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标准正态分布函数上侧概率表

标准正态分布函数上侧概率表
标准正态分布函数上侧概率表

标准正态分布的密度函数样本

幻灯片1 正态分布 第二章 第七节 一、标准正态分布的密度函数 二、标准正态分布的概率计算 三、一般正态分布的密度函数 四、正态分布的概率计算幻灯片2 正态分布的重要性正态分布是概率论中最重要的分布, 这能够由 以下情形加以说明: ⑴ 正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一, 大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的.能够证明, 如果一个随机指标受到诸多因素的影响, 但其中任何一个因素都不起决定性作用, 则该随机指标一定服从或近似服从正态分布. 这些性质是其它 ⑵ 正态分布有许多良好的性质, 许多分布所不具备的. ⑶ 正态分布能够作为许多分布的近似分布.幻灯片3 -标准正态分布下面我们介绍一种最重要的正态分布 一、标准正态分布的密度函数若连续型随机变量X 的密度函数为定义 则称X 服从标准正态分布,

记为标准正态分布是一种特别重要的它的密度函数经常被使用, 分布。 幻灯片4 密度函数的验证 则有 ( 2) 根据反常积分的运算有能够推出 幻灯片5 标准正态分布的密度函数的性质若随机变量 , X 的密度函数为 则密度函数的性质为: 的图像称为标准正态( 高斯) 曲线幻灯片6 随机变量 由于 由图像可知, 阴影面积为概率值。对同一长度的区间 , 若这区间越靠近 其对应的曲边梯形面积越大。标准正态分布的分布规律时”中间多, 两头少” . 幻灯片7 二、标准正态分布的概率计算 1、分布函数分布函数为幻灯片8 2、标准正态分布表书末附有标准正态分布函数数值表, 有了它, 能够解决标准正态分布的概率计算.表中给的是x > 0时,①(x)的值. 幻灯片9 如果由公式得令则幻灯片10

正态概率图(normal probability plot)

正态概率图(normal probability plot) 方法演变:概率图,分位数-分位数图( Q- Q) 概述 正态概率图用于检查一组数据是否服从正态分布。是实数与正态分布数据之间函数关系的散点图。如果这组实数服从正态分布,正态概率图将是一条直线。通常,概率图也可以用于确定一组数据是否服从任一已知分布,如二项分布或泊松分布。 适用场合 ·当你采用的工具或方法需要使用服从正态分布的数据时; ·当有50个或更多的数据点,为了获得更好的结果时。 例如: ·确定一个样本图是否适用于该数据; ·当选择作X和R图的样本容量,以确定样本容量是否足够大到样本均值服从正态分布时;·在计算过程能力指数Cp或者Cpk之前; ·在选择一种只对正态分布有效的假设检验之前。 实施步骤 通常,我们只需简单地把数据输入绘图的软件,就会产生需要的图。下面将详述计算过程,这样就可以知道计算机程序是怎么来编译的了,并且我们也可以自己画简单的图。 1将数据从小到大排列,并从1~n标号。 2计算每个值的分位数。i是序号: 分位数=(i-0.5)/n 3找与每个分位数匹配的正态分布值。把分位数记到正态分布概率表下面的表A.1里面。然后在表的左边和顶部找到对应的z值。 4根据散点图中的每对数据值作图:每列数据值对应个z值。数据值对应于y轴,正态分位数z值对应于x轴。将在平面图上得到n个点。 5画一条拟合大多数点的直线。如果数据严格意义上服从正态分布,点将形或一条直线。将点形成的图形与画的直线相比较,判断数据拟合正态分布的好坏。请参阅注意事项中的典型图

形。可以计算相关系数来判断这条直线和点拟合的好坏。 示例 为了便于下面的计算,我们仅采用20个数据。表5. 12中有按次序排好的20个 值,列上标明“过程数据”。 下一步将计算分位数。如第一个值9,计算如下: 分位数=(i-0.5)/n=(1-0.5)/20=0.5/20=0.025 同理,第2个值,计算如下: 分位数=(i-0.5)/n=(2-0.5)/20=1.5/20=0.075 可以按下面的模式去计算:第3个分位数=2.5÷20,第4个分位数=3 5÷20 以此类推直到最后1个分位数=19. 5÷20。 现在可以在正态分布概率表中查找z值。z的前两 个阿拉伯数字在表的最左边一列,最后1个阿拉伯数 字在表的最顶端一行。如第1个分位数=0. 025,它位 于-1.9在行与0.06所在列的交叉处,故z=-1.96。 用相同的方式找到每个分位数。 如果分位数在表的两个值之间,将需要用插值法 进行求解。例如:第4个分位数为0. 175,它位于0.1736 与0.1762之间。0.1736对应的z值为-0.94,0.1762 对应的z值为-0.93,故 这两数的中间值为z=-0.935。 现在,可以用过程数据和相应的z值作图。图表5. 127显示了结果和穿过这些点的直线。注意:在图形的两端,点位于直线的上侧。这属于典型的右偏态数据。图表5.128显示了数据的直方图,可进行比较。 概率图( probability plot) 该方法可以用于检验任何数据的已知分布。这时我们不是在正态分布概率表中查找分位数,而是在感兴趣的已知分布表中查找它们。 分位数-分位数图(quantile-quantile plot) 同理,任意两个数据集都可以通过比较来判断是否服从同一分布。计算每个分布的分位数。一个数据集对应于x轴,另一个对应于y轴。作一条45°的参照线。如果这两个数据集来自同一分布,那么这些点就会靠近这条参照线。 注意事项 ·绘制正态概率图有很多方法。除了这里给定的程序以外,正态分布还可以用概率和百分数来表示。实际的数据可以先进行标准化或者直接标在x轴上。 ·如果此时这些数据形成一条直线,那么该正态分布的均值就是直线在y轴截距,标准差就是直线斜率。 ·对于正态概率图,图表5.129显示了一些常见的变形图形。 短尾分布:如果尾部比正常的短,则点所形成的图形左边朝直线上方弯曲,右边朝直线下方弯曲——如果倾斜向右看,图形呈S型。表明数据比标准正态分布时候更加集中靠近均值。 长尾分布:如果尾部比正常的长,则点所形成的图形左边朝直线下方弯曲,右边朝直线上方弯曲——如果倾斜向右看,图形呈倒S型。表明数据比标准正态分布时候有更多偏离的数据。

