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2006年数二考研真题答案解析

2006年硕士研究生入学考试（数学二）试题及答案解析

一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）曲线

4sin 52cos x x

y x x

- 的水平渐近线方程为 1.5y =

【分析】直接利用曲线的水平渐近线的定义求解即可.

【详解】4sin 14sin 1lim lim

2cos 52cos 5

5x x x

x x x x x x x →∞→∞+

+==--

故曲线的水平渐近线方程为 1

y =.

（2）设函数

301sin d ,0

(),0x t t x f x x

a x ?≠?=??=?

? 在0x =处连续，则a =13. 【分析】本题为已知分段函数连续反求参数的问题.直接利用函数的连续性定义即可. 【详解】由题设知，函数()f x 在 0x =处连续，则

lim ()(0)x f x f a →==，

又因为 220

0sin d sin 1

lim ()lim

lim 33

x x x t t x f x x x →→→===?. 所以

a =

. （3）广义积分

220

d (1)x x x +∞

【分析】利用凑微分法和牛顿－莱布尼兹公式求解.

【详解】

02222

0d 1d(1+)11

1111lim lim lim (1)2(1)21+21+22

b b

b b b x x x x x x

b +∞

→∞→∞→∞==-=-+=++?

（4）微分方程

(1)y x y x

-'=

的通解是e (0).x

y Cx x -=≠ 【分析】本方程为可分离变量型，先分离变量，然后两边积分即可【详解】原方程等价为

d 11d y x y x ??

=- ???

，两边积分得

1ln ln y x x C =-+，整理得

e x

y C x

-=.（1e C C =）（5）设函数

()y y x =由方程1e y y x =-确定，则

0d d x y

== e.- 【分析】本题为隐函数求导，可通过方程两边对x 求导（注意y 是x 的函数），一阶微分形式不变性

和隐函数存在定理求解.

【详解】方法一：方程两边对x 求导，得

e e y y y xy ''=--.

又由原方程知，0,1x y

==时.代入上式得

d e d x x y

y x

=='

==-.

方法二：方程两边微分，得

d e d e d

y x x

y =--，代入0,1x y ==，得0

d e d x y

==-.

方法三：令(,)1e y F x y y x =

-+，则

()0,10,10,1

0,1

e ,

y y

x y x y x y x y F

F x x

===

??===+=

??，故

0,1

d e d x y x x y F y

F x

=====??=-=-??.

（6）设矩阵2112A ??

?-??

，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则

=B 2 .

【分析】将矩阵方程改写为AX

B XA B AXB

C ===或或的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行

计算即可.

【详解】由题设，有

()2B A E E -=

于是有

4B A E -=，而

211

A E -==-，所以2

B =.

二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （7）设函数

()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ?为自变量x 在点0x 处的增量，

d y y ?与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ?>，则

(A)

0d y y <

(C)

d 0y y ?<<.

(D)

d 0y y

[ Ａ ]

【分析】题设条件有明显的几何意义，用图示法求解.

【详解】由()0,()0f x f x '''>>知，函数()f x 单调增

加，曲线

()y f x =凹向，作函数()y f x =的图形如右图所示，显然当0x

?>时，

00d ()d ()0y y f x x f x x ''?>==?>，故应选(Ａ).

（8）设

()f x 是奇函数，除0x =外处处连续，0x =是其第一

类间断点，则

()d x f t t ?

是

（A ）连续的奇函数.

（B ）连续的偶函数（C ）在0x

=间断的奇函数

（D ）在0x

=间断的偶函数. [ B ]

【分析】由于题设条件含有抽象函数，本题最简便的方法是用赋值法求解，即取符合题设条件的特殊函数

()f x 去计算0

()()d x

F x f t t =?，然后选择正确选项.

【详解】取

()1,0

x x f x x ≠?=?

=?. 则当0x

≠时，()22200

011

()()d lim d lim 22

F x f t t t t x x ε

εεε++→→===-=??

，而0

(0)0lim ()x F F x →==，所以()F x 为连续的偶函数，则选项（Ｂ）正确，故选（Ｂ）.

（9）设函数()g x 可微，1()

()e ,(1)1,(1)2g x h x h g +''===，则(1)g 等于

（A ）ln 31-.

（B ）ln 3 1.--

（C ）ln 2 1.--

（D ）ln 2 1.-

[ C ]

【分析】题设条件1()

()e g x h x +=两边对x 求导,再令1x =即可.

【详解】1()

()e g x h x +=两边对x 求导,得

1()()e ()g x h x g x +''=.

上式中令1x

=，又(1)1,(1)2h g ''==，可得

1(1)1(1)1(1)e (1)2e (1)ln 21g g h g g ++''===?=--，故选（C ）.

（10）函数

212e e e x x x y C C x -=++满足的一个微分方程是（A ）

23e .x y y y x '''--=

（B ）

23e .x y y y '''--=

（C ）

23e .x y y y x '''+-=

（D ）

23e .x y y y '''+-= [ D ]

【分析】本题考查二阶常系数线性非齐次微分方程解的结构及非齐次方程的特解与对应齐次微分方程特征根的关系.故先从所给解分析出对应齐次微分方程的特征方程的根，然后由特解形式判定非齐次项形式.

【详解】由所给解的形式，可知原微分方程对应的齐次微分方程的特征根为

121,2λλ==-.

则对应的齐次微分方程的特征方程为

2(1)(2)0,20λλλλ-+=+-=即.

故对应的齐次微分方程为 20y y y '''+-=.

又

*e x y x =为原微分方程的一个特解，而1λ=为特征单根，故原非齐次线性微分方程右端的非齐次项

应具有形式

()e x f x C =（C 为常数）.所以综合比较四个选项，应选（D ）

（11）设

(,)f x y 为连续函数，则1

d (cos ,sin )d f r r r r π

θθθ??等于

（Ａ）

d (,)d x x

x f x y y -?

. （B ）2

212

d (,)d x x f x y y -?

(C)

212

d (,)d y y

y f x y x -?

(D)

212

d (,)d y y f x y x -?

. [ Ｃ ]

【分析】本题考查将坐标系下的累次积分转换为直角坐标系下的累次积分，首先由题设画出积分区域的图形，然后化为直角坐标系下累次积分即可.

