不等式的基本性质导学案(自动保存的)

2.1 不等式的基本性质 随堂练习1

姓名

不等式的一个等价关系（充要条件） 从实数与数轴上的点一一对应谈起

0>-?>b a b a

0=-?=b a b a 0<-?

例 1 的值的大小与（比较22)11++-a a a 解：

小结：步骤：作差—变形—判断—结论

练习1 已知x ≠0, 比较22)1(+x 与124++x x 的大小

解： 练习2

a b 和m a m b ++ （+∈R m b a ,,且a b <） 解：

例2 求证：x 2 + 3 > 3x

证：∵(x 2 + 3) - 3x = 04

3

)23(3)23()23(32222>+-=+-+-x x x

∴x 2 + 3 > 3x

例3 解关于x 的不等式（m-1）x >x+m

练习 解关于x 的不等式：)1(232≠+>+-a x a a ax ．

2.1 不等式的基本性质 课后巩固1

姓名

1 比较)5)(3(-+a a 与)4)(2(-+a a 的大小

2 已知0>>b a ，试比较2

222b a b a -+与b

a b

a -+的值的大小

此题作差后x 分大于0 ，等于0 ，小于0三种情况讨论差的符号

1． 甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m

行走，另一半时间以速度n 行走；有一半路程乙以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走，如果m ≠ n ，问：甲乙两人谁先到达指定地点？ 解：设从出发地到指定地点的路程为S ，

甲乙两人走完全程所需时间分别是t 1, t 2， 则

：

21122,22t n

S

m S S n t

m t =+=+ 可得：

mn

n m S t n m S t 2)

(,221+=

+=

∴)

(2)()(2])(4[2)(22

221n m mn n m S mn n m n m mn S mn n m S n m S t t +--=++-=+-+=- ∵S , m , n 都是正数，且m ≠ n ，∴t 1 - t 2 < 0 即：t 1 < t 2 从而：甲先到到达指定地点。

3 设

x ∈R 且x ≠－1，比较1

1＋x

与1－x 的大小．

2． 已知a , b 都是正数，并且a ≠ b ，求证：a 5 + b 5 > a 2b 3 + a 3b 2 证：(a 5 + b 5 ) - (a 2b 3 + a 3b 2) = ( a 5 - a 3b 2) + (b 5 - a 2b 3 )

= a 3 (a 2 - b 2 ) - b 3 (a 2 - b 2) = (a 2 - b 2 ) (a 3 - b 3) = (a + b )(a - b )2(a 2 + ab + b 2)

∵a , b 都是正数，∴a + b , a 2 + ab + b 2 > 0

又∵a ≠ b ，∴(a - b )2 > 0 ∴(a + b )(a - b )2(a 2 + ab + b 2) > 0 即：a 5 + b 5 > a 2b 3 + a 3b 2

（提高题）若142=+y x ，比较22y x +与

20

1

的大小 提示 ：由已知得241y x -= 22y x +-20

1

=……

解：241y x -= 2

2y x +-201=……=05)15(2≥-y ∴22y x +≥20

1

（提高题）若R b a ∈,，求不等式b

a b a 1

1,

>>同时成立的条件 解：00011

?

??

<-?>>-=-ab a b b a ab

a b b a （提高题）设R c b a ∈,,，0,0<=++abc c b a 求证

01

11>++c

b a 证：∵0=++

c b a ∴222c b a ++0222=+++bc ac ab 又∵0≠abc ∴222c b a ++>0 ∴0<++bc ac ab

∵

abc ca

bc ab c b a ++=

++111 0

11>++c

b a 4．已知a 、b 为正数，且a ≠b ，比较a 3＋b 3与a 2b ＋ab 2的大小．

解析： a 3＋b 3－(a 2b ＋ab 2) ＝a 2(a －b )－b 2(a －b ) ＝(a －b )(a 2－b 2) ＝(a －b )2(a ＋b ) ∵a ＞0，b ＞0且a ≠b ∴(a －b )2＞0，a ＋b ＞0 ∴(a 3＋b 3)－(a 2b ＋ab 2)＞0 即a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2

2.1 不等式的基本性质 随堂练习2

姓名

不等式的性质

1．性质1：如果b a >，c b > 那么

a b 和m

a m

b ++（传递性） 2．性质2如果b a >，那么

c b c a +>+ （加法性）

推论：如果b a >且d c >，那么d b c a +>+ （相加法则）

推论：如果b a >且d c <，那么d b c a ->- （相减法则）

3．性质3 如果b a >且0>c , 那么bc ac >

如果b a >且0>b a , 那么n n b a > )1(>∈n N n 且

2求证：如果0>>b a ，那么n n b a > )1(>∈n N n 且

练习 课本P 30页

1、 判断下列命题的真假：如果是真命题，请说明理由；如果是假命题，请举出反例． （1） 若b-a>-a ，则b>0； （2） 若b+a>a ，则b>0； （3） 若ab>0，则a>0且b>0； （4） 若a>b ，则22bc ac >； （5） 若22bc ac >，则a>b ；