t分布和标准规定正态分布

数理统计实验 t分布与标准正态分布 院(系): 班级: 成员:

成员: 成员: 指导老师: 日期:

目录 t分布与标准正态分布的关系 (1) 一、实验目的 (1) 二、实验原理 (1) 三、实验内容及步骤 (1) 四、实验器材 (6) 五、实验结果分析 (6) 六、实验结论 (6)

t分布与标准正态分布的关系 一、实验目的 正态分布是统计中一种很重要的理论分布,是许多统计方法的理论基础。正态分布有两个参数,μ和σ,决定了正态分布的本质。为了应用和计算方便,常将一般的正态变量X通过μ变换[(X-μ)/σ]转化成标准正态变量μ,以使原来各种形态的正态分布都转换为μ=0,σ=1的标准正态分布,亦称μ分布。对于标准正态分布来说,μ是数据整体的平均值,σ是整体的标准差。但实际操作过程中,人们往往难以获得μ和σ。因此人们只能通过样本对这两个参数做出估计,用样本平均值和样本标准差代替整体的平均值和标准差,从而得出了t分布。另外从图像的层面说,正态分布的位置和形态只与μ和σ有关,而t分布不只与样本平均值和样本标准差有关,还与自由度相关。通过实验了解t分布与标准正态分布之间的关系。 二、实验原理 运用EXCEL软件验证t分布与标准正态分布的关系,绘制相应的统计图表进行分析。 三、实验内容及步骤 1.打开Excel文件,将“t分布与标准正态分布N(0,1)”合并并居中,黑体,20字号,红色;

2.选中文件,选项,自定义功能区,加载开发工具.在开发工具中插入滚动条,调节滚动条大小; 3.设置A2单元格格式,数字自定义区”!n=#,##0;[红 色]¥-#,##0”.然后左对齐,设置为红色;

标准正态分布

标准正态分布 标准正态分布(英语:standard normal distribution,德语Standardnormalverteilung),是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布,在统计学的许多方面有着重大的影响力。期望值μ=0,即曲线图象对称轴为Y轴,标准差σ=1条件下的正态分布,记为N(0,1)。 定义: 标准正态分布又称为u分布,是以0为均数、以1为标准差的正态分布,记为N(0,1)。标准正态分布曲线下面积分布规律是:在-1.96~+1.96范围内曲线下的面积等于0.9500,在-2.58~+2.58范围内曲线下面积为0.9900。统计学家还制定了一张统计用表(自由度为∞时),借助该表就可以估计出某些特殊u1和u2值范围内的曲线下面积。 正态分布的概率密度函数曲线呈钟形,因此人们又经常称之为钟形曲线。我们通常所说的标准正态分布是位置参数均数为0, 尺度参数:标准差为1的正态分布 特点: 密度函数关于平均值对称 平均值与它的众数(statistical mode)以及中位数(median)同一数值。 函数曲线下68.268949%的面积在平均数左右的一个标准差范围内。 95.449974%的面积在平均数左右两个标准差的范围内。 99.730020%的面积在平均数左右三个标准差的范围内。 99.993666%的面积在平均数左右四个标准差的范围内。 函数曲线的反曲点(inflection point)为离平均数一个标准差距离的位置。 标准偏差:

深蓝色区域是距平均值小于一个标准差之内的数值范围。在正态分布中,此范围所占比率为全部数值之68%,根据正态分布,两个标准差之内的比率合起来为95%;三个标准差之内的比率合起来为99%。 在实际应用上,常考虑一组数据具有近似于正态分布的概率分布。若其假设正确,则约68.3%数值分布在距离平均值有1个标准差之内的范围,约95.4%数值分布在距离平均值有2个标准差之内的范围,以及约99.7%数值分布在距离平均值有3个标准差之内的范围。称为“68-95-99.7法则”或“经验法则”