【详解】由题设可知积分区域D 如右图所示，显然是Y 型域，则

原式2

212

d (,)d y y

y f x y x -=?

故选（Ｃ）. （12）设

(,)(,)f x y x y ?与均为可微函数，且(,)0y x y ?'≠，已知

00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ?=下的一个极值点，下列选项正确的是

(A) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. (B) 若

00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. (C) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=. (D) 若

00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠.

[ Ｄ ]

【分析】利用拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλ?=+在000(,,)x y λ（0λ是对应00

,x y 的参数λ的值）取到极值的必要条件即可.

【详解】作拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλ?=

+，并记对应00,x y 的参数λ

的值为

0λ，则

000000(,,)0(,,)0x y F x y F x y λλ?'=??

'=??，即00000

00000(,)(,)0

(,)(,)0

x x y y f x y x y f x y x y λ?λ??''+=??''+=?? . 消去0λ，得

0000000

0(,)(,)(,)(,

x y y x f x y x y f x

y x

y ??''''-=, 整理得

000000001

(,)(,)(,)(,)

x y x y f x y f x y x y x y ??'''=

'.（因为(,)0y x y ?'≠），

若

00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠.故选（Ｄ）.

（13）设12,,,s ααα 均为n 维列向量，

A 为m n ?矩阵，下列选项正确的是

(A) 若12,,,s ααα 线性相关，则12,,,s A A A ααα 线性相关. (B)

若12,,,s ααα 线性相关，则

12,,,s A A A ααα 线性无关.

(D) 若12,,,s ααα 线性无关，则

12,,,s A A A ααα 线性无关.

[ A ] 【分析】本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定. 【详解】记12(,,,)s B ααα= ，则12(,,,)s A A A AB ααα= .

所以，若向量组

12,,,s ααα 线性相关，则()r B s

<，从而

()()r A B r B s ≤<

，

向量组12,,,s A A A ααα 也线性相关，故应选(Ａ).

（14）设

A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得

B ，再将B 的第1列的1-倍加到第2列得

C ，记

110010001P ??

?= ? ???

，则

（Ａ）1C

P AP -=.

（Ｂ）1C

PAP -=.

（Ｃ）T C

P AP =.

（Ｄ）T C

PAP =.

［Ｂ］

【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得. 【详解】由题设可得

11011011010

10,010

010

01000

100100100

B A

C B A -

????????

? ? ?=== ? ? ? ? ? ? ? ??

??????? ，而

1110010001P --??

= ? ???

，则有1C PAP -=.故应选（Ｂ）.

三、解答题：15－23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）试确定,,A B C 的值，使得

23e (1)1()x Bx Cx Ax o x ++=++，

其中3

()o x

是当0x →时比3x 高阶的无穷小.

【分析】题设方程右边为关于x 的多项式，要联想到e x

的泰勒级数展开式，比较x 的同次项系数，可得

,,A B C 的值.

【详解】将e x

的泰勒级数展开式23

3e 1()26

x x x o x =++

++代入题设等式得 233231()[1]1()26x x x o x Bx Cx Ax o x ??++++++=++????

整理得

233111(1)()1()22

B x B

C x C o x Ax o x ????+++++++++=++ ? ?????

比较两边同次幂系数得

1102102

6B A B C B C ?

?+=?

++=?

?++=??，解得 132316A B C ?

=??

?=-?

?=??

. （16）（本题满分10分）

求

arcsin e d e x

x x ?.

【分析】题设积分中含反三角函数，利用分部积分法.

【详解】

2arcsin e e d arcsin e de e arcsin e e d e 1e x x x x x x x

x x x x --=-=-+?-???－

21e arcsin e d 1e

x x x

x -=-+-?

令21e x t

=-，则221ln(1),d d 21t x t x t t

-=--，所以

2211111d d d 12111e x

x t t t t t ??

==- ?--+??

? 221111e 1

ln ln 2121e 1

x x t C t ---=+=+-+.

（17）（本题满分10分）

设区域{}

22(,)1,0

x y x y x =+≤≥，计算二重积分

221d d .1D

x y x y +++?? 【分析】由于积分区域D 关于x 轴对称，故可先利用二重积分的对称性结论简化所求积分，又积分区域为圆域的一部分，则将其化为极坐标系下累次积分即可.

【详解】积分区域D 如右图所示.因为区域D 关于x 轴对称，函数

1(,)1f x y x y

++是变量

y 的偶函数，

函数22

(,)1xy

g x y x y =++是变量

y 的奇函数.

则

ln 2

d d 2d d 2d d 1112

D r x y x y r x

x y r ππθ===+++++??????22d d 01D

x y x y =++??，故

22222211ln 2

d d d d d d 1112D D D

xy xy x y x y x y x y x y x y π+=+=++++++??????. （18）（本题满分12分）

设数列

{}n x 满足110,sin (1,2,)n n x x x n π+<<==

（Ⅰ）证明lim n n x →∞

存在，并求该极限；

（Ⅱ）计算2

1lim n x n n n x x +→∞

?? ???

. 【分析】一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在. （Ⅱ）的计算需利用（Ⅰ）的结果.

【详解】（Ⅰ）因为10x π<<，则210sin 1x x π<=≤<.

可推得

10sin 1,1,2,n n x x n π+<=≤<= ，则数列{}n x 有界.

于是

1sin 1n n

n n

x x x x +=<，

（因当0sin x x x ><时，），则有1n n x x +<，可见数列{}n x 单调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知极限lim n n x →∞

存在.

设lim n

n x l →∞

=，在1sin n n x x +=两边令n →∞，得 sin l l =，解得0l =，即lim 0n n x →∞

（Ⅱ）因

1sin lim lim n

n x x n n n n n n x x x x +→∞

→∞

??= ? ???

，由（Ⅰ）知该极限为1∞

型，令n t

x =，则,0n t →∞→，而

sin 11

1sin 1

000sin sin sin lim lim 11lim 11t

t t t t t t t t t t t t t t t -?-→→→??????????=+-=+- ? ? ?????????

