概率习题答案3
第三章多维随机变量及其分布
3.1 二维随机变量及其分布
习题1
设(X,Y)的分布律为
X\Y 1 2 3
1 1/6 1/9 1/18
2 1/3a1/9
求a.
分析：
dsfsd1f6d54654646
解答：
由分布律性质∑i?jPij=1, 可知
1/6+1/9+1/18+1/3+a+1/9=1,
解得
a=2/9.
习题2(1)
2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，试用F(x,y)表示：
(1)P{a 解答： P{a 习题2(2) 2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，试用F(x,y)表示： (2)P{0 解答： P{0 习题2(3) 2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，试用F(x,y)表示： (3)P{X>a,Y≤b}. 解答： P{X>a,Y≤b}=F(+∞,b)-F(a,b). 习题3(1) 3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表： 试求： (1)P{12 解答： P{12 P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=1,Y=3} =P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=1,Y=3} =14+0+0=14. 习题3(2) 3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表： 试求： (2)P{1≤X≤2,3≤Y≤4}; 解答： P{1≤X≤2,3≤Y≤4} =P{X=1,Y=3}+P{X=1,Y=4}+P{X=2,Y=3}+P{X=2,Y=4} =0+116+0+14=516. 习题3(3) 3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表： 试求： (3)F(2,3). 解答： F(2,3)=P(1,1)+P(1,2)+P(1,3)+P(2,1)+P(2,2)+P(2,3) =14+0+0+116+14+0=916. 习题4 设X,Y为随机变量，且 P{X≥0,Y≥0}=37,P{X≥0}=P{Y≥0}=47, 求P{max{X,Y}≥0}. 解答： P{max{X,Y}≥0}=P{X,Y至少一个大于等于0} =P{X≥0}+P{Y≥0}-P{X≥0,Y≥0} =47+47-37=57. 习题5 (X,Y)只取下列数值中的值： (0,0),(-1,1),(-1,13),(2,0) 且相应概率依次为16,13,112,512, 请列出(X,Y)的概率分布表，并写出关于Y的边缘分布. 解答： (1)因为所给的一组概率实数显然均大于零，且有16+13+112+512=1, 故所给的一组实数必是某二维随机变量(X,Y)的联合概率分布. 因(X,Y)只取上述四组可能值，故事件： {X=-1,Y=0}, {X=0,Y=13, {X=0,Y=1},{X=2,Y=13,{X=2,Y=1} 均为不可能事件，其概率必为零. 因而得到下表： 解答： (1)由于1=∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy=c∫01∫01xydxdy=c4,c=4. (2)当x≤0或y≤0时，显然F(x,y)=0; 当x≥1,y≥1时，显然F(x,y)=1; 设0≤x≤1,0≤y≤1,有 F(x,y)=∫-∞x∫-∞yf(u,v)dudv=4∫0xudu∫0yvdv=x2y2. 设0≤x≤1,y>1,有 F(x,y)=P{X≤1,Y≤y}=4∫0xudu∫01ydy=x2. 最后，设x>1,0≤y≤1,有 F(x,y)=P{X≤1,Y≤y}=4∫01xdx∫0yvdv=y2. 函数F(x,y)在平面各区域的表达式 F(x,y)={0,x≤0或y≤0x2,0≤x≤1,y>1x2y2,0≤x≤1,0≤y≤1.y2,x> 习题9 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)={4.8y(2-x),0≤x≤1,x≤y≤10,其它, 求边缘概率密度fY(y). 解答： fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy ={∫0x4.8y(2-x)dy,0≤x≤10,其它={2.4x2(2-x),0≤x≤10,其它. fY(y)=∫-∞+∞f(x,y)dx ={∫0y4.8y(2-x)dx,0≤y≤10,其它={2.4y(4y-y2),0≤y≤10,其它. 习题10 设(X,Y)在曲线y=x2,y=x所围成的区域G里服从均匀分布，求联合分布密度和边缘分布密度. 解答： 区域G的面积A=∫01(x-x2)dx=16, 由题设知(X,Y)的联合分布密度为 f(x,y)={6,0≤x≤1,x2≤y≤x0,其它, 从而fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy=6∫x2xdy=6(x-x2),0≤x≤1,即 fX(x)={6(x-x2),0≤x≤10,其它, fY(y)=∫-∞+∞f(x,y)dx=6∫yydx=6(y-y),0≤y≤1, 即fY(y)={6(y-y),0≤y≤10,其它. 3.2 条件分布与随机变量的独立性 习题1 二维随机变量(X,Y)的分布律为 (2)在X=2的条件下,Y的条件分布律. 表(b) 解答： 由X与Y相互独立知 P{X=xi,Y=yi}=P{X=xi}P{Y=yj), 从而(X,Y)的联合概率分布为 习题8 设随机变量X的概率密度 f(x)=12e-∣x∣(-∞ 问：X与∣X∣是否相互独立？ 解答： 若X与∣X∣相互独立，则?a>0, 各有 P{X≤a,∣X∣≤a}=P{X≤a}?P{∣X∣≤a}, 而事件{∣X∣≤a}?{X≤a},故由上式有 P{∣X∣≤a}==P{X≤a}?P{∣X∣≤a}, ?P{∣X∣≤a}(1-P{X≤a})=0 ?P{∣X≤a∣}=0或1=P{X≤a}?(?a>0) 但当a>0时，两者均不成立，出现矛盾，故X与∣X∣不独立. 习题9 设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在(0,1)上服从均匀分布，Y的概率密度为 fY(y)={12e-y2,y>00,y≤0, (1)求X与Y的联合概率密度； (2)设有a的二次方程a2+2Xa+Y=0, 求它有实根的概率. 解答： (1)由题设易知 fX(x)={1,0 又X,Y相互独立，故X与Y的联合概率密度为 f(x,y)=fX(x)?fY(y)={12e-y2,0 (2)因{a有实根}={判别式Δ2=4X2-4Y≥0}={X2≥Y}, 故如图所示得到： P{a有实根}=P{X2≥Y}=∫∫x2>yf(x,y)dxdy=∫01dx∫0x212e-y2dy =-∫01e-x22dx=1-[∫-∞1e-x22dx-∫-∞0e-x22dx] =1-2π[12π∫-∞1e-x22dx-12π∫-∞0e-x22dx] =1-2π[Φ(1)-Φ(0), 又Φ(1)=0.8413,Φ(0)=0.5,于是Φ(1)-Φ(0)=0.3413,所以 P{a有实根}=1-2π[Φ(1)-Φ(0)]≈1-2.51×0.3413=0.1433. 3.3 二维随机变量函数的分布 习题1 设随机变量X和Y相互独立，且都等可能地取1,2,3为值，求随机变量U=max{X,Y}和V=min{X,Y}的联合分布. 解答： 由于U≥V,可见P{U=i,V=j}=0(i P{U=V=i}=P{X=Y=i}=1/9(i=1,2,3), P{U=i,V=j}=P{X=i,Y=j}+P{X=j,Y=i}=2/9(i>j), 于是，随机变量U和V的联合概率分布为 ={∫0+∞12(x+y)e-(x+y)dy,x>00,x≤0 \under2line令x+y=t{∫x+∞12te-tdt=12(x+1)e-x,x>00,x≤0, 由对称性知fY(y)={12(y+1)e-y,y>00,y≤0,显然 f(x,y)≠fX(x)fY(y),x>0,y>0, 所以X与Y不独立. (2)用卷积公式求fZ(z)=∫-∞+∞f(x,z-x)dx. 当{x>0z-x>0 即 {x>0x 当z≤0时，fZ(z)=0; 当z>0时，fZ(z)=∫0z12xe-xdx=12z2e-z. 