正态分布讲解(含标准表)

2.4正态分布 复习引入: 总体密度曲线:样本容量越大,所分组数越多,各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率.设想样本容量无限增大,分组的组距无限缩小,那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线. 总体密度曲线 b 单位 O 频率/组距 a 它反映了总体在各个范围内取值的概率.根据这条曲线,可求出总体在区间(a,b)内取值的概率等于总体密度曲线,直线x=a,x=b及x轴所围图形的面积. 观察总体密度曲线的形状,它具有“两头低,中间高,左右对称”的特征,具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示: 2 2 () 2 , 1 (),(,) 2 x x e x μ σ μσ ? πσ - - =∈-∞+∞ 式中的实数μ、)0 (> σ σ是参数,分别表示总体的平均数与标准差,, ()x μσ ? 的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线. 讲解新课:

一般地,如果对于任何实数a b <,随机变量X 满足 ,()()b a P a X B x dx μσ?<≤=?, 则称 X 的分布为正态分布(normal distribution ) .正态分布完全由参数μ和σ确定,因此正态分布常记作),(2 σ μN .如果随机变量 X 服从正态分布,则记为X ~),(2σμN . 经验表明,一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和,它就服从或近似服从正态分布.例如,高尔顿板试验中,小球在下落过程中要与众多小木块发生碰撞,每次碰撞的结果使得小球随机地向左或向右下落,因此小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标 X 是众多随机碰撞的结果,所以它近似服从正态分布.在现实生活中,很多随机变量都服从或近似地服从正态分布.例如长度测量误差;某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等;一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等;正常生产条件下各种产品的质量指标(如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命等);某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等;一般都服从正态分布.因此,正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中.正态分布在概率和统计中占有重要的地位. 说明:1参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数,可以用样本均值去佑计;σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数,可以用样本标准差去估计. 2.早在 1733 年,法国数学家棣莫弗就用n !的近似公式得到了正态分布.之后,德国数学家高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它,并研究了它的性质,因此,人们也称正态分布为高斯分布. 2.正态分布),(2 σ μN )是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布 通过固定其中一个值,讨论均值与标准差对于正态曲线的影响

利用Excel的NORMSDIST计算正态分布函数表

利用Excel的NORMSDIST函数建立正态 分布表 董大钧,乔莉 理工大学应用技术学院、信息与控制分院,113122 摘要:利用Excel办公软件特有的NORMSDIST函数可以很准确方便的建立正态分布表、查找某分位数点的正态分布概率值,极大的提高了数理统计的效率。该函数可返回指定平均值和标准偏差的正态分布函数,将其引入到统计及数据分析处理过程中,代替原有的手工查找正态分布表,除具有直观、形象、易用等特点外,更增加了动态功能,极大提高了工作效率及准确性。 关键词:Excel;正态分布;函数;统计 引言 正态分布是应用最广泛的连续概率分布,生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述。例如,在生产条件不变的情况下,某种产品的力、抗压强度、口径、长度等指标;同一种生物体的身长、体重等指标;同一种种子的重量;测量同一物体的误差;弹着点沿某一方向的偏差;某个地区的年降水量;以及理想气体分子的速度分量等等。一般来说,如果一个量是由许多微小的独立随机因素影响的结果,那么就可以认为这个量具有正态分布。从理论上看,正态分布具有很多良好的性质,许多概率分布可以用它来近似;还有一些常用的概率分布是由它直接导出的,例如对数正态分布、t分布、F分布等。在科学研究及数理统计计算过程中,人们往往要通过某本概率统计教材附录中的正态分布表去查找,非常麻烦。若手头有计算机,并安装有Excel软件,就可以利用Excel的NORMSDIST( x )函数进行计算某分位数点的正态分布概率值,或建立一个正态分布表,准确又方便。 1 正态分布及其应用 正态分布(normal distribution)又名高斯分布(Gaussian distribution),是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布,在统计学的许多方面有着重大的影响力。若随机变量X服从一个数学期望为μ、标准方差为σ2的高斯分布,记为N(μ,σ2 )。则其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置,其标准差σ决定了分布的幅度。因其曲线呈钟

