六年级奥数-第十讲.数论之余数问题.教师版

第十讲：数论之余数问题

余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。

许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！”

余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。

知识点拨：

一、带余除法的定义及性质：

一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,

0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里：

r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商

(1)当0

r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商

(2)当0

一个完美的带余除法讲解模型:

如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在

要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了

c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。

这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且

可以看出余数一定要比除数小。

二、三大余数定理：

1.余数的加法定理

a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等

于4，即两个余数的和3+1.

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.

2.余数的乘法定理

a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.

3.同余定理

若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。

同余式读作：a同余于b，模m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：

若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除

用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b)

三、弃九法原理：

在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：

++++=

例如：检验算式1234189818922678967178902889923

1234除以9的余数为1

1898除以9的余数为8

18922除以9的余数为4

678967除以9的余数为7

178902除以9的余数为0

这些余数的和除以9的余数为2

而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。

上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理，即如果这个等式是正确的，那么左边几个加数除以9的余数的和再除以9的余数一定与等式右边和除以9的余数相同。

而我们在求一个自然数除以9所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了，在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去，所以这种方法被称作“弃九法”。

所以我们总结出弃九发原理：任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。

以后我们求一个整数被9除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被9除的余数即可。

利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加，对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确，但不能保证一定正确。

例如：检验算式9+9=9时，等式两边的除以9的余数都是0，但是显然算式是错误的

但是反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它的等式2两端一定满足弃九法的规律。这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的算式迷问题。

四、中国剩余定理：

1.中国古代趣题：

中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三。”

此类问题我们可以称为“物不知其数”类型，又被称为“韩信点兵”。

韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。刘邦茫然而不知其数。

我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？

首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。

孙子算经的作者及确实著作年代均不可考，不过根据考证，著作年代不会在晋朝之后，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。

2.核心思想和方法：

对于这一类问题，我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我们就以《孙子算经》中的问题为例，分析此方法:

今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？

题目中我们可以知道，一个自然数分别除以3，5，7后，得到三个余数分别为2，3，2.那么我们首先构造一个数字，使得这个数字除以3余1，并且还是5和7的公倍数。

?=，即5和7的最小公倍数出发，先看35除以3余2，不符合要求，那么就继续看5和7先由5735

?=是否可以，很显然70除以3余1

的“下一个”倍数35270

类似的，我们再构造一个除以5余1，同时又是3和7的公倍数的数字，显然21可以符合要求。

最后再构造除以7余1，同时又是3，5公倍数的数字，45符合要求，那么所求的自然数可以这样计算：

k k

?+?+?±=-，其中k是从1开始的自然数。

270321245[3,5,7]233[3,5,7]

也就是说满足上述关系的数有无穷多，如果根据实际情况对数的范围加以限制，那么我们就能找到所求的数。

例如对上面的问题加上限制条件“满足上面条件最小的自然数”，

?+?+?-?=得到所求

那么我们可以计算2703212452[3,5,7]23

如果加上限制条件“满足上面条件最小的三位自然数”,

我们只要对最小的23加上[3,5,7]即可，即23+105=128。

例题精讲：

【模块一：带余除法的定义和性质】

【例 1】 (第五届小学数学报竞赛决赛)用某自然数a 去除1992，得到商是46，余数是r ，求a 和r ．

【解析】 因为1992是a 的46倍还多r ,得到19924643......14÷=，得1992464314=?+，所以43a =，14r =．

【巩固】 (清华附中小升初分班考试)甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数．

【解析】 (法1)因为 甲=乙1132?+，所以 甲+乙=乙1132?++乙=乙12321088?+=；

则乙(108832)1288 =-÷=，甲1088=-乙1000=．

(法2)将余数先去掉变成整除性问题，利用倍数关系来做：从1088中减掉32以后，1056就应当是乙

数的(111)+倍，所以得到乙数10561288=÷=，甲数1088881000=-=．

【巩固】 一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。

【解析】 本题为余数问题的基础题型，需要学生明白一个重要知识点，就是把余数问题---即“不整除问题”

转化为整除问题。方法为用被除数减去余数，即得到一个除数的倍数；或者是用被除数加上一个“除

数与余数的差”，也可以得到一个除数的倍数。

本题中310-37=273，说明273是所求余数的倍数，而273=3×7×13，所求的两位数约数还要满足比

37大，符合条件的有39，91.

【例 2】 (2003年全国小学数学奥林匹克试题)有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、

商与余数之和为2113，则被除数是多少？

【解析】 被除数+除数+商+余数=被除数+除数+17+13=2113，所以被除数+除数=2083，由于被除数是除

数的17倍还多13，则由“和倍问题”可得：除数=（2083-13）÷（17+1）=115，所以被除数

=2083-115=1968．

【巩固】 用一个自然数去除另一个自然数，商为40，余数是16.被除数、除数、商、余数的和是933，求这2

个自然数各是多少？

【解析】 本题为带余除法定义式的基本题型。根据题意设两个自然数分别为x,y ，可以得到

40164016933x y x y =+??+++=?,解方程组得85621

x y =??=?，即这两个自然数分别是856，21.

【例 3】 (2000年“祖冲之杯”小学数学邀请赛试题)三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19,23,31

所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是_______，_______，_______。

【解析】 设所得的商为a ，除数为b ．(19)(23)(31)2001a b a b a b +++++=，7332001a b +=，由19b <，可

求得27a =，10b =．所以，这三个数分别是19523a b +=，23631a b +=，31847a b +=。

【巩固】 (2004年福州市“迎春杯”小学数学竞赛试题)一个自然数，除以11时所得到的商和余数是相等的，

除以9时所得到的商是余数的3倍，这个自然数是_________．

【解析】 设这个自然数除以11余a (011)a ≤<，除以9余b (09)b ≤<，则有1193a a b b +=?+，即37a b =，

只有7a =，3b =，所以这个自然数为84712=?。

【例 4】 (1997年我爱数学少年数学夏令营试题)有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人．如

果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够．如果把书全分给第二组，

那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够．问：第二组有多少人?

【解析】 由48412÷=，4859.6÷=知，一组是10或11人．同理可知48316÷=，48412÷=知，二组是13、

14或15人，因为二组比一组多5人，所以二组只能是15人，一组10人．

【巩固】 一个两位数除以13的商是6，除以11所得的余数是6，求这个两位数．

【解析】 因为一个两位数除以13的商是6，所以这个两位数一定大于13678?=，并且小于13(61)91?+=；

又因为这个两位数除以11余6，而78除以11余1，这个两位数为78583+=．

【模块二：三大余数定理的应用】

【例 5】 有一个大于1的整数，除45,59,101所得的余数相同，求这个数.

【解析】 这个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得的余数相同，根据同

余定理，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差

的公约数．1014556-=，594514-=，(56,14)14=，14的约数有1,2,7,14，

所以这个数可能为2,7,14。

【巩固】 有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.

【解析】 (法1) 39336-=，1473144-=，(36,144)12=，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小于除

数，这个数是4,6,12；

(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任

意两数差的公约数．513912-=，14739108-=，(12,108)12=，所以这个数是4,6,12．

【巩固】 在小于1000的自然数中，分别除以18及33所得余数相同的数有多少个?(余数可以为0)

【解析】 我们知道18，33的最小公倍数为[18，33]=198，所以每198个数一次．

1～198之间只有1，2，3，…，17，198(余O)这18个数除以18及33所得的余数相同，

而999÷198=5……9，所以共有5×18+9=99个这样的数．

【巩固】 (2008年仁华考题)一个三位数除以17和19都有余数，并且除以17后所得的商与余数的和等于它

除以19后所得到的商与余数的和．那么这样的三位数中最大数是多少，最小数是多少？

【解析】 设这个三位数为s ，它除以17和19的商分别为a 和b ，余数分别为m 和n ，则1

719s a m b n =+=+．

根据题意可知a m b n +=+，所以()()s a m s b n -+=-+，即1618a b =，得89a b =．所以a 是9的倍

数，b 是8的倍数．此时，由a m b n +=+知8199

n m a b a a a -=-=-=． 由于s 为三位数，最小为100，最大为999，所以10017999a m ≤+≤，而116m ≤≤，

所以17117999a a m +≤+≤，100171716a m a ≤+≤+，得到558a ≤≤，而a 是9的倍数，所以a 最

小为9，最大为54．

当54a =时，169

n m a -==，而18n ≤，所以12m ≤，故此时s 最大为175412930?+=； 当9a =时，119

n m a -==，由于1m ≥，所以此时s 最小为1791154?+=． 所以这样的三位数中最大的是930，最小的是154．

【例 6】 两位自然数ab 与ba 除以7都余1，并且a b >，求ab ba ?．

【解析】 ab ba -能被7整除，即(10)10)9a b b a a b +-+=?-（（）能被7整除．所以只能有7a b -=，那么ab 可

能为92和81，验算可得当92ab =时，29 ba =满足题目要求，92292668ab ba ?=?=

【巩固】 学校新买来118个乒乓球，67个乒乓球拍和33个乒乓球网，如果将这三种物品平分给每个班级，

那么这三种物品剩下的数量相同．请问学校共有多少个班？

【解析】 所求班级数是除以118,67,33余数相同的数．那么可知该数应该为1186751-=和673334-=

的公约数，所求答案为17．

【巩固】 (2000年全国小学数学奥林匹克试题)在除13511，13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是

