大学概率论习题五详解
概率论习题五详解
1、设X 为离散型的随机变量，且期望EX 、方差DX 均存在，证明对任意0>ε,都有
()2
ε
εDX
EX X P ≤
≥-
证明 设()i i p x X P == ,...2,1=i 则
()()∑≥
-==
≥-ε
εEX x i
i x X P
EX X P ()i
EX x i p EX x i ∑≥
--≤εε2
2
()i
i
i p EX x ∑
-≤2
2ε=2
εDX
2、设随机变量X 和Y 的数学期望都是2，方差分别为1和4，而相关系数为0.5，请利用切
比雪夫不等式证明：
()12
16≤
≥-Y X P 。 证 ()0=-Y X E
()1,cov ==DXDY Y X ρ
()()325,cov 2=-=-+=-Y X DY DX Y X D
()()()()()12
1
6662
=-≤≥---=≥-Y X D Y X E Y X P Y X P 3、一枚均匀硬币要抛多少次才能使正面出现的频率与0.5之间的偏差不小于0.04的概率
不超过0.01？
解设n X 为 n 次抛硬币中正面出现次数，按题目要求，由切比雪夫不等式可得
01.004.05.05.004.05.02≤??≤???
? ??≥-n n X P n 从而有 1562504
.001.025
.02
=?≥n 即至少连抛15625次硬币，才能保证正面出现频率与0.5的偏差不小于0.04的概率不超过0.01。
4、每名学生的数学考试成绩X 是随机变量，已知80=EX ，25=DX ，（1）试用切比雪夫不等式估计该生成绩在70分到90分之间的概率范围；（2）多名学生参加数学考试，要使他们的平均分数在75分到85分之间的概率不低于90%，至少要有多少学生参加考试？
解 (1)由切比雪夫不等式 ()
2
1ε
εDX
EX X P -
≥<- ()0>ε
又 ()()()101090709070
≤-≤-=-≤-≤-=≤≤EX X P EX EX X EX P X P
=()75.0100
25
11080=-≥≤-X P 即该生的数学考试成绩在70分到90分之间的概率不低于75%
(2)设有n 个学生参加考试(独立进行)，记第i 个学生的成绩为i X ()n i i ...2,=，则平均成绩
为∑==n i i X n X 11，又8011==∑=n
i i EX n X E , n
DX n X D 251==
则由切比雪夫不等式可得：()()
n
n n X P X P 1525
1158085752-=?-≥≤-=≤≤ 要使上述要求不低于90%，只需9.01
≥-n
n ，解得10≥n ，即有10个以上的学生参加考试，就
可以达到要求。
5、设800台设备独立的工作，它们在同时发生故障的次数()01.0,800~B X ，现由2名维修工看管，求发生故障不能及时维修的概率。
解 ()()i i i i C X P X P -=∑
-
=≤-=>8008002
99.001.01212
在二项分布表（附表1）中不能查出。8=np ，使用正态分布近似计算： 若使用正态分布近似计算：X 近似
~()92.7,8N ,
()()()9834
.0132.2132.292.781212=Φ=?
??
??-≤--≈≤-=>X P X P X P
6、对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长来、有1名家长来、有2名家长来参加会议的概率分别为0.05、0.8、0.15。若学校共有400名学生，设每个学生参加会议的家长数相互独立且服从同一分布，求：(1)参加会议的家长数X 超过450的概率；(2)每个学生有一名家长来参加会议的学生数不多于340的概率。
解 (1)以i X ()400...2,1=i 表示第i 个学生来参加会议的家长数，则i X 的分布律为:
所以1.1=i EX ，=i DX ， 而∑==
400
1
i i
X
X
由中心极限定理知：()76,440~N X 近似
()()1257.0147.11450=Φ-≈>X P
(2)以Y 表示每个学生有一名家长来参加会议的个数，则()8.0,400~B Y
由中心极限定理知：()64,320~N Y 近似
则()()9938.05.2340=Φ≈≤Y P 7、射手打靶得10分的概率为0.5，得9分的概率为0.3，得8分、7分和6分的概率分别0 .1、0.05和0.05，若此射手进行100次射击，至少可得950分的概率是多少？
解 设i X 为射手第i 次射击的得分，则有
且∑==
100
1
i i
X
X ， 15.9=i EX ，95.842
=EX ，2275.1=DX
由中心极限定理得：
()0008.0159.312275.110091595019501001=Φ-=??? ???-Φ-=??
? ??≥∑=i i X P
8、某产品的不合格率为0.005，任取10000件中不合格品不多于70件的概率为多少？
解 依题意，10000件产品中不合格品数()005.0,10000~B X ，由50=np ，()51>-p n ，故可用二项分布的正态近似，所求概率为
()()()9977.08355.2005.0150507070=Φ=???
