19.2.2一次函数2学案

19.2.2 一次函数和它的图象(2) 主笔人：潘静岩

学习目标：能用“两点法”画出一次函数的图象，掌握一次函数图像的性质

学习重点：一次函数图象的特点、画法及性质．

学习难点：k、b的值与图象的位置关系。

学习过程

一、知识回顾，预习研讨

1、填空

一般地，形如的函数，叫做正比例函数；

一般地，形如的函数，叫做一次函数。

当b=0时，y=kx+b就变成了 ,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数

2、正比例函数的图象是，当K>0时，经过象限y随x增大而当K<0时，经过象限y随x增大而，图像必经过和这两个点

二、师生互动，掌握新知

例2画出函数y=-6x，y=-6x+5的图象

思考：比较这两个函数的图象的相同点与不同点，填出你的观察结果：

这两个函数的图象形状都是，并且倾斜程度；函数y=-6x的图象经过（0，0）；函数y=-6x+5的图象与y轴交于点，即它可以看作由直线y=-6x 向平移个单位长度而得到的。

比较一次函数y=kx+b（k≠0）与正比例函数y=kx（k≠0）解析式，可以得出：一次函数y=kx+b（k≠0）的图象可以看作由直线y=kx平移个单位长度而得到（当b>0时，向平移；当b<0时，向平移）．

一次函数y=kx+b(其中k、b为常数,k≠0)的图象也是一条直线,我们称它为直线y=kx+b。例3 画出函数y=2x－1与y=－0.5x+1的图象

※观察上面四个函数图像，（1）1

+

=x

y经过_____象限；y随x的增大而_____，函数的图像从左到右_____；（2）1

2-

=x

y经过_____象限；y随x的增大而_____，函数的图像从左到右________；（3）1

+

-

=x

y经过_________象限；y随x的增大而_______，函数的图像从左到右____；（4）1

2-

-

=x

y经过______象限；y随x的增大而_______，函数的图像从左到右________。

1、由此可以得到直线)0

(≠

+

=k

b

kx

y中，k ，b的取值决定直线的位置：

D

C

B

（1）?>>0,0b k

直线经过________象限；（2）?<>0,0b k 直线经过

________象限；（3）?><0,0b k

直线经过________象限；（4）?

<<0,0b k 直线经过________象限； 2、一次函数的性质： （1）当0>k 时，y 随x 的增大而_______，这时函数的图像从左到右_______； （2）当0

时，y 随x 的增大而_______，这时函数的图像从左到右_______；

三、达标检测，理解应用 1、一次函数

52-=x y 的图像不经过（ ）

A 、第一象限

B 、第二象限

C 、 第三想象限

D 、 第四象限 2、已知直线b kx y +=不经过第三象限，也不经过原点，则下列结论正确的是( )

A 、0,0>>b k

B 、0,0<>b k

C 、0,0>

D 、0,0<

3、下列函数中，y 随x 的增大而增大的是（ ） A 、

x y 3-= B 、12-=x y C 、103+-=x y D 、12--=x y

4、对于一次函数k x k y -+=)63(，函数值y 随x 的增大而减小，则k 的取值范围是

（ ）A 、0k D 、02<<-k

5、一次函数

13+=x y 的图像一定经过（ ）

A 、（3，5）

B 、（-2，3）

C 、（2，7）

D 、（4、10） 6、已知正比例函数

)0(≠=k kx y 的函数值y 随x 的增大而增大，则一次函数

k kx y -=的图像大致是（ ）

7、一次函数

b kx y +=的图像如图所示，

则k_______，b_______，y 随x 的增大而_________ 8、一次函数

2--=x y 的图像经过___________象限，y 随x 的增大而_________

9、已知点（-1，a ）、（2，b ）在直线83+=x y 上，则a ，b 的大小关系是__________

10、直线

32-=x y 与x 轴交点坐标为______；

与y 轴交点坐标______；图像经过_________象限，y 随x 的增大而_______，图像与坐标轴所围成的三角形的面积是___________ 11、已知一次函数

)0(≠+=k b kx y 的图像经过点（0，1），且y 随x 的增大而增大，

请你写出一个符合上述条件的函数关系式_____________

12、已知一次函数图像（1）不经过第二象限，（2）经过点（2，-5），请写出一个同时满足（1）和（2）这两个条件的函数关系式：_______________

13．y=3x 与y=3x-3的图象在同一坐标系中位置关系是（ ）A ．相交 B ．互相垂直 C ．平行 D ．无法确定

14．在函数y=kx+3中,当k 取不同非零实数时,得到不同的直线,那么这些直线必定( ) A 、交于同一个点 B 、互相平行C 、有无数个不同交点 D 、交点的个数与k 的具体取值有关 15．函数y=3x+b,当b 取一系列不同的数值时,它们图象的共同点是( )

A 、交于同一个点

B 、互相平行

C 有无数个不同的交点

D 、交点个数的与b 的具体取值有关

（2010年莆田）如图1，在矩形MNPQ 中，动点R 从点N 出发，沿N →P →Q →M 方向运动至点M 处停止．设点R 运动的路程为x ，MNR △的面积为y ，

