800000

1{

}800100

80000

i

i X

P =-?-=-≤

?∑

10000

1

2800000

101{

}80000

8

i

i X

P =-=-≤-

∑ 10000

1

2800000

1{

1.25}80000

i

i X

P =-=-≤-∑近似的服从(0,1)N

即 {2700000}1( 1.25)P X >=-Φ-(1.25)0.8944=Φ= （2）{300}1{300}P X P X >=-≤

50

505

1i

X

P -?=-≤

∑

50

505

1i

X

P -?=-≤

∑

50

505

1 2.89}i

X

P -?=-≤∑

1(2.89)=-Φ10.99810.0019=-=

3、计算器在进行加法时，将每个加数舍入最靠近它的整数，设所有舍入误差相互独立，且在（－0.5，0.5）上服从均匀分布，

（1）将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？

（2）最多可有几个数相加，使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90？ 解 设每个加数的舍入误差为i X ，1,2,,1500i =，由题设知i X 相互独立同分布，且在

（－0.5，0.5）上服从均匀分布，从而

0.50.5()

02

i E X -+==，2(0.50.5)1()1212

i D X +==

(1)、记1500

1

i i X X ==

∑，

=(0,1)N ，从而 {||15}1{|P X P X >=-≤1{151

P X =--≤≤

1P =-≤≤

1[(=-Φ-Φ

2(1=-Φ2(1(1.34))=-Φ2(10.9099)0.1802=-=。

（2）、记1

n

i

i X X

==

∑，要使 {||10}0.90P X <≥，由独立同分布的中心极限定理，

近似地有

{||10}{1010}P X P X <=-<

210.90=Φ-≥ 即

0.95Φ≥，查表得(1.64)0.95Φ= 令

1.64=，解得 443n =。 即最多可有443个数相加，可使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90。 4、设各零件的重量都是随机变量，它们相互独立，且服从相同的分布，其数学期望为0.5kg ，圴方为0.1kg ，问5000只零件的总重量超过2510kg 的概率是多少？ 解 设每只零件的重量为i X ，1,2,

,5000i =，由独立同分布的中心极限定理知

50000.55000

i

X

-?∑(0,1)N

则 {2510}1{2510}P X P X >=-≤

5000

0.55000

1i

X

P -?=-≤

∑

5000

0.55000

1i

X

P -?=-≤

∑ 10

1(

)1(1.414)7.07

=-Φ=-Φ＝1－0.9207＝0.0793。 5、有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m ，现从这批木柱中随机地取100根，求其中至少有30要短于3m 的概率。

解 把从这批木柱中随机地取一根看作一次试验，并假定各次试验相互独立，在100次试验中长度不小于3m 的根数记作X ，则X 是随机变量X ，且(100,0.8)X b ，

其分布律为

100100{}0.80.2k

k k P X k C -==?，0,1,2,

,100k =

所求的概率为 {70}P X <

由德莫弗――拉普拉斯定理可求它的近似值

{70}P X P <=<

P =<805{}42X P -=<- 51()10.99380.00622

≈-Φ=-=。

6、一工人修理一台机器要两个阶段，每一阶段需要时间（小时）服从均值为0.2的指数分

布，第二阶段所需要的时间服从均值为0.3的指数分布，且与第一阶段独立。现有20台机器需要修理，求他在8小时内完成任务的概率。 解 设修理第i （1,2,

,20i =）台机器，第一阶段耗时i X ，第二阶段为i Y ，则共耗时为

i i i Z X Y =+

已知因为指数分布的数学期望为θ，方差2

θ，即()0.2i E X =，()0.3i E Y =，

2()0.2i D X =，2()0.3i D Y =，又第一阶段和第二阶段是相互独立的，故

()()()()0.20.30.5i i i E Z E X Y E X E Y =+=+=+=

22()()()()0.20.30.13i i i i i D Z D X Y D X D Y =+=+=+=

20台机器需要修理的时间由独立同分布的中心极限定理，20台机器需要维修的时间可认为近似地服从正态分布，即

20

20

20

()

200.5

(10,2.6)i

i i

Z

E Z Z

N --?=

∑∑∑

而所求概率 20

1

{

0.8}i i p P Z ==≤

∑0

≈Φ

2

()( 1.24)1.6125-=Φ=Φ=Φ-

1(1.24)10.89250.1075=-Φ=-=

即不大可能在8小时内完成任务。（因为完成任务的可能性不到20%）

7、一家食品店有三种蛋糕出售，由于出售哪一种蛋糕是随机的，因而售出一只蛋糕的价格是一个随机变量，它取1元、1.2元、1.5元各个值的概率分别为0.3，0.2，0.5。若售出300只蛋糕，

（1）求收入至少400元的概率。

（2）求售出价格为1.2元的蛋糕多于60只的概率。 解 设第i 格为为i X （1,2,,300i =）

，其分布律

由此得

()1

0.31.20.21.5

i E X =?+?+?=（即平均收入） 2()10.3 1.440.2 2.250.5 1.713i E X =?+?+?= 222()()(()) 1.713(1.29)0.0489i i i D X E X E X =-=-=

以X 表示总收入，即300

1

i

i X X

==

∑，由独立同分布中心极限定理，得

300300300 1.29

387

(387,14.67)i

i

X

X

N -?-=

∑∑

则收入超过400元的概率为 300

300

1

1

{

400}1{400}i

i i i P X

P X ==≥=-<∑∑

300

387

1i

X

P -=-<

∑

1=-Φ

13

1(

)1(3.39)3.83

=-Φ=-Φ 10.99970.0003=-=。

（2）以Y 记300只蛋糕中售价为1.2元的蛋糕数，于是

(300,0.2)Y b ，()3000.260E Y =?=（出售这种蛋糕的平均只数），

()3000.20.8 4.8D Y =??= (二项分布的方差)

售出价格为1.2元的蛋糕多于60只的概率为

{60}1{P Y P Y >=-≤

1P =-≤= 1(0)10.50.5=-Φ=-=

（即有50%的可能售出60只价格为1.2元的蛋糕。）

8、（1）一复杂的系统由100个相互独立起作用的部件组成，在整个运行过程期间每个部件

损坏的概率为0.10，为了使整个系统起作用，至少必须有85个部件正常工作，求整个系统起作用的概率。

（2）一个复杂系统由n 个相互独立起作用的部件组成，每个部件的可靠性（即部件正常工

作的概率）为0.9，且必须至少有80%的部件正常工作才能使整个系统工作，问n 至少为多大时才能使系统的可靠性不低于0.95。 解 （1）设正常工作的部件数为

10i X ?=??

