清华自招数学试题
A 0.90
B 0.95
C 0.95
D 0.94
E 0.94 2006清华大学自主招生数学试题 考试时间：2005.11.28
1．求最小正整数n ，使得n i I )3
212
1(+
=为纯虚数，并求出I ．
2．已知b a 、为非负数，44,1M a b a b =++=，求M 的最值．
3．已知sin sin cos θαθ、、为等差数列，sin sin cos θβθ、、为等比数列，求1
cos 2cos 22
αβ-
的值． 4．求由正整数组成的集合S ，使S 中的元素之和等于元素之积．
5．随机取多少个整数，才能有0.9以上的概率使得这些数中至少有一个偶数． 6．
2x y =上一点P (非原点)，在P 处引切线交x y 、轴于Q R 、，求
PQ PR
．
7．已知)(x f 满足：对实数b a 、有)()()(a bf b af b a f +=?，且1)(≤x f ，求证:)(x f 恒为零． (可用以下结论：若M x f x g x ≤=∞
→)(,0)(lim ，M 为一常数，那么0))()((lim =?∞
→x g x f x )
8. 在所有定周长的空间四边形ABCD 中，求对角线AC 和BD 的最大值，并证明。
2007
届清华大学保送生暨自主招生北京冬令营
数学笔试试题（2006年12月30日）
1.求()x
e f x x
=的单调区间及极值.
2.设正三角形1T 边长为a ，1n T +是n T 的中点三角形，n A 为n T 除去1n T +后剩下三个三角形内切圆面积之和.求
1
lim n
k n k A →∞
=∑.
3.已知某音响设备由五个部件组成，A 电视机，B 影碟机，C 线路，D 左声道和E 右声道，其中每个部件工作的概率如下图所示.能听到声音，当且仅当A 与B 中有一工作，C 工作，D 与E 中有一工作；且若D 和E 同时工作则有立体声效果.
求：（1）
能听到立体声效果的概率；
（2）听不到声音的概率. 4.(1)求三直线60x y +=，1
2
y x =
，0y =所围成三角形上的整点个数；
(2)求方程组21260
y x y x x y
>??+=??的整数解个数.
5.已知(1,1)A --，△ABC 是正三角形，且B 、C 在双曲线1(0)xy x =>一支上. (1)求证B 、C 关于直线y x =对称； (2)求△ABC 的周长.
6.对于集合2
M R ?，称M 为开集，当且仅当0
P M ?∈，0r ?>，使得20{}P R PP r M ∈与{(,)0,0}x y x y ≥>是否为开集，并证明你的结论.
2008届清华大学保送生暨自主招生北京冬令营
数学笔试试题
1. 已知,,a b c 都是有理数，a b c ++也是有理数，证明：,,a b c 都是有理数；
2. （1）一个四面体，证明：至少存在一个顶点，从其出发的三条棱组成一个三角形； （2）四面体一个顶点处的三个角分别是
,
,arctan 223ππ
，求
3
π
的面和arctan 2的面所成的二面角； 3. 求正整数区间[],()m n m n <中，不能被3整除的整数之和； 4. 已知sin cos 1sin 2ααα+=+，求α的取值范围； 5. 若2
lim ()(0)1,(2)()x f x f f x f x x →==-=，求()f x ；
6. 证明：以原点为中心的面积大于4的矩形中，至少还有两个格点。
2008年清华大学自主招生数学试题
1.已知1sin 2sin cos θθθ+=+，求θ的取值范围
2.已知单位圆上三点(,)a b ,(,)c d ,(,)x y ,求2222()()()()ax by c bx ay d cx dy a dx cy b +-+-+++++--
3. 已知,,a b c ,a b c ++都是有理数，证明：,,a b c 都是有理数；
4. 2
2
2
()(434)(??)(??)f x x ax a x x x x =++-++++与x 轴至少有一个交点，求a 的取值范围
5. 求证：（1）
11k k k k -<+（k 为正数） （2）3521
(212422)
n n n n -<<-- 6. 整数,()m n m n <，求[],m n 间可表示为3
N
（N 为不含因子3的整数）的数之和
7. 抽奇偶数n 次，求使之以α为概率（01α<<）既抽到奇数又抽到偶数， n 至少为多少？
8. 曲线 2:51C y x x =-+-，过原点O 与C 相切于()P P I ∈的切线y kx =， （1）求k ， 点P 的坐标； （2）,PQ PO Q ⊥在C 上，求Q ； （3）求是否存在R （R 在C 上），使POQ PQR S S ??= 9. 四面体
P ABC -
（1）求证：至少存在一个顶点，使相交于该顶点的三条棱可组成三角形；
（2）,26
APC APB ππ
∠=
∠=，,2arctan BPC ββ∠==，求二面角A PB C -- 10. 2
30,345a x y x x
>=+≥恒成立，求a 的取值范围
11. ()f x 满足2
lim ()(0)1,(2)()x f x f f x f x x →==-=，求()f x ；
12. 坐标中整数点称为格子点，证：以O 为中心，面积大于4的矩形必包含至少2个格子点。
2009年清华大学自主招生数学试题（理科）
1. 设
51
51
+-的整数部分为a ，小数部分为b ()1求,a b ； ()2求222
ab a b ++
； ()3求()2
lim n n b b b →∞++
2．()1,x y 为实数，且1x y +=，求证：对于任意正整数n ，2221
12
n n
n x y -+≥
()2,,a b c 为正实数，求证：
3a b c
x y z
++≥，其中,,x y z 为,,a b c 的一种排列 3．请写出所有三个数均为质数，且公差为8的等差数列，并证明你的结论
4．已知椭圆22
221x y a b
+=，过椭圆左顶点(),0A a -的直线L 与椭圆交于Q ，与y 轴交于R ，过原点与L 平行的
直线与椭圆交于P 。 求证：AQ ，2OP ，AR 成等比数列 5．已知sin cos 1t t +=，设cos sin s t i t =+，求2()1n f s s s s =+++
6．随机挑选一个三位数I
()1求I 含有因子5的概率；()2求I 中恰有两个数码相等的概率
7．四面体ABCD 中，AB CD =，AC BD =，AD BC =
()1求证：四面体每个面的三角形为锐角三角形；
()2设三个面与底面BCD 所成的角分别为,,αβγ，求证：cos cos cos 1αβγ++=
8．证明当,p q 均为奇数时，曲线2
22y x px q =-+与x 轴的交点横坐标为无理数
9．设1221,,,n a a a +均为正整数，性质P 为： 对1221,,,n a a a +中任意2n 个数，存在一种分法可将其分
为两组，每组n 个数，使得两组所有元素的和相等 求证：1221,,
,n a a a +全部相等当且仅当1221,,,n a a a +具有性质P
2009届清华大学保送生暨自主招生北京冬令营
数学笔试试题（2009年1月1日）
1.09理3
2.证明：一个2n+1项的整数数列，它们全部相等的充分必要条件是满足条件p ，条件p 为任意取出2n 个数，都存在一种划分方法，使得两堆数每堆含有n 个数，并且这两堆数的和相等。
3.同09理7
4.同09理2
5.同09理6
6.同09理4 7、同09理5 8、同09理1
2009届清华大学保送生暨自主招生北京冬令营
理科综合（数学部分）
1.求26i i 5
5
22e e ππ++
2.请写出一个含有根233+的整系数多项式()f x 。
3.有数条抛物线（线和线的内部）能够覆盖整个平面吗？证明你的结论。
4.现有一数字游戏：有1到100的数，2个人轮流写。设已经写下的数为12,,...,n a a a ，则形如1n
i i i x a =∑
（i x 为非负整数）的数不能够被写。（如若3，5已被写，则8=3+5不能再写，13=3+5*2，9=3*3+5*0也不能再被写）现在甲和乙玩这个游戏，已知5，6已经被写，现在轮到甲写。问：谁有必胜策略？ 5.一场跑马比赛最多只能有8匹马参加，假设同一匹马参加每一场比赛的表现都是一样的。问：是否有不多于50场比赛，完全将64匹马的实力顺序排序？
6.现有100个集装箱，每个集装箱装2个物品。现在将集装箱的物品全部拆卸，并且所有物品被打乱顺序。问：最坏情况下，需要多少个集装箱再次把所有物品装好？
7.现有一游戏：图上有若干个点和若干条线，甲提供若干个硬币，乙可以任意将这些硬币全部摆放在点上，并且指定一个目标定点u 。现定义操作：甲从一个至少有两个硬币的点v 取走2个硬币，在它一个相邻的点w 上放回一个硬币。在指定的图下，甲最少提供多少个硬币，可以保证经过若干次操作，一定能使目标顶点u 至少有一枚硬币？（1）图是一个包含5个点的线段；（2）图是一个包含7个点的圈。
2009年清华大学自主招生数学试题（文科）
1．已知数列{}n a ，且()1n S na n n =+-
()1求证：{}n a 是等差数列；()2求,
n
n S a n
??
