二次函数y=a(x-h)^2图像与性质

? 1 P35 练习

? 2 练习册P35 相关练习

? 3 高效课堂导学案P29 T10

?4、抛物线 y=4x^2-1 与 y轴的交点坐标是________，与x轴的交点坐标为________.

?5、抛物线 y=4(x-2)^2 与 y轴的交点坐标是________，与x轴的交点坐标为 ________.

?

22.1.4二次函数的图像和性质 教案

22.1 二次函数（6） 教学目标： 1．使学生掌握用描点法画出函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象。 2．使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。 3．让学生经历探索二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的性质。 重点难点： 重点：用描点法画出二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标是教学的重点。 难点：理解二次函数y ＝ax 2＋b x ＋c(a ≠0)的性质以及它的对称轴(顶点坐标分别是x ＝－b 2a 、(－b 2a ，4ac －b24a )是教学的难点。 教学过程： 一、提出问题 1．你能说出函数y ＝－4(x －2)2＋1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？ 2．函数y ＝－4(x －2)2＋1图象与函数y ＝－4x 2的图象有什么关系? (函数y ＝－4(x －2)2＋1的图象可以看成是将函数y ＝－4x 2的图象向右平移2个单位再向上平移1个单位得到的) 3．函数y ＝－4(x －2)2＋1具有哪些性质? (当x ＜2时，函数值y 随x 的增大而增大，当x ＞2时，函数值y 随x 的增大而减小；当x ＝2时，函数取得最大值，最大值y ＝1) 4．不画出图象，你能直接说出函数y ＝－12x 2＋x －5 2的图象的开口方向、对称轴和顶点 坐标吗? 5．你能画出函数y ＝－12x 2＋x －5 2的图象，并说明这个函数具有哪些性质吗? 二、解决问题 由以上第4个问题的解决，我们已经知道函数y ＝－12x 2＋x －5 2的图象的开口方向、对称 轴和顶点坐标。根据这些特点，可以采用描点法作图的方法作出函数y ＝－12x 2＋x －5 2的图 象，进而观察得到这个函数的性质。 解：(1)列表：在x 的取值范围内列出函数对应值表； x … －2 －1 0 1 2 3 4 … y … －612 －4 －212 －2 － 212 －4 － 612 … (2)描点：用表格里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点。

二次函数的图像及性质

《二次函数的图像及性质》教学案例及反思 教师：同学们，我们上一节课一起研究了二次函数的表达式，那么我们一起来回忆一下表达式是什么？ 学生齐答：y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a不为0) 教师：好，那么请同学们在黑板上写出一些常数较简单的二次函数表达式. （学生表现很踊跃，一下写出了十多个） 教师：黑板上这些二次函数大致有几个类型？ 学生：（讨论了3分钟）四大类!有y=ax2+bx+c;y=ax2+bx;y=ax2+c;y=ax2! 教师：太棒了！同学们归纳的很好，今天我们就一起来研究比较简单的一种y=ax2的图像及性质！ 教师在学生板书的函数中选了四个，并把复杂的系数换成简单的常数，找到如下函数：y=x2;y=-x2;y=2x2;y=-2x2.(教师在这里让学生自己准备素材！) 教师启发学生利用函数中的“列表，描点，连线”的方法，把画上述四个函数的任务分配给A,B,C,D小组，一组一个在已画好的坐标系的小黑板上动手操作.生在自己提供的素材上进行再“加工”，兴趣很大，合作交流充分，课堂气氛活跃.教师到每组巡视、指导，在确认画图全部正确的情况下，提出了要求，开始了探究之旅. 教师：请同学们小组之间比较一下，你们画的图象位置一样吗？ 学生；不一样. 教师：有什么不一样？（开始聚焦矛盾） 学生:开口不一样. 学生A：走向不一样. 学生B：经过的象限不一样. 学生C：我们的图象在原点的上方，他们的图象在原点的下方. 教师：看来是有些不一样，那么它们位置的不一样是由什么要素决定的？（教师指明了探究方向，但未指明具体的探究之路，这是明智的） 学生：是由二次项系数的取值确定的. 教师：好了，根据同学们的回答，能得到图象或函数的那些结论？（顺水推舟，放手让学生一搏） 热烈讨论后，学生D回答并板书，当a>0时，图象在原点的上方，当a<0时，图象在原点的下方。 学生E:当a>0时，图象开口向上；当a<0时，图象开口向下. 学生A站起来补充:还有顶点,顶点坐标(0,0),对称轴为y轴! （这个过程约用了十多分时间，学生体会非常充分，从学生的神情看，绝大多数学生已接受了这几个学生的板书，但教师未对结论进行优化。怎么没有一个学生说出二次函数的性质呢？短暂停顿后，教师确定了思路） 教师：刚才你们是研究图象的性质，你们能否由图象性质得出相应的函数的性质？ 看着学生茫然的目光,我在思考是不是我的问题---- 教师：请看同学们的板书，能揣摩图象“走向”的意思吗？ 学生：（七嘴八舌）当a>0时，图象从左上向下走到原点后在向右上爬；当a<0时，图象从左下向上爬到原点后在向右下走（未出现教师所预期的结论） 教师：好，你们从图象的直观形象来理解的图象性质，很贴切，你们能从自变量与函数值之间的变化角度来说明“向上爬”和“向下走”吗？