，第i 个部件在整个运行期间工作，第i 个部件在整个运行期间损坏（0,1,2,

,100i =），

由题设知i X （0,1,2,,100i =）相互独立，且{1}0.9i P X ==，{0}0.1i P X ==，

设100

1

i i X X ==

∑，则(100,0.9)

X

b 。

似地服从正态分布(0,1)N ，从而 {85}1{85}P X P X ≥=-<

1P =-<

551()()(1.67)0.95253

3

=-Φ-=Φ=Φ=

（2）设观察每个部件是否损坏为一次试验，记损坏的部件数为X ，则X 是一个随机变量，且(,0.1)X

b n ，由于当有20%的部件不工作时系统就不能工作，因此若设0.2N n

=（取整数），则当正常工作的部件数N ≤时，系统就不能正常工作。根据德莫弗――拉普拉斯定理

{}P X N P ≤=<

P =

<10.950.05=Φ=-=

查表得 (1.65)0.95Φ=（由标准正态分布的对称性。）， 由于0.2N n =（取整数），故可以认为0.10.1N n n -=， 令

1.65==，有

4.95=，24.5n =

即 当n 至少为25时，才能使系统的可靠性不低于0.95

9、已知在某十字路口，一周事故发生数的数学期望为2.2，标准差为1.4

（1）以X 表示一年（以52周计）此十字路口事故发生数的算术平均，试用中心极限定理求X 的近似分布，并求{2}P X <。 （2）求一年事故数小球100的概率。

解 （1）设该十字路口第i 周发生事故次数为i X ，则i X （0,1,2,,52i =）是相互独立

的随机变量，

已知 () 2.2E X μ==

，标准差 1.4σ==，

则方差 2

2

1.4 1.96σ==，

于是i X 服从正态分布2

(2.2,1.4)N ，由中心极限定理， 2

2

1.4

(,)(2.2,)52

X

N N n

σ

μ=。

（见教材P122之（2.3）式）。

又 {2}

P X P <=<0.2

}0.1941

P -=<

( 1.03)1(1.03)=Φ-=-Φ 10.84850.1515=-=。 （2）设52

1

i

i X X

==

∑，则

.522.2

{100

}}252

P X

<=

14.4

}( 1.43)10.096P -=<=Φ- 1(1.43)10.92360.0764=-Φ=-=

10、某种汽车氧化氮的排放量的数学期望为0.9g/km ，标准差为1.9g/km 某汽车公司有这汽 车100辆，以X 表示这些汽车氧化氮排放量的算术平均值，问当L 为何值时X L >的概

率不超过0.01。

解 设每辆汽车的氧化氮排放量为i X （1,2,

,100i =）

，则i X 是相互独立的随机变量，且

()0.9i E X μ==， 1.9σ==，221.9σ=，

由中心极限定理知， 2

1.9(0.9,)

100

X

N 于是 {}1{}P X L P X L >=-≤

0.9

11()

0.19L P -=-<=-Φ

令 0.91(

)0.010.19L --Φ≤，即 0.9

()0.990.19

L -Φ≥ 查表有 (2.33)0.9901Φ= 令

0.9

2.330.19

L -=，得 1.3427L =g/km 11、随机地选取两组学生，每组80人，分别在两个实验室测量某种化合物的PH 值，各人 测量的结果是随机变量，且相互独立，服从同一分布，数学期望为5，方差为0.3。以X ，

Y 分别表示第一组和第二组所得的结果的算术平均值。

（1）求{4.9 5.1}P X <<； （2）求{0.10.1}P X Y -<-<

解 因为()()5E X E Y ==，0.3

()()80

D X D Y ==

（1） 由中心极限定理知X 近似服从(5,0.3N ，于是 {4.9 5.1}

P X P <<=<<

0.10.1

(

)()0.06120.0612

=Φ-Φ-

2(1.63)1=Φ-

20.94841 1.896810.8968=?-=-=。

（2） 因为 ()()()0E X Y E X E Y -=-=，()()()0.340D X Y D X D Y -=+=

由中心极限定理知X Y -近似服从(0,0.340)N ，故

1

{0.10.}

4.0.340

P X Y P

-<-<=<<

=Φ-Φ

0.1

2()1

0.087

=Φ-

0.1

2()12(1.15)1

0.087

=Φ-=Φ-

20.87491 1.749810.7498

=?-=-=。

12、一公寓有

X

问需要多少车位，才能使每辆汽车都具有一个车邻六事鬼概率至少为0.95。

解设需要的车位数为n, 设第i（1,2,,200

i=）户有车辆数为

i

X，则

()00.110.62

i

E X=?+?+?=

2

()00.110.640.31.8

i

E X=?+?+?=

222

()()(()) 1.8 1.20.36

i i

D X

E X E X

=-=-=

因为共有200户，各户占有车位相互独立，从而近似地有

200

1

(1.2,0.36)