??
?
所在的直线方程 2．12名职员（其中3名为男性）被平均分配到3个部门
()1求此3名男性被分别分到不同部门的概率； ()2求此3名男性被分到同一部门的概率；
()3若有一男性被分到指定部门，求其他2人被分到其他不同部门的概率
3．一元三次函数()f x 的三次项数为
3
a
，'()90f x x -<的解集为()1,2 ()1若'()70f x a +=仅有一解，求'()f x 的解析式； ()2若()f x 在
上单调增，求a 的范围
4．已知22PM PN -=，()2,0M -，()2,0N ， （1）求点P 的轨迹W ；
（2）直线()2y k x =-与W 交于点A 、B ，求S OAB （O 为原点） 5．设()12n
x x x a n n
++
=
∈
()()()()()()12231n n n S x a x a x a x a x a x a -=--+--+
+--
()1求证：30S ≤
()2求4S 的最值，并给出此时1x ，2x ，3x ，4x 满足的条件 ()3若50S <，求1x ，2x ，3x ，4x ，5x 不符合时的条件
2010年五校合作自主选拔通用基础测试数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分） 1．设复数2
(
)1a i w i
+=+，其中a 为实数，若w 的实部为2，则w 的虚部为（ ）
（A ）32-
（B ）12- （C ）12 （D ）32
2．设向量,a b ，满足||||1,==?=a b a b m ，则||+a tb ()t R ∈的最小值为（ ） （A ）2 （B ）21m + （C ）1 （D ）21m -
3．如果平面,αβ，直线,m n ，点,A B ，满足：//,,,,m n A B αβαβαβ??∈∈，且AB 与α所成的角为
,4m AB π
⊥，n 与AB 所成的角为
3
π
，那么m 与n 所成的角大小为（ ）
（A ）3π （B ）4π （C ）6π （D ）8
π
4．在四棱锥V ABCD -中，11,B D 分别为侧棱,VB VD 的中点，则四面体11AB CD 的体积与四棱锥V ABCD -的体积之比为（ ）
（A ）1:6 （B ）1:5 （C ）1:4 （D ）1:3 5．在ABC ?中，三边长,,a b c ，满足3a c b +=，则tan tan 22
A C
的值为（ ） （A ）
15 （B ）14 （C ）12 （D ）2
3
6．如图，ABC ?的两条高线,AD BE 交于H ，其外接圆圆心为O ，过O 作OF 垂直BC 于F ，OH 与AF 相交于G ，则OFG ?与GAH ?面积之比为（ ）
（A ）1:4 （B ）1:3 （C ）2:5 （D ）1:2
7．设()e (0)ax f x a =>．过点(,0)P a 且平行于y 轴的直线与曲线:()C y f x =的交点为Q ，曲线C 过点Q 的切线交x 轴于点R ，则PQR ?的面积的最小值是（ ）
（A ）1 （B ）2e
2
（C ）e 2 （D ）2e 4
8．设双曲线2212:(2,0)4x y C k a k a -=>>，椭圆22
22:14
x y C a +=．若2C 的短轴长与1C 的实轴长的比值等于2
C 的离心率，则1C 在2C 的一条准线上截得线段的长为（ ） （A ）22k + （B ）2 （C ）44k + （
D ）4
9．欲将正六边形的各边和各条对角线都染为n 种颜色之一，使得以正六边形的任何3个顶点作为顶点的三角形
有3种不同颜色的边，并且不同的三角形使用不同的3色组合，则n 的最小值为（ ） （A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）9
10．设定点A B C D 、、、是以O 点为中心的正四面体的顶点，用σ表示空间以直线OA 为轴满足条件()B C σ=的旋转，用τ表示空间关于OCD 所在平面的镜面反射，设l 为过AB 中点与CD 中点的直线，用ω表示空间以l 为轴的180°旋转．设στ表示变换的复合，先作τ，再作σ。则ω可以表示为（ ）
（A ）στστσ （B ）στστστ （C ）τστστ （D ）στσστσ
二、解答题 11．（本题满分14分）
在ABC ?中，已知2
2sin
cos 212
A B
C ++=，外接圆半径2R =． （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求ABC ?面积的最大值．
12．（本题满分14分）
设A B C D 、、、为抛物线24x y =上不同的四点，,A D 关于该抛物线的对称轴对称，BC 平行于该抛物线在点D 处的切线l ．设D 到直线AB ，直线AC 的距离分别为12,d d ，已知122d d AD +=．
（Ⅰ）判断ABC ?是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中的哪一种三角形，并说明理由；
（Ⅱ）若ABC ?的面积为240，求点A 的坐标及直线BC 的方程． 13．（本题满分14分） （Ⅰ）正四棱锥的体积2
3
V =
，求正四棱锥的表面积的最小值； （Ⅱ）一般地，设正n 棱锥的体积V 为定值，试给出不依赖于n 的一个充分必要条件，使得正n 棱锥的表面积取得最小值． 14．（本题满分
14
分）假定亲本总体中三种基因型式：,,AA Aa aa 的比例为
:2:u v w (0,0,0,21)u v w u v w >>>++=且数量充分多，参与交配的亲本是该总体中随机的两个． （Ⅰ）求
子一代中，三种基因型式的比例；
（Ⅱ）子二代的三种基因型式的比例与子一代的三种基因型式的比例相同吗？并说明理由． 15．（本题满分14分）
设函数()1x m f x x +=
+，且存在函数()1(,0)2s t at b t a ?==+>≠，满足2121
()t s f t s
-+=．
（Ⅰ）证明：存在函数()(0),t s cs d s ψ==+>满足2121
()s t f s t +-=； （Ⅱ）设113,(),1,2,.n n x x f x n +===证明：11
23
n n x --≤．
2011年清华等五校联考（华约）自主招生数学试卷
一、选择题
(1) 设复数z 满足|z|<1且15||2z z +
=则|z| = ( ) 4321A B C D 5432
(2) 在正四棱锥P-ABCD 中，M 、N 分别为PA 、PB 的中点，且侧面与底面所成二面角的正切为2。则
异面直线DM 与AN 所成角的余弦为( ) 1
111A B C D 36812
(3)过点(-1, 1)的直线l 与曲线相切，且(-1, 1)不是切点，则直线l 的斜率为 ( )
A 2B1C 1D 2 - -
此题有误，原题丢了，待重新找找。
(4)若222cos cos 3
A B A B π
+=
+，则的最小值和最大值分别为 ( ) 33133312
A1,B ,C1,1D ,122222222
-
-+ +
(6) 已知异面直线a ，b 成60°角。A 为空间一点则过A 与a ，b 都成45°角的平面 ( ) A 有且只有一个 B 有且只有两个 C 有且只有三个 D 有且只有四个 (7) 已知向量3131
(0,1),(,),(,),(1,1)2222a b c xa yb zc ==-
-=-++=则222x y z ++ 的最小值为( ) 4
3A1
B C D 23
2
(8)AB 为过抛物线y 2 = 4x 焦点F 的弦，O 为坐标原点，且135OFA ∠=，C 为抛物线准线与x 轴的交点，则ACB ∠的正切值为 ( ) 424222
A 22
B
C
D 533
(10) 将一个正11边形用对角线划分为9个三角形，这些对角线在正11边形内两两不相交，则（ ）
A 存在某种分法，所分出的三角形都不是锐角三角形
B 存在某种分法，所分出的三角形恰有两个锐角三角形
C 存在某种分法，所分出的三角形至少有3个锐角三角形
D 任何一种分法所分出的三角形都恰有1个锐角三角形 参考答案：42?22，42144
二、解答题
6
cos
124
A C -=， （12）已知圆柱形水杯质量为a 克，其重心在圆柱轴的中点处（杯底厚度及重量忽略不计，且水杯直立放置）。质量为b 克的水恰好装满水杯，装满水后的水杯的重心还有圆柱轴的中点处。 （I ）若b = 3a ，求装入半杯水的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值； （II ）水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯的重心最低？为什么？
(1)112
3
7242320
+=+ (2)2x a ab a =+- （13）已知函数21()(1)1()2x f x f f ax b =
==+2，，3。令111
()2
n n x x f x +==，。 (I)求数列{}n x 的通项公式；12(1)1()1()21
x
f f a b f x x =====+2，得，3
(II)证明1211
2n x x x e
+>。
（14）已知双曲线22
1222:1(0,0),,x y C a b F F a b
-=>>分别为C 的左右焦点。P 为C 右支上一点，且使
21212=
,333
F PF F PF a π
∠?又的面积为。
（I ）求C 的离心率e ；3c
e a
=
= (II)设A 为C 的左顶点，Q 为
第一象限内C 上的任意一点，问是否存在常数λ（λ>0）,使得22QF A QAF λ∠=∠恒成立。若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由。
（15）将一枚均匀的硬币连续抛掷n 次，以p n 表示未出现连续3次正面的概率。 （I ）求p 1，p 2，p 3，p 4； (II)探究数列{ p n }的递推公式，并给出证明； (III)讨论数列{ p n }的单调性及其极限，并阐述该极限的概率意义。
F
E P
F 1
2a P 2c
F 2
x
2012年华约自主招生数学试题
1、若C ∈ω,
ωω+-11的实数部为0，求复数ω
+11
在复平面内对应的点的轨迹。 2、点P 在y 轴上的投影为H ，若2
2),0,2(),0,2(PH BP AP B A =?-，
（1）求点P 的轨迹；（2）过B 的直线在x 轴下方交P 点轨迹于D C ,两点，求CD 中点 与)2,0(-Q 连成直线的斜率的取值范围。
3、已知锐角ABC ?，AC BE ⊥于E ，AB CD ⊥于D ，15,7,25===BD CE BC ，
H CD BE = ，连接DE ，以DE 为直径画圆，该圆与AC 交于另一点F ，求AF 的
长度。
4、系统内12-k 有个元件，每个元件正常工作的概率为p ，若有超过一半的元件正常工作， 则系统正常工作，求系统正常工作的概率K P ，并讨论K P 的单调性。
5、乒乓球队有n 个队员，在一次双打集训中，任意两名队员作为队友，恰好只搭档过一次
双打比赛，求n 的所有可能值并每个给一种比赛方案。
6、已知)(!