? ??--Φ≈≤X P 9、某厂生产的螺丝钉的不合格品率为0.01，问一盒中应装多少只螺丝钉才能使盒中含有100
只合格品的概率不小于0.95？
解 设 n 为一盒装有的螺钉数，其中合格品数记为X ，则有()99.0,~n B X ，该题要求n ，使得下述概率不等式成立。
()95.0100≥≥X P 或()05.0100< 利用二项分布的正态近似，可得：()645.105.00099.099.0100-Φ= ? ??-Φn n 因此，n n 0099.0645.199.0100-<- 解得，19.103>n 这意味着，每盒应装104只螺钉，才能使每盒含有100只合格品的概率不小于0.95。 （B ） 1、为确定一批产品的次品率要从中抽取多少个产品进行检查，使其次品出现的频率与实际次品率相差小于0.1的概率不小于0.95。 解：依题意，可建立如下概率不等式 () 95.01.0≥<-'P P P 其中P 是这实际的次品率，如抽取n 个产品则次品的频率n x x x P n ...21++='，由中心极限 定理，P '近似服从正态分布： ()()()()n n P P P N /P 1P ,0N ~P P /1,--'-或 从而有 ()975.0295 .0111.0=+≥??? ? ??-ΦP P n 查表可得 ： () 96.111.0≥-P P n 或()P P n -≥16.19 由于P 未知，只得放大抽检量，用1/2代替 ()P P -1 ，可得：8.9≥n 96≥n ，可见，需抽查96个产品才能使其次品率与实际次品率相差0.1小于的概率不小于 0.95。 2、 假设批量生产的某产品的优质品率为60%，求在随机抽取的200件产品中有120到150件优质品的概率α． 解 记n ν——随机抽取的200件产品中优质品的的件数，则n ν服从二项分布，参数为n =200，p =0.60；48)1(120=-=p np np ，．由于n =200充分大，故根据棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理，近似地 {}{}． ； 5.0)0()33.4(33.40 4812015048120 0150120)1 ,0(~48 120 ) 1( ≈-≈≤≤=??? ? ?? -≤ -≤ =≤≤=-=--= ΦΦνναννn n n n n n U N p np np U P P P 3、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，n X X X ,,,21 是独立与X 同分布随机变量，证明：对任意0>ε，都有 0})(1{lim 21 2 =≥+-∑=∞→ελλn k i n X n P 证明 由于n X X X ,,,21 独立同泊松分布，可见2 2221,,,n X X X 也独立同分布，而且数学 期望存在： 222)(λλ+=+=i i i X X X E D E ． 因此，根据辛钦大数定律，有 0})(1{lim 21 2 =≥+-∑=∞→ελλn k i n X n P ． 《概率论与数理统计》课后习题解答 习题一 3．设A ,B ,C 表示三个事件,用A ,B ,C 的运算关系表示下列各事件： （1）A 发生,B 与C 不发生; （2）A 与B 都发生,而C 不发生; （3）A ,B ,C 都发生; （4）A ,B ,C 都不发生; （5）A ,B ,C 中至少有一个发生; （6）A ,B ,C 中恰有一个发生; （7）A ,B ,C 中至少有两个发生; （8）A ,B ,C 中最多有一个发生. 解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）ABC ； （4）C B A ； （5）C B A ； （6）C B A C B A C B A ++； （7）BC AC AB ； （8）BC AC AB 或C B C A B A ． 5．在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码． （1）求最小的号码为5的概率; （2）求最大的号码为5的概率. 解：设事件A 表示“最小的号码为5”，事件B 表示“最大的号码为5”，由概率的古典定义得 （1）12 1)(31025==C C A P ； （2）20 1)(31024==C C B P ． 6．一批产品共有200件，其中有6件废品，求： （1）任取3件产品恰有1件是废品的概率; （2）任取3件产品没有废品的概率; （3）任取3件产品中废品不少于2件的概率. 解：设事件i A 表示“取出的3件产品中恰有i 件废品”)3,2,1,0(=i ，由概率的古典定义得 （1）0855.0)(3200 2194161≈=C C C A P ； （2）9122.0)(3200 31940≈=C C A P ； （3）0023.0)(3200 3611942632≈+=+C C C C A A P ． 8．从0,1,2,…,9这十个数字中任意取出三个不同的数字，求下列事件的概率： A 表示“这三个数字中不含0和5” ； B 表示“这三个数字中包含0或5” ； C 表示“这三个数字中含0但不含5”． 解：由概率的古典定义得 157)(31038==C C A P ；158)(1)(=-=A P B P ；30 7)(31028==C C C P 9．已知5.0)(=A P ,6.0)(=B P ,8.0)(=A B P ，求)(AB P 和)(B A P ． 解：4.08.05.0)|()()(=?==A B P A P AB P )]()()([1)(1)()(AB P B P A P B A P B A P B A P -+-=-== 3.0) 4.06.0 5.0(1=-+-= 10．已知4.0)(=B P ,6.0)(=B A P ,求)(B A P ． 解：314.014.06.0)(1)()() ()()(=--=--==B P B P B A P B P B A P B A P 11．某种品牌电冰箱能正常使用10年的概率为9.0,能正常使用15年的概率为3.0,现某人购买的该品牌电冰箱已经正常使用了10年,问还能正常用到15年的概率是多少? 