第三章 标量衍射理论基础
1、机械波的衍射
不沿直线传播而绕过障碍物，沿各方向绕射的现象。如声波、水波的衍射。2、电磁波的衍射
不沿直线传播而绕过障碍物，继续传播的现象。如无线电波（电视、广播）的衍射。
衍射：波在传播过程中遇到障碍物而偏离几何路径
传播（进入几何阴影区）的现象。3、光波的衍射
B
E
A
S S
A
B
E '
b b a 'a 光绕过障碍物的边缘，偏离直线传播而进入几何阴影区，并在屏上出现光强不均匀分布的现象称为光的衍射。
宽
窄
缝S
E
b
a ●
细丝直线传播
衍射
衍射
衍射条件
当障碍物线度与光波波长可以比拟时，才能发生衍射现象。
衍射与直线传播的内在联系
可见光波长在390nm～760nm范围内，常见的障碍物线度均远大于它，因而，光波通常显示出直线传播性质；一旦遇到线度与波长有相同或更小数量级的障碍物，衍射现象就会明显地显示出来。
对光而言，衍射是绝对的，直线传
播是相对的；直线传播仅是衍射的
一种近似。1.衍射与干涉一般是同时存在的共同本质形式上区别
2.衍射是一切波动固有的特性障碍物限度与λ的比
3.引起衍射的障碍物可分为
振幅型—孔、缝
位相型—光学厚度nh不均匀的玻璃板
只要以某种方式使光的波前或位相发生变化—引
入空间不均匀性,这种不均匀性的特征限度与λ在
一定范围。
4.若λ/a 趋于零→衍射现象消失—几何光学是λ/a 趋于
零的极限情况。
?格里马耳迪(F.M.Grimaldi)1665年首先报道和描述了衍射现象。他当时用来观察光衍射的装置由光源发出的光照射到一个不透明的屏所开的孔径上，在孔径后方用一个平面屏来观察经孔径透射的光在它上面分布的情况。
?按照几何光学的观点，在观察平面上影子与亮区的交界处应该是轮廓分明的，然而实际的观察表明有一部分光线进入了几何阴影的暗区，同时在亮区中却出现了暗纹。索未菲将这种“不能用反射或折射来解释的光线对直线光路的任何偏离”的现象定义为衍射。惠更斯原理
[表述]：任何时刻，波面上的每一个点都可作为新的次波源而发出球面次波，在以后的任一时刻，所有次波波面的包络就形成整个波动在该时刻的新波面。
[说明]：
①亦称为次波假设；
②若某时刻波面已知，可由此原理求出以后任一时刻
的新波面。
为了解释光的衍射现象，作为最初迈出的一步，光的波动说的创始人惠更斯1678年在他的《论光》一书中提出了一个原理，用以解释光波的传播过程。
t=τc τt=τc τ
平面波
球面波
3、应用及局限性：
只能定性解释直线传播、反射、折射、晶体双折射等现象，不能定量计算和解释光的干涉、衍射现象。
t=0●●
●●●
t=0
?牛顿于1704年在他的《光学》一书中根据光的直线传播性质，提出了光是微粒流的理论―光的微粒说?牛顿本人是反对光的波动说的，由于他当时在科学界的地位和影响，使得惠更斯的理论停止不前达近一个世纪，一直到1801年杨氏提出光的干涉原理之后，光的波动说才得以被人们重新认识。?1818年菲涅耳综合了惠更斯原理和光的干涉原理，提出既然次波源处于同一波阵面上，那么由它们发出的子波必然是彼此相干的，在波传播的后面空间中任何一点处的光振动则是这些次级波源产生的子波迭加的结果。
―惠更斯-菲涅耳原理?惠更斯-菲涅耳原理在衍射理论中极为重要，可以将它看成是光的波动理论的基本假设。
第一节
3-1
3-1S
D
D ′
P
S
z ′
'
Σz
Q
θ
r
r 0
四个假设：
①波面是一等相位面。→波面Σ’上所有面元ds具有相同位相（令其为0）②次波源ds 在P点的振幅与r 成反比。→次波是球面波③次波源ds在P点的振幅正比于其面积且与倾角θ有关，随θ的增大而减小。④次波源ds 在P点的位相由光程Δ=nr 决定，
→Δ=λ
π?2Σ’
()()ds
r
e r Ae K p E d ikr ikr 00θ=~
()()ds K r e r Ae P E ikr
ikr ∫∫′
=
Σθ0
0~
Σ’
P
S
z ′
'
Σz Q
θ
r
r 0
()()ds K r e r Ae P E ikr
ikr ∫∫′
=
Σθ00~
10213212
k k B P B P B P B P B P B P B P B P λ
??=?=?==?=
令 00102030022
2
32
2
k B P r B P r B P r B P r B P r k λ
λ
λ
λ
=?=+
=+?