正态分布概率表

参考医学 正态分布概率表 1 — f? 0( u )= t P⑴t F(t)t F(0t卩⑴0.00 0.000 00.230. 181 9 0.46 0.354 5 W9 0. 50 9 8 0.01 0.008 00.24 0. 1H9 70.47 0.361 6 0.70 0,516 1 0+02 0,0160 0. 25 0,197 4 0,48 0.368 80+71 0.522 3 0.03 0*023 9(1. 26 0.205 1 0.49 0.375 9 0.72 0. 52 8 5 044 0.031 9(1.27 0,212 8 0.50O.3R2 9 0.73 "4 6 0R5 0039 90.28 0.220 5 0,51 0.389 9 0.74 0.540 7 0.06 0.047 80.29 0.228 20.52 036 9 0.75 0*546 7 0+07 0 €55 g0,30 0,235 8 0,53 0.403 9 276 0.552 7 0+08 0.063 80 31 0.243 4 0.54 0.410 8 0+77 0.558 7 0+09 (1.(171 7(J. 32 0.251 00.55 0.417 70.78 0.564 6 0. 10 0.0797 fl. 33 0.258 6 0.56 0,424 50.79 0.570 5 0.110,(J87 60.34 0.266 1 0.57 0.431 3 0.B0 0.576 3 0.12 0.09$ 50. 35 0.273 7 0.5S 0.43S 10.S1 O.5S2 1 0+13 OJ03 40. 36 0.281 20.59 0.444 8 0+82 0.587 8 0+14 (1.111 3 0. 37 0.288 6 0.60 0.451 5 M3 0.593 5 0.15 0J19 2 0. 38 0.296 1 0.61 0.458 10.84 0.599 1 0+160.127 10.39 0. 303 50.62 0.464 7 0.85 0.604 7 0.17 0.135 0 040 0330 8 0.63 0.471 3 0.S6 0.610 2 0+18 0.142 S0.41 0.318 20,64 0.477 8 0.87 0.6157 0+19 0.150 7 0 42 0, 325 50.650.484 3 0.88 0.621 1 0,20 0J58 5(J. 43 0. 332 8 0.66 0.490 10.89 0 . 62 6 5 0,21 0J66 3(J.44 0,340 1 0.67 0.497 10.90 0.631 9 0 + 220.174 10.45 0347 3 0.68 0.503 50.91 0.637 2

标准正态分布的密度函数

正态分布 第二章 第七节 一、标准正态分布的密度函数 二、标准正态分布的概率计算 三、一般正态分布的密度函数 四、正态分布的概率计算 幻灯片2 正态分布的重要性正态分布是概率论中最重要的分布, 这可以由 以下情形加以说明: ⑴正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布 之一, 大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的. 可以证明, 如果一个随机指标受到诸多因素的影响, 但其中任何一个因素都不起决定性作用, 则该随机指标 一定服从或近似服从正态分布. 这些性质是其它 ⑵正态分布有许多良好的性质, 许多分布所不具备的. ⑶正态分布可以作为许多分布的近似分布. 幻灯片3 -标准正态分布 下面我们介绍一种最重要的正态分布 一、标准正态分布的密度函数 若连续型随机变量X的密度函数为 定义 则称X服从标准正态分布, 记为 标准正态分布是一种特别重要的 它的密度函数经常被使用, 分布。 幻灯片4 密度函数的验证 则有 (2)根据反常积分的运算有 可以推出 幻灯片5 标准正态分布的密度函数的性质

,X的密度函数为 则密度函数的性质为: 的图像称为标准正态(高斯)曲线。 幻灯片6 随机变量 由于 由图像可知,阴影面积为概率值。 对同一长度的区间 ,若这区间越靠近 其对应的曲边梯形面积越大。 标准正态分布的分布规律时“中间多,两头少”. 幻灯片7 二、标准正态分布的概率计算 1、分布函数 分布函数为 幻灯片8 2、标准正态分布表 书末附有标准正态分布函数数值表,有了它,可以解决标准正态分布的概率计算. 表中给的是x > 0时, Φ(x)的值. 幻灯片9 如果 由公式得 令 则 幻灯片10 例1 解 幻灯片11 由标准正态分布的查表计算可以求得, 当X~N(0,1)时, 这说明,X 的取值几乎全部集中在[-3,3]区间内,超出这个范围的可能性仅占不到0.3%. 幻灯片12 三、一般正态分布的密度函数 如果连续型随机变量X的密度函数为 (其中 为参数) 的正态分布,记为 则随机变量X服从参数为 所确定的曲线叫 作正态(高斯)曲线. 幻灯片13

标准正态分布函数表

函数: 函数的定义通常分为传统定义和近代定义,函数的两个定义本质是相同的,只是叙述概念的出发点不同,传统定义是从运动变化的观点出发,而近代定义是从集合、映射的观点出发。 标准正态分布: 标准正态分布,是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布,在统计学的许多方面有着重大的影响力。期望值μ=0,即曲线图象对称轴为Y轴,标准差σ=1条件下的正态分布,记为N(0,1)。 定义: 标准正态分布又称为u分布,是以0为均数、以1为标准差的正态分布,记为N(0,1)。 标准正态分布曲线下面积分布规律是:在-1.96~+1.96范围内曲线下的面积等于0.9500,在-2.58~+2.58范围内曲线下面积为0.9900。统计学家还制定了一张统计用表(自由度为∞时),借助该表就可以估计出某些特殊u1和u2值范围内的曲线下面积。 正态分布的概率密度函数曲线呈钟形,因此人们又经常称之为钟形曲线。我们通常所说的标准正态分布是位置参数均数为0, 尺度参数:标准差为1的正态分布(见下图中绿色曲线)。 特点: 密度函数关于平均值对称 平均值与它的众数(statistical mode)以及中位数(median)