!21)(2*∈++++=N n n x x x x f n
n ，求证：当n 为偶数时，0)(=x f n 无解；当n 为奇数时，0)(=x f n 有唯一解且n n x x <+2
X 年自主招生华约数学试题
1.设*
n N ∈，15n ≥. 集合A 、B 都是{}1,2,,I n =???的真子集，A
B =?，A B I =.证明：集合A 或B
中，必有两个不同的数，它们的和为完全平方数.
2.设()2
(0)f x ax bx x a =++>，方程()f x x =的两个根是1x 和2x ，且10x >，211
x x a
->
，又10t x <<.试比较()f t 与1x 的大小.
3.求函数(){}
2
max 1,5f x x x =+-的最小值，并求出相应的x 的值.
4.已知()f x 是定义在R 上的不恒为0的函数，且对于任意的,a b R ∈，有()()()f ab af b bf a =+. （1）求()0f ，()1f 的值；
（2）判定函数()f x 的奇偶性，并证明你的结论；
（3）若()22f =，()2n n f u n
-=
()*
n N ∈，求数列{}n u 的前n 项和n
S
.
5.已知关于x 的方程()(
)2
2
2
11ax a x
+=-，1a >. 证明方程的正根比1小，负根比1-大.
6.设a ，b 是两个正数，且a b <. 当[],x a b ∈时，246y x x =-+的最小值为a ，最大值为b ，求a ，b 值. 8.某生产队想筑一面积为1442
m 的长方形围栏，围栏一边靠墙. 现有铁丝网50m ，筑成这样的围栏最少要多少铁丝网？已有的墙最多利用多长？最少利用多长？
9.在正方形ABCD 中，过一个顶点D 作对角线CA 的平行线DE ，若CE CA =，且CE 交边DA 于点F . 求证：AE AF =.
10. 设ABC ?的重心为G ，外心为O ，外接圆半径为r ，OG d =，BC a =，CA b =，AB c =. 求证：
222229a b c r d ++=-
11.设圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段弧，其弧长比为3:1，在满足上述条件的圆中，求圆心到直线:20l x y -=的距离最小的圆的方程. 12.以A 为圆心，以2cos (0)2
π
θθ<<
为半径的圆外有一点B . 已知2sin AB θ=，设过B 且与圆A 外切于点
C 的圆的圆心为M .
（1）当θ取某个值时，说明点M 的轨迹P 是什么曲线？
（2）点M 是轨迹P 上的动点，点N 是圆A 上的动点，记MN 的最小值为()f θ.求()f θ的取值范围.
13.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点*(,)()n
S n n N n
∈均在函数32y x =-的图像上. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1
3n n n b a a +=
?，n T 数列{}n b 的前n 项和，求最小正整数m ，使得20n m T <对所有*
n N ∈都成立.
14.已知函数()24f x x =-+，12()()()n n S f f f n n n =++???+， 1,2,n =???. 若不等式1
1
n n n n a a S S ++<
恒成立，求实数a 的取值范围.
2010年清华大学自主招生面试题
1.谈古论今──请任选中国古代和当代人物各一位进行对比阐释。
2.为什么要上大学，是否每个人都应该上大学？
3.假设你是清华校长，说说明年怎么举办清华百年校庆？
4.如果老子和孔子打架，你会帮谁？
5.用一个成语来形容你眼中的哥本哈根气候会议。
6.用关键词概括2009年中国的现状。
7.中国是否已步入高房价时代，你的观点是什么？
8.学历史与报读清华经管有什么关系？
9.第一次和第二次世界大战期间，有什么重大的化学发明？
10.一根火柴在不能折断的前提下，如何摆成一个三角形？
11.汪洋上，只有一艘船，你只能带5个人走，你带谁？
12.用成语形容一个企业家、一个政治家、一个思想家。
13.发表观点：张磊向耶鲁大学捐款8888888美元。
14.发表观点：武广高速铁路通车时速达世界第一。
15.为什么要把清华大学作为第一志愿填报？
远程面试题目：
1，谈古论今：任选中国古代和当代人物各一位作对比阐释。
2，为什么要上大学，是否每个人都应该上大学？
3，假设你是清华校长，说说明年怎么举办清华百年校庆？
【2009年面试题】
●你如何看待我国四万亿救市计划？
●如果你采访温总理，你将如何提问？要求：所提问题不能太大众化。
●如何看待情怀的含义。
●怎样做一名精英。
●你认为当大法官应具备怎样的素质？
●谈谈对陈水扁家族弊案的看法
●如何看待中学生早恋问题。
●神七发射最关键的两项技术是什么？
●改革开放三十年所带来的启示和对后三十年的畅想
●根据给出的数学概率中“标准分”的概念和计算公式解题。
●将区间(0，1)三等分，将中间段去掉，剩下的首尾两段重新拼接。再重复上述做法，并无限操作下去。请你分析以下几个数，哪些是出现在这个区间内的。
●请分析证明有理数和自然数一样多。
●请用一个成语形容当前世界的经济状况。
●第一次和第二次世界大战期间，有什么重大的化学发明？
●奥运期间，北京施行的单双号车辆限行措施能否长期执行下去？
●世界第一高楼是位于迪拜的迪拜塔，而上海正在建造的上海中心将成为中国第一高楼。请讨论：中国是否需要建造第一高楼？
【2007年面试题】
1.你对嫦娥一号的看法？
2.作为奥运组织者，将如何向中学生推广奥运产品？
个人面试题(部分)
文科：
1.若世上没有语言会怎样？
2.法国外汇汇率又创新纪录，你认为是什么原因？
3.CPI持续上涨，且已到达国际上公认的通货膨胀，你怎么看这一问题？这对哪些人影响最大？要怎样处理？
【2006年面试试题集锦】
【理科】
1、你最崇拜的一个科学家？为什么？
2、班级里你最崇拜的一个同学？为什么？
3、你最喜欢的一个数学公式？为什么？
4、父亲和母亲哪一个对你的影响比较大？为什么？
5、公理和定理有什么不同？
6、"神六"发射的过程中，哪些现象能用物理原理解释？
7、火箭喷射过程中有什么化学反应？
8、台风过境哪些地区受到的影响最大？为什么？
9、杭州到上海的距离，光速需要多少时间？
10、如果你家里连续几天没人，怎么样才能让花盆里的花不被干死？
11、为什么三角形的面积是底乘以高除以2？
12、（面对一浙江考生）从北京到达浙江，光要行驶多长时间？
13、在电视上，新闻节目主持人和远方记者通话，为何有时会出现远方记者"反应迟钝"、"慢一拍"的情形？【文科】
1、你怎样理解鲁迅精神的？
2、鲁迅笔名是怎么来的？