，

又

3233000()1sin sin 13!lim 1lim lim 6t t t t t o t t

t t t t t t t →→→-+--??-===- ???

. （利用了sin

x 的麦克劳林展开式）

故

116sin lim lim e n

n x x n n n n n n x x x x -+→∞

→∞

????== ? ?????

. （19）（本题满分10分）

证明：当0a b π<<<时，

sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.

【分析】利用“参数变易法”构造辅助函数，再利用函数的单调性证明. 【详解】令()sin 2cos sin 2cos ,0f x x x x x a a a a a x b πππ

=++---<≤≤<，

则

()sin cos 2sin cos sin f x x x x x x x x ππ'=+-+=-+，且

()0f π'=.

又

()cos sin cos sin 0f x x x x x x x ''=--=-<，（0,s i n 0x x x π<<>

时），

故当0a x b π

<≤≤<时，

()f x '单调减少，即()()0f x f π''>=，则()f x 单调增加，于是

()()0f b f a >=，即

sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.

（20）（本题满分12分）

设函数

()f u 在(0,)+∞内具有二阶导数，且(

)

z f

x y =+满足等式

222

20z z

x y

??+=??. （I ）验证()

()0f u f u u

'''+

=；（II ）若

(1)0,(1)1f f '==，求函数()f u 的表达式.

【分析】利用复合函数偏导数计算方法求出222

2,z z x y ????代入22220z z

x y

??+=??即可得（I ）.按常规方法解（II ）即可.

【详解】（I ）设22

x y =+，则

2222

(),()z x z y

f u f u x y x y x y ??''==??++.

222

2222()()x x y x y z x x

f u f u x x y

x y x y

+?'''=??+??+++

()

()()x y f u f u x y x y '''=?+?++，

()

32222

()()z y x f u f u y x y

?'''=?+??++.

将222

2,z z x y ????代入22220z z

x y

??+=??得

()

()0f u f u u

'''+

=. （II ）令

()f u p '=，则d d 0p p u p u p u

=?=-，两边积分得

l n l n l n p u C =-+，即1

C p u

=，亦即

1()C f u u

由

(1)1f '=可得 11C =.所以有 1

()f u u

，两边积分得 2()l n f u u

=+，

由

(1)0f =可得 20C =，故 ()ln f u u =.

（21）（本题满分12分）

已知曲线L 的方程22

(0)4x t t y t t

?=+≥?=-?

（I ）讨论L 的凹凸性；

（II ）过点(1,0)-引L 的切线，求切点00(,)x y ，并写出切线的方程；

（III ）求此切线与L （对应于0x x ≤

的部分）及x 轴所围成的平面图形的面积.

【分析】（I ）利用曲线凹凸的定义来判定；（II ）先写出切线方程，然后利用 (1,0)-在切线上；（III ）

利用定积分计算平面图形的面积.

【详解】（I ）因为d d d d 422

d 2,421d d d d 2d y

x y y t t t t x t t x t t t

-==-?===-

2223

d d d 1211

0,(0)d d d d 2d y y t x x t x t t

t t ????=?=-?=-<> ? ?????

故曲线L 当0t

≥时是凸的.

（II ）由（I ）知，切线方程为

201(1)y x t ??-=-+ ???

，设2001x t =+，2

000

4y t t =-，

则2200

00241(2)t t t t ??-=-+ ???

，即232

00004(2)(2)t t t t -=-+

整理得 2

0000020(1)(2)01,2(t t t t t +-=?-+=?=-舍去）

将0

1t =代入参数方程，得切点为（2，3）

，故切线方程为 231(2)1y x ??

-=-- ???

，即1y x =+.

（III ）由题设可知，所求平面图形如下图所示，其中各点坐标为

(1,0),(2,0),(2,3),(1,0)A B C D -，

设L 的方程()x g y =，

则()3

0()(1)d S

g y y y =--???

?? 由参数方程可得

24t y =±-，即()

241x y

=±-+.

由于（2，3）在L 上，则()

()241924x g y y

y y =

=--+=---.于是

()

0944(1)d S y y y y ??=-----???

300

(102)d 44d y y y y =---??

()

()3

71043

y y

y =-+-=

. （22）（本题满分9分）

已知非齐次线性方程组

1234123412

341435131

x x x x x x x x ax x x bx +++=-??

++-=-??+++=? 有3个线性无关的解. （Ⅰ）证明方程组系数矩阵

A 的秩()2r A =；

（Ⅱ）求,a b 的值及方程组的通解.

【分析】（I ）根据系数矩阵的秩与基础解系的关系证明；（II ）利用初等变换求矩阵

A 的秩确定参数

,a b ，然后解方程组.

【详解】（I ）设123,,ααα是方程组Ax β=的3个线性无关的解，其中

111114351,1131A a b β-????

? ?=-=- ? ? ? ?????

则有 1213()0,()0A A αααα-=-=.

则

1213,αααα--是对应齐次线性方程组0Ax =的解，且线性无关.（否则，易推出123

,,ααα线性相关，矛盾）.

所以

()2n r A -≥，即4()2()2r A r A -≥?≤.

又矩阵

A 中有一个2阶子式

1043

=-≠，所以()2r A ≤.

因此

()2r A =.

（II ）因为

11111111111143510115011513013004245A a b a a b a a b a ??????

? ? ?=-→--→-- ? ? ? ? ? ?----+-??????

又()

2r A =，则

4202

4503a a b a b -==????

?+-==-??

. 对原方程组的增广矩阵

A 施行初等行变换，

111111024243511011532133100000A --???? ? ?=--→-- ? ? ? ?-????

，

故原方程组与下面的方程组同解.

134

23424253x x x x x x =-++??

=--

?. 选34,x x 为自由变量，则

134234

3344

242

53x x x x x x x x x x =-++??=--??

=??=?. 故所求通解为

12242153

100010x k k -?????? ? ? ?-- ? ? ?=++ ? ? ? ? ? ???????

，12,k k 为任意常数.

（23）（本题满分9分）

设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()

121,2,1,0,1,1αα=--=-是线性方程

组

0Ax =的两个解.

(Ⅰ) 求A 的特征值与特征向量；

(Ⅱ) 求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得T

AQ =Λ.