=+?
=+?
令 一、菲涅耳半波带作图法
以点光源发出的球面波通过小园孔为例
相邻波面到观察点距离均相差λ/2的环形带波面称为半波带。
B 3
B 2
B 1
C
C ‘
P
O B 0r 0
极点
对称轴，S 的法线
R
S
波面S 相对法线OP 具
有旋转对称性，在S 上取环状带
二、半波带性质
1、任意相邻两个半波带的对应点同时到达观察点P时，光程
差为λ/2，振动方向相反，位相差为π
δλ
π
?==Δ22、各环形带的面积近似相等。
P
O
R
S
R
r 0
B
C ’
C
c 0h k
ρk
θ2
0λ
?
+=k r r k 证明：如图所示，设CC ‘对P点刚好露出k个半波带且第k个半波带的半径为ρk
P
O
R
S
R
r 0
B
C ’
C
c 0h k
ρk
θ2
0λ
?
+=k r r k Rh
S k π2)(:=为
球冠露出部分波面的表面积
则()()
()
02
022
022
2
22:r R r r h h r r h R R k k
k
+?=
?+?=??=ρ又λ
λλλ02
20202
020222:kr k kr r k r r r k ≈??
?
???+=????????+=?而远场点
r 0>>λ，略去λ的平方项
()00002222
k kr R r k S R R r R r λπλ
π?=?
=?
++0
10
k k k Rr S S S R r πλ
?Δ=?=
+在r 0 >>λ的条件下，各半波带的面积与带的序数k无关，
即各半波带面积近似相等。
三、振幅的计算
设各半波带所发次波在P点产生的振幅分别为,
,,,,321k a a a a P点合振幅为A k 。
()()()↓
?↓?↑?↑?↑=?
∝?单调慢缓所以减小的函数缓慢
是随且而菲原理有则由惠k k k k k k k k
k k k a K r k K const dS r dS K a θθθθθ,,:第k个半波带面积：2
22
22
2:
,,,,,1
15
343
12321+?+=
+=
+=
∴k k k k a a a a a a a a a a a a a
故有如下关系存在形成单调减小数列12343352112411:
:22222222(,)22
k k k k k k k k P A a a a a a k a a a a
a a a a A a a a a
a P ??=?+?+±??????=
+?++?+++?++????????????=+ 点合振幅当为奇数时点相长亮点
)
,(222
2,,2
222222222:
1111111235433211暗点点相消足够大时当为偶数时当P a
a A a
a a a a k a a
a a a a a a
a a a a a a a A k k k k
k k k k k
k k k k k k k ?=∴?≈?∴≈?+=?+??????+?++??????+?+??????+?+=
???????∵ )
,(2
2:
1?+±=
偶数时取为奇数时取故k a a A k
k 第二节
3-2
3-2?尽管惠更斯-菲涅耳原理的数学表达式可以用来讨论衍射问题，但其对子波波源所作的假设是虚构的，它并不是一个实际的点光源，该假设的目的是用它来形象地描述光波的传播行为，并没有真实的物理意义。?菲涅耳对倾斜因子的假设缺乏理论根据，从光辐射的机理或概念上也难以理解和解释。?1882年基尔霍夫用标量场理论严格地推导出了基尔霍夫衍射公式，给予倾斜因子以明确的数学表达式，从而成功地证明了菲涅耳所假定的次级波源的振幅和相位的取值其实是光的波动性的合乎逻辑的结论。?基尔霍夫的工作将惠更斯－菲涅耳原理放在了一个坚实的数学基础之上。
衍射现象的标量处理
?衍射是光学中最基本的物理现象之一，也是光学中最难以处理的问题之一。由于数学上的困难，在大多数有实际意义的问题中，只能采用近似方法去求解。