于是，Z=X+Y的概率密度为 fZ(z)={12z2e-z,z>00,z≤0. 习题6 设随机变量X,Y相互独立，若X服从(0,1)上的均匀分布，Y服从参数1的指数分布，求随机变量Z=X+Y的概率密度. 解答： 据题意，X,Y的概率密度分布为 fX(x)={1,0 由卷积公式得Z=X+Y的概率密度为 fZ(z)=∫-∞+∞fX(x)fY(z-x)dx=∫-∞+∞fX(z-y)fY(y)dy =∫0+∞fX(z-y)e-ydy. 由0 当z≤0时，有fX(z-y)=0, 故fZ(z)=∫0+∞0?e-ydy=0; 当z>0时， fZ(z)=∫0+∞fX(z-y)e-ydy=∫max(0,z-1)ze-ydy=e-max(0,z-1)-e-z, 即 fZ(z)={0,z≤01-e-z,0 习题7 设随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)={be-(x+y),0 （1）试确定常数b； （2）求边缘概率密度fX(x),fY(y)； （3）求函数U=max{X,Y}的分布函数. 解答： （1）由∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy=1，确定常数b. ∫01dx∫0+∞be-xe-ydy=b(1-e-1)=1， 所以b=11-e-1，从而 f(x,y)={11-e-1e-(x+y),0 （2）由边缘概率密度的定义得 fX(x)={∫0+∞11-e-1e-(x+y)dy=e-x1-e-x,0 fY(x)={∫0111-e-1e-(x+y)dx=e-y,0 （3）因为f(x,y)=fX(x)fY(y)，所以X与Y独立，故 FU(u)=P{max{X,Y}≤u}=P{X≤u,Y≤u}=FX(u)FY(u)， 其中FX(x)=∫0xe-t1-e-1dt=1-e-x1-e-1,0 所以FX(x)={0,x≤0,1-e-x1-e-1,0 同理FY(y)={∫0ye-tdt=1-e-y,0 因此 FU(u)={0,u<0,(1-e-u)21-e-1,0≤u<1,1-e-u,u≥1. 习题8 设系统L是由两个相互独立的子系统L1和L2以串联方式联接而成，L1和L2的寿命分别为X与Y, 其概率密度分别为 ?1(x)={αe-αx,x>00,x≤0,?2(y)={βe-βy,y>00,y≤0, 其中α>0,β>0,α≠β,试求系统L的寿命Z的概率密度. 解答： 设Z=min{X,Y}, 则 F(z)=P{Z≥z}=P{min(X,Y)≤z} =1-P{min(X,Y)>z}=1-P{X≥z,Y≥z} =1-[1P{X 由于 F1(z)={∫0zαe-αxdx=1-e-αz,z≥00,z<0, F2(z)={1-e-βz,z≥00,z<0, 故 F(z)={1-e-(α+β)z,z≥00,z<0, 从而 ?(z)={(α+β)e-(α+β)z,z>00,z≤0. 习题9 设随机变量X,Y相互独立，且服从同一分布，试证明： P{a 解答： 设min{X,Y}=Z,则 P{a FZ(z)=P{min{X,Y}≤z}=1-P{min{X,Y}>z} =1-P{X>z,Y>z}=1-P{X>z}P{Y>z} =1-[P{X>z}]2, 代入得 P{a =[P{X>a}]2-[P{X>b}]2. 证毕. 复习总结与总习题解答 习题1 在一箱子中装有12只开关，其中2只是次品，在其中取两次，每次任取一只，考虑两种试验：(1)放回抽样；(2)不放回抽样.我们定义随机变量X,Y如下： X={0,若第一次取出的是正品1,若第一次取出的是次品, Y={0,若第二次取出的是正品1,若第二次取出的是次品, 试分别就(1),(2)两种情况，写出X和Y的联合分布律. 解答： (1)有放回抽样，(X,Y)分布律如下： P{X=0,Y=0}=10×1012×12=2536; P{X=1,Y=0}=2×1012×12=536, P{X=0,Y=1}=10×212×12=536, P{X=1,Y=1}=2×212×12=136, (2)不放回抽样，(X,Y)的分布律如下： P{X=0,Y=0}=10×912×11=4566, P{X=0,Y=1}=10×212×11=1066, P{X=1,Y=1}=2×112×11=166, 习题2 假设随机变量Y服从参数为1的指数分布，随机变量 Xk={0,若Y≤k1,若Y>k(k=1,2), 求(X1,X2)的联合分布率与边缘分布率. 解答： 因为Y服从参数为1的指数分布，X1={0,若Y≤11,若Y>1, 所以有P{X1=1}=P{Y>1}=∫1+∞e-ydy=e-1, P{X1=0}=1-e-1, 同理 P{X2=1}=P{Y>2}=∫2+∞e-ydy=e-2, P{X2=0}=1-e-2, 因为 P{X1=1,X2=1}=P{Y>2}=e-2， P{X1=1,X2=0}=P{X1=1}-P{X1=1,X2=1}=e-1-e-2, P{X1=0,X2=0}=P{Y≤1}=1-e-1, P{X1=0,X2=1}=P{X1=0}-P{X1=0,X2=0}=0, 在元旦茶话会上，每人发给一袋水果，内装3只橘子，2只苹果，3只香蕉. 今从袋中随机抽出4只，以X记橘子数，Y记苹果数，求(X,Y)的联合分布. 解答： X可取值为0,1,2,3,Y可取值0,1,2. P{X=0,Y=0}=P{?}=0, P{X=0,Y=1}=C30C21C33/C84=2/70, P{X=0,Y=2}=C30C22C32/C84=3/70, P{X=1,Y=0}=C31C20C33/C84=3/70, P{X=1,Y=1}=C31C21C32/C84=18/70, P{X=1,Y=2}=C31C22C31/C84=9/70, P{X=2,Y=0}=C32C20C32/C84=9/70, P{X=2,Y=1}=C32C21C31/C84=18/70, P{X=2,Y=2}=C32C22C30/C84=3/70, P{X=3,Y=0}=C33C20C31/C84=3/70, P{X=3,Y=1}=C33C21C30/C84=2/70, P{X=3,Y=2}=P{?}=0, 设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机变量(X,Y)的联合分布律及关 由题设X与Y相互独立，即有 pij=pi?p?j(i=1,2;j=1,2,3), p?1-p21=p11=16-18=124, 又由独立性，有 p11=p1?p?1=p1?16 故p1?=14. 从而p13=14-124-18, 又由p12=p1?p?2, 即18=14?p?2. 从而p?2=12. 类似的有 p?3=13,p13=14,p2?=34. 将上述数值填入表中有 设随机变量(X,Y)的联合分布如下表： 求：(1)a值；(2)(X,Y)的联合分布函数F(x,y)； (3)(X,Y)关于X,Y的边缘分布函数FX(x)与FY(y). 解答： (1)\because由分布律的性质可知∑i?jPij=1, 故14+14+16+a=1, ∴a=13. (2)因F(x,y)=P{X≤x,Y≤y} ①当x<1或y<-1时，F(x,y)=0; ②当1≤x<2,-1≤y<0时，F(x,y)=P{X=1,Y=-1}=1/4; ③当x≥2,-1≤y<0时， F(x,y)=P{X=1,Y=-1}+P{X=2,Y=-1}=5/12; ④当1≤x<2,y>0时， F(x,y)=P{X=1,Y=-1}+P{X=1,Y=0}=1/2; ⑤当x≥2,y≥0时， F(x,y)=P{X=1,Y=-1}+P{X=2,Y=-1} +P{X=1,Y=0}+P{X=2,Y=0} =1; 综上所述，得(X,Y)联合分布函数为 F(x,y)={0,x<1或y<-11/4,1≤x<2,-1≤y<05/12,x≥2,-1≤y<01/2,1≤x<2,y≥01,x≥2,y≥0. (3)由FX(x)=P{X≤x,Y<+∞}=∑xi FX(x)={0,x<114+14,1≤x<214+14+16+13,x≥2={0,x<11/2,1≤x<21,x≥2, 同理，由FY(y)=P{X<+∞,Y≤y}=∑yi≤y∑i=1+∞Pij, 得(X,Y)关于Y的边缘分布函数为 FY(y)={0,y<-12/12,-1≤y<01,y≥0. 习题6 设随机变量(X,Y)的联合概率密度为 f(x,y)={c(R-x2+y2),x2+y2 求：(1)常数c; (2)P{X2+Y2≤r2}(r 解答： (1)因为 1=∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dydx=∫∫x2+y2 =∫02π∫0Rc(R-ρ)ρdρdθ=cπR33, 所以有c=3πR3. (2)P{X2+Y2≤r2}=∫∫x2+y2 =∫02π∫0r3πR3(R-ρ)ρdρdθ=3r2R2(1-2r3R). 