【分析】由矩阵

A 的各行元素之和均为3及矩阵乘法可得矩阵A 的一个特征值和对应的特征向量；

由齐次线性方程组0Ax =有非零解可知A 必有零特征值，其非零解是0特征值所对应的特征向量.将A 的

线性无关的特征向量正交化可得正交矩阵Q .

【详解】 (Ⅰ) 因为矩阵

A 的各行元素之和均为3，所以

1311331131A ??

????

? ? ?== ? ? ? ? ? ???????

，则由特征值和特征向量的定义知，

3λ=是矩阵A 的特征值，T (1,1,1)α=是对应的特征向量.

对应3λ

=的全部特征向量为k α，其中k 为不为零的常数.

又由题设知 120,0A A αα==，即11220,0A A αααα=?=?，而且12,αα线性无关，

所以0λ

=是矩阵A 的二重特征值，12,αα是其对应的特征向量，对应0λ=的全部特征向量为

1122k k αα+，其中12,k k 为不全为零的常数.

(Ⅱ) 因为A 是实对称矩阵，所以α

与12,αα正交，所以只需将12,αα正交.

取

11βα=，

()()21221111012,3120,61112αββαβββ??

-????

?- ? ?=-=--= ? ? ? ? ? ?

-???? ?

. 再将12,,αββ单位化，得

121231211136212,,036111236ββαηηηαββ????

-?? ? ?

- ? ?

? ? ?

?====== ?

? ? ?

? ?

? ? ? ??? ? ?

????

，令

[]123,,Q ηηη=，则1T Q Q -=，由A 是实对称矩阵必可相似对角化，得

T 300Q A Q ??

??==Λ??

????

1989考研数二真题及解析

1989年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(每小题3分,满分21分.把答案填在题中横线上.) (1) 0 lim cot 2x x x →=＿＿＿＿＿＿. (2) 0 sin t tdt π = ? ＿＿＿＿＿＿. (3) 曲线0 (1)(2)x y t t dt =--?在点(0,0)处的切线方程是＿＿＿＿＿＿. (4) 设 ()(1)(2)() f x x x x x n =++??+L ,则 (0)f '= ＿＿＿＿＿＿. (5) 设()f x 是连续函数,且1 ()2()f x x f t dt =+?,则()f x =＿＿＿＿＿＿. (6) 设 2,0()sin ,0a bx x f x bx x x ?+≤? =?>? ?在0x =处连续,则常数a 与b 应满足的关系是＿＿＿＿＿. (7) 设tan y x y =+,则dy =＿＿＿＿＿＿. 二、计算题(每小题4分,满分20分.) (1) 已知arcsin x y e -=求y '. (2) 求2 ln dx x x ?. (3) 求1 lim(2sin cos )x x x x →+.

(4) 已知 2ln(1),arctan , x t y t ?=+? =?求dy dx 及 22 d y dx . (5) 已知1(2),(2)02f f '==及20 ()1f x dx =? ,求12 (2)x f x dx ''?. 三、选择题(每小题3分,满分18分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设 x >时,曲线 1 sin y x x = ( ) (A) 有且仅有水平渐近线 (B) 有且仅有铅直渐近线 (C) 既有水平渐近线,也有铅直渐近线 (D) 既无水平渐近线,也无铅直渐近线 (2) 若2350 a b -<,则方程532340 x ax bx c +++= ( ) (A) 无实根 (B) 有唯一实根 (C) 有三个不同实根 (D) 有五个不同实根 (3) 曲线cos ()22 y x x ππ=-≤≤与x 轴所围成的图形,绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为

考研数二真题及解析

1993年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1) 0 lim ln x x x + →=＿＿＿＿＿＿. (2) 函数()y y x =由方程2 2 2 sin()0x x y e xy ++-=所确定,则 dy dx =＿＿＿＿＿＿. (3) 设1 ()(2(0)x F x dt x = >? ,则函数()F x 的单调减少区间是＿＿＿＿＿＿. (4) =＿＿＿＿＿＿. (5) 已知曲线()y f x =过点1 (0,)2 - ,且其上任一点(,)x y 处的切线斜率为2ln(1)x x +,则()f x =＿＿＿＿＿＿. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 当0x →时,变量 211 sin x x 是 ( ) (A) 无穷小 (B) 无穷大 (C) 有界的,但不是无穷小 (D) 有界的,但不是无穷大 (2) 设2|1| ,1,()1 2, 1,x x f x x x ?-≠? =-??=? 则在点1x =处函数()f x ( ) (A) 不连续 (B) 连续,但不可导 (C) 可导,但导数不连续 (D) 可导,且导数连续 (3) 已知2,01, ()1, 12, x x f x x ?≤<= ?≤≤? 设1 ()()x F x f t dt =?(02)x ≤≤,则()F x 为 ( ) (A)31,013,12x x x x ?≤,函数()ln x f x x k e =-+在(0,)+∞内零点个数为 ( ) (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0 (5) 若()()f x f x =--,在(0,)+∞内()0,()0f x f x '''>>,则()f x 在(,0)-∞内 ( )

1999考研数二真题及解析

1999 年全国硕士研究生入学统一考试数二试题一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。把答案填在题中横线上。) (1) 曲线sin 2cos t t x e t y e t ?=??=??，在点()0,1 处的法线方程为 (2) 设函数()y y x =由方程() 23 ln sin x y x y x +=+确定，则 x dy dx == (3) 25 613x dx x x +=-+? (4) 函数2 y = 12???? 上的平均值为 (5) 微分方程24x y y e ''-=的通解为二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。每小题给出得四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在提后的括号内。) (1) 设()20(),0x f x x g x x >= ≤? ，其中()g x 是有界函数，则()f x 在0x =处 ( ) (A) 极限不存在. (B) 极限存在，但不连续. (C) 连续，但不可导. (D) 可导. (2) 设()()()15sin 0 0sin ,1x x t t x dt x t dt t αβ= =+? ?，则当0x →时()x α是()x β的 ( ) (A)高阶无穷小 (B)低阶无穷小 (C)同阶但不等价的无穷小 (D)等价无穷小 (3) 设()f x 是连续函数，()F x 是()f x 的原函数，则 ( ) (A) 当()f x 是奇函数时，()F x 必是偶函数. (B) 当()f x 是偶函数时，()F x 必是奇函数. (C) 当()f x 是周期函数时，()F x 必是周期函数. (D) 当()f x 是单调增函数时，()F x 必是单调增函数. (4) “对任意给定的()0,1ε∈ ，总存在正整数N ，当n N ≥时，恒有2n x a ε-≤”是数列{}n x