_________．

【解析】 因为3921351113903=-, 6861390314589=-，

由于13511，13903，14589要被同一个数除时，余数相同，那么，它们两两之差必能被同一个数整

除．98)686,392(=，所以所求的最大整数是98．

【例 7】 (2003年南京市少年数学智力冬令营试题) 20032与22003的和除以7的余数是________．

【解析】 找规律．用7除2，22，32，42，52，62，…的余数分别是2，4，1，2，4，1，2，4，1，…,2

的个数是3的倍数时，用7除的余数为1；2的个数是3的倍数多1时，用7除的余数为2；2的个

数是3的倍数多2时，用7除的余数为4．因为20033667222?+=，所以20032除以7余4．又两个数的积

除以7的余数，与两个数分别除以7所得余数的积相同．而2003除以7余1，所以22003除以7余1．故

20032与22003的和除以7的余数是415+=．

【巩固】 (2004年南京市少年数学智力冬令营试题)在1995，1998，2000，2001，2003中，若其中几个数的

和被9除余7，则将这几个数归为一组．这样的数组共有______组．

【解析】 1995，1998，2000，2001，2003除以9的余数依次是6，0，2，3，5．

因为252507+=++=，25360253679+++=++++=+，

所以这样的数组共有下面4个：()2003

,2000，()2003,2000,1998 ， ()1995,2001,2003,2000 ，()1995

,2001,2003,2000,1998．

【例 8】 (2005年全国小学数学奥林匹克试题)有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和

是50，那么这个整数是______．

【解析】

(70110160)50290++-=，50316......2÷=，除数应当是290的大于17小于70的约数，只可能是29和58，11058 1......52÷=，5052>，所以除数不是58．

7029 2......12÷=，11029 3......23÷=，16029 5......15÷=，50152312=++，所以除数是29

【巩固】 (2002年全国小学数学奥林匹克试题)用自然数n 去除63，91，129得到的三个余数之和为

25，那么n=________

【解析】 n 能整除258251299163=-++．因为2538...1÷=，所以n 是258大于8的约数．显然，n 不

能大于63．符合条件的只有43．

【巩固】 号码分别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们号码的

和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘?

【解析】 本题可以体现出加法余数定理的巧用。计算101，126，173，193除以3的余数分别为2，0，2，1。

那么任意两名运动员的比赛盘数只需要用2，0，2，1两两相加除以3即可。显然126运动员打5盘

是最多的。

【例 9】 (2002年《小学生数学报》数学邀请赛试题)六名小学生分别带着14元、17元、18元、21元、26

元、37元钱，一起到新华书店购买《成语大词典》．一看定价才发现有5个人带的钱不够，但是其

中甲、乙、丙3人的钱凑在一起恰好可买2本，丁、戊2人的钱凑在一起恰好可买1本．这种《成

语大词典》的定价是________元．

【解析】 六名小学生共带钱133元．133除以3余1，因为甲、乙、丙、丁、戊的钱恰好能买3本，所以他们

五人带的钱数是3的倍数，另一人带的钱除以3余1．易知，这个钱数只能是37元，所以每本《成

语大词典》的定价是(1417182126)332++++÷= (元) ．

【巩固】 (2000年全国小学数学奥林匹克试题)商店里有六箱货物，分别重15，16，18，19，20，31千克，

两个顾客买走了其中的五箱．已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍，那么商店剩下的一

箱货物重量是________千克．

【解析】 两个顾客买的货物重量是3的倍数．

(151618192031)(12)119339...2+++++÷+=÷=，剩下的一箱货物重量除以3应当余2，只能是20

千克．

【例 10】 求2461135604711??÷的余数．

【解析】 因为246111223...8÷=，1351112...3÷=，604711549...8÷=，根据同余定理(三)，

2461135604711??÷的余数等于83811??÷的余数，而838192??=，

1921117...5÷=，所以2461135604711??÷的余数为5．

【巩固】 (华罗庚金杯赛模拟试题)求478296351??除以17的余数．

【解析】 先求出乘积再求余数，计算量较大．可先分别计算出各因数除以17的余数，再求余数之积除

以17的余数．478,296,351除以17的余数分别为2，7和11，(2711)179......1??÷=．

【巩固】 求19973的最后两位数．

【解析】 即考虑19973除以100的余数．由于100425=?，由于3327=除以25余2，所以93除以25余8，

103除以25余24，那么203除以25余1；又因为23除以4余1，则203除以4余1；即2031-能被4 和

25整除，而4与25互质，所以2031-能被100整除，即203除以100余1，由于

1997209917=?+，所以19973除以100的余数即等于173除以100的余数，而63729=除以100余29，53243=除以100余43，176253(3)3=?，所以173除以100的余数等于292943??除以100的余数，

而29294336163??=除以100余63，所以19973除以100余63，即19973的最后两位数为63．

【巩固】

"

2"20002222个除以13所得余数是_____. 【解析】 我们发现222222整除13，2000÷6余2，所以答案为22÷13余9。

【巩固】 求89143除以7的余数．

【解析】 法一：

由于()1433mod7≡ (143被7除余3)，

所以()89891433mod7≡ (89143被7除所得余数与893被7除所得余数相等)

而63729=，()7291mod7≡（729除以7的余数为1），

所以()8966655143333335mod7≡????≡≡

个

． 故89143除以7的余数为5.

法二：

计算893被7除所得的余数可以用找规律的方法，规律如下表：

于是余数以6为周期变化．所以()895335mod7≡≡．

【巩固】 （2007年实验中学考题）222212320012002+++++ 除以7的余数是多少？

【解析】 由于22222200220034005123200120021001200313356

??+++++==?? ，而1001是7的倍数，所以这个乘积也是7的倍数，故2222212320012002+++++ 除以7的余数是0；

【巩固】 ()30313130+被13除所得的余数是多少？

【解析】 31被13除所得的余数为5，当n 取1，2，3， 时5n 被13除所得余数分别是5，12，8，1，5，12，

8，1 以4为周期循环出现，所以305被13除的余数与25被13除的余数相同，余12，则3031除以

13的余数为12；

30被13除所得的余数是4，当n 取1，2，3， 时，4n 被13除所得的余数分别是4，3，12，9，

10，1，4，3，12，9，10， 以6为周期循环出现，所以314被13除所得的余数等于14被13除所

得的余数，即4，故3130除以13的余数为4；

所以()

30313130+被13除所得的余数是124133+-=．

【巩固】 (2008年奥数网杯)已知20082008200820082008a = 个，问：a 除以13所得的余数是多少？

【解析】 2008除以13余6，10000除以13余3，注意到200820082008100002008=?+；

20082008200820082008100002008=?+；

2008200820082008200820082008100002008=?+；

根据这样的递推规律求出余数的变化规律：

20082008除以13余6361311?+-=，200820082008除以13余1136390?+-=，即200820082008

是13的倍数．

而2008除以3余1，所以20082008

200820082008a = 个除以13的余数与2008除以13的余数相同，为6.

【巩固】 19967

77777???

个除以41的余数是多少？ 【解析】 找规律：7417÷=???□，774136÷=???□，7774139÷=???□，77774128÷=???□，

77777410÷=???□，……，所以77777是41的倍数，而199653991÷= ，所以19967

77777???