如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则当9x =时，点R 应运动到（ ）

A ．N 处

B ．P 处

C ．Q 处

D ．M 处

2．(2010年安顺)如图，乌鸦口渴到处找水喝，它看到了一个装有水的瓶子，但水位较低，且瓶口又小， 乌鸦喝不着水，沉思一会后，聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，乌鸦喝到了水。 在这则乌鸦喝水的故事中，从乌鸦看到瓶的那刻起开始计时并设时间为x ，瓶中水位的高度为y ， 下列图象中最符合故事情景的是：

3．（2010威海）如图，△ABC 和的△DEF 是等腰直角三角形，∠C=∠F=90°，AB=2.DE=4．点

B 与点D 重合，点A,BD.,E 在同一条直线上，将△AB

C 沿

D

E →方向平移，至点A 与点E

重合时停止．设点B,D 之间的距离为x ，△ABC 与△DEF 重叠部分的面积为y ，则准确反映y

与x 之间对应关系的图象是（ ）

4.（2010年重庆）如图，在矩形ABCD 中，AB=2，1BC =，动点P 从点B 出发，沿路

线B C D →→作匀速运动，那么ABP △的面积S 与点P 运动的路程x 之间的函数图象大致

（图1）

是（ ）

课后反思

A ．

B ．

C ．

D ．

D C P

B

A

函数的表示法知识点

函数的表示法 1.函数的三种表示法： 图象法、列表法、解析法 2.分段函数：在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。 3.映射：一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射。记作“f ：A →B ” 给定一个集合A 到B 的映射，如果a ∈A,b ∈B.且元素a 和元素b 对应，那么，我们把元素b 叫做元素a 的象，b=f （a ），元素a 叫做元素b 的原象. 说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，①集合A 、B 及对应法则f 是确定的；②对应法则有“方向性”，即强调从集合A 到集合B 的对应，它与从B 到A 的对应关系一般是不同的；③对于映射f ：A →B 来说，则应满足：（Ⅰ）集合A 中的每一个元素，在集合B 中都有象，并且象是唯一的；（Ⅱ）集合A 中不同的元素，在集合B 中对应的象可以是同一个；（Ⅲ）不要求集合B 中的每一个元素在集合A 中都有原象。 注意：(1)函数一定是映射，映射不一定是函数；(2)函数三要素：定义域、值域、对应法则；(3)B 中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；(4)原象集合=定义域，值域=象集合. 4.常用的函数表示法及各自的优点：函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据；2 解析法：必须注明函数的定义域；3 图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；4 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征． 注意：解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值 5.分段函数：在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数； （2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． 6.复合函数：如果y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即y=f （u ），u=g （x ），那么y 关于x 的函数y=f （g （x ））叫做函数y=f （u ）（外函数）和u=g （x ）（内函数）的复合函数，其中u 是中间变量，自变量为x 函数值为y.例如：函数212x y += 是由y=2u

2.1函数及其表示学案(高考一轮复习)

2014年高中数学一轮复习教学案 第二章函数、导数及其应用 第1节函数及其表示 一．学习目标： 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念． 2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数． 3．了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段). 二．学习重、难点： 1．学习重点：会求一些简单函数的定义域和值域； 2．学习难点：会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数. 三．学习方法：讲练结合 四．自主复习： 1．函数的基本概念 (1)函数的定义 设A，B是非空的______，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的_____一个数x，在集合B中都有_________的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A 到集合B的一个函数，记作_________________. (2)函数的定义域、值域 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的________；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的______．显然，值域是集合B的子集． (3)函数的三要素：___________________________． (4)相等函数：如果两个函数的__________________完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据． 2．函数的表示法 表示函数的常用方法有：________________________． 3．映射的概念 设A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中____________确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B

八年级数学下册 第10章《一次函数》复习学案(新版)青岛版

第10章《一次函数》 班级： 组号： 1.（1）如果),1(a P -是正比例函数x y 3=的图像的一点，那么=a （2）如果正比例函数kx y =的图像过)2 1,1(-，那么=k 2.已知)2,4(B 在直线b x y +=2上，点)3,5(C 在这条直线上吗？ 3.画出232-= x y 和23 2+-=x y 的图像， （1）y 的值随x 的取值如何变化？ （2）图像与坐标轴的交点坐标分别是多少？ 4.分别求出下列图像对应的函数表达式： （1）、 （2）、 （3）、

5.已知一次函数b kx y +=，当2,1-==y x 。且它的图像与y 轴的交点的纵坐标是5-，求b k 与的值。 6.同时点燃甲乙两根蜡烛，燃烧时剩余部分高度)(cm y 与燃烧时间)(h x 之间的关系如图所示。根据图像所提供信息： （1）甲乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是多少？ （2）分别求甲乙两根蜡烛燃烧时y 与x 之间的函数关系式 （3）点燃后经过多长时间，甲乙两根蜡烛剩余部分的高度相等（不考虑 都燃尽的情况）？在什么时间段内，甲蜡烛的剩余高度比乙蜡烛的剩余高度高？在 什么时间段内，甲蜡烛的剩余高度比乙蜡烛的剩余高度低？ 7.利用图像解方程组?? ?=+=-4 295x y y x 8.已知一次函数b kx y +=，当4-=x 时，,9=y 当2=x 时，3-=y 。求不等式0>+b kx 的解集