（6） 若ab>c ，则b c a >

； （7） 若a>b ，则)0(22≠>c c

b

c a ；

（8） 若a>b ，c>d ，则a-d>b-c ．

2、 已知a

a

b 1

________________1；

（3）

b

c a c ____________． 练习 课本P 31页

1、 选择题：

（1）如果n m y x >>,，那么下列不等式中正确的是----------------------（ ） (A)n y m x ->-； (B) n y m x +>+ ； (C)

m

y

n x >； (D)yn xm >． （2）如果0>>b a ，那么下列不等式中不正确的是-----------------------（ ） (A)

b

a 1

1<； (B) b a 11> ；

(C)2b ab >； (D)ab a >2．

（3）如果b a >，那么下列不等式中正确的是-----------------------------（ ）

(A)

b

a 1

1< ； (B)22b a >； (C)c b c a >； (D)1

12

2+>+c b

c a ． （4）若0<

2

11y x -<-； (B)33y x <； (C) )(*121

2N n y x

n n ∈<++ ； (D) )(*22N n y x n n ∈<．

2、 当0≠a 时，比较两式2

2

)1(+a 与124++a a 的值的大小．

3、 已知0>>b a ，试比较2222b a b a -+与b

a b a -+的值的大小．

2.1 不等式的基本性质 课后巩固2

姓名

选择题：

（1）如果n m y x >>,，那么下列不等式中正确的是----------------------（ ） (A)n y m x ->-； (B) n y m x +>+ ； (C)

m

y

n x >； (D)yn xm >． （2）如果0>>b a ，那么下列不等式中不正确的是-----------------------（ ） (A)

b

a 1

1<； (B) b a 11> ；

(C)2b ab >； (D)ab a >2．

（3）如果b a >，那么下列不等式中正确的是-----------------------------（ ）

(A)

b

a 1

1< ； (B)22b a >； (C)c b c a >； (D)1

12

2+>+c b

c a ． （4）若0<

2

11y x -<-； (B)33y x <； (C) )(*121

2N n y x

n n ∈<++ ； (D) )(*22N n y x n n ∈<．

（5）．有下述说法：①0a b >>是22a b >的充要条件. ②0a b >>是b

a 1

1<的充要条件. ③0a b >>是33a b >的充要条件.则其中正确的说法有（ ） A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．3个

(6).已知c b a ,,满足,a b c <<且0

A ．ac ab > B.0)(<-a b c C.2

2ab cb < D.0)(<-c a ac

(7)．已知a ，b 都是实数，那么“22b a >”是“a >b ”的（ ）

（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件

（1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题：

①22,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,22；

③22,0b ab a b a >><<则若； ④b

a b a 1

1,0<<<则若；

⑤b

a

a b b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0；

⑦b c b a c a b a c ->

->>>则若,0； ⑧11

,a b a b

>>若，则0,0a b ><。 其中正确的命题是______

不等式的基本性质导学案(自动保存的)

2.1 不等式的基本性质 随堂练习1 姓名 不等式的一个等价关系（充要条件） 从实数与数轴上的点一一对应谈起 0>-?>b a b a 0=-?=b a b a 0<-?

例2 求证：x 2 + 3 > 3x 证：∵(x 2 + 3) - 3x = 04 3 )23(3)23()23(32222>+-=+-+-x x x ∴x 2 + 3 > 3x 例3 解关于x 的不等式（m-1）x >x+m 练习 解关于x 的不等式：)1(232≠+>+-a x a a ax ．

2.1 不等式的基本性质 课后巩固1 姓名 1 比较)5)(3(-+a a 与)4)(2(-+a a 的大小 2 已知0>>b a ，试比较2 222b a b a -+与b a b a -+的值的大小 此题作差后x 分大于0 ，等于0 ，小于0三种情况讨论差的符号 1． 甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m 行走，另一半时间以速度n 行走；有一半路程乙以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走，如果m ≠ n ，问：甲乙两人谁先到达指定地点？ 解：设从出发地到指定地点的路程为S ， 甲乙两人走完全程所需时间分别是t 1, t 2， 则 ： 21122,22t n S m S S n t m t =+=+ 可得： mn n m S t n m S t 2) (,221+= += ∴) (2)()(2])(4[2)(22 221n m mn n m S mn n m n m mn S mn n m S n m S t t +--=++-=+-+=- ∵S , m , n 都是正数，且m ≠ n ，∴t 1 - t 2 < 0 即：t 1 < t 2 从而：甲先到到达指定地点。 3 设 x ∈R 且x ≠－1，比较1 1＋x 与1－x 的大小．

基本不等式(导学案)

基本不等式(导学案) ab，3.4 ab,2 1、学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等 号“?”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等 a，b2、理解利用基本不等式ab 证明不等式的方法 ,2 ab，3、进一步掌握基本不等式；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决ab,2 一些简单的实际问题 ab，应用数形结合的思想理解不等式并从不同角度探索不等式的证明过程；ab,2 理解“当且仅当a=b时取等号”的数学内涵 1、回顾：二元一次不等式（组）与简单的线形规划问题。 2、如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案 中找出一些相等关系或不等关系吗？ 1、重要不等式： 22如果a,b,R,那么a，b,2ab(当且仅当a,b时取","号) 1

a，b2、基本不等式：如果a,b是正数，那么 ,ab(当且仅当a,b时取","号).2 a，b3、我们称ab为a,b的算术平均数，称的几何平均数为a,b2 a，b224、a，b,2ab和,ab成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是实数，2 而后者要求a,b都是正数。 1、已知x、y都是正数，求证： 223333yx(1)?2； (2)（＋）（＋）（＋）?８. xyxyxyxy，xy 92、求(x>5)的最小值. fxx()4,，x,5 283、若x>0,y>0,且,求xy的最小值. ，,1xy 11，4、设a、b?R且a＋b＝1,求＋的最小值 1,a1,b 1、两正数a、b的算术平均数与几何平均数成立的条件。?理解“当且仅当a=b 时取等 号”的数学内涵。 2、当两个正数之积为定值时，其和有最小值 当两个正数之和为定值时，其积有最大值 3、利用基本不等式求最值时必须满足三个条件:一正二定三相等. 4、用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行： (1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)正确写出答案. 2