?在均匀、各向同性介质中用标量波动方程来描述电场或磁场的任一分量；即使是在非均匀各向异性介质中若场量的三个分量中有两个为0，不为0的那个分量也可以用标量波动方程来描述。
?在实际问题中，电场、磁场的各个分量通过麦克斯韦方程可能存在耦合，例如，光通过一个置于均匀各向同性介质中的孔径，在孔径边缘处，光与构成孔径边缘的物质存在相互作用，这时电场和磁场的分量之间将产生相互耦合。但在一定条件下，光波可作标量处理。
格林定理
?设S 是包围体积V 的封闭曲面，U(P)和G(P)是空间位置坐标的复函数，在S 内和S 上，U和G及其一阶和二阶偏导数都是单值连续的，则有
?式中?/?n表示在S上每一点沿向外的法线方向的偏导数。
构造一个矢量：
由高斯定理
n为S面上一点向外的法线方向上的单位矢量格林定理的证明：
则：
可得：
?格林定理是一个数学定理，可用于讨论光学中的衍射
问题，设G(P)和U(P)分别表示频率均为ω的单色场
u(P,t)和g(P,t) 的复振幅：
这就是同频率的两个光振动在无源点上必须遵循的关系，方程要求在S上面及其所包围的体积内，函数G和U连续有界，一阶偏导数?U/?n、?G/?n单值、连续。P
为观察点，S 是包围P
点的一个任意封闭曲面。选择格林
函数G为由P
点向外发散的单位振幅的球面波。在S 面上任意
一点P
1
处，G的取值为
式中r
01
表示从P
指向P
1
的矢量
r01的长度。
基尔霍夫积分定理推导
由于上式表示的格林函数在P
点是无界的和不连续的，因此
P
点是一个奇异点。
?格林定理要求公式中的函数G和U及其一阶、二阶偏导数
及方向导数?G/?n、?U/?n在被S所包围的体积中必须是单值连续的，所以，P
点必须从积分区中去掉。
?为了解决这一矛盾，用一个以P0为球心，半径为ε的小球
面嵌在P
点周围。
曲面S 和S
ε
之间包围的体积为V ′，在V ′内的函数G、U 连续有界，G、U 的一阶、二阶偏导数及方向导数单值连续。
在S
ε
面上，n与r的方向相反，cos(n, r
01
) = -1，因而?/?n= -?/?r，又因为r =ε，所以，对于Sε上的P1点有
可得：
由
（1）计算式（1）的右边
结合式（1）可得：
对于S面上的P
1点：
也称之为亥姆霍兹－基尔霍夫积分定理。利用这一定理可
以把单色光波场中任一点P
的场的复振幅用包围P
的任意
封闭曲面上各点的光的复振幅U及?U/?n表示出来。
－基尔霍夫积分定理
平面屏幕衍射的基尔霍夫理论
?平面屏幕衍射图中Σ为完全不透明屏上的开孔，由P2发出的一个单色球面波照射到孔径Σ上。光波通过孔径时将产生衍射，对衍射问题的讨论可归结于求孔径另一侧
P 0点的场分布。
?积分是分别在S1面和S2面上所作的两
个面积分之和。
?对于在球形罩S2上所作的积分，当R
增大时，G随着R的增大而按照1/R减
小，同时S
2
面上的U值也因为远离光
源所在区域而减小，
?但是另一方面，积分面积是按照R2增
加，所以总积分值需要进一步讨论。
应用基尔霍夫积分定理可得：
在S
2
面上：
当R很大时1/R << k，则有：
式中Ω是S
2对P
点所张的立体角，由S
2
的选择方式知：Ω<4π
则在S
2面上的积分趋于0。
在S
2上是有界的，如果，
RG ?可以证明：若U是由于球面波照明产生的复振幅分布，那么索末菲辐射条件是成立的。
?如果入射光波不是单一的球面波形式，总可以将入射光场表示成为球面波的线性组合。因此，索末菲辐射条件在一般照明的情况下总是可以满足的。
?U(P0)的值将只由S1面上的积分决定，即
所描述的条件称为索末菲辐射条件。
?积分域S 1包含两部分，一部分是平面衍射屏上通光孔径Σ，对积分有贡献的应该是于位Σ上的点；另一部分是S 1上除去Σ的部分，这部分位于不透明的屏上。?针对S 1面上U 和?U/?n 的值，基尔霍夫作了以下两点假设：
(1)在孔径Σ上，场分布U及?U/?n 与不存在衍射屏时的值完全相同。(2)在S 1面上除去孔径Σ的其余部分，即位于衍射屏的几何阴影区的那一部分上面，场分布U及其导数?U/?n 恒为0。