同一数值。 函数曲线下68.268949%的面积在平均数左右的一个标准差范围内。 95.449974%的面积在平均数左右两个标准差的范围内。 99.730020%的面积在平均数左右三个标准差的范围内。 99.993666%的面积在平均数左右四个标准差的范围内。 函数曲线的反曲点(inflection point)为离平均数一个标准差距离的位置。 标准偏差: 深蓝色区域是距平均值小于一个标准差之内的数值范围。在正态分布中,此范围所占比率为全部数值之68%,根据正态分布,两个标准差之内的比率合起来为95%;三个标准差之内的比率合起来为99%。 在实际应用上,常考虑一组数据具有近似于正态分布的概率分布。若其假设正确,则约68.3%数值分布在距离平均值有1个标准差之内的范围,约95.4%数值分布在距离平均值有2个标准差之内的范围,以及约99.7%数值分布在距离平均值有3个标准差之内的范围。称为“68-95-99.7法则”或“经验法则”。

标准正态分布表

标准正态分布表 标准正态分布表怎么看 将未知量Z对应的列上的数与行所对应的数字结合查表定位 例如要查Z=1.96的标准正态分布表 首先在Z下面对应的数找到1.9 然后在Z右边的行中找到6 这两个数所对应的值为0.9750 即为所查的值 有谁知道,为什么标准正态分布表x的右边和下边都有值啊,难道一个x可以有两个值,看表是怎么看啊 那是一个精度问题,例如当x=0.12,那么应该先在x下方找到0.1,再在右边找到0.02,那么这两个同时对应的那个数就应该是你所要的! 标准正态分布的x值算出来介于两个之间,取哪一个。概论值如果介于两个间,取更大的还是更近的啊 精度要求不是很高的话,在正中取中间值,靠一边取更近的,四舍五入。 精度要求高的话用插值函数,比如在两点间作一次函数逼近。 为什么u0.025等于1.96?标准正态分布表查不到这个结果啊。u0.05是多少?u0.1是多少? 因为P{Z<1.96}=1-0.025=0.975 u0.05=1.645 因为P{Z<1.645}=1-0.05 u0.1类似 统计学中,标准正态分布表中Z值代表意义 Z值只是一个临界值,他是标准化的结果,本身没有意义,有意义的在于在标准正态分布模型中它代表的概率值。通过查表便可以知道。 标准正态分布 期望值μ=0,即曲线图象对称轴为Y轴,标准差σ=1条件下的正态分布,记为N(0,1)。 标准正态分布又称为u分布,是以0为均数、以1为标准差的正态分布,记为N(0,1)。 标准正态分布的密度函数为:

标准正态分布曲线下面积分布规律是:在-1.96~+1.96范围内曲线下的面积等于0.9500,在-2.58~+2.58范围内曲线下面积为0.9900。统计学家还制定了一张统计用表(自由度为∞时),借助该表就可以估计出某些特殊u1和u2值范围内的曲线下面积。