二次函数图像与性质总结

二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式 1.二次函数基本形式：2 =的性质： y ax 2.2 =+的性质： y ax c 上加下减。 =-的性质： y a x h 左加右减。

4.()2 y a x h k =-+的性质： 1.平移步骤： 方法一：⑴将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标 ()h k ，； ⑵保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2.平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．

概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者 通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确 定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我 们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对 称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 五、二次函数2y ax bx c =++的性质 1.当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值244ac b a -． 2.当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，．当2b x a <- 时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y 有最大值2 44ac b a -． 六、二次函数解析式的表示方法 1.一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2.顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；

初三二次函数的图像与性质

龙文教育学科导学 教师:学生:年级：日期: 星期: 时段: 学情分析二次函数部分内容中考难度不大，所以本套教案注重于基础知识的准确掌握。 课题二次函数的图像与性质 学习目标与考点分析学习目标：1、理解二次函数的概念；会识别最基本的二次函数并利用二次函数的概念求解析式中的未知数； 2、熟练的画出各种抛物线的图像，根据解析式的变化判断图像的平移方法； 3、熟练的选用合适的解析式利用待定系数法求解析式。 学习重点图像的平移；待定系数法求解析式 学习方法讲练结合、师生讨论、启发引导 学习内容与过程 教学内容： 知识回顾 1.一般地，形如y=ax2 +bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。其中，x 是自变量， a，b，c分别是函数解析式的二次项系数，一次项系数和常数项. 2.二次函数的解析式及其对称轴 （1）二次函数解析式的一般式（通式）：，它的顶点坐标为（，），对称轴为；（2）二次函数解析式的顶点式（通式）：，顶点坐标为（，）对称轴是；（3）二次函数解析式的交 点式：。此时抛物线的对称轴为。其中，（x 1,0）（x 2 ,0）是抛 物线与X轴的交点坐标。显然，与X轴没有交点的抛物线不能用此解析式表示的 3.二次函数y=a(x-h) 2+k的图像和性质 4.二次函数的平移问题 5. 二次函数y=ax2 +bx+c中a，b，c的符号与图像性质的关系： 6.抛物线y=ax2+bx+c与X轴的交点个数与一元二次方程的根的判别式△的符号之间的的关系