9.如图，OA,BA 分别是甲乙两名学生跑步的路程S 与时间t 的函数图像， B(0， 16).根据图像判断哪名学生跑步的速度快？快者的速度比慢者的速度每 秒快多 少？ 10.给出a 的三个值，使一次函数12-+=a ax y 的图像分别经过第一、二、三象限；第二、三、四象限；第一三四象限。 11.如图在直角坐标系中，2,135,60==∠=∠OA BOx AOx ,OB=2，一次函数的图像经过点A,B 。求这个函数表达式 12.有甲乙两个长方形的蓄水池，将甲池中的水以6h m /3 的速度注入乙池，甲乙两个蓄水池中水的深度)(m y 与注水时间)(h x 之间的图像如图所示，结合图像回答： （1）分别求出甲乙两个蓄水池中水的深度y 与注水时间x 之间的函数关系式 （2）注水多长时间甲乙两个蓄水池的水深相同？ （3）注水多长时间甲乙两个蓄水池的蓄水量相同？

新苏科版八年级数学上册 一次函数专题课(4)学案

新苏科版八年级数学上册 一次函数专题课（4）学案 ---最值问题 姓名：____________ 学习目标： 1、了解一次函数最值问题需将实际问题转化为数学问题，构建目标函数，通过一次函数的增减性可使问题得以解决； 2、实际问题的一次函数由于自变量取值范围的限制，其函数图象局限于某一线段或 射线，从而存在最值； 学习过程： 一、自主预习： 1、已知一次函数y =-5x +30,且自变量x 的取值范围为x ≥5，求y 的最大（小）值是多少？ 解：∵一次函数y =-5x +30中k _______________ ∴y 随x 的增大而_______________ ∵x ≥5 ∴y 有最__________值，当x =________时，y =__________。 2、已知一次函数y =3x +50,自变量x 的取值范围为12≤x ≤20， ∵k _____∴y 随x 的增大而_________，∴当x =________时，y 有最大值=__________；当x =________时，y 有最小值=__________。 3、电视台为某个广告公司特约播放甲、乙两部连续剧．经调查，播放甲连续剧平均每集有收视观众20万人次，播放乙连续剧平均每集有收视观众15万人次，公司要求电视台每周共播放7集． （1）设一周内甲连续剧播x 集，甲、乙两部连续剧的收视观众的人次的总和为y 万人次， 求y 关于x 的函数关系式． （2）已知电视台每周只能为该公司提供不超过300分钟的播放时间，并且播放甲连续剧每集需50分钟，播放乙连续剧每集需35分钟，请你用所学知识求电视台每周应播放甲、乙两部连续剧各多少集，才能使得每周收看甲、乙连续剧的观众的人次总和最大，并求出这个最大值． 二、合作探究： 活动1、（2014?四川自贡）一次函数y =kx +b ，当1≤x ≤4时，3≤y ≤6，则 k b 的值是 ． 活动2、某商场欲购进A 、B 两种品牌的饮料500箱，此两种饮料每箱的进价和售价如下表所示。设购进A 种饮料x 箱，且所购进的两种饮料能全部卖出，获得的总利润为y 元. ⑴求y 关于x 的函数关系式？ ⑵如果购进两种饮料的总费用不超过20000元，那么该商场如何进货才能获利最多？并求出最大利润。（注：利润＝售价－成本）

学年高中数学必修一122函数的表示法

1.2.2函数的表示法 班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________ 课后练习 【基础过关】 1．已知是反比例函数，当时，，则的函数关系式为 A. B. C. D. 2．已知函数若,则的取值范围是 A. B. C. D. 3．已知函数f(x)=,则函数f(x)的图象是( ) A. B. C. D. 4．已知则 v C. D. 5．已知函数，且，则 . 6．已知函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+2)=,若f(1)=-5,则f [f(5)]= .

【解析】由已知条件f(x+2)=可得f(x+4)==f(x),所以 f(5)=f(1)=-5,所以f [f(5)]=f(-5)=f(-1)===- 7．已知，为常数，且，，，方程有两个相等的实数根.求函数的解析式. 8．如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的 图形的面积为，试求函数的解析式. 【能力提升】 下图是一个电子元件在处理数据时的流程图: (1)试确定y与x的函数关系式; (2)求f(-3), f(1)的值; (3)若f(x)=16,求x的值.

答案 【基础过关】 1．C 【解析】根据题意可设(k≠0)， ∵当x＝2时，y＝1，∴，∴k＝2. 2．D 【解析】若x∈[－1，1]，则有f(x)＝2?[-1，1]，∴f(2)＝2；若x?[－1，1]，则f(x)＝x?[－1，1]， ∴f[f(x)]＝x，此时若f[f(x)]＝2，则有x＝2. 【备注】误区警示：本题易将x?[－1，1]的情况漏掉而错选B. 3．A 【解析】当x=-1时,y=0,即图象过点(-1,0),D错;当x=0时,y=1,即图象过点(0,1),C错;当x=1时,y=2,即图象过点(1,2),B错.故选A. 4．C 【解析】∵， ∴. 【备注】无 5． 【解析】， ∴，∴，

函数及其表示(导)学案 (3)

