圆周运动的实例及临界问题
圆周运动的实例及临界问题
一、汽车过拱形桥
1．汽车在拱形桥最高点时，向心力：F 合＝
mg －N ＝m v 2
R
.
支持力：N ＝mg －mv 2
R
＜mg ，汽车处于失重状
态． 2．汽车对桥的压力N ′与桥对汽车的支持N 是一对相互作用力，大小相等，所以汽车通过最高点时的速度越大，汽车对桥面的压力就越小．
例1 一辆质量m ＝2 t 的轿车，驶过半径R
＝90 m 的一段凸形桥面，g ＝10 m/s 2
，求：
(1)轿车以10 m/s 的速度通过桥面最高点时，对桥面的压力是多大？
(2)在最高点对桥面的压力等于轿车重力的一半时，车的速度大小是多少？
解析 (1)轿车通过凸形桥面最高点时，受力分析如图所示：
合力F ＝mg －N ，由向心力公式得mg －N ＝m v 2
R
，故
桥面的支持力大小N ＝mg －m v
2R
＝(2 000×10－2
000×102
90) N ≈×104 N 根据牛顿第三定律，轿车在桥面最高点时对桥面压力的大小为×104
N. (2)对桥面的压力等于轿车重力的一半时，向心力F ′＝mg －N ′＝，而F ′＝m v ′2R ，所以此时轿
车的速度大小v ′＝错误!＝错误! m/s ≈21.2 m/s 答案 (1)×104
N (2)21.2 m/s 二、圆锥摆模型 1．运动特点：人及其座椅在水平面内做匀速圆周运动，悬线旋转形成一个圆锥面． 图1
2．运动分析：将“旋转秋千”简化为圆锥
摆模型(如图1所示) (1)向心力：F 合＝mg tan_α
(2)运动分析：F 合＝mω2r ＝mω2
l sin α
(3)缆绳与中心轴的夹角α满足cos α＝
g ω2l
. 图6
例2 如图6所示，固定的锥形漏斗内壁是光滑的，内壁上有两个质量相等的小球A 和B ，在各自不同的水平面做匀速圆周运动，以下物理量大小关系正确的是( )
A ．速度v A ＞v
B B ．角速度ωA ＞ωB
C ．向心力F A ＞F B
D ．向心加速度a A ＞a B
解析 设漏斗的顶角为2θ，则小球的合力为F 合
＝mg
tan θ，由F ＝F 合＝mg
tan θ＝mω2
r ＝m v 2
r
＝ma ，知向心力F A ＝F B ，向心加速度a A ＝a B ，选项C 、D
错误；因r A ＞r B ，又由v ＝ gr
tan θ
和ω＝
g
r tan θ
知v A ＞v B 、ωA ＜ωB ，故A 对，B 错．
答案 A
三、火车转弯
1．运动特点：火车转弯时做圆周运动，具有向心加速度，需要向心力． 2．铁路弯道的特点：转弯处外轨略高于内轨，铁轨对火车的支持力斜向弯道的内侧，此支
持力与火车所受重力的合力指向圆心，为火车转弯提供了一部分向心力．
例3 铁路在弯道处的内、外轨道高度是不
同的，已知内、外轨道平面与水平面的夹角为θ，
如图7所示，弯道处的圆弧半径为R ，若质量为m 的火车转弯时速度等于gR tan θ，则( ) A ．内轨对内侧车轮轮缘有挤压 B ．外轨对外侧车轮轮缘有挤压 C ．这时铁轨对火车的支持力等于mg
cos θ
D ．这时铁轨对火车的支持力大于mg
cos θ
解析 由牛顿第二定律F 合＝m v 2R
，解得F 合＝mg tan
θ，此时火车受重力和铁路轨道的支持力作用，如图所示，N cos θ＝mg ，则N ＝mg cos θ
，内、外轨道对火车均无侧向压力，故C 正确，A 、B 、D 错误． 答案 C
课后
巩固训练
2．(圆锥摆模型)两个质量相同的小球，在同一水平面内做匀速圆周运动，悬点相同，如图9所示，A 运动的半径比B 的大，则( )
A ．A 所需的向心力比
B 的大 B ．B 所需的向心力比A 的大
C ．A 的角速度比B 的大
D ．B 的角速度比A 的大
解析 小球的重力和绳子的拉力的合力充当向心力，设悬线与竖直方向夹角为θ，则F ＝mg tan
θ＝mω2
l sin θ，θ越大，向心力F 越大，所以A 对，B 错；而ω2
＝
g
l cos θ＝g
h
.故两者的角
速度相同，C 、D 错．答案 A
3．半径为R 的光滑半圆球固定在水平面上(如图2所示)，顶部有一小物体A ，今给它一个水平初速度v 0＝Rg ，则物体将( )
A ．沿球面下滑至M 点
B ．沿球面下滑至某一点N ，便离开球面做斜下抛运动
C ．沿半径大于R 的新圆弧轨道做圆周运动
D ．立即离开半圆球做平抛运动
答案 D
解析 当v 0＝gR 时，所需向心力F ＝m v 20
R
＝mg ，
此时，物体与半球面顶部接触但无弹力作用，物体只受重力作用，故做平抛运动．
4．质量为m 的飞机，以速率v 在水平面内做半径为R 的匀速圆周运动，空气对飞机作用力的大小等于( )
A ．m g 2
＋v 4R 2 B ．m v 2
R
C ．m
v 4R 2
－g 2
D ．mg
解析 空气对飞机的作用力有两个作用效果，其一：竖直方向的作用力使飞机克服重力作用而升空；其二：水平方向的作用力提供向心力，使飞机可在水平面内做匀速圆周运动．对飞机的受力
情况进行分析，如图所示．飞机受到重力mg 、空
气对飞机的作用力F 升，两力的合力为F ，方向沿水平方向指向圆心．由题意可知，重力mg 与F
垂直，故F 升＝m 2g 2＋F 2
，又F ＝m v 2R ，联立解得F
升＝m g 2
＋v 4R
2. 图3
答案 A
5．质量不计的轻质弹性杆P 插在桌面上，杆端套有一个质量为m 的小球，今使小球沿水平方向做半径为R 的匀速圆周运动，角速度为ω，如图4所示，则杆的上端受到的作用力大小为( )
A ．m ω2
R
D ．不能确定 答案 C
解析 小球在重力和杆的作用力下做匀速圆周运动．这两个力的合力充当向心力必指向圆心，如图所示．用力的合成法可得杆对球的作用力：N ＝(mg )2＋F 2＝m 2g 2＋m 2ω4R 2，根据牛顿第三定律，小球对杆的上端的作用力N ′＝N ，C 正确．
图5
6．火车轨道在转弯处外轨高于内轨，其高度差由转弯半径与火车速度确定．若在某转弯处规定行驶速度为v ，则下列说法中正确的是( )
A ．当以v 的速度通过此弯路时，火车重力与轨道面支持力的合力提供向心力
B ．当以v 的速度通过此弯路时，火车重力、轨道面支持力和外轨对轮缘弹力的合力提供向心力
C ．当速度大于v 时，轮缘挤压外轨
D ．当速度小于v 时，轮缘挤压外轨
解析 当以v 的速度通过此弯路时，向心力由火车的重力和轨道的支持力的合力提供，A 对，B 错；当速度大于v 时，火车的重力和轨道的支持力的合力小于向心力，外轨对轮缘有向内的弹力，轮缘挤压外轨，C 对，D 错．答案 AC
解析 设赛车的质量为m ，赛车受力分析如图所
示，可见：F 合＝mg tan θ，而F 合＝m v 2
r
，故v ＝
gr tan θ.