二次函数的常规解法： 一、若已知二次函数图象上的三个点的坐标或是x、y的对应数值时，可选用y＝ax2+bx+c(a≠0)求解。我们称y＝ax2+bx+c(a≠0)为一般式（三点式）。 例：二次函数图象经过A(1，3)、B(-1，5)、C(2，-1)三点，求此二次函数的解析式。 说明：因为坐标满足函数解析式的点一定在函数的图象上，反之函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式。所以将已知三点的坐标分别代入y＝ax2+bx+c (a≠0)构成三元一次方程组，解方程组得a、b、c的值，即可求二次函数解析式。 二、若已知二次函数的顶点坐标或对称轴或最值时，可选用y＝a（x＋m）2+k (a≠0)求解。我们称y ＝a（x＋m）2+k (a≠0)为顶点式（配方式）。 例：若二次函数图像的顶点坐标为（－2,3），且过点（－3,5）,求此二次函数的解析式。 说明：由于顶点式中要确定a、m、k的值，而已知顶点坐标即已知了－m、k的值。用顶点式只要确定a的值就可以求二次函数解析式。若已知这两点的坐标用一般式来解是不能确定a、b、c的值的，不妨让学生尝试一下加深印象。 三、若已知二次函数与X轴的交点坐标是A(x1,0) 、B(x2,0)时, 可选用y＝a（x-x1）(x- x2 ) (a≠0)求解。我们称y＝a（x-x1）(x- x2 ) (a≠0)为双根式（交点式）。 例：已知一个二次函数的图象经过点A（－1，0）、B（3，0）和C（0，－3）三点，求此二次函数的解析式。 说明：很多同学看到此例会想到使用一般式来解，将已知三点的坐标分别代入去求a、b、c的值来求此二次函数的解析式。往往忽略A、B两点的坐标就是二次函数图象与x轴的交点坐标，而用双根式来求解就相对比较简单容易。 四、若已知二次函数在X轴上截得的线段长为d时，可选用 或 例：抛物线y＝2x2-mx-6在X轴截锝线段长为4，求此二次函数的解析式。 说明：对于此例主要让学生明白这两种二次函数解析式中线段长d的推导过程，记住公式套进去就行了。注意相互之间不要混淆。 总之，要求一个二次函数的解析式，可以根据不同的已知条件选择恰当的解题方法，使计算过程简单化，达到迅速解题的目的。当然，也只有在平时的练习中对基本解法的适用情况做到心中有数，才能在具体的问题中结合图形及二次函数的相关性质择优选取适当的解法，提高解题能力。 二次函数的概念 如果y=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c为常数)，那么y叫做x的二次函数 注意：二次函数的表达形式为整式，且二次项系数不为0，b ，c可分别为0，也可同时为0 自变量的取值范围是全体实数 练习：

二次函数的图像和性质总结

二次函数的图像和性质 1.二次函数的图像与性质： 解析式 a 的取值 开口方向 函数值的增减 顶点坐标 对称轴 图像与y 轴的交点 时当0>a ；开口向上；在对称轴的左侧y 随x 的增大而减小，在对称轴的 右侧y 随x 的增大而增大。 时当0k 时向上平移；当0>k 时向下平移。 （2）抛物线2 )(h x a y +=的图像是由抛物线2 y ax =的图像平移h 个单位而得到 的。当0>h 时向左平移；当0k 时向上平移；当0>k 时向下平移；当0>h 时向左平移；当0

3.二次函数的最值公式： 形如 c bx ax y ++=2 的二次函数。时当0>a ，图像有最低点，函数有最小值 a b ac y 442-= 最小值 ；时当0?时抛物线与x 轴有两个交点；当0=?抛物线与x 轴有一个交点；当 0

二次函数的图像与性质知识点及练习

第二节 二次函数的图像与性质 1．能够利用描点法做出函数y ＝ax 2，y=a(x-h)2，y ＝a(x-h)2+k 和c bx ax y ++=2图象，能根据图象认识和理解二次函数的性质； 2．理解二次函数c bx ax y ++=2中a 、b 、c 对函数图象的影响。 一、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口 方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为： 顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ， ，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 例1. 在同一平面坐标系中分别画出二次函数y ＝x 2 y ＝2（x-1）2 的图像。 一、二次函数的基本形式 1. y ＝ax 2的性质： 2. y ＝ax 2＋k 的性质： （k 上加下减） 3. y ＝a （x -h ）2的性质： （h 左加右减）

4. y ＝a (x －h)2＋k 的性质： 5. y ＝ax 2+bx+c 的性质： 二、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式() 2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如 下： 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字 “左加右减，上加下减”． 方法二：