人教A版选修4-5 不等式的基本性质 学案

一 不等式 1不等式的基本性质 知识梳理 1.两个实数大小的比较 a>b ?_____________; a=b_____________a-b=0; _____________?a-b<0. 2.不等式的基本性质 （1）如果a>b ，那么bb,b>c ，那么__________，即a>b,b>c ?__________. (3)如果a>b ，那么a+c__________b+c. (4)如果a>b,c>0，那么ac__________bc;如果a>b,c<0,那么ac__________bc. （5）如果a>b>0，那么a n __________b n (n ∈N ,n≥2). (6)如果__________,那么n n b a >(n ∈N ,n≥2). 3.作差比较法 （1）理论依据：____________________________________. (2)方法步骤:①_________;②_________;③_________;④_________. 知识导学 1.实数大小比较的原理与实数乘法的符号法则是推导不等式性质的依据.与等式相比,主要区别在数乘这一性质上,对于不等式a=b ?ac=bc,不论c 是正数,负数还是零,都是成立的,而对于不等式a>b,两边同乘以c 之后,ac 与bc 的大小关系就需对c 加以讨论确定. 2.学习不等式的概念与性质应着重从如下三方面去思考: (1)不等式及其变形的不等号中有无等号. 理解严格不等号“>”“<”或“≠”与严格不等号“≥”或“≤”的意义，养成有区别使用它们的习惯. （2）不等式的传递变形中应注意不等号方向的一致性. （3）适度地放大或缩小是不等式变形的关键. 3.不等式的一些性质在应用时可以适当延伸，如将“>”改为“≥”，将正数改为非负数等等,下面列举几个例子: a≥b,b≥c ?a≥c. a≥b,c≥d ?a+c≥b+d. a>b≥0,c>d≥0?ac>bd. a>b>0,c>d>0? c b d a >. a>b,ab>0?b a 11<. 4.方法与规律: (1)同向不等式相加,异向不等式相减. (2)不等式的“乘与除”，看了“大小”看“正负”. (3)要说明一个不等式不成立，只要举一个反例即可. 疑难突破 1.使用不等式性质的前提条件 在使用不等式的性质时，一定要搞清它们成立的前提条件.例如：（1）在应用传递性时，如果两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，那么等号是传递不过去的.如

不等式导学案

七年级数学）第九章不等式与不等式组（一）—不等式的性质 学习目标： 明确什么是不等式，不等式的解及解集，能列出简单的不等式； 理解不等式的性质，能用不等式的性质解简单的不等式。 学习过程： 环节（一）复习引入： 1、比较下列各数的大小，用“＜”或“＞”填空： ① 3______－6 ②－1______0 ③______ 2、用式子表示： ① x的3倍大于5：② y与2的差小于－1： ③ x不大于1：④a不等于0； 小结：像上面这样，用不等号（<、>、≤、≥、≠等）表示不相等关系的式子，叫做不等式。 3、不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 例如：下列数值中： -4，，0， 4.5，不等式的解有哪些？ 解：当-4时，=，所以-4是不等式的解； 当0时，= ，所以0是不等式的解； 当 4.5时，= ，所以4是不等式的解； 所以，不等式的解有。 环节（二）探索不等式的性质： 1、试一试：（通过计算比较结果，在横线上用“<”、“>”填空） 第一部分 3 -2 4 7 两边同时加上一个数 3+1 -2+1 4+（-1） 7+（-1） 3+（-3） -2+（-3） 4+3 7+3 两边同时减去一个数 3-2 -2-2 4-（-2） 7-（-2） 3-（-4） -2-（-4） 4-3 7-3 观察以上各式，我们发现： 不等式两边都，不等号方向； 第二部分 9 6 -4 8 两边同时乘一个正数

两边同时除以一个正数 9÷3 6÷3 ÷÷ 9÷2 6÷2 ÷4 ÷4 观察以上各式，我们发现： 不等式两边都，不等号方向； 第三部分 9 6 -4 8 两边同时乘一个负数 两边同时除以一个负数 9÷（-3） 6÷（-3）÷（-）÷（-） 9÷（-2） 6÷（-2）÷（-4）÷（-4） 观察以上各式，我们发现： 不等式两边都，不等号方向；2、想一想：你能用式子表示不等式的三条性质吗？ 不等式的性质1：如果，那么 不等式的性质2：如果，，那么（或） 不等式的性质3：如果，，那么（或） 3、思考： ①如果不等式两边同时乘以0，不等式会有什么变化？ ②不等式两边能同时除以0吗，为什么？ 环节（三）运用不等式的基本性质解不等式 例题：利用不等式的性质解下列不等式 ① 解：根据不等式的性质，不等式两边都，不等号方向 得： ② 解：根据不等式的性质，不等式两边都，不等号方向 得： 总结：解不等式就是将不等式化成或等形式。

江苏省宿迁市钟吾初级中学七年级数学下册《7.3 不等式的性质》学案(无答案) (新版)新人教版

《7.3 不等式的性质》学案 【学习目标】 1．掌握不等式的两条基本性质，并能熟练的应用不等式的性质进行不等式的变形；2．理解不等式的基本性质与等式的基本性质之间的区别. 【学习过程】 1、请调动你聪明的大脑，回忆一下等式的性质！（共有两条哟） 等式基本性质1： 在等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式；等式基本性质2： 等式的两边都乘以或除以同一个数不等于0的数，所得的结果仍是等式. 2、探索1： （1）电梯里两人身高分别为：a米、b米，且a＞b，都升高6米后的高度后的不等式关系：a＋6＞b＋6；同理：a－3 b－3（填写“＜”、“＞”号？） （2）一个倾斜的天平两边分别放有重物，其质量分别为a和b（显然有a＞b）, 不等式的性质1： 符号表示： 探索2： 问题：如果不等式的两边都乘以（或除以）同一个不为零的数, 不等号的方向是否也不变呢？ 将不等式7＞4两边都乘以同一个数，比较所得数的大小，用“＞”，“＜”或“＝”填空： 7×3 ______4×3，7×2 ______4×2 ，7×1______ 4×1，…… 7×（－1）______4×（－1），7×（－2）______4×（－2）， 7×（－3）______4×（－3），…… 从中你能发现什么？ 不等式的性质2： 用数学式子表示： 如果a＞b，并且c＞0，那么；如果a＞b，并且c＜0，那么.