7.如图11，置于圆形水平转台边缘的小物块随转台加速转动，当转速达到某一数值时，物块恰好滑离转台开始做平抛运动．现测得转台半径R ＝0.5 m ，离水平地面的高度H ＝0.8 m ，物块平抛
落地过程水平位移的大小x ＝0.4 m ．设物块所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g
取10 m/s 2
.求：
图11
(1)物块做平抛运动的初速度大小v 0； (2)物块与转台间的动摩擦因数μ. 答案 (1)1 m/s (2)
解析 (1)物块做平抛运动，竖直方向有 H ＝1
2
gt 2① 水平方向有x ＝v 0t ②
联立①②两式得v 0＝x g 2H ＝1 m/s ③ (2)物块离开转台时，最大静摩擦力提供向心力，有 μmg ＝m v 2
0R ④ 联立③④得μ＝v 2
0gR ＝ 8．(多选)如图5所示，质量为m 的物体，沿着半径为R 的半球形金属壳内壁滑下，半球形金属
壳竖直固定放置，开口向上，滑到最低点时速度
大小为v ，若物体与球壳之间的动摩擦因数为μ，
则物体在最低点时，下列说法正确的是( )
图5 A ．受到的向心力为mg ＋m v 2
R
B ．受到的摩擦力为μm v 2
R
C ．受到的摩擦力为μ(mg ＋m v 2
R
)
D ．受到的合力方向斜向左上方
解析 物体在最低点做圆周运动，则有F N －mg ＝
m v 2R ，解得F N ＝mg ＋m v 2
R
，故物体受到的滑动摩擦力F f ＝μF N ＝μ(mg ＋m v 2
R
)，A 、B 错误，C 正确．物
体受到竖直向下的重力、水平向左的摩擦力和竖直向上的支持力(支持力大于重力)，故物体所受的合力斜向左上方，D 正确． 答案 CD
临界问题分析
一：水平面内圆周运动的临界问题
处理临界问题的解题步骤
(1)判断临界状态：有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程存在着临界点；若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程存在着“起止点”，而这些起止点往往就对应着临界状态；若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字
眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值点也往往对应着临界状态．
(2)确定临界条件：判断题述的过程存在临界状态之后，要通过分析弄清临界状态出现的条件，并以数学形式表达出来． (3)选择物理规律：当确定了物体运动的临界状态和临界条件后，要分别对不同的运动过程或现象，选择相对应的物理规律，然后列方程求解．
例1 如图8所示，高速公路转弯处弯道圆半径
R ＝100 m ，汽车轮胎与路面间的动摩擦因数μ＝.
最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，若路面是水平
的，问汽车转弯时不发生径向滑动(离心现象)所
允许的最大速率v m 为多大？当超过v m 时，将会出
现什么现象？(g ＝9.8 m/s 2
)
解析 在水平路面上转弯，向心力只能由静摩擦
力提供，设汽车质量为m ，则f m ＝μmg ，则有m v 2m R
＝μmg ，v m ＝μgR ，代入数据可得v m ≈15 m/s ＝54 km/h.当汽车的速度超过54 km/h 时，需要
的向心力m v 2
R
大于最大静摩擦力，也就是说提供
的合外力不足以维持汽车做圆周运动所需的向心力，汽车将做离心运动，严重的将会出现翻车事故．
答案 54 km/h 汽车做离心运动或出现翻车事故
2．[相对滑动的临界问题](2014·新课标全国Ⅰ·20)(多选)如图6所示，两个质量均为m 的小木块a 和b (可视为质点)放在水平圆盘上，a 与转轴OO ′的距离为l ，b 与转轴的距离为2l ，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k 倍，重力加速度大小为g .若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是( )
图6
A．b一定比a先开始滑动B．a、b所受的摩擦力始终相等
C．ω＝kg
2l
是b开始滑动的临界角速度
D．当ω＝2kg
3l
时，a所受摩擦力的大小为kmg
解析小木块a、b做圆周运动时，由静摩擦力提供向心力，即f＝mω2R.当角速度增加时，静摩擦力增大，当增大到最大静摩擦力时，发生相对滑动，对木块a：f a＝mω2a l，当f a＝kmg时，
kmg＝mω2a l，ωa＝kg
l
；对木块b：f b＝
mω2b·2l，当f b＝kmg时，kmg＝mω2b·2l，ωb
＝kg
2l
，所以b先达到最大静摩擦力，选项A
正确；两木块滑动前转动的角速度相同，则f a＝mω2l，f b＝mω2·2l，f a ＝ kg 2l 时b刚开始滑动，选项C正确；当ω＝2kg 3l 时，a没有滑动，则f a＝mω2l＝ 2 3 kmg，选 项D错误． 答案AC 3．[接触与脱离的临界问题]如图8所示，用一根长为l＝1 m的细线，一端系一质量为m＝1 kg 的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ＝37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为F T.(g取10 m/s2，结果可用根式表示)求： 图8 (1)若要小球刚好离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？ (2)若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω′为多大？ 解析(1)若要小球刚好离开锥面，则小球只受到重力和细线的拉力，受力分析如图所示．小球做匀速圆周运动的轨迹圆在水平面上，故向心力水平，在水平方向运用牛顿第二定律及向心力公式得： mg tan θ＝mω20l sin θ解得：ω20＝ g l cos θ 即ω0＝ g l cos θ ＝ 5 2 2 rad/s. (2)同理，当细线与竖直方向成60°角时，由牛顿第二定律及向心力公式得：mg tan α＝mω′2l sin α 解得：ω′2＝ g l cos α ，即ω′＝ g l cos α ＝2 5 rad/s. 二：竖直面内圆周运动的临界问题 1．在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动到轨道最高点时的受力情况可分为两类：一是无支撑(如球与绳连接、沿内轨道运动的过山车等)，称为“绳(环)约束模型”，二是有支撑(如球与杆连接、在弯管内的运动等)，称为“杆(管)约束模型”． 2 10．[过山车的分析](多选)如图9所示甲、乙、丙、丁是游乐场中比较常见的过山车，甲、乙两图的轨道车在轨道的外侧做圆周运动，丙、丁两图的轨道车在轨道的内侧做圆周运动，两种过山车都有安全锁(由上、下、侧三个轮子组成)把轨道车套在了轨道上，四个图中轨道的半径都为R，下列说法正确的是( ) 图9 A．甲图中，当轨道车以一定的速度通过轨道最高点时，座椅一定给人向上的力 B．乙图中，当轨道车以一定的速度通过轨道最低点时，安全带一定给人向上的力 C．