二次函数图像与性质

二次函数的图像与性质 一、知识点梳理 二次函数的概念： 一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ， ，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ， ，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二次函数各种形式之间的变换 二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2 的形式，其中 a b a c k a b h 4422 -=-=，. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2 h x a y -=； ④()k h x a y +-=2 ；⑤c bx ax y ++=2. 抛物线2y ax bx c =++的三要素：开口方向、对称轴、顶点. a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0

二次函数图像与性质总结

二次函数图像与性质总 结 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT

二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式 1.二次函数基本形式：2 =的性质： y ax 2.2 =+的性质： y ax c 上加下减。Array 3.()2 =-的性质： y a x h 左加右减。

4.()2 y a x h k =-+的性质： 二、二次函数图象的平移 1.平移步骤： 方法一：⑴将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标 ()h k ，； ⑵保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2.平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）

⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后 者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ，其中 2 424b ac b h k a a -=-= ，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般 我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴 对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 五、二次函数2y ax bx c =++的性质 1.当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =- ，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值244ac b a -． 2.当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =- ，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???，．当2 b x a <- 时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y 有最大值244ac b a -． 六、二次函数解析式的表示方法 1.一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2.顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）； 3.两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.

二次函数性质一览表

二次函数性质一览表 表达式(a≠0) a值图像 开 口 方 向 对称 轴 顶点 坐标增减性最值举例 ① y=ax2a＞0 向 上 y轴 （0， 0） ①当x＞0 时，y随x的 增大而增大 ②当x＜0 时，y随x的 增大而减小 当x=0 时，y 有最小 值，即 y最小值=0 y= 4 3x2 y=3x2 a＜0 向 下 y轴 （0， 0） ①当x＞0 时，y随x的 增大而减小 ②当x＜0 时，y随x的 增大而增大 当x=0 时，y 有最大 值，即 y最大值=0 y=-5x2 y= 3 1 x2 ② y=ax2+ k a＞0 向 上 y轴 （0， k） ①当x＞0 时，y随x的 增大而增大 ②当x＜0 时，y随x的 增大而减小 当x=0 时，y 有最小 值，即 y最小值=k y=4x2+5 y=3x2-1 a＜0 向 下 y轴 （0， k） ①当x＞0 时，y随x的 增大而减小 ②当x＜0 时，y随x的 增大而增大 当x=0 时，y 有最大 值，即 y最大值=k y=-2x2+3 y=-3x2-2 ③ y=a(x-h)2a＞0 向 上 直线 x=h （h， 0） ①当x＞h 时，y随x的 增大而增大 ②当x＜0 时，y随x的 增大而减小 当x=h 时，y 有最小 值，即 y最小值=0 y=2(x-3 )2 y= 2 1(x+2 )2

a ＜0 向下 直线x=h （h ，0） ①当x ＞h 时，y 随x 的增大而减小 ②当x ＜0时，y 随x 的增大而增大 当x=h 时，y 有最大 值，即 y 最大值=0 y=-3(x-2)2 y=-2(x+1)2 ④y=a(x-h)2+k a ＞0 向上 直线x=h （h ，k ） ①当x ＞h 时，y 随x 的增大而增大 ②当x ＜h 时，y 随x 的增大而减小 当x=h 时，y 有最小 值，即 y 最小值=k y=5(x-2)2+1 y=2(x-1)2-3 y=3(x+1)2+2 y=4(x+2)2-4 a ＜0 向下 直线x=h （h ，k ） ①当x ＞h 时，y 随x 的增大而减小 ②当x ＜h 时，y 随x 的增大而增大 当x=h 时，y 有最大 值，即 y 最大值=k y=-2(x-1)2+3 y=-3(x-2)2+1 y=-4(x+1)2+3 y=-5(x+2)2+4 ⑤ y=ax 2+bx+c 可化为： y=a(x+ ) 2a b 2+a b a c 442 - a ＞0 向上 直线x=-a b 2 （-a b 2， a b ac 442 -） ①当x ＞-a b 2时， y 随x 的增大而增大 ②当x ＜-a b 2时，y 随x 的增大而减小 当x=-a b 2时，y 有最小值，即y 最小值=a b a c 442 - y=2x 2+3x +4 y=3x 2-3x +4 y=4x 2-3x -4 y=5x 2+3x -4