考研数二真题及解析

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1989年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题（每小题３分,满分２１分.把答案填在题中横线上．) (1） 0 lim cot 2x x x →=＿＿＿＿＿＿. (２) sin t tdt π =? ＿＿＿___． (3) 曲线0 (1)(2)x y t t dt = --? 在点(0,0)处的切线方程是＿__＿_＿. (4) 设()(1)(2)()f x x x x x n =++??+,则(0)f '=__＿___. (5) 设()f x 是连续函数,且1 ()2 ()f x x f t dt =+? ,则()f x =＿＿＿＿＿_．（6) 设2,0()sin ,0a bx x f x bx x x ?+≤? =?>? ?在0x =处连续,则常数a 与b 应满足的关系是___＿＿. (７) 设tan y x y =+，则dy =_____＿. 二、计算题(每小题4分,满分20分.) (1) 已知arcsin x y e -=，求y '. （2) 求 2ln dx x x ?. (３）求10 lim(2sin cos )x x x x →+. (４) 已知2ln(1),arctan , x t y t ?=+?=?求dy dx 及22d y dx . (5）已知1 (2),(2)02 f f '= =及20()1f x dx =?，求120(2)x f x dx ''?. 三、选择题（每小题3分,满分18分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内．) (1) 设 x >时，曲线 1 sin y x x = ( ) (A) 有且仅有水平渐近线（B) 有且仅有铅直渐近线 (C) 既有水平渐近线,也有铅直渐近线（Ｄ）既无水平渐近线,也无铅直渐近线 (2) 若 2350 a b -<,则方程 532340x ax bx c +++=

考研数学二真题及答案解析

2006年数学（二）考研真题及解答一、填空题（1）曲线4sin 52cos x x y x x += -的水平渐近线方程为 . （2）设函数23 1sin ,0, (), x t dt x f x x a x ?≠? =??=? ? 在0x =处连续，则a = . （3）广义积分 22 (1) xdx x +∞=+? . （4）微分方程(1) y x y x -'= 的通解是 . （5）设函数()y y x =由方程1y y xe =-确定，则0 A dy dx == . （6）设矩阵2112A ?? = ?-?? ，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则B = . 二、选择题（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ?为自变量x 在0x 处的增量，y ?与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ?>，则（A ）0.dy y <

2017年考研数学二真题与答案解析

2017考研数学二真题及答案解析一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分）（1）若函数?? ? ??≤>-=0,,0,cos 1)(x b x ax x x f 在0=x 处连续，则（） )(A 21= ab 。 )(B 2 1-=ab 。 )(C 0=ab 。 D (2=ab 。【答案】)(A 【解】a ax x f x 21 cos 1lim )00(0=-=++→，b f f =-=)00()0(，因为)(x f 在0=x 处连续，所以)00()0()00(-==+f f f ，从而2 1 = ab ，应选)(A 。（2）设二阶可导函数)(x f 满足1)1()1(=-=f f ，1)0(-=f ，且0)(>''x f ，则（） ) (A ? ->1 10)(x f 。 ) (B ? -<1 1 0)(x f 。 )(C ??->10 1 )()(dx x f x f 。 )(D ??-<1 1 )()(dx x f x f 。【答案】)(B 【解】取12)(2 -=x x f ，显然 ? -<1 1 0)(x f ，应选)(B 。（3）设数列}{n x 收敛，则（） )(A 当0sin lim =∞ →n n x 时，0lim =∞ →n n x 。 )(B 当0)||(lim =+∞ →n n n x x 时，0lim =∞ →n n x 。 )(C 当0)(lim 2 =+∞ →n n n x x 时，0lim =∞→n n x 。)(D 当0)sin (lim =+∞→n n n x x 时，0lim =∞ →n n x 。【答案】)(D 【解】令A x n n =∞ →lim ，由0sin )sin (lim =+=+∞ →A A x x n n n 得0=A 。（4）微分方程)2cos 1(842x e y y y x +=+'-''的特解可设为=* y （） )(A )2sin 2cos (22x C x B e Ae x x ++。 )(B )2sin 2cos (22x C x B xe Axe x x ++。 )(C )2sin 2cos (22x C x B xe Ae x x ++。)(D )2sin 2cos (22x C x B xe Axe x x ++。

2013考研数二真题及解析

2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设cos 1sin ()x x x α-=，其中()2 x π α< ，则当0x →时，()x α是（）（A ）比x 高阶的无穷小（B ）比x 低阶的无穷小（C ）与x 同阶但不等价的无穷小（D ）与x 等价的无穷小（2）设函数()y f x =由方程cos()ln 1xy y x +-=确定，则2lim ()1n n f n →∞ ??-=??? ? （）（A ）2 （B ）1 （C ）1- （D ）2- （3）设函数sin ,0()=2, 2x x f x x π ππ≤ （C ）20α-<< （D ）02α<< （5）设()y z f xy x = ，其中函数f 可微，则x z z y x y ??+=??（）（A ）2()yf xy ' （B ）2()yf xy '- （C ） 2()f xy x （D ）2 ()f xy x - （6）设k D 是圆域{}22 (,)|1D x y x y =+≤在第k 象限的部分，记()(1,2,3,4)k k D I y x dxdy k =-=??，则（）（A ）10I > （B ）20I > （C ）30I > （D ）40I > （7）设矩阵A,B,C 均为n 阶矩阵，若,B AB C =则可逆，则（A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价（B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价（C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价（D ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的列向量组等价

