16.函数y =a x-1（a >0，a ≠1）过定点，则这个定点是（ ）
A ．（0，1）
B ．（1，2）
C ．（-1，0.5）
D ．（1，1）
17.若指数函数y =a x 经过点（-1，3），则a 等于（ ）
A ．3
B ．3
1 C ．
2 D ．21 18在同一坐标系中，函数y =2-x 与y =log 2x 的图象是（ ）
19. 如果奇函数)(x f 在区间[3,7]上是增函数且最大值为5，那么)(x f 在区间[]3,7--上是（ ）
A. 增函数且最小值是5-
B. 增函数且最大值是5-
C. 减函数且最大值是5-
D. 减函数且最小值是5- 预备知识：
1、分段函数的定义在函数定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数叫做分段函数；
2、分段函数定义域，值域；分段函数定义域各段定义域的并集，其值域是各段值域的并集
3、分段函数图象画分段函数的图象，应在各自定义域之下画出定义域所对应的解析式的图象； 1求分段函数的解析式
例1.已知奇函数()f x (x R ∈)，当x >0时，()f x =x (5－x )+1.求()f x 在R 上的表达式。
练习：1.已知奇函数()f x (x R ∈)，当x >0时，()f x =x (5－x )+1.求()f x 在R 上的表达式。
2.已知偶函数()f x (x R ∈)，当x ≥0时，()f x =x (x +5)+1.求()f x 在R 上的表达式。
当函数y = f (x )分别满足以下条件时，各具有相应的对称性：
偶函数型：若f (a －x ) = f (a ＋x )对于定义域中的任意x 都成立，则y = f (x )的图像关于直线()()f x f x a =--+轴对称．奇函数型：若f (a －x ) = － f (a ＋x )对于定义域中的任意x 都成立，则y
= f (x )的图像关于点(
()()2
a x a x -++a ，0)中心对称． 同理：()()f x f x a =-+关于x=()()2x x a +-+=a 对称，()()f x f x a =--+关于x=()()(,0)2x x a +-+点对称 例.1已知函数(2)(2)f x f x +=-+(x R ∈)，当x ≥2时，()f x =x (5－x )+1.求()f x 在R 上的表达式。 练习：已知函数(2)(2)f x f x +=-+(x R ∈)，当x ≥2时，()f x =2x (5－x )+1.求()f x 在R 上的表达式。 例.2 已知函数(2)(4)f x f x +=---(x R ∈)，当x >-2时，()f x =x (5－x )+1.求()f x 在R 上的表达式。 练习：已知函数(4)()f x f x +=--(x R ∈)，当x >2时，()f x =3x (5－x )+1.求()f x 在R 上的表达式。
反函数与函数的图像变换
反函数与函数的图像变换 一、反函数 当一个函数是一个一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数。比如，指数函数2x y =与对数函数2log x 互为反函数。函数()y f x =的反函数用1()y f x -=表示。 设函数()y f x =()x A ∈的值域是C ，根据这个函数中,x y 的关系，我们可以用y 把x 表示出来，得到()x y ?=，若对于y 在C 中每一个值，都只有唯一的x A ∈与它对应，那么()x y ?=就表示以y 为自变量，x 为因变量的一个函数，这样的函数()x y ?=()y C ∈叫做函数()y f x =()x A ∈的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=。 1f -是对应法则，1()y f x -=是表示反函数的符号，是一个整体。 1f -表示的对应是f 的逆对应，11()() f x f x -≠。 ()y f x =也是1()y f x -=的反函数，()y f x =、1()y f x -=互为反函数。 只有当()y f x =是一一映射时，()f x 才有反函数。 特例：2x y =，2log x y →=，2log y x →=， 一般：()y f x =，1()x f y -→=，1()y f x -→=。 例1 求下列函数的反函数： （1）21x y -=+()0x >；（2）211,()11,x x f x x x ≤-?+=?>--+?。 二、互为反函数的两个函数的性质： 指数函数2x y =与对数函数2log x 的图像关于直线y x =对称。 根据反函数的定义，如果点(),a b 在函数()y f x =上，则点(),b a 在函数1()y f x -=上，从而可知函数()y f x =的图像与函数1()y f x -=的图像关于直线y x =对称。 指数函数2x y =与对数函数2log y x =都是增函数，一般的， ()y f x =与1()y f x -=的单调性一致。 例2 函数()y f x =反函数是自己本身，请写出一个这样的函数。 思考：若函数()y f x =是奇函数，且有反函数，那么1()y f x -=是奇函数吗？ 奇函数一定有反函数吗？ 偶函数呢？
三角函数和反三角函数图像性质、知识点总结
三角函数 1. 特殊锐角（0°，30°，45°，60°，90°）的三角函数值 2. 角度制与弧度制 设扇形的弧长为l ，圆心角为a （rad ）,半径为R ，面积为S 角a 的弧度数公式 2π×(a /360°) 角度与弧度的换算 ①360°=2π rad ②1°=π/180rad ③1 rad=180°/π=57° 18′≈57.3° 弧长公式 l a R = 扇形的面积公式 12 s lR = 3. 诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限） 所谓奇偶指是整数k 的奇偶性（k ·π/2+a ） 所谓符号看象限是看原函数的象限（将a 看做锐角，k ·π/2+a 之和所在象限） 注： ①：诱导公式应用原则：负化正、大化小，化到锐角为终了
