2018年上海高三二模真题汇编——函数专题(教师版)

2018年二模汇编——函数专题

一、知识梳理

【知识点1】函数的概念与函数三要素

【例1】若函数()f x 的定义域是[]1,4，求函数()2f x +的定义域 .

【答案】[]12,-.

【解析】124x ≤+≤，12x -≤≤.

【点评】考察抽象函数的定义域.

【例2】对于函数bx ax x f +=2)(，其中0>b ，若)(x f 的定义域与值域相同，则非零实数a 的值为_____________．

【答案】4-. 【解析】由题意可求定义域为0b ,a ??-????，所以值域也是0b ,a ??-????，即2y ax bx =+在0b ,a ??-????上的值域为0b ,a ??-???

?，所以22

2

4b b a a -=，解得4a =-. 【点评】考察函数三要素.

【知识点2】函数的奇偶性

【例1】已知椭圆19

162

2=+y x 及以下3个函数：①x x f =)(；②x x f sin )(=；③x x x f sin )(=，其中函数图像能等分该椭圆面积的函数个数有 （ ）．

A .0个

.B 1个 C .2个 D .3个

【答案】C . 【点评】考察函数的奇偶性.

【例2】已知函数[)22sin(),0(),0,23

cos(),0

x x x f x x x x παπα?++>?=∈??-++

π.

【解析】当0x >时，0x -<，此时()()2f x x cos x α-=-+-+，因为函数是奇函数，所以可得，

()223x cos x x sin x πα??-+-+=--+ ??

?，由诱导公式易得，76πα=. 【点评】函数的奇偶性，已知函数为奇函数求参数的值.

【知识点3】函数的单调性

【例1】已知函数()()

22017

2017120172x x f x log x x -=+++-+，则关于x 的不等式()()314f x f x ++>的解集为 . 【答案】14,??-+∞ ???. 【解析】由题意可得函数为R 上的单调递增函数且()()4f x f x +-=，可得()()31f x f x +>-，即31x x +>-，14

x >-. 【点评】根据函数单调性解不等式.

【例2】若函数3 (0),() 1 (0)x x a x f x a x -+

(a >0,且a ≠1)是R 上的减函数，则a 的取值范围是 ． 【答案】2[ 1)3

，.

【解析】由0132a a <

【知识点4】函数的最值与恒成立有解问题

【例1】 设0>a ，若对于任意的0>x ，都有x x

a 211≤-，则a 的取值范围是________． 【答案】???

? ??+∞,42. 【解析】112x a x <+，即112min x a x ??<+ ???，所以122a

<，24a >. 【点评】不等式恒成立问题.

【例2】设0

2≥-+-+a x a x 对于任意的R ∈x 恒成立，则a 的取值范围 是 .

【答案】2-≤a .

【解析】令[]11cos x t,t ,=∈-，可得()2210t a t a ---≤，即()221y t a t a =---在[]11,-上的最大值小于等于0，对称轴为102a t -=<，所以()211max y a a =---，即()2110a a ---≤，2-≤a . 【点评】二次函数的最值问题.

【知识点5】函数的零点

【例1】函数21()(2)1

x x f x x x ?≤?=?->??，如果方程()f x b =有四个不同的实数解1x 、2x 、3x 、4x ，则1234x x x x +++= ．

【答案】4.

【解析】由函数的图像特征可得：120x x +=，344x x +=，所以12344x x x x +++=.

【点评】从图像角度解决零点问题.

【例2】若函数()2()1x

f x x a =+-在区间[]0,1上有零点，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】1,12??-????

. 【解析】令()0f x =，可得12x x a =

+，函数有零点即两个函数图像有交点，从图上即可得出112a -≤≤. 【点评】考察函数零点的存在性问题.

【知识点6】函数的对称性和周期性

【例1】若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且满足()()2f x f x +=-，则=)2016(f .

【答案】0.

【解析】由()()2f x f x +=-可得函数周期为4，所以()()20160f f =.

【点评】考察周期对函数值的影响.

【例2】已知定义在R 上的函数()f x 满足：①()()20f x f x +-=；②()()20f x f x ---=；③在[]1,1-上的

表达式为()[](]21,1,01,0,1x x f x x x ?-∈-?=?-∈??，则函数()f x 与函数()12

2,0log ,0x x g x x x ?≤?=?>??的图像在区间[]3,3-上的交点的

个数为____________．

【答案】6.

【解析】由()()20f x f x +-=可得，函数图像关于()10,；由()()20f x f x ---=可得，函数图像关于直线1x =-对称，根据函数在[]11,-上的图像可将函数图像补充完整，从图像的交点个数得出答案.