考研数学二真题与解析

2014年考研数学二真题与解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．１．当+→0x 时，若)(ln x 21+α ，α1 1)cos (x -均是比x 高阶的无穷小，则α的可能取值范围是（）（A ）),(+∞2 （B ）),(21 （C ）),(121 （D ）),(2 10 【详解】α ααx x 221~)(ln +，是α阶无穷小，ααα2 11 211x x ~)cos (-是α2阶无穷小，由题意可知?????>>121 α α 所以α的可能取值范围是),(21，应该选（B ）． 2．下列曲线有渐近线的是（A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2 （C ）x x y 1sin += （D ）x x y 12 sin += 【详解】对于x x y 1sin +=，可知1=∞→x y x lim 且01 ==-∞→∞→x x y x x sin lim )(lim ，所以有斜渐近线x y = 应该选（C ） 3．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（）（A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≤ 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．【详解1】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断．显然 x f x f x g )())(()(110+-=就是联接))(,()),(,(1100f f 两点的直线方程．故当0≥'')(x f 时，曲线是凹的，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ）【详解2】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义不熟悉的话，可令 x f x f x f x g x f x F )())(()()()()(110---=-=，则010==)()(F F ，且)(")("x f x F =，故当0≥'')(x f 时，曲线是凹的，从而010==≤)()()(F F x F ，即0≤-=)()()(x g x f x F ，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ）

99考研数二真题及解析

1989年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(每小题3分,满分21分.把答案填在题中横线上.) (1) 0 lim cot 2x x x →=＿＿＿＿＿＿. (2) sin t tdt π =? ＿＿＿＿＿＿. (3) 曲线0 (1)(2)x y t t dt = --? 在点(0,0)处的切线方程是＿＿＿＿＿＿. (4) 设()(1)(2)()f x x x x x n =++??+,则(0)f '=＿＿＿＿＿＿. (5) 设()f x 是连续函数,且1 ()2 ()f x x f t dt =+? ,则()f x =＿＿＿＿＿＿. (6) 设2,0()sin ,0a bx x f x bx x x ?+≤? =?>? ?在0x =处连续,则常数a 与b 应满足的关系是＿＿＿＿＿. (7) 设tan y x y =+,则dy =＿＿＿＿＿＿. 二、计算题(每小题4分,满分20分.) (1) 已知arcsin y e =,求y '. (2) 求 2ln dx x x ?. (3) 求10 lim(2sin cos )x x x x →+. (4) 已知2ln(1),arctan , x t y t ?=+?=?求dy dx 及22d y dx . (5) 已知1 (2),(2)02 f f '= =及20()1f x dx =?,求120(2)x f x dx ''?. 三、选择题(每小题3分,满分18分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设0x >时,曲线1 sin y x x = ( ) (A) 有且仅有水平渐近线 (B) 有且仅有铅直渐近线 (C) 既有水平渐近线,也有铅直渐近线 (D) 既无水平渐近线,也无铅直渐近线 (2) 若2 350a b -<,则方程5 3 2340x ax bx c +++= ( )

2011考研数二真题及解析

2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题(1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上．) (1) 已知当0x →时，()3sin sin3f x x x =-与k cx 是等价无穷小，则( ) (A) 1,4k c ==． (B) 1,4k c ==-． (C) 3,4k c ==． (D) 3,4k c ==-． (2) 已知()f x 在0x =处可导，且()00f =，则()() 233 2lim x x f x f x x →-=( ) (A) ()20f '-． (B) ()0f '-． (C) ()0f '． (D) 0． (3) 函数()ln (1)(2)(3)f x x x x =---的驻点个数为( ) (A) 0． (B) 1． (C) 2． (D) 3． (4) 微分方程2 (0)x x y y e e λλλλ-''-=+>的特解形式为( ) (A) ()x x a e e λλ-+． (B) ()x x ax e e λλ-+． (C) ()x x x ae be λλ-+． (D) 2()x x x ae be λλ-+． (5) 设函数(),()f x g x 均有二阶连续导数，满足(0)0,(0)0,f g ><且(0)(0)0f g ''==，则函数()()z f x g y =在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是( ) (A) (0)0,(0)0.f g ''''<> (B) (0)0,(0)0.f g ''''<< (C) (0)0,(0)0.f g ''''>> (D) (0)0,(0)0.f g ''''>< (6) 设4 ln sin I x dx π = ? ，40 ln cot J x dx π =?，40 ln cos K x dx π =?，则,,I J K 的大小关系是( ) (A) I J K <<． (B) I K J <<． (C) J I K <<． (D) K J I <<． (7) 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，再交换B 的第2行与第3 行得单位矩阵，记11001 10001P ?? ?= ? ???，2100001010P ?? ? = ? ??? ，则A =( ) (A) 12P P ． (B) 112P P -． (C) 21P P ． (D) 1 21P P -． (8) 设1234(,,,)A αααα=是4阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若(1,0,1,0)T 是方程组

2005—数二真题、标准答案及解析

2005年考研数学二真题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）设x x y )sin 1(+=，则|x dy π==______ . （2）曲线x x y 2 3) 1(+= 的斜渐近线方程为______ . （3） =--?1 2 2 1)2(x x xdx ______ . （4）微分方程x x y y x ln 2=+'满足9 1 )1(- =y 的解为______ . （5）当0→x 时，2)(kx x =α与x x x x cos arcsin 1)(-+=β是等价无穷小，则k= ______ . （6）设321,,ααα均为3维列向量，记矩阵 ),,(321ααα=A ，)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B ，如果1=A ，那么=B . 二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）设函数n n n x x f 31lim )(+=∞ →，则f(x)在),(+∞-∞内 (A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点. (C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ ] （8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ?表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有 (A) F(x)是偶函数?f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数. (C) F(x)是周期函数?f(x)是周期函数. (D) F(x)是单调函数?f(x)是单调函数. [ ] （9）设函数y=y(x)由参数方程? ??+=+=)1ln(, 22t y t t x 确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x 轴交点的横坐标是 (A) 32ln 81+. (B) 32ln 8 1 +-. (C) 32ln 8+-. (D) 32ln 8+. [ ] （10）设区域}0,0,4),{(2 2≥≥≤+=y x y x y x D ，f(x)为D 上的正值连续函数，a,b 为常数，则 =+ +?? σd y f x f y f b x f a D ) ()()()( (A) πab . (B) π2ab . (C) π)(b a +. (D) π2 b a + . [ ]