4. 三角函数的图像和性质：（其中z k ∈） ①： 三角函数 x y sin = x y cos = x y tan = cot y x = 函 数 图 象 定义域 R R 2 x k π π≠+ x k π ≠ 值域 [-1,1] [-1,1] R R 周期 2π 2π π π 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 单 调 性 2,222k k ππππ? ?-+↑??? ?2,222k k ππππ??-+↑???? []2,2k k πππ-↑ []2,2k k πππ+↓ ,22k k ππππ? ?-+↑???? [],k k πππ+↓ 对 称 性 :2 x k π π=+ 对称轴 对称中心:(,0)k π :x k π =对称轴 : 对称中心(+ ,0) 2k π π : 对称中心( ,0)2 k π 零值点 πk x = 2 π π+ =k x πk x = 2 π π+ =k x 最 值 点 2 π π+ =k x ,1max =y 2 π π- =k x ,1min -=y πk x 2=，1max =y ； 2y k ππ=+，1min -=y ②：函数)sin(?ω+=x A y 的图像与性质：
指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质.doc
指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质 （一）指数与指数函数 1 ．根式 （ 1 ）根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果 x n a , 那么 x 叫做 a 的 n 次方根 n 1且 n N 当 n 为奇数时 ,正数的 n 次方根是一个正数 , 负数的 n 次 n a 零的 n 次方根是零 方根是一个负数 当 n 为偶数时 , 正数的 n 次方根有两个 , 它们互为相反 n a ( a 0) 负数没有偶次方根 数 （ 2 ）．两个重要公式 a n 为奇数 ① n a n a( a 0) ； | a | 0) n 为偶数 a(a ② (n a ) n a （注意 a 必须使 n a 有意义）。 2 ．有理数指数幂 （ 1 ）幂的有关概念 m n a m (a ①正数的正分数指数幂 : a n 0, m 、 n N ,且 n 1) ; m 1 1 ②正数的负分数指数幂 : a n 0, m 、 n N , 且 n 1) m (a a n n a m ③0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 . 注： 分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。 （ 2 ）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、 s ∈ Q); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、 s ∈ Q); ③(ab) r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q);.
3．指数函数的图象与性质 y=a x a>100 时， y>1; (2) 当 x>0 时， 01 (3) 在（ - ，+ ）上是增函（3）在（ - ，+ ）上是减函数 数 注：如图所示，是指数函数（ 1 ） y=a x, （ 2） y=b x,（ 3 ） ,y=c x（ 4 ）,y=d x的图象，如何确定底数 a,b,c,d 与 1 之间的大小关系？ 提示：在图中作直线x=1 ，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即 c1 >d 1 >1>a 1 >b 1 , ∴ c>d>1>a>b。即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。 （二）对数与对数函数 1、对数的概念 （1 ）对数的定义 如果 a x N (a 0且 a 1) ，那么数 x 叫做以 a 为底，N的对数，记作 x log a N，其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数。 （2 ）几种常见对数 对数形式特点记法 一般对数底数为 a a 0,且a 1 log a N 常用对数底数为 10 lg N 自然对数底数为 e ln N
最新幂函数的性质、常考题型及对应练习
幂函数 分数指数幂 正分数指数幂的意义是：m n m n a a =（0a >，m 、n N ∈，且1n >） 负分数指数幂的意义是：m n n m a a - = （0a >，m 、n N ∈，且1n >） 一、幂函数的定义 一般地，形如 y x α =（x ∈R ）的函数称为幂孙函数，其中x 是自变量，α是常数.如 112 3 4 ,,y x y x y x -===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数. 二、幂函数的图像 幂函数n y x =随着n 的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法．熟练掌握n y x =，当11 2,1,,,323 n =±±± 的图像和性质，列表如下． 从中可以归纳出以下结论： ① 它们都过点()1,1，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限． ② 11 ,,1,2,332a =时，幂函数图像过原点且在[)0,+∞上是增函数． ③ 1 ,1,22 a =---时，幂函数图像不过原点且在()0,+∞上是减函数． ④ 任何两个幂函数最多有三个公共点．