【点评】考察函数的对称性对图像的影响.

【知识点7】反函数

【例1】若函数1()42x x f x +=+的图像与函数()y g x =的图像关于直线y x =对称，则(3)g = ．

【答案】0.

【解析】令()3f x =，可得21x =，0x =，即()30g =.

【点评】考察求函数的反函数.

【例2】已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意x R ∈，都有(4)()f x f x +=，当[]4,6x ∈的时候，()21x f x =+，()f x 在区间[]2,0-上的反函数为1()f x -，则1(19)f -= ． 【答案】28log 9.

【解析】当[]02x ,∈时，()()4421x f x f x +=+=+；当[]20x ,∈-时，根据偶函数的性质，

()()421x f x f x -+=-=+；根据反函数相关性质，即42119x -++=，解得2323x log =-，所以

()1219323f log -=-.

【点评】考察反函数与原函数的关系.

【知识点8】幂指对方程

【例1】方程()3log 212x +=的解是 ．

【答案】4x =.

【解析】219x +=，4x =.

【点评】考察解指对数方程.

【例2】方程22log (97)2log (31)x x +=++的解为 .

【答案】{}0,1.

【解析】()()4497434x x log log +=?+，97434x x +=?+，解得31x =或33x =，即0x =或1x =.

【点评】考察解指对数方程.

【知识点9】新定义

【例1】设R ∈x ，用][x 表示不超过x 的最大整数（如2]32.2[=，5]76.4[-=-），对于给定的*N ∈n ，定义)1][()1()1][()1(+--+--=x x x x x n n n C x n ΛΛ，其中),1[∞+∈x ，则当??

????∈3,23x 时，函数x C x f 10)(=的值域是____________________． 【答案】(]45,15320,5Y ??

? ??. 【解析】看到取整函数可分段讨论：ο1当??????∈2,23

x 时，[]1=x ，故()x

x f 10=在定义域内单调递减，故值域为??? ??320,5，；ο2当[)3,2∈x 时，[]2=x ，故()()19

10-?=x x x f 在定义域内单调递减，故值域为(]45,15。综上可得：值域为(]45,15310,5???

? ??，. 【点评】考察函数的新定义题型，重点是对题意的理解，注意分类讨论.

【例2】设单调函数()y p x =的定义域为D ，值域为A ，如果单调函数()y q x =使得函数(())y p q x =的值域也是A ，则称函数()y q x =是函数()y p x =的一个“保值域函数”．已知定义域为[]

,a b 的函数2()3

h x x =-，函数()f x 与()g x 互为反函数，且()h x 是()f x 的一个“保值域函数”，()g x 是()h x 的一个“保值域函数”，则b a -=___________．

【答案】1.

【解析】由题意得()h x 是单调递增的函数，所以3a >或3b <

当3b <时，()h x 单调递增的函数，又因为()g x 是()h x 的一个“保值域函数”，

所以()g x 单调递增的函数，则()f x 也必定是单调递增的。

设()()()()1y f h x f x h x -=→=，

又因为函数()f x 与()g x 互为反函数，

所以()()()h g x g x =，且()h x 和()()()()h g x h a ,h b ∈????，[]()a,∈g x b ，则等价为

2()=1x 23-===，，解得或h x x x x x

， 所以1,2==a b ,所以-=1b a

同理可分析3>a 时，过程同上.

【点评】考察函数的新定义题型，重点是对题意的理解.

【知识点10】函数综合

【例1】对于定义域为D 的函数()y f x =，如果存在区间[]m n D ?，（m n <），同时满足： ①()f x 在[]m n ，内是单调函数；②当定义域是[]m n ，时，()f x 的值域也是[]m n ，．

则称函数()f x 是区间[]m n ，上的“保值函数”．

（1）求证：函数2()2g x x x =-不是定义域[01]，上的“保值函数”；

（2）已知211()2f x a a x

=+-（0a R a ∈≠，）是区间[]m n ，上的“保值函数”，求a 的取值范围． 【解析】（1）函数2

()2g x x x =-在[01]x ∈，时的值域为[10]-，， 不满足“保值函数”的定义，因此函数2()2g x x x =-不是定义域[01]，上的“保值函数”．

（2）因x

a a x f 2112)(-+=在[]m n ，内是单调增函数，故()()f m m f n n ==，， 这说明m n ，是方程x x

a a =-+2112的两个不相等的实根， 其等价于方程01)2(222=++-x a a x a 有两个不相等的实根，

由222(2)40a a a ?=+->解得23-

a ．故a 的取值范围为3122????-∞-+∞ ? ?????

U ，，． 【点评】函数的综合题型.