课题：1.2 函数及其表示 （习题课） 一、三维目标： 知识与技能：对函数()f x 记号的理解与运用，会根据条件求函数的解析式，理解函数的三 种表 示法及其简单应用，掌握函数的图像及其简单应用。 过程与方法：通过本节内容的学习，使学生加深对函数及其应用的理解、初步体会学习函数 的方法。 情感态度与价值观：激发学习兴趣，培养学生合作探究学习的能力。 二、学习重、难点： 重点：函数()f x 记号的理解与运用，会根据条件求函数的解析式，掌握函数的图像及 应用。 难点：函数的图像及其应用。 三、知识链接：1、函数的概念 ： 2、函数的三种表示方法： 四、学法指导：回顾前几节函数知识的内容，认真学习导学案中的例题，灵活运用函数知识 解 决问题，并注意方法规律总结。 五、学习过程： A1. 函数()f x 记号的理解与运用： 已知函数)(x f =4x+3，g(x)=x 2,求f[4] g[6].，f[g(x)]，g[f(x)]。 B2.解析式法及应用：例1求函数的解析式： (1)已知f (2x ＋1)＝x 2 ＋1，求f (x )； 解：(1)设t ＝2x ＋1，则x ＝t －12， ∴f (t )＝(t －12 )2 ＋1. 从而f (x )＝(x －12 )2 ＋1. (2)已知f (1x )＝x 1－x 2 ，求f (x )． 解法一：设t ＝1x ， 则x ＝1t (t ≠0)，代入f (1x )＝x 1－x 2 ， 得f (t )＝ 1 t 1－(1t ) 2 ＝ t t 2 －1， 故f (x )＝x x 2－1 (x ≠0)．

解法二：∵f (1x )＝x 1－x 2 ＝ 1 x (1x )2－1 ， ∴f (x )＝x x 2－1 (x ≠0)． (3)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )； 解：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋b ＋5a ＝2x ＋17， ∴a ＝2，b ＝7，∴f (x )＝2x ＋7. （4）已知)(x f 满足12()()3f x f x x +=，求)(x f . 解：2f (x )＋f (1 x )＝3x ①， 把①中的x 换成1x ，得2f (1x )＋f (x )＝3 x ②， ①×2－②得3f (x )＝6x －3x ，∴f (x )＝2x －1 x . 方法总结：第(1)题用代入法；第(2)题用配凑法；第(3)题已知一次函数，可用待定系数法；第(4)题用方程组法。 A3列表法及应用 月份t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 零售量y 81 84 45 46 9 5 6 15 94 161 144 123 B4 图象法及应用 【例3】 作出下列函数的图象：(1)y ＝1＋x (x ∈Z)； (2)y ＝x 2－2x (x ∈[0,3)) 【例4】汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是 ( ) 解析：因为汽车先启动、再加速、到匀速、最后减速，s 随t 的变化是先慢、再快、到匀速、最后慢，故A 图比较适合题意，故答案选A.

一次函数复习学案

二、填空题 1.下列函数关系式中4--=x y ,2x y = , x y π2= , x y 1= 是一次函数的有_______. 2.若函数 是一次函数，则m=_______; 3.如果一次函数y=kx+b 的图像经过第一象限，且与y 轴负半轴相交，那么 k_____0，b_____0；(填写“＞”、“=”、“＜”)； 4在一次函数y=(4-m)x+2m 中,如果y 的值随自变量x 值的增大而减小,那么这个一次函数图象一定不经过第________象限 5一次函数y=2x －2与x 轴交点坐标为_______，与y 轴的交点坐标为_______， 与坐标轴围 成的三角形的面积为_______； 6.写出一条经过第一、二、四象限，且过点（-1，3）的函数关系式______(写出一个即可) 7.如图,一次函数y=kx+b 的图象与x 轴的交点坐标为 （2，0),则下列说法：①y 随x 的增大而减小②b ＞0,③关于x kx+b=0的解为x=2，其中说法正确的有_______(填序号） 三、解答题 1、小东从A 地出发以某一速度向B 地走去，同时小明从B 图所示，图中的线段y 1、y 2分别表示小东、小明离B 地的距离（千米）与所用时间（小时）的 关系． （1）试用文字说明：交点P 所表示的实际意义． （2）试求出A 、B 两地之间的距离． 28(3)1m y m x -=-+

2、 （2012?聊城）如图，直线AB 与x 轴交于点A （1，0），与y 轴交于点B （0，-2）． （1）求直线AB 的解析式； （2）若直线AB 上的点C 在第一象限，且S △BOC =2，求点C 的坐标． 【当堂达标】 一、选择题 1.直线y=-3x 过点(0,0)和点（ ） A.(1,-3) B.(1,3) C.(-1,-3) D.(3,-1) 2.如果函数32)1(--=m x m y 为正比例函数,且图象通过第二?四象限,则m 的值为（ ） A.2 B.-2 C.2或-2 D.小于1的任意实数 3.一次函数的图象交x 轴为(2,0),交y 轴为(0,3),当函数值大于0时,x 的取值范围是（ ） A.x>2 B.x<2 C.x>3 D.x<3 4.已知一次函数y=kx-k,若y 随x 的增大而增大,则图象经过（ ） A.第一?二?三象限 B.第一?三?四象限 C.第一?二?四象限 D.第二?三?四象限 5. 若直线y=m 2 x+(m-1)与直线y=4x+1平行,则m=__________. A.1 B.2 C.-2 D.2或-2 6.(2012滨州中考)直线y=x-1不经过( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 7.(2012泉州中考）若y=kx-4的函数值y 随x 的增大而增大，则k 的值可能是下列的 A.-4 B.-2 1 C.0 D.3 8.油箱中存油20升，油从油箱中均匀流 出，流速为0．2升／分钟，则油箱中剩余 油量 Q （升）与流出时间t(分钟）的函数关系是（ ） A ．Q ＝0．2t ； B ．Q ＝20－2t ； C ．t=0．2Q ； D ．t=20—0．2Q 二、填空题 9.点A （1，m ）在函数y=2x 的图像上，则点A 关于y 轴的对称的点的坐标是____________。 10.当k__________时,直线y=-x-(k-1)与y 轴的交点在x 轴下方. 11.y 与(x-2)成正比例,且当x=3时,2 1=y ,则y 与x 之间的函数关系是_______ 12.已知一次函数y=kx+k-3的图象经过点（2，3），则k 的值为________. 13. 函数y ＝2x －3与x 轴的交点A 的坐标是__________，与y 轴的交点C 的坐标是_________， △AOC 的面积是 _______. . 14、已知一次函数y=kx-k+4的图象与y 轴的交点坐标是(0，-2)，那么这个一次函数的表达式是______________。 15、函数y=－2x ＋4的图象经过___________象限，它与两坐标轴围成的三角形面积为