解：设事件B A ,分别表示“该品牌电冰箱能正常使用10,15年”，依题可知 3.0)()(,9.0)(===B P AB P A P ，则所求的概率为 3 19.03.0)()()|(===A P AB P A B P 12．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨最后一个号码． 概率论第五章习题解答（科学出版社） 1、据以往的经验，某种电器元件的寿命服从均值为100h 的指数分布，现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件的寿命的总和1920h 的概率。 解 设这16只元件的寿命为i X ，1,2, ,16i =，则16 1 i i X X ==∑， 因为()100i E X μθ===，22()10000i D X σθ=== 于是随机变量 16 16 1600 1600 400 i i X n X X Z μ -?--= = = ∑∑近似的服从(0,1)N 160019201600{1920}{ }400400X P X P -->=>1600 {0.8}400X P -=> 1600 1{0.8}400 X P -=-<1(0.8)=-Φ＝10.78810.2119=-=. 2\（1）一保险公司有10000个汽车保险投保人，每个投保人索赔金额的数学期望为280美元，标准差为800美元，求索赔总金额不超过2700000美元的概率； （2）一公司有50张签约保险单，每张保险单的索赔金额为i X ，1,2, ,50i =（以千美元 计）服从韦布尔分布，均值()5i E X =，方差()6i D X =求50张保险单索赔的合计总金额大于300的概率。 解 （1）设每个投保人索赔金额为i X ，1,2,,10000i =，则索赔总金额为10000 1 i i X X == ∑ 又 ()280i E X =，2()800i D X =，所以， 索赔总金额不超过2700000美元的概率 {2700000}1`{270000}P X P X >=-≤ 10000 1 28010000 27000002800000 1{ }800100 80000 i i X P =-?-=-≤ ?∑ 10000 1 2800000 101{ }80000 8 i i X P =-=-≤- ∑ 10000 1 2800000 1{ 1.25}80000 i i X P =-=-≤-∑近似的服从(0,1)N 习题一 2．设A ，B 为随机事件，且P （A ）=0.7，P (A -B )=0.3，求P （ AB 解： P （AB ） =1-P （AB ）=1-[P (A )-P (A -B )] =1-[0.7-0.3]=0.6。 3. 设A ，B ，C 为三事件，且P （A ）=P （B ）=1/4，P （C ）=1/3且P （AB ）=P （BC ）=0， P （AC ）=1/12，求A ，B ，C 至少有一事件发生的概率。 解：因为 A B C A B ?,所以0()()P ABC P AB ≤≤，又 P （AB ）=0，则()0P ABC =， P （A ∪B ∪C ） =P (A )+P (B )+P (C )-P (AB )-P (BC )-P (AC )+P (ABC ) =14+14+13-112=34 。 4．将3个不同的球随机地放入4个杯子中去，求所有杯中球的最大个数分别为1，2，3的概率。 解：设i A ={杯中球的最大个数为i }，i =1，2，3。 将3个球随机放入4个杯子中，全部可能放法有43种，杯中球的最大个数为1时，每个杯中最多放一球，故 34 13C 3!3()84 P A == 而杯中球的最大个数为3，即三个球全放入一个杯中，故1433C 1()164 P A ==，因此 213319()1()()181616 P A P A P A =--=--= 或 12143323C C C 9()164P A ==. 6．从1，2，3，4，5，6，7，8，9，0这10个数字中任取五个数按先后顺序组成多位数，求下列事件的概率：(1) 这五个数字组成一个五位偶数；(2) 2和3都被抽到且靠在一起. 解（1）5105987648764190 P A ????-???==． （2）145102!876445 C P A ????==． 7．对一个五人学习小组考虑生日问题： （1） 求五个人的生日都在星期日的概率；（2） 求五个人的生日都不在星期日的概率； （3） 求五个人的生日不都在星期日的概率. 解：基本事件总数为57， （1）设A 1={五个人的生日都在星期日}，所求事件包含基本事件的个数为1个，故 P （A 1）=517=51()7 ; 概率论与数理统计（复旦第三版） 习题五 答案 1.一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X .估计P {10 10.760.840.9.n i i X P n =??????≤ ≤≥???????? ∑ 根据独立同分布的中心极限定理得 0.8n i X n P ??-??≤≤???? ∑ 0.9,=Φ-Φ≥ 整理得 0.95,10?Φ≥ ?? 查表 1.64,≥ n ≥268.96, 故取n =269. 3. 某车间有同型号机床200部，每部机床开动的概率为0.7，假定各 机床开动与否互不影响，开动时每部机床消耗电能15个单位. 问至少供应多少单位电能才可以95%的概率保证不致因供电不 足而影响生产. 【解】设需要供应车间至少15m ?个单位的电能，这么多电能最多能 同时供给m 部车床工作，我们的问题是求m 。 把观察一部机床是否在工作看成一次试验，在200次试验中， 用X 表示正在工作的机床数目，则~(200,0.7)X B , ()2000.7140, ()(1)2000.70.342,E X np D X np p ==?==-=??= 根据题意，结合棣莫弗—拉普拉斯定理可得 0.95{}P X m P =≤=≤=Φ 复习提纲 （一）随机事件和概率 （1）理解随机事件、基本事件和样本空间的概念，掌握事件之间的关系与运算。 （2）了解概率的定义，掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算。 （3）理解条件概率的概念，掌握概率的加法公式、乘法公式、全概率公式、Bayes 公式， 以及应用这些公式进行概率计算。 （4）理解事件的独立性概念，掌握应用事件独立性进行概率计算。 （5）掌握Bernoulli 概型及其计算。 （二）随机变量及其概率分布 （1）理解随机变量的概念。 （2）理解随机变量分布函数)}{)((x X P x F ≤=的概念及性质，理解离散型随机变量的分布律及其性质，理解连续型随机变量的概率密度及其性质，会应用概率分布计算有关事件的概率。 （3）掌握二项分布、Poisson 分布、正态分布、均匀分布和指数分布。 （4）会求简单随机变量函数的概率分布。 （三）二维随机变量及其概率分布 （1）了解二维随机变量的概念。 （2）了解二维随机变量的联合分布函数及其性质，了解二维离散型随机变量的联合分布律 及其性质，并会用它们计算有关事件的概率。 （3）了解二维随机变量分边缘分布和条件分布，并会计算边缘分布。 （4）理解随机变量独立性的概念，掌握应用随机变量的独立性进行概率计算。 （5）会求两个随机变量之和的分布，计算多个独立随机变量最大值、最小值的分布。 （6）理解二维均匀分布和二维正态分布。 （四）随机变量的数字特征 （1）理解数学期望和方差的概念，掌握它们的性质与计算。 （2）掌握6种常用分布的数学期望和方差。 （3）会计算随机变量函数的数学期望。 （4）了解矩、协方差和相关系数的概念和性质，并会计算。 （五）大数定律和中心极限定理 （1）了解Chebyshev 不等式。 （2）了解Chebyshev 大数定律和Benoulli 大数定律。 （3）了解独立同分布场合的中心极限定理和De Moivre-Laplace 中心极限定理的应用条件 和结论，并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率。 概率论与数理统计第一章课后习题及参考答案 1．写出下列随机试验的样本空间． (1)记录一个小班一次数学考试的平均分数(以百分制记分)； (2)一个口袋中有5个外形相同的球，编号分别为1，2，3，4，5，从中同时取 出3个球； (3)某人射击一个目标，若击中目标，射击就停止，记录射击的次数； (4)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标． 解：(1)}100,,2,1{ =Ω； (2)}345,235,234,145,135,134,125,124,123{=Ω； (3)},2,1{ =Ω； (4)}|),{(22y x y x +=Ω． 2．在}10,,2,1{ =Ω，}432{，，=A ，}5,4,3{=B ，}7,6,5{=C ，具体写出下列各式：(1)B A ；(2)B A ；(3)B A ；(4)BC A ；(5)C B A ． 解：(1),9,10}{1,5,6,7,8=A ， }5{=B A ；(2)}10,9,8,7,6,5,4,3,1{=B A ； (3)法1：}10,9,8,7,6,2,1{=B ， }10,9,8,7,6,1{=B A ， }5,4,3,2{=B A ； 法2：}5,4,3,2{===B A B A B A ； (4)}5{=BC ， }10,9,8,7,6,4,3,2,1{=BC ， }4,3,2{=BC A ， }10,9,8,7,6,5,1{=BC A ； (5)}7,6,5,4,3,2{=C B A ， {1,8,9,10}=C B A ． 3．设}20|{≤≤=Ωx x ，}121| {≤<=x x A ，}2 341|{≤≤=x x B ，具体写出下列各式：(1)B A ；(2)B A ；(3)AB ；(4)B A ． 解：(1)B B A = ， }22 3,410|{≤<<≤==x x x B B A ；(2)=B A ?； (3)A AB =， }21,10|{≤<≤ ≤==x x x A AB ；(4)}231,2141|{<<<≤=x x x B A ．4．化简下列各式：(1)))((B A B A ；(2)))((C B B A ；(3)))((B A B A B A ．解：(1)A B B A B A B A ==)())(( ； (2)AC B C A B C B B A ==)())((；(3))())()((B A B B A B A B A B A =AB AB A A B A A === )(．5．A ，B ，C 表示3个事件，用文字解释下列事件的概率意义：(1)C B A C A C B A ；(2)BC AC AB ；(3)(C B A ；(4)BC AC AB ． 解：(1)A ，B ，C 恰有一个发生； (2)A ，B ，C 中至少有一个发生； (3)A 发生且B 与C 至少有一个不发生； (4)A ，B ，C 中不多于一个发生． 6．对于任意事件A ，B ，证明：Ω=-A B A AB )(． 习题5-1 1. 设随机变量X 的方差为2, 用切比雪夫不等式估计{||2}P X E X -（）≥. 解 由切比雪夫不等式, 对于任意的正数ε, 有 2 () {()}D X P X E X εε -≥≤ , 所以 1{||2} 2 P X E X -（）≥≤. 2. 设随机变量X , Y 的数学期望分别是2和-4, 方差分别是1和4, 而相关系数为0.5. 则根据切比雪夫不等式估计 {|2|P X Y +≥12}. 解 {2}2()() 22(4) E X Y E X E Y +=+=?+-=, {2}4()()22Cov(,)D X Y D X D Y X Y +=+-? 840.5124=-???=. 所以, {|2|P X Y +≥12}≤ 2 4112 36 = . 3. 设随机变量X 的数学期望E (X ) = μ, 方差D (X ) = σ2 , 由切比雪夫不等式估计P {|X -μ|≥3σ}. 解 令ε = 3σ, 则由切比雪夫不等式P {|X -μ|}≥ε}≤ 2 () D X ε , 有 P {|X -μ|≥3σ}≤ 22 1(3) 9 σ σ= . 4. 独立重复地做一项试验, 假设每次试验成功的概率为0.7 5. 用切比雪夫不等式求: 至少需要做多少次 试验, 才能以不低于0.90的概率使试验成功的频率保持在0.74和0.76之间? 解 假设做n 次试验, 才能以0.90的概率使试验成功的频率保持在0.74和0.76之间. 