i

i

X N

=

∑

所求概率为

200

1

{}0.95

i

i

P X n

=

≤≥

∑，

即

200

1

{}

i

i

P X n

=

≤=Φ=Φ

∑240

()0.95

8.49

n-

=Φ≥查表知(1.65)0.95050.95

Φ=>，

令

240

1.65

8.49

n-

≥，解得254

n=

由此知至少需要254个。

13、某电子器件的寿命（小时）具有数学期望μ（未知），方差2400

σ=。为了估计μ，随机地取n只这种器件，在时刻0

t=投入测试（测试是相互独立的）直到失效，测

得其寿命

12

,,,

n

X X X，以

1

1n

i

i

X X

n=

=∑作为μ的估计，为使{||1}0.95

P Xμ

-<≥，

问n 至少为多少？

解

20X n

μ

-=

近似的服从(0,1)N

||{||1}{

20X P X P n μμ--<=≤

(=Φ-Φ21=Φ-

要使 {||1}0.95P X μ-<≥，即 2(

)10.9520Φ-≥，亦即(0.97520

Φ≥

查表知 (1.96)0.975Φ=，得

1.9620

≥39.2=，1536.64n = 故n 至少为1537。

14、某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难血液病的治愈率为0.8，医院任意

抽查100个服用此药品的病人，若其中多于75人治愈，就接受此种断言。 （1）若实际上药品对这种疾病的治愈率为0.8，问接受这一的概率是多少？ （2）若实际上此药品的治愈率为0.7，问接受这一断言的概率是多少？ 解 （1）设X 表示服用此种药品而治愈的病人数，则(100,0.8)X

b ，此时

()1000.880E X =?=

()1000.80.216D X =??=4= 由德莫弗――拉普拉斯中心极限定理，X 近似的服从

()(,(1))1000.8,100.80.2(80,16)N np np p N N -=???= 若实际上药品对这种疾病的治愈率为0.8，接受接受这一断言，即{75}X >

{75}1{P X P X >=-≤

807580

1{}44

X P --=-≤ 5

1}

4P -=-≤ 1(1.25)=-Φ(1.25)0.8944=Φ=

（2）若实际上此药品的治愈率为0.7，接受这一断言即{75}X >，而

()1000.770E X =?=

()1000.70.321

D X=??= 4.58

=

接受这一断言即{75}

X>

{75}1{75} P X P X

>=-≤

707570 1{}

4.58 4.58

X

P

--

=-≤

1(1.09)10.86210.1379 =-Φ=-=

概率论第五章习题解答(科学出版社)

概率论第五章习题解答（科学出版社） 1、据以往的经验，某种电器元件的寿命服从均值为100h 的指数分布，现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件的寿命的总和1920h 的概率。 解 设这16只元件的寿命为i X ，1,2, ,16i =，则16 1 i i X X ==∑， 因为()100i E X μθ===，22()10000i D X σθ=== 于是随机变量 16 16 1600 1600 400 i i X n X X Z μ -?--= = = ∑∑近似的服从(0,1)N 160019201600{1920}{ }400400X P X P -->=>1600 {0.8}400X P -=> 1600 1{0.8}400 X P -=-<1(0.8)=-Φ＝10.78810.2119=-=. 2\（1）一保险公司有10000个汽车保险投保人，每个投保人索赔金额的数学期望为280美元，标准差为800美元，求索赔总金额不超过2700000美元的概率； （2）一公司有50张签约保险单，每张保险单的索赔金额为i X ，1,2, ,50i =（以千美元 计）服从韦布尔分布，均值()5i E X =，方差()6i D X =求50张保险单索赔的合计总金额大于300的概率。 解 （1）设每个投保人索赔金额为i X ，1,2,,10000i =，则索赔总金额为10000 1 i i X X == ∑ 又 ()280i E X =，2()800i D X =，所以， 索赔总金额不超过2700000美元的概率 {2700000}1`{270000}P X P X >=-≤ 10000 1 28010000 27000002800000 1{ }800100 80000 i i X P =-?-=-≤ ?∑ 10000 1 2800000 101{ }80000 8 i i X P =-=-≤- ∑ 10000 1 2800000 1{ 1.25}80000 i i X P =-=-≤-∑近似的服从(0,1)N

概率统计练习册习题解答(定)

苏州科技学院 《概率论与数理统计》活页练习册习题解答 信息与计算科学系 概率论与数理统计教材编写组 2013年8月

习题1-1 样本空间与随机事件 1．选择题 （1）设,,A B C 为三个事件，则“,,A B C 中至少有一个不发生”这一事件可表示为（ D ） （A ）AB AC BC （B ）A B C （C ）ABC ABC ABC （D ）A B C （2）设三个元件的寿命分别为123,,T T T ，并联成一个系统，则只要有一个元件正常工作则系统能正常工作，事件“系统的寿命超过t ”可表示为（ D ） A {}123T T T t ++> B {}123TT T t > C {}{}123min ,,T T T t > D {}{} 123max ,,T T T t > 2．用集合的形式表示下列随机试验的样本空间Ω与随机事件A ： （1）同时掷三枚骰子，记录三枚骰子的点数之和，事件A 表示“点数之和大于10”。 解：{},18543 ，，，＝Ω ；{} 18,,12,11 ＝A 。 （2）对目标进行射击，击中后便停止射击，观察射击的次数；事件A 表示“射击次数不超过5次”。 解：{ } ，，，＝321Ω；{}54321A ，，，，＝。 （3）车工生产精密轴干，其长度的规格限是15±0.3。现抽查一轴干测量其长度，事件A 表示测量 长度与规格的误差不超过0.1。 。 3．设A ，B ，C 为三个事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列各事件： （1） A ， B ， C 都发生：解： ABC ； （2） A ， B ，C （3） A 发生， B 与 C （4） A ， B ， C 中至少有一个发生：解：C B A ?? （5） A ，B ，C 4．设某工人连续生产了4个零件，i A 表示他生产的第i 个零件是正品（4,3,2,1=i ），试用i A 表示 下列各事件： （1）只有一个是次品；

