第二讲 简易逻辑
第一课时 命题及充要条件
一 考点分析
1. 命题的定义
用语言、符号、或式子表达的可以判断真假的陈述句叫做命题
2. 充分必要条件
(1) 概念
一个数学命题都有条件和结论两部分.如果把条件和结论分别用A 、B 表示,
那么命题可以写成“如果A 成立,那么B 成立”,或简写成“若A ,则B ”.
如果A 成立,那么B 成立,即A B ,这时我们就说条件A 是B 成立的充
分条件.如果B 成立,那么A 成立,即B
A ,这时我们就说条件A 是
B 成立的必要条件.如果A 既是B 成立的充分条件,又是B 成立的必要条件,即既
有A B ,又有B A ,
这时我们就说条件A 是B 成立的充分必要条件,简称充要条件
(2) 注意点
①要理解“充分条件”“必要条件”的概念,当“若p 则q ”形式的命题为真时,就记作p ?q ,称p 是q 的充分条件,同时称q 是p 的必要条件,因此判断充分条件或必要条件就归结为判
②要理解“充要条件”的概念,对于符号“?”要熟悉它的各种同义词语“等价于”,“当且仅当”,“必须并且只需”,“……,反之也真”
③.数学概念的定义都可以看成是充要条件,既是概念的判断依据,又是概念所具有的性质 ④从集合观点看,若A ?B ,则A 是B 的充分条件,B 是A 的必要条件;若A =B ,则A 、B
⑤证明命题条件的充要性时,既要证明原命题成立(即条件的充分性),又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性).
3. 四种命题及相互关系
易错点: 命题的否定和否命题要区分
二 典型例题
例题1 下列命题中是真命题的是( )
①“若x 2+y 2≠0,则x ,y 不全为零”的否命题 ②“正多边形都相似”的逆命题
③“若m>0,则x 2+x -m=0有实根”的逆否命题④“若x -是有理数,则x 是无理数”的逆否命题
A 、①②③④
B 、①③④
C 、②③④
D 、①④
例题2设甲是乙的充分不必要条件,乙是丙的充要条件,丁是丙的必要非充分条件,则甲是丁的( )
A 、充分不必要条件
B 、必要不充分条件
C 、充要条件
D 、既不充分也不必要 例题3 设甲:;乙:,则( )
1
23
A.甲是乙的必要条件,但不是乙的充分条件
B.甲是乙的充分条件,但不是乙的必要条件
C.甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件
D.甲是乙的充分必要条件
例题4已知p: ,q: ,若是的必要不充
分条件,求实数m 的取值范围。
第二课时 简单的简易逻辑词
一基础知识
1. 基本概念
或,且,非叫逻辑联结词
简单命题 不含逻辑联结词的命题是简单命题;
复合命题 由逻辑联结词和简单命题构成的命题叫做复合命题
复合命题的三种形式 p 或q ; p 且q ; 非p
从并集,交集,补集的概念来理解“或,且,非“
2. 复合命题的真假判断
常见正面叙述的词语以及否定
二典型例题
例题1若0)2)(1(=+-y x ,则1=x 或2-=y 的否命题是 例题2已知23:,522:>=+q p ,则下列判断中,错误..的是 (
) (A)p 或q 为真,非q 为假 (B) p 或q 为真,非p 为真
(C)p 且q 为假,非p 为假 (D) p 且q 为假,p 或q 为真
23
11≤--x ()001222>≤-+-m m x x p ?q ?
例题3已知p :方程x 2+m x +1=0有两个不等的负实根,q :方程4x 2+4(m -2)x +1=0无实根。若p 或q 为真,p 且q 为假。求实数m 的取值范围
练习
1.集合A ={x |11
+-x x <0},B ={x || x -b|<a },若“a =1”是“A ∩B ≠φ”的充分条件,
则b 的取值范围是 ( )
(A )-2≤b <0 (B )0<b ≤2 (C )-3<b <-1 (D )-1≤b <2
2. “2
1=m ”是“直线03)2()2(013)2(=-++-=+++y m x m my x m 与直线相互垂直”的( )
(A)充分必要条件 (B)充分而不必要条件
(C)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件
3. 在下列结论中,正确的是( )
①为真是为真的充分不必要条件;②为假是为真的充分不必要条件;③为真是为假的必要不充分条件;④为真是为假的必要不充分条件
A. ①②
B. ①③
C. ②④
D. ③④
4. 下列命题中假命题...