初中数学一次函数学案

专题：一次函数 基础知识梳理 1、正比例函数 一般地，形如y = kx（k是常数，（k0））的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。 2、正比例函数图象和性质 一般地，正比例函数y = kx（k为常数，（k0））的图象是一条经过原点和（1，k）的一条直线，我们称它为直线y = kx。当k>0 时，直线y = kx经过第象限，从左 向右上升，即随着x的增大，；当k<0时，直线y = kx经过第象限， 从左向右下降，即随着x 的增大. 3、正比例函数解析式的确定 确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式y = kx（k0）中的常数k，其基本步骤是：（1）设出含有待定系数的函数解析式y = kx（k0）；（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k 的一元一次方程；（3）解方程，求出待定系数k；（4）将求得的待定系数的值代回解析式. 4、一次函数 一般地，形如y = kx+ b（k,b 是常数，k≠0），那么y 叫做x 的一次函数.当b=0 时，y =kx+b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 5、一次函数的图象 （1）一次函数y = kx+ b（k0）（的图象是经过（0，b）和（- b，0）两点的一条直 k 线，因此一次函数y = kx+ b的图象也称为直线y =kx+b. （2）一次函数y = kx+b的图象的画法. 根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可。一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b），（- b，0）.即横坐标或纵坐标为0的点. k

1.2 函数及其表示 教学设计 教案

教学准备 1. 教学目标 1、知识与技能： 函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依 赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想与意识． 2、过程与方法： （1）通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用； （2）了解构成函数的要素； （3）会求一些简单函数的定义域和值域； （4）能够正确使用“区间”的符号表示函数的定义域； 3、情感态度与价值观，使学生感受到学习函数的必要性和重要性，激发学习的积极性. 2. 教学重点/难点 重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数； 难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示； 3. 教学用具 多媒体 4. 标签 函数及其表示 教学过程 （一）创设情景，揭示课题 1、复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；

2、阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想： （1）炮弹的射高与时间的变化关系问题； （2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题； （3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题. 3、分析、归纳以上三个实例，它们有什么共同点； 4、引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系； 5、根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系． （二）研探新知 1、函数的有关概念 （1）函数的概念： 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B 为从集合A到集合B的一个函数（function）． 记作：y=f(x)，x∈A． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域（range）． 注意： ①“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”； ②函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x． （2）构成函数的三要素是什么？ 定义域、对应关系和值域 （3）区间的概念 ①区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；

《函数及其表示》教学设计

《函数及其表示》教案设计 函数是中学数学的核心内容，从常量数学到变量数学的转变。函数知识的学习对学生思维能力的发展具有重要意义。从中学数学知识的组织结构看，函数是代数的“纽带”，代数式、方程、不等式、数列、排列组合、极限和微积分等都与函数知识有直接的联系。函数这一部分内容一直是高中数学的重点内容和难点内容,有的高中学生直到高三复习时还是不能理解函数的概念,学好函数的概念是学好函数其它知识的前提,函数学不好,后续知识的学习也会受到影响.故而对于刚入学的高一学生是否能学好函数对其能否学好后面的知识起着至关重要的作用.那么函数的概念课如何上?下面我就《函数及其表示》教案设计与各位交流一下: 由于本节课是讲函数的概念,我们采用核心概念教案法进行教案设计和教案活动,首先我们了解一些概念，中学数学核心概念是指中学数学概念中主要的中心的部分．而教案设计是应用系统方法,分析研究教案的问题和需求，确定解决它们的教案策略、教案方法和教案步骤，并对教案结果作出评价的一种计划过程与操作程序． 核心概念教案设计框架：（）内容和内容解读；（）目标和目标解读；（）教案问题诊断分析；（）教案支持条件分析；（）教案过程设计；（）目标检测设计。 一、教案内容与内容解读 内容: 本节课是新课标《数学》（人教版）第一章《集合与函数概念》第二节函数及函数表示第一课时。本节课主要内容是函数概念，是利用对应 ．．的观