概率论第五章答案

习题5-1 1. 设随机变量X 的方差为2, 用切比雪夫不等式估计{||2}P X E X -（）≥. 解 由切比雪夫不等式, 对于任意的正数ε, 有 2 () {()}D X P X E X εε -≥≤ , 所以 1{||2} 2 P X E X -（）≥≤. 2. 设随机变量X , Y 的数学期望分别是2和-4, 方差分别是1和4, 而相关系数为0.5. 则根据切比雪夫不等式估计 {|2|P X Y +≥12}. 解 {2}2()() 22(4) E X Y E X E Y +=+=?+-=, {2}4()()22Cov(,)D X Y D X D Y X Y +=+-? 840.5124=-???=. 所以, {|2|P X Y +≥12}≤ 2 4112 36 = . 3. 设随机变量X 的数学期望E (X ) = μ, 方差D (X ) = σ2 , 由切比雪夫不等式估计P {|X -μ|≥3σ}. 解 令ε = 3σ, 则由切比雪夫不等式P {|X -μ|}≥ε}≤ 2 () D X ε , 有 P {|X -μ|≥3σ}≤ 22 1(3) 9 σ σ= . 4. 独立重复地做一项试验, 假设每次试验成功的概率为0.7 5. 用切比雪夫不等式求: 至少需要做多少次 试验, 才能以不低于0.90的概率使试验成功的频率保持在0.74和0.76之间? 解 假设做n 次试验, 才能以0.90的概率使试验成功的频率保持在0.74和0.76之间. 用X 表示试验成功的次数, 从而~(,0.75)X B n , 由题设, 要使 {0.740.76}{ 0.750.01}0.90X X P P n n < <=-<≥. 又由切比雪夫不等式得 2 2 ( )0.750.25{0.740.76}{ 0.750.01}110.01 0.01 X D X X n P P n n n ?< <=-<- =- ?≥. 要满足题意, 只需2 0.750.2510.900.01 n ?- ?≥即可. 解之得 2 0.750.25 187500.010.10 n ? =?≥ . 习题 5-2 1. 一本书有十万个印刷符号, 排版时每个符号被排错的概率为0.0001, 用中心极限定理求排版后错误不多于15个的概率. 解 设

概率论与数理统计习题(5)答案

习题五 1.一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X .估计P {10

整理得0.95,10n ??Φ≥ ? ??? 查表 1.64,10n ≥ n ≥, 故取n =269. 3. 某车间有同型号机床200部，每部机床开动的概率为，假定各机床开动与否互 不影响，开动时每部机床消耗电能15个单位.问至少供应多少单位电能才可以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产. 【解】要确定最低的供应的电能量，应先确定此车间同时开动的机床数目最大值m ，而m 要满足200部机床中同时开动的机床数目不超过m 的概率为95%,于是我们只要供应15m 单位电能就可满足要求.令X 表同时开动机床数目，则X ~B （200，）, ()140,()42,E X D X == 1400.95{0}().42m P X m P X m -?? =≤≤=≤=Φ ??? 查表知 140 1.64,42 m -= ,m =151. 所以供电能151×15=2265（单位）. 4. 一加法器同时收到20个噪声电压V k （k =1，2，…，20），设它们是相互独立的随机变量，且都在区间（0，10）上服从均匀分布.记V = ∑=20 1 k k V ，求P {V ＞105}的近似值. 【解】易知:E (V k )=5,D (V k )= 100 12 ,k =1,2,…,20 由中心极限定理知，随机变量 20 1 205 ~(0,1).100100 20201212 k k V Z N =-?= =??∑近似的 于是105205{105}1010020201212P V P ????-?? >=>???? ????? 1000.3871(0.387)0.348,102012V P ????-?? =>≈-Φ=? ???????? 即有 P {V >105}≈ 5. 有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m.现从这批木柱中随机地取出100根，问其中至少有30根短于3m 的概率是多少

概率论与数理统计(第三版)课后答案习题5

概率论与数理统计(第三版)课后答案习题5

第五章 大数定律与中心极限定理 1. 设随机变量ξ的方差为 2.5。利用契贝雪夫不等式估计： {}5.7||≥-ξξE P 的值。 解：由契贝雪夫不等式：2 }|{|εξ εξξD E P ≤ ≥-，又已知 5.7,5.2==εξD ，故 044 .05.75 .2}5.7|{|2 =≤≥-ξξE P 。 2. 已知某随机变量ξ的方差D ξ=1，但数学期望E ξ=m 未知，为估计m ，对ξ进行n 次独立观测，得样本观察值ξ1，ξ2，…，ξn 。现用 {}∑=≥<-=n i i p m P m n n 1 5.0||1ξξξ多大时才可能使问当估计， 。 解：因∑=== n i i m E n E 1 ,1ξξ又ξ1，ξ2，…，ξn 相互独立， 故 ∑∑=== ==n i n i i i n D n n D D 11 21 )(1)1(ξξξ，根据契贝雪夫不等 式，有 2 5.01}5.0|{|ξξξD E P - ≤<-，即n m P 4 1}5.0|{|- ≤<-ξ， 再由 p n p n -≥≥- 14,41得。 3. 设在由n 个任意开关组成的电路的实验中，每次试验时一个开关开或关的概率各为12 。设m 表示在这n 次试验中遇到的开电次数，欲使开电频率m n 与开电概率p =0.5的绝对误差小于ε =0.01，并且要有99%以上的可靠性来保证它实现。试用德莫佛-拉普拉斯定理来估计，试验的次数n 应该是多少？

从参数为p 的二点分布，且E i ξ=p ， D i ξ=p (1-p )≤1/4，而 ∑ === n i i n n 1 ξξ η是n 个独立同分布的 随机变量之和，故由中心极限定理知) 1,0(~N D E η η η-， 因此有 ?? ????<-ξξD p n P 21 122222/-??? ??Φ=???? ??Φ≈?? ???????? <-=n D D D D D E P ηξηξη ηη， 为使 6 ,16.5,99.0122≥>≥-?? ? ??Φn n n 即查表得。 6. 一个养鸡场购进一万只良种鸡蛋，已知每只鸡蛋孵化成雏鸡的概率为0.84，每只雏鸡育成种鸡的概率为0.9，试计算由这些鸡蛋得到种鸡不少于7500只的概率。 解：定义承机变量?? ?=., 0, ,1鸡只鸡蛋不能育成种第鸡只鸡蛋能育成种第k k k ξ) 10000,,2,1(Λ=k 。 则k ξ)10000,,2,1(Λ=k 是独立同分布的，且756.09.084.0}1{=?==k P ξ， 224 .0756.01}0{=-==k P ξ。显然∑==10000 1 k k ξξ表示10000只鸡蛋 中能育成种鸡的个数。此为n =10000，p =0.756的贝努利概型，由隶莫弗——拉普拉斯定理可得 92.0)1(75001)1(7500)1(}7500{=??? ? ??--Φ-=??????????--≥--=≥p np np p np np p np np P P ξξ。 7. 某印刷厂在排版时，每个字符被排错的概率为0.0001，试求在300000个字符中错误不多于50个的概率。 解：令?? ?=. , 0, ,1个字未排错第个字排错第i i i ξ则∑==50000 1 i i ξξ是服从参数n =50000，p =0.0001的贝努利概型，因此由隶莫弗——拉普拉斯定理可得

