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东城二模理科数学

北京市东城区2011-2012学年度第二学期高三综合练习（二）

数学（理科）

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共40分）

一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题

目要求的一项。（1）下列命题中，真命题是

（A ）x ?∈R ,2

10x --< （B ）0x ?∈R ,2001x x +=-

（C ）21

,04

x x x ?∈-+>R （D ）2000,220x x x ?∈++

（2）将容量为n 的样本中的数据分成6组，若第一组至第六组数据的频率之比为

2:3:4:6:4:1，且前三组数据的频数之和等于27，则n 的值为

（A ）70 （B ）60 （C ）50 （D ）40

（3）41(2)x x

-的展开式中的常数项为（A ）24- （B ）6- （C ）6 （D ）24

（4）若一个三棱柱的底面是正三角形，其正（主）视图如图所示，则它的体积为

（A ）3 （B ）2

（C ）23

（D ）4

（5）若向量a ，b 满足1=a ，2=b ，且()⊥a a +b ，则a 与b 的夹角为

（A ）2π （B ）23π （C ）34π （D ）56

（6）已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件

中一定能推出m ⊥β 的是

（A）⊥

αβ，且m?α（B）m∥n，且n⊥β（C）⊥

αβ，且m∥α（D）m⊥n，且n∥β

（7）若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线

+=的离心率为

（A）

（B）5（C）

或

（D）

或5

（8）定义：()0

=y,

)y,x

(

F x，已知数列{}

a满足：

()

()n,

=()

∈N，

若对任意正整数n，都有

a≥()

∈N成立，则

a的值为

（A）

（B）2（C）

（D）

第Ⅱ卷（共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

(9) 设a∈R，且2

(i)i

a+为正实数，则a的值为 .

(10) 若圆C的参数方程为

3cos1,

3sin

θ（

θ为参数），则圆C的圆心坐标为，圆C 与直线30

x y

+-=的交点个数为 .

(11)在平面直角坐标系xOy中，将点A(3,1)绕原点O逆时针旋转

90到点B，那么点B的坐标为____，

若直线OB的倾斜角为α，则sin2α的值为．

(12) 如图，直线PC与O相切于点C，割线PAB经过圆心

O，

弦CD⊥AB于点E，4

PC=，8

PB=，则CE=．

(13)已知函数

sin1

()

x x

f x

()

x∈R的最大值为M，最小值为m，则M m

+的值为__.

(14) 已知点(,)A a b 与点(1,0)B 在直线34100x y -+=的两侧，给出下列说法： ①34100a b -+>；

②当0a >时,a b +有最小值，无最大值；

③222a b +>；

④当0a >且1a ≠，0b >时，

1b a -的取值范围为53

(,)(,)24

-∞-+∞. 其中，所有正确说法的序号是 .

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题共13分）

已知函数()sin()f x A x =+ω?（其中∈R x ，0A >，ππ

0,22

ω?>-<<）的部分图象如图所示.

（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；

（Ⅱ）已知在函数()f x 的图象上的三点,,M N P 的横坐标分别为1,1,5-，求

sin MNP ∠的值.

（16）（本小题共13分）

某公园设有自行车租车点，租车的收费标准是每小时2元（不足1小时的部分按1小时计算）.甲、

乙两人各租一辆自行车，若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为2

141，；一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为4

121，；两人租车时间都不会超过三小时. （Ⅰ）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；

（Ⅱ）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望ξE .

（17）（本小题共13分）

如图,矩形AMND 所在的平面与直角梯形MBCN 所在的平面互相垂直，MB ∥

NC ,MN MB ⊥，

y x

-1-01

-11

345

且MC CB ⊥，2BC =，4MB =，3DN =．（Ⅰ）求证：//AB 平面DNC ；

（Ⅱ）求二面角D BC N --的余弦值.

（18）（本小题共14分）

已知抛物线C ：2

4x y =，M 为直线:l 1y =-上任意一点，过点M 作抛物线C 的两条切线,MA MB ，切点分别为A ,B .

（Ⅰ）当M 的坐标为(0,1)-时，求过,,M A B 三点的圆的方程；（Ⅱ）证明：以AB 为直径的圆恒过点M .