是( ) (A )“正三角形边长与高的比是2︰3”的逆否命题
(B )“若x,y 不全为0,则022≠+y x ”的否命题
(C )“p 或q 是假命题”是“非p 为真命题”的充分条件
(D )若C A B A =,则C B =
5. 下列说法:①若一个命题的否命题是真命题,则这个命题不一定是真命题;②若一个命题的逆否命题是真命题,则这个命题是真命题;③若一个命题的逆命题是真命题,则这个命题不一定是真命题;④若一个命题的逆命题和否命题都是真命题,则这个命题一定是真命题;其中正确的说法是( )
(A )①② (B )①③④ (C )②③④ (D )①②③
6.已知c >0,设p :函数在R 上单调递减;q :不等式>1的解集为R ,如果“p 或q ”为真,且“p 且q ”为假,求c 的取值范围。
7. 已知集合A={x|x 2-3x+2=0},B={x|x 2-mx+2=0},若A 是B 的必要不充分条件,求实数m 范围。
""q p ∧""q p ∨""q p ∧""q p ∨""q p ∨""p ?""p ?""q p ∧x
y c =2x x c +-
{}9B =,;B A =B B = )()(); U U B A B =? )()()U U B A B =? ()()card A B card A =+ ()()card B card A B - ()U A =e()U A =e13设全集,2,3,4A = {3,4,5} B = {4,7,8}, 求:(C U A )∩ B), (C U A)(A ∪B), C U B). 有两相)(,2121x x x x <有两相等a b x x 221- ==无实根 有意义的
①一个命题的否命题为真,它的逆 命题一定为真. (否命题?逆命 题.)②一个命题为真,则它的逆 否命题一定为真.(原命题?逆 否命题.) 4.反证法是中学数学的重要方法。 会用反证法证明一些代数命题。 充分条件与必要条件 答案见下一页
数学基础知识与典型例题(第一章集合与简易逻辑)答案 例1选A; 例2填{(2,1)} 注:方程组解的集合应是点集. 例3解:∵{}9A B =,∴9A ∈.⑴若219a -=,则5a =,此时{}{}4,9,25,9,0,4A B =-=-, {}9,4A B =-,与已知矛盾,舍去.⑵若29a =,则3a =±①当3 a =时,{}{}4,5,9,2,2,9A B =-=--.B 中有两个元素均为2-,与集合中元素的互异性矛盾,应舍去.②当3a =-时,{}{}4,7,9,9,8,4A B =--=-,符合题意.综上所述,3a =-. [点评]本题考查集合元素基本特征──确定性、互异性、无序性,切入点是分类讨论思想,由于集 合中元素用字母表示,检验必不可少。 例4C 例5C 例6①?,②ü,③ü,④ 例7填2 例8C 例9? 例10解:∵M={y|y =x 2+1,x ∈R}={y |y ≥1},N={y|y =x +1,x ∈R}={y|y ∈R}∴ M∩N=M={y|y ≥1} 注:在集合运算之前,首先要识别集合,即认清集合中元素的特征。M 、N 均为数集,不能误认为是点集,从而解方程组。其次要化简集合。实际上,从函数角度看,本题中的M ,N 分别是二次函数和一次函数的值域。一般地,集合{y |y =f (x ),x ∈A}应看成是函数y =f (x )的值域,通过求函数值域化简集合。此集合与集合{(x ,y )|y=x 2+1,x ∈R}是有本质差异的,后者是点集,表示抛物线y =x 2+1上的所有点,属于图形范畴。集合中元素特征与代表元素的字母无关,例如{y|y ≥1}={x |x ≥1}。 例11填?注:点集与数集的交集是φ. 例12埴?,R 例13解:∵C U A = {1,2,6,7,8} ,C U B = {1,2,3,5,6}, ∴(C U A)∩(C U B) = {1,2,6} ,(C U A)∪(C U B) = {1,2,3,5,6,7,8}, A ∪ B = {3,4,5,7,8},A∩B = {4},∴ C U (A ∪B) = {1,2,6} ,C U (A∩B) = {1,2,3,5,6,7,8} 例145,6a b ==-; 例15原不等式的解集是{}37|<<-x x 例16 53|332 2x R x x ??