思考：不等式的两边都乘0，结果又怎样？ 如：7 4 而 7×0______ 4×0. 3 【检测反馈】 1、设a ＜b ，用“＜”或“＞”号填空： （1）a －3 b －3；（2）a －b 0.（3）―4a ―4b ；（4）5 a - 5- b . 2、根据不等式的性质，将不等式变形成x ＞a 或x ＜a 的形式。 (1)x －3＞2； (2)3x ＜2x －3 3、判断下列语句是否正确： （1）若m ＜0,则5m ＞4m ； （2）若x 为有理数，则4x 2 ＞-3x 2； （3）若y 为有理数，则4+y 2＞0； （4）若3a ＜-2a ，则a ＜0； （5）若y x 11<,则x ＜y . 4、已知x ＜y ，用“＜”或“＞”号填空： （1）22++y x ； （2）y x 3131； （3）y x --； （4）m y m x --； 5.（1）用“＞”号或“＜”号填空，并简说理由 ① 6+2 -3+2； ② 6×（-2） -3×（-2）； ③ 6÷2 -3÷2； ④ 6÷（-2） -3÷（-2） （2）如果a ＞b ，则 ① b a + c b + ② b a - c b - ③ ac c bc (＞0） ④ c a c b （ c ＜0） 【学习反思】

不等式的基本性质培优导学案

不等式的基本性质导学案 知识导引 不等式和方程一样，也是代数里的一种重要模型，在概念方面，它与方程很类似，尤其重要的是不等式具有一系列基本性质，而且数学的基本结果往往是一些不等式而不是等式． 本讲的主要知识点： 1、不等号有“≠”，“＞”，“＜”，“≥”，“≤”。“≥”表示大于或等于；“≤”表示小于或等于． 2、一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合，即不等式的解集． 3、不等式性质1：不等式两边同时加上或减去一个相同的数，不等号方向不变； 不等式性质2：不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变； 不等式性质3：不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变； 4、在数轴上表示解集，必须注意空心圈与实心点表示的不同含义． 5、不等式解集口诀：大大取大，小小取小，小大大小连起写，大大小小题无解． 6、解决与不等式相关的问题，常用到分类讨论、数形结合等相关概念和方法． 典例精析 例1：下列四个命题中，正确的有（ ） ①若a ＞b ，则a ＋1＞b ＋1；②若a ＞b ，则a －1＞b －1；③若a ＞b ，则－2a ＜－2b ；④若a ＞b ，则2a ＜2b ． A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 例1—1：已知a ，b ，c 是有理数，且a ＞b ＞c ，则下列式子中正确的是（ ） A 、ab ＞bc B 、a ＋b ＞b ＋c C 、a －b ＞b －c D 、 c b c a > 例2：若实数a ＞1，则实数a M =，32+=a N ，3 12+=a P 的大小关系为（ ） A 、P ＞N ＞M B 、M ＞N ＞P C 、N ＞P ＞M D 、M ＞P ＞N 例3：解不等式54 56110312-≥+--x x x ，并把它的解集在数轴上表示出来． 例3—1：请你写出一个满足不等式2x －1＜6的正整数x 的值： ． 例3—2：若关于x 的不等式3m －2x ＜5的解集是x ＞2，则实数m 的值为 ． 例4：某童装加工企业今年五月份，工人每人平均加工童装150套，最不熟练的工人加工的

2021学年高中数学第一章预备知识3不等式1.3.2基本不等式导学案北师大版必修一.doc

第一章 预备知识 第三章 不等式 3.2 基本不等式 导学案 1．通过两个探究实例，引导学生基本不等式，了解基本不等式的几何背景，体会数形结合的思想； 2． 借助基本不等式解决简单的最值问题， 1. 两个非负实数的算术平均值________它们的几何平均值 2. 若a≥0,b≥0,取,x a y b ==，则：,2 a b ab +≥当且仅当a=b 时，等号成立 这个不等式称为__________ 3. 当x,y 均为正数时,下面的命题均成立： （1） 若x+y = s （s 为定值）则当且仅当x=y 时,xy 取得 最大值________ （2） 若xy=p(p 为定值）则当且仅当x=y 时,x+y 取得最小值_____ 1.《几何原本》中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成为了后世数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．如图所示的图形，在AB 上取一点C ，使得AC ＝a ，BC ＝b ，过点C 作CD ⊥AB 交圆周于D ，连接OD ．作CE ⊥OD 交OD 于E ．由CD ≥DE 可以证明的不等式为（ ） A ．≥（a ＞0，b ＞0） B ．（a ＞0，b ＞0） C ．≥（a ＞0，b ＞0） D ．a 2+b 2 ≥2ab （a ＞0，b ＞0）