用X 表示试验成功的次数, 从而~(,0.75)X B n , 由题设, 要使 {0.740.76}{ 0.750.01}0.90X X P P n n < <=-<≥. 又由切比雪夫不等式得 2 2 ( )0.750.25{0.740.76}{ 0.750.01}110.01 0.01 X D X X n P P n n n ?< <=-<- =- ?≥. 要满足题意, 只需2 0.750.2510.900.01 n ?- ?≥即可. 解之得 2 0.750.25 187500.010.10 n ? =?≥ . 习题 5-2 1. 一本书有十万个印刷符号, 排版时每个符号被排错的概率为0.0001, 用中心极限定理求排版后错误不多于15个的概率. 解 设 概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第一章 随机事件及其概率（一） 一．选择题 1．对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 [ C ] （A ）不可能事件 （B ）必然事件 （C ）随机事件 （D ）样本事件 2．下面各组事件中，互为对立事件的有 [ B ] （A ）1A ={抽到的三个产品全是合格品} 2A ={抽到的三个产品全是废品} （B ）1B ={抽到的三个产品全是合格品} 2B ={抽到的三个产品中至少有一个废品} （C ）1C ={抽到的三个产品中合格品不少于2个} 2C ={抽到的三个产品中废品不多于2个} （D ）1D ={抽到的三个产品中有2个合格品} 2D ={抽到的三个产品中有2个废品} 3．下列事件与事件A B -不等价的是 [ C ] （A ）A A B - （B ）()A B B ?- （C ）A B （D ）A B 4．甲、乙两人进行射击，A 、B 分别表示甲、乙射中目标，则A B ?表示 [ C] （A ）二人都没射中 （B ）二人都射中 （C ）二人没有都射着 （D ）至少一个射中 5．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件A 为. [ D] （A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B ）“甲、乙两种产品均畅销”； （C ）“甲种产品滞销”； （D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销 6．设{|},{|02},{|13}x x A x x B x x Ω=-∞<<+∞=≤<=≤<，则A B 表示 [ A] （A ）{|01}x x ≤< （B ）{|01}x x << （C ）{|12}x x ≤< （D ）{|0}{|1}x x x x -∞< 第一章 1.见教材习题参考答案. 2.设A ，B ，C 为三个事件，试用A ，B ，C （1） A 发生，B ，C 都不发生； （2） A ，B ，C 都发生； （3） A ，B ，C （4） A ，B ，C 都不发生； （5） A ，B ，C （6） A ，B ，C 至多有1个不发生； 【解】（1） ABC （2） ABC （3）A B C (4) ABC =A B C (5) ABC (6) ABC ∪ABC ∪ABC ∪ABC =AB BC AC 3. . 4.设A ，B 为随机事件，且P （A ）=0.7,P (A -B )=0.3，求P （AB ）. 【解】 P （AB ）=1-P （AB ）=1-[P (A )-P (A -B )] =1-[0.7-0.3]=0.6 5.设A ，B 是两事件，且P （A ）=0.6,P (B )=0.7, （1） 在什么条件下P （AB （2） 在什么条件下P （AB 【解】（1） 当AB =A 时，()()0.6P AB P A ==,()P AB 取到最大值为0.6. （2） 当A ∪B =Ω时，()()()()0.3P AB P A P B P A B =+-=,()P AB 取到最小值为0.3. 6.设A ，B ，C 为三事件，且P （A ）=P （B ）=1/4，P （C ）=1/3且P （AB ）=P （BC ）=0， P （AC ）=1/12，求A ，B ，C 至少有一事件发生的概率. 【解】 因为P （AB ）=P （BC ）=0，所以P (ABC )=0， 由加法公式可得 ()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+ = 14+14+13-112=34 第 5 章 大数定律与中心极限定理 一、 填空题： 1.设随机变量μξ=)(E ，方差2 σξ=)(D ，则由切比雪夫不等式有≤≥-}|{|σμξ3P 9 1 . 2.设n ξξξ,,, 21是 n 个相互独立同分布的随机变量， ),,,(,)(,)(n i D E i i 218===ξμξ对于∑== n i i n 1ξξ，写出所满足的切彼雪夫不等式 2 28εεξεμξn D P =≤ ≥-)(}|{| ，并估计≥ <-}|{|4μξP n 21 1- . 3. 设随机变量129,,,X X X 相互独立且同分布, 而且有1i EX =, 1(1,2,,9)i DX i == , 令9 1 i i X X ==∑, 则对任意给定的0ε>, 由切比雪夫不等式 直接可得{} ≥<-ε9X P 2 9 1ε- . 解：切比雪夫不等式指出：如果随机变量X 满足：()E X μ=与2()D X σ=都存在, 则对任意给定的0ε>, 有 22{||}P X σμεε-≥≤, 或者2 2{||}1.P X σμεε -<≥- 由于随机变量129,,,X X X 相互独立且同分布, 而且有 1,1(1,2,9),i i EX DX i === 所以 99 9111()()19,i i i i i E X E X E X μ===??===== ???∑∑∑ 99 9 2 111()()19.i i i i i D X D X D X σ===??===== ???∑∑∑ 4. 设随机变量X 满足：2 (),()E X D X μσ==, 则由切比雪夫不等式, 有{||4}P X μσ-≥ 1 16 ≤ . 