河北省衡水中学2019届高三上学期期中考试理科数学试卷(含答案)
2018-2019学年度第一学期期中考试
高三理科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 抛物线24y x =的焦点坐标是
A. (0,1)
B.(1,0)
C.(0,2)
D.(0,
116
) 2. 已知圆221236F x y ++=（
:），定点220F （，），A 是圆1F 上的一动点，线段2F A 的垂直平分线交半径1F A 于P 点，则P 点的轨迹C 的方程是
A. 22143x y +=
B.22195x y +=
C.22134x y +=
D.22
159
x y +=
3.将函数y=3sin （2x+
3π）的图象经过怎样的平移后所得的图象关于点（12
π
-，0）中心对称 A. 向左平移12π个单位 B.向右平移12π
个单位
C.向左平移6π个单位
D.向右平移6
π
个单位
4.函数21e x y x =-（）的图象是
5. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A.
83π B. 3π C.103
π D.6π 6.已知A B P 、、是双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>上不同的三点，且A B 、连线经过坐标原
点，若直线PA PB 、的斜率乘积3PA PB k k =，则该双曲线的离心率为
A.
B. C. 2 D.3
7.已知抛物线24x y =上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为
A.
34 B.3
2
C.1
D.2 8. 如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为
A. 8
B.4 2 3
9.在等腰直角三角形ABC 中，∠C=90°，2CA =，点P 为三角形ABC 所在平面上一动点，且满足BP =1，则()BP CA CB +的取值范围是
A. [2,0]-
B. [0,22]
C. [-2,2]
D.[2,2]-
10.已知12,F F 是椭圆2211612
x y +=的左、右焦点，点M （2，3）
，则∠12F MF 的角平分线的斜率为
A. 1
B.
C. 2 11.如图，在四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD 为正三角形，底面ABCD 为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，M 为底面ABCD 内的一个动点，且满足MP=MC ，则点M 在正方形ABCD 内的轨迹为下图中的
12.已知球O 与棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -的所有棱都相切，点M 是球O 上一点，点N 是△1ACB 的外接圆上的一点，则线段MN 的取值范围是 A.
B. 2]
C.[2322,2322]
D.[32,32]
二、填空题：本题共4小题，每小题5分。 13.已知cos （θπ+）=13
-，则sin （22
π
θ+
）= .
14.若等差数列{}n a 满足7897100,0a a a a a ++>+<,则当n = 时，{}n a 的前n 项和最大. 15.如图1，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=1，E 是DC 的中点；如图2，将△DAE 沿AE 折起，使折起后平面DAE ⊥平面ABCE ，则异面直线AE 和DB 所成角的余弦值为
.
16.已知函数4sin(2)6
f x x π
=+（
）（0≤x ≤
916
π
），若函数3F
x f x =-（）（）的所有零点依次记为123123n n x x x x x x x x ???<<
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. （本小题满分10分）
设n S 为各项不相等的等差数列{}n a 的前n 项和，已知357339a a a S ==，. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设n T 为数列{
1
1
n n a a +}的前n 项和，求n T .
18. （本小题满分12分）
在△ABC 中，B =
4π，AC =cos C =
5
. (1)求sin BAC ∠的值；
(2)设BC 的中点为D ,求中线AD 的长.
19. （本小题满分12分）
如图，抛物线2
4E y x =:的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A ，点C 在抛物线E 上，以C
为圆心，CO 为半径作圆，设圆C 与准线l 交于不同的两点M ，N. (1)若点C 的纵坐标为2，求MN ； (2)若2
AF AM AN =，求圆C 的半径.
20. （本小题满分12分）
已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>3，12A A
，分别为椭圆C 的左、右顶点，
点21P -（，）满足121PA PA =. (1)求椭圆C 的方程；
(2)设直线l 经过点P 且与C 交于不同的两点M N 、，试问：在x 轴上是否存在点Q ,使得直线
QM 与直线QN 的斜率的和为定值？若存在，求出点Q 的坐标及定值，若不存在，请说明理
由.
21.（本小题满分12分） 已知函数ln f x x x =（）.
(1)若直线l 过点（1，0），并且与曲线y f x =（）相切，求直线l 的方程；
(2)设函数1g x f x a x =--（）（）（）在[1,e]上有且只有一个零点，求a 的取值范围.(其中a ∈R ，e 为自然对数的底数)
22.（本小题满分12分）
已知椭圆1:C 22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为22
，20P -（，）是它的一个顶点，过点P 作
圆222
2:C x y r +=的切线PT T ，为切点，且2PT =
(1)求椭圆1C 及圆2C 的方程；
(2)过点P 作互相垂直的两条直线1l ，2l ，其中1l 与椭圆的另一交点为D ，2l 与圆交于A B ，两点,求△ABD 面积的最大值.
参考答案与解析
一、选择题
1-5 DBBAB 6-10 CDCDC 11-12 AC 二、填空题
13.79-
14.8 15.6
16.445π 三、解答题
17. 解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，则由题意知1111(2)(4)3(6),3239,2
a d a d a d a d ++=+????+=??解得10,
3d a =??
