高等数学(专科)复习试题和答案

高等数学期末试卷

一、填空题（每题2分，共30分）

1．函数1

1

42-+

-=

x x y 的定义域是. 解. ),2[]2,(∞+--∞ 。

2．若函数52)1(2

-+=+x x x f ，则=)(x f ． 解. 62

-x 3．________________sin lim =-∞→x

x

x x

答案：1

正确解法：101sin lim 1lim )sin 1(lim sin lim

=-=-=-=-∞→∞→∞→∞→x

x

x x x x x x x x x

4.已知22

lim 2

22=--++→x x b

ax x x ，则=a _____,=b _____。 由所给极限存在知, 024=++b a , 得42--=a b , 又由23

4

12lim 2lim 22

22=+=+++=--++→→a x a x x x b ax x x x , 知8,2-==b a

5.已知∞=---→)

1)((lim

0x a x b

e x x ，则=a _____,=b _____。 ∞=---→)1)((lim 0x a x b e x x , 即01)1)((lim 0=-=---→b a

b

e x a x x x , 1,0≠=∴b a 6．函数?????

≥+<=0

1

01sin

)(x x x x

x x f 的间断点是x =。

解：由)(x f 是分段函数，0=x 是)(x f 的分段点，考虑函数在0=x 处的连续性。 因为 1)0(1)1(lim 01

sin

lim 00

==+=+-→→f x x

x x x

所以函数)(x f 在0=x 处是间断的，

又)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是连续的，故函数)(x f 的间断点是0=x 。

7. 设()()()n x x x x y -??--= 21, 则()

=+1n y

(1)!n +

8．2

)(x x f =，则__________)1)((=+'x f f 。 答案：2)12(+x 或1442

++x x

9．函数)

1ln(4222

y x y x z ---=的定义域为。

解：函数z 的定义域为满足下列不等式的点集。

???

????<+<≤????????≠+<+≤????????≠-->--≥-1040141101042222222222222y x x y y x y x x y y x y x y x z ?的定义域为：{

10|),(22<+

10．已知2

2),(xy y x y x y x f +=-+,则=),(y x f . 解 令x y u +=，x y v -=，则,22

u v u v

x y +-=

=，()()()f x y x y xy x y +-=+ )(4

222),(22v u u u v u v u v u f -=-+=

，22(,)()4x

f x y x y =-

11．设2

2),(y x x

xy y x f ++

=,则=')1,0(x f 。=')1,0(y f

∵(0,1)000f =+=

20

00(,1)(0,1)

1(0,1)lim

lim 2x x x x

x f x f x f x

x

?→?→??+

-?-?+'===?? 0

0(0,1)(0,1)00

(0,1)lim

lim 0y y y f y f f y

y ?→?→?+--'===??。 12．设,,cos ,sin 32t y t x y x z ==+=则

t

z

d d ＝ 。 解 22sin 3cos dz

x t t y dt

=-+ 13.

=??dx x f d d dx

d

)(. 解：由导数与积分互为逆运算得，)()(x f dx x f d d dx

d

=??. 14.设)(x f 是连续函数，且

x dt t f x =?

-1

3)(，则=)7(f .

解：两边对x 求导得1)1(332=-x f x ，令713

=-x ，得2=x ，所以12

131

)7(2

2

=

=

=x x f . 15．若

21

d e 0

=

?∞

+-x kx ，则_________=k 。 答案：∵)d(e 1lim d e 210

0kx k x b kx b kx

--==??-+∞→∞+-

k

k k k kb b b kx b 1

e 1lim 1e 1lim 0=-=-=-+∞→-+∞→

∴2=k

二、单项选择题（每题2分，共30分）

1．函数)1,0(1

1

)(≠>+-=a a a a x x f x

x （ ） A.是奇函数； B. 是偶函数；

C.既奇函数又是偶函数；

D.是非奇非偶函数。 解：利用奇偶函数的定义进行验证。

)(1

1

)1()1(11)()(x f a a x a a a a x a a x x f x x x

x x x x x =+-=+--=+--=----- 所以B 正确。 2．若函数2

2

1

)1(x x x

x f +

=+，则=)(x f （ ） A.2

x ； B. 22

-x ； C.2

)1(-x ； D. 12

-x 。 解：因为2)1(212122

2

22

-+=-++=+

x x x

x x x ，所以2)1()1(2-+=+x x x x f 则2)(2

-=x x f ，故选项B 正确。

3．设1)(+=x x f ，则)1)((+x f f =（ ）．

A ．x

B ．x + 1

C ．x + 2

D ．x + 3

解 由于1)(+=x x f ，得 )1)((+x f f 1)1)((++=x f ＝2)(+x f 将1)(+=x x f 代入，得)1)((+x f f =32)1(+=++x x 正确答案：D

4．已知0)1

(

lim 2

=--+∞→b ax x x x ，其中a ,b 是常数，则（） (A) 1,1==b a , (B) 1,1=-=b a (C) 1,1-==b a (D) 1,1-=-=b a