3、你怎样理解巴金精神的？
4、巴金的笔名是怎么来的？
【面试题分析】
1.关键词：朝核问题考察时政“现在朝鲜的核问题比较热门，你能介绍核电站和核武器在原理上有什么区别吗？”
对于朝鲜核试验这个话题，有些同学从物理学的角度出发，谈到了原子弹的核反应原理；有些同学从时事政治的角度出发，分析朝鲜核试验对国际社会的影响；还有的同学则注重核试验对人类环境的影响。大同中学的李易根据自己看过的新闻，结合所学过的物理知识，回答道：“核电站和核武器的原理一样，朝鲜核试验用的是钚弹”。
【点评】建平中学副校长、物理高级教师于基泰指出，两者涉及的核原理是一致的，关键是人怎么控制？核电站在人可以控制的状态下运用，这两者涉及的能量转化方面也是用同一个公式计算。这条题目主要考察学生关心时政，运用知识的能力。
交大附中的物理高级教师王老师表示，随着社会的知识价值取向发生变化，本科教育已不再是所谓的“精英教育”，本科毕业也不一定就能直接成为社会最前沿、最顶尖的人才，大学教育更像是一种文化和国民素质的培养。这种变化反映到高校招生上，就是对全才的追求。当然“全才”并不是真的要求学生“十八般武艺”样样精通，但至
少在科学、人文和社会方面都应该有所了解。
关键词：“1个细菌在1分钟后分裂为2个，2分钟后分裂成了4个，那么依次分裂n分钟后，细菌的个数应当是多少？”
遇到这样的题目，个别数考生都会瞠目结舌，不是因为题目有多困难，而是因为这只是一道基础的指函数例题。记者采访发现，清华大学的教授们根据学生的情况提出一些问题，考察同学的应对能力。相似的面试题目还出现了几何基础题，“假设四边形的四边长和一组对边的夹角已知，给出尺规作图思路”，解题的关键是圆的性质和平移原理。
【点评】除了正视基础，王老师还有这样的解释：“这样的问题当然不会问数学奥林匹克竞赛的得主，很可能是针对文科生的。现在的社会发展提出了‘学科交叉’的要求，文科生也应当有理科的知识，尤其是报考像清华这样的以工科著称的学校；当然，对理科生也要求有人文方面的感悟。
关键词：“你知道彩虹的颜色分布吗？”
这个题目让一些考生感到茫然不知所措，而这题答案并非是“红橙黄绿蓝靛紫”。以这样的形式考验学生在日常生活中对事物的观察力，实在是出乎了许多人的意料。
【点评】“这些问题只是问题的起点。”针对彩虹颜色分布的问题，王老师分析，“对于一些平时注意观察并有强烈特征记忆能力的同学，他们可能的确能够记住彩虹的颜色，那么考官就可以跟着提问，彩虹颜色分布的原因；而对于一些特征记忆不强烈的同学，考官也可以再询问他们彩虹形成的原因。”
基本上，我们的同学对这一题的回答都是“不知道”三个字，王老师对此表示遗憾：“即使不知道题目的确切答案，为什么就用‘不知道’三个字敷衍过去呢？你可以叙述一下‘知道’的程度啊。是只知道有彩虹这个现象，还是知道彩虹形成的原理但记不清彩虹有哪些颜色，还是知道彩虹有七种颜色但记不清分布，这些程度都是不同的，从你的答案中考官很容易发现你的长处是什么。“对于未知的问题，我们应该更好的与考官沟通，这就是面试中很重要的非知识性因素。”
关键词：“你有什么鉴别生鸡蛋与熟鸡蛋的方法吗(除了打破鸡蛋)？”
浦东外国语学校的翁同学从物理学的角度出发，提出了旋转的方法，“用手把鸡蛋迅速转动，离手后转动得很顺
利的是熟鸡蛋；反之则为生鸡蛋”，因为生鸡蛋被转动时只是蛋壳受力，蛋白和蛋黄几乎未受力，由惯性定律可知，蛋白和蛋黄因惯性几乎停留不动，拖慢了蛋壳的运动。
除了对发散思维的要求，本次面试还要求考生多角度思考问题。“在一个透光的密室中如何证明地球的自转？”看到这个题目，一些同学陷入了迷惘，不知从何下手。大同中学的李同学找到了问题的本质，利用逆向思维从地球自转本身出发，联想到自转产生的地转偏向力，并通过证明自转偏向力证明地球的自转。问题被分析到这个层面就变得容易了，自转偏向力的存在从水槽排水时产生的涡流就可以得到证明。
关键词：“用物理学原理解释旋转的陀螺不倒的原因”？
这样的问题难倒了不少考生。陀螺大家都见过，但我们很少去追究其背后隐含的原理，而科学工作者最重要的就是从生活中发现问题、思考问题的能力。一些学生自我安慰道，陀螺旋转的问题涉及了加速度、质点受力、进动性等大学物理的专业知识，于是有些人就认为是题目出难了，学生答不上也情有可原。
【点评】对于这个问题，王老师有不同的见解：“我认为这个问题是包含了清华大学的特色。众所周知，清华大学是我国最优秀的工科学校，为我国的航天事业做出了极大的贡献。而陀螺的旋转问题，正是航天技术中一个很重要的课题，飞机的导航系统就需要这方面的知识。如果一个同学真的对清华大学有着向往，愿意把它作为人生中追求的目标之一，那么他应该很自觉地去了解这个学校的特点，并在人生过程中有意识地在知识、能力方面做准备。”
清华自招数学试题
A 0.90 B 0.95 C 0.95 D 0.94 E 0.94 2006清华大学自主招生数学试题 考试时间：2005.11.28 1．求最小正整数n ，使得n i I )3 212 1(+ =为纯虚数，并求出I ． 2．已知b a 、为非负数，44,1M a b a b =++=，求M 的最值． 3．已知sin sin cos θαθ、、为等差数列，sin sin cos θβθ、、为等比数列，求1 cos 2cos 22 αβ- 的值． 4．求由正整数组成的集合S ，使S 中的元素之和等于元素之积． 5．随机取多少个整数，才能有0.9以上的概率使得这些数中至少有一个偶数． 6． 2x y =上一点P (非原点)，在P 处引切线交x y 、轴于Q R 、，求 PQ PR ． 7．已知)(x f 满足：对实数b a 、有)()()(a bf b af b a f +=?，且1)(≤x f ，求证:)(x f 恒为零． (可用以下结论：若M x f x g x ≤=∞ →)(,0)(lim ，M 为一常数，那么0))()((lim =?∞ →x g x f x ) 8. 在所有定周长的空间四边形ABCD 中，求对角线AC 和BD 的最大值，并证明。 2007 届清华大学保送生暨自主招生北京冬令营 数学笔试试题（2006年12月30日） 1.求()x e f x x =的单调区间及极值. 2.设正三角形1T 边长为a ，1n T +是n T 的中点三角形，n A 为n T 除去1n T +后剩下三个三角形内切圆面积之和.求 1 lim n k n k A →∞ =∑. 3.已知某音响设备由五个部件组成，A 电视机，B 影碟机，C 线路，D 左声道和E 右声道，其中每个部件工作的概率如下图所示.能听到声音，当且仅当A 与B 中有一工作，C 工作，D 与E 中有一工作；且若D 和E 同时工作则有立体声效果. 求：（1） 能听到立体声效果的概率； （2）听不到声音的概率. 4.(1)求三直线60x y +=，1 2 y x = ，0y =所围成三角形上的整点个数；
《组合数学》课程简介.