习题7 设f(x,y)={1,0≤x≤2,max(0,x-1)≤y≤min(1,x)0,其它, 求fX(x)和fY(y). 解答： max(0,x-1)={0,x<1x-1,x≥1, min(1,x)={x,x<11,x≥1, 所以，f(x,y)有意义的区域(如图)可分为 {0≤x≤1,0≤y≤x},{1≤x≤2,1-x≤y≤1}, 即f(x,y)={1,0≤x≤1,0≤y≤x1,1≤x≤2,x-1≤y≤1,0,其它所以 fX(x)={∫0xdy=x,0≤x<1∫x-11dy=2-x,1≤x≤20,其它, fY(y)={∫yy+1dx=1,0≤y≤10,其它. 习题8 若(X,Y)的分布律为则α,β应满足的条件是ˉ, 若X与Y独立，则α=ˉ,β=ˉ. 解答： 应填α+β=13;29;19. 由分布律的性质可知∑i?jpij=1, 故 16+19+118+13+α+β=1, 即α+β=13. 又因X与Y相互独立，故P{X=i,Y=j}=P{X=i}P{Y=j}, 从而 α=P{X=2,Y=2}=P{X=i}P{Y=j}, =(19+α)(14+α+β)=(19+α)(13+13)=29, β=P{X=3,Y=2}=P{X=3}P{Y=2} =(118+β)(13+α+β)=(118+β)(13+13)， ∴β=19. 习题9 设二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为 f(x,y)={ce-(2x+y),x>0,y>00,其它, (1)确定常数c; (2)求X,Y的边缘概率密度函数； (3)求联合分布函数F(x,y); (4)求P{Y≤X}; (5)求条件概率密度函数fX∣Y(x∣y); (6)求P{X<2∣Y<1}. 解答： (1)由∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy=1求常数c. ∫0+∞∫0+∞ce-(2x+y)dxdy=c?(-12e-2x)\vline0+∞?(-e-y)∣0+∞=c2=1, 所以c=2. (2)fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy={∫0+∞2e-2xe-ydy,x>00,x≤0={2e-2x,x>00,x≤0, fY(y)=∫-∞+∞f(x,y)dx={∫0+∞2e-2xe-ydx,y>00,其它={e-y,y>00,y≤0. (3)F(x,y)=∫-∞x∫-∞yf(u,v)dvdu ={∫0x∫0y2e-2ue-vdvdu,x>0,y>00,其它 ={(1-e-2x)(1-e-y),x>0,y>00,其它. (4)P{Y≤X}=∫0+∞dx∫0x2e-2xe-ydy=∫0+∞2e-2x(1-e-x)dx=13. (5)当y>0时， fX∣Y(x∣y)=f(x,y)fY(y)={2e-2xe-ye-y,x>00,x≤0={2e-2x,x>00,x≤0. (6)P{X<2∣Y<1}=P{X<2,Y<1}P{Y<1} =F(2,1)∫01e-ydy=(1-e-1)(1-e-4)1-e-1=1-e-4. 习题10 设随机变量X以概率1取值为0, 而Y是任意的随机变量，证明X与Y相互独立. 解答： 因为X的分布函数为F(x)={0,当x<0时1,当x≥0时, 设Y的分布函数为FY(y),(X,Y)的分布函数为F(x,y)，则当x<0时，对任意y, 有 F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}=P{(X≤x)∩(Y≤y)} =P{?∩(Y≤y)}=P{?}=0=FX(x)FY(y); 当x≥0时，对任意y, 有 F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}=P{(X≤x)∩(Y≤y)} =P{S∩(Y≤y)}=P{Y≤y}=Fy(y)=FX(x)FY(y), 依定义，由F(x,y)=FX(x)FY(y)知，X与Y独立. 习题11 设连续型随机变量(X,Y)的两个分量X和Y相互独立，且服从同一分布，试证P{X≤Y}=1/2. 解答： 因为X,Y独立，所以f(x,y)=fX(x)fY(y). P{X≤Y}=∫∫x≤yf(x,y)dxdy=∫∫x≤yfX(x)fY(y)dxdy =∫-∞+∞[fY(y)∫-∞yfX(x)dx]dy=∫-∞+∞[fY(y)FY(y)]dy =∫-∞+∞FY(y)dFY(y)=F2(y)2∣-∞+∞=12, 也可以利用对称性来证，因为X,Y独立同分布，所以有 P{X≤Y}=P{Y≤X}, 而P{X≤Y}+P{X≥Y}=1, 故 P{X≤Y}=1/12. 习题12 设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为 若X与Y相互独立，求参数a,b,c的值. 解答： 由于X与Y独立，则有 p22=p2?p?2 得b=(b+19)(b+49) ① p12=p1?p?2 得19=(a+19)(b+49) ② 由式①得b=29, 代入式②得a=118. 由分布律的性质，有 a+b+c+19+19+13=1, 代入a=118,b=29, 得c=16. 易验证，所求a,b,c的值，对任意的i和j均满足 pij=pi?×p?j. 因此，所求a,b,c的值为 a=118,b=29,c=16. 习题13 已知随机变量X1和X2的概率分布为 且P{X1X2=0}=1. (1)求X1和X2的联合分布律；(2)问X1和X2是否独立？ 解答： (1)本题是已知了X1与X2的边缘分布律，再根据条件P{X1X2=0}=1, 求出联合 P{X1=1,X2=1}=0,P{X1=-1,X2=1}=0. 再由p?1=p-11+p11+p01, 得 p01=12, p-10=p-1?=p-11=14,p10=p1?-p11=14, 从而得p00=0. (2)由于p-10=14≠p-1??p?0=14?12=18, 所以知X1与X2不独立. 习题14 设(X,Y)的联合密度函数为 f(x,y)={1πR2,x2+y2≤R20,其它, (1)求X与Y的边缘概率密度；(2)求条件概率密度，并问X与Y是否独立？ 解答： (1)当x<-R或x>R时，fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy=∫-∞+∞0dy=0; 当-R≤x≤R时， fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy=1πR2∫-R2-x2R2-x2dy=2πR2R2-x2. 于是fX(x)={2R2-x2πR2,-R≤x≤R0,其它. 由于X和Y的地位平等，同法可得Y的边缘概率密度是： fY(y)={2R2-y2πR2,-R≤y≤R0,其它. (2)fX∣Y(x∣y)=f(x,y)fY(y) 注意在y处x值位于∣x∣≤R2-y2这个范围内，f(x,y)才有非零值，故在此范围内，有 fX∣Y(x∣y)=1πR22πR2?R2-y2=12R2-y2, 即Y=y时X的条件概率密度为 fX∣Y(x∣y)={12R2-y2,∣x∣≤R2-y20,其它. 同法可得X=x时Y的条件概率密度为 fY∣X(y∣x)={12R2-x2,∣y∣≤R2-x20,其它. 由于条件概率密度与边缘概率密度不相等，所以X与Y不独立. 习题15 设(X,Y)的分布律如下表所示 X\Y-112 -12 1/102/103/102/101/101/10 求：(1)Z=X+Y; (2)Z=max{X,Y}的分布律. 解答： 与一维离散型随机变量函数的分布律的计算类似，本质上是利用事件及其概率的运算法则. 注意，Z的相同值的概率要合并. 概率 (X,Y)X+YXYX/Ymax{X,Y} 1/102/103/102/101/101/10 (-1,-1)(-1,1)(-1,2)(2,-1)(2,1)(2,2)-2011341-1-2-2241-1-1/2-221-112222 习题16 设(X,Y)的概率密度为 f(x,y)={1,0 求Z=X+Y的概率密度. 解答： 先求Z的分布函数Fz(z)，再求概率密度fz(z)=dFz(z)dz. 如右图所示. 当z<0时，Fz(z)=P{X+Y≤z}=0; 当0≤z<1时， Fz(z)=P{X+Y≤z}=∫∫x+y≤zf(x,y)dxdy =∫0zdx∫0z-x1dy=∫0z(z-x)dx=z2-12x2∣0z=12z2； 当1≤z<2时， Fz(z)=∫02-zdx∫0z-xdy+∫2-z1dx∫02(1-x)dy =z(2-z)-12(2-z)2+(z-1)2； 当z≥2时，∫∫Df(x,y)dxdy=∫01dx∫02(1-x)dy=1. 