2019年湖北省荆门市中考数学试题(解析版)

2019年湖北省荆门市中考数学试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的

1．（3分）﹣的倒数的平方是（）

A．2 B．C．﹣2 D．﹣

2．（3分）已知一天有86400秒，一年按365天计算共有31536000秒，用科学记数法表示31536000正确的是（）

A．3.1536×106B．3.1536×107

C．31.536×106D．0.31536×108

3．（3分）已知实数x，y满足方程组则x2﹣2y2的值为（）

A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3

4．（3分）将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，使得它们的直角边互相垂直，则∠1的度数是（）

A．95°B．100°C．105°D．110°

5．（3分）抛物线y＝﹣x2+4x﹣4与坐标轴的交点个数为（）

A．0 B．1 C．2 D．3

6．（3分）不等式组的解集为（）

A．﹣＜x＜0 B．﹣＜x≤0 C．﹣≤x＜0 D．﹣≤x≤0

7．（3分）投掷一枚质地均匀的骰子两次，向上一面的点数依次记为a，b．那么方程x2+ax+b＝0有解的概率是（）

A．B．C．D．

8．（3分）欣欣服装店某天用相同的价格a（a＞0）卖出了两件服装，其中一件盈利20%，另一件亏损20%，那么该服装店卖出这两件服装的盈利情况是（）

A．盈利B．亏损

C．不盈不亏D．与售价a有关

9．（3分）如果函数y＝kx+b（k，b是常数）的图象不经过第二象限，那么k，b应满足的条件是（）A．k≥0且b≤0 B．k＞0且b≤0 C．k≥0且b＜0 D．k＞0且b＜0

10．（3分）如图，Rt△OCB的斜边在y轴上，OC＝，含30°角的顶点与原点重合，直角顶点C在第二象限，将Rt△OCB绕原点顺时针旋转120°后得到△OC′B'，则B点的对应点B′的坐标是（）

A．（，﹣1）B．（1，﹣）C．（2，0）D．（，0）

11．（3分）下列运算不正确的是（）

A．xy+x﹣y﹣1＝（x﹣1）（y+1）

B．x2+y2+z2+xy+yz+zx＝（x+y+z）2

C．（x+y）（x2﹣xy+y2）＝x3+y3

D．（x﹣y）3＝x3﹣3x2y+3xy2﹣y3

12．（3分）如图，△ABC内心为I，连接AI并延长交△ABC的外接圆于D，则线段DI与DB的关系是（）

A．DI＝DB B．DI＞DB C．DI＜DB D．不确定

二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

13．（3分）计算+|sin30°﹣π0|+＝．

14．（3分）已知x1，x2是关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个不相等实数根，且满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，则k的值为．

15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝（k＞0，x＞0）的图象与等边三角形OAB的边OA，AB分别交于点M，N，且OM＝2MA，若AB＝3，那么点N的横坐标为．

16．（3分）如图，等边三角形ABC的边长为2，以A为圆心，1为半径作圆分别交AB，AC边于D，E，再以点C为圆心，CD长为半径作圆交BC边于F，连接E，F，那么图中阴影部分的面积为．

17．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的顶点为P，且抛物线经过点A（﹣1，0），B（m，0），C（﹣2，n）（1＜m＜3，n＜0），下列结论：

①abc＞0，

②3a+c＜0，

③a（m﹣1）+2b＞0，

④a＝﹣1时，存在点P使△PAB为直角三角形．

其中正确结论的序号为．

三、解答题：共69分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18．（8分）先化简，再求值：（）2?﹣÷，其中a＝，b＝．

19．（9分）如图，已知平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝3，AC＝2．

（1）求平行四边形ABCD的面积；

（2）求证：BD⊥BC．

20．（10分）高尔基说：“书，是人类进步的阶梯．”阅读可以丰富知识、拓展视野、充实生活等诸多益处．为了解学生的课外阅读情况，某校随机抽查了部分学生阅读课外书册数的情况，并绘制出如下统计图，其中条形统计图因为破损丢失了阅读5册书数的数据．