《组合数学》课程简介 06191350 组合数学 3 Combinatorics 3－0 预修课程：数学分析（微积分）、高等代数（线性代数）、近世代数 面向对象：三、四年级本科生 内容简介： 《组合数学》是计算机出现以后迅速发展起来的一门数学分支。组合数学不仅在基础数学研究中具有极其重要的地位，在其它的学科中也有重要的应用，如计算机科学、编码和密码学、物理、化学、生物等学科中均有重要应用。本课程主要介绍组合数学中涉及组合计数、组合设计和编码理论的基本原理、基本问题和基本方法，主要包括：排列与组合、母函数与递推关系、容斥原理、反演公式、鸽巢原理、Pólya计数定理、区组设计与编码理论等内容。通过该课程的学习，使学生了解和掌握《组合数学》的基本内容和基本方法，培养学生的应用意识，为学生在今后的教学或科研活动中可能的应用作准备。推荐教材或主要参考书： 《组合数学》（第三版）卢开澄，卢华明编著，清华大学出版社，2003 《组合数学》教学大纲 06191350 组合数学 3 Combinatorics 3－0 预修课程：数学分析（微积分）、高等代数（线性代数）、近世代数 面向对象：三、四年级本科生 一、教学目的和基本要求： 《组合数学》是一门应用广泛的学科。它在计算机科学、信息论、管理科学以及其它现代科技领域都有着重要的应用。本课程主要介绍组合数学中涉及组合计数、组合设计和编码理论的基本原理、基本问题和基本方法。通过该课程的学习，使学生了解和掌握《组合数学》的基本内容和基本方法，培养学生的应用意识，为学生在今后的教学或科研活动中可能的应用作准备。 二、主要内容及学时分配： （1）引言2学时 （2）排列与组合8学时 （3）母函数与递推关系12学时 （4）容斥原理3学时 （5）反演公式3学时 （6）鸽巢原理3学时 （7）Pólya计数定理5学时 （8）区组设计6学时 （9）编码理论6学时 三、教学方式：课堂讲授 四、相关教学环节安排： 五、考试方式及要求：笔试 六、推荐教材或主要参考书： 《组合数学》（第三版）卢开澄，卢华明编著，清华大学出版社，2003 七、有关说明：
清华组合数学()习题答案
?1.证：对n 用归纳法。先证可表示性： 当n=0,1时，命题成立。 假设对小于n 的非负整数，命题成立。对于n,设k!≤n ＜(k+1)!,即0≤n-k!＜k·k!由假设对n-k!,命题成立， 设n-k!=∑a i ·i!，其中a k ≤k-1,n=∑a i ·i!+k!，命题成立。i=1 k i=1 k 再证表示的唯一性： 设n=∑a i ·i!=∑b i ·i!, 不妨设a j ＞b j ,令j=max{i|a i ≠b i }a j ·j!+a j-1·(j-1)!+…+a 1·1! =b j ·j!+b j-1·(j-1)!+…+b 1·1!,(a j -b j )·j!=∑(b i -a i )·i!≥j!＞∑i·i!≥∑|b i -a i |·i!≥∑(b i -a i )·i! 另一种证法：令j=min{i|a i ≠b i }∑a i ·i!=∑b i ·i!,两边被(j+1)!除,得余数a j ·j!=b j ·j!,矛盾. i=1 k i=1k i=1 j-1i=1 j-1 i=1j-1i=1 j-1 i ≥j i ≥j ?2.证： 组合意义： 等式左边：n 个不同的球，先任取出1个，再从余下的n-1个中取r 个； 等式右边：n 个不同球中任意取出r+1个，并指定其中任意一个为第一个。显然两种方案数相同。 nC(n-1,r) = n ————= ——————— (n-1)! (r+1)·n! r!·(n-r-1)! (r+1)·r!·(n-r-1)! = ——————= (r+1)C(n,r+1).(r+1)·n! (r+1)!·(n-r-1)! ?3.证： 设有n 个不同的小球，A 、B 两个盒子,A 盒中恰好放1个球,B 盒中可放任意个球。有两种方法放球： ①先从n 个球中取k 个球(k ≥1),再从中挑 一个放入A 盒,方案数共为∑kC(n,k),其余球放入B 盒。 ②先从n 个球中任取一球放入A 盒，剩下n-1个球每个有两种可能，要么放入B 盒， 要么不放，故方案数为n2 . 显然两种方法方案数应该一样。 k=1n n-1 ?4.解：设取的第一组数有a 个,第二组有b 个,而 要求第一组数中最小数大于第二组中最大的，即只要取出一组m 个数(设m=a+b),从大到小取a 个作为第一组,剩余的为第二组。此时方案数为C(n,m)。从m 个数中取第一组数共有m-1中取法。总的方案数为∑(m-1)C(n,m)=n ·2 +1. ?5.解：第1步从特定引擎对面的3个中取1个有 C(3,1)种取法，第2步从特定引擎一边的2个中 取1个有C(2,1)种取法，第3步从特定引擎对面的2个中取1个有C(2,1)中取法，剩下的每边1个取法固定。 所以共有C(3,1)·C(2,1)·C(2,1)=12种方案。 m=2 n n-1 ?6.解：首先所有数都用6位表示，从000000到 999999中在每位上0出现了10 次,所以0共出现 了6·10 次,0出现在最前面的次数应该从中去掉， 000000到999999中最左1位的0出现了10 次， 000000到099999中左数第2位的0出现了10 次， 000000到009999左数第3位的0出现了10 次, 000000到000999左数第4位的0出现了10 次, 000000到000099左数第5位的0出现了10 次, 000000到000009左数第6位的0出现了10 次。另外1000000的6个0应该被加上。所以0共出现了 6·10 –10 –10 –10 –10 –10 –10 +6 = 488895次。 5 5 5 4 3 2 1 5543210 ?7.解：把n 个男、n 个女分别进行全排列，然后 按乘法法则放到一起，而男女分别在前面,应该 再乘2,即方案数为2·(n!) 个. 围成一个圆桌坐下， 根据圆排列法则，方案数为2 ·(n!) /(2n)个. ?8.证：每个盒子不空，即每个盒子里至少放一 个球，因为球完全一样，问题转化为将n-r 个小球放入r 个不同的盒子，每个盒子可以放任意个球，可以有空盒，根据可重组合定理可得共有C(n-r+r-1,n-r) = C(n-1,n-r)中方案。根据C(n,r)=C(n,n-r),可得 C(n-1,n-r)=C(n-1,n-1-(n-r))=C(n-1,r-1)个方案。证毕。 2 2 ?9.解：每个能整除尽数n 的正整数都可以选取每个素数p i 从0到a i 次，即每个素数有a i +1种选择，所以能整除n 的正整数数目为(a 1+1)·(a 2+1)·…·(a l +1)个。 ?10.解：相当于把n 个小球放入6个不同的盒子里，为可重组合，即共有C(n+6-1,n)中方案，即C(n+5,n)中方案。 ?11.解：根据题意,每4个点可得到两条对角线,1个对角线交点,从10个顶点任取4个的方案有C(10,4)中,即交于210个点。
最新完美版清华大学自主招生数学试题
2015年清华大学自主招生数学试题 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设复数2 1a i w i +??= ?+?? ，其中a 为实数.若w 的实部为2，则w 的虚部为（ ） A 、3 2- B 、12 - C 、 12 D 、 32 2. 设向量a ，b 满足1a b ==，a b m ?=，则a tb +（R t ∈）的最小值为（ ） A 、2 B C 、1 D 3. 如果平面α，β，直线m ，n ，点A ，B 满足：αβ ，m α?，n β?，A α∈，B β∈，且AB 与α 所成的角为4π，m AB ⊥，n 与AB 所成的角为3 π ，那么m 与n 所成角的大小为（ ） A 、3π B 、4π C 、6π D 、8 π 4. 在四棱锥V -ABCD 中，1B ，1D 分别为侧棱VB ，VD 的中点，则四面体11AB CD 的体积与四棱锥V -ABCD 的体积之比为（ ） A 、1:6 B 、1:5 C 、1:4 D 、1:3 5. 在ABC △中，三边长a ，b ，c 满足3a c b +=，则tan tan 22 A C 的值为（ ） A 、1 5 B 、14 C 、12 D 、 23 6. 如图，ABC △的两条高线AD ，BE 交于H ，其外接圆圆心为O ， 过O 作OF 垂直BC 于F ，OH 与AF 相交于G ．则OFG △与GAH △面积之比为（ ） A 、1:4 B 、1:3 C 、2:5 D 、1:2 7. 设()ax f x e =（0a >）.过点(),0P a 且平行于y 轴的直线与曲线C ：()y f x =的交点为Q ，曲线C 过点 Q 的切线交x 轴于点R ，则PQR △的面积的最小值是（ ） A 、1 B C 、2 e D 、2 4 e A E C O G H B D F
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da清华大学（英文名：Tsinghua University），地处北京西北郊繁盛的园林区，是在几处清代皇家园林的遗址上发展而成的。清华大学的前身是清华学堂，始建于1911年，曾是由美国退还的部分庚子赔款建立的留美预备学校。1912年，清华学堂更名为清华学校。1925年设立大学部，开始招收四年制大学生。1928年更名为国立清华大学，并于1929年秋开办研究院。清华大学的初期发展，虽然渗透着西方文化的影响，但学校十分重视研究中华民族的优秀文化瑰宝。 清华大学《运筹学》共40讲学习梦想家园 https://www.wendangku.net/doc/004844682.html,/thread-232-1-1.html 清华大学《C++语言程序设计》周登文 48讲学习梦想家园 https://www.wendangku.net/doc/004844682.html,/thread-371-1-1.html 清华大学《数据结构》（c语言）严蔚敏48讲学习梦想家园 https://www.wendangku.net/doc/004844682.html,/thread-1547-1-1.html 清华大学《计算机文化基础》视频教学共28讲学习梦想家园 https://www.wendangku.net/doc/004844682.html,/thread-233-1-1.html 清华大学《计算机原理》王诚 64讲学习梦想家园 https://www.wendangku.net/doc/004844682.html,/thread-328-1-1.html 清华大学《模式识别》林学訚 32讲学习梦想家园 https://www.wendangku.net/doc/004844682.html,/thread-375-1-1.html 清华大学《计算机网络体系结构》汤志忠 48讲学习梦想家园 https://www.wendangku.net/doc/004844682.html,/thread-374-1-1.html 清华大学《汇编语言程序设计》温冬婵 64讲学习梦想家园 https://www.wendangku.net/doc/004844682.html,/thread-356-1-1.html 清华大学《JA V A编程语言》许斌32讲学习梦想家园 https://www.wendangku.net/doc/004844682.html,/thread-354-1-1.html 清华大学《人工智能原理》朱晓燕48讲学习梦想家园 https://www.wendangku.net/doc/004844682.html,/thread-329-1-1.html 清华大学《编译原理》张素琴吕映芝64讲学习梦想家园 https://www.wendangku.net/doc/004844682.html,/thread-330-1-1.html 清华大学《软件工程》刘强48讲学习梦想家园 https://www.wendangku.net/doc/004844682.html,/thread-327-1-1.html 思想道德修养清华大学 https://www.wendangku.net/doc/004844682.html,/thread-327-1-1.html 清华大学《C++语言程序设计》周登文48讲学习梦想家园 https://www.wendangku.net/doc/004844682.html,/thread-2-1-2.html 清华大学《模拟电子技术》华成英56讲学习梦想家园