三、幂函数基本性质 （1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）； （2）α＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数 （3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数. 规律总结 1．在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论； 2．对于幂函数y ＝αx ，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即α＜0，0＜α＜1和α＞1三种情况下曲线的基本形状，还要注意α＝0，±1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横”，即α＞0（α≠1）时图象是抛物线型；α＜0时图象是双曲线型；α＞1时图象是竖直抛物线型；0＜α＜1时图象是横卧抛物线型． 四、幂函数的应用 题型一.幂函数的判断 例1．在函数22031 ,3,,y y x y x x y x x ===-=中，幂函数的个数为 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 练1．下列所给出的函数中，是幂函数的是（ ）
反函数_典型例题精析
2．4 反函数·例题解析 【例1】求下列函数的反函数： (1)y (x )(2)y x 2x 3x (0]2＝ ≠－．＝－＋，∈－∞，．352112x x -+ (3)y (x 0)(4)y x +1(1x 0) (0x 1) ＝≤．＝－≤≤－＜≤11 2x x +????? 解 (1)y (x )y y (2y 3)x y 5x y (x )∵＝ ≠－，∴≠，由＝得－＝－－，∴＝所求反函数为＝≠．352112323521 53253232 x x x x y y y y -+-++-+- 解 (2)∵y ＝(x －1)2＋2，x ∈(－∞，0]其值域为y ∈[2，＋∞)， 由＝－＋≤，得－＝－，即＝－∴反函数为＝－，≥．y (x 1)2(x 0)x 1x 1f (x)1(x 2)21y y x ----22 2 解 (3)y (x 0)0y 1y x f (x)(0x 1)1∵＝ ≤，它的值域为＜≤，由＝得＝－，∴反函数为＝－＜≤．11 111122x x y y x x ++--- 解 (4)y (1x 0)0y 1f (x)x 1(0x 1)y (0x 1)12由＝－≤≤， 得值域≤≤，反函数＝－≤≤．由＝－＜≤， x x +-1 得值域－≤＜，反函数＝－≤＜， 故所求反函数为＝－≤≤－≤＜．1y 0f (x)(1x 0)y x 1(0x 1) x (1x 0)1222-?????x
【例2】求出下列函数的反函数，并画出原函数和其反函数的图像． (1)y 1(2)y 3x 2(x 0)2＝－＝－－≤x -1 解 (1)∵已知函数的定义域是x ≥1，∴值域为y ≥－1， 由＝－，得反函数＝＋＋≥－． 函数＝－与它的反函数＝＋＋的图像如图．－所示．y 1y (x 1)1(x 1)y 1y (x 1)124122x x --11 解 (2)由y ＝－3x 2－2(x ≤0)得值域y ≤－2， 反函数＝－≤－．f (x)(x 2)1--+x 23 它们的图像如图2．4－2所示． 【例3】已知函数＝≠－，≠．f(x)(x a a )3113 x x a ++ (1)求它的反函数；(2)求使f -1(x)＝f(x)的实数a 的值． 解(1)y x a y(x a)3x 1(y 3)x 1ay y 3设＝，∴≠－，∵＋＝＋，－＝－，这里≠， 31x x a ++ 若＝，则＝这与已知≠矛盾，∴＝，，即反函数＝．y 3a a x f (x)113131313 -----ay y ax x (2)f(x)f (x)x 1若＝，即 ＝对定义域内一切的值恒成立，-++--3113 x x a ax x 令x ＝0，∴a ＝－3．
幂函数的图像与性质
【知识结构】 1．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂 :0,,1)m n a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂 : 1 0,,1)m n m n a a m n N n a -*==>∈>、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。 （2）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q );②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );. 例2 （1）计算：25 .021 21325.0320625.0])32.0()02.0()008.0()945()833[(÷?÷+---； （2）化简：533233232332 3134)2(248a a a a a b a a ab b b a a ???-÷++-- 变式：（2007执信A ）化简下列各式（其中各字母均为正数）: （1） ;)(653 12121 132b a b a b a ????--（2）.)4()3(6521332121231----?÷-??b a b a b a (3) 1 00.256371.5()86-?-+