点运用集合语言来揭示两个非空数集之间的一种特殊的对应关系（即一对一、多对一的对应关系）,概念的内涵是：研究某一变化过程中两个变量间的依赖关系.外延是：和某一运动变化有关的两个变量之间的问题. <内涵外延定义> 在逻辑学的学术范围内，概念的逻辑结构分为“内涵”与“外延”。内涵是指一个概念所概括的思维对象本质特有的属性的总和。 外延是指一个概念所概括的思维对象的数量或范围。 内容解读: 函数是高中数学的一个核心概念，它是贯穿整个数学课程的一个基本脉络. 在本节课之前，学生已经学习了集合的有关知识，并且在初中，已经学习了函数概念．本节课就是在这个基础上进行的，是对函数概念的高度抽象、概括和深化，函数知识是学好数学后继知识的基础和工具．同时，函数概念的教案是对学生抽象概括、分析总结等基本数学思维能力培养的重要题材，对培养学生数学表达能力、分析问题和解决问题能力有重要作用.教材在编写顺序上，先学习函数后学习映射，揭示出映射与函数的内在联系，即：映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射.符合学生由特殊到一般的认知规律. 在函数教案前,对教师也有一定的要求,作为教师，我们应该知道函数概念形成的过程. 第一个阶段,函数概念是由具体的现实或科学问题中简单抽象出来的，从最初人们注意到一个变量对另一个变量的依赖关系， 到年约翰·贝努利对函数概念进行了明确定义“由任一变量和常数的任一形式所构成的量”，强调了函数要用公式来表示，

一次函数导学案草案

19．1．1 变量和常量 学习目标： 1.能举出一些变化的实例，指出什么随着什么的变化而变化，初步感受事物的变化性和事物变化的依存性. 2.经历由简单实际问题列解析式的过程，感受量与量之间的对立关系，知道什么是变量什么是常量. 学习重点和难点： 1.重点：变量的意义. 2.难点：列解析式. 阅读感知： 阅读P70—71回答下列问题： 1.仔细阅读70页彩页说明“函数”的意义与作用：_____________________________ _______________________________________________________________________ 2.完成P71页的中思考的四个问题,根据题目要求与提示列出式子. (1)__________________ _________________________________________________ (2) __________________ _________________________________________________ (3) __________________ ________________________________________________ (4) __________________ ________________________________________________ 3.分析说明“变量”与“常量”____________________________________________ _______________________________________________________________________ 4.完成P97“思考”。 研习单 交流探究: 1.在小组内交流:你所知道的变量和常量,并举出和书上不一样的例子. 2.思考行程问题中路程.速度和时间三者的关系: （1）当速度v保持不变时，行走的路程s的长短是随时间t的变化而变化，那么，（）是常量，而（）和（）是变量； （2）当路程s是个定值时，行走的时间t是随速度v的变化而变化的，那么，（）是常量，而（）和（）是变量。 注：变量和常量往往是相对的，相对于某一变化过程。比如s、v、t三者之间，在不同的研究过程中，作为变量与常量的“身份”是可以相互转换的。 运用展示: 一.1．关于l=2πr，下列说法正确的是（） A．2为常量，π，l，r为变量 B．2π为常量，l，r为变量 C．2，l为常量，π，r为变量 D．2，r为常量，π，l为变量 2．摄氏温度C与华氏温度F之间的对应关系为 5 (F-32) 9 C= ℃，则其中的变量是（），常量 是（）。 3．在△ABC中，它的底边是a，底边上的高是h，则三角形的面积 ah S 2 1 = ，当底边a的长一定 时，在关系式中的常量是（），变量是（）。 4．设圆柱的底面半径R不变，圆柱的体积V与圆柱的高h的关系式是：（），其中（）是常量，（）是变量。 5．齿轮每分钟120转，如果n表示转数，t表示转动时间，那么用n表示t的关系是：（），

§3.2 一次函数的图像导学案

八年级数学（上）导学案 班级 姓名 学号 §4.3.2 一次函数的图像(2) 一、教学目标是： 1.了解一次函数两个变量之间的变化规律.在认识一次函数图象的基础上，掌握一次函数图象及其简单性质； 2.经历对一次函数图象变化规律的探究过程，学会解决一次函数问题的一些基本方法和策略； 二、教学过程 一、第一环节：问题引入： 1、作正比例函数图象的一般步骤有: 、 、 。 2、回顾正比例函数图象的性质？ 3、作一次函数图象的一般步骤有: 。 1、请作出一次函数12+=x y 的图象． 解： 第二环节： 活动探究 1、合作探究，发现规律 在同一直角坐标系内分别画出y=2x+3, y=-x,y=-x+3和y=5x-2的图象． . ； 得出结论：一次函数图像是 .因此作一次函数图像时，只要确定 点，再过这 点作直线就可以了.一次函数y kx b =+的图像也称为直线y kx b =+. 议一议： 1、上述四个函数中，随着x 值的增大，y 的值分别如何变化？相应图象上点的变化趋势如何？ 2、直线y=-x 与y=-x+3的位置关系如何？你能通过适当的移动将直线y=-x 变为直线y=-x+3 吗？一般地，直线y=kx+b 与y=kx 又有什么关系？ 3、直线y=2x+3与y=-x+3有什么共同点？一般地，你能从函数y=kx ＋b 的图象上直接看出b 的值吗？ 4、如何确定直线y=kx ＋b 所经过的象限？ 归纳出一次函数图象的特点： 在一次函数y kx b =+中 当0k >时，y 随x 的增大而 ，当b >0时，直线必过 象限； 当b <0时，直线必过 象限； 当0k <时，y 随x 的增大而 ，当b >0时，直线必过 象限； 当b <0时，直线必过 象限. x … … y … …