以上的两点假设—基尔霍夫边界条件
1.在确定孔径Σ上场分布U及?U/?n时，可以忽略衍射屏的存在。
2.对
积分时，只需计算孔径
Σ处的场，而不考虑Σ以外部分的贡献。即：
01()()4U G
U G
U d P s n n
π
Σ
??=
???∫∫－基尔霍夫衍射公式
严格说来，基尔霍夫的两点假设只是一个近似关系，其理
论本身有着内在的不自洽。但如果孔径比光波波长大得多，由基尔霍夫衍射公式计算所得的结果与实验符合得很好，因而，得到了广泛的应用。
在P 2点放置一个单色点光源，由它发出的光波照明不透明的平面屏上的孔径Σ，P 0点为Σ右方的一个场点，P 1为孔径Σ上的任意一点，r 21为P 2至P 1之间的距离，r 01为P 0至P 1之间的距离，由基尔霍夫衍射公式可得，P 0点处场的复振幅U(P 0)：
菲涅尔－基尔霍夫衍射公式推导
P 2和P 0点离衍射孔Σ足够远，满足r 01>>λ，r 21>>λ，于是k >>1/r 01，k >>1/r 21，在此条件下方向导数?G(P 1)/?n 、?U(P 1)/?n 为
－菲涅耳－基尔霍夫衍射公式
当点光源离孔径Σ足够远，n 与r 01之间的夹角θ也不大，则有
?单色光波通过平面衍射屏上开孔的衍射现象主要与以下两个
因素有关：(a)孔径Σ的大小、形状，这一因素已经由积分域表征出来。(b)在Σ上光场的分布U (P 1)。
?可以看出，光的衍射现象就是光波波面受到限制时光的传播现象。
单色点光源照射衍射孔Σ所得到的衍射场的复振幅分布：
菲涅耳－基尔霍夫衍射公式
基尔霍夫边界条件是不自洽?严格的衍射理论：
--矢量衍射理论
标量衍射理论的条件:衍射孔径远大于波长;观察点与孔径的
距离远大于波长。ΣP
Q S
r
R
l
1
Σ2
Σ1
Σ []()
()cos(,)cos(,)d 2E ik r l iA e P n l n r S rl
λ+Σ=??∫∫“倾斜因子”问题
()()∫∫+?
=W
ikr
ikl dS r e l
Ae i P E θλcos ~
12与菲涅耳-惠更斯原理的数学表达式一致!
()()
1cos 2i
K θθλ
=?+?这一结论与菲涅尔在关于次波贡献的研究中假设是不一样的。
(2)0K π=?因子表明:次波源的振动相位超前于入射波；倾斜因子表示了次波的振幅在各个方向上的影响是不同的，其值在0到之间。
2π()K θ-i λ()i ??当时，
, 当时，，即：在波阵面法线方向上，次波源对P点光场的贡献最大。
0θ=()K i θλ=?θπ=()0K θ=亥姆霍兹互易定理
将点光源S与观察点P位置互换所产生的衍射效果相同，这一结果称为亥姆霍兹互易定理。
()()∫∫+?
=W
ikr
ikl dS r e l
Ae i P E θλcos ~
12
第三节
3-3
3-3?在离孔径不远的范围内所观察到的图样基本就是孔径的一
个几何投影―几何投影区（菲涅耳深区）
?随着传播距离的增大，原先可以辨别的明暗界限由模糊到消失。当观察距离足够远，衍射图样趋于稳定―夫琅和费衍射区
?几何投影区以外的区域―菲涅耳衍射区
?如果将衍射公式直接用于计算实际问题，则过程非常复杂。因此，可以从标量衍射理论的公式出发，根据不同的衍射区所满足的条件对公式做相应的简化处理。
单色平行光垂直入射至孔径Σ上
菲涅耳近似和夫郎和费近似
()()
'
cos ik r l Ai E
P e dS r l δλ+Σ
=?′∫∫ []()
()cos(,)cos(,)d 2E
ik r l iA e P n l n r S
rl λ+Σ
=??∫∫当S和P两点离屏的距离l 、r 均比开孔的线度大得多的时候，[cos(n,l )-cos(n,r )]在整个孔上的变化不明显。假定O 为孔上任一点，可用代替[cos(n,l )-cos(n,r )]。是连接S和P的直线SP与平面屏法线的夹角，此时因子可以用代替。
2cos δδ1rl 1r l ′′()()??