综上所述 Fz(z)={0,z<012z2,0≤z<1z(2-z)-12(2-z)2+(z-1)2,1≤z<21,z≥2， 故 fz(z)={z,0≤z<12-z,1≤z<20,其它. 习题17 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)={2e-(x+2y),x>0,y>00,其它, 求随机变量Z=X+2Y的分布函数. 解答： 按定义 FZ(Z)=P{x+2y≤z}, 当z≤0时，FZ(Z)=∫∫x+2y≤zf(x,y)dxdy=∫∫x+2y≤z0dxdy=0. 当z>0时，FZ(Z)=∫∫x+2y≤zf(x,y)dxdy=∫0zdx∫0(z-x)/22e-(x+2y)dy =∫0ze-x?(1-ex-z)dx=∫0z(e-x-e-z)dx =[-e-x]∣0z-ze-z=1-e-z-ze-z, 故分布函数为FZ(Z)={0,z≤01-e-z-ze-z,z>0. 习题18 设随机变量X与Y相互独立，其概率密度函数分别为 fX(x)={1,0≤x≤10,其它, fY(y)={Ae-y,y>00,y≤0, 求：(1)常数A; (2)随机变量Z=2X+Y的概率密度函数. 解答： (1)1=∫-∞+∞fY(y)dy=∫0+∞A?e-ydy=A. (2)因X与Y相互独立，故(X,Y)的联合概率密度为 f(x,y)={e-y,0≤x≤1,y>00,其它. 于是当z<0时，有 F(z)=P{Z≤z}=P{2X+Y≤z}=0; 当0≤z≤2时，有 F(z)=P{2X+Y≤z}=∫0z/2dx∫0z-2xe-ydy=∫0z/2(1-e2x-z)dx; 当z>2时，有 F(z)=P{2X+Y≤2}=∫01dx∫0z-2xe-ydy=∫01(1-e2x-z)dx. 利用分布函数法求得Z=2X+Y的概率密度函数为 fZ(z)={0,z<0(1-e-z)/2,0≤z<2(e2-1)e-z/2,z≥2. 习题19 设随机变量X,Y相互独立，若X与Y分别服从区间(0,1)与(0,2)上的均匀分布，求 U=max{X,Y}与V=min{X,Y} 的概率密度. 解答： 由题设知，X与Y的概率密度分别为 fX(x)={1,0 于是，①X与Y的分布函数分别为 FX(x)={0,x≤0x,0≤x<11,x≥1, FY(y)={0,y<0y/2,0≤y<21,y≥2, 从而U=max{X,Y}的分布函数为 FU(u)=FX(u)FY(u)={0,u<0u2/2,0≤u<1u/2,1≤u<21,u≥2, 故U=max{X,Y}的概率密度为 fU(u)={u,0 ②同理，由 FV(v)=1-[1-FX(v)][1-FY)] =FX(v)+FY(v)-FX(v)FY(v)=FX(v)+FY(v)-FU(v), 得V=min{X,Y}的分布函数为 FV(v)={0,v<0v2(3-v),0≤v<11,v≥1, 故V=min{X,Y}的概率密度为 fV(v)={32-v,0 注：(1)用卷积公式，主要的困难在于X与Y的概率密度为分段函数，故卷积需要分段计算；(2)先分别求出X,Y的分布函数FX(x)与FY(y), 然后求出FU(u)，再求导得fU(u); 同理先求出FV(v), 求导即得fV(v). 概率经典测试题及答案 一、选择题 1．下列说法正确的是 () A．要调查现在人们在数学化时代的生活方式，宜采用普查方式 B．一组数据3，4，4，6，8，5的中位数是4 C．必然事件的概率是100%，随机事件的概率大于0而小于1 D．若甲组数据的方差2s甲=0.128，乙组数据的方差2s乙=0.036，则甲组数据更稳定 【答案】C 【解析】 【分析】 直接利用概率的意义以及全面调查和抽样调查的意义、中位数、方差的意义分别分析得出答案． 【详解】 A、要调查现在人们在数学化时代的生活方式，宜采用抽查的方式，故原说法错误； B、一组数据3，4，4，6，8，5的中位数是4.5，故此选项错误； C、必然事件的概率是100%，随机事件的概率大于0而小于1，正确； D、若甲组数据的方差s甲2=0.128，乙组数据的方差s乙2=0.036，则乙组数据更稳定，故原说法错误； 故选：C． 【点睛】 此题考查概率的意义，全面调查和抽样调查的意义、中位数、方差的意义，正确掌握相关定义是解题关键． 2．学校新开设了航模、彩绘、泥塑三个社团，如果征征、舟舟两名同学每人随机选择参加其中一个社团，那么征征和舟舟选到同一社团的概率是（） A．2 3 B． 1 2 C． 1 3 D． 1 4 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 用数组（X，Y）中的X表示征征选择的社团，Y表示舟舟选择的社团．A，B，C分别表示航模、彩绘、泥塑三个社团， 于是可得到（A，A），（A，B），（A，C），（B，A），（B，B），（B，C），（C，A），（C，B），（C，C），共9中不同的选择结果，而征征和舟舟选到同一社团的只有（A，A），（B，B），（C，C）三种， 所以，所求概率为31 93 ，故选C． 1、已知P(A)=0.7, P(B)=0.8,则下列判断正确的是（ D ）。 A. A,B 互不相容 B. A,B 相互独立 C.A ?B D. A,B 相容 2、将一颗塞子抛掷两次，用X 表示两次点数之和，则X ＝3的概率为（ C ） A. 1/2 B. 1/12 C. 1/18 D. 1/9 3、某人进行射击，设射击的命中率为0.2,独立射击100次，则至少击中9次的概率为（ B ） A.91 9910098 .02.0C B.i i i i C -=∑100100 9 10098 .02.0 C.i i i i C -=∑100100 10 10098 .02.0 D.i i i i C -=∑- 1009 0100 98 .02.01 4、设)3,2,1(39)(=-=i i X E i ，则)( )3 12 53(32 1=+ +X X X E B A. 0 B. 25.5 C. 26.5 D. 9 5、设样本521,,,X X X 来自N （0，1），常数c 为以下何值时,统计量25 24 23 2 1X X X X X c +++? 服从t 分布。（ C ） A. 0 B. 1 C. 2 6 D. -1 6、设X ~)3,14(N ，则其概率密度为（ A ） A.6 )14(2 61- -x e π B. 3 2 )14(2 61- - x e π C. 6 )14(2 321- - x e π D. 2 3 )14(2 61-- x e π 7、321,,X X X 为总体),(2 σμN 的样本， 下列哪一项是μ的无偏估计（ A ） A. 32 12 110 351X X X + + B. 32 1416131X X X ++ C. 32 112 5 2 13 1X X X + + D. 32 16 13 13 1X X X + + 8 、设离散型随机变量X 的分布列为 则常数C 为（ C ） （A ）0 （B ）3/8 （C ）5/8 （D ）－3/8 《概率论与数理统计》习题及答案 习题三 1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与 出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 222??222 ?? 2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 24 7C 3 C 35= 2 4 7C 2C 35= 22 4 7C C 6C 35=1122 4 7C C 12C 35=12 4 7C 2C 35 = 27C /C = 2122 4 7C C 6C 35 =224 7C 3 C 35 = 3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为 F （x ，y ）=?????≤ ≤≤≤., 020,20,sin sin 其他ππy x y x 求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域? ?? ? ??≤<≤<36 ,40ππ πy x 内的概率. 