2．若a，b＞0，ab+2a+b＝4，则a+b的最小值为（） A．2 B．﹣1 C．2﹣2 D．2﹣3 3．若矩形ABCD的周长1为定值，则该矩形的面积的最大值是（） A．B．C．D． 4．已知m＞0，xy＞0，当x+y＝2时，不等式≥4恒成立，则m的取值范围是（）A．[，+∞）B．[2，+∞）C．（0，] D．（，2] 1．下列命题中正确的是（） A．若a，b∈R，则 B．若x＞0，则 C．若x＜0，则 D．若x∈R，则 2．下列函数中，最小值是2的是（） A．y＝B．y＝ C．y＝7x+7﹣x D．y＝x2（x＞0） 3．函数的最小值为（） A．6 B．7 C．8 D．9 4．已知实数a，b∈R+，且a+b＝2，则的最小值为（） A．9 B．C．5 D．4 5．已知x＞0，则y＝x+的最小值为（） A．4 B．16 C．8 D．10 6．若正数a，b满足＝，则当ab取最小值时，b的值为（）A．B．C．D．

不等式导学案

湘教版八年级数学科导学案 设计：周浩雄时间：2014年10月内容§4.1不等式 学习目标【知识技能】 1. 根据具体问题中的不等关系了解不等式的意义.2．从实际问题中抽象出不等式. 【数学思考】 由具体实例建立不等式，体会不等式也是刻画现实世界的有效数学模型. 【解决问题】 分析具体问题中数量之间的大小关系,得到不等式数学模型. 【情感态度】 在运用不等式知识解决困难的过程中获得成功体验，树立学好数学自信心. 重点不等式的概念，能够从实际问题中抽象出不等式 难点从实际问题中抽象出不等式. 学习过程 学生活动学习笔记 一、引 小明的爸爸开车带着小明前往观看开幕式, 在18：00时距离开幕式 场地120km,预计20：00到达开幕式场地, 设平均车速是xkm/h, 则可列 方程或 . 若想在 20：00之前到达开幕式场地，则平均车速xkm/h，应满足什么条件？ 解: 或 . 二、探 １、阅读教材，掌握下列知识 不等号： (1) “＜”读作：“ .” (2) “＞”读作：“ .” (3) “≤”读作：“.”，也可读作： “ .” (4) “≥”读作：“.”，也可读作： “ .” (5) “≠”读作：“ .” 不等式 定义：用连接而成的式子,叫做不等式.

2、典例精析 例1、用不等式表示下列数量关系： （1）x的5倍不大于－7； . (2)a与b的和的一半大于－1； . （3）x为非负数. . 例２、9月26日下午,在仁川亚运会女子十米移动靶的个人决赛上，中国选手李雪艳继广州亚运会之后,蝉联该项目冠军.已知十米移动靶每一枪满分为10.9环,李雪艳在前十枪中最低为9.2环,求李雪艳前十枪总环数x 的范围. 解: . 例3、小欢用81根火柴棍依下面的规律摆正方形，请用不等式表示小欢可摆出正方形的个数n与火柴根数81之间的关系. 解: . 三、结：写出这节课你的收获和体会. 四、用： １、判断下列式子哪些是不等式？ (1) 3＞ 2 (2) x＜ 2x+1 (3) 3x2+2x (4) x=2x-5 (5) a+b≠c (6)5≤ 2x+1 ２、用不等式表示下列数量关系: (1)a是正数； （2）a的2倍与b的差大于或等于4； (3)长、宽分别为x cm, y cm的长方形的面积小于边长为a cm的正方形的 面积.

不等式的性质1导学案

一、复习回顾:等式的性质1:（文字语言和符号语言） 等式的性质2: 二、探究新知：1：用“＞”或“＜”完成下列两组填空．你能发现其中的规律吗？（1）5 >3 ； 5＋2 3+2； 5+（-2） 3+（-2）； 5+0 3+0 (2) －1 < 3；－1＋2 3＋2 ； －1+（－3） 3+（－3）；-1+0 3+0 猜想不等式的性质1： 举例验证：: 2、用“＞”或“＜”完成下列两组填空．并总结其中的规律 (3) 6 > 2 ，6×5 2×5， 6×（－5） 2×（－5） (4) －2 < 3，（－2）×6 3×6，（－2）×（－6） 3×（一6） （5）－4 ＞－6 ，（－4）÷2 （－6）÷2 （－4）÷（－2）（－6）÷（－2） 猜想不等式的性质2： 举例验证：: 猜想不等式的性质3： 举例验证： 三、运用新知 例1、设a＞b，用“＜”或“＞”填空并口答是根据哪一条不等式基本性质 (1)3a 3b (2)a-8 b-8 (3)-2a -2b (4)a/2 b/2 (5)-3.5b+1 -3.5a+1 (6)-b-2 -a-2 例2、若a>b,则下列不等式中，成立的是（） A、a-6-3b C、a/-2-b-1 练习、若a>b，c>0,用“＜”或“＞”填空 （1）32a 32b （2）2a-4 2b-4 （3）-b -a （4）ac2 bc2

（5）ac bc （6）ac+c bc+c 四：目标检测 1、用“＜”或“＞”填空 （1）如果a>b 那么a ±c b ±c （2）如果a>b 且c>0那么ac bc （3）如果a>b 且c<0 那么c a c b 2、若a>b,则下列不等式中不成立的是（ ） A 、a-3>b-3 B 、-3a>-3b C 、a/3>b/3 D 、-a<-b 3、根据下列已知条件，说出x 与y 的不等关系，并说明是根据不等式哪一条性质。 （1）x-1/3>y-1/3 （2）-x/8<-y/8 （3）-1.25x+3>-1.25y+3 （4）8(x-y)<0 4、按下列要求，写出仍能成立的不等式 （1）x+2>-6, 两边都减去2，得 （2）x+5<0, 两边都加上-5，得 （3）3/5m>2, 两边都除以3/5,得 （4）-7/8x ≥1, 两边都乘-8/7,得

(浙江专用)2021版新高考数学一轮复习第七章不等式1第1讲不等关系与不等式教学案

第七章不等式 知识点 最新考纲 不等关系与不等式了解不等关系，掌握不等式的基本性质. 一元二次不等式及其解法了解一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，会解一元二次不等式. 二元一次不等式(组)与简单的线性 规划问题了解二元一次不等式的几何意义，掌握平面区域与二元一次不等式组之间的关系，并会求解简单的二元线性规划问题. 基本不等式 ab≤a＋b 2 (a，b＞0) 掌握基本不等式ab≤ a＋b 2 (a，b＞0)及其应用. 绝对值不等式 会解|x＋b|≤c，|x＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式． 了解不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|. 1．实数大小顺序与运算性质之间的关系 a－b>0?a>b；a－b＝0?a＝b；a－b<0?ab，ab>0?1 a < 1 b .