丙图中，当轨道车以一定的速度通过轨道最低点时，座椅一定给人向上的力 D ．丁图中，轨道车过最高点的最小速度为gR 解析 在甲图中，当速度比较小时，根据牛顿第 二定律得，mg －F N ＝m v 2 R ，即座椅给人施加向上的 力，当速度比较大时，根据牛顿第二定律得，mg ＋F N ＝m v 2 R ，即座椅给人施加向下的力，故A 错误； 在乙图中，因为合力指向圆心，重力竖直向下，所以安全带给人一定是向上的力，故B 正确；在丙图中，当轨道车以一定的速度通过轨道最低点时，合力方向向上，重力竖直向下，则座椅给人的作用力一定竖直向上，故C 正确；在丁图中，由于轨道车有安全锁，可知轨道车在最高点的最小速度为零，故D 错误． 答案 BC 11.[杆模型分析](2014·新课标Ⅱ·17)如图10所示，一质量为M 的光滑大圆环，用一细轻杆固定在竖直平面内；套在大环上质量为m 的小环(可视为质点)，从大环的最高处由静止滑下．重力加速度大小为g .当小环滑到大环的最低点时，大环对轻杆拉力的大小为( ) 图10 A ．Mg －5mg B ．Mg ＋mg C ．Mg ＋5mg D ．Mg ＋10mg 解析 设大环半径为R ，质量为m 的小环下滑过 程中遵守机械能守恒定律，所以12 mv 2 ＝mg ·2R . 小环滑到大 环的最低点时的速度为v ＝2gR ，根据牛顿第二 定律得F N －mg ＝mv 2 R ，所以在最低点时大环对小环 的支持力F N ＝mg ＋mv 2 R ＝5mg .根据牛顿第三定律 知，小环对大环的压力F N ′＝F N ＝5mg ，方向向下．对大环，据平衡条件轻杆对大环的拉力T ＝Mg ＋F N ′＝Mg ＋5mg .根据牛顿第三定律，大环对轻杆拉力的大小为T ′＝T ＝Mg ＋5mg ，故选项C 正确，选项A 、B 、D 错误． 答案 C 圆周运动中的临界问题和周期性问题 一、圆周运动问题的解题步骤： 1、确定研究对象 2、画出运动轨迹、找出圆心、求半径 3、分析研究对象的受力情况，画受力图 4、确定向心力的来源 5、由牛顿第二定律r T m r m r v m ma F n n 222)2(π ω====……列方程求解 二、临界问题常见类型： 1、按力的种类分类： （1）、与弹力有关的临界问题：接触面间的弹力：从有到无,或从无到有 绳子的拉力：从无到有，从有到最大，或从有到无 （2）、与摩擦力有关的弹力问题：从静到动，从动到静，临界状态下静摩擦力达到最大静摩擦 2、按轨道所在平面分类： （1）、竖直面内的圆周运动 （2）、水平面内的圆周运动 三、竖直面内的圆周运动的临界问题 1、单向约束之绳、外轨道约束下的竖直面内圆周运动临界问题： 特点：绳对小球，轨道对小球只能产生指向圆心的弹力 ① 临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用： mg=mv 2/R →v 临界=Rg （可理解为恰好转过或恰好转不过的速度） 即此时小球所受重力全部提供向心力 ②能过最高点的条件：v ≥Rg ，当v ＞Rg 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力． ③不能过最高点的条件：v ＜V 临界（实际上球还没到最高点时就脱离了轨道做斜抛运动） 例1、绳子系着装有水的木桶，在竖直面内做圆周运动，水的质量m=0.5kg ，绳子长度为l=60cm ，求：（g 取10m/s 2） A 、最高点水不留出的最小速度？ B 、设水在最高点速度为V=3m/s ，求水对桶底的压力？ 答案：（1）s m /6 （2）2.5N 变式1、如图所示，一质量为m 的小球，用长为L 细绳系住，使其在竖直面内作圆周运动.(1)若过小球恰好能通过最高点，则小球在最高点和最低点的速度分别是多少？小球的受力情况分别如何？(2)若小球在最低点受到绳子的拉力为10mg ，则小球在最高点的速度及受到绳子的拉力是多少？ 2、单向约束之内轨道约束下（拱桥模型）的竖直面内圆周运动的临界问题： 汽车过拱形桥时会有限速，是因为当汽车通过半圆弧顶部时的速度 gr v =时，汽车对弧顶的压力FN=0，此时汽车将脱离桥面做平抛运动， 因为桥面不能对汽车产生拉力． 例2、半径为 R 的光滑半圆球固定在水平面上，顶部有一小物体， 如图所示。今给小物体一个水平初速度0v = ） A.沿球面下滑至 M 点 B.先沿球面下滑至某点Ｎ，然后便离开斜面做斜下抛运动 Ｃ.按半径大于 R 的新的圆弧轨道做圆周运动 D.立即离开半圆球做平抛运动 3、双向约束之轻杆、管道约束下的竖直面内圆周运动的临界问题 物体(如小球)在轻杆作用下的运动，或在管道中运动时，随着速度的变化，杆或管道对其弹力发生变化．这里的弹力可以是支持力，也可以是压力，即物体所受的弹力可以是双向的，与轻绳的模型不同．因为绳子只能提供拉力，不能提供支持力；而杆、管道既可以提供拉力，又可以提供支持力；在管道中运动，物体速度较大时可对上壁产生压力，而速度较小时可对下壁产生压力．在弹力为零时即出现临界状态． （一）轻杆模型 如图所示，轻杆一端连一小球，在竖直面内作圆周运动． (1)能过最高点的临界条件是：0v =．这可理解为恰好转过或恰好不能转过最高点的临界条件，此时支持力mg N =． (2) 当0v << mg N <<0，N 仍为支持力，且N 随v 的增大而减小， 圆周运动的临界问题 1.圆周运动中的临界问题的分析方法 首先明确物理过程，对研究对象进行正确的受力分析，然后确定向心力，根据向心力公式列出方程，由方程中的某个力的变化与速度变化的对应关系，从而分析找到临界值． 2.竖直平面内作圆周运动的临界问题 竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动。一般情况下，只讨论最高点和最低点的情况，常涉及过最高点时的临界问题。 １．“绳模型”如图6-11-1所示，小球在竖直平面内做圆周运动过最高点情况。 （注意：绳对小球只能产生拉力） （1）小球能过最高点的临界条件：绳子和轨道对小球刚好没有力的作用 mg =2 v m R v 临界 （2）小球能过最高点条件：v （当v （3）不能过最高点条件：v （实际上球还没有到最高点时，就脱离了轨道） ２．“杆模型”如图6-11-2所示，小球在竖直平面内做圆周运动过最高点情况 （注意：轻杆和细线不同，轻杆对小球既能产生拉力，又能产生推力。） （1）小球能最高点的临界条件：v = 0，F = mg （F 为支持力） （2）当0< v F 随v 增大而减小，且mg > F > 0（F 为支持力） （3）当v 时，F =0 （4）当v F 随v 增大而增大，且F >0（F 为拉力） 注意：管壁支撑情况与杆一样。杆与绳不同，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力． 由于两种模型过最高点的临界条件不同，所以在分析问题时首先明确是哪种模型，然后再利用条件讨论． （3）拱桥模型 如图所示，此模型与杆模型类似，但因可以离开支持面，在最高点当物体速度达v =rg 时，F N =0，物体将飞离最高点做平抛运动。若是从半圆顶点飞出，则水平位移为s = 2R 。 a b 图6-11-2 b 圆周运动的实例及临界问题 一、汽车过拱形桥 1．汽车在拱形桥最高点时，向心力：F 合＝ mg －N ＝m v 2 R . 