【解】如图πππ {0,}(3.2)463 P X Y <≤ <≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636 F F F F --+ ππππππsin sin sin sin sin 0sin sin 0sin 434636 1).4 =--+= 题3图 说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X ，Y ）的分布密度 f （x ，y ）=???>>+-., 0, 0,0,)43(其他y x A y x e 求：（1） 常数A ； （2） 随机变量（X ，Y ）的分布函数； （3） P {0≤X <1，0≤Y <2}. 【解】（1） 由 -(34)0 (,)d d e d d 112 x y A f x y x y A x y +∞+∞ +∞ +∞ +-∞ -∞ == =?? ? ? 得 A =12 （2） 由定义，有 (,)(,)d d y x F x y f u v u v -∞-∞ = ?? (34)340012e d d (1 e )(1e )0,0, 0,0, y y u v x y u v y x -+--??-->>?==?? ?????其他 (3) {01,02}P X Y ≤<≤< 1 2 (34)3800 {01,02} 12e d d (1e )(1e )0.9499. x y P X Y x y -+--=<≤<≤==--≈? ? 5.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为 f （x ，y ）=?? ?<<<<--., 0, 42,20),6(其他y x y x k （1） 确定常数k ； （2） 求P {X ＜1，Y ＜3}； （3） 求P {X <1.5}； （4） 求P {X +Y ≤4}. 【解】（1） 由性质有 统计与概率经典例题（含答案及解析） 1．（本题8分）为了解学区九年级学生对数学知识的掌握情况，在一次数学检测中，从学区2000名九年级考生中随机抽取部分学生的数学成绩进行调查，并将调查结果绘制成如下图表： ⑴表中a和b所表示的数分别为：a= .，b= .； ⑵请在图中补全频数分布直方图； ⑶如果把成绩在70分以上（含70分）定为合格，那么该学区2000名九年级考生数学成绩为合格的学生约有多少名？ 2．为鼓励创业，市政府制定了小型企业的优惠政策，许多小型企业应运而生，某镇统 计了该镇1﹣5月新注册小型企业的数量，并将结果绘制成如下两种不完整的统计图： （1）某镇今年1﹣5月新注册小型企业一共有家．请将折线统计图补充完整； （2）该镇今年3月新注册的小型企业中，只有2家是餐饮企业，现从3月新注册的小 型企业中随机抽取2家企业了解其经营状况，请用列表或画树状图的方法求出所抽取的 2家企业恰好都是餐饮企业的概率． 3．（12分）一个不透明的口袋装有若干个红、黄、蓝、绿四种颜色的小球，小球除颜 色外完全相同，为估计该口袋中四种颜色的小球数量，每次从口袋中随机摸出一球记下 颜色并放回，重复多次试验，汇总实验结果绘制如图不完整的条形统计图和扇形统计图． 根据以上信息解答下列问题： （1）求实验总次数，并补全条形统计图； （2）扇形统计图中，摸到黄色小球次数所在扇形的圆心角度数为多少度？ （3）已知该口袋中有10个红球，请你根据实验结果估计口袋中绿球的数量．4．（本题10分）某校为了解2014年八年级学生课外书籍借阅情况，从中随机抽取了40名学生课外书籍借阅情况，将统计结果列出如下的表格，并绘制成如图所示的扇形统计图，其中科普类册数占这40名学生借阅总册数的40%． 类别科普类教辅类文艺类其他册数（本）128 80 m 48 （1）求表格中字母m的值及扇形统计图中“教辅类”所对应的圆心角a的度数； （2）该校2014年八年级有500名学生，请你估计该年级学生共借阅教辅类书籍约多少本？ 5．（10分）将如图所示的版面数字分别是1，2，3，4的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上（“A”看做是“1”）。 （1）从中随机抽出一张牌，牌面数字是偶数的概率是；（3分） （2）从中随机抽出两张牌，两张牌面数字的和是5的概率是；（3分）（3）先从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随机抽取一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用画树形图的方法求组成的 、填空题 1、设 A 、B 、C 表示三个随机事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件：①三个事件都发生 ____________ ；__②_ A 、B 发生，C 3、 设 A 、 B 、C 为三个事件，则这三个事件都不发生为 ABC; A B C.） 4、 设 A 、B 、C 表示三个事件，则事件“A 、B 、C 三个事件至少发生一个”可表示为 ，事件“A 、B 、 C 都发生”可表 示为 ， 5、 设 A 、 B 、 C 为三事件，则事件“A 发生 B 与 C 都不发生”可表示为 ________ 事__件; “A 、B 、C 不都发生”可表 示为 ____________ ；_事_ 件“A 、B 、C 都不发生”可表示为 ____ 。_（_ABC ,A B C ;A B C ） 6、 A B ___________ ；__ A B ___________ ；__A B ___________ 。_（_ B A ， A B ， A B ） 7、 设事件 A 、B 、C ，将下列事件用 A 、B 、C 间的运算关系表示：（1）三个事件都发生表示为： _______ ；_（_ 2）三 个 事件不都发生表示为： ________ ；_（_ 3）三个事件中至少有一个事件发生表示为： _____ 。_（_ ABC ， A B C ， A B C ） 8、 用 A 、B 、C 分别表示三个事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件： A 、B 出现、C 不出现 ；至少有一 个 事 件 出 现 ； 至 少 有 两 个 事 件 出 现 。 （ ABC,A B C,ABC ABC ABC ABC ） 9、 当且仅当 A 发生、 B 不发生时，事件 ________ 发_生_ 。（ A B ） 10、 以 A 表 示 事 件 “甲 种 产 品 畅 销 ， 乙 种 产 品 滞 销 ”， 则 其 对 立 事 件 A 表 示 。（甲种产品滞销或乙种产品畅销） 11、 有R 1, R 2 , R 3 三个电子元件，用A 1,A 2,A 3分别表示事件“元件R i 正常工作”（i 1,2,3） ，试用 A 1,A 2,A 3表示下列事件： 12、 若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 B _____ 事_件 A 。（包含） 13、 若 A 为不可能事件，则 P （A ）= ；其逆命题成立否 。（0，不成立） 14、 设Ａ、Ｂ为两个事件， P （A ）＝０ .5, P （A －B ）=0.2，则 P （A B ） 。（0.7） 15、 设P A 0.4，P A B 0.7，若 A, B 互不相容，则P B ______________ ；_若 A, B 相互独立，则P B _______ 。_（_0.3， 概率论与数理统计试题库 不发生 _________ ；__③三个事件中至少有一个发生 2、 设 A 、B 、C 为三个事件，则这三个事件都发生为 _______________ 。_（__A_BC ， ABC ， A B C ） ；三个事件恰有一个发生 为 ABC; ABC ABC ABC ）。 ；三个事件至少有一个发生为 事件“A 、 B 、C 三事件中至少有两个发生”可表示为 。（ A B C ， ABC ， AB BC AC ） 三个元件都正常工作 ；恰有一个元件不正常工作 至少有一个元件 正常工作 。（ A 1 A 2 A 3, A 1A 2 A 3 A 1 A 2A 3 A 1A 2A 3,A 1 A 2 A 3） 第三章连续型随机变量 3、1设随机变量 ξ 的分布函数为F(x),试以F(x)表示下列概率: 。 )()4();()3();()2();()1(a P a P a P a P >≥≤=ξξξξ 。 ）（解：)0(1)()4(); (1)()3(); 0()(P 2); ()0()()1(+-=>-=≥+=≤-+==a F a P a F a P a F a a F a F a P ξξξξ 3、2函数x 211 F(x)+=就是否可以作为某一随机变量的分布函数,如果 在其它场合恰当定义。 