天津理工大学概率论与数理统计第五章习题答案详解

第 5 章 大数定律与中心极限定理 一、 填空题： 1.设随机变量μξ=)(E ，方差2 σξ=)(D ，则由切比雪夫不等式有≤≥-}|{|σμξ3P 9 1 . 2.设n ξξξ,,, 21是 n 个相互独立同分布的随机变量， ),,,(,)(,)(n i D E i i 218===ξμξ对于∑== n i i n 1ξξ，写出所满足的切彼雪夫不等式 2 28εεξεμξn D P =≤ ≥-)(}|{| ，并估计≥ <-}|{|4μξP n 21 1- . 3. 设随机变量129,,,X X X 相互独立且同分布, 而且有1i EX =, 1(1,2,,9)i DX i == , 令9 1 i i X X ==∑, 则对任意给定的0ε>, 由切比雪夫不等式 直接可得{} ≥<-ε9X P 2 9 1ε- . 解：切比雪夫不等式指出：如果随机变量X 满足：()E X μ=与2()D X σ=都存在, 则对任意给定的0ε>, 有 22{||}P X σμεε-≥≤, 或者2 2{||}1.P X σμεε -<≥- 由于随机变量129,,,X X X 相互独立且同分布, 而且有 1,1(1,2,9),i i EX DX i === 所以 99 9111()()19,i i i i i E X E X E X μ===??===== ???∑∑∑ 99 9 2 111()()19.i i i i i D X D X D X σ===??===== ???∑∑∑ 4. 设随机变量X 满足：2 (),()E X D X μσ==, 则由切比雪夫不等式, 有{||4}P X μσ-≥ 1 16 ≤ . 解：切比雪夫不等式为：设随机变量X 满足2 (),()E X D X μσ==, 则对任意 的0ε>, 有22{||}.P X σμεε-≥≤由此得 221 {||4}.(4)16 P X σμσσ-≥≤=

李贤平 第2版《概率论基础》第五章答案

1 第5章 极限定理 1、ξ为非负随机变量，若(0)a Ee a ξ <∞>，则对任意x o >，{}ax a P x e Ee ξξ-≥≤。 2、若()0h x ≥，ξ为随机变量，且()Eh ξ<∞，则关于任何0c >， 1{()}()P h c c Eh ξξ-≥≤。 4、{}k ξ各以 12 概率取值s k 和s k -，当s 为何值时，大数定律可用于随机变量序列1,,,n ξξL L 的算术平均值？ 6、验证概率分布如下给定的独立随机变量序列是否满足马尔可夫条件： （1）1{2}2 k k P X =±= ； （2）(21) 2{2}2 ,{0}12k k k k k P X P X -+-=±===-； （3）1 1 2 21{2},{0}12 k k k P X k P X k --=±===-。 7、若k ξ具有有限方差，服从同一分布，但各k 间，k ξ和1k ξ+有相关，而1,(||2)k k l ξξ-≥是独立的， 证明这时对{}k ξ大数定律成立。 8、已知随机变量序列12,,ξξL 的方差有界，n D c ξ≤，并且当||i j -→∞时，相关系数0ij r →，证明 对{}k ξ成立大数定律。 9、对随机变量序列{}i ξ，若记11()n n n ηξξ= ++L ，11 ()n n a E E n ξξ=++L ，则{}i ξ服从大数定律的充要条件是22()lim 01()n n n n n a E a ηη→∞?? -=??+-?? 。 10、用斯特灵公式证明：当,,n m n m →∞→∞-→∞，而 0m n →时， 2 221~2n m n n n m -???? ???-?? ??。 12、某计算机系统有120个终端，每个终端有5%时间在使用，若各个终端使用与否是相互独立的，试 求有10个或更多终端在使用的概率。

概率论与数理统计第五章习题解答.dot资料

第五章 假设检验与一元线性回归分析 习题详解 5.01 解：这是检验正态总体数学期望μ是否为32.0 提出假设：0.32:, 0.32:10≠=μμH H 由题设，样本容量6n =， 21.12=σ，1.121.10==σ，所以用U 检验 当零假设H 0成立时，变量：)1,0(~61 .10 .320 N X n X U -= -= σμ 因检验水平05.0=α，由05.0}|{|=≥λU P ,查表得96.1=λ 得到拒绝域: 96.1||≥u 计算得： 6.31)6.318.310.326.310.306.32(6 1=+++++?=x 89.061 .10 .326.310 0-=-= -= n x u σμ 因 0.89 1.96u =< 它没有落入拒绝域，于是不能拒绝H 0，而接受H 0，即可以认为 0.32=μ，所以可以认为这批机制砖的平均抗断强度μ显著为 32.0kg/cm 2。 5.02 解：这是检验正态总体数学期望μ是否大于10 提出假设：10:, 10:10>≤μμH H 即：10:, 10:10>=μμH H 由题设，样本容量5n =，221.0=σ，1.01.020==σ，

km x 万1.10=，所以用U 检验 当零假设H 0成立时，变量：)1,0(~51 .010 N X n X U -= -= σμ 因检验水平05.0=α，由05.0}{='≥λU P ,查表得64.1'=λ 得到拒绝域: 64.1≥u 计算得： 24.251 .010 1.100 =-= -= n x u σμ 因 2.24 1.64u => 它落入拒绝域，于是拒绝零假设 H 0，而接受备择假设H 1，即可认为10>μ 所以可以认为这批新摩托车的平均寿命μ有显者提高。 5.03 解：这是检验正态总体数学期望μ是否小于240 提出假设：240:,240:10<≥μμH H 即：240:, 240:10<=μμH H 由题设，样本容量6n =，6252=σ，256250==σ，220=x ，所以用U 检验 当零假设H 0成立时，变量：)1,0(~625 240 N X n X U -= -= σμ 因检验水平05.0=α，由05.0}{='-≤λU P ,查表得64.1'=λ 得到拒绝域: 64.1-≤u 计算得：959.1625 240 2200 -=-= -= n x u σμ 因 1.959 1.64u =-<-