（1）求条形图中丢失的数据，并写出阅读书册数的众数和中位数；

（2）根据随机抽查的这个结果，请估计该校1200名学生中课外阅读5册书的学生人数；

（3）若学校又补查了部分同学的课外阅读情况，得知这部分同学中课外阅读最少的是6册，将补查的情况与之前的数据合并后发现中位数并没有改变，试求最多补查了多少人？

21．（10分）已知锐角△ABC的外接圆圆心为O，半径为R．

（1）求证：＝2R；

（2）若△ABC中∠A＝45°，∠B＝60°，AC＝，求BC的长及sin C的值．

22．（10分）如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先在操场上A处放一面镜子，向后退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E（O，A，B，C，D在同一条直线上），测得AC＝2m，BD＝2.1m，如果小明眼睛距地面髙度BF，DG为1.6m，试确定楼的高度OE．

23．（10分）为落实“精准扶贫”精神，市农科院专家指导李大爷利用坡前空地种植优质草莓．根据场调查，在草莓上市销售的30天中，其销售价格m（元/公斤）与第x天之间满足m＝

（x为正整数），销售量n（公斤）与第x天之间的函数关系如图所示：如果李大爷的草莓在上市销售期间每天的维护费用为80元．

（1）求销售量n与第x天之间的函数关系式；

（2）求在草莓上市销售的30天中，每天的销售利润y与第x天之间的函数关系式；（日销售利润＝日销售额﹣日维护费）

（3）求日销售利润y的最大值及相应的x．

24．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx+c顶点（2，﹣1），经过点（0，3），且与直线y＝x﹣1交于A，B 两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若在抛物线上恰好存在三点Q，M，N，满足S△QAB＝S△MAB＝S△NAB＝S，求S的值；

（3）在A，B之间的抛物线弧上是否存在点P满足∠APB＝90°？若存在，求点P的横坐标；若不存在，请说明理由．

（坐标平面内两点M（x1，y1），N（x2，y2）之间的距离MN＝）

2019年湖北省荆门市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的

1．（3分）﹣的倒数的平方是（）

A．2 B．C．﹣2 D．﹣

【分析】根据倒数，平方的定义以及二次根式的性质化简即可．

【解答】解：﹣的倒数的平方为：．

故选：B．

【点评】本题考查了倒数的定义、平方的定义以及二次根式的性质，是基础题，熟记概念是解题的关键

2．（3分）已知一天有86400秒，一年按365天计算共有31536000秒，用科学记数法表示31536000正确的是（）

A．3.1536×106B．3.1536×107

C．31.536×106D．0.31536×108

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：将31536000用科学记数法表示为3.1536×107．

故选：B．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

3．（3分）已知实数x，y满足方程组则x2﹣2y2的值为（）

A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3

【分析】首先解方程组，求出x、y的值，然后代入所求代数式即可．

【解答】解：，

①+②×2，得5x＝5，解得x＝1，

把x＝1代入②得，1+y＝2，解得y＝1，

∴x2﹣2y2＝12﹣2×12＝1﹣2＝﹣1．

故选：A．

【点评】此题主要考查了二元一次方程组解的定义．以及解二元一次方程组的基本方法．正确解关于x、y的方程组是关键．

4．（3分）将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，使得它们的直角边互相垂直，则∠1的度数是（）

A．95°B．100°C．105°D．110°

【分析】根据题意求出∠2、∠4，根据对顶角的性质、三角形的外角性质计算即可．

【解答】解：由题意得，∠2＝45°，∠4＝90°﹣30°＝60°，

∴∠3＝∠2＝45°，

由三角形的外角性质可知，∠1＝∠3+∠4＝105°，

故选：C．

【点评】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．

5．（3分）抛物线y＝﹣x2+4x﹣4与坐标轴的交点个数为（）

A．0 B．1 C．2 D．3

【分析】先计算自变量为0对应的函数值得到抛物线与y轴的交点坐标，再解方程﹣x2+4x﹣4＝0得抛物线与x轴的交点坐标，从而可对各选项进行判断．

【解答】解：当x＝0时，y＝﹣x2+4x﹣4＝﹣4，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣4），