解. ()()01

1lim )1(

lim 22=+-+--=--+∞→∞→x b

x b a x a b ax x x x x , 1,1,0,01-==∴=+=-∴b a b a a 答案：C

5．下列函数在指定的变化过程中，（ ）是无穷小量。 A.e 1x

x ,

()→∞； B.

sin ,()x

x

x →∞；

C. ln(),

()11+→x x ； D.

x x x +-→11

0,()

解：无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量，所以

0sin lim

=∞→x

x

x

而A, C, D 三个选项中的极限都不为0，故选项B 正确。

6．下列函数中，在给定趋势下是无界变量且为无穷大的函数是（）

(A))(1

sin

∞→=x x

x y ; (B)())(1∞→=-n n y n ; (C))0(ln +→=x x y ； (D))0(1

cos 1→=x x

x y

解. 111sin lim 1sin lim ==∞→∞→x x x x x x , 故不选(A). 取12+=k m , 则()01

21

lim lim 1=+=∞→-∞→k n k n n , 故不选

(B). 取2

1π

π+

=

n x n , 则01

cos 1lim

=∞

→n

n n x x , 故不选(D). 答案：C 7．设???

??

≤>=0

,0,1sin )(x x x x

x x f ，则)(x f 在0=x 处（ ）

A ．连续且可导

B ．连续但不可导

C ．不连续但可导

D ．既不连续又不可导

解：（B ）

0lim )(lim 0

==--→→x x f x x ，01

sin

lim )(lim 0

==++→→x

x x f x x ，0)0(=f 因此)(x f 在0=x 处连续

x

x x x x f x f f x x x 1sin lim 00

1

sin

lim 0

)

0()(lim )0(000

++

+

→→→+=--=--='，此极限不存在

从而)0(+'f 不存在，故)0(f '不存在

8．曲线x x y -=3

在点（1，0）处的切线是（）． A ． 22-=x y B ． 22+-=x y C ． 22+=x y D ． 22--=x y

解 由导数的定义和它的几何意义可知，

13)()1(='

-='x x x y 2)

13(1

2=-==x x

是曲线x x y -=3

在点（1，0）处的切线斜率，故切线方程是

)1(20-=-x y ，即22-=x y

正确答案：A 9．已知4

4

1x y =

，则y ''=（）

． A. 3

x B. 2

3x C. x 6 D. 6 解 直接利用导数的公式计算：

34)4

1

(x x y ='=',233)(x x y ='=''

正确答案：B

10．若x x

f =)1

(，则=')(x f （ ）。 A ．

x 1 B ．21x C ．x 1

- D ．21x

- 答案：D 先求出)(x f ，再求其导数。

11．22ln y x z -=的定义域为（）．

A ．122≥-y x

B ．022≥-y x

C ．122>-y x

D ．

022>-y x 解 z 的定义域为{

0),(22>-y x y x }个，选D 。

12.设函数项级数

∑∞

=1

)(n n

x u

，下列结论中正确的是( ).

（A ）若函数列{})(x u n 定义在区间I 上，则区间I 为此级数的收敛区间 （B ）若)(x S 为此级数的和函数，则余项)()()(x S x S x r n n -=，0)(lim =∞

→x r n n

（C ）若I x ∈0使

∑∞

=1

0)(n n

x u

收敛，则||||0x x <所有x 都使∑∞

=1

)(n n x u 收敛

（D ）若)(x S 为此级数的和函数，则∑∞

=1

0)(n n

x u

必收敛于)(0x S

解：选（B ）.

13.设0>a 为常数，则级数)cos 1()1(1

n a n n

--∑∞

=（ ）. （A ）绝对收敛

（B ）条件收敛

（C ）发散

（D ）敛散性与a 有关

解：因为22222sin 2)cos 1()1(n a n a n a n

≤=--，而∑∞

=1222n n

a 收敛，因此原级数绝对收敛. 故选（A ）. 14.若级数∑∞

=--1

)()1(n n

n

n a x 在0>x 时发散，在0=x 处收敛，则常数=a （ ）.

（A ）1 （B ）-1 （C ）2 （D ）2

解：由于∑∞

=--1)()1(n n n

n a 收敛，由此知1≤a .当11≤<-a 时，由于∑∞

=--1

)()1(n n n n a x 的收敛半径为1，因此

该幂级数在区间)1,1(+-a a 收敛，特别地，在)1,0(+a 收敛，此与幂级数在0>x 时发散矛盾，因此1-=a .故选（B ）. 15.x e y y y x

2cos 52-=+'+''的特解可设为（ ）

（A ）;2cos *

x A e

y x

-= （B ）;2cos *x A xe y x -=

（C ）();2sin 2cos *x B x A xe

y x

+=- （D ）().2sin 2cos *x B x A e y x +=-

解：C

三、解答题（任选4题完成，每题10分，共40分）

1.设函数

???

?