概率统计复习题5及答案

复习题5及答案 一、填空题 1.甲、乙、丙三人在同一时间内分别破译某个密码，设甲、乙、丙三人能单独译出的概率分别为0.8，0.7和0.6，则密码能被译出的概率为_________. 由加法定理和独立性可得所求概率为： 0.8+0.7+0.6－0.8*0.7－0.8*0.6－0.7*0.6+0.8*0.7*0.6 2. 设()0.8,()0.5P A P A B =-=且A 与B 独立，则()P B =___________。 ()()()()0.5()()()0.51()0.625() ()0.375 P A B P A AB P A P AB P A P A P B P B P A P B -=-=-=-=?-===故 3. 设随机变量X 服从参数2λ=的泊松分布，则(1)P X ≥= _____________。 2 2 2 (1)1(0)110! P X P X e e --≥=-==- =- 4. 设随机变量X 、Y 相互独立，且()1D X =，()2D Y =，则(32)D X Y -=_____。 由 独 立 随 机 变 量 的 方 差 的性质可得 (32)(3)(2)9()4()17 D X Y D X D Y D X D Y -=+-=+= 5.12,,,n X X X 是来自总体 X 的样本，若统计量 1 n i i i a X μ ==∑是总体均值E X 的无 偏估计量，则1 n i i a ==∑_________。 由无偏估计量的定义 1 1 1 1 ()()()1n n n n i i i i i i i i i i E E a X a E X a a μμμ====== ==? =∑∑∑∑ 6. 设1217,,,X X X 是总体(,4)N u 的样本，2S 是样本方差，若2()0.01P S a >=， 则a =____________. （注：2222 0.01 0.0050.010.005(17)33.4,(17)35.7,(16)32.0,(16)34.3χχχχ====） 2 2 2 2 2 0.011616()()0.01 4 4 16165.1(16)32.04 4 8 S a P S a P S a a χχ>=> ==== 由定理知（17-1），故 于是

概率统计练习册习题解答

概率统计练习册习题解答

苏州科技学院 概率论与数理统计》活页练习册习题解答 信息与计算科学系 概率论与数理统计教材编写组 2013 年12 月

习题1-1 样本空间与随机事件 1选择题 （1）设A,B,C为三个事件，则A,B,C中至少有一个不发生”这一事件可表示为（D） （A）AB IJ AC U BC（B）A U B U C（C ）AB CU A B C UA BC （D ） AUBUC （2）设三个元件的寿命分别为T1,T2,T3，并联成一个系统，则只要有一个元件正常工作则系统能正常工作，事件系统的寿命超过t”可表示为（D） A ;T1T2T3k B ITT2T3 t? C :min 汀,T2,T3? t? D ;max：T1，T2,T3i >t? 2?用集合的形式表示下列随机试验的样本空间「与随机事件A:对目标进行射击，击中后便停止射击，观察射击的次数；事件A表示射击次数不超过5次”。 解：Q = {l,2,3,，}； A = {1,2,3,4,}。 3?设某工人连续生产了4个零件，A i表示他生产的第i

个零件是正品（i=123,4 ），试用A表示下列各事件： （1 ）只有一个是次品； (2)至多有三个不是次品；卜- A- A3 一A4 习题1-2 随机事件的概率及计算 1填空题 (1)已知 A B，P(A)=0.4，P(B)=0.6，贝P(A)二—0.6，P(AB)二 二0 ，P(AB)二0.4。 P(A B) (2)设事件A与B互不相容，P(A) =0.4, P(B) = 0.3，则P(AB)= 0.3 ，P(AU B)= 0.6 。 2 ?选择题 (1)如果P(AB) =0，则(C ) (A) A与B互不相容(B) A 与B互不相容 (C) P(A_B)二P(A) (D) P(A_B) =P(A) _P(B) (2)两个事件A与B是对立事件的充要条件是 (C ) (A) P(AB) = P(A) P(B) (B) P(AB) =0 且P(A B) =1

概率论第五章习题

第五章 一、填空题 1.设随机变量X 的数学期望E (X )=μ ,方差D (X )=σ 2,则根据契比雪夫不等式估计P {|X -μ|

(A)2 1 (B)4 1 (C)81 (D) 16 1 3.设随机变量X 1, ..., X 16相互独立同分布, E (X i )=1, D (X i )=1, i =1,...,16.令S 16=∑ =16 1i i X ,则对任意ε >0,从契比雪夫不等式直接可得__________ (A) P {|161S 16-1|<ε}≥1-216ε (B) P {|S 16-16|<ε}≥1-216ε (C) P {| 16 1S 16-1|<ε}≥1- 2 1 ε (D) P {|S 16-16|<ε}≥1- 2 1 ε 4.设随机变量X 1, X 2, ..., X n , ...相互独立,它们满足大数定理,则X i 的分布可以是__________ (A) P {X i =m }= 3m c , m =1,2,... (B) X i 服从参数为i 1的指数分布 (C) X i 服从参数为i 的泊松分布 (D) X i 的密度函数f (x )= ) 1(1 2 x +π 5.设随机变量X 1, X 2, ...相互独立同服从参数为λ的指数分布,则__________(其中φ(x )=dt e x t ?∞ -- 2 2 21π ) (A))(}{lim 1x x n n X P n i i n φλ=≤-∑=+∞ → (B)) (}{lim 1x x n n X P n i i n φ=≤-∑ =+∞ → (C)) (}{lim 1 x x n X P n i i n φλ λ=≤-∑ =+∞ → (D)) (}{lim 1 x x n X P n i i n φλ λ=≤-∑ =+∞ → 三、计算题 1.随机地掷6个骰子,利用契比雪夫不等式估计6个骰子出现点数之和在15点到27点之间的概率 2.对某一目标进行多次同等规模的轰炸,每次轰炸命中目标的炸弹数目是一个随机变量,假设其数学期望为2,标准差为1.3,计算在100次轰炸命中目标的炸弹总数在180颗到220颗的概率