当y＝0时，﹣x2+4x﹣4＝0，解得x1＝x2＝2，抛物线与x轴的交点坐标为（2，0），

所以抛物线与坐标轴有2个交点．

故选：C．

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．

6．（3分）不等式组的解集为（）

A．﹣＜x＜0 B．﹣＜x≤0 C．﹣≤x＜0 D．﹣≤x≤0

【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．

【解答】解：，

解①得：x≥﹣，

解②得x＜0，

则不等式组的解集为﹣≤x＜0．

故选：C．

【点评】本题考查了解一元一次不等式组，根据大大取大，小小取小，比大的小比小的大取中间，比大的大比小的小无解的原则，

7．（3分）投掷一枚质地均匀的骰子两次，向上一面的点数依次记为a，b．那么方程x2+ax+b＝0有解的概率是（）

A．B．C．D．

【分析】画树状图展示所有36种等可能的结果数，再找出使a2﹣4b≥0，即a2≥4b的结果数，然后根据概率公式求解．

【解答】解：画树状图为：

共有36种等可能的结果数，其中使a2﹣4b≥0，即a2≥4b的有19种，

∴方程x2+ax+b＝0有解的概率是，

故选：D．

【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．

8．（3分）欣欣服装店某天用相同的价格a（a＞0）卖出了两件服装，其中一件盈利20%，另一件亏损20%，那么该服装店卖出这两件服装的盈利情况是（）

A．盈利B．亏损

C．不盈不亏D．与售价a有关

【分析】设第一件衣服的进价为x元，依题意得：x（1+20%）＝a，设第二件衣服的进价为y元，依

题意得：y（1﹣20%）＝a，得出x（1+20%）＝y（1﹣20%），整理得：3x＝2y，则两件衣服总的盈亏就可求出．

【解答】解：设第一件衣服的进价为x元，

依题意得：x（1+20%）＝a，

设第二件衣服的进价为y元，

依题意得：y（1﹣20%）＝a，

∴x（1+20%）＝y（1﹣20%），

整理得：3x＝2y，

该服装店卖出这两件服装的盈利情况为：0.2x﹣0.2y＝0.2x﹣0.3x＝﹣0.1x，

即赔了0.1x元，

故选：B．

【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是根据题意，列方程求出两件衣服的进价故选，进而求出总盈亏．

9．（3分）如果函数y＝kx+b（k，b是常数）的图象不经过第二象限，那么k，b应满足的条件是（）A．k≥0且b≤0 B．k＞0且b≤0 C．k≥0且b＜0 D．k＞0且b＜0

【分析】结合题意，分k＝0和k＞0两种情况讨论，即可求解；

【解答】解：∵y＝kx+b（k，b是常数）的图象不经过第二象限，

当k＝0，b＜0时成立；

当k＞0，b≤0时成立；

综上所述，k≥0，b≤0；

故选：A．

【点评】本题考查函数图象及性质；正确理解题意中给的函数确定k＝0和k≠0有两种情况是解题的关键．

10．（3分）如图，Rt△OCB的斜边在y轴上，OC＝，含30°角的顶点与原点重合，直角顶点C在第二象限，将Rt△OCB绕原点顺时针旋转120°后得到△OC′B'，则B点的对应点B′的坐标是（）

A．（，﹣1）B．（1，﹣）C．（2，0）D．（，0）

【分析】如图，利用含30度的直角三角形三边的关系得到BC＝1，再利用旋转的性质得到OC′＝OC ＝，B′C′＝BC＝1，∠B′C′O＝∠BCO＝90°，然后利用第四象限点的坐标特征写出点B′的坐标．