2011年清华自主招生数学试题和答案解析
2011年高水平大学自主招生选拔学业能力测试 数学 注意事项： 1. 答卷前，考试务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 （1）设复数z 满足|z|<1且1 5 |z+|2 z = ，则|z |=（ ） A 45 B 34 C 23 D 1 2 解析：设|z |a bi =+代入15|z+|2 z =整理得22 22 1174a b a b ++=+，又|z |<1，所以2214a b +=，|z | =1 2 = （2）在正四棱锥P-ABCD 中，M 、N 分别为PA 、PB 的中点，且侧面与底面所成二面角的正切 .则异面直线DM 与AN 所成角的余弦值为（ ） A 13 B 16 C 18 D 112 解析：设2AB =, 容易算出2PB =,以底面中心为 原点建立空间坐标系，1 111(1,1,0),(1,1,0),(,, (,,222222 D A M N ------，由1cos 6 |DM AN ||DM ||AN |θ?==?uuu u r uuu r uuu u r uuu r （3）过点(1,1)-的直线l 与曲线3 2 21y x x x =--+相切，且(1,1)-不是切点，则直线l 的 斜率是（ ） A 2 B 1 C 1- D 2- 解析：3 2 2 21(),()322y x x x f x f x x x '=--+==--，设切点(),()t f t ， ()()()y f t f t x t '-=-，把(1,1)-代入且1t ≠-得到1t =，所以2k =- （4）若23 A B π+= ,则22 cos cos A B +的最小值和最大值分别为（ ）
2010清华大学自主招生数学试题
2010年清华大学自主招生数学试题 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设复数2 1a i w i +??= ?+?? ，其中a 为实数.若w 的实部为2，则w 的虚部为（ ） A 、3 2- B 、12 - C 、 12 D 、 32 2. 设向量a ，b 满足1a b ==，a b m ?=，则a tb +（R t ∈）的最小值为（ ） A 、2 B C 、1 D 3. 如果平面α，β，直线m ，n ，点A ，B 满足：αβP ，m α?，n β?，A α∈，B β∈，且AB 与α 所成的角为4π，m AB ⊥，n 与AB 所成的角为3 π ，那么m 与n 所成角的大小为（ ） A 、3π B 、4π C 、6π D 、8 π 4. 在四棱锥V -ABCD 中，1B ，1D 分别为侧棱VB ，VD 的中点，则四面体11AB CD 的体积与四棱锥V -ABCD 的体积之比为（ ） A 、1:6 B 、1:5 C 、1:4 D 、1:3 5. 在ABC △中，三边长a ，b ，c 满足3a c b +=，则tan tan 22 A C 的值为（ ） A 、1 5 B 、14 C 、12 D 、 23 6. 如图，ABC △的两条高线AD ，BE 交于H ，其外接圆圆心为O ， 过O 作OF 垂直BC 于F ，OH 与AF 相交于G ．则OFG △与GAH △面积之比为（ ） A 、1:4 B 、1:3 C 、2:5 D 、1:2 7. 设()ax f x e =（0a >）.过点(),0P a 且平行于y 轴的直线与曲线C ：()y f x =的交点为Q ，曲线C 过点 Q 的切线交x 轴于点R ，则PQR △的面积的最小值是（ ） A 、1 B C 、2 e D 、2 4 e A E C O G H B D F
2017清华自招试题
2017清华自招试题 1 下列函数中，有两个零点的是（ ） A ()2x f x e x =-- B ()1x f x e x =-- C ()3ln f x x x =- D 1()3ln f x x x =+ 2 设,A B 是抛物线2y x =上的两点，是坐标原点，若OA OB ⊥，则（ ） A ||||2OA O B ?≥ B ||||OA OB +≥ C 直线AB 过抛物线2y x =的焦点 D O 到AB 的距离小于等于1 3 设函数2()(3)x f x x e =-，则（ ） A ()f x 有极小值，但无最小值 B ()f x 有极大值，但无最大值 C 若方程()f x b =恰有一个实根，则3 6b e > D 若方程()f x b =恰有三个不同实根，则360b e << 4 已知ABC 的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足 cos ()(sin 1)0b C a c b C a c ++-=???+=?? 则（ ） A B C 3B π = D 4B π = 5 过ABC 的重心作直线将ABC 分成两部分，则这两部分的面积之比的（ ） A 最小值为34 B 最小值为45 C 最大值为43 D 最大值为54 6 已知方程sin (0)kx x k =>在区间(3,3)ππ-内恰有5个实数解12345x x x x x <<<<，则
（ ） A 55tan x x = B 5295122x ππ<< C 245,,x x x 成等差数列 D 123450x x x x x ++++= 7 已知实数,x y 满足22545x y xy --=，则222x y +的最小值是（ ） A 5 3 B 5 6 C 59 D 2 8
组合数学课程教学大纲
《组合数学》课程教学大纲 课程编号：（研究生院统一编写） 课程名称：组合数学 英文名称：Combinatorial Mathematics 课程类别：学位（基础理论课）课 授课对象：工程硕士 学分：2 学时：40 开课学期：1 开课周次：1-20周 开课系及教研室：（保定）计算机系计算机教研室 任课教师及职称：（保定）孟建良副教授 先修课程：高等数学、离散数学 适用专业：计算机应用技术 主要内容：随着计算机性能的持续提高及其应用的深入普及，组合数学自20世纪60年代以来得到了急速的发展。组合数学的思想和技巧不仅影响着数学的许多分支，而且广泛应用于计算机科学、社会科学、信息论、生物科学以及其他传统自然科学领域。每当我们求解实际问题，编制计算机程序的时候，它往往不仅提供具体的算法而且还知道对算法运行效率和存储需求的分析。正因为如此，组合数学所包含的内容越来越广泛。本课程主要包括以下基本内容： 1.排列与组合 加法法则、乘法法则及排列与组合，圆周排列，排列的生成算法，序数法、字典序法、换位法，组合的生成，允许重复的组合，司特林公式，瓦利斯公式。 2.递推关系与母函数
母函数的性质，若干基本的母函数，指数型母函数，费卜拉契数列，解线性常系数递推关系特征根法，任意阶齐次递推关系，司特林数，卡特朗数。 3.容斥原理与鸽巢原理 容斥原理的两个基本公式，有限制的排列，棋盘多项式，有禁区的排列问题，广义的容斥原理，广义容斥原理的若干应用，错排问题的推广，容斥原理在数论上的应用，一般的鸽巢原理，鸽巢原理的推广，拉蒙赛数。 4.Burnside引理与Po/lya定理 群的概念，群的基本性质，置换群，循环、奇循环与偶循环，Burnside引理，Po/lya定理，母函数形式的波利亚定理。 使用教材：《组合数学》,卢开澄,卢华明,清华大学出版社,2002年 参考书目：《组合数学》,Richard A.Brualdi 著,冯舜玺等译,机械工业出版社，2005年。 组合数学导论》,（美）C.L.Liu著,魏万迪译,四川大学出版社,1987年。 教研室意见： 系（院、部）意见： 研究生院审核意见：
组合数学前沿介绍
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数
学
Combinatorics
马昱春 MA Yuchun myc@https://www.wendangku.net/doc/004844682.html,
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Combinatorics
组合数学:有人认为广义的组合数学就是离散数学，也有人认 为离散数学是狭义的组合数学和图论、代数结构、数理逻辑 等的总称。但这只是不同学者在叫法上的区别。总之，组合 数学是一门研究离散对象的科学。
https://www.wendangku.net/doc/004844682.html,/zh-cn/%E7%BB%84%E5%90%88%E6%95%B0%E5%AD%A6
Combinatorics: Combinatorics is a branch of pure mathematics concerning the study of discrete (and usually finite) objects. It is related to many other areas of mathematics, such as algebra, probability theory, ergodic theory and geometry, as well as to applied subjects in computer science and statistical physics.