∈-<-?? ? ≤或 ≤ 例17分析:关键是去掉绝对值.方法1:原不等式等价于4304304321(43)21x x x x x x --?? ?->+-->+?? ≥或,即3344123x x x x ? ???????>?? ≥或,∴x >2或x <31,∴原不等式的解集为{x | x >2或x <31}.方法2:(整体换元转化法)分析:把右边看成常数c ,就同)0(>>+c c b ax 一样∵|4x -3|>2x +1?4x -3>2x +1或4x -3<-(2x +1) ? x >2 或x < 31,∴原不等式的解集为{x | x >2或x <3 1}. 例18分析:关键是去掉绝对值. 方法1:零点分段讨论法(利用绝对值的代数定义) ①当1-
一、选择题: 1.已知集合A ={}31<<-x x ,B ={}52≤ 一. 本周教学内容: 集合与简易逻辑 知识结构: 【典型例题】 例1. 已知集合A{2,3,7},且A中至多有一个奇数,则这样的集合共有 A. 2个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 解:集合A可有三类:第一类是空集;第二类是A中不含奇数;第三类是A中只含一小结:应充分理解“至多”两字,然后进行分类计数。 例2. 设全集I=R,集合A={x|(x-1)(x-3)≤0},B={x|(x-1)(x-a)<0}且 解:解不等式(x-1)(x-3)≤0,得1≤x≤3,故A={x|1≤x≤3},当a<1时, 是[1,3] 小结:这类问题一般可采用画数轴进行分析解决。 例3. 解: 小结:此题将解方程与集合运算有机地结合起来,对解题能力的要求略高一些,当然 例4. 解不等式|x+2|+|x|>4 解法一: 综上可知,原不等式的解集为{x|x<-3或x>1} 解法二:不等式|x+2|+|x|>4表示数轴上与A(-2),O(0)的距离之和大于4的点,如图所示。 小结:①我们常用脱去绝对值的方法来解含有绝对值的不等式,即零点分区间法,其实质是转化为分段求解,如解法一。 ②解法二是充分考虑绝对值的几何意义,从形的方面来考虑的,解决任何一个数学问题都要养成从数、形两个方面去思考的习惯,数形结合是数学中的一种基本的思维方法。 例5. 若关于x的不等式x2-ax-6a<0的解集为一开区间,且此区间的长度不超过5,试求a的取值范围。 解: 小结: 解a的范围。但韦达定理不能保证有实根,故应注意Δ>0这一条件。 例6. 解: 依题意有: 小结:关于方程根的讨论一般用函数的观点和方法去解决会使问题简洁。 例7. 等差数列{a+bn|n=1,2,…}中包含一个无穷的等比数列,求a,b(b≠0)所需满足的充分必要条件 解:设有自然数n1 1.某小学四年级数学智力游戏竞赛共10题,每做对一题的8分,每错一题(或不做)倒扣5分,最后得 41分。总共对了多少题? 答案:设做对了X题每错一题(或不做)(10-X)题 8X-5(10-X)=41 总共做对了7题 2.如果题目是1000只狗,从第一头起算,每隔一头杀一头(数到底后从第一头重新开始算),最后只留一只是活的,请问这是第几只狗? 那么楼上答案:“因为每次其实第一只都不被杀,所以不管进行N次,最后留下的总是第一头。”是正确的。这就只是小学一年级水平了啦。 现在对题目说明如下: 1000只狗,从第一头起杀,每隔一头杀一头(数到底后从第一头重新开始杀),最后只留一只是活的,请问这是第几只狗?第512头没有被杀。 “现在对题目说明如下: 1000只狗,从第一头起杀,每隔一头杀一头(数到底后从第一头重新开始杀),最后只留一只是活的,请问这是第几只狗?”----#3楼说: 第512头没有被杀。小学三年级也难了一点吧。 