标准正态分布函数数值表

标准正态分布函数数值表 ( )()22 d 0x u u e x u Φ? ?∞ = ∫ r u 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 0.5000 0.5398 0.5793 0.6179 0.6554 0.6915 0.7257 0.7580 0.7881 0.8159 0.8413 0.8643 0.8849 0.9032 0.9192 0.9332 0.9452 0.9554 0.9641 0.9713 0.9772 0.9821 0.9861 0.9893 0.9918 0.9938 0.9953 0.9965 0.9974 0.9981 0.5040 0.5438 0.5832 0.6217 0.6591 0.6950 0.7291 0.7611 0.7910 0.8186 0.8438 0.8665 0.8869 0.9049 0.9207 0.9345 0.9463 0.9564 0.9648 0.9719 0.9778 0.9826 0.9864 0.9896 0.9920 0.9940 0.9955 0.9966 0.9975 0.9982 0.5080 0.5478 0.5871 0.6255 0.6628 0.6985 0.7324 0.7642 0.7939 0.8212 0.8461 0.8686 0.8888 0.9066 0.9222 0.9357 0.9474 0.9573 0.9656 0.9726 0.9783 0.9830 0.9868 0.9898 0.9922 0.9941 0.9956 0.9967 0.9976 0.9982 0.5120 0.5517 0.5910 0.6293 0.6664 0.7019 0.7357 0.7673 0.7967 0.8238 0.8485 0.8708 0.8907 0.9082 0.9236 0.9370 0.9484 0.9582 0.9664 0.9732 0.9788 0.9834 0.9871 0.9901 0.9925 0.9943 0.9957 0.9968 0.9977 0.9983 0.5160 0.5557 0.5948 0.6331 0.6700 0.7054 0.7389 0.7703 0.7995 0.8264 0.8508 0.8729 0.8925 0.9099 0.9251 0.9382 0.9495 0.9591 0.9671 0.9738 0.9793 0.9838 0.9874 0.9904 0.9927 0.9945 0.9959 0.9969 0.9977 0.9984 0.5199 0.5596 0.5987 0.6368 0.6736 0.7088 0.7422 0.7734 0.8023 0.8289 0.8531 0.8749 0.8944 0.9115 0.9265 0.9394 0.9505 0.9599 0.9678 0.9744 0.9798 0.9842 0.9878 0.9906 0.9929 0.9946 0.9960 0.9970 0.9978 0.9984 0.5239 0.5636 0.6026 0.6406 0.6772 0.7123 0.7454 0.7764 0.8051 0.8315 0.8554 0.8770 0.8962 0.9131 0.9278 0.9406 0.9515 0.9608 0.9686 0.9750 0.9803 0.9846 0.9881 0.9909 0.9931 0.9948 0.9961 0.9971 0.9979 0.9985 0.5279 0.5675 0.6064 0.6443 0.6808 0.7157 0.7486 0.7794 0.8078 0.8340 0.8577 0.8790 0.8980 0.9147 0.9292 0.9418 0.9525 0.9616 0.9693 0.9756 0.9808 0.9850 0.9884 0.9911 0.9932 0.9949 0.9962 0.9972 0.9979 0.9985 0.5379 0.5714 0.6103 0.6480 0.6844 0.7190 0.7517 0.7823 0.8106 0.8365 0.8599 0.8810 0.8997 0.9162 0.9306 0.9430 0.9535 0.9625 0.9700 0.9762 0.9812 0.9854 0.9887 0.9913 0.9934 0.9951 0.9963 0.9973 0.9980 0.9986 0.5359 0.5753 0.6141 0.6517 0.6879 0.7224 0.7549 0.7852 0.8133 0.8389 0.8621 0.8830 0.9015 0.9177 0.9319 0.9441 0.9545 0.9633 0.9706 0.9767 0.9817 0.9857 0.9890 0.9916 0.9936 0.9952 0.9964 0.9974 0.9981 0.9986 3.0 0.9987 0.9990 0.9993 0.9995 0.9997 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999 1.0000 注:本表最后一行自左至右依次是Φ(3.0)、…、Φ(3.9)的值

正态分布表

标准正态分布函数数值表 φ(μ) 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 0.5000 0.5398 0.5793 0.6179 0.6554 0.6915 0.7257 0.7580 0.7881 0.8159 0.8413 0.8643 0.8849 0.9032 0.9192 0.9332 0.9452 0.9554 0.9641 0.9713 0.9772 0.9821 0.9861 0.9893 0.9918 0.9938 0.9953 0.9965 0.9974 0.9981 0.5040 0.5438 0.5832 0.6217 0.6591 0.6950 0.7291 0.7611 0.7910 0.8186 0.8438 0.8665 0.8869 0.9049 0.9207 0.9345 0.9463 0.9564 0.9648 0.9719 0.9778 0.9826 0.9864 0.9896 0.9920 0.9940 0.9955 0.9966 0.9975 0.9982 0.5080 0.5478 0.5871 0.6255 0.6628 0.6985 0.7324 0.7642 0.7939 0.8212 0.8461 0.8686 0.8888 0.9066 0.9222 0.9357 0.9474 0.9573 0.9656 0.9726 0.9783 0.9830 0.9868 0.9898 0.9922 0.9941 0.9956 0.9967 0.9976 0.9982 0.5120 0.5517 0.5910 0.6293 0.6664 0.7019 0.7357 0.7673 0.7967 0.8238 0.8485 0.8708 0.8907 0.9082 0.9236 0.9370 0.9484 0.9582 0.9664 0.9732 0.9788 0.9834 0.9871 0.9901 0.9925 0.9943 0.9957 0.9968 0.9977 0.9983 0.5160 0.5557 0.5948 0.6331 0.6700 0.7054 0.7389 0.7703 0.7995 0.8264 0.8508 0.8729 0.8925 0.9099 0.9251 0.9382 0.9495 0.9591 0.9671 0.9738 0.9793 0.9838 0.9874 0.9904 0.9927 0.9945 0.9959 0.9969 0.9977 0.9984 0.5199 0.5596 0.5987 0.6368 0.6736 0.7088 0.7422 0.7734 0.8023 0.8289 0.8531 0.8749 0.8944 0.9115 0.9265 0.9394 0.9505 0.9599 0.9678 0.9744 0.9798 0.9842 0.9878 0.9906 0.9929 0.9946 0.9960 0.9970 0.9978 0.9984 0.5239 0.5636 0.6026 0.6406 0.6772 0.7123 0.7454 0.7764 0.8051 0.8315 0.8554 0.8770 0.8962 0.9131 0.9278 0.9406 0.9515 0.9608 0.9686 0.9750 0.9803 0.9846 0.9881 0.9909 0.9931 0.9948 0.9961 0.9971 0.9979 0.9985 0.5279 0.5675 0.6064 0.6443 0.6808 0.7157 0.7486 0.7794 0.8078 0.8340 0.8577 0.8790 0.8980 0.9147 0.9292 0.9418 0.9525 0.9616 0.9693 0.9756 0.9808 0.9850 0.9884 0.9911 0.9932 0.9949 0.9962 0.9972 0.9979 0.9985 0.5319 0.5714 0.6103 0.6480 0.6844 0.7190 0.7517 0.7823 0.8106 0.8365 0.8599 0.8810 0.8997 0.9162 0.9306 0.9430 0.9535 0.9625 0.9700 0.9762 0.9812 0.9854 0.9887 0.9913 0.9934 0.9951 0.9963 0.9973 0.9980 0.9986 0.5359 0.5753 0.6141 0.6517 0.6879 0.7224 0.7549 0.7852 0.8133 0.8389 0.8621 0.8830 0.9015 0.9177 0.9319 0.9441 0.9545 0.9633 0.9706 0.9767 0.9817 0.9857 0.9890 0.9916 0.9936 0.9952 0.9964 0.9974 0.9981 0.9986 3.0 0.9987 0.9990 0.9993 0.9995 0.9997 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999 1.0000 注:本表最后一行自左至右依次是φ(3.0)、…、φ(3.9)的值