https://www.wendangku.net/doc/004844682.html,/wiki/Combinatorics 2
组合数学与离散数学
? 狭义的组合数学主要研究满足一定条件的组态（ 也称组合模型）的存在、计数以及构造等方面的 问题。
– 组合数学的主要内容有组合计数、组合设计、组合矩 阵、组合优化等。
? 离散数学(Discrete mathematics)是数学的几个分 支的总称，以研究离散量的结构和相互间的关系 为主要目标，其研究对象一般地是有限个或可数 无穷个元素；因此它充分描述了计算机科学离散 性的特点。
– 离散数学通常研究的领域包括：数理逻辑、集合论、 关系论、函数论、组合学、代数系统与图论。 。
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2016年清华大学领军计划自招(数学+物理)试题
2016年清华大学领军计划测试题（数学+物理） 特别说明： 1、2016年清华领军计划测试为机考，全卷共100分。 2、考试时间：数学+物理共180分钟。 3、所有考题为不定项选择题。以下内容为回忆版本，部分题改编成填空题。 4、物理测试共35题，回忆版中共26题，供大家参考。 A 、 数学部分 1、已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>，两条直线1211:,:22l y x l y x ==-，过椭圆上一点P 作两 条直线12,l l 的平行线，又分别交两条直线于,M N 两点，若||MN 为定值，则 a b = （ ） A 、2 D 、4 2、已知,,x y z 为正整数，x y z ≤≤，那么方程 1111 2 x y z ++=的解的组数为 ( ) A 、8 B 、10 C 、11 D 、12 3、将16个数：4个1、4个2、4个3、4个4填入一个44?的矩阵中，要求每行、每列正好有2个偶数，则共有___________种填法。
4、已知O 为ABC ?内一点，且满足::4:3:2AOB AOC BOC S S S ???=，AO AB AC λμ=+， 则λ=___________，μ=_________。 5、“sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++”是“ABC ?为锐角三角形”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6、各项均不相同的数列{}n a 中，1i i k N ≤<<≤，,,i j j k k i a a a a a a +++至少有一项在{}n a 中， N 的最大值为 （ ） A 、6 B 、7 C 、8 D 、9 7、已知实数,,x y z 满足222 1 1 x y z x y z ++=?? ++=?，则 （ ） A.max ()0xyz = B.min 4 ()27xyz =- C.min 23 z =- D.以上都不对
中国当代著名数学家介绍
中国当代著名数学家介绍 1．国际著名数学大师，沃尔夫数学奖得主，陈省身 1931 年入清华大学研究院，1934 军获硕士学位．1934 年去汉堡大学从Blaschke 学习.1937 年回国任西南联合大学教授．1943 年到1945 年任普林斯顿高等研究所研究员．1949 年初赴美， 旋任芝加哥大学教授.1960 年到加州大学伯克利分校任教授，1979 年退休成为名誉教授，仍继续任教到1984 年．1981 年到1984 年任新建的伯克利数学研究所所长，其后任名誉所长。陈省身的主要工作领域是微分几何学及其相关分支．还在积分几何，射影微分几何，极小子流形，网几何学，全曲率与各种浸入理论，外微分形式与偏微分方程等诸多领域有开拓性的贡献．陈省身本有极多荣誉，包括中央研究院院士（1948）．美国国家科学院院士（1961）及国家科学奖章（1975），伦敦皇家学会国外会员（1985），法国科学院国外院士'（1989），中国科学院国外院士等。荣获1983／1984年度Wolf 奖，及1983 年度美国科学会Steele 奖中的终身成就奖． 2．享有国际盛誉的大数学家，新中国数学事业发展的重要奠基人，华罗庚 华罗庚是一位人生经历传奇的数学家，早年辍学，1930 年因在《科学》上发表了关于代数方程式解法的文章，受到熊庆来的重视，被邀到清华大学学习和工作，在杨武之指引下，开始了数论的研究。1936 年，作为访问学者去英国剑桥大学工作。1938 年回国，受聘为西南联合大学教授。1946 年应美国普林斯顿高等研究所邀请任研究员，并在普林斯顿大学执教。1948 年开始，他为伊利诺伊大学教授。1950 年回国，先后任清华大学教授，中国科学院数学研究所所长，数理化学部委员和学部副主任，中国科学技术大学数学系主任、副校长，中国科学院应用数学研究所所长，中国科学院副院长、主席团委员等职。还担任过多届中国数学会理事长。此外，华罗庚还是第一、二、三、四、五届全国人民代表大会常务委员会委员和中国人民政治协商会议第六届全国委员会副主席。华罗庚是在国际上享有盛誉的数学家，他的名字在美国施密斯松尼博物馆与芝加哥科技博物馆等著名博物馆中，与少数经典数学家列在一起。他被选为美国科学院国外院士，第三世界科学院院士，联邦德国巴伐利亚科学院院士。又被授予法国南锡大学、香港中文大学与美国伊利诺伊大学荣誉博士。华罗庚在解析数论、矩阵几何学、典型群、自守函数论、多复变函数论、偏微分方程、高维数值积分等广泛数学领域中都作出卓越贡献。由于华罗庚的重大贡献，有许多用他他的名字命名的定理、引理、不等式、算子与方法。他共发表专著与学术论文近三百篇。华罗庚还根据中国实情与国际潮流，倡导应用数学与计算机研制。他身体力行，亲自去二十七个省市普及应用数学方法长达二十年之久，为经济建设作出了重大贡献。3．仅次于哥德尔的逻辑数学大师，王浩1943 年于西南联合大学数学系毕业。1945 年于清华大学研究生院哲学部毕业。1948 年获美国哈佛大学哲学博士学位。1950～1951 年在瑞士联邦工学院数学研究所从事研究工作1951～1953年任哈佛大学助理教授。1954～1961 年在英国牛津大学作第二套洛克讲座讲演, 又任逻辑及数理哲学高级教职。1961～1967 年任哈佛大学教授。1967 年后任美国洛克斐勒大学教授, 主持逻辑研究室工作。1985 年兼任中国北京大学名誉教授。1986 年兼任中国清华大学名誉教授。50 年代初被选为美国国家科学院院士, 后又被选为不列颠科学院外国院士，美籍华裔数学家、逻辑学家、计算机科学家、哲学家。4．著名数学家力学家，美国科学院院士，林家翘 1937 年毕业于清华大学物理系。1941 年获加拿大多伦多大学硕士学位。1944 年获美国加州理工学院博士学位。1953 年起先后担任美国麻省理工学院数学教授、学院教授、荣誉退休教授。林家翘教授曾获: 美国机械工程师学会Timoshenko 奖，美国国家科学院应用数学和数值分析奖，美国物理学会流体力学奖。他是美国国家文理学院院士（1951），美国国家科学院院士（1962），台湾“中央研究院”院士（1960）。从40 年代开始，林家翘教授在流体力学的流动稳定性和湍流理论方面的工作带动了整整一代人在这一领域的研究探索。从60 年代开始，他进入天体物理的研究领域，开创了星系螺旋结构的密度波理论，并为国际所公认。1994年6月8日当选为首批中国科学院外籍
2015年清华大学自主招生数学试题(领军计划)
2015年清华大学自主招生数学试题（领军计划） 说明：共30小题，共100分。在每小题给出的四个选项中，有一个或多个选项是符合题目要求的。全选对，得满分；选对但不全，得部分分；有选错的，得0分。 1、设复数22cos sin 33z i π π =+，则211 11z z +=--（ ） A.0 B.1 C.1 2 D.3 2 2、设{}n a 为等差数列，,,,p q k l 为正整数，则“p q k l +>+”是“p q k l a a a a +>+”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3、设,A B 是抛物线2y x =上的两点，O 是坐标原点，若OA OB ⊥，则（ ） A.||||2OA OB ?≥ B.||||OA OB +≥ C.直线AB 过抛物线2y x =的焦点 D.O 到直线AB 的距离小于等于1 4、设函数()f x 的定义域为(1,1)-，且满足：①()0,(1,0)f x x >∈-； ②()()(),1x y f x f y f xy ++=+,(1,1)x y ∈-。则()f x 为（ ） A.奇函数 B.偶函数 C.减函数 D.有界函数 5、如图，已知直线y kx m =+与曲线()y f x = 相切于两点，则()()F x f x kx =-有（ ） A.2个极大值点 B.3个极大值点 C.2个极小值点 D.3个极小值点 6、ABC ?的三边长分别为,,a b c 。若2,3c C π =∠=，且s i n s i n ()2s i n 20C B A A +--=，则（ ） A.2b a = B.ABC ?的周长为2+ C.ABC ? D.ABC ?7、设函数2()(3)x f x x e =-，则（ ） A.()f x 有极小值，但无最小值 B.()f x 有极大值，但无最大值 C.若方程()f x b =恰有一个实根，则36 b e > D.若方程()f x b =恰有三个不同实根，则36 0b e <<
组合数学-浅谈组合数学与计算机科学
