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专题:基本不等式常见题型归纳(学生版)

第 1 页 共 6 页 专题:基本不等式

基本不等式求最值 利用基本不等式求最值:一正、二定、三等号.

三个不等式关系:

(1)a ,b ∈R ,a 2+b 2≥2ab ,当且仅当a =b 时取等号.

(2)a ,b ∈R +,a +b ≥2ab ,当且仅当a =b 时取等号.

(3)a ,b ∈R ,a 2+b 22≤(a +b 2)2,当且仅当a =b 时取等号.

上述三个不等关系揭示了a 2+b 2 ,ab ,a +b 三者间的不等关系.

其中,基本不等式及其变形:a ,b ∈R +,a +b ≥2ab (或ab ≤(a +b 2)2),当且仅当a =b 时

取等号,所以当和为定值时,可求积的最值;当积为定值是,可求和的最值.

【题型一】利用拼凑法构造不等关系

【典例1】已知1>>b a 且7log 3log 2=+a b b a ,则1

12-+b a 的最小值为 .

练习:1.若实数满足,且,则的最小值为 . 2.若实数,x y 满足133(0)2xy x x +=<<,则313

x y +-的最小值为 . 3.已知0,0,2a b c >>>,且2a b +=

,则

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2ac c c b ab +-+的最小值为 . 【典例2】已知x ,y 为正实数,则4x 4x +y +y x +y

的最大值为 . 【典例3】若正数a 、b 满足3ab a b =++,则a b +的最小值为__________.

变式:1.若,a b R +∈,且满足22a b a b +=+,则a b +的最大值为_________.

2.设0,0>>y x ,822=++xy y x ,则y x 2+的最小值为_______

3.设R y x ∈,,1422=++xy y x ,则y x +2的最大值为_________

4.已知正数a ,b

满足195a b

+=,则ab 的最小值为 ,x y 0x y >>22log log 1x y +=22

x y x y

+-

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