高中数学知识点完全总结(绝对全)

高中数学概念总结

一、 函数

1、 若集合A 中有n )(N n ∈个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为n

2，所有非空真子集的个数是22-n

。

二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴方程是a b

x 2-=，顶点坐标是???

?

?

?--a b ac a b 4422，。用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式，即（一般式）c bx ax x f ++=2)(，（零点式）)()()(21x x x x a x f -?-=和n m x a x f +-=2)()(

（顶点式）。 2、 幂函数n

m

x y = ，当n 为正奇数，m 为正偶数，

m

3、 函数652

+-=x x y 的大致图象是

由图象知，函数的值域是)0[∞+，，单调递增区间是)3[]5.22[∞+，和，，单调递减区间是]35.2[]2(，和，-∞。

二、 三角函数

1、 以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角α的终边上任取一个异于原点的点

),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则sin α=

r y ，cos α=r x ，tg α=x y ，ctg α=y x ，sec α=x r ，csc α=y

r 。

2、同角三角函数的关系中，平方关系是：1cos sin 2

2

=+αα，αα22sec 1=+tg ，αα22csc 1=+ctg ； 倒数关系是：1=?ααctg tg ，1csc sin =?αα，1sec cos =?αα；

相除关系是：αααcos sin =

tg ，α

α

αsin cos =ctg 。 3、诱导公式可用十个字概括为：奇变偶不变，符号看象限。如：=-)23sin(

απαcos -，)2

15(απ

-ctg =αtg ，=-)3(απtg αtg -。

4、 函数B x A y ++=)sin(?ω），（其中00>>ωA 的最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ω

π

2=

T ，频

率是πω2=

f ，相位是?ω+x ，初相是?；其图象的对称轴是直线)(2

Z k k x ∈+=+π

π?ω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。 5、 三角函数的单调区间：

x y s i n

=的递增区间是???

??

?

+

-222

2πππ

πk k ，)(Z k ∈，递减区间是?????

?

++23222ππππk k ，)(Z k ∈；x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈，tgx y =的递增区间是

??? ?

?

+-22ππππk k ，)(Z k ∈，ctgx y =的递减区间是()πππ+k k ，)(Z k ∈。

6、=±)sin(βαβαβαsin cos cos sin ±

=±)c o s

(βαβαβαs i n s i n c o s c o s =

±)(βαtg β

αβ

αtg tg tg tg ?± 1

7、二倍角公式是：sin2α=ααcos sin 2?

cos2α=αα2

2

sin cos -=1cos 22

-α=α2

sin 21- tg2α=

α

α

2

12tg tg -。

8、三倍角公式是：sin3α=αα3sin 4sin 3- cos3α=ααcos 3cos 43

- 9、半角公式是：sin

2α=2cos 1α-± cos 2α=2

cos 1α+± tg

2α=α

αcos 1cos 1+-±=ααsin cos 1-=ααcos 1sin +。

10、升幂公式是：2

cos 2cos 12

α

α=+ 2

sin

2cos 12

α

α=-。

11、降幂公式是：22cos 1sin 2

αα-=

2

2cos 1cos 2

αα+=。 12、万能公式：sin α=

2

12

22

α

α

tg

tg

+ cos α=

2

1212

2

α

αtg

tg +- tg α=2

12

22

α

α

tg

tg -

13、sin(βα+)sin(βα-)=βα2

2sin sin -，

cos(βα+)cos(βα-)=βα2

2sin cos -=αβ22sin cos -。

14、)60sin()60sin(sin 400ααα+-=α3sin ； )60cos()60cos(cos 400ααα+-=α3cos ； )60()60(0