中考数学-二次函数图像及其性质

中考数学 二次函数图像 【一】二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的 五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ， ，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 【二】二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值 2 44ac b a -． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ? ??，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y 有最大值 244ac b a -． 【三】二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a 二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠． ⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大． 总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b 在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，

一元二次函数的图像和性质

3.9 一元二次函数的性质和图象 一.选择题： 1. 二次函数y=(2m-1)x 2-3x+4的图象开口向下, 则m 的取值范围是( ) A. m=21 B. m> 21 C. m<21 D. 无法确定 2. 二次函数y=x 2-4x+3的顶点坐标是( ) A. (-2,1) B. (-2,-1) C. (2,1) D. (2,-1) 3. 二次函数y= -x 2+2x+3的减区间是( ) A. (-∞,+∞) B. (-∞,-1] C. [1,-1] D. [1,+∞) 4. 二次函数y=x 2-x-1的图象是( )的一条抛物线. A. 开口向上,顶点为(-21,45 ) B. 开口向下,顶点为(21,-45 ) C. 开口向上,顶点为(21,-45 ) D. 开口向下,顶点为(-21,45 ) 5. 二次函数y=f(x)的图象开口向上,它的对称轴方程为x=3,下列关系错误的是( ) A. f(5)>f(4) B. f(2)>f( 5) C. f(2)=f(4) D. f(0)

二次函数性质一览表

二次函数性质一览表 表达式 (a ≠0) a 值 图像 开口 方向 对称轴 顶点 坐标 增减性 最值 举 例 ①y=ax 2 a ＞0 向上 y 轴 （0，0） ①当x ＞0时，y 随x 的增大而增大 ②当x ＜0时，y 随x 的增大而减小 当x=0时，y 有最小值，即y 最小值=0 y= 4 3 x 2 y=3x 2 a ＜0 向下 y 轴 （0，0） ①当x ＞0时，y 随x 的增大而减小 ②当x ＜0时，y 随x 的增大而增大 当x=0时，y 有最大值，即y 最大值=0 y=-5x 2 y=3 1 - x 2 ②y=ax 2 +k a ＞0 向上 y 轴 （0，k ） ①当x ＞0时，y 随x 的增大而增大 ②当x ＜0时，y 随x 的增大而减小 当x=0时，y 有最小值，即y 最小值=k y=4x 2 +5 y=3x 2 -1 a ＜0 向下 y 轴 （0，k ） ①当x ＞0时，y 随x 的增大而减小 ②当x ＜0时，y 随x 的增大而增大 当x=0时，y 有最大值，即y 最大值=k y=-2x 2 +3 y=-3x 2 -2 ③y=a(x-h)2 a ＞0 向上 直线 x=h （h ，0） ①当x ＞h 时，y 随x 的增大而增大 ②当x ＜0时，y 随x 的增大而减小 当x=h 时，y 有最小值，即y 最小值=0 y=2(x-3)2 y=21(x+2)2 a ＜0 向下 直线 x=h （h ，0） ①当x ＞h 时，y 随x 的增大而减小 ②当x ＜0时，y 随x 的增大而增大 当x=h 时，y 有最大值，即y 最大值=0 y=-3(x-2)2 y=-2(x+1)2 ④ y=a(x-h)2 + k a ＞0 向上 直线 x=h （h ，k ） ①当x ＞h 时，y 随x 的增大而增大 ②当x ＜h 时，y 随x 的增大而减小 当x=h 时，y 有最小值，即y 最小值=k y=5(x-2)2 +1 y=2(x-1)2 -3 y=3(x+1)2+2 y=4(x+2)2-4 a ＜0 向下 直线 x=h （h ，k ） ①当x ＞h 时，y 随x 的增大而减小 ②当x ＜h 时，y 随x 的增大而增大 当x=h 时，y 有最大值，即y 最大值=k y=-2(x-1)2+3 y=-3(x-2)2+1 y=-4(x+1)2+3 y=-5(x+2)2+4 ⑤ y=ax 2 +bx+c 可化为： y=a(x+ ) 2a b 2 + a b a c 442- a ＞0 向上 直线 x=-a b 2 （-a b 2，a b a c 442-） ①当x ＞- a b 2时，y 随x 的增大而增大 ②当x ＜-a b 2时，y 随x 的增大而减小 当x=-a b 2时，y 有最小值，即y 最小值 = a b a c 442- y=2x 2 +3x+4 y=3x 2-3x+4 y=4x 2-3x-4 y=5x 2 +3x-4 a ＜0 向下 直线 x=-a b 2 （-a b 2，a b a c 442-） ①当x ＞-a b 2时，y 随x 的增大而减小 ②当x ＜- a b 2时，y 随x 的增大而增大 当x=- a b 2时，y 有最大值，即 y 最大值= a b a c 442- y=-2x 2 +3x+4 y=-3x 2 -3x+4 y=-4x 2-3x-4 y=-5x 2+3x-4