解：切比雪夫不等式为：设随机变量X 满足2 (),()E X D X μσ==, 则对任意 的0ε>, 有22{||}.P X σμεε-≥≤由此得 221 {||4}.(4)16 P X σμσσ-≥≤= 概率论和数理统计真题讲解 （一）单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设随机事件A与B互不相容，且P（A）＞0,P（B）＞0，则（） A.P（B|A）＝0 B.P（A|B）＞0 C.P（A|B）＝P（A） D.P（AB）＝P（A）P（B） 『正确答案』分析：本题考察事件互不相容、相互独立及条件概率。 解析：A：，因为A与B互不相容，，P（AB）＝0，正确； 显然，B，C不正确；D：A与B相互独立。 故选择A。 提示：① 注意区别两个概念：事件互不相容与事件相互独立； ② 条件概率的计算公式：P（A）＞0时，。 2.设随机变量X～N（1，4），F（x）为X的分布函数，Φ（x）为标准正态分布函数，则F（3）＝（） A.Φ（0.5） B.Φ（0.75） C.Φ（1） D.Φ（3） 『正确答案』分析：本题考察正态分布的标准化。 解析：， 故选择C。 提示：正态分布的标准化是非常重要的方法，必须熟练掌握。 3.设随机变量X的概率密度为f（x）＝则P{0≤X≤}＝（） 『正确答案』分析：本题考察由一维随机变量概率密度求事件概率的方法。第33页 解析：， 故选择A。 提示：概率题目经常用到“积分的区间可加性”计算积分的方法。 4.设随机变量X的概率密度为f（x）＝则常数c＝（） A.－3 B.－1 C.－ D.1 『正确答案』分析：本题考察概率密度的性质。 解析：1＝，所以c＝－1， 故选择B。 提示：概率密度的性质： 1.f（x）≥0； 4.在f（x）的连续点x，有F′（X）＝f（x）；F（x）是分布函数。课本第38页 5.设下列函数的定义域均为（－∞，＋∞），则其中可作为概率密度的是（） A.f（x）＝－e－x B. f（x）＝e－x C. f（x）＝ D.f（x）＝ 『正确答案』分析：本题考察概率密度的判定方法。 解析：① 非负性：A不正确；② 验证：B：发散； C：，正确；D：显然不正确。 故选择C。 提示：判定方法：若f（x）≥0，且满足，则f（x）是某个随机变量的概率密度。 6.设二维随机变量（X，Y）～N（μ1,μ2，），则Y ～（） 『正确答案』分析：本题考察二维正态分布的表示方法。 解析：显然，选择D。 .1. 解：（正， 正）， （正， 反）， （反， 正）， （反， 反） A （正 ，正） ， （正， 反） .B （正，正），（反，反） C （正 ，正） ， （正， 反） ，（反，正） 2.解：(1,1),(1,2), ,(1,6),(2,1),(2,2), ,(2,6), ,(6,1),(6,2), ,(6,6)；AB (1,1),(1,3),(2,2),(3,1)； A B (1,1),(1,3),(1,5), ,(6,2),(6,4),(6,6),(1,2),(2,1)； AC - BC (1,1),(2,2). A B C D (1,5), (2,4), (2,6), (4,2), (4,6), (5,1), (6,2), (6,4) 3. 解：(1) ABC ；(2) ABC ；(3) ABC ABC ABC ； (4) ABC ABC ABC ；( 5) A B C ； (6) ABC ；(7) ABC ABC ABC ABC 或AB AC BC (8) ABC ；(9) ABC 4. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中； 甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中c 5. 解：如图： 第一章概率论的基本概念习题答案 每次拿一件，取后放回，拿3次: ABC ABC; AB C ABC C; B A C ABC ABC ABC BA ABC BC ABC 6. 解：不 疋成立 。例如： A 3,4,5 B 那么 A C B C 但A B 0 7. 解：不 疋成立 。例如： A 3,4,5 B 那么 A (B C) 3 , 但是 （A B) C 3,6,7 ABC ABC A B 4,5,6 o 8.解: C ABC ABC ABC 3 C 4,5 6,7 P( BA) P(B AB) P(B) P(AB) (1) 2 ; (2) P( BA) P(B A) P(B) 1 P(A) 6 ; (3) P( BA) P(B AB) P(B) 1 P(AB)- 2 9. 解： P(ABC) P A B C 1 P(A B C)= 1 1 8 P (1 ) 2 982 1003 0.0576 ; 1旦 1003 0.0588 ; 1 P(A) 1 P(B) 1 P(C) 1 P(AB) 1 P(AC) 3 P(BC) P(ABC) 16 16 g 八牛 A)n .(.( (C p( B P (1) C ；8C ； C 100 0.0588 ; P (2) 3 100 1 98 0.0594 ; D P 3 2 2 P c ；c 1 第5章 极限定理 1、ξ为非负随机变量，若(0)a Ee a ξ <∞>，则对任意x o >，{}ax a P x e Ee ξξ-≥≤。 2、若()0h x ≥，ξ为随机变量，且()Eh ξ<∞，则关于任何0c >， 1{()}()P h c c Eh ξξ-≥≤。 4、{}k ξ各以 12 概率取值s k 和s k -，当s 为何值时，大数定律可用于随机变量序列1,,,n ξξL L 的算术平均值？ 6、验证概率分布如下给定的独立随机变量序列是否满足马尔可夫条件： （1）1{2}2 k k P X =±= ； （2）(21) 2{2}2 ,{0}12k k k k k P X P X -+-=±===-； （3）1 1 2 21{2},{0}12 k k k P X k P X k --=±===-。 7、若k ξ具有有限方差，服从同一分布，但各k 间，k ξ和1k ξ+有相关，而1,(||2)k k l ξξ-≥是独立的， 证明这时对{}k ξ大数定律成立。 8、已知随机变量序列12,,ξξL 的方差有界，n D c ξ≤，并且当||i j -→∞时，相关系数0ij r →，证明 对{}k ξ成立大数定律。 