支持力：N ＝mg －mv 2 R ＜mg ，汽车处于失重状 态． 2．汽车对桥的压力N ′与桥对汽车的支持N 是一对相互作用力，大小相等，所以汽车通过最高点时的速度越大，汽车对桥面的压力就越小． 例1 一辆质量m ＝2 t 的轿车，驶过半径R ＝90 m 的一段凸形桥面，g ＝10 m/s 2 ，求： (1)轿车以10 m/s 的速度通过桥面最高点时，对桥面的压力是多大？ (2)在最高点对桥面的压力等于轿车重力的一半时，车的速度大小是多少？ 解析 (1)轿车通过凸形桥面最高点时，受力分析如图所示： 合力F ＝mg －N ，由向心力公式得mg －N ＝m v 2 R ，故 桥面的支持力大小N ＝mg －m v 2R ＝(2 000×10－2 000×102 90) N ≈×104 N 根据牛顿第三定律，轿车在桥面最高点时对桥面压力的大小为×104 N. (2)对桥面的压力等于轿车重力的一半时，向心力F ′＝mg －N ′＝，而F ′＝m v ′2R ，所以此时轿 车的速度大小v ′＝错误!＝错误! m/s ≈21.2 m/s 答案 (1)×104 N (2)21.2 m/s 二、圆锥摆模型 1．运动特点：人及其座椅在水平面内做匀速圆周运动，悬线旋转形成一个圆锥面． 图1 2．运动分析：将“旋转秋千”简化为圆锥 摆模型(如图1所示) (1)向心力：F 合＝mg tan_α (2)运动分析：F 合＝mω2r ＝mω2 l sin α (3)缆绳与中心轴的夹角α满足cos α＝ g ω2l . 图6 例2 如图6所示，固定的锥形漏斗内壁是光滑的，内壁上有两个质量相等的小球A 和B ，在各自不同的水平面做匀速圆周运动，以下物理量大小关系正确的是( ) A ．速度v A ＞v B B ．角速度ωA ＞ωB C ．向心力F A ＞F B D ．向心加速度a A ＞a B 解析 设漏斗的顶角为2θ，则小球的合力为F 合 ＝mg tan θ，由F ＝F 合＝mg tan θ＝mω2 r ＝m v 2 r ＝ma ，知向心力F A ＝F B ，向心加速度a A ＝a B ，选项C 、D 错误；因r A ＞r B ，又由v ＝ gr tan θ 和ω＝ g r tan θ 知v A ＞v B 、ωA ＜ωB ，故A 对，B 错． 答案 A 三、火车转弯 1．运动特点：火车转弯时做圆周运动，具有向心加速度，需要向心力． 2．铁路弯道的特点：转弯处外轨略高于内轨，铁轨对火车的支持力斜向弯道的内侧，此支 持力与火车所受重力的合力指向圆心，为火车转弯提供了一部分向心力． 例3 铁路在弯道处的内、外轨道高度是不 同的，已知内、外轨道平面与水平面的夹角为θ， 如图7所示，弯道处的圆弧半径为R ，若质量为m 的火车转弯时速度等于gR tan θ，则( ) A ．内轨对内侧车轮轮缘有挤压 B ．外轨对外侧车轮轮缘有挤压 C ．这时铁轨对火车的支持力等于mg cos θ D ．这时铁轨对火车的支持力大于mg cos θ 1 圆周运动的临界问题 一 ．与摩擦力有关的临界极值问题 物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最 大静摩擦力，如果只是摩擦力提供向心力，则有F m ＝m r v 2 ，静摩 擦力的方向一定指向圆心；如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连物体，其中一个在水平面上做圆周运动时，存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心。 二 与弹力有关的临界极值问题 压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零；绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等。 【典例1】 (多选)(2014·新课标全国卷Ⅰ，20) 如图1，两个质量均为m 的小木块a 和b ( 可视为质点 )放在水平圆盘上，a 与转轴OO′的距离为l ，b 与转轴的距离为2l ，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k 倍，重力加速度大小为g 。若圆盘从静止 开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是 ( ) A ．b 一定比a 先开始滑动 B ．a 、b 所受的摩擦力始终相等 C ．ω＝ l kg 2是b 开始滑动的临界角速度 D ．当ω＝l kg 32 时，a 所受摩擦力的大小为kmg 答案 AC 解析 木块a 、b 的质量相同，外界对它们做圆周运动提供的最大向心力，即最大静摩擦力F f m ＝km g 相同。 它们所需的向心力由F 向＝mω2r 知，F a < F b ，所以b 一定比a 先开始滑动，A 项正确；a 、b 一起 2 绕转轴缓慢地转动时，F 摩＝mω2r ，r 不同，所受的摩擦力不同，B 项错；b 开始滑动时有kmg ＝mω2·2l ，其临界角速度为ωb ＝ l kg 2 ，选项C 正确；当ω ＝l kg 32时，a 所受摩擦力大小为F f ＝mω2 r ＝3 2 kmg ，选项D 错误 【典例2】 如图所示，水平杆固定在竖直杆上，两者互相垂直，水平杆上O 、A 两点连接有两轻绳，两绳的另一端都系在质量为m 的小球上，OA ＝OB ＝AB ，现通过转动竖直杆，使水平杆在水平面内做匀速圆周运动，三角形OAB 始终在竖直平面内，若转动过程OB 、AB 两绳始终处于拉直状态，则下列说法正确的是( ) A ．O B 绳的拉力范围为 0～3 3 mg B ．OB 绳的拉力范围为 33mg ～3 32mg C ．AB 绳的拉力范围为 33mg ～3 32mg D ．AB 绳的拉力范围为0～3 3 2mg 答案 B 解析 当转动的角速度为零时，OB 绳的拉力最小，AB 绳的拉力最大，这时两者的值相同，设为F 1，则2F 1cos 30°＝mg ， F 1＝ 3 3 mg ，增大转动的角速度，当AB 绳的拉力刚好等于零时，OB 绳的拉力最大，设这时OB 绳的拉力为F 2，则F 2cos 30°＝mg ，F 2 ＝ 332mg ，因此OB 绳的拉力范围为33mg ～3 3 2mg ，AB 绳 第3．5节 圆周运动的应用 答案 例题2： 练1：解析：要使悬线碰钉后小球做完整的圆周运动，须使小球到达以P 点为圆心的圆周最高点M ，当刚能到达最高点M 时，小球只受重力mg 作用，此时悬线 拉力为零，即有mg =m R v 2 min ，其中R 为以P 点为圆心的圆周的半径，v min 为小球到达M 点的最小速度，而根据机械能守恒定律，有mg （L －2R ）=2 1mv min 2 联立解得R =52L ，此为小球以P 点为圆心的最大半径，所以OP =L －R =53L 为OP 间的最小距离. 故OP 段的最小距离是5 3L . 例题3：解析】 两根绳张紧时，小球受力如图4－3－7所示，当ω由0逐渐增大时，ω可能出现以下两个临界值． (1)BC 恰好拉直，但F 2仍然为零，设此时的角速度为ω1，则有F 1sin30°＝m ω12L sin30° F 1cos30°＝mg 代入数据解得ω1＝2.4 rad/s. (2)AC 由拉紧转为恰好拉直，但F 1已为零，设此时的角速度为ω2，则有F 2sin45°＝m ω22LBC sin45° F2cos45°＝mg 代入数据解得ω2＝3.16 rad/s 可见，要使两绳始终张紧，ω必须满足2.4 rad/s≤ω≤3.16 rad/s. 