标准正态分布函数表

函数: 函数(function)的定义通常分为传统定义和近代定义,函数的两个定义本质是相同的,只是叙述概念的出发点不同,传统定义是从运动变化的观点出发,而近代定义是从集合、映射的观点出发。函数的近代定义是给定一个数集A,假设其中的元素为x,对A中的元素x施加对应法则f,记作f(x),得到另一数集B,假设B中的元素为y,则y与x之间的等量关系可以用y=f(x)表示,函数概念含有三个要素:定义域A、值域B和对应法则f。其中核心是对应法则f,它是函数关系的本质特征。 标准正态分布: 标准正态分布,是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布,在统计学的许多方面有着重大的影响力。期望值μ=0,即曲线图象对称轴为Y轴,标准差σ=1条件下的正态分布,记为N(0,1)。 定义: 标准正态分布又称为u分布,是以0为均数、以1为标准差的正态分布,记为N(0,1)。 标准正态分布曲线下面积分布规律是:在-1.96~+1.96范围内曲线下的面积等于0.9500,在-2.58~+2.58范围内曲线下面积为0.9900。统计学家还制定了一张统计用表(自由度为∞时),借助该表就可以估计出某些特殊u1和u2值范围内的曲线下面积。 正态分布的概率密度函数曲线呈钟形,因此人们又经常称之为钟

形曲线。我们通常所说的标准正态分布是位置参数均数为0, 尺度参数:标准差为1的正态分布(见下图中绿色曲线)。 特点: 密度函数关于平均值对称 平均值与它的众数(statistical mode)以及中位数(median)同一数值。 函数曲线下68.268949%的面积在平均数左右的一个标准差范围内。 95.449974%的面积在平均数左右两个标准差的范围内。 99.730020%的面积在平均数左右三个标准差的范围内。 99.993666%的面积在平均数左右四个标准差的范围内。 函数曲线的反曲点(inflection point)为离平均数一个标准差距离的位置。 标准偏差: 深蓝色区域是距平均值小于一个标准差之内的数值范围。在正态分布中,此范围所占比率为全部数值之68%,根据正态分布,两个标准差之内的比率合起来为95%;三个标准差之内的比率合起来为99%。 在实际应用上,常考虑一组数据具有近似于正态分布的概率分布。若其假设正确,则约68.3%数值分布在距离平均值有1个标准差之内的范围,约95.4%数值分布在距离平均值有2个标准差之内的范围,以及约99.7%数值分布在距离平均值有3个标准差之内的

正态分布概率公式(部分)

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图 62正态分布概率密度函数的曲线 正态曲线可用方程式表示。 n 当 →∞时,可由二项分布概率函数方程推导出正态 分布曲线的方程:
fx= (61 ) () .6
式中: x—所研究的变数; fx —某一定值 x出现的函数值,一般称为概率 () 密度函数 (由于间断性分布已转变成连续性分布,因而我们只能计算变量落在某 一区间的概率, 不能计算变量取某一值, 即某一点时的概率, 所以用 “概率密度” 一词以与概率相区分),相当于曲线 x值的纵轴高度; p—常数,等于 31 .4 19……; e— 常数,等于 2788……; μ 为总体参数,是所研究总体 5 .12 的平均数, 不同的正态总体具有不同的 μ , 但对某一定总体的 μ 是一个常数; δ 也为总体参数, 表示所研究总体的标准差, 不同的正态总体具有不同的 δ , 但对某一定总体的 δ 是一个常数。 上述公式表示随机变数 x的分布叫作正态分布, 记作 N μ ,δ2 ), “具 ( 读作 2 平均数为 μ,方差为 δ 的正态分布”。正态分布概率密度函数的曲线叫正态 曲线,形状见图 62。 (二)正态分布的特性
1、正态分布曲线是以 x μ 为对称轴,向左右两侧作对称分布。因 =