（三）幂函数 1、幂函数的定义 形如y=x α（a ∈R ）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数 注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。 例1.下列函数中不是幂函数的是（ ） A ．y x = B ．3y x = C ．2y x = D ．1y x -= 例2.已知函数()()2531m f x m m x --=--，当 m 为何值时，()f x ： （1）是幂函数；（2）是幂函数，且是()0,+∞上的增函数； （3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数； 变式 已知幂函数2 223(1)m m y m m x --=--，当(0)x ∈+，∞时为减函数，则幂函数y =_______． 2.幂函数的图像 幂函数y ＝x α的图象由于α的值不同而不同． α的正负：α＞0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升； α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立；
互为反函数的两个函数图象 之间的关系
互为反函数的两个函数图象之间的关系 问题1（祥见页面1——“画图象”） 在同一平面直角坐标系中，画出函数及其反函数的图象。 操作步骤： 1．打开新绘图，单击[图表]菜单中的[绘制新函数]，在“新建函数”对话框内依次单击2,^,x，这些均在函数编辑器上，单击[确定]后立即出现函数的图象。把上述图象设置成粗线，并选择一种颜 色。（选中曲线，单击[显示]菜单中的[线型]中的粗线。）2．单击[图表]菜单中的[绘制新函数]，在“新建函数”对话框内依次单击ln,(,x,),/,ln,(,2,),ln在函数编辑器的函数选择菜单上，如图1， 单击[确定]后立即出现函数的图象。把上述图象设置为粗线，并选择一种颜色。（选中曲线，单击[显示]菜单中的[线型]中的粗 线。） 3．屏幕上出现图象2。让学生观察上述图象，发现它们的对称关系。 问题2 操作步骤： 4．单击[图表]菜单中的[绘制点]，出现绘制点对话框，如图3。在直角坐标处分别输入-1，0.5，单击[绘制]，就在屏幕上出现一个 点。再分别输入0，1，单击[绘制]，屏幕上又出现一个点，再分 别输入1，2，单击[绘制]，屏幕上又出现一个点，单击[完成]。 在的图象上出现了三个点，选择[文本工具]，将上述三个点的标 签分别改为P1，P2，P3。如图4。 5．绘制点（1，1），选择[直线工具]，过原点和（1，1）点绘制直线，选择[文本工具]，将直线标签为“”，并双击直线，即将直线 [标记镜面]，用[选择箭头工具]同时选中P1，P2，P3，单击[变换]菜单中的[反射]，屏幕上出现它们的对称点，用[文本工具]分别 将它们P1/，P2/，P3/。 6．用[选择箭头]同时选中P1，P2，P3，单击[度量] 菜单中的[坐标]，屏幕上出现图5；用[选择箭头工具]同时选中P1/， P2/，P3/单击[度量]菜单中的[坐标]，屏幕上出现图6。 7．学生既可以从点的位置上形象的看到点P1/，P2/，P3/均落在函数
函数图像+反函数+基本初等函数(讲义+例题)
精心整理 函数图像+反函数+基本初等函数 一、函数图像：注意数形结合 （1）平移：??????→?=个单位向右平移a x f y )()(a x f y -=；)(x f y =??????→?个单位向上平移b .)(b x f y += （2）对称：)(x f y =?????→?轴对称关于 x )(x f y -=；)(x f y =?????→?轴对称关于y )(x f y -=； )(x f y =?????→?关于原点对称 )(x f y --=. *若有等式)()(x a f x a f -=+成立，那么函数关于a x =对称； a 2 （3|).(|x f 习题习题2.函数1 1--=x y 的图象是（B ） 习题3.已知)(x f 是偶函数，则)2(+x f 的图像关于)2是偶函数，则函数)(x f 的图像关于____2x =_____二、反函数 （1）互为反函数的两个函数y =f （x ）与y 直线（2（3（b ）把第一步得到的式子中的x 、y 对换位置，得到y =f －1（x ）. （c ）求出并说明反函数的定义域〔即函数y =f （x ）的值域〕. 习题4.函数y =－1 1+x （x ≠－1）的反函数是（A ） A.y =－x 1－1（x ≠0）B.y =－x 1+1（x ≠0）C.y =－x +1（x ∈R ） D.y =－x －1（x ∈R ）
习题5..函数y =log 2（x +1）+1（x ＞0）的反函数为（A ） A.y =2x －1－1（x ＞1） B.y =2x －1+1（x ＞1） C.y =2x +1－1（x ＞0） D.y =2x +1+1（x ＞0） 习题6.函数f （x ）=－12+x （x ≥－2 1）的反函数（D ） A.在［－21，+∞）上为增函数 B.在［－2 1，+∞）上为减函数 C.在（－∞，0］上为增函数 D.在（－∞，0］上为减函数 习题（4习题习题（1a.c.时函数为增函数， e.0∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ （2）对数函数：)1,0(log ≠>=a a x y a 且
对数函数的图像与性质知识点与习题
对数函数的图像与性质知识点与习题 一、知识回顾： 1、指数函数)1,0(≠>=a a a y x 与对数函数)1,0(log ≠>=a a x y a 的图象与性质 2、指数函数)1,0(≠>=a a a y x 与对数函数)1,0(log ≠>=a a x y a 互为反函数，其 图象关于直线x y =对称 二、例题与习题 1.)35lg(lg x x y -+=的定义域为___ __； 2. 已知函数=-=+-=)(,2 1 )(,11lg )(a f a f x x x f 则若 3.04 1 log 2 12≤-x ，则________∈x 4.函数)2(log )(π≤≤=x x x f a 的最大值比最小值大1，则__________∈a