【答案】 2.4 rad/s≤ω≤3.16 rad/s 练2：D 练3：解析：要使B静止，A必须相对于转盘静止——具有与转盘相同的角速度．A 需要的向心力由绳的拉力和静摩擦力的合力提供．角速度取最大值时，A有离心趋势，静摩擦力指向圆心O；角速度取最小值时，A有向心运动的趋势，静摩擦力背离圆心O. 对于B：F T＝mg 对于A：F T＋Ff＝Mrω12 或F T－Ff＝Mrω22 代入数据解得 ω1＝6.5 rad/s，ω2＝2.9 rad/s 所以2.9 rad/s≤ω≤6.5 rad/s. 答案：2.9 rad/s≤ω≤6.5 rad/s 第 1 页 图 4 圆周运动中的临界问题 1、在竖直平面内作圆周运动的临界问题 ⑴如图1、图2所示，没有物体支承的小球，在竖直平面作圆周运动过最高点的情 况 ① 临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用 v 临界＝ Rg ② 能过最高点的条件：v ≥ Rg ，当 v > Rg 时，绳对球产生拉力，轨道对球产 生压力。 ③ 不能过最高点的条件：v 例 2 长度为L ＝0.5m 的轻质细杆OA，A 端有一质量为m＝ 3.0kg 的小球，如图 5 所示，小球以O 点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是 2.0m／s， g 取10m ／s2，则此时细杆OA 受到（） A、6.0N 的拉力 B、6.0N 的压力 C、24N 的拉力 D、24N 的压力 例3 长L＝0.5m，质量可以忽略的的杆，其下端固定于O 点，上端 图5 连接着一个质量m＝2kg 的小球A，A 绕O 点做圆周运动（同图5）， 在 A 通过最高点，试讨论在下列两种情况下杆的受力： ①当 A 的速率v1＝1m／s 时 ②当 A 的速率v2＝4m／s 时 2、在水平面内作圆周运动的临界问题 在水平面上做圆周运动的物体，当角速度ω变化时，物体有远离或向着圆心运动的（半径有变化）趋势。这时，要根据物体的受力情况，判断物体受某个力是否存在以及这个力 存在时方向朝哪（特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等）。 例 4 如图 6 所示，两绳系一质量为m ＝0.1kg 的小球，上面绳长L ＝2m ，两端都拉直时与轴的夹角分别为30 °与45 °，问球的角速度在 什么范围内，两绳始终张紧，当角速度为 3 rad／s 时，上、下两绳拉力分 别为多大？ 图6 《圆周运动中的临界问题》教学设计 一、教材分析 圆周运动的临界问题继是人教版高中《物理》必修2第五章的内容。在此之前，学生已经学习了直线运动的相关内容，和曲线运动的基本知识，自然界和日常生活中运动轨迹为圆周的许多事物也为学生的认知奠定了感性基础，本节课主要是帮助学生在原有的感性基础上进一步认识圆周运动，为今后学习万有引力等知识打下基础。 二、学情分析 高一（14）班是二层次班级，学生基础、领会能力相对较弱。不过学生已经学习了圆周运动、向心加速度、向心力等圆周运动的相关知识，已基本了解和掌握了圆周运动的特点和规律，对圆周运动的临界问题的学习已打下了基础。 三、学习目标 1.通过学生讨论，小组合作，老师引导，让学生进一步熟练圆周运动问 题的解题步骤； 2.通过学生讨论，小组合作，老师讲解，达到知道临界状态的目标； 3.通过学生讨论，小组合作，老师讲解，达到知道圆周运动中的临界问 题，并能正确解题的目标。 四、教学重难点 1.重点 a圆周运动问题的解题步骤 b 竖直水平圆周运动的临界状态 c 运用所学知识解决圆周运动中的临界问题 2.难点 a 竖直水平圆周运动的临界状态 b 运用所学知识解决圆周运动中的临界问题 五、导入 播放视频—电唱机做匀速圆周运动，创设情境，导入新课 六、教学设计 (一)预习案 1.公式默写 角速度： 2v t T r θπ ω=== 线速度： 运行周期： 向心加速度： 向心力： 复习巩固 (二) 探究案 1. 圆周运动问题的解题步骤 例、例. 如图所示，半径为R 的圆筒绕竖直中心轴 OO ′转动， 小物块A 靠在圆筒的内壁上，它与圆筒的动摩擦因数为μ，现要 使A 不下落，则圆筒转动的角速度ω至少为（ D ） 2s r v r t T πω===22r T v ππω==22222222444n v r a r v n r f r r T πωωππ======22 222222444n n v F ma m m r m v mr n mr f mr r T πωωππ====== = 圆周运动的临界问题 【例1】如图所示，质量为0.1kg 的木桶内盛水0.4kg ，用50cm 的绳子系桶，使它在竖直面内做圆周运动。如图通过最高点为9m/s ，求绳子的拉力和水对桶底的 压力。（g 取10N/kg ） 【答案】拉力105N 方向向下 压力84N ，方向向下 【练习1】如图甲所示，一长为l 的轻绳，一端穿在过O 点的水平转轴上，另一端固定一质量未知的小球，整个装置绕O 点在竖直面内转动．小球通过最高点时，绳对小球的拉力F 与其速度平方v 2的关系如图乙所示，重力加速度为g ，下列判断正确的是 A ．图象函数表达式为mg l v m F +=2 B ．重力加速度l b g = C ．绳长不变，用质量较小的球做实验，得到的图线斜率更大 D ．绳长不变，用质量较小的球做实验，图线B 点的位置不变 答案:BD 【例2】如图所示，水平转盘的中心有个竖直小圆筒，质量为m 的物体A 放在 转盘上，A 到竖直筒中心的距离为r .物体A 通过轻绳、无摩擦的滑轮与物体B 相连，B 与A 质量相同.物体A 与转盘间的最大静摩擦力是正压力的μ倍，则转盘转动的角速度在什么范围内，物体A 才能随盘转动. 【正解】由于A 在圆盘上随盘做匀速圆周运动，所以它所受的合外力必然指向圆心，而其中重力、支持力平衡，绳的拉力指向圆心，所以A 所受的摩擦力的方向一定沿着半径或指向圆心，或背离圆心. 当A将要沿盘向外滑时，A所受的最大静摩擦力指向圆心，A的向心力为绳的拉力与最大静摩擦力的合力.即 F＋F m′＝m21ωr ① 由于B静止，故 F＝mg ② 由于最大静摩擦力是压力的μ倍，即 F m′＝μF N＝μmg ③ 由①②③式解得ω1＝r （μ+ g/） 1 当A将要沿盘向圆心滑时，A所受的最大静摩擦力沿半径向外，这时向心力为 ωr ④ F－F m′＝m2 2 由②③④式解得ω2＝r （μ-要使A随盘一起转动，其角速度ω应满足 1 g/） -≤ω≤r 1 （μ + g/） r （μ g/） 1 【思维提升】根据向心力公式解题的关键是分析做匀速圆周运动物体的受力情况，明确哪些力提供了它所需要的向心力. 【例3】如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放置用长L=0.1m 的细线相连接的A、B两小物块．已知A距轴心O的距离r l =0.2m，A、B的质量均为m =1kg，它们与盘面间相互作用的摩擦力最大值为其重力的0.3倍（g 取10m/s2)．试求： ω为多大？ （1）当细线刚要出现拉力时，圆盘转动的角速度 （2）当A、B与盘面间刚要发生相对滑动时，细线受到的拉力为多大？ 