个可以分成399段77777和1个7组成，那么它除以41的余数为7．

【巩固】

1234200512342005+++++ 除以10所得的余数为多少？ 【解析】 求结果除以10的余数即求其个位数字．从1到2005这2005个数的个位数字是10个一循环的，而

对一个数的幂方的个位数，我们知道它总是4个一循环的，因此把所有加数的个位数按每20个(20

是4和10的最小公倍数)一组，则不同组中对应的个位数字应该是一样的．

首先计算123420123420+++++ 的个位数字，

为1476563690163656749094+++++++++++++++++++=的个位数字，为4，

由于2005个加数共可分成100组另5个数，100组的个位数字和是4100400?=的个位数即0，另外

5个数为20012001、20022002、20032003、20042004、20052005，它们和的个位数字是1476523

++++=的个位数 3，所以原式的个位数字是3，即除以10的余数是3．

【例 11】 求所有的质数P ，使得241p +与261p +也是质数．

【解析】 如果5p =，则241101p +=，261151p +=都是质数，所以5符合题意．如果P 不等于5，那么P 除

以5的余数为1、2、3或者4，2p 除以5的余数即等于21、22、23或者24除以5的余数，即1、4、9或者16除以5的余数，只有1和4两种情况．如果2p 除以5的余数为1，那么241p +除以5的余

数等于4115?+=除以5的余数，为0，即此时241p +被5整除，而241p +大于5，所以此时241

p +不是质数；如果2p 除以5的余数为4，同理可知261p +不是质数，所以P 不等于5，241p +与261

p +至少有一个不是质数，所以只有5p =满足条件．

【巩固】 在图表的第二行中，恰好填上8998～这十个数，使得每一竖列上下两个因数的乘积除以11所得的

余数都是3．

【解析】 因为两个数的乘积除以11的余数，等于两个数分别除以11的余数之积．因此原题中的8998～

可以改换为110～，这样上下两数的乘积除以11余3就容易计算了．我们得到下面的结果：

进而得到本题的答案是：

【巩固】 (2000年“华杯赛”试题)3个三位数乘积的算式234235286abc bca cab ??= (其中a b c >>)， 在

校对时，发现右边的积的数字顺序出现错误，但是知道最后一位6是正确的，问原式中的abc 是多

少？

【解析】 由于2342352862342352868(mod9)≡++++++++≡，3()(mod9)abc bca cab a b c ??≡++，

于是3()8(mod9)a b c ++≡，从而(用0,1,2,...,8(mod9)a b c ++≡代入上式检验)

2,5,8(mod9)a b c ++≡…(1)，对a 进行讨论：

如果9a =，那么2,5,8(mod9)b c +≡…(2)，又c a b ??的个位数字是6，所以b c ?的个位数字为4，b c ?可能为41?、72?、83?、64?，其中只有(,)(4,1),(8,3)b c =符合(2)，经检验只有983839398328245326??= 符合题意．

如果8a =，那么3,6,0(mod9)b c +≡…(3)，又b c ?的个位数字为2或7，则b c ?可能为21?、43?、62?、76?、71?，其中只有(,)(2,1)b c =符合(3)，经检验，821abc =不合题意．

如果7a =，那么4,7,1(mod9)b c +≡…(4)，则b c ?可能为42?、63?，其中没有符合(4)的(,)b c ． 如果6a ≤，那么5b ≤，4c ≤，700600500210000000222334586abc bca cab ??

abc 不可能符合题意．综上所述，983abc =是本题唯一的解．

【例 12】 一个大于1的数去除290，235，200时，得余数分别为a ，2a +，5a +，则这个自然数是多少？

【解析】 根据题意可知，这个自然数去除290，233，195时，得到相同的余数（都为a ）．

既然余数相同，我们可以利用余数定理，可知其中任意两数的差除以这个数肯定余0．那么这个自

然数是29023357-=的约数，又是23319538-=的约数，因此就是57和38的公约数,因为57和38

的公约数只有19和1，而这个数大于1，所以这个自然数是19．

【巩固】 一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余数，

则这个自然数是多少？

【解析】 这个自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除90164254+=后所得的余数，

所以254和220除以这个自然数后所得的余数相同，因此这个自然数是25422034-=的约数，又大

于10，这个自然数只能是17或者是34．如果这个数是34，那么它去除90、164、220后所得的余

数分别是22、28、16，不符合题目条件；如果这个数是17，那么他去除90、164、220后所得的余

数分别是5、11、16，符合题目条件，所以这个自然数是17．

【例 13】 甲、乙、丙三数分别为603，939，393．某数A 除甲数所得余数是A 除乙数所得余数的2倍，A 除

乙数所得余数是A 除丙数所得余数的2倍．求A 等于多少？

【解析】 根据题意，这三个数除以A 都有余数，则可以用带余除法的形式将它们表示出来：

11603A K r ÷= 22939A K r ÷= 33393A K r ÷=

由于122r r =，232r r =，要消去余数1r , 2r , 3r ,我们只能先把余数处理成相同的，再两数相减．

这样我们先把第二个式子乘以2，使得被除数和余数都扩大2倍，同理，第三个式子乘以4．

于是我们可以得到下面的式子：11603A K r ÷= ()22939222A K r ?÷=

()33393424A K r ?÷= 这样余数就处理成相同的．最后两两相减消去余数，意味着能被A 整除． 93926031275?-=，3934603969?-=，()1275,96951317==?．

51的约数有1、3、17、51，其中1、3显然不满足，检验17和51可知17满足，所以A 等于17．

【巩固】 一个自然数除429、791、500所得的余数分别是5a +、2a 、a ，求这个自然数和a 的值.

【解析】 将这些数转化成被该自然数除后余数为2a 的数：()42952848-?=，791、50021000?=，这样这

些数被这个自然数除所得的余数都是2a ，故同余.

将这三个数相减，得到84879157-=、1000848152-=，所求的自然数一定是57和152的公约数，

而()57,15219=，所以这个自然数是19的约数，显然1是不符合条件的，那么只能是19.经过验证，当这个自然数是19时，除429、791、500所得的余数分别为11、12、6，6a =时成立,所以这个

自然数是19，6a =.

【模块三：余数综合应用】

【例 14】 著名的裴波那契数列是这样的：1、1、2、3、5、8、13、21……这串数列当中第2008个数除以3

所得的余数为多少？

【解析】 斐波那契数列的构成规则是从第三个数起每一个数都等于它前面两个数的和，由此可以根据余数定

理将裴波那契数列转换为被3除所得余数的数列：

1、1、

2、0、2、2、1、0、1、1、2、0……

第九项和第十项连续两个是1，与第一项和第二项的值相同且位置连续，所以裴波那契数列被3除

的余数每8个一个周期循环出现，由于2008除以8的余数为0，所以第2008项被3除所得的余数

为第8项被3除所得的余数，为0.

【巩固】 （2009年走美初赛六年级）有一串数：1，1，2，3，5，8，……，从第三个数起，每个数都是前两

个数之和，在这串数的前2009个数中，有几个是5的倍数？

【解析】 由于两个数的和除以5的余数等于这两个数除以5的余数之和再除以5的余数．

所以这串数除以5的余数分别为：1，1，2，3，0，3，3，1，4，0，4，4，3，2，0，2，2，4，1，0，1，1，2，3，0，……可以发现这串余数中，每20个数为一个循环，且一个循环中，每5个数中

第五个数是5的倍数．由于200954014÷= ，所以前2009个数中，有401个是5的倍数．

【例 15】 (圣彼得堡数学奥林匹克试题)托玛想了一个正整数，并且求出了它分别除以3、6和9的余数．现

知这三余数的和是15．试求该数除以18的余数．

【解析】 除以3、6和9的余数分别不超过2，5，8，所以这三个余数的和永远不超过15852=++，

既然它们的和等于15，所以这三个余数分别就是2，5，8．所以该数加1后能被3，6，9整除，而

[3,6,9]18=，设该数为a ，则181a m =-，即18(1)17a m =-+（m 为非零自然数），所以它除以18

的余数只能为17．

【巩固】 (2005年香港圣公会小学数学奥林匹克试题)一个家庭，有父、母、兄、妹四人，他们任意三人的

岁数之和都是3的整数倍，每人的岁数都是一个质数，四人岁数之和是100，父亲岁数最大，问：

母亲是多少岁?