中北大学概率统计习题册第五章完整答案(详解)

1. 设随机变量X 的数学期望()E X μ=，方差2 ()D X σ=，则由契比雪夫不等式 {}≤ ≥-σμ3X P 1 9 。 2. 设随机变量X 和Y 的数学期望都是2，方差分别为1和4，相关系数为0.5，则根据契比雪夫不等式{} ≤ ≥-6Y X P 1 12 。 3. 在一次试验中，事件A 发生的概率为2 1 ， 利用契比雪夫不等式估计是否可以用大于0.97的概率确信，在1000次独立重复试验中，事件A 发生的次数在400～600的范围内？ 解： X 表示在1000次重复独立试验中事件A 发 生的次数,则1~1000,2X B ? ? ?? ?.于是: 1 ()1000500, 2E X np ==?=11 ()100025022 D X =??= (400600)(500100)P X P X <<=-< 2 250 (100)10.975100 P X EX =-<≥-=.因此可以用大于0.97的概率确信，在1000次独立重复试验中，事件A 发生的次数在400～600的范围内. 4.用契比雪夫不等式确定当掷一均匀铜币时，需投多少次，才能保证使得正面出现的频率在0.4和0.6 之间的概率不小于90%？ 解：设n μ表示掷n 次铜币正面出现的次数，则1(,)2n B n μ，1()2n E n μ=，1()4 n D n μ= {0.40.6}{ 0.50.1}n n P P n n μμ≤ ≤=-≤ 2() 25110.90.1n D n n μ≥- =-≥250n ?≥ 注：事实上，由中心极限定理 {0.40.6}{0.40.6}n n P P n n n μμ ≤ ≤=≤≤≈ Φ-Φ (210.9=Φ-≥ (()0.95 1.96Φ≥=Φ 1.96≥ 解之得 96.0365n ≥，所以，至少需投掷97次，才能保证使得正面出现的频率在0.4和0.6 之间的概率不小于90%。 5.一个复杂的系统，由100个相互独立起作用的部件所组成，在整个运行期间，每个部件损坏的概率为0.1，为了使整个系统起作用，至少需85个部件工作，求整个系统工作的概率。 解：设整个系统中有X 个部件能正常工作， 则()~100,0.9X B ，系统工作的概率为 ()()85 184P X P X ≥=-≤ 1≈-Φ ()()1220.9772=-Φ-=Φ= 6.设 ,,,,21n X X X 为独立随机变量序列，且(1,2, )i X i =服从参数为λ的指数分 布，试求：??? ? ??? ???????≤-∑=∞ →x n n X P n i i n 1lim λ。 解：因i X 服从参数为λ的指数分布,故:

浙大版概率论与数理统计答案---第五章

第五章 大数定律及中心极限定理 注意： 这是第一稿（存在一些错误） 1、 解（1）由于{0}1P X ≥=，且()36E X =，利用马尔科夫不等式，得 () {50}0.7250 E X P X ≥≤ = （2）2 ()2D X =，()36E X =，利用切比雪夫不等式，所求的概率为： 223 {3240}1(364)10.75164 P X P X <<=--≥≥-== 2、解：()500,0.1i X B :， 500500121 1500111610%5%192.8%5000.05125i i i i D X P X ==?? ???? ?-<≥-==???? ∑∑ 3、 解 ξ服从参数为的几何分布，1 1(),(2,3,4)2n P n n ξ-?? === ? ?? L 可求出2 ()()3,()2n E nP n D ξξξ∞ == ===∑ 于是令 ()2 a b E ξ+=，2b a ε-=，利用切比雪夫不等式，得 有2 () ()1(())175%D P a b P E ξξξξεε <<=--≥≥-= 从而可以求出()3()3a E b E εξεξε==-=-=+=+4、解：()()()() ()() () 1,,n n n X n n n x F x P X x P X x X x F x a =≤=≤≤==L ，()0,x a ∈。 则() ()()() ()1 1 n n n X n nx p x n F x p x a --==，()0,x a ∈。 ()()10 1 n n a X n nx n E x x dx a a n -=?=+? ， ()()()() 2 12 22 121n n a X n nx n n D x x dx a a a n n n -??=?-= ?+??++? 。

概率论(复旦三版)习题五答案

概率论与数理统计（复旦第三版） 习题五 答案 1.一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X .估计P {10

10.760.840.9.n i i X P n =??????≤ ≤≥???????? ∑ 根据独立同分布的中心极限定理得 0.8n i X n P ??-??≤≤???? ∑ 0.9,=Φ-Φ≥ 整理得 0.95,10?Φ≥ ?? 查表 1.64,≥ n ≥268.96, 故取n =269. 3. 某车间有同型号机床200部，每部机床开动的概率为0.7，假定各 机床开动与否互不影响，开动时每部机床消耗电能15个单位. 问至少供应多少单位电能才可以95%的概率保证不致因供电不 足而影响生产. 【解】设需要供应车间至少15m ?个单位的电能，这么多电能最多能 同时供给m 部车床工作，我们的问题是求m 。 把观察一部机床是否在工作看成一次试验，在200次试验中， 用X 表示正在工作的机床数目，则~(200,0.7)X B , ()2000.7140, ()(1)2000.70.342,E X np D X np p ==?==-=??= 根据题意，结合棣莫弗—拉普拉斯定理可得 0.95{}P X m P =≤=≤=Φ

