九年级数学下册 二次函数学案(无答案) 苏科版
6.1二 次 函 数
班级 姓名
【学习目标】
1.理解二次函数的概念.
2.能够根据实际问题列出二次函数关系式，了解如何确定自变量的取值范围. 【课前自习】
1.我们学过的函数有 函数和 函数.
2.一次函数的关系式是y = （ ）；特别，当 时， 一次函数就是正比例函数y = .
3.反比例函数的关系式是y = ( ).
4.一元二次方程的一般形式是： （ ），其中 是二次项， 是一次项， 是常数项， 是一次项系数， 是二次项系数.
5.若关于x 方程013)1(1
2
=++++x x k k
是一元二次方程，则k = .
6.圆的面积公式是：S = ，可以看成是 关于 的函数，其中 是 自变量， 是因变量，根据实际r 的取值范围是 .
【课堂助学】 一、情境导入：
1． 一粒石子投入水中，激起的波纹不断向外扩展.
扩展的圆的面积S 与半径r 之间的函数关系式是 .
2．用16米长的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔,怎样围可使小兔的活动范围最大? 在这个问题中，可设长方形生物园的长为x 米，则宽为 米，如果将面积 记为y 平方米，那么y 与x 之间的函数关系式为y = ，整理为y = . 3．要给边长为x 米的正方形房间铺设地板，已知某种地板的价格为每平方米240元， 踢脚线的价格为每米30元，如果其他费用为1000元，门宽0.8米，那么总费用y 为多 少元？
在这个问题中,地板的费用与 有关,为 元,踢脚线的费用
与 有关,为 元.其他费用固定不变为 元,所以总费用
y （元）与x （m ）之间的函数关系式是y = ，
整理为y = . 二、探究归纳：
1.上述函数关系式有哪些共同之处？它们与一次函数、反比例函数关系式有什么不同？
2.一般地，我们把形如：y = ( )的函数称为二次函数.其中 是自变量， 是因变量，这是 关于 函数.
3.一般地，二次函数c bx ax y ++=2中自变量x 的取值范围是 .但在实际问题中，他们的取值范围往往有所限制，你能说出上述三个问题中自变量的取值范围吗？
① ② ③ 三、典型例题：
例1、判断下列函数是否为二次函数.如果是，写出其中a 、b 、c 的值. ①231x y -=( ) ②)5(-=x x y ( ) ③ ( ) ④23)2(3x x x y +-=( ) ⑤ ( ) ⑥652++=x x y ( )
⑦1224-+=x x y ( ) ⑧c bx ax y ++=2( )
例2、当k 为何值时，函数1)1(2
+-=+k
k x k y 为二次函数？
例3、用一根长为40cm 的铁丝围成一个半径为r 的扇形，求扇形的面积S 与它的半径r 之
间的函数关系式．这个函数是二次函数吗？请写出半径r 的取值范围．
例4、已知二次函数2
ax y =，当x =3时，y = -5，当y =5
1
-
时，求x 的值．
【课堂检测】
1.判断下列函数是否为二次函数.如果是，写出它的二次项系数、一次项系数、常数项.
12
321
+-=x x y 21
x
y =3
121
①232x y -=( )②323x x y +=( )③y = ( )④y = ( )
2.写出下列函数关系式：
⑴多边形的对角线的条数d 与边数n 之间的函数关系式。
⑵某产品年产量为30台，计划今后每年比上一年的产量增长率为x ，试写出两年后的产量 y （台）与x 的函数关系式。
⑶某超市1月份的营业额为200万元,2、3月份营业额的月平均增长率为x ，求第一季度营
业额y （万元）与x 的函数关系式.
⑷某地区原有20个养殖场，平均每个养殖场养奶牛2000头。后来由于市场原因，决定减 少养殖场的数量，当养殖场每减少1个时，平均每个养殖场的奶牛数将增加300头。如 果养殖场减少x 个，求该地区奶牛总数y （头）与x （个）之间的函数关系式.