【解析】 从任意三人岁数之和是3的倍数，100除以3余1，就知四个岁数都是31k +型的数，又是质数．只

有7，13，19，31，37，43，就容易看出：父43岁，母37岁，兄13岁，妹7岁．

【例 16】 (华杯赛试题)如图，在一个圆圈上有几十个孔(不到100个)，小明像玩跳棋

那样，从A 孔出发沿着逆时针方向，每隔几孔跳一步，希望一圈以后能跳回

到A 孔．他先试着每隔2孔跳一步，结果只能跳到B 孔．他又试着每隔4孔

跳一步，也只能跳到B 孔．最后他每隔6孔跳一步，正好跳回到A 孔，你知

道这个圆圈上共有多少个孔吗? 【解析】 设想圆圈上的孔已按下面方式编了号：A 孔编号为1，然后沿逆时针方向顺次编号

为2，3，4，…，B 孔的编号就是圆圈上的孔数．

我们先看每隔2孔跳一步时，小明跳在哪些孔上?很容易看出应在1，4，7，10，…上，也就是说，

小明跳到的孔上的编号是3的倍数加1．按题意，小明最后跳到B 孔，因此总孔数是3的倍数加1．

同样道理，每隔4孔跳一步最后跳到B 孔，就意味着总孔数是5的倍数加1；而每隔6孔跳一步最

后跳回到A 孔，就意味着总孔数是7的倍数．

如果将孔数减1，那么得数既是3的倍数也是5的倍数，因而是15的倍数．这个15的倍数加上1 就

等于孔数，设孔数为a ，则151a m =+（m 为非零自然数）而且a 能被7整除．注意15被7除余1，所以156?被7除余6，15的6倍加1正好被7整除．我们还可以看出，15的其他(小于的7)倍数加

B

A

1都不能被7整除，而157105?=已经大于100．7以上的倍数都不必考虑，因此，总孔数只能是

156191?+=．

【巩固】 (1997年全国小学数学奥林匹克试题)将12345678910111213......依次写到第1997个数字，组成一个

1997位数，那么此数除以9的余数是 ________．

【解析】 本题第一步是要求出第1997个数字是什么，再对数字求和．

19～共有9个数字，1099～共有90个两位数，共有数字：902180?= (个), 100999～共900个三

位数，共有数字：90032700?= (个),所以数连续写，不会写到999,从100开始是3位数，每三个

数字表示一个数，(19979180)3602......2--÷=，即有602个三位数，第603个三位数只写了它的百

位和十位．从100开始的第602个三位数是701，第603个三位数是9，其中2未写出来．因为连续

9个自然数之和能被9整除，所以排列起来的9个自然数也能被9整除，702个数能分成的组数是：702978÷= (组)，依次排列后，它仍然能被9整除，但702中2未写出来，所以余数为9-27 =．

【例 17】 设21n +是质数，证明：21，22，…，2n 被21n +除所得的余数各不相同．

【解析】 假设有两个数a 、b ，(1b a n ≤<≤)，它们的平方2a ，2b 被21n +除余数相同．那么，由

同余定理得220(mod(21))a b n -≡+，即()()0(mod(21))a b a b n -+≡+，由于21n +是质数，所以

0(mod(21))a b n +≡+或0(mod(21))a b n -≡+，由于a b +，a b -均小于21n +且大于0，可知，a b

+与21n +互质，a b -也与21n +互质，即a b +，a b -都不能被21n +整除，产生矛盾，所以假设不

成立，原题得证．

【巩固】 试求不大于100，且使374n n ++能被11整除的所有自然数n 的和．

【解析】 通过逐次计算，可以求出3n 被11除的余数，

依次为：13为3，23为9，33为5，43为4，53为1，…，

因而3n 被11除的余数5个构成一个周期：3，9，5，4，1，3，9，5，4，1，……；类似地，

可以求出7n 被11除的余数10个构成一个周期：7，5，2，3，10，4，6，9，8，1，……；

于是374n n ++被11除的余数也是10个构成一个周期：3，7，0，0，4，0，8，7，5，6，……；

这就表明，每一个周期中，只有第3、4、6个这三个数满足题意，

即3,4,6,13,14,16,......,93,94,96n =时374n n ++能被11整除，所以，

所有满足条件的自然数n 的和为：

346131416...9394961343...2831480+++++++++=+++=．

【巩固】 若a 为自然数，证明2005194910()a a -．

【解析】

1025=?，由于2005a 与1949a 的奇偶性相同，所以200519492()a a -． 20051949194956(1)a a a a -=-，如果a 能被5整除，那么1949565(1)a a -；如果a 不能被5整除，那么a 被

5除的余数为1、2、3或者4，4a 被5除的余数为41、42、43、44被5除的余数，即为1、16、81、

256被5除的余数，而这四个数除以5均余1，所以不管a 为多少，4a 被5除的余数为1，而5641()a a =，

即14个4a 相乘，所以56a 除以5均余1，则561a -能被5整除，有1949565(1)a a -．所以200519495()a a -． 由于2与5互质，所以2005194910()a a -．

【例 18】 设n 为正整数，2004n k =，k 被7除余数为2，k 被11除余数为3，求n 的最小值．

【解析】 2004被7除余数为2，被11除余数也为2，所以2n 被7除余数为2，被11除余数为3．

由于122=被7除余2，而328=被7除余1，所以n 除以3的余数为1；

由于82256=被11除余3，1021024=被11除余1，所以n 除以10的余数为8．

可见2n +是3和10的公倍数，最小为[]3,1030=，所以n 的最小值为28．

【巩固】 有三个连续自然数，其中最小的能被15整除，中间的能被17整除，最大的能被19整除，请写出一

组这样的三个连续自然数．

【解析】 设三个连续自然数中最小的一个为n ，则其余两个自然数分别为1n +，2n +．

依题意可知：15|n ，()17|1n +，()19|2n +，根据整除的性质对这三个算式进行变换：

()()()()()()()()15|15|215|21517|117|2217|215[15,17,19]|21519|219|2419|215n n n n n n n n n n →→-??+→+→-?-??+→+→-?

从上面可以发现215n -应为15、17、19的公倍数．

由于[15,17,19]4845=，所以()215484521n k -=- (因为215n -是奇数)，可得48452415n k =-．

当1k =时2430n =，12431n +=，22432n +=，所以其中的一组自然数为2430、2431、2432．

【例 19】 (2008年西城实验考题)从1，2，3，……，n 中，任取57个数，使这57个数必有两个数的差为

13，则n 的最大值为多少？

【解析】 被13除的同余序列当中，如余1的同余序列，1、14、27、40、53、66……，其中只要取到两个相

邻的，这两个数的差为13；如果没有两个相邻的数，则没有两个数的差为13，不同的同余序列当中

不可能有两个数的差为13，对于任意一条长度为x 的序列，都最多能取2x x ??-????

个数，使得取出的数中没有两个数的差为13，即从第1个数起隔1个取1个．

基于以上，n 个数分成13个序列，每条序列的长度为13n ??????或113n ??+????

，两个长度差为1的序列，要使取出的数中没有两个数的差为13，能够被取得的数的个数之差也不会超过1，所以为使57个数中

任意两个数的差都不等于13，则这57个数被分配在13条序列中，在每条序列被分配的数的个数差

不会超过1，那么13个序列有8个序列分配了4个数，5个序列分配了5个数，则这13个序列中8

个长度为8，5个长度为9，那么当n 最小为8895109?+?=时，可以取出57个数，其中任两个数

的差不为13，所以要使任取57个数必有两个数的差为13，那么n 的最大值为108．

【巩固】 从1，2，3，4，…，2007中取N 个不同的数，取出的数中任意三个的和能被15整除．N 最大为多

少？

【解析】 取出的N 个不同的数中，任意三个的和能被15整除，则其中任意两个数除以15的余数相同，且这

个余数的3倍能被15整除，所以这个余数只能是0，5或者10．在12007 中，除以15的余数为0

的有151?，152?，…，15133?，共有133个；除以15的余数为5的有1505?+，1515?+，…，

151335?+，共有134个；除以15的余数为10的有15010?+，15110?+，…，1513310?+，共有

134个．所以N 最大为134．

【例 20】 将自然数1，2，3，4……依次写下去，若最终写到2000，成为12319992000 ，那么这个自然数

除以99余几？

【解析】 由于99911=?，可以分别求这个数除以9和11的余数，进而求出它除以99的余数．实际上求得这

个数除以9和11的余数均为3，所以这个数减去3后是9和11的倍数，那么也是99的倍数，所以

这个数除以99的余数为3．

下面介绍另一种解法．

由于10099a a a =+，所以100a 除以99的余数等于a 除以99的余数．同样，10000a ，1000000a ……

等数除以99的余数等于a 除以99的余数．可知，一个自然数a ，如果在它后面加上偶数个0，那么

这个数除以99的余数等于a 除以99的余数．

根据这一点，可以把12319992000 分成若干个后面带有偶数个0的数之和．

由于12319992000 的位数是奇数，那么对于组成12319992000 的一位数1，2，3，……，9，可以

分成10000 ，230000 ，450000 ，670000 ，890000 ；

对于其中的两位数10，11，12，……，98，99，可以分成100000 ，110000 ，120000 ，……，980000 ，990000 ；

对于其中的三位数100，101，102，103，……，998，999，两两一组，可以分成1001010000 ，

1021030000 ，1041050000 ，……，9989990000 ；

对于其中的四位数1000，1001，……，1999，2000，可以分成10000000 ，10010000 ，

10020000 ，……，19990000，2000．

那么上面分成的所有数中，虽然每个数后面的0的个数互不相同，但都是偶数个，且它们的和恰好

为12319992000 ，那么12319992000 除以99的余数就等于分成的这些数除以99的余数的和．

由于这些数除以99的余数分别为1，23，45，67，89；10，11，12，……，98，99；100101，102103，104105，……，998999；1000，1001，……，1999，2000，而其中100101，102103，104105，……，998999是公差为2002的等差数列，共450项，可知所有这些余数的和为：