5.若函数m y x +=+-1 2 的图象不经过第一象限，则m 的取值范围是 （ ） （A ）2-≤m （B ）2-≥m （C ）1-≤m （D ）1-≥m 6．函数x x f a )1(2log )(-=是减函数，则实数a 的取值范围是 . 7．若13 2 log >a ，则a 的取值范围是 8.已知函数)(x f y =是奇函数，则当0≥x 时，13)(-=x x f ，设)(x f 的反函数是)(x g y =，则=-)8(g 9．方程lgx -x ＋1＝0的实数解有______个． 10.)2lg(2 x x y +-=的递增区间为___________ ，值域为 . 11.求)1,0() (log ≠>-=a a a a y x a 的定义域。 12.已知3log 1)(x x f +=，2log 2)(x x g =，试比较)(x f 与)(x g 的大小关系。 13．已知函数)10)(1(log )1(log )(≠>--+=a a x x x f a a 且， （1）讨论)(x f 的奇偶性与单调性； （2）若不等式2|)(|· 反比函数与图象
【模拟试题】（答题时间：30分钟） 1. 若反比例函数的图象过点A （－1，－2），则图象在第______________象限。 2. 点P 既在双曲线x 3y -= （x>0）上，又在直线2x y --=上，则点P 的坐标为（ ，______）。 3. 当k>0时，双曲线x k y = 与直线kx y -=的公共点有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 4. 已知函数x k y = （k<0）的图象上有三点A 1（x 1，y 1），A 2（x 2，y 2），A 3（x 3，y 3），已知1x < A. C. 5. ） A. 6. A. D. x ＝2时，12y y > 7. 3 8. 如图，Rt △ABO 的顶点A 是双曲线x k y = 与直线1k x y ++-=在第四象限的交点，AB ⊥x 轴于B ，且23S A BO = ?。 ①求这两个函数的解析式。②求它们的两个交点A 、C 的坐标以及△AOC 的面积。
9. 已知一次函数8x y +-=与反比例函数x k y = （k ≠0） ①k 满足什么条件时，这两个函数的图象（在同一个直角坐标系中）有两个交点？ ②设①中的两个交点为A 、B ，试比较∠AOB 与90°角的大小。 10. 已知关于x,y 的方程组? ??+-==++b x y 2y )1x (22有唯一的一个实数解，且反比例函数x 1b y +=的图象在每个象限内，y 随着x 的增大而增大，若点M （a ，3）在该双曲线上，求a 的值。 *11. 设双曲线x 6y = 与直线3kx y +=的两个交点为A （1x ，1y ）和B （2x ，2y ）且5x x 2 221=+，求A 、B 两点的距离。
反函数与函数图像习题
反函数、函数图像 1．已知()1a x f x x a -=--的反函数图像的对称中心为(1,3)-，则a 的值为（ ） A.2 C.3 2．函数()01>=+x e y x 的反函数是（ ） A.()0ln 1>+=x x y B.()0ln 1>+-=x x y C.()e x x y >+=ln 1 D.()e x x y >+-=ln 1 3．若函数)(x f y =是函数x a y = 0(>a ，且)1≠a 的反函数，其图象经过点a (，a )，则=)(x f A.x 2log B.x 21log C.x -2 D.2x 4．函数的图象为（ ） 已知函数()x f x π=和函数()sin 4 g x x =，若()f x 的反函数为() h x ，则()h x 与()g x 两图象交点的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．0 7．已知命题p ：函数12x y a +=-的图象恒过定点(1,2)；命题q ：若函数y =(1)f x -为偶函数，则函数y =()f x 的图象关于直线1x =对称，则下列命题为真命题的是（ ） A ．p ∨﹁q B ．p ∧q C ．﹁p ∧q D. p ∨q 8．函数的图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ． 9．函数()cos x x y x e ππ= -≤≤的大致图象为 10．下列图象中，可能是函数x x x x e e y e e ---=+图象的是 11．函数y x x = 的图像大致是（ ） 12．函数ln y x x =?的大致图像是（ ） 13．定义在R 上的偶函数()y f x =的部分图象如图所示，则在()2,0-上，下列函数中与()f x 的单调性不同的是 A. 2 1y x =+ B. 1y x =+ C. 321010x x y x x +≥?=?+
幂函数的性质与图像教案