函数及其表示学案

函数及其表示 （一）知识梳理 1．函数的概念 (1)函数的定义： 设B A 、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的 x ，在集合B 中都有 的数和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为__________ (2)函数的定义域、值域 在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量， 叫做)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值， {} A x x f ∈)(称为函数)(x f y =的值域。 (3)函数的三要素： 、 和 (4)区间的概念 . 2．函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法 3．分段函数 在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。 （二）考点分析 考点1：函数的定义 例1.集合}20|{},40|{≤≤=≤≤=y y B x x A ，下列不表示从A 到B 的函数的是（ ） （A ）x y x f 21:= → （B ）x y x f 31:=→（C ）x y x f 3 2 :=→ （D ）x y x f =→: 考点2：判断两函数是否为同一个函数 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，称这两个函数相等。 例1． 试判断以下各组函数是否表示同一函数？ （1）2 )(x x f = ，33)(x x g =； （2）x x x f = )(，?? ?<-≥=; 01 , 01)(x x x g （3），； （4）12)(2 --=x x x f ，12)(2 --=t t t g 考点3：求函数的定义域 题型1：求有解析式的函数的定义域 （1）方法总结：如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的x 的取值范围，实际操作时要注意：① 分母不能为0；② 根式中被开方数应为非负数；③ 零指数幂中，底数不等于0； ④若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；⑤ 如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写。 例1.函数()21 43 f x x x = -+ -的定义域为（ ） A ．[)(]22+∞-∞- ，， B ．[)()2,33+∞ ， C ．(][)()22,33-∞-+∞ ，， D ．(]2-∞-， 例2、函数x x x x f -+= 0)1()(的定义域是（ ） A.{}0|x x C. {}10|-≠

一次函数复习导学案

一次函数复习导学案 景芝镇浯河中学 李晓红 【预习检测】 ? 自主复习课本完成下列问题： ? 1、一次函数的概念：函数y=_______(k 、b 为常数，k______)叫做一次函数。当b_____时，函数y=____(k____)叫做正比例函数。 （ ） 决定一次函数图象与坐标轴交点的位置；（ ）决定直线的倾斜方向。 3、怎样画一次函数y=kx+b 的图象？ （ ）法 、 （ ）法 画出y=x+1的图像，并把它向下平移一个单位。 4、已知一次函数y = k x+b ，当x=2时, y=－１， 当x=０时, y=３， 求这个一次函数的解析式. 5.分别在同一直角坐标系中画出下面六个个一次函数的图象，比较下列各对一次函数的图象有什么共同点，有什么不同点． （1）y ＝3x 与y ＝3x ＋2； （2）y ＝- x 21与y ＝-x 2 1 ＋2； （3）y ＝3x ＋2 与 y ＝-x 2 1 ＋2． 能否从中发现一些规律？对于直线y ＝kx ＋b (k 、b 是常数，k ≠0)，常数k 和b 的取值对于直线的位置各有什么影响? 我们可以发现，两个一次函数，当k 一样，b 不一样时（如y ＝3x 与y =3x ＋2）， 共同点： ； 不同点： . 【学习目标】 1. 熟练掌握一次函数的概念，并会正确判断是否是一次函数。 2. 熟练画出一次函数的图像，并学会利用图像解决实际问题。 3. 理解一次函数的性质，并熟练应用解决相关问题。 4. 加强数形结合思想的渗透和方程思想的应用。 【学习过程】 一、知识点的梳理： 知识点1：一次函数概念 一次函数的概念：函数y=_______(k 、b 为常数，k______)叫做一次函数。当b_____时，函数y=____(k____)叫做正比例函数。 思考：y=k x n +b 为一次函数的条件是什么? 1、指数n=（ ） 2、系数 k （ ） 例1、若函数 是一次函数，则m=___ 。 有效训练1 1、下列函数中，不是一次函数的是 （ ） 2、若函数 是正比例函数,则n=( ) 知识点2 一次函数的性质与图像 例1.已知一次函数y=kx+b,y 随着x 的增大而减小,且kb<0,则在直角坐标系内它的大致图象是( ) (A) (B) （C ） （D ） 123-=+m x y 10..1..2(1)6x A y B y x C y D y x x ==-==-() 13-+-=n x y

§122函数的表示法

1.2.2函数的表示法 教学目的：（1）明确函数的三种表示方法； （2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数； （3）通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用； （4）纠正认为“y=f(x)”就是函数的解析式的片面错误认识． 教学重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念． 教学难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？分段函数的表示及其图象．教学过程： 一、引入课题 1.复习：函数的概念； 2.常用的函数表示法及各自的优点： （1）解析法；（2）图象法；（3）列表法． 二、新课教学 （一）典型例题 例1．某种笔记本的单价是5元，买x (x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元．试用三种表示法表示函数y=f(x) ． 分析：注意本例的设问，此处“y=f(x)”有三种含义，它可以是解析表达式，可以是图象，也可以是对应值表． 解：（略） 注意： ○1函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据； ○2解析法：必须注明函数的定义域； ○3图象法：是否连线； ○4列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征． 巩固练习：课本P27练习第1题 例2．下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级及班级平均分表： 第一次第二次第三次第四次第五次第六次 王伟98 87 91 92 88 95 张城90 76 88 75 86 80 赵磊68 65 73 72 75 82 班平均分88．2 78．3 85．4 80．3 75．7 82．6 请你对这三们同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析． 分析：本例应引导学生分析题目要求，做学情分析，具体要分析什么？怎么分析？借助什么工具？ 解：（略） 注意： ○1本例为了研究学生的学习情况，将离散的点用虚线连接，这样更便于研究成绩的变化特点； ○2本例能否用解析法？为什么？ 巩固练习： 课本P27练习第2题 例3．画出函数y = | x | ． 解：（略） 巩固练习：课本P27练习第3题 拓展练习：任意画一个函数y=f(x)的图象，然后作出y=|f(x)| 和y=f (|x|) 的图象，并尝试简要说明三者（图象）之间的关系． 课本P27练习第3题 例4．某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定： （1）乘坐汽车5公里以内，票价2元； （2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按5公里计算）． 已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里，如果沿途（包括起点站和终点站）设20个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象． 分析：本例是一个实际问题，有具体的实际意义．根据实际情况公共汽车到站才能停车，所以行车里