?
??+++?′=+++?′=221122220022
22y x y y x x r r y x y y x x l l ()()???
?????′+?′++′+?′≈?′+?
′++′+?′≈ 33112
211
3
3
0022002222r y y x x r y
x r y y x x r r l y y x x l y x l y y x x l l ()()()()??
???+?+?=+?+?=212
12122
020202z y y x x r z y y x x l ??
?
??++=′++=′21212122
020202z y x r z y x l S(x 0, y 0, z 0)
P(x 1, y 1, z 1)Q(x, y, 0)
()()()
∫∫′
′?
=′+′Σ
dxdy e r l Ae i P E y x ikf l r ik ,cos ~
λδ()()cos '
ik r l Ai E
P e dS r l δλ+=?′∫∫ Σ
()r y x l y x r y y x x l y y x x y x f ′++′++′+?′+?=2222221100,()()3
3
1133
0022r y y x x l y y x x ′+?
′+?代入
()r y x l y x r y y x x l y y x x y x f ′++′++′+?′+?=2222221100,()()3
3
1133
0022r y y x x l y y x x ′+?
′+?当f (x,y)中x 、y 保留二次项近似时，求得的P 点的光扰动，
此时的衍射称为菲涅尔衍射。而当f (x,y)式中的二次项和高次项都忽略时的近似，称之为夫琅禾费衍射。
此时的二次项及更高阶项对积分值没有什么贡献。由此可估
算在多大的和时，衍射可看作夫琅禾费衍射。此时条件意味着，在平行于平面的任何平面上，只要P点和光源S 与z轴靠得足够近，也将产生夫琅禾费衍射。
l ′r ′∑Σ
P ′
P n
m l ,,0
00,,n m l 0
l l p ?=0
m m q ?=()()∫∫+?=Σ
dxdy
e C P E qy px ik ~
()∫∫
=E dpdq q p E 2,~式中C 代表积分号前面的常数，它由与点光源S 和观察点P 位置有关的量确定。在实用中，用入射到孔上的总能量E 和开孔面积D 来表示更为方便。按照能量守恒定律，到达观察面上的总能量应等于入射到孔上的总能量，即归一化到
()()()
∫∫+?=dxdy
e y x G q p E qy px i
λ
π2,,~
()???=0
C y x G 常数,()
()
在开孔外的各点在开孔上的各点()()
∫∫+?=
Σ
dxdy e D E q p E qy px ik λ
1,~
在夫琅禾费衍射情况下，这四个量以下面的组合形式出现
00l m l m 、、、
?光的衍射被看作为来自衍射屏平面上不同面元发出的次级子波的集合，这些子波相干叠加，构成了空间各点的衍射光场分布。
?菲涅尔衍射和夫琅禾费衍射是在假设SO 和OP 与SP 的夹角不太大（即傍轴近似）的前提下的两类衍射情况。二者的区别是和与衍射孔的线度（x, y )之间的相对大小。?菲涅尔衍射又称为近场衍射，夫琅禾费衍射又称为远场衍射。可以说夫琅禾费衍射包含在菲涅尔衍射之中，是菲涅尔衍射的特殊情况。
r ′l ′菲涅耳衍射和夫琅禾费衍射
S
A
B
E
光源
衍射屏
接收屏
S
A
B
E
光源
衍射屏
接收屏
1. 菲涅耳衍射：光源和观察屏或二者之一距离衍射屏为有限远时，所观察到的衍射。
2. 夫琅禾费衍射：光源和观察屏距离衍射屏都在无穷远或相当于无穷远，在衍射屏上的入射波和衍射波都可看成平面波，这时所观察到的衍射。
光源和接收平面为物像共轭面
光源和接收平面非物像共轭面
4
平行光衍射非平行光衍射3源和场点均在无限远
源和场点或者之一
在有限远2源点和场点均满足远场近似源和场点均满足傍轴近似，但不满足
远场近似1
夫琅禾费衍射菲涅耳衍射
衍射分类的几种表述
第三节
3-4
3-4
衍射装置
1(1) S L 2单色点光源置于 的前焦面，等价于无穷远光源；在 L 的后焦面观察衍射图样，等价于在无穷远处观察。
(2) ∑但不能转动在垂直或平行于光轴方向平移()，衍射 图样不变。
矩孔衍射
()()22
2
sin sin kap kqb I P E
P I kap kqb ????