3.圆的半径为2cm ，假设半径增加xcm 时，圆的面积增加y(cm 2
). ⑴写出y 与x 之间的函数关系式；
⑵当圆的半径分别增加1cm 、cm 3时，圆的面积分别增加多少？
⑶当圆的面积为5πcm 2
时,其半径增加了多少?
【课外作业】
1.下列函数：（1）y=3x 2
+x
2+1;(2)y=61x 2+5;(3)y=(x-3)2-x 2;(4)y=1+x-2
2x ,属于二次函
数的
是 (填序号).
2.函数y=(a-b)x 2
+ax+b 是二次函数的条件为 . 3.已知函数7
2
)3(--=m
x m y 是二次函数，求m 的值.
4.下列函数关系中,满足二次函数关系的是( )
A.圆的周长与圆的半径之间的关系;
B.在弹性限度内,弹簧的长度与所挂物体质量的关系;
C.圆柱的高一定时,圆柱的体积与底面半径的关系;
D.距离一定时,汽车行驶的速度与时间之间的关系. 5.写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数． ⑴正方体的表面积S （cm 2
）与棱长a （cm ）之间的函数关系；
⑵圆的面积y （cm 2
）与它的周长x （cm ）之间的函数关系；
⑶菱形的两条对角线的和为26cm ，求菱形的面积S （cm 2
）与一对角线长x （cm ）之间的 函数关系．
6.已知y+2x 2
=kx(x-3)(k ≠2). (1)证明y 是x 的二次函数;
(2)当k=-2时,写出y 与x 的函数关系式.
6.2.1二次函数的图像与性质⑴
班级 姓名
【学习目标】
1.会用描点法画二次函数2ax y =的图像，掌握它的性质.
2.渗透数形结合思想. 【课前自习】
1.一次函数的图像是一条 ， 反比例函数的图像叫做 线.
2.一次函数2+=x y 经过点（0， ）
（ ，0）、（2， ）、（ ，-2）.
3.形如 （ ）的函数叫做二次函数.
4.当k = 时，函数1)1(1
2
+-=+k
x k y 为二次函数.
5.某超市1月份的营业额为100万元,2、3月份营业额的月平均增长率为x ，求第一季度 营业额y （万元）与x 的函数关系式是 .
【课堂助学】 一、 自主探索：
1.画二次函数2x y =的图像： ⑵在下列平面直角坐标系中描出表中各点，并把这些点连成一条平滑的曲线： 观察图像: ⑴这条曲线叫做 线.
⑵它是 对称图形，有 条对称轴，对称轴是 .
⑶它与对称轴的交点叫做 ，顶点坐标是（ ），顶点是最 点.
当x = 时，y 有最 值是 . ⑷该图像开口向 ；在对称轴
的左侧，即x 时，y 随x 的增大而 ；在对称轴的右侧，即
x 时，y 随x 的增大而 .
⑸图象与x 轴有 个交点，交点坐标
是（ ）.
3.在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图像：①21x y =
②21
x y -= ⑴共同点： .
⑵ 的图像开口向 ，顶点是
抛物线的最 点，函数有最 值. 在对称轴的左侧，即x 时，y 随
x 的增大而 ；在对称轴的右
侧，即x 时，y 随x 的增大
而 .
⑶ 图像开口向 ，顶点是22
1
x y =22
1x y -=
抛物线的最 点，函数有最 值.
在对称轴的左侧，即x 时，y 随
x 的增大而 ；在对称轴的右
侧，即x 时，y 随x 的增大
而 .
⑷
的图像与 的图像关于 成 对称. 二、探究归纳：
1.二次函数2ax y =的图像是一条 ，它关于 对称；顶点坐标是 ， 说明当x = 时，y 有最值是 .
2.当0>a 时，抛物线开口向 ，顶点是抛物线的最 点.在对称轴的左侧，即x 时，
y 随x 的增大而 ；在对称轴的右侧，即x 时，y 随x 的增大而 .