【例2】 已知美国苹果公司生产某款iphone 手机的年固定成本为40万美元，每生产1只还需另投入16美

元．设苹果公司一年内共生产该款iphone 手机x 万只并全部销售完，每万只的销售收入为()x R 万美元，

且()??

???>-≤<-=40,400007400400,64002x x x x x x R （1）写出年利润W （万美元）关于年产量x （万只）的函数解析式；

（2）当年产量为多少万只时，苹果公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．

【解析】（1）当040x <≤时，

()()21640(4006)(1640)638440W xR x x x x x x x =-+=--+=-+-；

当40x >时，

()()()27400400004000016401640736016W xR x x x x x x x x ??=-+=--+=-- ???

∴??

???>--≤<-+-=40,40000167360400,4038462x x x x x x W ； （2）当040x <≤时，()226384406326104W x x x =-+-=--+；

∴当32x =时，()max 326104W W ==；

当40x >时，40000400007360167360216W x x x x =--

≤-? 当且仅当4000016x x

=，即50x =时，()max 505670W W ==5760 ∵61045760>

∴当32x =时，W 的最大值为6104万美元．

【点评】函数的综合应用题.

二、二模真题汇编

一、填空题.

1. （宝山区10）设奇函数f x ()的定义域为R ，当x 0>时，m f x x x

2

()1=+-（这里m 为正常数）．若f x m ()2≤-对一切0x ≤成立，则m 的取值范围为 ．

【答案】[

)2+∞，. 2. （普陀区2）若函数1()21

f x x m =-+是奇函数，则实数m =________. 【答案】12

. 3. （普陀区3）若函数()23f x x =

+的反函数为()g x ，则函数()g x 的零点为________. 【答案】3x =.

4. （普陀区11）设集合1|,2x M y y x R ??????==∈?? ???????，()()()1|1112,121N y y x m x x m ????==+-+--≤≤?? ?-????

，若N M ?，则实数m 的取值范围是 . 【答案】(1,0)-.

5. （青浦区10）已知()f x 是定义在[2,2]-上的奇函数，当(0,2]x ∈时，()21x f x =-，函数

2

()2g x x x m =-+. 如果对于任意的1[2,2]x ∈-，总存在2[2,2]x ∈-，使得12()()f x g x ≤， 则实数m 的取值范围是 .

【答案】5m ≥-. 6. （青浦区12）已知22s 1(,,0)cos 1

a a in M a a a a θθθ-+=∈≠-+R ，则M 的取值范围是 ．

【答案】474733

M -+≤≤. 7. （长宁区10）已知函数)1lg()(2ax x x f ++=的定义域为R ，则实数a 的取值范围是_________． 【答案】π3

22. 8. （杨浦区1）函数lg 1y x =-的零点是 ．

【答案】10x =.

9. （金山区2）函数y =lg x 的反函数是 ．

【答案】10x y =.

10. （金山区4）函数x

x y 9+=，x ∈(0，+∞)的最小值是 ． 【答案】6.

11. （黄浦区3）若函数2()82f x ax x =--是偶函数，则该函数的定义域是 ．

【答案】[2,2]-.

12. （黄浦区6）方程33log (325)log (41)0x x ?+-+=的解x = ．

【答案】2.

13. （黄浦区12）已知函数2

()(02)f x ax bx c a b =++<<对任意R x ∈恒有()0f x ≥成立，则代数式(1)(0)(1)

f f f --的最小值是 ． 【答案】3.

14. （徐汇区3）函数()lg(32)x x f x =-的定义域为_____________．

【答案】(0,)+∞.

15. （虹口区5）已知函数20()210

x x x f x x -?-≥?=?-

16. （虹口区11）[]x 是不超过x 的最大整数，则方程271(2)2044

x x ??-

?-=??满足x <1的所有实数解是 ． 【答案】1x =-或12

x =. 17. （崇明区9）设()f x 是定义在R 上以2为周期的偶函数，当[0,1]x ∈时，2()log (1)f x x =+，则函数 ()f x 在[1,2]上的解析式是 ．

【答案】2()log (3)f x x =-.

18. （浦东区4）已知1()f x -是函数2()log (1)f x x =+的反函数，则1(2)f -=________.

【答案】3.

19. （浦东区11）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在[)0,+∞上是增函数，如果对于任意[1,2]x ∈， (1)(3)f ax f x +≤-恒成立，则实数a 的取值范围是________.

【答案】[1,0]-.

20. （浦东区12）已知函数2()57f x x x =-+.若对于任意的正整数n ，在区间51,n n ?

?+????

上存在1m +个实数012,,,,m a a a a L 使得012()()()()m f a f a f a f a >+++L 成立，则m 的最大值为________.

【答案】6.