==???????? 2220λ
ED D C I ==其中：每二个极小值之间有一个次极大，其位置由：
kap
kap =tan 决定
当衍射角时，kap =0，点的值此时有一个主极大
值，，说明抵达点的衍射光具有相同的相位，相
当于几何光学中的像点。而在处有强度极小值。
0x θ=0P 01I I =0P 23.......kap πππ=±±±，
，，0I =极小
5 π
次极大0.005034.479 π
极小04 π次极大0.008343.470 π
极小03 π次极大0.016942.459 π
极小02π次极大0.047181.430 π
极小0π主极大10I/I 0
α
2
(sin /)ααkap
α=
中央亮斑可认为是衍射扩展的主要范围，它的边缘在x 轴和y 轴上分别可由衍射角的条件决定：
λ
θ±=x a sin 2λ
θ±=y b sin 2中央亮斑的角半宽度为a
x 2λ
θΔ=
b
y 2λ
θΔ=
相应的中央亮斑的半宽尺寸为
f
a
x 20λ
Δ=
f
b
y 20λ
Δ=
中央亮斑的面积为
ab
f S 2
20λ=
中央亮斑面积与矩形面积成反比，在相同波长和观察装置下，衍射孔面积愈小，中央亮斑面积愈大。
单缝衍射
夫琅禾费单缝衍射基本光路
衍射图样
如果矩形孔的尺寸满足：b>>a，则矩孔就变成了狭缝。假设狭缝沿着y轴方向，这时入射光在y轴方向的衍射可以忽略，因，代表一个点源的位置，这样只需在一个方向上求积分即可。
0q m m =?0m 圆孔爱里
()()()
11cos cos sin sin ik px qy ik E P C e dxdy C e
d d θ?ρ?θ?ρ?ρρ?
?+Σ
?+Σ
==∫∫∫∫ 1111
cos cos x p f f
ρ
?θ?==≈1111
sin sin y
q f f
ρ?θ?==≈假定圆孔半径为a ，圆孔中心O 位于z 轴上，圆孔上任意一点Q 的
位置坐标可标为,
。类似的，观察屏上一点P 的位置坐标为，
(,)Q ρ?c o s s in x y ρ?ρ?==，11P (,)ρ?111111c o s s in x y ρ?ρ?==，。
()()11cos cos sin sin ik E P C e d d θ?ρ?θ?ρ?ρρ??+Σ
=∫∫
()
12cos 0
a
ik C e
d d π
ρθ???ρρ
??=?∫
∫
()∫
=
π
αα
π
20
021
d e x J ix cos ()()ρ
ρρθπd k J C P E a ∫=0
02~
由于()()
x xJ dx x xJ 1
∫=由于
()()
()()
02
2ka C E P J k k d k k θπρθρθρθθ=∫
()122J ka C a ka θπθ??
=??
??
()12J ka CD ka θθ??
=??
??
其中：D 为圆孔的面积
()()?
?
????=θθka ka J CD P E 1
2~夫琅和费圆孔衍射的光强度分布仅与衍射角有关，而与方位角的坐标无关。这说明夫琅和费圆孔衍射图样是圆形条纹。
()()()0
2
122I ka ka J P E P I ?
?
?
???==θθ~...