()()()

12345678910111299100101102103998999+++++++++++++ ()

100010012000++++ ()()()225109990210010199899945021000200010012

=++?÷++?÷++?÷

22549052472975001501500=+++ 248804130=，

而248804130除以99的余数等于248804130201++++=除以99的余数，为3．

所以12319992000 除以99的余数为3．

【巩固】 将1至2008这2008个自然数，按从小到大的次序依次写出，得一个多位数：

12345678910111213 20072008，试求这个多位数除以9的余数．

【解析】 以19992000这个八位数为例，它被9除的余数等于()19992000+++++++被9除的余数，但是

由于1999与()1999+++被9除的余数相同，2000与()2000+++被9除的余数相同，所以19992000

就与()19992000+被9除的余数相同．

由此可得，从1开始的自然数12345678910111213 20072008被9除的余数与前2008个自然数之和

除以9的余数相同．

根据等差数列求和公式，这个和为：()120082008

20170362+?=，它被9除的余数为1．

另外还可以利用连续9个自然数之和必能被9整除这个性质，将原多位数分成123456789，

101112131415161718，……，199920002001200220032004200520062007，2008等数，可见它被9除

的余数与2008被9除的余数相同．

因此，此数被9除的余数为1．

【例 21】 (2008年清华附中考题)已知n 是正整数，规定!12n n =??? ，

令1!12!23!32007!2007m =?+?+?++? ，则整数m 除以2008的余数为多少？

【解析】

1!12!23!32007!2007m =?+?+?++? 1!212!313!412007!20081=?-+?-+?-++?- （）（）（）（）

2!1!3!2!4!3!2008!2007!=-+-+-++-

2008!1=-

2008能够整除2008!，所以2008!1-的余数是2007．

【巩固】

1351991???? 的末三位数是多少？ 【解析】 首先，仅考虑后三位数字，所求的数目相当于135991???? 的平方再乘以993995997999???的

末三位．

而993995997999993999995997???=???

()()()()99300099399500099539930009939950002985=-?-?=-?-，

其末三位为715105?=；

然后来看前者．它是一个奇数的平方，设其为()25k (k 为奇数)，

由于()()22252525251k k k ==+-，而奇数的平方除以8余1，所以21k -是8的倍数，则()

2251k -是200的倍数，设()2251200k m -=，则()()

2252525125200k k m =+-=+，所以它与105的乘积()()2510525200105210002625k m m ?=+?=+，

所以不论m 的值是多少，所求的末三位都是625．

【例 22】 有2个三位数相乘的积是一个五位数，积的后四位是1031，第一个数各个位的数字之和是10，第

二个数的各个位数字之和是8，求两个三位数的和。

【解析】 本题条件仅给出了两个乘数的数字之和，同时发现乘积的一部分已经给出，即乘积的一部分数字之

和已经给出，我们可以采用弃九法原理的倒推来构造出原三位数。因为这是一个一定正确的算式，

所以一定可以满足弃九法的条件，两个三位数除以9的余数分别为1和8，所以等式一边除以9的

余数为8，那么□1031除以9的余数也必须为8，□只能是3.将31031分解质因数发现仅有一种情

况可以满足是两个三位数的乘积，

即31031311001143217=?=?

所以两个三位数是143和217，那么两个三位数的和是360

【例 23】 设20092009的各位数字之和为A ，A 的各位数字之和为B ，B 的各位数字之和为C ，C 的各位数字

之和为D ，那么D =？

【解析】 由于一个数除以9的余数与它的各位数字之和除以9的余数相同，所以20092009与A 、B 、C 、D 除

以9都同余，而2009除以9的余数为2，则20092009除以9的余数与20092除以9的余数相同，而6264

=除以9的余数为1，所以()334200963345652222?+==?除以9的余数为52除以9的余数，即为5．

另一方面，由于20092009803620091000010<=，所以20092009的位数不超过8036位，那么它的各位数字

之和不超过9803672324?=，即72324A ≤；那么A 的各位数字之和9545B

和9218C

课后练习：

练习1. (2002年全国小学数学奥林匹克试题)两数相除，商4余8，被除数、除数、商数、余数四数之和等

于415，则被除数是_______．

【解析】 因为被除数减去8后是除数的4倍，所以根据和倍问题可知，除数为

7914884415=+÷---）（）（，所以，被除数为3248479=+?。

练习2. 已知2008被一些自然数去除，所得的余数都是10，那么这样的自然数共有多少个？

【解析】 本题为一道余数与约数个数计算公式的小综合性题目。由题意所求的自然数一定是2008-10即1998

的约数，同时还要满足大于10这个条件。这样题目就转化为1998有多少个大于10的约数，

319982337=??，共有（1+1）×（3+1）×（1+1）=16个约数，其中1，2，3，6，9是比10小

的约数，所以符合题目条件的自然数共有11个。

练习3. (全国小学数学奥林匹克试题)六张卡片上分别标上1193、1258、1842、1866、1912、2494六个数，

甲取3张，乙取2张，丙取1张，结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之和一个人是另—个人的2

倍，则丙手中卡片上的数是________．(第五届小数报数学竞赛初赛)

【解析】 根据“甲、乙二人各自手中卡片上的数之和一个人是另一个人的2倍”可知，甲、乙手中五张卡片

上的数之和应是3的倍数．

计算这六个数的总和是11931258184218661912249410565+++++=，10565除以3余2；因为甲、

乙二人手中五张卡片上的数之和是3的倍数，那么丙手中的卡片上的数除以3余2．六个数中只有

1193除以3余2，故丙手中卡片上的数为1193．

练习4. 求12644319÷的余数

【解析】 本题为余数乘法定理的拓展模式，即数字的乘方与一个数相除的余数情况。由6443÷19余2，求原

式的余数只要求12

219÷的余数即可。但是如果用2÷19发现会进入一个死循环，因为这时被除数

比除数小了，所以可以进行适当的调整，12662226464=?=?，

64÷19余数为7，那么求12219÷的余数就转化为求646419?÷的余数，即49÷19的余数。

49÷19余数为11，所以原式12

644319÷的余数为11.

练习5. 已知60，154，200被某自然数除所得的余数分别是1a -，2a ，31a -，求该自然数的值．

【解析】 根据题意可知，自然数61，154，201被该数除所得余数分别是a ，2a ，3a ．

由于2a a a =?，所以自然数2613721=与154同余；由于32a a a =?，所以611549394?=与201同余，

所以除数是37211543567-=和93942019193-=的公约数，运用辗转相除法可得到 (3567,9193)29=，该除数为29．经检验成立．

练习6. (香港圣公会小学数学奥林匹克试题)有三所学校，高中A 校比B 校多10人，B 校比C 校多

10人．三校共有高中生2196人．有一所学校初中人数是高中人数的2倍；有一所学校初中人数是

高中人数的1.5倍；还有一所学校高中、初中人数相等．三所学校总人数是5480人，那么A 校总人

数是________人．

【解析】 三所学校的高中生分别是：A 校742人，B 校732人，C 校722人．如果A 校或C 校初中人数

是高中人数的1.5倍，该校总人数是奇数，而按照给出条件得出其他两校总人数都是偶数，与三校

总人数5480是偶数矛盾，因此只能是B 校的初中人数是高中人数的1.5倍．三校初中的总人数是

548021963284-=，被3除余2；732被3整除，722被3除余2,742被3除余1．从余数来看2215?+=，1224?+=，就断定初中人数是高中人数的2倍，只能是C 校．所以，A 校总人数是7427421484+= (人) ．

月考备选

【备选1】1013除以一个两位数，余数是12．求出符合条件的所有的两位数．

【解析】

1013121001-=，100171113=??，那么符合条件的所有的两位数有11,13,77,91，因为“余数小于除数”,所以舍去11，答案只有13,77,91。

【备选2】有一个自然数，除345和543所得的余数相同，且商相差33．求这个数是多少？

【解析】 由于这个数除345和543的余数相同，那么它可能整除543-345，并且得到的商为33．所以所

求的数为(543345)336-÷=．

【备选3】 (2001年全国小学数学奥林匹克试题)若2836，4582，5164，6522四个自然数都被同一个自然数

相除，所得余数相同且为两位数，除数和余数的和为_______．

【解析】 设除数为A ．因为2836，4582,5164，6522除以A 的余数相同，所以他们两两之差必能被A

整除．又因为余数是两位数，所以A 至少是两位数．58245825164=-，135851646522=-，

因为(582,1358)194=，所以A 是194的大于10的约数．194的大于10的约数只有97和194．如果

194A =，120141942386 =÷，余数不是两位数，与题意不符．如果97=A ，经检验，余数都

是23，除数+余数9723120=+=．

【备选4】2008222008+除以7的余数是多少？

【解析】

328=除以7的余数为1，200836691=?+，所以200836691366922(2)2?==?＋，其除以7的余数为：

六年级数学 中高难度奥数试题(含解析)(1)