浅谈组合数学与计算机科学 摘要：组合数学，又称为离散数学，是一门研究离散对象的科学。组合数学是计算机出现以后迅速发展起来的一门数学分支，随着计算机科学的日益发展，组合数学的重要性也日渐凸显。 关键词：组合数学计算机欧拉回路 Abstract: The combination of mathematics, also known as discrete mathematics, is a study of discrete objects. A combination of computer mathematics is a branch of mathematics developed rapidly since, with the increasing importance of the development of computer science, combinatorial mathematics has become more prominent. Key words: Combinatorics Computer Euler circuit 1.组合数学简述 组合数学是一门古老而又新兴的数学分支。我国古人早在《河图》、《洛书》中已对一些有趣的组合问题给出了正确的解答。近代随着计算机的出现,组合数学这门学科得到了迅猛的发展,成为了一个重要的数学分支。组合数学的发展改变了传统数学中分析和代数占统治地位的局面。 组合数学主要研究符合一定条件的组态对象、计数及构造等方面的问题。离散构形问题是组合数学的主要研究内容，主要包括：①构形构形的存在性问题；②构形的构造性问题；③构形的计数问题；④构形的最优化问题。 现代数学可以分为两大类：一类是研究连续对象的，如分析、方程等; 另一类就是研究离散对象的组合数学。组合数学不仅在基础数学研究中具有极其重要的地位，在其它的学科中也有重要的应用，如在计算机科学、编码和密码学、物理、化学、生物等学科中均有重要应用。微积分和近代数学的发展为近代的工业革命奠定了基础。而组合数学的发展则是奠定了本世纪的计算机革命的基础。 电子计算机处理的信息，都是仅用“0”与“1”两个简单数字表示的信息，或者是用这种数字进行了编码的信息。所以离散对象的处理就成了计算机科学的核心，而组合数学是一门研究离散对象的科学。现代数学的研究内容主要包括两个方面：一方面类是研究连续对象的，如分析、代数等，另一方面就是研究离散对象的组合数学。
2015清华大学自主招生试题(含答案)
一、选择题 1.设复数z=cos 23π+isin 23 π，则2111-1z z +-=（ ） (A)0 (B)1 (C)12 (D)3 2 2.设数列{}n a 为等差数列，p,q,k,l 为正整数，则“p+q>k+l ”是“p q k l a a a a +>+”的( )条件 (A)充分不必要 (B)必要不充分 (C)充要 (D)既不充分也不必要 3.设A 、B 是抛物线y=2 x 上两点，O 是坐标原点，若OA ⊥OB,则( ) (A)|OA|·|OB|≥2 (B)|OA|+|OB|≥(C)直线AB 过抛物线y=2 x 的焦点 (D)O 到直线AB 的距离小于等于1 4.设函数()f x 的定义域为(-1,1)，且满足：①()f x >0,x ∈(-1,0)；②()f x +()f y =( )1x y f xy ++，x 、y ∈(-1,1)，则()f x 为 (A)奇函数 (B)偶函数 (C)减函数 (D)有界函数 5.如图，已知直线y=kx+m 与曲线y=f (x)相切于两点，则F(x)=f (x)?kx 有（ ） (A)2个极大值点 (B)3个极大值点 (C)2个极小值点 (D)3个极小值点 6.△ABC 的三边分别为a 、b 、c ．若c=2，∠C= 3 π ，且sinC+sin(B ?A)?2sin2A=0,则有（ ） (A)b=2a (B)△ABC 的周长为△ABC (D)△ABC 7.设函数2 ()(3)x f x x e =-，则（ ） (A)()f x 有极小值，但无最小值 (B) ()f x 有极大值，但无最大值 (C)若方程()f x =b 恰有一个实根，则b> 36e (D)若方程()f x =b 恰有三个不同实根，则0 课程设计 课程设计名称：排序综合 专业班级： 学生姓名： 学号： 指导教师： 课程设计时间： 计算机应用技术专业课程设计任务书 学生姓名专业班级学号 题目排序综合 课题性质 A 课题来源 D 指导教师同组姓名无 主要内容运用C语言的知识对程序进行模块化设计； 运用数据结构的知识分别对七种排序方法进行设计；采用菜单式对排序结果进行输出； 任务要求 综合运用这一年来所学的C语言知识与数据结构的知识对所选的课题进行详细的设计，任务分为9个模块进行设计分别为：插入排序函数、冒泡排序函数、快速排序函数、选择排序函数、希尔排序函数、归并排序函数、堆排序函数以及选择函数与主函数。 参考文献《数据结构（C语言版）》严蔚敏清华大学出版社《C语言程序设计》（第三版）谭浩强清华大学出版社《数据结构教程》（C语言版）西安电子科技大学 《数据结构教程》上机实验指导清华大学出版社 审查意见 指导教师签字： 教研室主任签字： 2014 年 6 月15 日 目录 1、需求分析： (4) 2、概要设计 (4) 3 、运行环境 (5) 1）、软件环境 (5) 2）、硬件环境 (5) 4 开发工具和编程语言 (5) 5 详细设计 (5) 6 调试分析 (12) 7 测试结果 (12) 一、测试方法： (12) 二、测试结果： (12) 参考文献 (15) 心得体会 (16) 1、需求分析： 排序综合问题，用数据结构的思想对一些数字进行排序，实现以下排序功能： 1、插入排序 2、冒泡排序 3、快速排序 4、选择排序 5、希尔排序 6、归并排序 7、堆排序 2、概要设计 1、程序总体框架图如下： 排序综合 插入排序冒 泡 排 序 快 速 排 序 选 择 排 序 希 尔 排 序 归 并 排 序 堆 排 序 一、选择题 1.设复数z=cos 23π+isin 23π，则2 11 1-1z z + -=（ ） (A)0 (B)1 (C) 12 (D)32 2.设数列{}n a 为等差数列，p,q,k,l 为正整数，则“p+q>k+l ”是“p q k l a a a a +>+”的( )条件 (A)充分不必要 (B)必要不充分 (C)充要 (D)既不充分也不必要 3.设A 、B 是抛物线y=2 x 上两点，O 是坐标原点，若OA ⊥OB,则( ) (A)|OA|·|OB|≥2 (B)|OA|+|OB|≥ (C)直线AB 过抛物线y=2 x 的焦点 (D)O 到直线AB 的距离小于等于1 4.设函数()f x 的定义域为(-1,1)，且满足：①()f x >0,x ∈(-1,0)；② ()f x +()f y =( )1x y f xy ++，x 、y ∈(-1,1)，则()f x 为 (A)奇函数 (B)偶函数 (C)减函数 (D)有界函数 5.如图，已知直线y=kx+m 与曲线y=f (x)相切于两点，则F(x)=f (x)?kx 有（ ） (A)2个极大值点 (B)3个极大值点 (C)2个极小值点 (D)3个极小值点 6.△ABC 的三边分别为a 、b 、c ．若c=2，∠C= 3 π ，且sinC+sin(B ?A)?2sin2A=0,则有（ ） (A)b=2a (B)△ABC 的周长为 (C)△ABC (D)△ABC 的外接圆半径为 3 7.设函数2()(3)x f x x e =-，则（ ） (A)()f x 有极小值，但无最小值 (B) ()f x 有极大值，但无最大值 (C)若方程()f x =b 恰有一个实根，则b>36 e (D)若方程()f x =b 恰有三个不同实根，则0 《组合数学》课程教学大纲 课程编码：LX113900 课程名称：组合数学 英文名称：Combinational Mathematic s 适用专业：计算机科学与技术 先修课程：无 学分：3 总学时：48 一、课程简介 该课程是为计算机类学生开设的一门选修课程。主要讲授排列与组合、母函数及其应用、递推关系、容斥原理、抽屉原理、polya定理等内容。通过该课程的学习，能使学生系统掌握组合数学的基本知识、基本理论和基本方法；培养学生抽象思维和慎密概括的能力，使学生具有良好的开拓专业理论的素质和使用所学知识，运用组合数学的思想和方法分析和解决实际问题的能力。 This course’s main contents include permutation and combination, generating function and its application, recursive relation, including excluding principle, drawer principle and Ramsey theorem, Ploya theorem. 二、本课程与其它课程的联系 本课程无先修课程,与计算机科学与技术专业的后续课程如算法设计与分析以及编译原理等课程有一定的联系,排列组合及递推关系与算法设计与分析中的算法复杂性分析有密切关系,为复杂性分析提供了基础知识,容斥原理和抽屉原理在编译原理中有其重要作用。 三、课程内容及要求 （一）排列与组合（6学时） 主要内容：两个基本法则；排列与组合及其计算；排列与组合的生成算法；Striling近似公式。 基本要求：理解排列与组合的概念；掌握组合的主要性质；熟练掌握排列数C语言排列组合课程设计
2015年清华大学自主招生试题+数学+Word版含解析
组合数学教学大纲