【练习2】如图所示，两物块A、B套在水平粗糙的CD杆上，并用不可伸长的轻绳连接，整个装置能绕过CD中点的轴OO'转动，已知两物块质量相等，杆CD对物块A、B的最大静摩擦力大小相等，开始时绳子处于自然长度（绳子恰好伸直但无弹力），物块A到OO'轴的距离为物块B到OO'轴距离的两倍。现让该装置从静止开始转动，使转速逐渐增大，在从绳子处于自然长度到两物块A、B即将滑动的过程中，下列说法正确的是（）A．B受到的静摩擦力一直增大 B．B受到的静摩擦力是先增大后减小 C．A受到的静摩擦力是先增大后减小 D．A受到的合外力一直在增大 答案：D 《圆周运动中的临界问题》教学设计 高一物理组龙 一、教材分析 圆周运动的临界问题继是人教版高中《物理》必修2第五章的内容。在此之前，学生已经学习了直线运动的相关内容，和曲线运动的基本知识，自然界和日常生活中运动轨迹为圆周的许多事物也为学生的认知奠定了感性基础，本节课主要是帮助学生在原有的感性基础上进一步认识圆周运动，为今后学习万有引力等知识打下基础。 二、学情分析 高一（14）班是二层次班级，学生基础、领会能力相对较弱。不过学生已经学习了圆周运动、向心加速度、向心力等圆周运动的相关知识，已基本了解和掌握了圆周运动的特点和规律，对圆周运动的临界问题的学习已打下了基础。 三、学习目标 1. 通过学生讨论，小组合作，老师引导，让学生进一步熟练圆周运动问题的解题步骤； 2. 通过学生讨论，小组合作，老师讲解，达到知道临界状态的目标； 3. 通过学生讨论，小组合作，老师讲解，达到知道圆周运动中的临界问题，并能正确解题的目标。 四、教学重难点 1. 重点 a圆周运动问题的解题步骤 b 竖直水平圆周运动的临界状态 c 运用所学知识解决圆周运动中的临界问题 2. 难点 a竖直水平圆周运动的临界状态 b 运用所学知识解决圆周运动中的临界问题 五、导入 播放视频—电唱机做匀速圆周运动，创设情境，导入新课六、教学设计 (一) 预习案 1.公式默写 角速度： 线速度： 运行周期： 向心加速度： 向心力： 复习巩固 (二) 探究案 1.圆周运动问题的解题步骤 例、例. 如图所示，半径为R的圆筒绕竖直中心轴OO′转动，小物块A靠在圆筒的内壁上，它与圆筒的动摩擦因数为μ，现要使A不下落，则圆筒转动的角速度ω至少为（ D ） 小组讨论，得出结果，并归纳总结出圆周运动解题步骤。 解：A物体不下落，说明静摩擦力等于重力，A随着转动过程中，支持力提供向心力 即 且 联立解得 v1.0 可编辑可修改 圆周运动的实例及临界问题 一、汽车过拱形桥 1．汽车在拱形桥最高点时，向心力：F 合＝ mg －N ＝m v 2 R . 支持力：N ＝mg －mv 2 R ＜mg ，汽车处于失重状 态． 2．汽车对桥的压力N ′与桥对汽车的支持N 是一对相互作用力，大小相等，所以汽车通过最高点时的速度越大，汽车对桥面的压力就越小． 例1 一辆质量m ＝2 t 的轿车，驶过半径R ＝90 m 的一段凸形桥面，g ＝10 m/s 2 ，求： (1)轿车以10 m/s 的速度通过桥面最高点时，对桥面的压力是多大 (2)在最高点对桥面的压力等于轿车重力的一半时，车的速度大小是多少 解析 (1)轿车通过凸形桥面最高点时，受力分析如图所示： 合力F ＝mg －N ，由向心力公式得mg －N ＝m v 2 R ，故 桥面的支持力大小N ＝mg －m v 2 R ＝(2 000×10－2 000×102 90 ) N ≈×104 N 根据牛顿第三定律，轿车在桥面最高点时对 桥面压力的大小为×104 N. (2)对桥面的压力等于轿车重力的一半时，向心 力F ′＝mg －N ′＝，而F ′＝m v ′2 R ，所以此时轿 车的速度大小v ′＝错误!＝错误! m/s ≈21.2 m/s 答案 (1)×104 N (2)21.2 m/s 二、圆锥摆模型 1．运动特点：人及其座椅在水平面内做匀速圆周运动，悬线旋转形成一个圆锥面． 图1 2．运动分析：将“旋转秋千”简化为圆锥摆模型(如图1所示) (1)向心力：F 合＝mg tan_α (2)运动分析：F 合＝mω2r ＝mω2 l sin α (3)缆绳与中心轴的夹角α满足cos α＝ g ω2l . 图6 例2 如图6所示，固定的锥形漏斗内壁是光滑的，内壁上有两个质量相等的小球A 和B ，在各自不同的水平面做匀速圆周运动，以下物理量大小关系正确的是( ) A ．速度v A ＞v B 【二】重难点提示： 重点： 1. 掌握水平面内圆周运动向心力的来源； 2. 会用极限法分析临界条件。 难点：会根据状态的变化判断弹力和静摩擦力的大小及方向变化。 【一】水平面内圆周运动临界产生原因 1. 从运动学角度：物体做圆周运动的角速度过大，所需要的向心力过大，物体所受合外力的径向分力不足会出现临界。 2. 从动力学角度：外界提供的最大的径向合外力存在最大值或最小值，这就决定了物体做圆周运动的速度就有最大值或最小值，因此出现临界。 【二】水平面内圆周运动的两种模型 1. 圆台转动类 小物块放在旋转圆台上，与圆台保持相对静止，如下图，物块与圆台间的动摩擦因数为μ，离轴距离为R，圆台对小物块的静摩擦力〔设最大静摩擦力等于滑动摩擦力〕提供小物块做圆周运动所需的向心力。水平面 内，绳拉小球在圆形轨道上运动等问题均可归纳为〝圆台转动类〞。 g ，当ω<ωmax时， 临界条件：圆台转动的最大角速度ωmax＝ R 小物块与圆台保持相对静止；当ω>ωmax时，小物块脱离圆台轨道。 以下图均为平台转动类 甲乙丙 2. 火车拐弯类 如下图，火车拐弯时，在水平面内做圆周运动，重力mg和轨道支持力N的合力F提供火车拐弯时所需的向心力。圆锥摆、汽车转弯等问题均可归纳为〝火车拐弯类〞。 临界条件：假设v ＝θtan gr ，火车拐弯时，既不挤压内轨也不挤压外轨； 假设v>θtan gr ，火车拐弯时，车轮挤压外轨，外轨反作用于车轮的力的水平分量与F 之和提供火车拐弯时所需的向心力；假设v ＜θtan gr ，火车拐弯时，车轮挤压内轨，内轨反作用于车轮的力的水平分量与F 之差提供火车拐弯时所需的向心力。 火车转弯问题类变形： 1 2 3 4 5 【方法指导】临界问题解题思路 1. 确定做圆周运动的物体作为研究对象。 2. 确定做圆周运动的轨道平面、圆心位置和半径。 3. 对研究对象进行受力分析。哪些力存在临界？〔摩擦力、弹力〕 4. 运用平行四边形定那么或正交分解法〔取向心加速度方向为正方向〕求出向心力F 。 5. 根据向心力公式，选择一种形式列方程求解。 例题1 如下图，半径为4 l 、质量为m 的小球用两根不可伸长的轻绳a 、b 连接，两轻绳的另一端系在一根竖直杆的A 、B 两点上，A 、B 两点相距为l ，当两轻绳伸直后，A 、B 两点到球心的距离均为l 。当竖直杆以自己为轴转动并达到稳定时〔细绳a 、b 与杆在同一竖直平面内〕。求： 〔1〕竖直杆角速度ω为多大时，小球恰离开竖直杆。 〔2〕小球离开竖直杆轻绳a 的张力Fa 与竖直杆转动的角速度ω之间的关系。 思路分析：〔1〕小球恰离开竖直杆时，小球与竖直杆间的作用力为零，此时轻绳a 与竖直杆间的夹角为α，由题意可知sin α＝41，r ＝ 4 l 沿半径：Fasin α＝m ω2r 垂直半径：Facos α＝mg 联立解得ω＝2 l g 15 1 〔2〕由〔1〕可知小球恰离开竖直杆时，Fa ＝ 15 4mg 圆周运动中的临界问题 一、水平面内圆周运动的临界问题 关于水平面内匀速圆周运动的临界问题,涉及的就是临界速度与临界力的问题,具体来说,主要就是与绳的拉力、弹簧的弹力、接触面的弹力与摩擦力有关。 