数值无论正负, 只要其绝对值相等, 代入公式 61 ) ( .6 所得的 fx 是相等的, () 即在平均数 μ 的左方或右方,只要距离相等,其 fx 就相等,因此其分布是 () 对称的。在正态分布下,算术平均数、中位数、众数三者合一位于 μ 点上。

正态分布概率公式(部分)

图 6-2 正态分布概率密度函数的曲线 正态曲线可用方程式表示。当n→∞时,可由二项分布概率函数方程推导出正态分布曲线的方程: f(x)= (6.16 ) 式中: x —所研究的变数; f(x) —某一定值 x 出现的函数值,一般称为概率密度函数(由于间断性分布已转变成连续性分布,因而我们只能计算变量落在某一区间的概率,不能计算变量取某一值,即某一点时的概率,所以用“概率密度”一词以与概率相区分),相当于曲线 x 值的纵轴高度; p —常数,等于 3.14 159 ……; e —常数,等于 2.71828 ……;μ为总体参数,是所研究总体的平均数,不同的正态总体具有不同的μ,但对某一定总体的μ是一个常数;δ也为总体参数,表示所研究总体的标准差,不同的正态总体具有不同的δ,但对某一定总体的δ是一个常数。 上述公式表示随机变数 x 的分布叫作正态分布,记作 N( μ , δ2 ) ,读作“具平均数为μ,方差为δ 2 的正态分布”。正态分布概率密度函数的曲线叫正态曲线,形状见图 6-2 。 (二)正态分布的特性 1 、正态分布曲线是以 x= μ为对称轴,向左右两侧作对称分布。因的数值无论正负,只要其绝对值相等,代入公式( 6.16 )所得的 f(x) 是相等的,即在平均数μ的左方或右方,只要距离相等,其 f(x) 就相等,因此其分布是对称的。在正态分布下,算术平均数、中位数、众数三者合一位于μ点上。

2 、正态分布曲线有一个高峰。随机变数 x 的取值范围为( - ∞,+ ∞ ),在( - ∞ ,μ)正态曲线随 x 的增大而上升,;当 x= μ时, f(x) 最大;在(μ,+ ∞ )曲线随 x 的增大而下降。 3 、正态曲线在︱x-μ︱=1 δ处有拐点。曲线向左右两侧伸展,当x →± ∞ 时,f(x) →0 ,但 f(x) 值恒不等于零,曲线是以 x 轴为渐进线,所以曲线全距从 -∞到+ ∞。 4 、正态曲线是由μ和δ两个参数来确定的,其中μ确定曲线在 x 轴上的位置 [ 图 6-3] ,δ确定它的变异程度 [ 图 6-4] 。μ和δ不同时,就会有不同的曲线位置和变异程度。所以,正态分布曲线不只是一条曲线,而是一系列曲线。任何一条特定的正态曲线只有在其μ和δ确定以后才能确定。 5 、正态分布曲线是二项分布的极限曲线,二项分布的总概率等于 1 ,正态分布与 x 轴之间的总概率(所研究总体的全部变量出现的概率总和)或总面积也应该是等于 1 。而变量 x 出现在任两个定值 x1到x2(x1≠x2)之间的概率,等于这两个定值之间的面积占总面积的成数或百分比。正态曲线的任何两个定值间的概率或面积,完全由曲线的μ和δ确定。常用的理论面积或概率如下: 区间μ ± 1 δ面积或概率 =0.6826 μ ± 2 δ =0.9545 μ ± 3 δ=0.9973 μ± 1.960δ=0.9500 μ ±2.576 δ =0.9900

标准正态分布函数表

标准正态分布函数表 正态分布(Normal distribution)又名高斯分布(Gaussian distribution),是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布,在统计学的许多方面有着重大的影响力。期望值μ=0,即曲线图象对称轴为Y轴,标准差σ=1条件下的正态分布,记为N(0, 正态分布的概率密度函数曲线呈钟形,因此人们又经常称之为钟形曲线。我们通常所说的标准正态分布是位置参数均数为0,尺度参数:标准差为1的正态分布(见右图中绿色曲线)。 标准正态分布

密度函数关于平均值对称 平均值与它的众数(statistical mode)以及中位数(median)同一数值。 函数曲线下68.268949%的面积在平均数左右的一个标准差范 围内。 95.449974%的面积在平均数左右两个标准差的范围内。 99.730020%的面积在平均数左右三个标准差的范围内。 99.993666%的面积在平均数左右四个标准差的范围内。 函数曲线的反曲点(inflection point)为离平均数一个标准差距离的位置。 标准偏差 深蓝色区域是距平均值小于一个标准差之内的数值范围。在正态分布中,此范围所占比率为全部数值之68%,根据正态分布,两个标准差之内的比率合起来为95%;三个标准差之内的比率合起来为99%。[1] 在实际应用上,常考虑一组数据具有近似于正态分布的概率分布。若其假设正确,则约68.3%数值分布在距离平均值有1个标准差之内的范围,约95.4%数值分布在距离平均值有2个标准差之内的范

围,以及约99.7%数值分布在距离平均值有3个标准差之内的范围。称为"68-95-99.7法则"或"经验法则"。

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