1990考研数二真题及解析

1990年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1) 曲线3 3 cos sin x t y t ?=??=??上对应于点6t π=点处的法线方程是＿＿＿＿＿＿. (2) 设1 tan 1 sin x y e x =?,则y '=＿＿＿＿＿＿. (3) 1 =? ＿＿＿＿＿＿. (4) 下列两个积分的大小关系是：3 1 2 x e dx ---? ＿＿＿＿＿＿ 3 1 2 x e dx --?. (5) 设函数1, ||1 ()0, ||1x f x x ≤?=? >? ,则函数[()]f f x =＿＿＿＿＿＿. 二、选择题(每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 已知2lim 01x x ax b x →∞?? --= ?+?? ,其中,a b 是常数,则 ( ) (A) 1,1a b == (B) 1,1a b =-= (C) 1,1a b ==- (D) 1,1a b =-=- (2) 设函数()f x 在(,)-∞+∞上连续,则()d f x dx ???? ? 等于 ( ) (A) ()f x (B) ()f x dx (C) ()f x C + (D) ()f x dx ' (3) 已知函数()f x 具有任意阶导数,且2 ()[()]f x f x '=,则当n 为大于2的正整数时,()f x 的n 阶导数() ()n f x 是 ( ) (A) 1 ![()] n n f x + (B) 1 [()] n n f x + (C) 2[()]n f x (D) 2![()]n n f x (4) 设()f x 是连续函数,且()()x e x F x f t dt -= ? ,则()F x '等于 ( )

1998考研数二真题及解析

1998 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.) (1) 2 2 lim x x →= . (2) 曲线322y x x x =-++与x 轴所围成的图形的面积A = . (3) 2ln sin sin x dx x =? . (4) 设()f x 连续,则220 ()x d tf x t dt dx -=? . (5) 曲线1 ln()(0)y x e x x =+>的渐近线方程为 . 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设数列n x 与n y 满足lim 0n n n x y →∞ =,则下列断言正确的是 ( ) (A) 若n x 发散,则n y 发散 (B) 若n x 无界,则n y 必有界 (C) 若n x 有界,则n y 必为无穷小 (D) 若 1 n x 为无穷小,则n y 必为无穷小 (2) 函数23 ()(2)f x x x x x =---的不可导点的个数是 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (3) 已知函数()y y x =在任意点x 处的增量2 ,1y x y x α??= ++其中α是比(0)x x ??→高阶的无穷小,且(0),y π=,则(1)y = ( ) (A) 4 e ππ (B) 2π (C) π (D) 4 e π (4) 设函数() f x 在x a =的某个邻域内连续,且()f a 为其极大值,则存在0δ>,当 (,)x a a δδ∈-+时,必有 ( ) (A) ()[()()]0x a f x f a --≥ (B) ()[()()]0x a f x f a --≤ (C) 2()()lim 0()()t a f t f x x a t x →-≥≠- (D) 2 ()() lim 0()()t a f t f x x a t x →-≤≠-

1991考研数二真题及解析

1991年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1) 设ln(13)x y -=+,则dy =＿＿＿＿＿＿. (2) 曲线2 x y e -=的上凸区间是＿＿＿＿＿＿. (3) 2 1 ln x dx x +∞ =? ＿＿＿＿＿＿. (4) 质点以速度2 sin()t t 米每秒作直线运动, 则从时刻1t = 秒到2 t =的路程等于＿＿＿＿＿＿米. (5) 1 10 1lim x x x e x e + →-=+＿＿＿＿＿＿. 二、选择题(每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 若曲线2 y x ax b =++和3 21y xy =-+在点(1,1)-处相切,其中,a b 是常数,则 ( ) (A) 0,2a b ==- (B) 1,3a b ==- (C) 3,1a b =-= (D) 1,1a b =-=- (2) 设函数2 , 01, ()2,12, x x f x x x ?≤≤=?-<≤?记0 ()(),02x F x f t dt x =≤≤?,则 ( ) (A) 32 , 013()12,1233x x F x x x x ?≤≤??=??+-<≤?? (B) 32 , 013 ()72,1262x x F x x x x ?≤≤??=??-+-<≤?? (C) 3 22 , 013 ()2,123 2x x F x x x x x ?≤≤??=??+-<≤?? (D) 32 , 013()2,122x x F x x x x ?≤≤??=??-<≤?? (3) 设函数()f x 在(,)-∞+∞内有定义,00x ≠是函数()f x 的极大点,则 ( ) (A) 0x 必是()f x 的驻点 (B) 0x -必是()f x --的极小点

2020年考研数学二真题及答案解析

2020考研数学二真题及解析完整版来源：文都教育一、选择题：1~8小题，第小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上.1.0x + →，下列无穷小量中最高阶是（） A.( ) 2 0e 1d x t t -?B.(30 ln d x t t ?C.sin 20 sin d x t t ? D. 1cos 30 sin d t t -? 答案：D 解析:A.( ) 2 32001~3 x x t x e dt t dt -= ??B.(3 5 322002ln 1~5 x x t dt t x =??C.sin 223001sin ~3 x x t dt t dt x =??D.2 3 1 1cos 3220 sin ~x tdt t dt -??2512 20 25 x t =5 225 2152102 x ??== ???2.11 ln |1| ()(1)(2) x x e x f x e x -+=--第二类间断点个数（） A.1 B.2 C.3 D.4 答案：C 解析：0,2,1,1x x x x ====-为间断点

1111 0000ln |1|ln |1|ln |1|lim ()lim lim lim (1)(2)222x x x x x e x e x e x e f x e x x x ----→→→→+++===-=----0x =为可去间断点1 1 2 2ln |1| lim ()lim (1)(2) x x x x e x f x e x -→→+==∞ --2x =为第二类间断点11 1 1 ln |1| lim ()lim 0 (1)(2)x x x x e x f x e x -- -→→+==--11 1 1 ln |1| lim ()lim (1)(2) x x x x e x f x e x ++ -→→+==∞--1x =为第二类间断点111 1ln |1| lim ()lim (1)(2) x x x x e x f x e x -→-→-+==∞ --1x =-为第二类间断点 3. 1 (1) x x x x = -? A. 2π4B.2π8C.π4D.π8 答案：A 解析： 1 (1) x x x x -? 令u x =，则原式= 1 2 2 d (1) u u u u -?