3.当0 y 随x 的增大而 ；在对称轴的右侧，即x 时，y 随x 的增大而 . 三、典型例题： 例1、已知y =m m m x +2是x 的二次函数. ⑴当m 取何值时，该二次函数的图像开口向上？ ⑵在上述条件下：①当x = 时，y = . ②当y =8时，x = . ③当-2 【课堂检测】 1.画出下列函数的图像： 22 22 1 x y =221x y -=2 3 【课外作业】 1.二次函数2x y =的图像开口 ，对称轴是 ，顶点是 . x 取任何 实数，对应的y 值总是 数. 2.点A （2，-4）在函数2x y -=的图像上，点A 在该图像上的对称点的坐标是 . 3.二次函数231x y = 与23 1 x y -=的图像关于 对称. 4.若点A （1，a ）、B （b ，9）在函数2x y =的图像上，则a = ，b = . 5.利用函数2x y -= ⑴当x = 时，y = . ⑵当y =-8时，x = . ⑶当-2 6.观察函数2 x y -=⑴在y 轴左侧的图像上任取两点A 且使0>x 1>x 2,试比较y 1与y 2 ⑵在y 轴右侧的图像上任取两点C （x 3,y 3）、D(x 4,y 4), 且使x 3>x 4>0,试比较y 3与y 4的大小. 7.已知4 2 )2(-++=k k x k y 是二次函数，且当0>x 时，y 随x 的增大而增大． ⑴ 求k 的值；⑵写出顶点坐标和对称轴． 2 3 6.2.1二次函数的图象与性质⑵ 班级 姓名 【学习目标】 1.会用描点法画二次函数k ax y +=2的图象，掌握它的性质. 2.渗透数形结合思想. 【课前自习】 22.抛物线2 2x y =的对称轴是 ，顶点坐标是 ；x 取任何实数，对应的y 值 总是 数；当x 时，抛物线上的点都在 轴的上方. 3.抛物线 的开口向 ；除了它的顶点，抛物线上的点都在 轴的 方， 它的顶点是图象的最 点；x 取任何实数，对应的y 值总是 数. 4.点A （-1，-4）在函数2 ax y =的图象上，点A 在该图象上的对称点的坐标是 . 【课堂助学】 二、 自主探索： 1.画出二次函数22 +=x y 的图象： 22 1 x y -= 观察表中所填数据，你发现什么？ ⑵在下列平面直角坐标系中描出表中各点，并把这些点连成平滑的曲线： 观察左图: ⑴函数2 2+ =x y与2x y=的图象的相 同，相同，相同，不同； ⑵函数2 2+ =x y可以看成2x y=的图象向 平移个单位长度得到； 它的顶点坐标是，说明当x= 时， y有最值是 . ⑶猜想函数2 2- =x y的与性质： 2 2- =x y与2x y=的图象的相 同，相同，相同，不同； 函数2 2- =x y可以看成2x y=的图象向 平移个单位长度得到； 它的顶点坐标是，说明当x= 时， y有最值是 . 二、探究归纳： 1.二次函数k ax y+ =2的图象是一条，它对称轴是；顶点坐标是，说明当x= 时，y有最值是 . 2.当0 > k时，k ax y+ =2的图象可以看成是2 ax y=的图象向平移个单位得到；当0 < k时，k ax y+ =2的图象可以看成是2 ax y=的图象向平移个单位得到. 3.当0 > a时，抛物线开口向，顶点是抛物线的最点.在对称轴的左侧，即x时，y随x的增大而；在对称轴的右侧，即x时，y随x的增大而； 当0 < a时，抛物线开口向，顶点是抛物线的最点.在对称轴的左侧，即x时，y随x的增大而；在对称轴的右侧，即x时，y随x的增大而 . 【课堂练习】 1.抛物线y=-x2+3的开口，对称轴是，顶点坐标是；在对称轴的 左侧，y随x的增大而，在对称轴的右侧，y随x的增大而；当x= 时，y取得最值，这个值等于 . 2.抛物线y=2x 2 -1的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ；在对称 轴的左侧，y 随x 的增大而 ，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而 ； 当x= 时，y 取得最 值，这个值等于 . 3.函数y=4x 2+5的可由y=4x 2的向 平移 个单位得到；y=4x 2 -11的 可由 y=4x 2 的向 平移 个单位得到. 4.将抛物线y=4x 2 向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是 . 