【课题】 幂函数的性质与图像 【执教者】：关雅南（上海师范大学附属外国语中学） 【教学目标】：知识和技能：理解幂函数的概念，掌握幂函数的性质与图像并能 简单应用。 过程和方法：通过研究性质培养学生分析归纳的思维能力，体会 从特殊到一般的研究问题的数学方法和数形结合 的数学思想。 情感、态度和价值观：培养学生积极探究、合作交流的学习品质，激发学 生的学习兴趣和探究热情。 【教学重点】：幂函数的性质与图像 【教学难点】：幂函数性质与图像特征的归纳 【教学过程】： 一． 创设情境，引入新知 回顾初中阶段所学的正比例函数如y=x,反比例函数如y=x 1即y=1-x ，二次函数如y=2x ，另外正方体的体积y 关于边长x 的函数解析式为y=3x ,正方形的边长y 关于面积x 的函数关系式为y=x 即y=21x ，分析这些函数有什么共同特征？ 解析式右边为幂的形式，底数为自变量，系数为1. 这些函数可统一写成y=k x 的形式，引出幂函数的定义。 二． 幂函数定义 一般地，函数y=k x （k 为常数，k ∈Q ）叫做幂函数（power function ） 概念巩固：判断下列函数是否为幂函数？ （1） y=x 3.0 （2）y=21 _x （3）y=3x +x (4) y=23x 三． 研究特殊的幂函数的性质与图像的方法 例题：研究函数y=21 _x 的定义域、奇偶性和单调性，并且作出它的图像。
（师生共同探究此幂函数性质，课件演示利用描点法作出的函数图像，并 观察此幂函数性质在图像上的体现）。 自主探究： 研究函数y=32x 的定义域、奇偶性、单调性和最大值或最小值。 （在课堂练习单上独立完成，投影演示，师生共同评价） 四． 合作探究一般的幂函数性质与图像特征 1.教师演示：在同一直角坐标系分别演示幂函数y=21_x 、 y=2 x 和y=31_x 的图像，认真观察图像，体会其中蕴含的函数性质。 2.小组讨论： 归纳幂函数（k 0）的性质和图像特征 （1） 在第一象限单调性如何？ （2） 有无公共点? （3） 图像与坐标轴的位置关系？ （4） 图像的象限分布有何特点？特点由什么确定？ 3.类比探究：在同一直角坐标系分别演示幂函数y=21x 、 y=32x 和y=31x 的图 像，幂函数y=23x 、 y=2x 和y=3x 的图像，类比探究当0 k 1 和k 1时幂函数性质 五． 课堂巩固、简单应用 练习：比较下列两组数的大小 ①253_________251.3 ② (-0.96) 31__________ (-0.95)31_ 六． 课堂小结 今天的学习内容和方法有哪些？你有哪些收获？ 七． 布置作业：课本81页：习题4.1 写一篇题为《幂函数研究方法初探》的数学小论文
互为反函数的两个函数图象之间的关系
课件5 互为反函数的两个函数图象之间的关系 课件编号： AB Ⅰ-2-2-3. 课件名称：互为反函数的两个函数图象之间的关系. 课件运行环境：几何画板4.0以上版本. 课件主要功能：利用几何画板绘制函数图象的功能，动态演示互为反函数的两个图象之间的关系，配合教科书“探究与发现 互为反函数的两个图象之间的关系”的教学． 问题1 课件制作过程： （1）新建画板窗口．单击【Graph 】（图表）菜单中的【Define Coordinate System 】（建立直角坐标系），建立直角坐标系．选中原点，按Ctrl ＋K ，给原点加注标签A ，并用【文本】工具把标签改为O ． （2）单击【Graph 】菜单的【Plot New Function 】（绘制函数图象），弹出 “New Function ”函数式编辑器，编辑函数f （x ）＝x 2，单击【OK 】后画出函数f （x ）＝x 2的图象．同法编辑函数2ln ln x ，画出g （x ）=2 ln ln x 的图象（即x x g 2log )(=） ．选中所有函数图象，单击【Display 】（显示）菜单、单击【Line Width 】（线型）中的【Thick 】（粗线），把上述图象都设置成粗线． （3）选中函数f （x ）＝x 2的图象，单击【Display 】菜单【Color 】（颜色）， 把该图象的颜色设置成红色．同样把函数x x g 2log )(=的图象设置成蓝色． （4）单击【Graph 】菜单的【Plot Points 】（绘制点），绘制点（1，1）．选 中该点与原点单击【Construct 】（构造）菜单中的【Line 】（直线），把这点与原点用直线连结起来，并把直线设置成粗线． （5）用【文本】工具编辑文本f （x ）=2x ，x x g 2log )(=，y ＝x （图1）． 课件使用说明：让学生观察上述图象，发现它们的对称关系． 问题2 课件制作过程：
高中常见函数图像及基本性质
常见函数性质汇总及简单评议对称变换 常数函数 f (x )=b (b ∈R) 1)、y=a 与 x=a 的图像与走势 2)、图象及其性质:函数f (x )的图象就是平行于x 轴或与x 轴重合(垂直于y 轴)的直线 一次函数 f (x )=kx +b (k ≠0,b ∈R) 1)、两种常用的一次函数形式:斜截式—— 点斜式—— 2)、对斜截式而言,k 、b 的正负在直角坐标系中对应的图像走势: 3)、|k|越大,图象越陡;|k|越小,图象越平缓 4)、定 义 域:R 值域:R 单调性:当k>0时 ;当k<0时 奇 偶 性:当b =0时,函数f (x )为奇函数;当b ≠0时,函数f (x )没有奇偶性; 反 函 数:有反函数(特殊情况下:K=±1并且b=0的时候)。 补充:反函数定义: 例题:定义在r 上的函数y=f(x); y=g(x)都有反函数,且f(x-1)与g -1 (x)函数的图像关于y=x 对称,若g(5)=2016,求f(4)= 周 期 性:无 5)、一次函数与其它函数之间的练习 1、常用解题方法: 2、与曲线函数的联合运用 反比例函数 f (x )= x k (k ≠0,k 值不相等永不相交;k 越大,离坐标轴越远) 图象及其性质:永不相交,渐趋平行;当k>0时,函数f (x )的图象分别在第一、第三象限; 定 义 域: 值 域:单 调 性: 周 期 性:奇 偶 性:反 函 数:原函数本身 补充:1、反比例函数的性质 2、与曲线函数的联合运用(常考查有无交点、交点围城图行的面积)——入手点常有两个——⑴直接带入,利用二次函数判别式计算未知数的取值;⑵利用斜率,数形结合判断未知数取值(计算面积基本方法也基于此) 3、反函数变形(如右图) 1)、y=1/(x-2)与y=1/x-2的图像移动比较 2)、y=1/(-x)与y=-(1/x)图像移动比较 3)、f (x )= d cx b ax ++ (c ≠0且 d ≠0)(补充一下分离常数) (对比标准反比例函数,总结各项内容) x y b O f (x )=b x y O f (x )=kx +b x y O f (x )= d cx b ax ++ R 2)点关于直线(点)对称,求点的坐标