在其它场合恰当定义；）（,0)3(,0)2(1<<∞-∞<<∞ <<∞-x x x 解:(1)F(x)在),(∞-∞内不单调,因而不可能就是随机变量的分布函数; (2)F(x)在)0∞，（内单调下降,因而也不可能就是随机变量的分布函数; (3)F(x)在） ，（－0∞内单调上升、连续且,若定义 ???≥<<∞=01 0)()(~x x X F x F － 则)(~ x F 可以就是某一随机变量的分布函数。 3、3函数 sinx 就是不就是某个随机变量ξ的分布函数？如果ξ的取值范围为 []。，）；（，）；（，）（?? ??????????πππ230302201 解:(1)当?? ????∈2,0πx 时,sinx 0≥且1sin 20=?πxdx ,所以 sinx 可以就是某个随机变量的分布密度; (2) 因为12sin 0≠=?πxdx ,所以sinx 不就是随机变量的分布密度; (3) 当 ?????? ∈23, ππx 时,sinx<=0所以sinx 不就是随机变量的分布密度。 3、4设随机变量ξ具有对称的分布函数p(x),即p(x)=p(-x) 证明:对任意的a>0,有 【经典例题】 【例1】（2012湖北）如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 A ．1- 2π B ． 12 - 1π C ． 2π D ． 1π 【答案】A 【解析】令OA=1，扇形OAB 为对称图形，ACBD 围成面积为S 1，围成OC 为S 2，作对称轴OD ，则过C 点．S 2即为以OA 为直径的半圆面积减去三角形OAC 的面积，S 2= π2 ( 12 )2- 12 × 12 × 12 = π-28 ．在扇形OAD 中 S 12 为扇形面积减去三角形OAC 面积和 S 22 ， S 12 = 18 π×12- 18 - S 22 = π-216 ，S 1+S 2= π-24 ，扇形OAB 面积S= π4 ，选A ． 【例2】（2013湖北）如图所示，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后， 从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值E(X)＝( ) A. 126125 B. 65 C. 168125 D. 75 【答案】B 【解析】X 的取值为0，1，2，3且P(X ＝0)＝27125，P(X ＝1)＝54125，P(X ＝2)＝36125，P(X ＝3)＝8125，故E(X)＝0× 27 125＋1×54125＋2×36125＋3×8125＝6 5 ，选B. 【例3】（2012四川）节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( ) A. 14 B. 12 C. 34 D. 78 【答案】C 【解析】设第一串彩灯在通电后第x 秒闪亮，第二串彩灯在通电后第y 秒闪亮，由题意? ????0≤x≤4， 0≤y≤4，满足条件的关系式 为－2≤x－y≤2. <概率论>试题 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A U ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则 A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ??<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a = ________ b =________ 8. 设X ～2 (2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为80 81 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥= ，4 {0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分 《概率论与数理统计》习题三答案 《概率论与数理统计》习题及答案 习题三 1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正 面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表： 0 1 2 3 1 0 13 1113 C 2228 ??=g 23111C 3/8222 ??=g 0 3 18 0 0 11112228 ??= 2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表： 0 1 2 3 0 0 0 22 324 7C C 3 C 35 =g 3132 4 7C C 2C 35 =g 1 0 112 322 4 7C C C 6C 35 =g g 211 322 4 7C C C 12C 35=g g 3132 4 7C C 2C 35 =g 2 P (0黑,2红,2白)= 121322 4 7C C C 6C 35 =g g 22324 7C C 3 C 35 =g X Y X Y 224 2271 C C /C 35 = g 3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为 F （x ，y ）= ?????≤ ≤≤≤., 020,20,sin sin 其他ππy x y x 求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域 ?? ?? ?? ≤<≤<36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ {0,}(3.2)463 P X Y <≤<≤公式 ππππππ (,)(,)(0,)(0,)434636 F F F F --+ ππππππ sin sin sin sin sin 0sin sin 0sin 4346362(31).4 =--+=-g g g g 题3图 说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X ，Y ）的分布密度 f （x ，y ）= ?? ?>>+-., 0,0,0,)43(其他y x A y x e 【经典例题】 【例1】（2012）如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 A ．1- 2π B ． 12 - 1π C ． 2π D ． 1π 【答案】A 【解析】令OA=1，扇形OAB 为对称图形，ACBD 围成面积为S 1，围成OC 为S 2，作对称轴OD ，则过C 点．S 2 即为以OA 为直径的半圆面积减去三角形OAC 的面积，S 2= π2 ( 1 2 )2- 12 × 12 × 12 = π-28 ．在扇形OAD 中 S 12 为 扇形面积减去三角形OAC 面积和 S 22 ， S 12 = 18 π×12- 18 - S 22 = π-216 ，S 1+S 2= π-24 ，扇形OAB 面积S= π4 ，选 A ． 【例2】（2013）如图所示，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值E(X)＝( ) A. 126125 B. 65 C. 168125 D. 75 【答案】B 【解析】X 的取值为0，1，2，3且P(X ＝0)＝27125，P(X ＝1)＝54125，P(X ＝2)＝36125，P(X ＝3)＝8125，故E(X)＝0× 27 125＋1×54125＋2×36125＋3×8125＝6 5 ，选B. 【例3】（2012）节日前夕，小在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的 4秒任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( ) A. 14 B. 12 C. 34 D. 78 【答案】C 【解析】设第一串彩灯在通电后第x 秒闪亮，第二串彩灯在通电后第y 秒闪亮，由题意? ??0≤x ≤4， 0≤y ≤4，满足条件的关系 式为－2≤x －y ≤2. 根据几何概型可知，事件全体的测度(面积)为16平方单位，而满足条件的事件测度(阴影部分面积)为12平方单位， 概率统计练习题答案 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】 《概率论与数理统计》练习题 2答案 考试时间：120分钟 题目部分，（卷面共有22题，100分，各大题标有题量和总分） 一、选择题（10小题，共30分） 1、A 、B 任意二事件，则A B -=( )。 