1995考研数二真题及解析

1995年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1) 设2 2 1 cos()sin y x x =,则y '=＿＿＿＿＿＿. (2) 微分方程2y y x ''+=-的通解为＿＿＿＿＿＿. (3) 曲线2 3 1x t y t ?=+??=??在2t =处的切线方程为＿＿＿＿＿＿. (4) 22 2 12 lim( )12 n n n n n n n n n →∞ +++ =++++++＿＿＿＿＿＿. (5) 曲线2 2x y x e -=的渐近线方程为＿＿＿＿＿＿. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设()f x 和()x ?在(,)-∞+∞内有定义,()f x 为连续函数,且()0f x ≠,()x ?有间断点, 则 ( ) (A) [()]f x ?必有间断点 (B) 2 [()]x ?必有间断点 (C) [()]f x ?必有间断点 (D) () () x f x ?必有间断点 (2) 曲线(1)(2)y x x x =--与x 轴所围图形的面积可表示为 ( ) (A) 2 (1)(2)x x x dx ---? (B) 1 20 1 (1)(2)(1)(2)x x x dx x x x dx -----? ? (C) 12 1 (1)(2)(1)(2)x x x dx x x x dx ---+--?? (D) 2 (1)(2)x x x dx --? (3) 设()f x 在(,)-∞+∞内可导,且对任意12,x x ,当12x x >时,都有12()()f x f x >,则 ( ) (A) 对任意,()0x f x '> (B) 对任意,()0x f x '-≤ (C) 函数()f x -单调增加 (D) 函数()f x --单调增加 (4) 设函数()f x 在[0,1]上()0f x ''>,则(1)(0)(1)(0)f f f f ''-、、或(0)(1)f f -的大小

2002考研数二真题及解析

2002年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上) (1) 设函数tan 21,0 arcsin ()2, x x e x x f x ae x ?->?? =???≤?在0x =处连续，则a = . (2) 位于曲线(0)x y xe x -=≤<+∞下方，x 轴上方的无界图形的面积是_______. (3) 微分方程2 0yy y '''+=满足初始条件0 1 1,2 x x y y ==' == 的特解是_________. (4) 1lim n n →∞=_____ . (5) 矩阵022222222--????-????--?? 的非零特征值是_________. 二、选择题(本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设函数()f u 可导，2 ()y f x =当自变量x 在1x =-处取得增量0.1x ?=-时，相应的函数增量y ? 的线性主部为0.1，则(1)f '=( ) (A)－1 (B)0.1 (C)1 (D)0.5 (2) 设函数()f x 连续，则下列函数中，必为偶函数的是( ) (A)20()x f t dt ? (B)20 ()x f t dt ? (C) [()()]x t f t f t dt --? (D)0 [()()]x t f t f t dt +-? (3) 设()y x =是二阶常系数微分方程3x y py qy e '''++= 满足初始条(0)(0)0y y '==的特解，则当0x →，函数2ln(1) () x y x +的极限( ) (A)不存在 (B)等于1 (C)等于2 (D)等于3 (4) 设函数()y f x =在(0,)+∞内有界且可导，则( ) (A)当lim ()0x f x →+∞ =时，必有lim ()0x f x →+∞ '=.

中业考研数学二真题及答案解析

2016年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设()()33123 cos 1,ln 1,11a x x a x x a x =-= +=+-.当0x +→时，以上3个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是（A ）123,,a a a （B ）231,,a a a （C ）213,,a a a （D ）321,,a a a （2）已知函数()()21,1ln ,1x x f x x x -

2017年考研数学二真题与解析

2017年考研数学二真题一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． 1 ．若函数0(),0x f x b x >=?≤? 在0x =处连续，则（A ）12ab = （B ）1 2 ab =- （C ）0ab = （D ）2ab = 【详解】0001112lim ()lim lim 2x x x x f x ax ax a +++→→→-===，0lim ()(0)x f x b f -→==，要使函数在0x =处连续，必须满足11 22 b ab a =?=．所以应该选（A ） 2．设二阶可导函数()f x 满足(1)(1)1f f =-=，(0)1f =-，且()0f x ''>，则（）（A ）1 1()0f x dx ->? （B ）1 1 ()0f x dx -? ? （D ）01 1 ()()f x dx f x dx -，则知道曲线()f x 在[][]1,0,0,1-上都是凹的，根据凹凸性的定义，显然当[]1,0x ∈-时，()21f x x ≤--，当[]0,1x ∈时，()21f x x ≤-，而且两个式子的等号不是处处成立，否则不满足二阶可导．所以 1 01 1 1 ()(21)(21)0f x dx x dx x dx --<--+-=? ??．所以选择（B ）．当然，如果在考场上，不用这么详细考虑，可以考虑代一个特殊函数2()21f x x =-，此时 11011(),()33 f x dx f x dx -=-=-??，可判断出选项（A ），（C ），（D ）都是错误的，当然选择（B ）．希望同学们在复习基础知识的同时，掌握这种做选择题的技巧． 3．设数列{}n x 收敛，则（A ）当lim sin 0n n x →∞ =时，lim 0n n x →∞ = （B ）当lim(0n n x →∞ + =时，lim 0n n x →∞= (C ）当2 lim()0n n n x x →∞ +=时，lim 0n n x →∞ = （D ）当lim(sin )0n n n x x →∞ +=时，lim 0n n x →∞ = 【详解】此题考核的是复合函数的极限运算法则，只有（D ）是正确的．其实此题注意，设lim n n x A →∞ =，则 2 2limsin sin ,lim(),lim(sin )sin n n n n n n n n n n x A x A x x A A x x A A →∞ →∞ →∞ →∞ ==+=++=+ 分别解方程2sin 0,0,0,sin 0A A A A A A ==+=+=时，发现只有第四个方程sin 0A A +=有唯

2006年数二考研真题答案解析

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