=?（舍去）或
11,
2.
d a =??
=?所以2(1)11n a n n =+-?=+.(5分)
（2）因为
1
1
n n a a +=111(1)(2)12
n n n n =-
++++，
所以12231111n n n T a a a a a a +=
++???+=11()23-+11()34-+…+11()12n n -++=2(2)
n n +.（10分） 18. 解：（1）因为25cos C =，且C 是三角形的内角，所以21cos C -5
所以
()sin sin[]sin BAC B C B C π∠=-+=+=
（）
sin cos cos sin B C B C +=
2252522310
.（4分） (2) 在△ABC
中，由正弦定理，得
sin sin BC AC
BAC B
=∠，所以
sin sin AC BC BAC B
=∠25310
6
2=，于是CD=132
BC =.在△ADC 中，5
cosC=5
，（8分） 所以
由余弦定理，得
=AD 的长
分)
19. 解：（1）抛物线E ：y 2
=4x 的准线l 的方程为x=-1，由点C 的纵坐标为2，得点C 的坐标
为（±1，2），所以点C到准线l的距离为d=2，
又CO=，所
以
42
M N==.（4分）
（2）设C（
2
,
4
y
y），则圆C的方程为
24
222
00
00
()()
416
y y
x y y y
-+-=+，即
2
22
20
2
y
x x y y y
-+-=.
由x=-1，得
2
20
210
2
y
y y y
-++=
.设
12
-1,-1,
M y N y
（）（），则
2
22
00
2
12
44(1)240,
2
1
2
y
y y
y
y y
?
=-+=->
??
?
?=+
??
由2
AF AM AN
=，得
12
4
y y=，所以
2
014
2
y
+=，
解得
6
y=±，此时0
>.
所以圆心C的坐标为
3
(6)
2
或
3
(,6)
2
-，从而2
33
4
CO=，33
CO=
C的半径
为33
2
.(12分)
20.解：（1）依题意，12
(,0),(,0)
A a A a
-，P（2，-1），所以
12
PA PA=（-a-2,1）·(a-2,1)=5-a2,(2分)
由
12
PA PA=1，a>0,得a=2,因为e
=
2
c
a
=，所以
b2=a2-c2=1，（4分）
故椭圆C的方程为
2
21
4
x
y
+=.（5分）
（2）假设存在满足条件的点Q（t，0），当直线l与x轴垂直时，它与椭圆只有一个交点，不满足题意，
因此直线l的斜率k存在，设l：y+1=k（x-2），
由22
1(2),14
y k x x y +=-???+=??消y ，得（1+4k 2）x 2-（16k 2+8k ）x+16k 2+16k=0，（7分） △=-64k>0,所以k<0,
设1122(,),(,)M x y N x y ，则x 1+x 2=2216814k k k ++,x 1x 2=22
161614k k
k
++, 因为1212QM QN y y
k k x t x t
+=
+-- =
212112(21(2()()()
1-)kx k kx k x t x t x t x t -+------））(=1212212122(21)()2(21)()kx x k kt x x k t
x x t x x t -+++++-++=
222
(48)24(2)8(2)t k t
t k t k t -+-+-+，（10分）
所以要使对任意满足条件的k ，QM QN k k +为定值，则只有t=2，此时QM QN k k +=1. 故在x 轴上存在点Q （2，0）使得直线QM 与直线QN 的斜率的和为定值1.（12分） 21. 解：（1）设切点坐标为（x 0，y 0），则y 0=x 0lnx 0,切线的斜率为lnx 0+1， 所以切线l 的方程为y-x 0lnx 0=（lnx 0+1）（x-x 0），又切线l 过点（1，0），
所以有-x 0lnx 0=（lnx 0+1）(1-x 0)，即lnx 0=x 0-1，设h （x ）=lnx-x+1，则1'(
)x
h x x
-=，x ∈（0,1），'()0h x >，h （x ）单调递增，x ∈（1,+∞），'()
0h x <，h （x ）单调递减，h （x ）max =h(1)=0有唯一解，所以x 0=1，y 0=0.
所以直线l 的方程为y=x-1.（4分） （2）因为g （x ）=xlnx-a （x-1），注意到g （1）=0，
所以所求问题等价于函数g （x ）=xlnx-a （x-1）在（1，e]上没有零点.
因为'()ln 1g x x a =+-.所以由'()0g x ?x>e a-1
, 所以g （x ）在（0，e a-1）上单调递减，在（e a-1
，+∞）上单调递增.（6分）
①当e a-1
≤1，即a ≤1时，g （x ）在（1,e]上单调递增，所以g （x ）>g(1)=0. 此时函数g （x ）在（1,e]上没有零点，（7分）
②当1 ,e]上单调递增， 又因为g （1）=0，g （e ）=e-ae+a ，g （x ）在(1,e]上的最小值为g （e a-1）=a-e a-1 ，
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