A 、B A - B 、AB C 、B A - D 、A B 答案：D 2、设袋中有6个球，其中有2个红球，4个白球，随机地等可能地作无放回抽样，连 续抽两次，则使P A ()=1 3成立的事件A 是( )。 A 、 两次都取得红球 B 、 第二次取得红球 C 、 两次抽样中至少有一次抽到红球 D 、 第一次抽得白球，第二次抽得红球， 答案：B 3、函数()0 0sin 01 x F x x x x ππ A 、ξη= B 、2ξηξ+= C 、2ξηξ= D 、~(2,)B p ξη+ 答案：D 5、设随机变量12,,,n ξξξ???相互独立，且i E ξ及i D ξ都存在(1,2, ,)i n =，又 12,,, ,n c k k k ，为1n +个任意常数，则下面的等式中错误的是( )。 A 、11n n i i i i i i E k c k E c ξξ==??+=+ ???∑∑ B 、11n n i i i i i i E k k E ξξ==??= ???∏∏ C 、11n n i i i i i i D k c k D ξξ==??+= ???∑∑ D 、()111n n i i i i i D D ξξ==??-= ???∑∑ 答案：C 6、具有下面分布密度的随机变量中方差不存在的是( )。 A 、()150050x x x e x ?-≤?=?>? B 、( )2 6 2x x ?-= C 、()312 x x e ?-= D 、()() 42 1 1x x ?π= + 答案：D 7、设随机变量的数学期望和方差均是1m +(m 为自然数)，那么 (){}041P m ξ<<+≥( )。 A 、 11m + B 、1m m + C 、0 D 、1m 答案：B 8、设1, , n X X 是来自总体2(, )N μσ的样本， 2 211 11, (),1n n i n i i i X X S X X n n --==--∑∑则以下结论中错误的是( )。 A 、X 与2n S 独立 B 、 ~(0, 1)X N μ σ - 习题一： 1.1 写出下列随机试验的样本空间： (1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数; 解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{Λ,7,6,51=Ω； (2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和; 解：}{12,11,4,3,22Λ=Ω； (3) 观察某医院一天内前来就诊的人数; 解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{Λ,2,1,03=Ω； (4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故： ()}{ ;51,4≤≤=Ωj i j i π (5) 检查两件产品是否合格; 解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω； (6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ()}{ 2 16,T y x T y x ≤≤=Ωπ； (7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离; 解：}{ 207ππx x =Ω； (8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：()}{ l y x y x y x =+=Ω,0,0,8φφ； 1.2 (1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ； (2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ?； (3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ??； 1、 已知P （A ）=0.7. P （B ）=0?8,则下列判断正确的是（ D ）o A. A.B 互不相容 B. A.B 相互独立 C.Ac B D. A.B 相容 2、 将一颗塞子抛掷两次，用X 表示两次点数之和，则X=3的概率为（C ） A. 1/2 B. 1/12 C. 1/18 D. 1/9 3、 某人进行射击，设射击的命中率为02独立射击100次，则至少击中9次的概率为（B ） 100 9 C ?工 C ；(x )°?2'°?98 叫' D. 1 - 工(7爲020?98叫' (-10 1-0 4、设 E(X,)= 9-3/(/= 1,2,3),则 E(3X 1+-X 2+-X 3) = ( )B 2 3 A. 0 B. 25.5 C. 26.5 D. 9 5、设样本来自N （0, 1）,常数c 为以下何值时，统计Me- t 1 —— ■ Jx + x + x 服从t 分布。（C ） A. 0 B. 1 C. 6、设则其概率密度为（A ） 7. X P X 2.X 3为总体的样本，下列哪一项是“的无偏估计（A ） A.-X, + —X. +-X. 5 10「2 C. -X.+-X.+ —X. 3 1 2 ■ 12 3 8、设离散型随机变量X 的分布列为 X 1 2 3 P C 1/4 1/8 则常数（2为（ C ） A.C ；；X )0.290.9891 KX) B ?工 Goo 020.98 "I D.-l c. D 詁+朴+朴 (x-vTJ)2 3Q D. 9、设随机变量X?N(4,25),X1、X2、X3-Xn是来自总体X的一个样本,则样本均值乂近 似的服从( B ) (A) N (4, 25) (B) N (4, 25/n) (C) N (0.1) (D) N (0, 25/n) 10、对正态总体的数学期望进行假设检验，如果在显著水平a=0.05下，拒绝假设 H。：“ =，则在显著水平a=0.01下，(B ) A.必接受 B.可能接受，也可能拒绝 C.必拒绝 D.不接受，也不拒绝77。 二、填空题(每空1.5分，共15分) 1、 A.B.C为任意三个事件，则A, B, C至少有一个事件发生表示为：_AUBUC __________ : 2、甲乙两人各自去破译密码，设它们各自能破译的概率为0.8, 06,则密码能被破译的槪 率为 ____ 0.92 ___ : 3、已知分布函数F(x)= A + Barctgx (Y> v x V +s)，贝ij A=_1/2 _____ , B=_1/3.14 _______ : 4、随机变量X 的分布律为P(X =x) = C(-)k, k =1,2,3, 则C=_27/13 ____________ ; 5、设X?b (n,p)o 若EX=4, DX=2.4,贝ij _______ 10 ____ , p= ____ 0.4 _____ 0 6、X为连续型随机变量, 1 , 0 第三章测试题 1箱子里装有12件产品,其中两件是次品.每次从箱子里任取1件产品,共取两次(取后不放回).定义随机变量X Y ，如下: 0X=1???，若第一次取出正品，若第一次取出次品 0Y=1??? ，若第二次取出正品，若第二次取出次品 (1)求出二维随机变量X Y （，）的联合分布律及边缘分布律； （2）求在Y=1的条件下，X 的条件分布律。 解 （2） 2 设二维随机变量 X Y （，）的概率密度Cy(2-x),0x 1,0y x, f(x,y)=0,.≤≤≤≤??? 其他 （1）试确定常数C ；（2）求边缘概率密度。 解 （1）1)(=??+∞∞-+∞∞-dy dx x f 即1)2(100=??-x dxdy x Cy x ，5 12 = ∴C 3设X Y （，）的联合分布律为： 求（1）Z X Y =+的分布律；（2）V min(X ,Y )=的分布律 （2） 4设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 服从(0,1)上的均匀分布，Y 的概率密度为： y 212Y e ,y 0 f (y )0,y 0 -??>=? ≤?? （1）求X 和Y 的联合概率密度； （2）设含有a 的二次方程为2 a 2Xa Y 0++=，试求a 有实根的概率。 