9、对随机变量序列{}i ξ，若记11()n n n ηξξ= ++L ，11 ()n n a E E n ξξ=++L ，则{}i ξ服从大数定律的充要条件是22()lim 01()n n n n n a E a ηη→∞?? -=??+-?? 。 10、用斯特灵公式证明：当,,n m n m →∞→∞-→∞，而 0m n →时， 2 221~2n m n n n m -???? ???-?? ??。 12、某计算机系统有120个终端，每个终端有5%时间在使用，若各个终端使用与否是相互独立的，试 求有10个或更多终端在使用的概率。 一．填空题（82142'=?'） 1．已知41)(=A P ,31)(=A B P ,2 1)(=B A P ,则=)(B A P Y 31。 2．有零件8件，其中5件为正品，3件为次品。从中任取4件，取出的零件中有2件正品2件次品的概率为7 3482325=?C C ； 3．抛掷均匀的硬币，直到出现正面向上为止，则抛掷次数X 的概率分布为K ,2,1,5.05.05.0)(1==?==-k k X P k k ，X 服从分布)5.0(G 。 4．设随机变量X 的密度函数为?????<≥=1 ,01,)(2x x x c x p ，则常数=c 1 ，X 的分布函数 =)(x F ?? ???>-≤1,111 ,0x x x 。 5．设随机变量X 的密度函数为???<<=其他 ,010,2)(x x x p X ，则随机变量2X Y =的密度函数=)(y p Y ???<< 其它,010,1y 。 6．已知),(Y X 的联合分布函数为),(y x F ，且d c b a <<,，则=≤<≤<),(d Y c b X a P ),(),(),(),(c a F d a F c b F d b F +--。 7．设)2,1(~N X ，)4,3(~N Y ，且X 和Y 相互独立，则Y X Z +=2的密度函数=)(z p Z +∞<<-∞--z e z ,621 24)5(2 π。 8．)5.0,9,4,0,1(~),(N Y X ，则~Y )9,0(N ，=-])[(2Y X E 8 。 9．设),(Y X 的联合概率分布为 则X 的概率分布为 相关系数=XY ρ3 2-。 10．设随机变量n X X X ,,21Λ独立同分布, μ=1EX , 81=DX ,记∑==n i i n X n Y 11，则用切比雪夫不等式估计≥<-)2(μn Y P n 21-。 二．简答题（6'） 叙述数学期望和方差的定义（离散型），并且说明它们分别描述什么？ 数学期望：i i i p x ∑∞=1绝对收敛，则i i i p x EX ∑∞ ==1。（2分） EX 描述X 取值的平均。（1分） 方差： 2)(EX X E -存在，则2 )(EX X E DX -=（2分） DX 描述X 相对于EX 的偏差。（1分） 三．分析判断题（判断结论是否正确，并说明理由，0125'=?'） 1．设随机变量X 的分布函数为)(x F ，b a <，则=≤≤)(b X a P )()(a F b F -。 不一定正确。（2分） 如X 为连续型随机变量，则=≤≤)(b X a P )()(a F b F -；如X 为离散型随机变量，且 0)(≠=a X P ，则≠≤≤)(b X a P )()(a F b F -（或举反例） 。（3分） 2．若随机变量X 和Y 不相关，则DX Y X D ≥-)(。 正确。（2分） .) 1)(,(2)(分）（分（分） 11DX DY DX Y X Cov DY DX Y X D ≥+=-+=- 四．计算题（65018810101'='+'+'+'+'） 1．（01334'='+'+'）进行4次独立试验，在每次试验中A 出现的概率均为3.0。如果A 不出现，则B 也不出现；如果A 出现一次，则B 出现的概率为6.0；如果A 出现不少于两次， 第五章 假设检验与一元线性回归分析 习题详解 5.01 解：这是检验正态总体数学期望μ是否为32.0 提出假设：0.32:, 0.32:10≠=μμH H 由题设，样本容量6n =， 21.12=σ，1.121.10==σ，所以用U 检验 当零假设H 0成立时，变量：)1,0(~61 .10 .320 N X n X U -= -= σμ 因检验水平05.0=α，由05.0}|{|=≥λU P ,查表得96.1=λ 得到拒绝域: 96.1||≥u 计算得： 6.31)6.318.310.326.310.306.32(6 1=+++++?=x 89.061 .10 .326.310 0-=-= -= n x u σμ 因 0.89 1.96u =< 它没有落入拒绝域，于是不能拒绝H 0，而接受H 0，即可以认为 0.32=μ，所以可以认为这批机制砖的平均抗断强度μ显著为 32.0kg/cm 2。 5.02 解：这是检验正态总体数学期望μ是否大于10 提出假设：10:, 10:10>≤μμH H 即：10:, 10:10>=μμH H 由题设，样本容量5n =，221.0=σ，1.01.020==σ， km x 万1.10=，所以用U 检验 当零假设H 0成立时，变量：)1,0(~51 .010 N X n X U -= -= σμ 因检验水平05.0=α，由05.0}{='≥λU P ,查表得64.1'=λ 得到拒绝域: 64.1≥u 计算得： 24.251 .010 1.100 =-= -= n x u σμ 因 2.24 1.64u => 它落入拒绝域，于是拒绝零假设 H 0，而接受备择假设H 1，即可认为10>μ 所以可以认为这批新摩托车的平均寿命μ有显者提高。 5.03 解：这是检验正态总体数学期望μ是否小于240 提出假设：240:,240:10<≥μμH H 即：240:, 240:10<=μμH H 由题设，样本容量6n =，6252=σ，256250==σ，220=x ，所以用U 检验 当零假设H 0成立时，变量：)1,0(~625 240 N X n X U -= -= σμ 因检验水平05.0=α，由05.0}{='-≤λU P ,查表得64.1'=λ 得到拒绝域: 64.1-≤u 计算得：959.1625 240 2200 -=-= -= n x u σμ 因 1.959 1.64u =-<- )B= B (A) 0.15 B是两个随机事件， )B= (A) 0(B) B,C是两个随机事件 8.