ααα+-tg tg tg =α3tg 。 15、ααtg ctg -=α22ctg 。

16、sin180=

4

1

5-。 17、特殊角的三角函数值：

18、正弦定理是（其中R 表示三角形的外接圆半径）：R C

c

B b A a 2sin sin sin === 19、由余弦定理第一形式，2

b =B a

c c a cos 22

2

-+

由余弦定理第二形式，cosB=ac

b c a 22

22-+

20、△ABC 的面积用S 表示，外接圆半径用R 表示，内切圆半径用r 表示，半周长用p 表示则：

① =?=a h a S 21；② ==A bc S sin 2

1

； ③C B A R S sin sin sin 22

=；④R

abc S 4=；

⑤))()((c p b p a p p S ---=

；⑥pr S =

21、三角学中的射影定理：在△ABC 中，A c C a b cos cos ?+?=，… 22、在△ABC 中，B A B A sin sin

2c o s 2s i n

C B A =+ 2s i n 2c o s C B A =+ 2

2C

c t g B A tg =+ t g C t g B t g A t g C t g B t g A ??=++

24、积化和差公式：

①)]sin()[sin(21

cos sin βαβαβα-++=?， ②)]sin()[sin(21

sin cos βαβαβα--+=?，

③)]cos()[cos(21

cos cos βαβαβα-++=?，

④)]cos()[cos(2

1

sin sin βαβαβα--+-=?。

25、和差化积公式：

①2cos 2sin

2sin sin y

x y x y x -?+=+， ②2sin 2cos 2sin sin y

x y x y x -?+=-， ③2cos 2cos 2cos cos y

x y x y x -?+=+， ④2

sin 2sin 2cos cos y

x y x y x -?+-=-。 三、 反三角函数

1、x y arcsin =的定义域是[-1，1]，值域是]2

2[，-

，奇函数，增函数； x

y a r c c o s =的定义域是[-1，1]，值域是]0[π，，非奇非偶，减函数； a r c t g x y =的定义域是R ，值域是)2

2(π

π，-

，奇函数，增函数；

a r c c t g x y =的定义域是R ，值域是)0(π，，非奇非偶，减函数。

2、当x x x x x ==-∈)cos(arccos )sin(arcsin ]11[，时，，；

221)cos(arcsin 1)sin(arccos x x x x -=-=， x x x x arccos )arccos(arcsin )arcsin(-=--=-π， 2

arccos arcsin π

=+x x

对任意的R x ∈，有：

2

)()()()(π

π=

+-=--=-==arcctgx arctgx arcctgx x arcctg arctgx x arctg x

arcctgx ctg x arctgx tg ，，

当x

arctgx ctg x arcctgx tg x 1)(1)(0==≠，时，有：。 3、最简三角方程的解集：

{}

{}{}{}。，的解集为

，方程；，的解集为

，方程；，的解集为时，；

的解集为时，，的解集为时，；

的解集为时，Z n arcctga n x x a ctgx R a Z n arctga n x x a tgx R a Z n a n x x a x a a x a Z n a n x x a x a a x a n ∈+==∈∈+==∈∈±==≤=>∈?-+==≤=>πππφπφarccos 2cos 1cos 1arcsin )1(sin 1sin 1

四、 不等式

1、若n 为正奇数，由b a <可推出n

n b a <吗？ （ 能 ）

若n 为正偶数呢？ （b a 、仅当均为非负数时才能） 2、同向不等式能相减，相除吗 （不能） 能相加吗？ （ 能 ）

能相乘吗？ （能，但有条件）

3、两个正数的均值不等式是：

ab b

a ≥+2

三个正数的均值不等式是：

3

3

abc c b a ≥++

n 个正数的均值不等式是：

n

n n a a a n

a a a 2121≥+++

4、两个正数b a 、的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是

2

2112

2

2b a b

a a

b b

a +≤+≤≤+ 6、 双向不等式是：

b a b a b a +≤±≤-

左边在)0(0≥≤ab 时取得等号，右边在)0(0≤≥ab 时取得等号。

五、 数列

1、等差数列的通项公式是d n a a n )1(1-+=，前n 项和公式是：2

)(1n n a a n S += =d n n na )1(21

1-+。

2、等比数列的通项公式是11-=n n q a a ，

前n 项和公式是：?????≠--==)

1(1)1()

1(11q q

q a q na S n

n

3、当等比数列{}n a 的公比q 满足q <1时，

n n S ∞

→lim =S=q

a -11

。一般地，如果无穷数列{}n a 的前n 项和的极限n

n S ∞→lim 存在，就把这个极限称为这个数列的各项和（或所有项的和），用S 表示，即S=n n S ∞

→lim 。

4、若m 、n 、p 、q ∈N ，且q p n m +=+，那么：当数列{}n a 是等差数列时，有q p n m a a a a +=+；当数列{}n a 是等比数列时，有q p n m a a a a ?=?。