【解答】解：如图，

在Rt△OCB中，∵∠BOC＝30°，

∴BC＝OC＝×＝1，

∵Rt△OCB绕原点顺时针旋转120°后得到△OC′B'，

∴OC′＝OC＝，B′C′＝BC＝1，∠B′C′O＝∠BCO＝90°，

∴点B′的坐标为（，﹣1）．

故选：A．

【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．11．（3分）下列运算不正确的是（）

A．xy+x﹣y﹣1＝（x﹣1）（y+1）

B．x2+y2+z2+xy+yz+zx＝（x+y+z）2

C．（x+y）（x2﹣xy+y2）＝x3+y3

D．（x﹣y）3＝x3﹣3x2y+3xy2﹣y3

【分析】根据分组分解法因式分解、多项式乘多项式的法则进行计算，判断即可．

【解答】解：xy+x﹣y﹣1＝x（y+1）﹣（y+1）＝（x﹣1）（y+1），A正确，不符合题意；

x2+y2+z2+xy+yz+zx＝[（x+y）2+（x+z）2+（y+z）2]，B错误，符合题意；

（x+y）（x2﹣xy+y2）＝x3+y3，C正确，不符合题意；

（x﹣y）3＝x3﹣3x2y+3xy2﹣y3，D正确，不符合题意；

故选：B．

【点评】本题考查的是因式分解、多项式乘多项式，掌握它们的一般步骤、运算法则是解题的关键．12．（3分）如图，△ABC内心为I，连接AI并延长交△ABC的外接圆于D，则线段DI与DB的关系是（）

A．DI＝DB B．DI＞DB C．DI＜DB D．不确定

【分析】连接BI，如图，根据三角形内心的性质得∠1＝∠2，∠5＝∠6，再根据圆周角定理得到∠3＝∠1，然后利用三角形外角性质和角度的代换证明∠4＝∠DBI，从而可判断DI＝DB．

【解答】解：连接BI，如图，

∵△ABC内心为I，

∴∠1＝∠2，∠5＝∠6，

∵∠3＝∠1，

∴∠3＝∠2，

∵∠4＝∠2+∠6＝∠3+∠5，

即∠4＝∠DBI，

∴DI＝DB．

故选：A．

【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了三角形的外接圆和圆周角定理．

二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

13．（3分）计算+|sin30°﹣π0|+＝1﹣．

【分析】直接利用二次根式的性质以及零指数幂的性质、立方根的性质分别化简得出答案．

【解答】解：原式＝2﹣+1﹣﹣

＝1﹣．

故答案为：1﹣．

【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．

14．（3分）已知x1，x2是关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个不相等实数根，且满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，则k的值为 1 ．

【分析】根据根与系数的关系结合（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k的值，根据方程的系数结合根的判别式△＞0，可得出关于k的一元二次不等式，解之即可得出k的取值范围，进而即可确定k值，此题得解．

【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个实数根，

∴x1+x2＝﹣（3k+1），x1x2＝2k2+1．

∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，即x1x2﹣（x1+x2）+1＝8k2，

∴2k2+1+3k+1+1＝8k2，

整理，得：2k2﹣k﹣1＝0，

解得：k1＝﹣，k2＝1．

∵关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个不相等实数根，

∴△＝（3k+1）2﹣4×1×（2k2+1）＞0，

解得：k＜﹣3﹣2或k＞﹣3+2，

∴k＝1．

故答案为：1．

【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，利用根与系数的关系结合（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，求出k值是解题的关键．

15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝（k＞0，x＞0）的图象与等边三角形OAB的边OA，

AB分别交于点M，N，且OM＝2MA，若AB＝3，那么点N的横坐标为．

【分析】根据等边三角形的性质和已知条件，可求出OM，通过做垂线，利用解直角三角形，求出点M的坐标，进而确定反比例函数的关系式；点N在双曲线上，而它的纵横坐标都不知道，因此可以用直线AB的关系式与反比例函数的关系式组成方程组，解出x的值，再进行取舍即可．

【解答】解：过点A、M分别作AC⊥OB，MD⊥OB，垂足为C、D，

∵△AOB是等边三角形，

∴AB＝OA＝OB＝3，∠AOB＝60°

∵又OM＝2MA，

∴OM＝2，MA＝1，

在Rt△MOD中，

OD＝OM＝1，MD＝，

∴M（1，）；

∴反比例函数的关系式为：y＝

在Rt△MOD中，

OC＝OA＝，AC＝，

∴A（，），

设直线AB的关系式为y＝kx+b，把A（，），B（3，0）代入得：

解得：k＝﹣，b＝，

∴y＝x+；

由题意得：解得：x＝，

∵x＞，

∴x＝，

故点N的横坐标为：

【点评】考查等边三角形的性质、待定系数法求函数的表达式、以及将两个函数的关系式组成方程组，通过解方程组求出交点坐标，在此仅求交点的横坐标即可，也就是求出方程组中的x的值．