小学六年级中高难度奥数题及答案解析（1） “奥数”是奥林匹克数学竞赛的简称。学习奥数可以锻炼思维，是大有好处的。学习奥数的年龄根据学生自身特点而定。21世纪小学频道在这里精选了一些典型的小学六年级中高难度的奥数试题，并附有答案解析，大家来做做看吧！ 题1：（高等难度） 六年级举行一次数学竞赛，共有若干名同学得奖，其中得一等奖的同学比余下的得奖人数的五分之一少三名，得二等奖的占领奖人数的三分之一，得三等奖的人数比二等奖的人数同学多21名，问得奖人数是多少？ 【答案解析】 解答：设获奖人数为x，则 所以x=111（人） 题2：（中等难度） "迎春杯"数学竞赛后，甲、乙、丙、丁四名同学猜测他们之中谁能获奖.甲说："如果我能获奖，那么乙也能获奖."乙说："如果我能获奖，那么丙也能获奖."丙说："如果丁没获奖，那么我也不能获奖."实际上，他们之中只有一个人没有获奖.并且甲、乙、丙说的话都是正确的.那么没能获奖的同学是___。 【答案解析】 首先根据丙说的话可以推知，丁必能获奖.否则，假设丁没获奖，那么丙也没获奖，这与"他们之中只有一个人没有获奖"矛盾。 其次考虑甲是否获奖，假设甲能获奖，那么根据甲说的话可以推知，乙也能获奖；再根据乙说的话又可以推知丙也能获奖，这样就得出4个人全都能获奖，不可能.因此，只有甲没有获奖。 题3：（高等难度）

唐老鸭与米老鼠进行一万米赛跑，米老鼠的速度是每分钟125米，唐老鸭的速度是每分钟100米。唐老鸭手中掌握一种迫使米老鼠倒退的电子遥控器，通过这种遥控器发出第n次指令，米老鼠就以原来速度的n×10%倒退一分钟，然后再按原来的速度继续前进。如果唐老鸭想在比赛中获胜，那么它通过遥控器发出指令的次数至少是_____次。 【答案解析】 唐老鸭和米老师赛跑答案： 题4：（高等难度） 一副扑克牌（去掉两张王牌），每人随意摸两张牌，至少有多少人才能保证他们当中一定有两人所摸两张牌的花色情况是相同的？ 【答案解析】 扑克牌中有方块、梅花、黑桃、红桃4种花色，2张牌的花色可以有：2张方块，2张梅花，2张红桃，2张黑桃，1张方块1 张梅花，1张方块1张黑桃，1张方块1张红桃，1张梅花1张黑桃，1张梅花1张红桃，1张黑桃1张红桃共计10种情况.把这10种花色配组看作10个抽屉，只要苹果的个数比抽屉的个数多1个就可以有题目所要的结果.所以至少有11个人。 题5：（高等难度） 下图中，ABCD是边长为1的正方形，A，E，F，G，H分别是四条边AB，BC，CD，DA的中点，计算图中红色八边形的面积。 【答案解析】

奥数赠品数论50题

数论50题 1．由1，3，4，5，7，8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少？【分析】各位数字和为1+3+4+5+7+8=28 所以偶数位和奇数位上数字和均为14 为了使得该数最大，首位必须是8，第2位是7，14-8=6 那么第3位一定是5，第5位为1 该数最大为875413。 2．请用1，2，5，7，8，9这六个数字（每个数字至多用一次）来组成一个五位数，使得它能被75整除，并求出这样的五位数有几个？ 【分析】 75=3×25 若被3整除，则各位数字和是3的倍数，1+2+5+7+8+9=32 所以应该去掉一个被3除余2的，因此要么去掉2要么去掉8 先任给一个去掉8的，17925即满足要求 1）若去掉8 则末2位要么是25要么是75，前3位则任意排，有3！=6种排法 因此若去掉8则有2*6=12个满足要求的数 2）若去掉2 则末2位只能是75，前3位任意排，有6种排法 所以有6个满足要求 综上所述，满足要求的五位数有18个。 3．已知道六位数20□279是13的倍数，求□中的数字是几？ 【分析】根据被13整除的判别方法，用末三位减去前面的部分得到一个两位数，十位是7，个位是（9-□），它应该是13的倍数，因为13|78,所以9-□=8 □中的数字是1 4．某自然数，它可以表示成9个连续自然数的和，又可以表示成10个连续自然数的和，还可以表示成11个连续自然数的和，那么符合以上条件的最小自然数是？（2005全国小学数学奥赛）【分析】可以表示成连续9个自然数的和说明该数能被9整除，可以表示成连续10个自然数的和说明该数能被5整除，可表示成连续11个自然数的和说明该数能被11整除 因此该数是[9,5,11]=495，因此符合条件的最小自然数是495。 111考了优秀，一次考试中，某班同学有考了良好，考了及格，剩下的人不及格，已知该5．723班同学的人数不超过50，求有多少人不及格？ 【分析】乍一看这应该是一个分数应用题，但实际上用到的却是数论的知识，由于人数必须是整数，所以该班同学的人数必须同时是2，3，7的倍数，也就是42的倍数，又因为人数不超过50，111--）×42=1人 1-所以只能是42人，因此不及格的人数为（7326．（1）从1到3998这3998个自然数中，有多少个能被4整除？ （2）从1到3998这3998个自然数中，有多少个数的各位数字之和能被4整除？ （第14届迎春杯考题） 【分析】（1）3998/4=999….6所以1-3998中有996个能被4整除的

小学奥数数论专题知识总结

数论基础知识 小学数论问题，起因于除法算式：被除数÷除数＝商……余数 1.能整除：整除，因数与倍数，奇数与偶数，质数与合数，公因数与公倍数，分解质因数等； 2.不能整除：余数，余数的性质与计算（余数），同余问题（除数），物不知数问题（被除数）。 一、因数与倍数 1、因数与倍数 （1）定义： 定义1：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的因数。 定义2：如果非零自然数a、b、c之间存在a×b＝c，或者c÷a＝b，那么称a、b是c的因数，c是a、b 的倍数。 注意：倍数与因数是相互依存关系，缺一不可。（a、b是因数，c是倍数） 一个数的因数个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。 一个数的倍数个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 （2）一个数的因数的特点： ①最小的因数是1，第二小的因数一定是质数； ②最大的因数是它本身，第二大的因数是：原数÷第二小的因数 （3）完全平方数的因数特征： ①完全平方数的因数个数是奇数个，有奇数个因数的数是完全平方数。 ②完全平方数的质因数出现次数都是偶数次； ③1000以内的完全平方数的个数是31个，2000以内的完全平方数的个数是44个，3000以内的完 全平方数的个数是54个。（312=961，442=1936，542=2916） 2、数的整除（数的倍数） （1）定义： 定义1：一般地，三个整数a、b、c，且b≠0，如有a÷b＝c，则我们就说，a能被b整除，或b能整除a，或a能整除以b。 定义2：如果一个整数a，除以一个整数b（b≠0），得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。（a≥b） （2）整除的性质： 如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。 如果a能被b整除，c是整数，那么a×c也能被b整除。 如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。 如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。 （3）一些常见数的整除特征（倍数特征）： ①末位判别法 2、5的倍数特征：末位上的数字是2、5的倍数。 4、25的倍数特征：末两位上的数字是4、25的倍数。 8、125的倍数特征：末三位上的数字是8、125的倍数。 ②截断求和法（从右开始截） 9（及其因数3）的倍数特征：一位截断求和 99（及其因数3、9、11、33）的倍数特征：两位截断求和 999（及其因数3、9、27、37、111、333）的倍数特征：三位截断求和 ③截断求差法（从右开始截） 11的倍数特征：一位截断求差 101的倍数特征：两位截断求差 1001（及其因数7、11、13、77、91、143）的倍数特征：三位截断求差