5、 等差数列{}n a 中，若S n =10，S 2n =30，则S 3n =60；

6、等比数列{}n a 中，若S n =10，S 2n =30，则S 3n =70；

六、 复数

1、 n

i 怎样计算？（先求n 被4除所得的余数，r r

k i i =+4）

2、 i i 2

3

21232121--=+-

=ωω、是1的两个虚立方根，并且： 13231==ωω 221ωω= 12

2ωω=

211ωω=

12

1ωω=

21ωω= 12ωω= 121-=+ωω

3、 复数集内的三角形不等式是：212121z z z z z z +≤±≤-，其中左边在复数z 1、z 2对应的向量共线且反向

（同向）时取等号，右边在复数z 1、z 2对应的向量共线且同向（反向）时取等号。 4、 棣莫佛定理是：[]))(sin (cos )sin (cos Z n n i n r i r n n

∈+=+θθθθ

5、 若非零复数)sin (cos ααi r z +=，则z 的n 次方根有n 个，即：

)1210)(2sin 2(cos

-=+++=n k n

k i n k r z n k ，，，， α

παπ 它们在复平面内对应的点在分布上有什么特殊关系？

都位于圆心在原点，半径为n r 的圆上，并且把这个圆n 等分。 6、 若121)3

sin 3(cos

32z i z z ?+==π

π

，，复数z 1、z 2对应的点分别是A 、B ，则△AOB （O 为坐标原点）的面积

是

333

sin 6221=???π

。 7、 z z ?=2

z 。

8、 复平面内复数z 对应的点的几个基本轨迹： ①?=)(arg 为实常数θθz 轨迹为一条射线。

②?=-是实常数）是复常数，θθ00()arg(z z z 轨迹为一条射线。 ③?=-是正的常数）r r z z (0轨迹是一个圆。

④?-=-)(2121是复常数、z z z z z z 轨迹是一条直线。

⑤?=-+-是正的常数）是复常数，、a z z a z z z z 2121(2轨迹有三种可能情形：a)当212z z a ->时，轨迹为椭圆；b)当212z z a -=时，轨迹为一条线段；c)当212z z a -<时，轨迹不存在。

⑥?=---)(221是正的常数a a z z z z 轨迹有三种可能情形：a)当212z z a -<时，轨迹为双曲线；b) 当212z z a -=时，轨迹为两条射线；c) 当212z z a ->时，轨迹不存在。

七、 排列组合、二项式定理

1、 加法原理、乘法原理各适用于什么情形？有什么特点？ 加法分类，类类独立；乘法分步，步步相关。

2、排列数公式是：m

n P =)1()1(+--m n n n =

！

！

)(m n n -；

排列数与组合数的关系是：m

n

m n C m P ?=！ 组合数公式是：m n C =

m m n n n ???+-- 21)1()1(=！

！！

)(m n m n -?；

组合数性质：m n C =m n n C - m n C +1-m n C =m

n C 1+

∑=n

r r

n C

=n

2 r n rC =1

1--r n nC

1

121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C

3、 二项式定理： n

n n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)(二项展开式的通项公式：

r

r n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，，

= 八、 解析几何

1、 沙尔公式：A B x x AB -=

2、 数轴上两点间距离公式：A B x x AB -=

3、 直角坐标平面内的两点间距离公式：22122121)()(y y x x P P -+-=

4、 若点P 分有向线段21P P 成定比λ，则λ=

2

1PP P

P 5、 若点),(),(),(222111y x P y x P y x P ，，，点P 分有向线段21P P 成定比λ，则：λ=

x x x x --21=y

y y y --21

； x =

λλ++12

1x x

y =

λ

λ++12

1y y

若),(),(),(332211y x C y x B y x A ，，，则△ABC 的重心G 的坐标是??

?