（19）（本小题共13分）

已知函数11

()()ln f x a x x a x

=++

-（1a >）．

（Ⅰ）试讨论()f x 在区间(0,1)上的单调性；

（Ⅱ）当[)3,a ∈+∞时，曲线()y f x =上总存在相异两点11(,())P x f x ，

22(,())Q x f x ，使得曲线

()y f x =在点P ，Q 处的切线互相平行，求证：1265

x x +>

（20）(本小题共14分) 对于数列{}n a (1,2,

,)n m =，令k b 为1a ，2a ，，k a 中的最大值，称数列

{}n b 为{}n a 的“创新数列”.例如数列2，1，3，7，5的创新数列为2，2，3，7，

定义数列{}n c ：123,,,

,m c c c c 是自然数1，2，3，

，(3)m m >的一个排列.

（Ⅰ）当5m =时，写出创新数列为3，4， 4，5，5的所有数列{}n c ；

（Ⅱ）是否存在数列{}n c ，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出所有的数列{}n c ，

若不存在，请说明理由.

北京市东城区2011-2012学年度高三综合练习（二）

数学参考答案及评分标准（理科）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

（1）A （2）B （3）D （4）A （5）C （6）B （7）D （8）C 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

（9）1- （10）(1,0) 2 （11）)3,1(- 32

（12）

（13）2 （14）③④ 注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．三、解答题（本大题共6小题，共80分）（15）（共13分）

解：（Ⅰ）由图可知，1A =，最小正周期428T =?=.

由2π

8T ==ω，得4

ω. ……………3分

又

π(1)sin()14f ?=+= ，且ππ

22?-<<

，

所以

ππ42+=?，即4

=? . ………………5分所

以

()sin()sin (1)444

f x x x =+=+ππ. ………………6分

（Ⅱ）因为(1)0,(1)1,f f -==π

(5)sin (51)1,4

f =+=-

所

以

(1,0),(1,1),(5,1)M N P --. …………………7分

所以5,20,37MN PN MP ===.

由余弦定理得

520373

cos 52520

MNP +-∠=

……………11分

y x

-1-01

-11

345

z A

因为[)0,MNP ∠∈π，所以4

sin 5

MNP ∠=

. ……………13分

（其它解法酌情给分）

（16）（共13分）

解：（Ⅰ）甲、乙两人所付费用相同即为2，4，6元. ……………2分

都付2元的概率为1111428P =?=；都付4元的概率为2111

248P =?=；

都付6元的概率为3

111

4416

P =?=；故

所

付

费

用

相

同

的

概

率

为

123

1115

881616

P P P P =++=++=. ……………6分（Ⅱ）依题意

，ξ的可能取值为4，6，8，10，

12. ……………8分

1(4)8P ξ==； 11115

(6)442216P ξ==?+?=；

1111115(8)44242416P ξ==?+?+?=； 11113

(10)442416P ξ==?+?=；

111

(12)4416

P ξ==?=.

故ξ的分布列为

4 6 8 10 12 P

18 516 516 316 116

……………11分

所求数学

期

望

1553115

46810128161616162

E ξ=?+?+?+?+?=. ……………13分

（17）（共13分）

（Ⅰ）证明：因为MB //NC ，MB ?平面DNC ，NC ?平面DNC ，

所以MB //平面DNC ． ……………2分因为AMND 为矩形，

所以MA //DN ．

又MA ?平面DNC ，DN ?平面DNC ，

所以MA //平面DNC ． ……………4分又MA

MB M =，且MA ，MB ?平面AMB ，

所以平面AMB //平面DNC ． ……………5分又AB ?平面AMB ，

所以//AB 平面DNC ． ……………6分

（Ⅱ）解：由已知平面AMND ⊥平面MBCN ，且平面AMND

平面MBCN MN =，

DN MN ⊥，

所以DN ⊥平面MBCN ，又MN NC ⊥，故以点N 为坐标原点，建立空间直角坐标系N xyz -.

……………7分由已知得23,30MC MCN =∠=，易得3MN =，3NC =．

则(0,0,3)D ，(0,3,0)C ，(3,4,0)B ．

(0,3,3)DC =-，(3,1,0)CB =． ……………8分

设平面DBC 的法向量1(,,)x y z =n ，

则110,0.