二次函数图像性质及应用

二次函数图象性质及应用 一选择题 1.已知抛物线y=﹣x2+2x﹣3，下列判断正确的是（） A.开口方向向上，y 有最小值是﹣2 B.抛物线与x轴有两个交点 C.顶点坐标是（﹣1，﹣2） D.当x＜1 时，y 随x增大而增大 2.若二次函数y=x2+bx+5 配方后为y=（x-2）2+k，则b、k 的值分别为（） A.0、5 B.0、1 C.﹣4、5 D.﹣4、1 3.将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是 A. B. 3 =x D.3 - )2 y2- =x + (5 y2- (52+ )2 - =x )2 y C. 3 (5 4.把抛物线y=﹣2x2+4x+1 图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位,所得的抛物线函数关系式是（） A.y=﹣2(x-1)2+6 B.y=﹣2(x-1)2﹣6 C.y=﹣2(x+1)2+6 D.y=-2(x+1)2-6 5.函数y=ax+b 和y=ax2+bx+c 在同一直角坐标系内的图象大致是（） A. B. C. D. 6.二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图,则a bc，b2﹣4ac，2a+b，a+b+c 这四个式子中，值为正数的有（） A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 第6题图第8题图

7.二次函数y=ax2+bx+c 对于x的任何值都恒为负值的条件是（） A.a＞0，△＞0 B.a＞0，△＜0 C.a＜0，△＞0 D.a＜0，△＜0 8.抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（） A.y=x2-x-2 B.y=﹣x2﹣x+2 C.y=﹣x2﹣x+1 D.y=﹣x2+x+2

二次函数的图象与性质

二次函数的图象与性质 复习目标： 1. 能结合具体情境确定二次函数的表达式。 2. 根据表达式求顶点坐标、对称轴、最大（小）值。 3. 二次函数图像的性质、平移。 Ⅰ题组练习一（问题习题化） 1. 已知函数y ＝x 2＋2x -3. （1）函数的图象是 ，开口方向 . （2）函数的对称轴是 ，顶点坐标是_____. （3）函数图象与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是 _________. （4）画出此抛物线的图象。 （5）观察图象回答： ①当x 时，y 随x 的增大而增大，当x 时，y 随x 的增大而减小。 ②当x 时，y>0，当x 时，y ＜0。 ③当x 时，函数有最 值为 。 （6）将函数图象向 平移 个单位，再向 平移 个单位，可得到函数y ＝x 2 （7）试确定与y ＝x 2＋2x -3的图象关于y 轴对称的抛物线表达式。 2. 二次函数y ＝a x 2＋bx+c(a ≠0)的图象如图所示， 试确定a,b,c, b 2-4ac,a+b+c 的符号。 Ⅱ知识梳理 1. 二次函数表达式： 一般式：y ＝a x 2＋bx+c(a ≠0)； 顶点式：y ＝a(x －h)2＋k,(h,k)为抛物线的顶点坐标; 交点式：y=a(x-1x )(x-2x ),1x ,2x 为抛物线与x 轴交点的横坐标。 2. 二次函数y ＝a x 2＋bx+c(a ≠0)的图 象与各项系数、顶点坐标、对称轴、b 2-4ac 之间的关系。 3. 二次函数图象平移规律。 Ⅲ题组练习二（知识网络化） 1. 对于抛物线1032-+=x x y ，开口 方向 ，顶点坐为 。 2.若二次函数k x x y ++-=22的部分图 象如图所示，关于x 的一元二次方程022=++-k x x 的一个解31=x ，另 一个解=2x ； 3. 已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)