??++++33321321y y y x x x ，。

6、求直线斜率的定义式为k=αtg ，两点式为k=1

21

2x x y y --。

7、直线方程的几种形式：

点斜式：)(00x x k y y -=-， 斜截式：b kx y +=

两点式：

1

21121x x x x y y y y --=

--， 截距式：1=+b y

a x 一般式：0=++C By Ax

经过两条直线0022221111=++=++C y B x A l C y B x A l ：和：的交点的直线系方程是：

0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ

8、 直线222111b x k y l b x k y l +=+=：，：，则从直线1l 到直线2l 的角θ满足：2

11

21k k k k tg +-=

θ

直线1l 与2l 的夹角θ满足：2

11

21k k k k tg +-=

θ

直线0022221111=++=++C y B x A l C y B x A l ：，：，则从直线1l 到直线2l 的角θ满足：

2

1211

221B B A A B A B A tg +-=

θ

直线1l 与2l 的夹角θ满足：2

1211

221B B A A B A B A tg +-=

θ

9、 点),(00y x P 到直线0=++C By Ax l ：的距离：

2

2

00B

A C By Ax d +++=

10、两条平行直线002211=++=++C By Ax l C By Ax l ：，：距离是

2

2

21B

A C C d +-=

11、圆的标准方程是：2

2

2

)()(r b y a x =-+-

圆的一般方程是：)04(02

222>-+=++++F E D F Ey Dx y x

其中，半径是2422F E D r -+=

，圆心坐标是??? ??--22

E D

，

思考：方程02

2=++++F Ey Dx y x 在042

2

=-+F E D 和042

2

<-+F E D 时各表示怎样的图形？

12、若),(),(2211y x B y x A ，，则以线段AB 为直径的圆的方程是

0))(())((2121=--+--y y y y x x x x

经过两个圆

011122=++++F y E x D y x ，022222=++++F y E x D y x

的交点的圆系方程是：

0)(2222211122=+++++++++F y E x D y x F y E x D y x λ

经过直线0=++C By Ax l ：与圆022=++++F Ey Dx y x 的交点的圆系方程是：

0)(22=+++++++C By Ax F Ey Dx y x λ

13、圆),(00222y x P r y x 的以=+为切点的切线方程是

200r y y x x =+

一般地，曲线)(00022y x P F Ey Dx Cy Ax ，的以点=++-+为切点的切线方程是：

02

20

000=++?++?-+F y y E x x D y Cy x Ax 。例如，抛物线x y 42=的以点)21(，P 为切点的切线方程是：2

1

42+?

=x y ，即：1+=x y 。 注意：这个结论只能用来做选择题或者填空题，若是做解答题，只能按照求切线方程的常规过程去做。 14、研究圆与直线的位置关系最常用的方法有两种，即：

①判别式法：Δ>0，=0，<0，等价于直线与圆相交、相切、相离；

②考查圆心到直线的距离与半径的大小关系：距离大于半径、等于半径、小于半径，等价于直线与圆相离、相切、相交。

15、抛物线标准方程的四种形式是：，，px y px y 222

2

-== 。

，py x py x 2222-== 16、抛物线px y 22=的焦点坐标是：??

?

??02，p ，准线方程是：2p x -=。

若点),(00y x P 是抛物线px y 22

=上一点，则该点到抛物线的焦点的距离（称为焦半径）是：2

0p

x +

，过该抛物线的焦点且垂直于抛物线对称轴的弦（称为通径）的长是：p 2。

17、椭圆标准方程的两种形式是：12222=+b y a x 和122

22=+b x a y

)0(>>b a 。

18、椭圆12222=+b

y a x )0(>>b a 的焦点坐标是)0(，c ±，准线方程是c a x 2

±=，离心率是a c e =，通径的长是

a

b 22。其中2

22b a c -=。 19、若点),(00y x P 是椭圆122

22=+b

y a x )0(>>b a 上一点，21F F 、是其左、右焦点，则点P 的焦半径的长是

01ex a PF +=和02ex a PF -=。

20、双曲线标准方程的两种形式是：12222=-b y a x 和122

22=-b x a y

)00(>>b a ，。

21、双曲线12222=-b

y a x 的焦点坐标是)0(，c ±，准线方程是c a x 2±=，离心率是a c e =，通径的长是a b 2

2，渐近

线方程是02222=-b

y a x 。其中2

22b a c +=。

22、与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-2222b y a x )0(≠λ。与双曲线122

22=-b

y a x 共焦点的双

曲线系方程是122

2

2=--+k

b y k a x 。 23、若直线b kx y +=与圆锥曲线交于两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则弦长为 2212))(1(x x k AB -+=； 若直线t my x +=与圆锥曲线交于两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则弦长为 2212))(1(y y m AB -+=

。

24、圆锥曲线的焦参数p 的几何意义是焦点到准线的距离，对于椭圆和双曲线都有：c

b p 2

=。

25、平移坐标轴，使新坐标系的原点O '在原坐标系下的坐标是（h ，k ），若点P 在原坐标系下的坐标是，),(y x 在

新坐标系下的坐标是),(y x ''，则x '=h x -，y '=k y -。

九、 极坐标、参数方程

1、 经过点),(000y x P 的直线参数方程的一般形式是：?

??+=+=)(00是参数t bt y y at x x 。

2、 若直线l 经过点α，倾斜角为),(000y x P ，则直线参数方程的标准形式是：??