小学奥数数论专题

名校真题测试卷10 （数论篇一） 1、（05年人大附中考题）有_____个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每个数字都能整除它本身。 2、（05年101中学考题） 如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原来的数的9倍，问这个两位数 是_____。 3 （05年首师附中考题） 1 21+ 202 2121 + 50513131313 21212121212121 =________。 4 （04年人大附中考题） 甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135．那么甲最小是____。 (02年人大附中考题) 下列数不是八进制数的是( ) A、125 B、126 C、127 D、128 【附答案】 1 【解】：6 2 【解】：设原来数为ab，这样后来的数为a0b,把数字展开我们可得：100a+b=9×(10a+b),所以我们可以知道5a=4b,所以a=4,b=5,所以原来的两位数为45。 3 【解】：周期性数字，每个数约分后为1 21 + 2 21 + 5 21 + 13 21 =1 4 【解】：题中要求丙与135的乘积为甲的平方数，而且是个偶数（乙+乙），这样我们分解135=5×3×3×3，所以丙最小应该是2×2×5×3，所以甲最小是：2×3×3×5=90。 5 【解】：八进制数是由除以8的余数得来的，不可能出现8，所以答案是D。 第十讲小升初专项训练数论篇（一） 一、小升初考试热点及命题方向 数论是历年小升初的考试难点，各学校都把数论当压轴题处理。由于行程题的类型较多，题型多样，变化众多，所以对学生来说处理起来很头疼。数论内容包括：整数的整除性，同余,奇数与偶数,质数与合数,约数与倍数,整数的分解与分拆等。作为一个理论性比较强的专题，数论在各种杯赛中都会占不小的比重，而且数论还和数字谜,不定方程等内容有着密切的联系,其重要性是不言而喻的。 二、考点预测 的小升初考试将继续以填空和大题形式考查数论，命题的方向可能偏向小题考察单方面的知识点，大题

(完整版)小学奥数中的数论问题

小学奥数中的数论问题 在奥数竞赛中有一类题目叫做数论题，这一部分的题目具有抽象，思维难度大，综合运用知识点多的特点，基本上出现数论题目的时候大部分同学做得都不好。 一、小学数论究包括的主要内容 我们小学所学习到的数论内容主要包含以下几类： 整除问题：（1）整除的性质；（2）数的整除特征（小升初常考内容） 余数问题：（1）带余除式的运用被除数=除数×商+余数.（余数总比除数小） （2）同余的性质和运用 奇偶问题：（1）奇偶与加减运算；（2）奇偶与乘除运算质数合数：重点是质因数的分解（也称唯一分解定理）约数倍数：（1）最大公约最小公倍数两大定理 一、两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。 二、两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。 （2）约数个数决定法则（小升初常考内容） 整数及分数的分解与分拆：这一部分在难度较高竞赛中常

出现，属于较难的题型。二、数论部分在考试题型中的地位 在整个数学领域，数论被当之无愧的誉为“数学皇后”。翻开任何一本数学辅导书，数论的题型都占据了显著的位置。在小学各类数学竞赛和小升初考试中，系统研究发现，直接运用数论知识解题的题目分值大概占据整张试卷总分的30%左右，而在竞赛的决赛试题和小升初一类中学的分班测试题中，这一分值比例还将更高。 出题老师喜欢将数论题作为区分尖子生和普通学生的依据，这一部分学习的好坏将直接决定你是否可以在选拔考试中拿到满意的分数。三、孩子在学习数论部分常常会遇到的问题 数学课本上的数论简单，竞赛和小升初考试的数论不简单。 有些孩子错误地认为数论的题目很简单，因为他们习惯了数学课本上的简单数论题，比如：例1：求36有多少个约数？ 这道题就经常在孩子们平时的作业里和单元测试里出现。可是小升初考题里则是：例2：求3600有多少个约数？ 很多孩子就懵了，因为“平时考试里没有出过这么大的数！”（孩子语）于是乎也硬着头皮用课堂上求约数的方法去求，白白浪费了大把的时间，即使最后求出结果也并不划

六年级奥数分数应用题经典例题加练习带答案

一．知识的回顾 1.工厂原有职工128人，男工人数占总数的1 4 ，后来又调入男职工若干人，调入后男工人数占总人数的 2 5 ，这时工厂共有职工 人． 【解析】 在调入的前后，女职工人数保持不变．在调入前，女职工人数为1 128(1)964 ?-=人， 调入后女职工占总人数的23155-=，所以现在工厂共有职工3 961605 ÷=人． 2.有甲、乙两桶油，甲桶油的质量是乙桶的5 2 倍，从甲桶中倒出5千克油给乙桶后，甲桶 油的质量是乙桶的4 3 倍，乙桶中原有油 千克． 【解析】 原来甲桶油的质量是两桶油总质量的55 527 =+，甲桶中倒出5千克后剩下的油的 质量是两桶油总质量的44 437 =+，由于总质量不变，所以两桶油的总质量为 545()3577÷-=千克，乙桶中原有油2 35107 ?=千克． 【例 2】 （1）某工厂二月份比元月份增产10％，三月份比二月份减产10％．问三月份比 元月份增产了还是减产了？（2）一件商品先涨价15％，然后再降价15％，问现在的价格和原价格比较升高、降低还是不变？ 【解析】 （1）设二月份产量是1，所以元月份产量为： ()10 11+10%= 11 ÷，三月份产量为：110%=0.9-，因为 10 11 ＞0.9，所以三月份比元月份减产了 （2）设商品的原价是1，涨价后为1+15%=1.15，降价15%为： ()1.15115%=0.9775?-，现价和原价比较为：0.9775＜1，所以价格比较后是价降低了。

【巩固】 把100个人分成四队，一队人数是二队人数的1 13倍，一队人数是三队人数的11 4 倍，那么四队有多少个人? 【解析】 方法一：设一队的人数是“1”，那么二队人数是：13 113 4 ÷= ，三队的人数是：141145÷=，345114520++=，因此，一、二、三队之和是：一队人数5120 ?，因为 人数是整数，一队人数一定是20的整数倍，而三个队的人数之和是51?(某一整数)， 因为这是100以内的数，这个整数只能是1．所以三个队共有51人，其中一、二、三队各有20，15，16人．而四队有：1005149-=(人)． 方法二：设二队有3份，则一队有4份；设三队有4份，则一队有5份.为统一一队所以设一队有[4,5]20=份，则二队有15份，三队有16份，所以三个队之和为15162051++=份，而四个队的份数之和必须是100的因数，因此四个队份数之和是100份，恰是一份一人，所以四队有1005149-=人(人). 【例 3】 新光小学有音乐、美术和体育三个特长班，音乐班人数相当于另外两个班人数的 25，美术班人数相当于另外两个班人数的3 7，体育班有58人，音乐班和美术班各有多少人？ 【解析】 条件可以化为：音乐班的人数是所有班人数的22 527 =+，美术班的学生人数是所 有班人数的337310=+，所以体育班的人数是所有班人数的2329 171070 --=，所以所 有班的人数为295814070 ÷=人，其中音乐班有2 140407?=人，美术班有 3 1404210 ?=人. 【巩固】 甲、乙、丙三人共同加工一批零件，甲比乙多加工20个，丙加工零件数是乙加工 零件数的45，甲加工零件数是乙、丙加工零件总数的5 6 ，则甲、丙加工的零件数 分别为 个、 个． 【解析】 把乙加工的零件数看作1，则丙加工的零件数为4 5 ，甲加工的零件数为 453(1)562+?=，由于甲比乙多加工20个，所以乙加工了3 20(1)402 ÷-=个，甲、

小学奥数数论知识点总结

小学奥数数论知识点总结 1.奇偶性问题 奇+奇=偶奇×奇=奇 奇+偶=奇奇×偶=偶 偶+偶=偶偶×偶=偶 2.位值原则 形如：abc=100a+10b+c 3.数的整除特征： 整除数特征 2末尾是0、2、4、6、8 3各数位上数字的和是3的倍数 5末尾是0或5 9各数位上数字的和是9的倍数 11奇数位上数字的和与偶数位上数字的和，两者之差是11的倍数4和25末两位数是4(或25)的倍数 8和125末三位数是8(或125)的倍数 7、11、13末三位数与前几位数的差是7(或11或13)的倍数 4.整除性质 ①如果c|a、c|b，那么c|(ab)。 ②如果bc|a，那么b|a，c|a。 ③如果b|a，c|a，且(b,c)=1,那么bc|a。④如果c|b,b|a,那么c|a.