指数函数、对数函数、幂函数的图像和性质知识点总结
（一）指数与指数函数 1．根式 （1）根式的概念 （2）．两个重要公式 ① ? ? ? ? ? ? ? ? < - ≥ = = )0 ( )0 ( | | a a a a a a a n n； ②a a n n= ) (（注意a必须使n a有意义）。 2．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1) m n m n a a a m n N n * =>∈> 、且; ②正数的负分数指数幂: 1 0,,1) m n m n m n a a m n N n a a - * ==>∈> 、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。 （2）有理数指数幂的性质 ①a r a s=a r+s(a>0,r、s∈Q); ②(a r)s=a rs(a>0,r、s∈Q); ③(ab)r=a r b s(a>0,b>0,r∈Q);. 3．指数函数的图象与性质 y=a x a>1 0图象 定义域R 值域（0，+∞） 性质（1）过定点（0，1） （2）当x>0时，y>1; x<0时,00时，01 (3)在（-∞，+∞）上是增函数（3）在（-∞，+∞）上是减函数 注：如图所示，是指数函数（1）y=a x,（2）y=b x,（3）,y=c x（4）,y=d x的图象，如何确定底数a,b,c,d与1之间的大小关系？ 提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c1>d1>1>a1>b1,∴c>d>1>a>b。即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。 （二）对数与对数函数 1、对数的概念 （1）对数的定义 如果(01) x a N a a =>≠ 且，那么数x叫做以a为底，N的对数，记作log N a x=，其中a 叫做对数的底数，N叫做真数。 （2）几种常见对数 对数形式特点记法 一般对数 底数为a0,1 a a >≠ 且log N a 常用对数底数为10 lg N 自然对数底数为e ln N 2 （1）对数的性质（0,1 a a >≠ 且）：①1 log0 a =，②log1 a a =，③log N a a N =，④log N a a N =。（2）对数的重要公式：
三角函数和反三角函数图像性质知识点总结
三角函数 1.特殊锐角（0°，30°，45°，60°，90°）的三角函数值 2.角度制与弧度制 设扇形的弧长为l，圆心角为a（rad）,半径为R，面积为S 角a的弧度数公式2π×(a/360°) 角度与弧度的换算 ①360°=2π r ad ②1°=π/180rad ③1 rad=180°/π=57° 18′≈57.3° 弧长公式l a R = 扇形的面积公式12 s lR = 3.诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限） 所谓奇偶指是整数k的奇偶性（k·π/2+a） 所谓符号看象限是看原函数的象限（将a看做锐角，k·π/2+a之和所在象限）注： ①：诱导公式应用原则：负化正、大化小，化到锐角为终了
4. 三角函数的图像和性质：（其中z k ∈） ①： 三角函数 x y sin = x y cos = x y tan = cot y x = 函 数 图 象 定义域 R R 2 x k π π≠+ x k π ≠ 值域 [-1,1] [-1,1] R R 周期 2π 2π π π 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 单 调 性 2,222k k ππππ? ?-+↑??? ?2,222k k ππππ??-+↑???? []2,2k k πππ-↑ []2,2k k πππ+↓ ,22k k ππππ? ?-+↑???? [],k k πππ+↓ 对 称 性 :2 x k π π=+ 对称轴 对称中心:(,0)k π :x k π =对称轴 : 对称中心(+ ,0) 2k π π : 对称中心( ,0)2 k π 零值点 πk x = 2 π π+ =k x πk x = 2 π π+ =k x 最 值 点 2 π π+ =k x ,1max =y 2 π π- =k x ,1min -=y πk x 2=，1max =y ； 2y k ππ=+，1min -=y
幂函数的图像与性质
【知识结构】 1．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂 :0,,1)m n a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂 : 10,,1)m n m n a a m n N n a -*= = >∈>、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。 （2）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q);②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q);. 例2 （1）计算：25 .021 21 3 2 5 .032 0625.0])32.0()02.0()008.0()945()833[(÷?÷+---； （2）化简：533233 23 23 3 23 134)2(248a a a a a b a a ab b b a a ??? -÷++-- 变式：（2007执信A ）化简下列各式（其中各字母均为正数）: （1） ;)(6 5 3 121211 3 2 b a b a b a ????- -（2）.)4()3(6 521 3 32121231----?÷-??b a b a b a (3) 100.2563 71.5()86-?-+-