?+=+=)(sin cos 00是参数t t y y t x x α

α

。

其中点P 对应的参数t 的几何意义是：有向线段P P 0的数量。

若点P 1、P 2、P 是直线l 上的点，它们在上述参数方程中对应的参数分别是，和、t t t 21则：2121t t P P -=；当点P 分有向线段λ成定比

21P P 时，λλ++=121t t t ；当点P 是线段P 1P 2的中点时，2

2

1t t t +=。

3、圆心在点)(b a C ，，半径为r 的圆的参数方程是：?

??+=+=)(sin cos 是参数ααα

r b y r a x 。

3、 若以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，点P 的极坐标为，),(θρ直角坐标为),(y x ，

则=x θρcos ，=y θρsin ，x

y

tg y x =

+=

θρ，22。 4、 经过极点，倾斜角为α的直线的极坐标方程是：απθαθ+==或，

经过点)0(，a ，且垂直于极轴的直线的极坐标方程是：a =θρcos ， 经过点)2

(π

，a 且平行于极轴的直线的极坐标方程是：a =θρsin ，

经过点)(00θρ，且倾斜角为α的直线的极坐标方程是：)sin()sin(00αθραθρ-=-。

5、 圆心在极点，半径为r 的圆的极坐标方程是r =ρ；

圆心在点a a ，半径为，)0(的圆的极坐标方程是θρcos 2a =； 圆心在点a a ，半径为，)2

(π

的圆的极坐标方程是θρsin 2a =；

圆心在点)(00θρ，，半径为r 的圆的极坐标方程是200202)cos(2r =--+θθρρρρ。

6、 若点M )(11θρ，、N )(22θρ，，则=MN )cos(221212

221θθρρρρ--+。

十、 立体几何

1、求二面角的射影公式是S

S '

=

θcos ，其中各个符号的含义是：S 是二面角的一个面内图形F 的面积，S '是图形F 在二面角的另一个面内的射影，θ是二面角的大小。

2、若直线l 在平面α内的射影是直线l '，直线m 是平面α内经过l 的斜足的一条直线，l 与l '所成的角为1θ，l '与m 所成的角为2θ, l 与m 所成的角为θ，则这三个角之间的关系是21cos cos cos θθθ?=。

3、体积公式：

柱体：h S V ?=，圆柱体：h r V ?=2

π。

斜棱柱体积：l S V ?'=（其中，S '是直截面面积，l 是侧棱长）；

锥体：h S V ?=

31，圆锥体：h r V ?=23

1

π。 台体：)(31S S S S h V '+'?+?=

， 圆台体：)(31

22r r R R h V +?+=π 球体：33

4

r V π=。 4、 侧面积：

直棱柱侧面积：h c S ?=，斜棱柱侧面积：l c S ?'=；

正棱锥侧面积：h c S '?=

21，正棱台侧面积：h c c S ''+=)(2

1

； 圆柱侧面积：rh h c S π2=?=，圆锥侧面积：rl l c S π=?=

2

1

， 圆台侧面积：l r R l c c S )()(2

1

+='+=π，球的表面积：24r S π=。 5、几个基本公式：

弧长公式：r l ?=α（α是圆心角的弧度数，α>0）；

扇形面积公式：

r l S ?=

2

1

； 圆锥侧面展开图（扇形）的圆心角公式：πθ2?=

l

r

； 圆台侧面展开图（扇环）的圆心角公式：πθ2?-=

l

r

R 。 经过圆锥顶点的最大截面的面积为（圆锥的母线长为l ，轴截面顶角是θ）：

?????<

2(2

1)20(sin 2122

πθππθθl l S 十一、比例的几个性质

1、比例基本性质：

bc ad d c

b a =?= 2、反比定理：

c d

a b d c b a =?=

3、更比定理：d

b

c a

d c b a =?=

5、 合比定理；d b d b =?=

6、 分比定理：d d

c b b

a d c

b a -=-?

= 7、 合分比定理：d c d c b a b

a d c

b a -+=-+?

= 8、 分合比定理：d

c d c b

a b

a d c

b a +-=+-?

= 9、 等比定理：若

n n b a b a b a b a ==== 33

2211，0321≠++++n b b b b ，则1

1321321b a b b b b a a a a n n =++++++++ 。 十二、复合二次根式的化简

2

2

22B

A A B

A A

B A --±

-+=

±

当B A B A ->>2

00，，是一个完全平方数时，对形如B A ±的根式使用上述公式化简比较方便。

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