已知某对夫妇有四个小孩，但不知道他们的具体性别。设他们有Y 个儿子，如果生男孩的概率为0.5，则Y 服从 B 分布. (A) (01)- 分布 (B) (4,0.5)B (C) (2,1)N (D) (2)π 9.假设某市公安机关每天接到的110报警电话次数X 可以用泊松(Poisson)分布 ()πλ来描述.已知{49}{50}.P X P X ===则该市公安机关每天接到的110报警电话次数的方差为 B . (A) 51 (B) 50 (C) 49 (D) 48 10.指数分布又称为寿命分布，经常用来描述电子器件的寿命。设某款电器的寿命（单位：小时）的密度函数为 则这种电器的平均寿命为 B 小时. (A) 500 (B) 1000 (C) 250000 (D) 1000000 11.设随机变量X 具有概率密度 则常数k = C . (A) 1/4 (B) 1/3 (C) 1/2 (D) 1 12.在第11小题中, {0.50.5}P X -≤≤= D . (A) 14 (B) 34 (C) 1 8 (D) 38 13.抛掷两颗骰子,用X 和Y 分别表示它们的点数(向上的面上的数字),则这两颗骰子的点数之和(Z=X+Y)为6的概率为 C . (A) 336 (B) 436 (C) 5 36 (D) 636 14.抛掷两颗骰子,用X 和Y 分别表示它们的点数(向上的面上的数字),则这两颗 0.0010.001, 0()0, t e t f t -?>=? ?其它,01,()0, 其它. x k x f x +≤≤?=? ? 习题五 1.一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X .估计P {10 整理得0.95,10n ??Φ≥ ? ??? 查表 1.64,10n ≥ n ≥, 故取n =269. 3. 某车间有同型号机床200部，每部机床开动的概率为，假定各机床开动与否互不影响， 开动时每部机床消耗电能15个单位.问至少供应多少单位电能才可以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产. 【解】要确定最低的供应的电能量，应先确定此车间同时开动的机床数目最大值m ，而m 要满足200部机床中同时开动的机床数目不超过m 的概率为95%,于是我们只要供应15m 单位电能就可满足要求.令X 表同时开动机床数目，则X ~B （200，）, ()140,()42,E X D X == 1400.95{0}().42m P X m P X m -?? =≤≤=≤=Φ ??? 查表知 140 1.64,42 m -= ,m =151. 所以供电能151×15=2265（单位）. 4. 一加法器同时收到20个噪声电压V k （k =1，2，…，20），设它们是相互独立的随机变量， 且都在区间（0，10）上服从均匀分布.记V = ∑=20 1 k k V ，求P {V ＞105}的近似值. 【解】易知:E (V k )=5,D (V k )= 100 12 ,k =1,2,…,20 由中心极限定理知，随机变量 20 1 205 ~(0,1).100100 20201212 k k V Z N =-?= =??∑近似的 于是105205{105}1010020201212P V P ????-?? >=>???? ????? 1000.3871(0.387)0.348,102012V P ????-?? =>≈-Φ=? ???????? 即有 P {V >105}≈ 5. 有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m.现从这批木柱中随机地取出100 根，问其中至少有30根短于3m 的概率是多少 精心整理 第一章 1.见教材习题参考答案. 2.设A ，B ，C 为三个事件，试用A ，B ，C （1）A 发生，B ，C 都不发生； （2）A ， B ， C 都发生； （3）A ，B ，C （4）A ， B ， C 都不发生； （5）A ，B ，C （6）A ，【解】（1（B C (4)ABC B C (5)ABC ∪ABC ∪ABC ABC =AB BC AC 3. . 4.设A ，?B )=0.3，求P （. 【解】P 5.设A ，（A ）=0.6,P (B )=0.7, （1AB （2AB 【解】（1)()0.6AB P A ==,()P AB 取到最大值为（2）当()()()0.3P A P B P A B =+-= 6.设A ，B ，P （C ）=1/3P （AC ）至少有一事件发生的概率. )=0， 由加法公式可得 =14+14+13?112=34 7.52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？ 【解】设A 表示“取出的13张牌中有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花”， 则样本空间Ω中样本点总数为13 52n C =,A 中所含样本点533213131313k C C C C =,所求概率为 8. （1）求五个人的生日都在星期日的概率；（2）求五个人的生日都不在星期日的概率； （3）求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解】（1）设A 1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故 P （A 1）= 5 17 =（17）5（亦可用独立性求解，下同） （2）设A 2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故 P （A 2）=5567=(67 )5 (3)设A 3={五个人的生日不都在星期日} P （A 3）=1?P (A 1)=1?(1 7 )5 9..见教材习题参考答案. 10.一批产品共N 件，其中M 件正品.从中随机地取出n 件（n 概率论第一章课后习题答案
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