1、与绳的拉力有关的临界问题 例1 如图1示,两绳系一质量为kg m 1.0=的小球, 上面绳长m l 2=,两端都拉直时与轴的夹角分别为 o 30与o 45,问球的角速度在什么范围内,两绳始终张紧, 当角速度为s rad /3时,上、下两绳拉力分别为多大？ 2、因静摩擦力存在最值而产生的临界问题 例2 如图2所示,细绳一端系着质量为kg M 6.0= 的物体,静止在水平面上,另一端通过光滑小孔吊着 质量为kg m 3.0=的物体,M 的中心与圆孔距离为m 2.0, 并知M 与水平面间的最大静摩擦力为N 2,现让此平面 绕中心轴匀速转动,问转动的角速度ω满足什么条件 可让m 处于静止状态。(2/10s m g =) 3、因接触面弹力的有无而产生的临界问题 二、竖直平面内圆周运动的临界问题 对于物体在竖直平面内做变速圆周运动,中学物理中只研究物体通过最高点与最低点的情况,并且也经常会出现临界状态。 1、轻绳模型过最高点 如图所示,用轻绳系一小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况,与小球在竖直平面内光滑轨道内侧做圆周运动过最到点的情况相似,都属于无支撑的类型。 临界条件:假设小球到达最高点时速度为0v ,此时绳子的拉力(轨道的弹力)刚好等于零,小球的重力单独提供其做圆周运动的向心力,即 r v m mg 2 0=,gr v =0,式中的0v 就是小球过最高点的最小速度,即过最高点的临界速度。 (1)0v v = (刚好到最高点,轻绳无拉力) C 图1 图2 课题28圆周运动中的临界问题 一、竖直面内圆周运动的临界问题 (1)如图所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面做圆周运动过最高点的情况： 特点：绳对小球，轨道对小球只能产生指向圆心的弹力 ① 临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用： mg=mv 2/R →v 临界=Rg （可理解为恰好转过或 恰好转不过的速度） 即此时小球所受重力全部提供向心力 注意：如果小球带电，且空间存在电、磁场时，临界条件应是小球重力、电场力和洛伦兹力的合力提供向心力，此时临界速度V 临≠ Rg ②能过最高点的条件：v ≥Rg ，当v ＞Rg 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力． ③不能过最高点的条件：v ＜V 临界（实际上球还没到最高点时就脱离了轨道做斜抛运动） 【例题1】如图所示，半径为R 的竖直光滑圆轨道内侧底部静止着一个光滑小球，现给小球一个冲击使其在瞬时得到一个水平初速v 0，若v 0≤gR 3 10，则有关小球能够上升到最大高 度（距离底部）的说法中正确的是（ ） A 、一定可以表示为g v 220 B 、可能为3 R C 、可能为R D 、可能为 3 5R 【延展】汽车过拱形桥时会有限速，也是因为当汽车通过半圆弧顶部时的速度 gr v 时，汽车对弧顶的压力F N =0，此时汽车将脱离桥面做平抛运动，因为 桥面不能对汽车产生拉力． （2）如右图所示，小球过最高点时，轻质杆（管）对球产生的弹力情况： 特点：杆与绳不同，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力． ①当v ＝0时，F N ＝mg （N 为支持力） ②当 0＜v ＜Rg 时， F N 随v 增大而减小，且mg ＞F N ＞0，F N 为支持力． ③当v =Rg 时，F N ＝0 ④当v ＞Rg 时，F N 为拉力，F N 随v 的增大而增大（此时F N 为拉力，方向指向圆心） 典例讨论 1.圃周运动中临界问题分析，应首先考虑达到临界条件时物体所处的状态，然后分析该状态下物体的受力特点．结合圆周运动的知识，列出相应的动力学方程 【例题2】在图中，一粗糙水平圆盘可绕过中心轴OO / 旋转，现将轻质弹簧的一端固定 O O R R 圆周运动中的临界问题 1、在竖直平面内作圆周运动的临界问题 ⑴如图1、图2所示，没有物体支承的小球，在竖直平面作圆周运动过最高点的情况 ①临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用 v 临界＝Rg ②能过最高点的条件：v ≥Rg ，当v ＞Rg 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力。 ③不能过最高点的条件：v ＜v 临界（实际上球没到最高点时就脱离了轨道）。 ⑵如图3所示情形，小球与轻质杆相连。杆与绳不同，它既能产生拉力，也能产生压力 ①能过最高点v 临界＝0，此时支持力N ＝mg ②当0＜v ＜Rg 时，N 为支持力，有0＜N ＜mg ，且N 随v 的增大而减小 ③当v ＝Rg 时，N ＝0 ④当v ＞Rg ，N 为拉力，有N ＞0，N 随v 的增大而增大 例1 （99年高考题）如图4所示，细杆的一端与一小球相连，可绕过O 的水平轴自由转动。现给小球一初速度，使它做圆周运动。图中a 、b 分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球作用力可能是 （ ） A 、a 处为拉力，b 处为拉力 B 、a 处为拉力，b 处为推力 C 、a 处为推力，b 处为拉力 D 、a 处为推力，b 处为推力 图 1 v 0 图 2 图 3 例2 长度为L ＝0.5m 的轻质细杆OA ，A 端有一质量为m ＝3.0kg 的小球，如图5所示，小球以O 点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是2.0m ／s ，g 取10m ／s 2，则此时细杆OA 受到 （ ） A 、6.0N 的拉力 B 、6.0N 的压力 C 、24N 的拉力 D 、24N 的压力 例3 长L ＝0.5m ，质量可以忽略的的杆，其下端固定于O 点，上端连接着一个质量m ＝2kg 的小球A ，A 绕O 点做圆周运动（同图5），在A 通过最高点，试讨论在下列两种情况下杆的受力： ①当A 的速率v 1＝1m ／s 时 ②当A 的速率v 2＝4m ／s 时 2、在水平面内作圆周运动的临界问题 在水平面上做圆周运动的物体，当角速度ω变化时，物体有远离或向着圆心运动的（半径有变化）趋势。这时，要根据物体的受力情况，判断物体受某个力是否存在以及这个力存在时方向朝哪（特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等）。 例4 如图6所示，两绳系一质量为m ＝0.1kg 的小球，上面绳长L ＝2m ，两端都拉直时与轴的夹角分别为30°与45°，问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧，当角速度为3 rad ／s 时，上、下两绳拉力分别为多大？ 图 5 C 图 6 物理圆周运动临界问题 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 在图中，一粗糙水平圆盘可绕过中心轴OO /旋转，现将轻质弹簧的一端固定在圆盘中心，另一端系住一个质量为m 的物块A ，设弹簧劲度系数为k ，弹簧原长为L 。