（三）幂函数 1、幂函数的定义 形如y=x α（a ∈R ）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数 注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。 例1.下列函数中不是幂函数的是（ ） A ．y x = B ．3y x = C ．2y x = D ．1 y x -= 例2.已知函数()()2531m f x m m x --=--，当 m 为何值时，()f x ： （1）是幂函数；（2）是幂函数，且是()0,+∞上的增函数； （3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数； 变式 已知幂函数2 223(1)m m y m m x --=--，当(0)x ∈+，∞时为减函数，则幂函数 y =_______． 2.幂函数的图像 幂函数y ＝x α的图象由于α的值不同而不同． α的正负：α＞0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升； α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立；
反函数、函数图像、函数的对称性
反函数 ●知识梳理 1.反函数定义：若函数y=f （x ）（x ∈A ）的值域为C ，由这个函数中x 、y 的关系，用y 把x 表示出来，得到x=?（y ）.如果对于y 在C 中的任何一个值，通过x=?（y ），x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，x=?（y ）就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数.这样的函数x=?（y ）（y ∈C ）叫做函数y=f （x ）（x ∈A ）的反函数，记作x=f －1（y ）. 在函数x=f －1（y ）中，y 表示自变量，x 表示函数.习惯上，我们一般用x 表示自变量，y 表示函数，因此我们常常对调函数x=f －1（y ）中的字母x 、y ，把它改写成y=f －1（x ）. 2.互为反函数的两个函数y=f （x ）与y=f －1（x ）在同一直角坐标系中的图象关于直线y=x 对称. 3.求反函数的步骤： （1）解关于x 的方程y=f （x ），得到x=f －1（y ）. （2）把第一步得到的式子中的x 、y 对换位置，得到y=f －1（x ）. （3）求出并说明反函数的定义域〔即函数y=f （x ）的值域〕. 一. 条件存在型 例1.函数f x x ax ()=--2 23在区间[] 12，上存在反函数的充要条件是（ ） A. (] a ∈-∞，1 B. [)a ∈+∞2， C. (][)a ∈-∞+∞，，12 D. [] a ∈12， 二. 式子求解型 例2.函数y x x = -≤23 10()的反函数是（ ） A. y x x = +≥-()()113 B. y x x =-+≥-()()113 C. y x x = +≥()()103 D. y x x =-+≥()()103 三.求定义域值域型 例3.若f x -1 ()为函数f x x ()lg()=+1的反函数，则f －1（x ）的值域为_________。 四.性质判断型 例4. 函数y e e x x =--2 的反函数是（ ） A. 奇函数，在（0，+∞）上是减函数； B. 偶函数，在（0，+∞）上是减函数
正切 余切图像的性质 反三角函数
正切、余切函数图象和性质反三角函数 [知识要点] 1．正切函数、余切函数的图象与性质 2．反三角函数的图象与性质 3．已知三角函数值求角 [目的要求] 1．类比正、余弦函数的研究，讨论正切函数与余切函数的图象和性质，关注其不同点. 2．从反函数概念入手，引入反三角函数定义，并定性讨论其图象和性质. 3．能熟练运用正、余弦函数性质解决问题. 4．能用反三角函数值表示不同范围内的角. [重点难点] 1．正切函数图象与性质2．已知三角函数值求角 [内容回顾] 一、正切函数与余切函数图象 由前面我们正、余弦函数图象和性质的过程知，在中学阶段，对一个函数的认识，多是“由图识性”.因此，可以先作出正、余切函数的图象. 作三角函数图象的一般方法，有描点法和平移三角函数线法. 与正、余弦函数的五点法作图相类似，我们可以选择正切函数在一个周期内的图 象上三点及两条重要的辅导线——渐近线，来作正切函
数在区间上的简图，不妨称之为“三点两线法”. 若想迅速作出余切函数y=cotx的图象，如何选择“三点”及“两线”呢？请大家看余切函数的图象，不难得到答案. 二、正、余切函数的性质 由图象可得: 上单减 ，奇函数 注: 1、由定义域知，y=tanx与y=cotx图象都存在无数多个间断点（不连续点）. 2、每个单调区间一定是连续的. 3、由单调性可解决比较大小问题，但要务必使两个自变量在同一单调区间内. 三、反三角函数的概念和图象 四种三角函数都是由x到y的多值对应，要使其有反函数，必须缩小自变量x的范围，使之成为由x到y的对应.从方便的角度而言，这个x的范围应该（1）离原点较近；（2）包含所有的锐角；（3）能取到所有的函数值；（4）最好是连续区间.从这个原则出发，我们给出如下定义: 1．y=sinx, x∈的反函数记作y=arcsinx, x∈[-1,1]，称为反正弦函数. y=cosx, x∈[0, π]的反函数记作y=arccosx, x∈[-1,1]，称为反余弦函数.