DC CB ??=???=??n n 即330,30.

y z x y -=???+=??令1x =-，则3y =，3z =．所以1(1,3,3)=-n ． ……………10分又2n (0,0,1)=是平面NBC 的一个法向量，所以122112321

cos ,77

==n n n n n n ．

故所求二面角D BC N --的余弦值为

． ……………13分

（18）（共14分）

（Ⅰ）解：当M 的坐标为(0,1)-时，设过M 点的切线方程为1y kx =-，

由24,1,

x y y kx ?=?=-?消y 得2440x kx -+=. (1)

令2

(4)440k ?=-?=，解得1k =±. 代

入

方

程

(1)

，

解

得

(2,1),(2,1)A B -. ……………3分

设圆心P 的坐标为(0,)a ，由PM PB =，得12a +=，解得1a =. 故过,,M A B 三点的圆的方程为2

(1)4x y +-=． ……………5分

（Ⅱ）证明：设0(,1)M x -，由已知得24x y =，1

y x '=，设切点分别为211(,)4x A x ，2

22(,)4

x B x ，

所以12MA x k =

，22

MB x k =，切线MA 的方程为2111()42x x y x x -=-即21111

y x x x =-，切

线

的方程为

222

2()

x x y x x -=-即

22211

y x x x =

-． ……………7分又因为切线MA 过点0(,1)M x -，所以得201111

124x x x -=

-. ① 又因为切线MB 也过点0(,1)M x -，所以得2

02211124

x x x -=-. ②

所以1x ，2x 是方程2

011124

x x x -=-的两实根，

由韦达定理得1202,x x x +=124x x =-． ……………9分

因为2110(,1)4x MA x x =-+，2220(,1)4x MB x x =-+，所以22

121020()()(1)(1)44

x x MA MB x x x x ?=--+++ 222

212120120121()()1164

x x x x x x x x x x =-++++++ 222

21212012012121

()()21164

x x x x x x x x x x x x ??=-+++++-+??．

将1202,x x x +=124x x =-代入，得0MA MB ?=. ……………13分所以以AB 为直径的圆恒过点M ． ……………14分

（19）（共13分）（

Ⅰ

）

解

：

由

已

知

x >，

2222

111

()1()()

1()1a x a x x a x a a a f x x x x x +-++--'=

--=-=-. ………2分由

()0

f x '=，得

x a

，

2x a =. ………4分

因为1a >，所以101a <<,且1a a

>．所以在区间1(0,)a 上，()0f x '<；在区间1

(,1)a

上，()0f x '>.

故

()f x 在1

(0,)a

上单调递减，在

(,1)a

上单调递增． ……………6分

（Ⅱ）证明：由题意可得，当[)3,a ∈+∞时，12()()f x f x ''=（12,0x x >，且12x x ≠）.

即 22

112211

1111a a a a x x x x +

--=-- ，所

以

1212

111x x a a x x x x ++

=+=，

[)3,a ∈+∞. ……………8分

因为12,0x x >，且12x x ≠，所以2

1212()2

x x x x +<恒成立，所以

121214()x x x x >+，又120x x +>，所

以

1212

1x x a a x x ++

=12

x x >

+，整理得

1241x x a a

. ……………11分

令()g a 4

1a a

=+，因为[)3,a ∈+∞，所以()g a 在[)3,+∞上单调递减，所以()g a =4

1a a +在[)3,+∞上的最大值为6(3)5g =，

所

以

126

x x +>

. ……………13分

（20）（共14分）

解：（Ⅰ）由题意，创新数列为3，4， 4，5，5的所有数列{}n c 有两个，即数列3，

4，1，5，2；

数

列

，

……………4分

（Ⅱ）存在数列{}n c ，使它的创新数列为等差数列. 数列{}n c 的创新数列为{}n e (1,2,3,,)n m =，

因为m e 是12,,,m c c c 中的最大值，

所以m e m =.

由题意知，k e 为12,,

,k c c c 中最大值，1k e +为121,,,,k k c c c c +中的最大值，

所以k e 1k e +≤，且{}1,2,,k e m ∈.

若{}n e 为等差数列，设其公差为d ，则1k k d e e +=-0≥且d ∈N ，

当0d =时，{}n e 为常数列，又m e m =，所以数列{}n e 为m ，m ，

，m .

此时数列

{}

n c 是首项为m 的任意一个符合条件的数列

； ……………8分

当1d =时，因为m e m =，所以数列{}n e 为1，2，3，，m .

此

时

数

列

{}

n c 为

，

，，

m ； ……………10分

当2d ≥时，因为111(1)(1)222m e e m d e m m e =+-≥+-?=-+ ，又3m >，10e > ，所以m e m >，这与m e m =矛盾，所以此时{}n e 不存

d≥的等差数在，即不存在{}n c使得它的创新数列为公差2

列. ……………13分

综上，当数列{}n c为以m为首项的任意一个符合条件的数列或{}n c为数列1，2，3，，m时，它的创新数列为等差数列. ……………14分