②a <0b >0，0b d . ④0b >0，m >0，则 ①b a b －m a －m (b －m >0)． ②a b > a ＋m b ＋m ；a b 0)． [疑误辨析] 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个实数a ，b 之间，有且只有a >b ，a ＝b ，a 1，则a >b .( ) (3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．( ) (4)一个非零实数越大，则其倒数就越小．( ) (5)同向不等式具有可加性和可乘性．( ) (6)两个数的比值大于1，则分子不一定大于分母．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√ [教材衍化] 1．(必修5P74练习T3改编)若a ，b 都是实数，则“a －b >0”是“a 2 －b 2 >0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：选A.a －b >0?a >b ?a >b ?a 2 >b 2 ， 但由a 2 －b 2 >0?/ a －b >0. 2．(必修5P75A 组T2改编) 1 5－2______1 6－5(填“>”“<”或“＝”)． 解析：分母有理化有 1 5－2＝5＋2，1 6－5 ＝6＋5，显然5＋2<6＋5，所以

不等式学案

初一升二数学不等式学案 第一课时不等式及其解集 [教学目标] 1.了解不等式概念，理解不等式的解集，能正确表示不等式的解集 2.培养学生的数感，渗透数形结合的思想. [教学重点与难点] 重点:不等式的解集的表示. 难点:不等式解集的确定. [教学设计] 一.【自主预习】 某班同学去植树，原计划每位同学植树4棵，但由于某组的10名同学另有任务，未能参加植树，其余同学每位植树6棵，结果仍未能完成计划任务，若以该班同学的人数为x,此时的x应满足怎样的关系式？ 依题意得4x>6(x-10) 1.不等式：用“>”或“<”号表示大小关系的式子,叫不等式. 解析:(1)用≠表示不等关系的式子也叫不等式 (2)不等式中含有未知数,也可以不含有未知数; (3)注意不大于和不小于的说法 2.含有一个未知数,未知数的次数是1的不等式,叫做一元一次不等式. 例1 用不等式表示 (1)a与1的和是正数; (2)y的2倍与1的和大于3; (3)x的一半与x的2倍的和是非正数; (4)c与4的和的30%不大于-2; (5)x除以2的商加上2,至多为5; (6)a与b两数的和的平方不可能大于3. 二.【合作解疑】 1、不等式的解:能使不等式成立的未知数的值,叫不等式的解. 解析:不等式的解可能不止一个. 例2 下列各数中,哪些是不等式x+1<3的解?哪些不是? -3,-1,0,1,1.5,2.5,3,3.5 解:略. 练习:1.判断数:-3,-2,-1,0,1,2,3,是不是不等式2x+3<5 的解?再找出另外的小于0的解两个. 2.下列各数:-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5中,同时适合x+5<7和2x+2>0的有哪几个数? 2、不等式的解集:一个含有未知数的不等式的所有解组成这个不等式的解集. 例3 下列说法中正确的是( ) A.x=3是不是不等式2x>1的解 B.x=3是不是不等式2x>1的唯一解;

2019-2020学年高中数学 1.2基本不等式导学案新人教版选修4-5.doc

2019-2020学年高中数学 1.2基本不等式导学案新人教版选修4-5 【学习目标】1.了解两个正数的算术平均数和几何平均数的定义； 2.使学生理解并掌握基本不等式； 3.利用基本不等式及其变形证明不等式或求最值. 【重点难点】均值不等式的应用，“等号”是否取到的问题. 一、自主学习 要点1：定理1：如果R b a ∈,，那么 ，当且仅当 时，等号成立.要点2:（基本不等式）如果0,>b a ，那么ab b a ≥+2 ，当且仅当 时，等号成立. 注：应用定理2的条件：一正、二定、三相等. 要点3：如果b a ,都是正数，我们就称 为b a ,的算术平均， 为b a ,的几何平均.于是，基本不等式可以表述为： 要点4.已知b a ab b a ++,,22中一个为定值，其他两个的最值的求法. 二、合作，探究，展示，点评 题型一.利用基本不等式证明不等式： 例1．2log log ≥+a b b a 成立的必要条件是（ ） A.1,1>>b a ， B.10,0<<>b a C.()()011>--b a ， D.以上都不正确 思考题1：已知+∈R c b a ,,，且1=++c b a .求证：8111111≥??? ??-??? ??-??? ??-c b a . 题型二.利用基本不等式求函数最值： 例2.设0>x ，则函数x x y 133- -=的最大值是 . 思考题2：已知2lg lg =+y x ，则 y x 11+的最小值为 .

题型三.基本不等式的实际应用： 例3.某公司租地建仓库，每月土地占用费1y 与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费2y 与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用1y 和2y 分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站多远处？ 思考题3：在对角线有相同长度的所有矩形中，怎样的矩形周长最长，怎样的矩形面积最大？ 【课堂小结与反思】：

2017不等关系与不等式导学案.