若隔第一頭先殺第二頭,以此類推,即所有偶數的狗都被殺,怎麼可能留下512頭呢? 若先殺第一頭隔第二頭,以此類推,即所有奇數的狗都被殺,推算應留下第976頭。 这里要求的知识是:奇偶数关系、1000以内数的认读、乘法(其实只要会乘二就行喽)及倍数关系。 首先再次确认题意: 从第一头起算,每隔一头杀一头,即先杀1、3、5、7……,这时乘下的是偶数2、4、6、8、10…… 接着数到底后从第一头重新开始再杀,即2、6、10……,剩下4、8、12…… 最后只留一只是活的,请问这是第几只狗? 问题解答方法可以是这样,先想象10只狗的状况,发现规律。然后推广到1000只。 因此,只有10只时: 1。10只中杀1、3、5、7、9 共5只剩2、4、6、8、10共5只全是2的倍数; 2。5只中杀2、6、10 共3只剩4、8 共2只全是4的倍数; 3。2只中杀4 剩8 是8的倍数。 发现规律了吗?剩下的是8,是2x2x2 即每次都是杀单留双,剩下的是2的n次幂。 如果还没有理解,那你不是个好学生。 下面就可以解1000只的问题了。 答案:因为每次都杀单留双,所以计算如下: 1。1000 杀500 剩500 全是双数即2的倍数; 集合、简易逻辑 知识梳理: 1、 集合:某些指定的对象集在一起就构成一个集合。集合中的每一个对象称为该集合的元素。 元素与集合的关系:A a ∈或A a ? 集合的常用表示法: 列举法 、 描述法 。集合元素的特征: 确定性 、 互异性 、 无序性 。 常用一些数集及其代号:非负整数集或自然数集N ;正整数集*N ,整数集Z ;有理数集Q ;实数集R 2、子集:如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素,那么集合A 称为集合B 的子集,记为A ?B 3、真子集:如果A ?B ,并且B A ≠,那么集合A 成为集合B 的真子集,记为A ?B ,读作“A 真包含于B 或B 真包含A ”,如:}{}{b a a ,?。 注:空集是任何集合的子集。是非空集合的真子集 结论:设集合A 中有n 个元素,则A 的子集个数为n 2个,真子集个数为12-n 个 4、补集:设A ?S ,由S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集,记为A C s ,读作“A 在S 中的补集”,即A C s =}{A x S x x ?∈且,|。 5、全集:如果集合S 包含我们所要研究的各个集合,这时S 可以看作一个全集。通常全集记作U 。 6、交集:一般地,由所有属于集合A 且属于B 的元素构成的集合,称为A 与B 的交集,记作B A ?即:B A ?=}{B x A x x ∈∈且,|。 7、并集:一般地,由所有属于集合A 或属于B 的元素构成的集合,称为A 与B 的并集,记作B A ?即:B A ?=}{B x A x x ∈∈或,|。 记住两个常见的结论:B A A B A ??=?;A B A B A ??=?; 泰安三中北校高二数学滚动测试卷3 1下列命题中的假命题是 C. V XG R,x 3 > 0 D. \/xeR,2x >0 }, B=|)j I y = x 2 f x w /?},则 AnB=() B. {xlx>0} D. 0 3?已知a>0,则xo 满足关于x 的方程ax=b 的充要条件是 (A)3x G R.—ax 1 -bx > —ax^ -bx^ (B) 3x e R.—ax 1 -bx < —axi -bx a 2 2 2 2 (C) Vx w /?, * ax 2 -bx>^ axl 一 bx () (D) Vxe ax 2 -bx < ax : - bx 0 4. i(m<丄”是“一元二次方程兀2 + x + m = 0ff 有实数解的 4 A.充分非必要条件 C.必要非充分条件 D.罪充分必要条件 8. 函数y = J16二4^的值域是 (B) [0,4] (D) (0,4) 9. 设于(兀)为定义在/?