???>=<+=0sin 001sin )(x x x x a x b x x x f

问（1）b a ,为何值时，)(x f 在0=x 处有极限存在？ （2）b a ,为何值时，)(x f 在0=x 处连续？

解：（1）要)(x f 在0=x 处有极限存在，即要)(lim )(lim 0

x f x f x x +-→→=成立。

因为b b x

x x f x x =+=--→→)1

sin

(lim )(lim 0

所以，当1=b 时，有)(lim )(lim 0

x f x f x x +-→→=成立，即1=b 时，函数在0=x 处有极限存在，又因为函数在某点处有极限与在该点处是否有定义无关，所以此时a 可以取任意值。

（2）依函数连续的定义知，函数在某点处连续的充要条件是

)()(lim )(lim 00

0x f x f x f x x x x ==+-

→→

于是有a f b ===)0(1，即1==b a 时函数在0=x 处连续。

1sin lim )(lim 0

==+

+→→x

x

x f x x

2．求方程中y 是x 的隐函数的导数 （1）1e e =+-y

x

xy ,y '

解：方程两边对自变量x 求导，视y 为中间变量，即

1)e ()e ()('='+'-'y x xy 0e e ='+-'+y y x y y x

y y x x y -='+e )e (

整理得 y

x x y

y e

e +-=' （2）设)sin(y x y +=，求dx dy ，2

2dx y

d ；

解：)1()cos(y y x y '+?+=')

cos(1)

cos(y x y x y +-+=

'

y y x y y x y ''?++'+?+-='')cos()1()sin(2，

3

3)]cos(1[)]cos(1[)sin(y x y

y x y x y +--=+-+-

=''

3．设函数)(x f 在[0,1]上可导，且1)(0<

.)( , )1, 0( ,1)(01)( 0)( , ),(,

]1, 0[ ],[,0)()(, ]1, 0[ )( .

)( ]1, 0[ ,)()( 21212121x x f x f f F c c Rolle c c c F c F c c x F x F x x f x F =='?=-'='∈?==-=使内有且只有一个与题设矛盾，故在即使定理可得至少有由，即上存在两个零点在反设至少有一个零点上用零点定理，得在设ζζζζ 7.求函数

12)1(-+=x x y 的单调区间和极值.

解 函数1

2

)1(-+=x x y 的定义域是),1()1,(∞+---∞

221)1)(1()1(2--+-++='x x x x y

22)1()1(2x x x x +-+=2

)

1()2(x x x ++= 令 0)1()

2(2

=++='x x x y ，得驻点21-=x ，02=x

故函数的单调增加区间是)2,(--∞和),0(∞+，单调减少区间是)1,2(--及)0,1(-，当=x -2时，极大值

4)2(-=-f ；当=x 0时，极小值0)0(=f .

4．求下列积分

(1)

x x d 11

3

1?

+∞

解：

)1(2

3

lim 13

11

lim d 1

lim

d 1

32

1

32

1

311

3

1-=+-==+∞→+∞→+∞→∞

+?

?

b x x x

x x

b b

b b

b 极限不存在，则积分发散. (2)

??

≤+--2

22222a y x d y x a σ

解 (,)f x y =D 上的半球面，由D

I σ=的几何意义知I =V 半球=32

3a π

(3)

??D

yd σ ，D 由 1,1,0x y x y x +=-==的围成。

解 关于x 轴对称，且(,)f x y y =是关于y 的奇函数， 由I 几何意义知， d 0D

y σ?=??。

5．判别级数

n

n n

ln 1

)1(2

∑∞

=-的敛散性. 如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛? 解：记)1ln(1)

1(1

+-=-n u n n ，则n n v n u ?

=+≥1

1.

显见

∑

∞

=1

1

n n 去掉首项后所得级数∑∞=1

n n v 仍是发散的，由比较法知∑∞=1n n u 发散，从而∑∞

=2n n u 发散. 又显见)1ln(1)

1(1

1

+-∑∞

=-n n n 是Leibniz 型级数，它收敛. 即n n n ln 1)1(2

∑∞

=-收敛，从而原级数条件收敛. 6．求解微分方程

(1) 0122

=+-ydy dx y x 的所有解.

解 原方程可化为

xdx y ydy 212

-=-，

（当12

≠y ），两边积分得c x y +-=--221，即 c y x =--221为通解。

当12

=y 时，即1±=y ，显然满足原方程，所以原方程的全部解为c y x =--221及1±=y 。 (2) ;22y x y y x -=

-'

解 当0>x 时，原方程可化为2

1??

?

??-=-'x y x y y ，令u x y =，得xu y =，原方程化为

21u u x -='，解之得c x u +=ln arcsin ；

当0

1??

?

??--=-'x y x y y ，类似地可解得c x u +-=ln arcsin 。综合上述，有

??

?<+->+=.

0ln ;0ln arcsin

x c x x c x x y 。 (3) ;2sin 2

1

cos x x y y =

+' 解 由公式得 x xdx xdx ce x c dx xe e y sin cos cos 1sin 2sin 2

1--+-=?

?

????+??=?。