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专题:基本不等式常见题型归纳(学生版)

专题:基本不等式

基本不等式求最值 利用基本不等式求最值:一正、二定、三等号.

三个不等式关系:

(1)a ,b ∈R ,a 2+b 2≥2ab ,当且仅当a =b 时取等号. (2)a ,b ∈R +

,a +b ≥2ab ,当且仅当a =b 时取等号. (3)a ,b ∈R ,a 2+b 22≤(a +b 2)2

,当且仅当a =b 时取等号.

上述三个不等关系揭示了a 2+b 2 ,ab ,a +b 三者间的不等关系.

其中,基本不等式及其变形:a ,b ∈R +

,a +b ≥2ab (或ab ≤(a +b 2)2),当且仅当a =b 时取等号,所以当和为定值时,可求积的最值;当积为定值是,可求和的最值. 【题型一】利用拼凑法构造不等关系

【典例1】已知1>>b a 且7log 3log 2=+a b b a ,则

1

12

-+b a 的最小值为 .

练习:1.若实数满足,且,则的最小值为 .

2.若实数,x y 满足1

33(0)2xy x x +=<<

,则313

x y +-的最小值为 . 3.已知0,0,2a b c >>>,且2a b +=

,则

2ac c c b ab +-+

专题:基本不等式常见题型归纳(学生版)

的最小值为 . 【典例2】已知x ,y 为正实数,则4x 4x +y +y

x +y 的最大值为 .

【典例3】若正数a 、b 满足3ab a b =++,则a b +的最小值为__________.

变式:1.若,a b R +∈,且满足22

a b a b +=+,则a b +的最大值为_________.

2.设0,0>>y x ,822=++xy y x ,则y x 2+的最小值为_______

3.设R y x ∈,,142

2

=++xy y x ,则y x +2的最大值为_________

4.已知正数a ,b

满足

19

5a b

+=,则ab 的最小值为 ,x y 0x y >>22log log 1x y +=22

x y x y

+-

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【题型二】含条件的最值求法

【典例4】已知正数y x ,满足1=+y x ,则1

1

24++

+y x 的最小值为

练习1.已知正数y x ,满足111=+y

x ,则1914-+

-y y

x x 的最小值为 .

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2.已知正数满足,则的最小值为 .

3.已知函数(0)x y a b b =+>的图像经过点(1,3)P ,如下图所示,则41

1a b

+-的最小值为 .

4.己知a ,b 为正数,且直线 与直线 互相平行,则2a+3b 的最小值为________.

5.常数a ,b 和正变量x ,y 满足ab =16,a

x +2b y =1

2.若x +2y 的最小值为64,则a b =________.

6.已知正实数,a b 满足()()12

122a b b b a a

+=++,则ab 的最大值为 .

,x y 22x y +=8x y

xy

+60ax by +-=2(3)50x b y +-+=

【题型三】代入消元法

【典例5】(苏州市2016届高三调研测试·14)已知14

ab =,,(0,1)a b ∈,则

1211a

b

+

--的

最小值为 .

练习1.设实数x ,y 满足x 2+2xy -1=0,则x 2+y 2的最小值是 .

2.已知正实数x ,y 满足,则x + y 的最小值为 .

3.已知正实数,x y 满足(1)(1)16x y -+=,则x y +的最小值为 .

4.若2,0>>b a ,且3=+b a ,则使得2

1

4-+b a 取得最小值的实数a = 。

5.设实数x 、y 满足x 2

+2xy -1=0,则x +y 的取值范围是_________

6.已知R z y x ∈,,,且1=++z y x ,32

2

2

=++z y x ,求xyz 的最大值为______

【题型四】换元法

【典例6】已知函数f (x )=ax 2+x -b (a ,b 均为正数),不等式f (x )>0的解集记为P ,集合Q ={x |-2-t <x <-2+t }.若对于任意正数t ,P ∩Q ≠?,则1a -1

b 的最大值是 .

2.已知正数a ,b ,c 满足b+c ≥a ,则+的最小值为 .

练习1.若实数x ,y 满足2x 2+xy -y 2=1,则的最大值为 .

2.设是正实数,且,则的最小值是____.

3..若实数x ,y 满足2x 2+xy -y 2=1,则x -2y 5x 2

-2xy +2y

2的最大值为 .2

4

4.若实数满足,当取得最大值时,的值为 .

22

2522x y

x xy y --+,x y 1x y +=22

21

x y x y +++

【题型五】判别式法

【典例7】已知正实数x ,y 满足24

310x y x y

+++=,则xy 的取值范围为 .

练习1.若正实数满足,则的最大值为 .

2.设R y x ∈,,1322=++xy y x ,则y x +2的最大值为________

变式1.在平面直角坐标系xOy 中,设点(1 0)A ,

,(0 1)B ,,( )C a b ,,( )D c d ,,若不等式2(2)()()CD m OC OD m OC OB OD OA -?+???uu u r uuu r uuu r uuu r uu u r uuu r uu r

≥对任意实数a b c d ,,,都成立,则实数

m 的最大值是 .

【方法技巧】不等式恒成立常用的方法有判别式法、分离参数法、换主元法.判别式法:将所求问题可转化为二次不等式,则可考虑应用判别式法解题。一般地,对于二次函数

),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=,有

1)0)(>x f 对R x ∈恒成立????00a 2)0)(

?

??

分离变量法:若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端,从而问题转化为求主元函数的最值,进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值。一般地有:

1)为参数)a a g x f )(()(<恒成立max )()(x f a g >? 2)为参数)a a g x f )(()(>恒成立max )()(x f a g

确定主元法:如果把已知取值范围的变量作为主元,把要求取值范围的变量看作参数,则可简化解题过程。

2.设二次函数()c bx ax x f ++=2

(c b a ,,为常数)的导函数为()x f

'

.对任意R x ∈,

不等式()()x f x f '

≥恒成立,则2

22

c

a b +的最大值为 .

【题型六】分离参数法

【典例8】已知x >0,y >0,若不等式x 3+y 3≥kxy (x+y )恒成立,则实数k 的最大值为_______ .

练习1.已知对满足42x y xy ++=的任意正实数,x y ,都有

22210x xy y ax ay ++--+≥,则实数a 的取值范围为 .

2.若不等式x 2+2xy ≤a (x 2+y 2)对于一切正数x ,y 恒成立,则实数a 的最小值为 .