6
42422)(223
231???+??=Z Z Z Z J 利用Bessel函数的级数展开：
令：
()00=dZ
I I d 可以得到I/I 0的极值点。
其中:
θ
ka Z =极大和极小Z 中央极大0
1极小 1.220π＝3.8330次极大 1.635π＝5.1360.0175极小 2.233π＝7.0160次极大 2.679π＝8.4170.0042极小 3.238π＝10.1740次极大 3.699π＝11.620
0.0016
[]
2
01/2()/I I J Z Z =
爱里斑
1()J Z θπ0 夫琅和费圆孔衍射的中央亮斑称为爱里斑。它集中了入射光能的 83.78％，其半径 r 由第一光强极小处 Z 值(即 第一零点的 Z 值 )相应的.22 1决定
0 1.22/ka r f θπθ=?
?
=?即 2 D a =式中是衍射孔直径
00.61 1.22r f f a D
λλ
==
* 理想的光学成像系统：不考虑像差和衍射效应
点物点像
* 实际的光学成像系统：其中光学元件的通光孔起着限制成像光束的光阑的作用，都会产生衍射。
点物
衍射图样
点物在成像系统像面上所成的像是孔径光阑
的夫琅禾费衍射图样
可以证明：
分辨本领
分辨本领:光学成像系统能分辨开两个靠近的点物或物体细节的能力，它是光学成像系统的重要指标。
分辨星星
如果用望远镜观察到在视场中靠得很近的四颗星星恰能被分辨。若将该望远镜的物镜孔径限制得更小，则可能分辨不出这是四颗星星。
分析以下几种光学成像系统的分辨本领：人眼、望远镜、照相物镜、显微镜等使用瑞利判据时应当注意:
（1）我们讨论的两光源S
1
和S
2
是非相干的，若S
1
和S
2
是相干光源，它们的衍射图样的合成图样不能用强度直接相加方法求得。
（2）两个点光源亮度应相等，如果不等，即使S
1
和S
2
更加接近，也能将它们分开。
（3）瑞利判据不是表示分辨极限的物理量，而只是一个大致的判断标准。
根据瑞利判据，当衍射孔为园孔时，合成强度曲线的鞍形值约为其两侧峰值的74%，即强度的峰值和鞍值有26%的差异。而当衍射孔为单缝时，合成强度曲线的鞍-峰值之比为0.81。
标量的衍射理论
第二章标量的衍射理论 光的衍射现象是光波动性的一主要标志，也是光在传播过程中的最重要的属性之一。 本章将在基尔霍夫标量衍射理论的基础上，研究两种最基本的衍射现象及其应用：菲涅耳衍射（近场衍射）和夫琅禾费衍射（远场衍射），并利用线性系统理论赋予新的解释，即把衍射过程看做线性不变系统，讨论其脉冲响应和传递函数。 本章讲述标量波衍射理论。需要指出的是，在现代衍射光学、微光学、二元光学及光子晶体分析中，常利用矢量波衍射理论。 衍射：光波在传播过程中波面产生破缺的现象，称为衍射，这是惠更斯－菲涅耳原理对圆孔、单缝、多缝等衍射问题进行解析而得出的概念。 光的衍射是指光波在传播过程中遇到障碍物时，所发生的偏离直线传播的现象。光的衍射，也可以叫光的绕射，即光可绕过障碍物，传播到障碍物的几何阴影区域中，并在障碍物后的观察屏上呈现出光强的不均匀分布。通常将观察屏上的不均匀光强分布称为衍射图样。 光的衍射是指光波在传播过程中遇到障碍物时，所发生的偏离直线传播的现象。光的衍射，也可以叫光的绕射，即光可绕过障碍物，传播到障碍物的几何阴影区域中，并在障碍物后的观察屏上呈现出光强的不均匀分布。通常将观察屏上的不均匀光强分布称为衍射图样。
现在一般认为，光波在传播的过程中，不论任何原因导致波前的复振幅分布（包括振幅分布和相位分布）的改变，使自由传播光场变为衍射光场的现象都称为衍射。 光是一种电磁波，光波的衍射问题应该通过麦克斯韦的电磁理论来求解。但是这种求解过程相当复杂，且多数不能获得解析解。现代的光学教材多使用惠更斯－菲涅耳－基尔霍夫标量场理论。 标量场理论的适用范围: ①衍射孔径比照明光波波长大的多。 ②观察点较远。 标量衍射理论的核心问题：用已知的边界上的复振幅分布来表达光场中任一点的复振幅分布。 本章内容： 2.1 基尔霍夫衍射理论（解决光波的传播问题）