(全面突破)高考数学最新一轮复习 必考题型巩固提升 2.1函数及其表示学案

2.1函数及其表示 考情分析 1．主要考查函数的定义域、值域、解析式的求法． 2．考查分段函数的简单应用． 3．由于函数的基础性强，渗透面广，所以会与其他知识结合考查．基础知识 1．函数的基本概念 1.符号:f A B →表示集合A到集合B的一个映射，它有以下特点： (1)对应法则有方向性, :f A B →与:f B A →不同; (2)集合A中任何一个元素,在 f下在集合B中都有唯一的元素与对应; (3)象不一定有原象,象集C与B间关系是C B ?. 2.函数是特殊的映射,它特殊在要求集合A和B都是非空数集. 函数三要素是指定义域、值域、对应法则. 同一函数必须满足:定义域相同、对应法则相同. 3.分段函数是指函数由n个不同部分组成,但是一个函数. 4.函数解析式求法: (1)已知函数类型,可设参,用待定系数法；（2）已知复合函数 [(()] f g x的表达式，求() f x可 用换元法；（3）配凑法与方程组法. 注意事项 1.求复合函数y＝f(t)，t＝q(x)的定义域的方法： ①若y＝f(t)的定义域为(a，b)，则解不等式得a＜q(x)＜b即可求出y＝f(q(x))的定义域； ②若y＝f(g(x))的定义域为(a，b)，则求出g(x)的值域即为f(t)的定义域． 2.。(1)解决函数问题，必须优先考虑函数的定义域． (2)用换元法解题时，应注意换元前后的等价性． 3.。函数的三要素是：定义域、值域和对应关系．值域是由函数的定义域和对应关系所确定的．两个函数的定义域和对应关系完全一致时，则认为两个函数相等．函数是特殊的映射，映射f：A→B的三要素是两个集合A、B和对应关系f. 典型例题 题型一求函数的定义域 【例1】?求下列函数的定义域： (1)f(x)＝|x－2|－1 log2x－1 ；

【学案】一次函数的性质

一次函数的性质 【学习目标】 1.总结归纳出一次函数的性质——k ＞0或k ＜0的图像变化的情况. 2.在特殊与一般的比较中理解正比例（一次）函数的概念、图像、及性质. 【重点】 确定一次函数图像的位置. 【难点】 掌握一次函数的性质. 【自学指导】 1.在同一个直角坐标系中，把直线x y 2-=经过_____象限，向_______平移_____ 个单位就得到32+-=x y 的图像；若向_______平移_____个单位就得到 52--=x y 的图像. 2.直线y =－x 经过_______象限. 3.直线3 21+=x y 经过_______象限. 阅读课本P 92-94完成下列填空： 函数y =－2x+4 x 轴的交点坐标是（ ）；与y 轴的交点坐标是（ ） 在x 轴的（ ）；函数y =2x-4 x 轴的交点坐标是（ ）；与y 轴的交点 坐标是（ ）在x 轴的（ ）；函数y =－2x-4 x 轴的交点坐标是（ ）； 与y 轴的交点坐标是（ ）在x 轴 的（ ）；函数y =2x+4 x 轴的交 点坐标是（ ）；与y 轴的交点坐标是（ ）在x 轴的（ ）. 1题） 1题）

比较上面两个图像，填写你发现的规律： 函数y =－2x+4的图像经过第_______象限，从左到右_______，即y 随x 的增大 而________； 函数y =－2x-4的图像经过第_______象限，从左到右_______，即y 随x 的增大 而________； 函数y =2x+4的图像经过第_______象限，从左到右_______，即y 随x 的增大而 ________； 函数y =2x-4的图像经过第_______象限，从左到右_______，即y 随x 的增大而 ________. 总结：函数y=kx+b 图像与k 、b 的关系， 当k ＞0,b ＞0时，图像经过第（ ）象限； 当k ＞0,b =0时，图像经过第（ ）象限； 当k ＞0,b ＜0时，图像经过第（ ）象限； 当k ＜0,b ＞0时，图像经过第（ ）象限； 当k ＜0,b =0时，图像经过第（ ）象限； 当k ＜0,b ＜0时，图像经过第（ ）象限. 【课堂练习】 1.一次函数的性质： （1）当0>k 时，y 随x 的增大而_______，这时函数的图像从左到右_______； （2）当0