【拓展延伸】 1.已知4 2 )2(-++=k k x k y +3是二次函数，且当0>x 时，y 随x 的增大而减少．求该函 数的表达式. 2.二次函数k ax y +=2()0≠a 的经过点A （1，-1）、B （2，5）. ⑴点A 的对称点的坐标是 ，点B 的对称点的坐标是 ； ⑵求该函数的表达式； ⑶若点C(-2，m ),D （n ，7）也在函数的上，求m 、n 的值； ⑷点E （2，6）在不在这个函数的图象上？为什么？ 【课堂作业】 1.在同一坐标系中画出下列函数的图象：①212+- =x y ②21 2--=x y 观察左图: ⑴函数 的图象与 的图 像 相同， 相同， 相同， 不同； ⑵抛物线 可以看成是 的图象向 平移 个单位长度得到； 22 1 2+-=x y 22 12--=x y 22 1 2+-=x y 22 12--=x y 它的顶点坐标是 ，说明当x = 时， y 有最 值是 . ⑶抛物线 可以看成是 的图象向 平移 个单位长度得到； 它的顶点坐标是 ，说明当x = 时， y 有最 值是 . 【课外作业】 1.抛物线y=-3x 2 +5的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ；在对称轴的 左侧，y 随x 的增大而 ，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而 ；当x= 时， y 取得最 值，这个值等于 . 2.抛物线y=7x 2-3的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ；在对称 轴的左侧，y 随x 的增大而 ，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而 ； 当x= 时，y 取得最 值，这个值等于 . 3将函数y=-3x 2+4的图象向 平移 个单位可得y=-3x 2的图象；将y=2x 2 -7的图象 向 平移 个单位得到可由 y=2x 2的图象；将y=x 2 -7的图象向 平移 个单 位可得到 y=x 2 +2的图象. 4.将抛物线y=-5x 2 +1向下平移5个单位,所得的抛物线的函数关系式是 . 5.点A （2,3）关于y 轴的对称点的坐标是 ，点B （-2，-3）关于y 轴的对称点 的坐标是 ，点C （a,b ）关于y 轴的对称点是 . 6.若二次函数1)2(2+-=x m y 的图象开口向下，则m 的取值范围是 . 7.已知3)1(2 --=-k k x k y 是二次函数. ⑴当0 ⑵若y 有最大值，求该函数的表达式. 22 12--=x y 22 1 2+-=x y 6.2.1二次函数的图像与性质⑶ 班级 姓名 【学习目标】 1.会用描点法画二次函数()2 h x a y -=的图像，掌握它的性质. 2.渗透数形结合思想. 【课前自习】 22.抛物线222 +=x y 的对称轴是 ，顶点坐标是 ；x 取任何实数，对应 的y 值的取值范围是 . 3.抛物线 的开口向 ；无论x 取任何实数，抛物线上的点都在 轴 的 方，它的顶点是图像的最 点. 4.点A （1，4）在函数32 +=x y 的图像上，点A 在该图像上的对称点的坐标是 . 【课堂助学】 三、 自主探索： 1.画出二次函数 和 的图像： ⑴列表： 32 1 2--=x y ()2 221+=x y ()222 1-=x y 2.观察上图: ⑴函数 的图像与 的图像的 相同， 相同， 不同， 不同； 函数 可以看成 的图像向 平移 个单位长度得到； 它的对称轴是 ，顶点坐标是 ，说明当x = 时，y 有最 值是 . ⑵函数 的图像与 的图像的 相同， 相同， 不同， 不同； 函数 可以看成 的图像向 平移 个单位长度得到； 它的对称轴是 ，顶点坐标是 ，说明当x = 时，y 有最 值是 . ⑶函数 的图像与函数 的图像关于 成 对称. 二、探究归纳： 1.二次函数()2 h x a y -=的图像是一条 ，它对称轴是 ， 顶点坐标是 ，说明当x = 时，y 有最值是 . 2.当0>h 时，()2 h x a y -=的图像可以看成是 的图像向 平移 个
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