概率论第五章 习题解答

第五章 数理统计的基础知识 I 教学基本要求 1、理解总体、个体、样本、统计量、样本均值和样本方差的概念，会根据样本数据计算样本均值和样本方差； 2、了解经验分布函数的概念，了解直方图、茎叶图的作法； 3、了解2χ分布、t 分布、F 分布的定义，会查表计算分位数； 4、了解正态总体的常用抽样分布. II 习题解答 A 组 1、某学校学生会进行问卷调查了解大学生使用手机的情况，该项研究中总体和样本各是什么？ 解：该项研究中总体是该学校全体大学生；样本是该学校被问卷调查的大学生. 2、为了解经济系管理专业本科毕业生工作后的就业情况，调查了某地区30名2010年毕业的管理专业本科生工作后的月薪情况.该项研究中总体和样本各是什么？样本容量是多少？ 解：总体是该地区2010年毕业的经济系管理专业本科生的月薪；样本是被调查的30名2010年毕业的经济系管理专业本科生的月薪；样本容量是30. 3、某厂生产的晶体管的使用寿命服从指数分布，为了解其平均寿命，从中抽出n 件产品检测，什么是总体、样本？样本的分布是什么？ 解：总体是该厂生产的晶体管的寿命，其分布是指数分布()E λ；样本是从该厂抽出的 n 个晶体管的寿命；记第i 个晶体管的寿命为i x ，则~()i x E λ(1 ,2,,)i n =，样本的分布为 ∑==-=-∏n i i i x n n i x e e 1 1 λ λλλ. 4、某工厂通过抽样调查得到5名工人一周内生产的产品数为149、156、160、138、149. 求样本均值和样本方差？ 解：样本均值 5111 (149156160138149)150.455 i i x x ===++++=∑； 样本方差 52 21 1()51i i s x x ==--∑ 2221 [(149150.4)(156150.4)(149150.4)]70.34 =-+-++-=.

概率论与数理统计复旦大学出版社第五章课后答案

概率与数理统计 习题五 答案 1.一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X .估计P {10

根据独立同分布的中心极限定理得 0.8n i X n P ??-??≤≤???? ∑ 0.9,=Φ-Φ≥ 整理得 0.95,Φ≥?? 查表 1.64,10≥ n ≥268.96, 故取n =269. 3. 某车间有同型号机床200部，每部机床开动的概率为0.7，假定各 机床开动与否互不影响，开动时每部机床消耗电能15个单位.问 至少供应多少单位电能才可以95%的概率保证不致因供电不足 而影响生产. 【解】设需要供应车间至少15m ?个单位的电能，这么多电能最多能 同时供给m 部车床工作，我们的问题是求m 。 把观察一部机床是否在工作看成一次试验，在200次试验中， 用X 表示正在工作的机床数目，则~(200,0.7)X B , ()2000.7140, ()(1)2000.70.342,E X np D X np p ==?==-=??= 根据题意，结合棣莫弗—拉普拉斯定理可得 0.95{}P X m P =≤=≤=Φ 查表知 1.64,= ,m =151. 所以供应电能151×15=2265（单位）.

概率论习题五答案

习题五 1.设抽样得到样本观测值为： 计算样本均值、样本标准差、样本方差与样本二阶中心矩。 10__ 110 __2 221__ 2211 :(38.2+40.0+42.4+37.6+39.2+41.0+44.0+43.2+38.8+40.6)40.5; 1010 2.1587;1() 2.1587 4.66; 91()10i i i i i x x s s x x x x σ=========-===-∑∑: 解10219 4.194. 10i S ===∑ 解：由书上127页（）（）（）式可知： 6___ 16___ 2 22216___22 111(11522132542051267) 3.14;100100 11()[(1 3.14)15(6 3.14)7] 2.1216;9999 199() 2.1216 2.1004.100100i i i i i i i i i x x n s x x n x x n σ=====?+?+?+?+?+?==-=-?++-?==-=?=∑∑∑: K 3.略 4.从总体中抽取容量为n 的样本1,,n X X K ，设c 为任意常数，k 为任意正数，作变换 (),1,2,,.i i Y k X c i n =-=L 证明：（1）;Y X c k =+（2）2 2 2;y x S S k =其中X 及2x S 分别是1,,n X X K 的样本均值及样本 方差；Y 及2 y S 分别是1,,n Y Y K 的样本均值及样本方差。 证明（1） 11,n i i X X n ==∑由()i i Y k X c =-得i i Y X c k =+ 11111()n n i i i i Y Y X c Y nc c n k k n n k ==∴=+=+?=+?∑∑

概率统计习题5.3

&5.3 统计量及其分布 习题与解答5.3 1.在一本书上我们随机地检查了 10页，发现每页上的错误数为 4560314214 试计算其样本均值，样本方差和样本标准差 解样本均值又=；二—^亠3. 样本方差 s X j - x ■ 4 - 3 4 - 3 二3-78, n -1 y 1 9 _ 样本标准差s 二 s 2 =1.94. 2证明:对任意常数c,d 有 n n ' X j - c y j - d ] _ I * - x y n X - c Y - d . j 1 j z! n n _ n _ 送(X _c )(y j _d )=Z (X j _X+X-c )(y j _Y + y _ d )=送(X j -X )( y )+ i 1 八 j =1 j =1 八 n _ n n _ 迟(X -c jt yj _ y )+迟(Xj -X )( yj -d ) + 瓦(X -c )( y-d ), j 1 j j 二 j j m n n _ 由一 i X j —X i ； = 0〕 y — y ：U 0,得 j=1 im n n _ _ ' X —c y j —d ! _ iX j —X y j — y n X-c y — d , j 1 j * 因而结论成立. 3.设X 1,..., X n 和％,..., y n 是两组样本观测值，且有如下关系: y=3X j -4, i =1,2.., n,试求样本均值X 和y 间的关系以及样本方差 S X 和S y 的关系.

1 n -1 n.. 八 y Y i 3X j - 4 = n i 4 2 1 1 E 3x i 4 3x+4n—lJXj-X 化因而得y二3x-4与 2 2 S厂 9S x 4?记x n+1 n -1 X n d -X n ,n =1,2.…,证 明 S n S n 1 J X i (X i -x n x+x n IL n +1 X (X i -X n ) n +^1 ■ X n+1) n+1 n+1 (X i -X n+1 n+1 n+1 X i 「 X -X n+1 )2n+1 n+1 (X n+1 -X n) -4 二3x-4, 3/ X i n y