解 （1）X 1,0x 1 f (x )0,other <<<==∴-other y x e y f x f y x f y Y X , 00,10,21)()(),(2 （2）2 a 2Xa Y 0++=有实根，则0442≥-=?Y X ，即求02 ≥-Y X 的概率 ?-=??=??=≥---≥-1 01 00 20 2 2 22 121),(}0{dx e dy e dx dxdy y x f Y X P x x y y x 3413.0)0()1(211 2 2=Φ-Φ=?- dx e x π ，π23413.010 22=?∴-dx e x 概率论与数理统计习题 一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） 1．设)4,5.1(~N X ，且8944.0)25.1(=Φ，9599.0)75.1(=Φ，则P{-2 第一章 事件与概率 1．写出下列随机试验的样本空间。 （1）记录一个班级一次概率统计考试的平均分数（设以百分制记分）。 （2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。 （3）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。 （4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 （5）在单位正方形内任意取一点，记录它的坐标。 （6）实测某种型号灯泡的寿命。 解 （1）}, 100,,1,0{n i n i ==Ω其中n 为班级 人数。 （2）}18,,4,3{ =Ω。 （3）},11,10{ =Ω。 （4）=Ω{00，100，0100，0101，0110，1100，1010，1011，0111，1101，0111，1111}，其中0表示次品，1表示正品。 （5）=Ω{(x,y) 0 必然事件 1、有下列事件：①367人中必有2人的生日相同；②抛掷一只均匀的骰子两次，朝上一面的点数之和一定大于等于2；③在标准大气压下，温度低于0℃时冰融化；④如果a、b为实数，那么a＋b＝b＋a．其中是必然事件的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2、纸箱里装有2个篮球、8个白球，从中任意摸出3个球时，至少有一个是 3、一个不透明的口袋中有10个白球和12个黑球，“任意摸出n个球，其中至少有一个白球”是必然事件，n等于（） Ａ、10 Ｂ、11 Ｃ、12 Ｄ、13 4、下列事件中，属于不可能事件的是（）A．某个数的绝对值小于0 B．某个数的相反数等于它本身 C．某两个数的和小于0 D．某两个负数的积大于0 可能事件 1、下列事件：（1）明天是晴天；（2）小明的弟弟比他小：（3）巴西与土耳其进行足球比赛，巴西队会赢；（4）太阳绕着地球转。属于不确定事件的有： 2、下列事件中，属于随机事件的是（） A. 掷一枚普通正六面体骰子，所得点数不超过6 B.买一张彩票中奖 C. 太阳从西边落下 D.口袋中装有10个红球，从中摸出一个是白球 3、下列事件： ①打开电视机，它正在播广告； ②从只装有红球的口袋中，任意摸出一个球，恰好是白球； ③两次抛掷正方体骰子，掷得的数字之和小于13； ④抛掷硬币1000次，第1000次正面向上 其中是可能事件的为（） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 4、下列事件中，属于不确定事件的有（） ①太阳从西边升起；②任意摸一张体育彩票会中奖；③掷一枚硬币，有国徽的一面朝下； ④小明长大后成为一名宇航员． A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 5、在一个不透明的箱子里放有除颜色外，其余都相同的4个小球，其中红球有3个、白球1个．搅匀后，从中同时摸出2个小球，?请你写出这个实验中的一个可能事件： _________． 6、篮球投篮时，正好命中，这是事件。在正常情况下，水由底处自然流向高处，这是事件。 概率论与数理统计练习题集及答案 一、选择题： 1．某人射击三次，以i A 表示事件“第i 次击中目标”，则事件“三次中至多击中目标一次”的正确表示为（ ） （A ）321A A A ++ （B ）323121A A A A A A ++ （C ）321321321A A A A A A A A A ++ （D ）321A A A 2．掷两颗均匀的骰子，它们出现的点数之和等于8的概率为（ ） （A ） 365 （B ）364 （C ）363 （D ）36 2 3．设随机事件A 与B 互不相容，且0)(,0)(>>B P A P ，则（ ） （A ）)(1)(B P A P -= （B ）)()()(B P A P AB P = （C ）1)(=+B A P （D ）1)(=AB P 4．随机变量X 的概率密度为???<≥=-00 )(2x x ce x f x ，则=EX （ ） （A ）21 （B ）1 （C ）2 （D ）4 1 5．下列各函数中可以作为某随机变量的分布函数的是（ ） （A ）+∞<<∞-+=x x x F ,11)(2 1 （B ）?????≤>+=0 001)(2 x x x x x F （C ）+∞<<∞-=-x e x F x ,)(3 （D ） +∞<<∞-+=x x x F ,arctan 21 43)(4π 6．已知随机变量X 的概率密度为)(x f X ，令X Y 2-=，则Y 的概率密度 )(y f Y 为（ ） （A ）)2(2y f X - （B ）)2(y f X - （C ）)2 (21y f X -- （D ）)2 (2 1y f X - 7．已知二维随机向量),(Y X 的分布及边缘分布如表 h g p f e d x c b a x p y y y X Y Y j X i 61818121321，且X 与Y 相互独立，则=h （ ） （A ）81 （B ）8 3 （C ）4 1 （D ）3 1 8．设随机变量]5,1[~U X ，随机变量)4,2(~N Y ，且X 与Y 相互独立，则=-)2(Y XY E （ ） （A ）3 （B ）6 （C ）10 （D ）12 9．设X 与Y 为任意二个随机变量，方差均存在且为正，若 EY EX EXY ?=，则下列结论不正确的是（ ） （A ）X 与Y 相互独立 （B ）X 与Y 不相关 （C ）0),cov(=Y X （D ）DY DX Y X D +=+)( 答案： 1. B 2. A 3.D 4.A 5.B 6. D 7. D 8. C 9. A 1．某人射击三次，以i A 表示事件“第i 次击中目标”，则事件“三次中恰好击中目标一次”的正确表示为（ C ） （A ）321A A A ++ （B ）323121A A A A A A ++ 练习八 班级_____________ 姓名_____________ 1. 盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到白球的只数，求X ，Y 的联合分布律. 解：（X ，Y ）的可能取值为(i , j )，i =0，1，2，3， j =0，12，i + j ≥2，联合分布律为 P {X=0, Y=2 }= 35147 2 22 2=C C C P {X=1, Y=1 }=356 47 2 21213=C C C C P {X=1, Y=2 }= 3564 7 1 2 2 213=C C C C P {X=2, Y=0 }=353 472 223=C C C P {X=2, Y=1 }= 35124 7 1 2 122 3=C C C C P {X=2, Y=2 }=35347 2 22 3=C C C P {X=3, Y=0 }= 3524 7 1 23 3=C C C P {X=3, Y=1 }=35247 123 3=C C C P {X=3, Y=2 }=0 2. 设随机变量（X ，Y ）概率密度为 ?? ?? ?<<<<--=其它,04 2,20),6(),(y x y x k y x f （1）确定常数k ； （2）求P {X <1, Y <3}； （3）求P (X <1.5}； （4）求P (X+Y ≤4}. 解：（1）∵??? ? +∞ ∞ -+∞∞ ---= = 20 12 )6(),(1dydx y x k dy dx y x f ，∴8 1 = k （2）8 3)6(81)3,1(32 10 ? ? =--= <概率经典测试题及答案
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