将物块置于离圆心R 处，R ＞L ，圆盘不动，物块保持静止。现使圆盘从静止开始转动，并使转速ω逐渐增大，物块A 相对圆盘始终未滑动。当ω增大到 ω=A 是否受到圆盘的静摩擦力，如果受到静摩擦力，试确定其方向。 如图，直杆上0102两点间距为L ，细线 O 1A ，O 2A 长为L ，A 端小球质量为 均被拉直，杆应以多大的角速度ω转动 如图所示，用细绳一端系着的质量为M =0.6kg 的物体A 光滑小孔O 吊着质量为m =0.3kg 的小球B ，A 的重心到O 点的距离为0.2m ．若A 力为f =2N ，为使小球B 保持静止，求转盘绕中心O 旋转的角速度ω的取值范围．（取 1. 如图所示，物体与圆筒壁的动摩擦因数为μ，圆筒的半径为R 为： A.R g μ B.g μ C. R g D.R g μ 2. 长度为L ＝0.5m 的轻质细杆OA ，A 端有一质量为m ＝ 3.0kg 小球以O 点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是2.0m g 取10m ／s 2，则此时细杆OA 受到 （ ） A. 6.0N 的拉力 B. 的压力 C. 24N 的拉力 D. 24N 的压力 3. 长为L 的细绳，一端系一质量为m 的小球,另一端固定于某点，当绳竖直时小球静止，现给小球一水平初速度v 0，使小球在竖直平面内做圆周运动，并且刚好过最高点，则下列说法中正确的是：（ ） A.小球过最高点时速度为零 B.小球开始运动时绳对小球的拉力为mv 2/r C.小球过最高点时绳对小的拉力mg D.小球过最高点时速度大小为gL 4. 如图所示，长为L 的轻杆一端固定一个小球，另一端固定在光滑水平轴上，使小球在竖直平面内做圆周 运动，关于小球在过最高点的速度υ,下列叙述中正确的是：（ ） A.υ的极小值为gL B. υ由零逐渐增大，向心力也逐渐增大 C.当υ由gL 值逐渐增大时，杆对小球的弹力也逐渐增大 D.当υ由gL 值逐渐减小时，杆对小球的弹力也逐渐增大 5. 如图所示，汽车车厢顶部悬挂一个轻质弹簧，弹簧下端拴一个质量为m 的小球，当汽车以某一速率在水 平地面上匀速行驶时弹簧长度为L 1；当汽车以同一速度匀速率通过一个桥面为圆弧形凸形桥的最高点时，弹簧长度为L 2，下列答案中正确的是( ) 圆周运动中的临界问题 教学目的:会运用受力分析及向心力公式解决圆周运动的临界问题 教学重点:掌握解决圆周运动的两种典型的临界问题 教学难点:会分析判断临界时的速度或受力特征 教学内容 一、 有关概念 1、向心加速度的概念 2、向心力的意义 （由一个力或几个力提供的效果力） 二、内容 1、在竖直平面内作圆周运动的临界问题 （1）如图4－2－2和图4－2－3所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况： v 0 图4－2－2 图4－2－3 ①临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用：mg =m R v 2 v 临界=Rg ②能过最高点的条件：v ≥Rg ，当v ＞Rg 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力； ③不能过最高点的条件：v ＜v 临界（实际上球还没到最高点时就脱离了轨道）. （2）如图4－2－4的球过最高点时，轻质杆对球产生的弹力情况： ①当v =0时，F N =mg （F N 为支持力）； ②当0＜v ＜Rg 时，F N 随v 增大而减小，且mg ＞F N ＞0，F N 为支持力； ③当v =Rg 时，F N =0； ④当v ＞Rg 时，F N 为拉力，F N 随v 的增大而增大. v 杆 图42 4 图4－2－5 若是图4－2－5的小球在轨道的最高点时，如果v ≥Rg ，此时将脱离轨道做平抛运动，因为轨道对小球不能产生拉力. 例1 长L ＝0.5m ，质量可以忽略的的杆，其下端固定于O 点，上端连接着一个质量m ＝2kg 的小球A ，A 绕O 点做圆周运动（同图5），在A 通过最高点，试讨论在下列两种情况 下杆的受力： ①当A 的速率v 1＝1m ／s 时 ②当A 的速率v 2＝4m ／s 时 解析： V 0=gL ＝10×0.5 m ／s ＝ 5 m ／s 小球的速度大于 5 m ／s 时受拉力， 小于 5 m ／s 时受压力。 解法一：①当v 1＝1m ／s ＜ 5 m ／s 时，小球受向下的重力mg 和 向上的支持力N a 图 4 圆周运动中的临界问题 一．竖直面内的临界问题： a 无支撑模型： 1、如图所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况： ①临界条件：小球达最高点时绳子的拉力（或轨道的弹力）刚好等于零，小球的重力提供其做圆周运动的向心力，即mg= r mv 2临界 上式中的v 临界是小球通过最高点的最小速度，通常叫临界速度，v 临界=rg . ②能过最高点的条件：v ≥v 临界. 此时小球对轨道有压力或绳对小球有拉力mg r v m N -=2 ③不能过最高点的条件：v 增大而减小，其取值范围是mg>N>0. 当v=gr 时，N=0. 当v>gr 时，管的上侧内壁对小球有竖直向下指向圆心的压力mg r v m N -=2 ，其大小随速度的增大而增大. ④图(c)的球沿球面运动,轨道对小球只能支撑,而不能产生拉力.在最高点的v 临界 =gr .当 v>gr 时，小球将脱离轨道做平抛运动. c 类似问题扩展 如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上，有一长为l 的细线，细线的一端固定在O 点，另一端拴一质量为m 的小球，现使小球恰好能在斜面上做完整的圆周运动，已知O 点到斜面底边的距离s OC =L ，求：小球通过最高点A 时的速度v A ． 二．平面内的临界问题 如图所示，用细绳一端系着的质量为M=0.6kg 的物体A 静止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔O 吊着质量为m=0.3kg 的小球B ，A 的重心到O 点的距离为0.2m ．若A 与转盘间的最大静摩擦力为f=2N ，为使小球B 保持静止，求转盘绕中心O 旋转的角速度ω 的取值范围．（取g=10m/s 2 ） 三．绳的特性引发的临界问题 如图所示，质量为m =0.1kg 的小球和A 、B 两根细绳相连，两绳固定在细杆的A 、B 两点，其中A 绳长L A =2m ，当两绳都拉直时，A 、B 两绳和细杆的夹角θ1=30°，θ2=45°，g =10m/s 2．求： （1）当细杆转动的角速度ω在什么范围内，A 、B 两绳始终张紧？ （2）当ω=3rad/s 时，A 、B 两绳的拉力分别为多大？ 模型一 圆周运动中的渐变量和突变量 例1：如图所示，细线栓住的小球由水平位置摆下，达到最低点的速度为v ，当摆线碰到钉子P 的瞬时（ ） A ．小球的速度突然增大 B ．线中的张力突然增大 P 小球 C O B A θ θ ω A B 30° 45° C圆周运动中的临界问题和周期性问题
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