二次函数图像与性质完整归纳

二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质：

二、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2 沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2 沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定 其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们 选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ， ，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.

二次函数图像性质表格

二次函数图像性质表格-标准化文件发布号：（9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

二次函数的图象 1、二次函数的性质 函数 二次函数 y ax bx c =++2 a 、b 、c 为常数，a ≠0 y a x h k =-+()2（a 、h 、k 为 常数，a ≠0） a ＞0 a ＜0 a ＞0 a ＜0 图 象 (1)抛物线开口向上，并向上无限延伸 (1)抛物线开口向下，并向下无限延伸 (1)抛物线开口向上，并向上无限延伸 (1)抛物线开口 向下，并向下 无限延伸 性 (2)对称轴是x ＝-b a 2，顶点是（--b a ac b a 2442，） (2)对称轴是x ＝- b a 2，顶点是 （ --b a ac b a 2442 ，） (2)对称轴是x ＝h ，顶点是（h ，k ） (2)对称轴是x ＝h ，顶点是（h ，k ） 质 (3)当 x b a <-2时，y 随x 的增大而减小；当x b a >-2时，y 随x 的增大而增大 (3)当x b a <- 2时，y 随x 的增大而增大；当 x b a >- 2时，y 随x 的增大而减小 (3)当x h <时，y 随x 的增大而减小； 当x ＞h 时，y 随x 的增大而增大。 (3)当x ＜h 时，y 随x 的增大而增大；当x ＞h 时，y 随x 的增大而减小 (4)抛物线有最低点，当 x b a =-2时，y 有最小值，y ac b a 最小值 = -442 (4)抛物线有最高点， 当x b a =- 2时，y 有最大值， y ac b a 最大值 = -442 (4)抛物线有最低点，当x ＝h 时，y 有最小值y k 最小值= (4)抛物线有最高点，当x ＝h 时，y 有最大值y k 最大值= 2、 二次函数解析式的几种形式：

二次函数图像与性质 教学设计

二次函数的图象与性质》教学设计 课时题目：二次函数的图象与性质 教学目标： 1. 能画二次函数的图象，并能够比较它们与二次函数的图象的异同，理解对二次函数图象的影响. 2. 能说出二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值. 3. 经历探索二次函数的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验，体会数形结合思想在数学中的应用. 4. 通过学生自己的探索活动，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解． 教学重点： 1.二次函数的图象和性质 2. 二次函数与二次函数图象的关系。 教学难点： 能够比较和的图象的异同，理解对二次函数图象的影响. 板书设计： 课题 二次函数的图象与性质： ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… 教学过程： Ⅰ.温故知新、引入新课： 二次函数的图象是____________. （1）开口___________； （2）对称轴是___________； （3）顶点坐标是___________； （4）当时，随的增大而___________； 当时，随的增大而___________； （5）函数图象有___________点，函数有___________值； 当_____时，取得__________值____. 问题：那二次函数的图象会是什么样子呢？它会有哪些性质呢？它与的图象有关系吗？Ⅱ.自主探索、小组互学、展学提升： 1、学生活动内容及方法 学生以小组为单位：（1）作出二次函数的图象； （2）观察、思考并与同伴交流完成“议一议” （3）一小组派代表展示，其它小组与老师评价、完善。 2、自学问题设计 （1）作出二次函数的图象： 列表：观察的表达式，选择适当的值，填写下表： 描点：在直角坐标系中描出各点； 连线：用光滑的曲线连接各点，便得到函数的图象。 议一议： 仔细观察，用心思考，与同伴交流：