上的奇函数,当兀》 ()时, f(x) = 2x +2x+b (b 为常数),则/(-!) = 5 ?已知函数/(X ) = log 3 x,x>0 2\x<0 A.4 1 B.— 4 C.-4 6 ?隊[数 y = . 1 = Jlog°.5(4x_3) 的定义域为 3 3 A.( -,D B(--) 4 4 7?隊|数f (%) = log 2(3X +1)的值域为 C (1, +°°) 3 D.( -,1)U (1, +8) 4 A. (0,+ 《简单的推理》教学设计 七台河市新兴区如意小学刘吉英 教学内容:人教版小学数学二年级下册第109页的例1。 课标要求:推理是数学的基本思维方式,也是人们学习和生活中经常使用的思维方法。推理能力的发展应贯穿整个数学学习过程中,推理能力的形成和提高需要一个长期的、循序淅进的过程。义务教育阶段要注重学生思考的条理性,不要过分强调推理的形式。 教材分析:“数学广角――简单推理”是新人教版《义务教育教科书数学》二年级下册第109页的教学内容。这是一节有趣的活动课,也是一节逻辑思维训练的起始课。逻辑推理能力是人们在生活、学习工作中很重要的能力。教材中的例1设计了猜书的游戏活动,题目中包含了3个条件,即3本书每人各拿一本、小红拿的是语文书,小丽拿的不是数学书,解决“小刚和小丽拿的是什么书?”教材呈现了摘录信息再连线的方法和综合排除法,帮助学生理清思考过程中每一个判断理由和依据,使思考过程变得清晰而有条理,初步获得一些简单推理的经验。 学情分析:在日常生活与学习中,学生经常会自发地使用三段论法进行推理,只不过没有明确的意识到。所以,二年级的学生对简单的推理知识的理解难度不是很大,但用简洁的语言有条理地表达推理的过程会有一定的难度。在教学中注意引导学生表述清楚自己的推理过程,如通过“你是怎样想的?”“通过小红的话,你能得出什么结论?”使学生在具体的情境中感受简单推理的过程,初步获得一些简单推理的经验。教学目标: 1.通过观察、猜测等活动,经历简单的推理过程,理解逻辑推理的含义,初步获得一些简单推理的经验。2.能借助连线、列表等方式整理信息,并按一定的方法进行推理。 3.在简单推理的过程中,培养初步的观察、分析、推理和有条理地进行数学表达的能力。 4.感受推理在生活中的广泛应用,初步培养有序地、全面地思考问题的意识。 教学重点:理解逻辑推理的含义,经历简单的推理过程,初步获得一些简单推理的经验。 教学难点:能有序地、全面地思考问题,用简洁的语言有条理地表达推理的过程。 教具、学具:课件、卡片等。 教学设想:通过学生开始漫无目的乱猜,到教师在教学中引导学生依据已知条件判断推导出正确结论。教学中学生独立思考的基础上探究解决问题的策略,学会从众多信息中选择关键信息推理,我想学生会举一反三的利用推理解决更多问题。 教学过程: 一、创设情境“猜一猜”,初步感知推理 1、猜神秘嘉宾 今天老师邀请了一位特殊嘉宾来。你们猜猜他是谁? 这样能猜出来吗?老师给大家一条线索,你能猜出来吗? 出示条件1:这位嘉宾是黑猫警长和柯南其中的一位。 这回猜猜他是谁? 出示条件2:这位嘉宾不是黑猫警长。 那这位嘉宾是谁呢?确定吗?你是怎么想的? 2、验证——出示柯南图片 真厉害!知道柯南是谁吗?他是一位出名的侦探,柯南可了不起了,六岁就开始破案,帮助警察破获了很多案件。 很好,我们刚才在游戏中顺利地猜出了这节课的嘉宾。对于刚才的游戏,你有什么想说的? 生:不能乱猜 对,这说明在猜的时候我们不能漫无目的地随便猜,而要根据所给的条件来猜。像这样根据已经知道的条件,逐步推出结论的过程,在数学上称为推理。今天这节课老师就和大家一起来进行一些简单的推理。 3、揭示课题:数学广角——推理 【设计意图:在日常生活中,学生已经积累了一定的进行简单推理的生活经验,只不过没有意识到这高中数学专题 集合与简易逻辑
适合高段小学生的逻辑推理题,精选。附答案
集合与简易逻辑知识点
集合简易逻辑函数测试题.doc
小学数学人教2011课标版二年级‘简单的推理’
(完整版)集合与简易逻辑测试题