不等关系与不等式 导学案 命制学校：沙市五中命制教师：王旭俐 学习目标： 1了解不等式的实际应用及不等式的重要地位和作用； 2掌握实数的运算性质与大小顺序之间的关系，学会比较两个代数式的大小． 学习重点：比较两实数大小． 学习难点：差值比较法：作差→变形→判断差值的符号 学法指导： 人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的研究不等关系，反映在数学上就是证明不等式与解不等式实数的差的正负与实数的大小的比较有着密切关系，这种关系是本章容的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据因此，本节课我们有必要来研究探讨实数的运算性质与大小顺序之间的关系 知识： 在日常生活中，我们经常看到下列标志： 问题1：你知道各图中的标志有何作用？其含义是什么吗？ 提示：①最低限速：限制行驶时速v不得低于50公里； ②限制质量：装载总质量G不得超过10 t； ③限制高度：装载高度h不得超过3.5米； ④限制宽度：装载宽度a不得超过3米； ⑤时间围：t∈． 问题2：你能用一个数学式子表示上述关系吗？如何表示？ 提示：①v≥50；②G≤10；③h≤3.5；④a≤3；⑤7.5≤t≤10. 自主学习： 不等式的概念 我们用数学符号“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子叫做不等式． 1．不等关系强调的是关系，可用符号“＞”“＜”“≠”“≥”“≤”表示，而不等

式则是表示两者的不等关系，可用“a＞b”“a＜b”“a≠b”“a≥b”“a≤b”等式子表示，不等关系是可以通过不等式来体现的。 2．不等式中文字语言与符号语言之间的转换 文字语言大于，高于，超过小于，低于，少于大于等于，至少， 不低于 小于等于，至多， 不多于，不超过 符号语言＞＜≥≤ 实数可以用数轴上的点表示，数轴上的每个点都表示一个实数，且右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大． 问题1：怎样判断两个实数a、b的大小？ 提示：若a－b是正数，则a＞b；若a－b是负数，则ab?a－b>0 ab，b>c，则a>c，对吗？为什么？ 提示：正确．∵a>b，b>c，∴a－b>0，b－c>0. ∴(a－b)＋(b－c)>0.即a－c>0.∴a>c. 问题2：若a＞b，则a＋c＞b＋c，对吗？为什么？ 提示：正确．∵a＞b，∴a－b＞0，∴a＋c－b－c＞0 即a＋c＞b＋c.

《不等式的性质》导学案

第九章 不等式与不等式组 9.1 不等式 9.1.2 不等式的性质 第1课时 不等式的性质 1、2、3，并能灵活运用它们来解决问题，以提升. . 1、2、3. 3. （或减） ，不等号的方向 . a+c b+c ，a －c b －c. （或除以）同一个 ，不等号的方向 . ac bc ，或 ____a b c c . （或除以）同一个 ，不等号的方向 . ac bc ，或 ____a b c c . a+3 b+3,a+x b+x ； a-3 b-3,a-x b-x ； 3a 3b ； -3a -3b. ）

一、要点探究 探究点1：不等式的性质问题1：比较-3与-5 问题2：-3+2 -5+2问题3：由问题2 问题4：35； 问题5：由问题4 问题6： 例1. (1)若x＋3＞6，则 (2)若a－2＜3，则 探究点2：不等式的性质问题1：比较-4与6 问题2：-4×2______6×2 问题3：由问题2 问题4：4-8；4问题5：由问题4 问题6：

例2.用“>”或“<”填空： （1）已知 a>b ，则3a 3b ； （2）已知 a>b ，则-a -b . （3）已知 a

新人教版高中数学《基本不等式》导学案

基本不等式 1.掌握基本不等式,能借助几何图形说明基本不等式的意义. 2.能够利用基本不等式求最大(小)值. 3.利用基本不等式求最值时要注意“一正二定三相等”. 下图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民热情好客.在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形,设直角三角形的两条直角边 长分别为a,b,那么正方形的边长为. 问题1:上述情境中,正方形的面积为,4个直角三角形的面积的和,由于4个直角三角形的面积之和不大于正方形的面积,于是就可以得到一个不等式:,我们称之为重要不等式,即对于任意实数a,b,都有,当且仅当时,等号成立. 我们也可以通过作差法来证明:- =(a-b)2≥0, 所以,当且仅当a=b时取等号. 问题2:基本不等式 若a,b∈(0,+∞),则,当且仅当时,等号成立. 问题3:对于基本不等式,请尝试从其他角度予以解释. (1)基本不等式的几何解释: 在直角三角形中,直角三角形斜边上的斜边上的.在圆中,半径不小于半弦长. (2)如果把看作正数a、b的,看作正数a、b 的,那么该定理可以叙述为:两个正数的不小于它们的. (3)在数学中,我们称为a、b的,称为a、b 的.因此,两个正数的不小于它们的.