16．（3分）如图，等边三角形ABC的边长为2，以A为圆心，1为半径作圆分别交AB，AC边于D，E，

再以点C为圆心，CD长为半径作圆交BC边于F，连接E，F，那么图中阴影部分的面积为+﹣．

【分析】过A作AM⊥BC于M，EN⊥BC于N，根据等边三角形的性质得到AM＝BC＝×2＝，求得EN＝AM＝，根据三角形的面积和扇形的面积公式即可得到结论．

【解答】解：过A作AM⊥BC于M，EN⊥BC于N，

∵等边三角形ABC的边长为2，∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°，

∴AM＝BC＝×2＝，

∵AD＝AE＝1，

∴AD＝BD，AE＝CE，

∴EN＝AM＝，

∴图中阴影部分的面积＝S△ABC﹣S扇形ADE﹣S△CEF﹣（S△BCD﹣S扇形DCF）＝×2×﹣﹣

×﹣（×﹣）＝+﹣，

故答案为：+﹣．

【点评】本题考查了扇形的面积的计算，等边三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．17．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的顶点为P，且抛物线经过点A（﹣1，0），B（m，0），C（﹣2，n）（1＜m＜3，n＜0），下列结论：

①abc＞0，

②3a+c＜0，

③a（m﹣1）+2b＞0，

④a＝﹣1时，存在点P使△PAB为直角三角形．

其中正确结论的序号为②③．

【分析】由已知可以确定a＜0，b＞0，c＝b﹣a＞0；

①abc＜0；

②当x＝3时，y＜0，即9a+3b+c＝9a+3（a+c）+c＝12a+4c＝4（3a+c）＜0；

③a（m﹣1）+2b＝﹣b+2b＝b＞0；

④a＝﹣1时，P（，b+1+），则△PAB为等腰直角三角形，b+1+＝+1，求出k＝﹣2不合题

意；

【解答】解：将A（﹣1，0），B（m，0），C（﹣2，n）代入解析式y＝ax2+bx+c，

∴对称轴x＝，

∴﹣＝m﹣1，

∵1＜m＜3，

∴ab＜0，

∵n＜0，

∴a＜0，

∴b＞0，

∵a﹣b+c＝0，

∴c＝b﹣a＞0

①abc＜0；错误；

②当x＝3时，y＜0，

∴9a+3b+c＝9a+3（a+c）+c＝12a+4c＝4（3a+c）＜0，②正确；

③a（m﹣1）+2b＝﹣b+2b＝b＞0，③正确；

④a＝﹣1时，y＝﹣x2+bx+c，

∴P（，b+1+），

若△PAB为直角三角形，则△PAB为等腰直角三角形，

∴AP的直线解析式的k＝1，

∴b+1+＝+1，

∴b＝﹣2，

∵b＞0，

∴不存在点P使△PAB为直角三角形．

④错误；

故答案为②③；

【点评】本题考查二次函数的图象及性质；能够熟练掌握二次函数的图象，根据给出的点判断函数系数a，b，c的取值情况是解题的关键．

三、解答题：共69分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18．（8分）先化简，再求值：（）2?﹣÷，其中a＝，b＝．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a、b的值代入进行计算即可．

【解答】解：原式＝

＝

＝，

当a＝，b＝时，

原式＝．

【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．

19．（9分）如图，已知平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝3，AC＝2．

（1）求平行四边形ABCD的面积；

（2）求证：BD⊥BC．

【分析】（1）作CE⊥AB交AB的延长线于点E，设BE＝x，由勾股定理列出关于x的方程，解方程求出平行四边形的高，进而即可求出其面积；

（2）利用全等三角形的判定与性质得出AF＝BE＝，BF＝5﹣＝，DF＝CE＝，从而求出BD 的长，在△BCD中利用勾股定理的逆定理即可证明两直线垂直．

【解答】解：（1）作CE⊥AB交AB的延长线于点E，如图：

设BE＝x，CE＝h

在Rt△CEB中：x2+h2＝9①

在Rt△CEA中：（5+x）2+h2＝52②

联立①②解得：x＝，h＝

∴平行四边形ABCD的面积＝AB?h＝12；