问题4:由基本不等式我们可以得出求最值的结论: (1)已知x,y∈(0,+∞),若积x·y=p(定值),则和x+y有最 值,当且仅当x=y时,取“=”. (2)已知x,y∈(0,+∞),若和x+y=s(定值),则积x·y有最 值,当且仅当x=y时,取“=”. 即“积为常数,;和为常数,”. 概括为:一正二定三相等四最值. 利用基本不等式求最值 的最小值. (1)已知x>,求函数y=4x-2+ - (2)已知正数a,b满足ab=a+b+3,求ab的取值范围. 利用基本不等式证明不等式 已知x、y都是正数,求证:(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3. 单调性与基本不等式 设函数f(x)=x+,x∈[0,+∞). (1)当a=2时,求函数f(x)的最小值; (2)当02)在x=a处取最小值,则实数a的值为(). -

一元一次不等式及其解法导学案

1. 理解不等式的解、不等式的解集、解不等式等概念的含义，会在数轴上表示不等式的解集； 2. 识别一元一次不等式，会解简单的一元一次不等式，并将其解集表示的数轴上； 3. 通过观察一元一次不等式的解法，对比解一元一次方程的步骤，让学生自己归纳解一元一次不等式的基本步骤. 一、课前准备 复习：（1）不等式的基本性质有哪些？ （2）解方程：1132 x x ---，并体会其步骤． 二、新课探究 探究任务一：不等式的解和解集 情境：燃放某种烟花时，为了确保安全，燃放者在点燃引火线后要在燃放前转移到10m 以外的安全区域．已知引火线的燃烧速度为0.02m/s ，燃放者离开的速度为4m/s ，那么引火线的长度应满足什么条件？ （1）设引火线的长度为x cm ，根据题意列出不等关系： _______________________________________； （2）根据不等式的基本性质，将上述不等关系转化为“x a >”或“x a <”的形式： _______________________________________； 因此，引火线的长度应该________________． 想一想. （1）4,5,6,7.2x =能使不等式5x >成立吗？ （2）你还能找出一些使不等式5x >成立的x 的值吗？ 新知：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集（solution set ）．求不等式解集的过程叫做解不等式． 试试：判断正误 ①不等式10x ->有无数个解． （ ） ②2x =是不等式25x <的一个解． （ ） ③不等式25x ≤的正数解为1和2． （ ） ④不等式230x -≤的解集为2 3 x ≥． （ ） 探究任务二：一元一次不等式及其解法 思考：观察下列不等式： 6330x +>，175x x +<，5x >，10 0.021004 x >? 上述不等式有哪些共同特点？ 新知：这些不等式左右两边都是_________，只含有_____________，并且____________________，像这样的不等式叫做一元一次不等式（linear inequality with one unknown ）． 试试：每人列举两个一元一次不等式，小组整理并检查． __________________________________________； __________________________________________； __________________________________________； __________________________________________； __________________________________________； __________________________________________； __________________________________________； __________________________________________．

初中数学【实验基地】八下 7.3不等式的性质教学案

7.3不等式的性质 【学习目标】 1．掌握不等式的两条基本性质，并能熟练的应用不等式的性质进行不等式的变形； 2．理解不等式的基本性质与等式的基本性质之间的区别； 3.体会类比的学习方法，提高新旧知识的迁移学习能力. 【学习重点】掌握不等式的两条基本性质，尤其是不等式的基本性质2； 【学习难点】不等式的基本性质2的理解和熟练运用； 【学习过程】 一.情境创设 1.水果店的小王从水果批发市场购进100千克梨和84千克苹果，你能用“<”或“>”号连接梨和苹果的进货量吗？ 100千克________84千克 2.几天后，小王卖出梨和苹果各a千克，你能用“<”或“>”号连接梨和苹果的剩余量吗？ 100-a________84-a 二.新知学习 1.在不等式5>3 两边同时加上或减去2，在横线上填上“<”或“>”号。 5+2_____3+2 5-2______3-2 2.自已写一个不等式，在它的两边同时加上.减去同一个数，看看有什么样的结果？ 不等式的性质1： 符号表示： 3.完成下列填空： 2＜3 2 ×5 ____ 3 ×5 2＜3 2 ×0.5 ____3 ×0.5 2＜3 2 ×（-1）____3×（-1）2＜3 2 ×（-5）____3 ×（-5）2＜3 2 ×（-0.5）_____ 3 ×(-0.5) 你发现了什么？ 不等式的性质2： 符号表示： 4想一想： （1）.不等式的两边都乘0，结果怎样？ (2).不等式的性质与等式的性质有什么相同点和不同点？ 三.例题讲解

1.已知x ＞ y ，下列不等式一定成吗？ （1）x-6＜y-6 (2) 3x ＜3y (3) -2x ＜-2y （4）x+9＞y+9 （5）2x+1＞2y+1 （6）-3x-1＞-3y-1 2.在下列各题横线上填入不等号，使不等式成立．并说明是根据哪一条不等式基本性质． (1)若a-3＜9， 则 a ______12； (2)若-a ＜10， 则 a______ -10； (3)若4a ＞-1, 则 a ______-4 ； (4)若23 a -＞0， 则 a _______ 0 ； 3.将下列不等式化成“x ＞a ”或“x ＜a ”的形式： （1）x - 5＞-1 （2）-2x ＞3 （3）2x- 1＜2 （4）-x ＜ 56 四.新知运用 1.（口答）已知a ＜b,用“＜”或“＞”号填空： （1）a-3___b-3 (2) 6a____6b (3) –a___-b (4) a-b____0 2.判断下列各题的推导是否正确？为什么？ (1)因为7.5＞5.7，所以-7.5＜-5.7； (2)因为a+8＞4，所以a ＞-4； (3)因为4a ＞4b ，所以a ＞b ； (4)因为-1＞-2，所以-a-1＞-a-2； (5)因为3＞2，所以3a ＞2a ． 3.已知a ＜0，用“＜”或“＞”号填空： (1)a+2 ______ 2； (2)a-1 ______ -1； (3)3a______ 0； (4)4a - ______0; (5)2a _____0; (6)3a ______0 (7)a-1______0； (8) |a|______0． 五.拓展延伸 1.将下列不等式化成“x ＞a ”或“x ＜a ”的形式 2.思考：-a 一定小于a 吗？为什么？ 7.3不等式的性质 课后作业 班级 姓名 评价 一.选择题： 1.已知a ＜b ，下列式子中，错误的是( ) 3 4312