⑤a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。 5.带余除法 一般地，如果a是整数，b是整数(b≠0),那么一定有另外两个整数q和r，0≤r 当r=0时，我们称a能被b整除。 当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商(亦简称为商)。用带余数除式又可以表示为a÷b=q……r,0≤r 6.唯一分解定理 任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即n=p1×p2×...×pk 7.约数个数与约数和定理 设自然数n的质因子分解式如n=p1×p2×...×pk那么：n的约数个数： d(n)=(a1+1)(a2+1)....(ak+1) n的所有约数和：(1+P1+P1+…p1)(1+P2+P2+…p2)… (1+Pk+Pk+…pk) 8.同余定理 ①同余定义：若两个整数a，b被自然数m除有相同的余数，那么称a，b 对于模m同余，用式子表示为a≡b(modm) ②若两个数a，b除以同一个数c得到的余数相同，则a，b的差一定能被c整除。③两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和。 ④两数的差除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数差。 ⑤两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积。 9.完全平方数性质 ①平方差：A-B=(A+B)(A-B)，其中我们还得注意A+B，A-B同奇偶性。

小学六年级奥数题及答案详解讲解学习

小学六年级奥数题及 答案详解

六年级奥数题及答案 1、电影票原价每张若干元,现在每张降低3元出售,观众增加一半,收入增加五分之一,一张电影票原价多少元？ 解：设一张电影票价x元 (x-3)×（1+1/2）=(1+1/5)x (1+1/5)x这一步是什么意思，为什么这么做 (x-3){现在电影票的单价}×（1+1/2){假如原来观众总数为整体1，则现在的观众 人数为（1+2/1)} 左边算式求出了总收入 (1+1/5）x{其实这个算式应该是：1x*（1+5/1）把原观众人数看成整体1，则 原来应收入1x元，而现在增加了原来的五分之一，就应该再*（1+5/1），减缩 后得到（1+1/5x）} 如此计算后得到总收入，使方程左右相等 2、甲乙在银行存款共9600元，如果两人分别取出自己存款的40%，再从甲存款中提120元给乙。这时两人钱相等，求乙的存款 答案 取40％后，存款有 9600×（1－40％）＝5760（元） 这时，乙有：5760÷2＋120＝3000（元） 乙原来有：3000÷（1－40％）＝5000（元） 3、由奶糖和巧克力糖混合成一堆糖，如果增加10颗奶糖后，巧克力糖占总数的60%。再增加30颗巧克力糖后，巧克力糖占总数的75%,那么原混合糖中有奶糖多少颗？巧克力糖多少颗？

答案 加10颗奶糖，巧克力占总数的60%，说明此时奶糖占40%， 巧克力是奶糖的60/40=1.5倍 再增加30颗巧克力，巧克力占75%，奶糖占25%，巧克力是奶糖的3倍 增加了3-1.5=1.5倍，说明30颗占1.5倍 奶糖=30/1.5=20颗 巧克力=1.5*20=30颗 奶糖=20-10=10颗 4、小明和小亮各有一些玻璃球，小明说：“你有球的个数比我少1/4！”小亮说：“你要是能给我你的1/6，我就比你多2个了。”小明原有玻璃球多少个？答案 小明说：“你有球的个数比我少1/4！”，则想成小明的球的个数为4份，则小亮的球的个数为3份 4*1/6＝2/3 （小明要给小亮2/3份玻璃球） 小明还剩：4-2/3＝3又1/3（份） 小亮现有：3+2/3＝3又2/3（份） 这多出来的1/3份对应的量为2，则一份里有：3*2＝6（个） 小明原有4份玻璃球，又知每份玻璃球为6个，则小明原有玻璃球4*6＝24（个） 5、搬运一个仓库的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时.有同样的仓库A和B，甲在A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运.最后两个仓库货物同时搬完.问丙帮助甲、乙各多少时间？

小学奥数专题之-数论专题典型结论汇总

数论专题典型结论汇总 整除 一、常见数字的整除判定方法 1. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除； 一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除； 一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除； 2. 一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除； 一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除； 3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除. 4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除. 5.如果一个数能被99整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数都有两个数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是99的倍数，这个数一定是99的倍数。 【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.） 二、整除性质 性质1 如果数a 和数b 都能被数c 整除，那么它们的和或差也能被c 整除．即如果c ︱a ， c ︱b ，那么c ︱(a ±b )． 性质2 如果数a 能被数b 整除，b 又能被数c 整除，那么a 也能被c 整除．即如果b ∣a ， c ∣b ，那么c ∣a ． 用同样的方法，我们还可以得出： 性质3 如果数a 能被数b 与数c 的积整除，那么a 也能被b 或c 整除．即如果bc ∣a ，那 么b ∣a ，c ∣a ． 性质4 如果数a 能被数b 整除，也能被数c 整除，且数b 和数c 互质，那么a 一定能被b 与c 的乘积整除．即如果b ∣a ，c ∣a ，且(b ，c )=1，那么bc ∣a ． 例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12． 性质5 如果数a 能被数b 整除，那么am 也能被bm 整除．如果 b ｜a ，那么bm ｜am （m 为 非0整数）； 性质6 如果数a 能被数b 整除，且数c 能被数d 整除，那么ac 也能被bd 整除．如果 b ｜ a ，且d ｜c ，那么bd ｜ac ； 质数合数 一、判断一个数是否为质数的方法 根据定义如果能够找到一个小于p 的质数q (均为整数)，使得q 能够整除p ，那么p 就不是质数，所以我们只要拿所有小于p 的质数去除p 就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p ，我们可以先找一个大于且接近p 的平方数2K ，再列出所有不大于K 的质数，用这些质数去除p ，如没有能够除尽的那么p 就为质数.例如：149很接近1441212=?，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数. 二、唯一分解定理 任何一个大于1的自然数n 都可以写成质数的连乘积，即： 312123k a a a a k n p p p p =????

小学奥数数论问题余数问题练习题【五篇】

小学奥数数论问题余数问题练习题【五篇】 分析：这个题没有告诉我们,这三个数除以这个数的余数分别是多少,但是因为所得的余数相同,根据性质2,我们能够得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数. 101-45=56,101-59=42,59-45=14,(56,42,14)=14,14的约数有1,2,7,14,所以这个数可能为2,7,14. 2.已知三个数127,99和一个小于30的两位数a除以一个一位数b 的余数都是3,求a和b的值. 分析：127-3=124,99-3=96,则b是124和96的公约数.而(124,96)=4,所以b=4.那么a的可能取值是11,15,19,23,27. 3.除以99,余数是______. 分析：所求余数与19×100,即与1900除以99所得的余数相同,所以所求余数是19. 4.求下列各式的余数： (1)2461×135×6047÷11 (2)19992000÷7 分析：(1)5;(2)1999÷7的余数是4,19992000 与42000除以7 的余数相同.然后再找规律,发现4 的各次方除以7的余数的排列规律是 4,2,1,4,2,1......这么3个一循环,所以由2000÷3 余2 能够得到42000除以7 的余数是2,故19992000÷7的余数是2 . 【第二篇】

(小学数学奥林匹克初赛)有苹果,桔子各一筐,苹果有240个,桔子有313个,把这两筐水果分给一些小朋友,已知苹果等分到最后余2个不够分,桔子分到最后还余7个桔子不够再分,求最多有多少个小朋友参加分水果 分析：此题是一道求除数的问题.原题就是说,已知一个数除240余2,除313余7,求这个数为多少,我们能够根据带余除法的性质把它转化成整除的情况,从而使问题简化,因为240被这个数除余2,意味着240-2=238恰被这个数整除,而313被这个数除余7,意味着这313—7=306恰为这个数的倍数,我们只需求238和306的公约数便可求出小朋友最多有多少个了.240—2=238(个) ,313—7=306(个) ,(238,306)=34(人) . 【第三篇】 有一个大于1的整数,除45,59,101所得的余数相同,求这个数. 分析：这个题没有告诉我们,这三个数除以这个数的余数分别是多少,但是因为所得的余数相同,根据性质2,我们能够得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数. 101-45=56,101-59=42,59-45=14,(56,42,14)=14,14的约数有1,2,7,14,所以这个数可能为2,7,14. 【第四篇】 1.已知三个数127,99和一个小于30的两位数a除以一个一位数b的余数都是3,求a和b的值. 分析：127-3=124,99-3=96,则b是124和96的公约数.而(124,96)=4,所以b=4.那么a的可能取值是11,15,19,23,27. 2.除以99的余数是______.

小学奥数知识点大全 数论

小学奥数知识点大全：数论问题 1．奇偶性问题 奇+奇=偶奇×奇=奇 奇+偶=奇奇×偶=偶 偶+偶=偶偶×偶=偶 2．位值原则 形如：abc=100a+10b+c 3．数的整除特征： 整除数特征 2末尾是0、2、4、6、8 3各数位上数字的和是3的倍数 5末尾是0或5 9各数位上数字的和是9的倍数 11奇数位上数字的和与偶数位上数字的和，两者之差是11的倍数 4和25末两位数是4（或25）的倍数 8和125末三位数是8（或125）的倍数 7、11、13末三位数与前几位数的差是7（或11或13）的倍数 4．整除性质 ①如果c|a、c|b，那么c|(ab)。 ②如果bc|a，那么b|a，c|a。 ③如果b|a，c|a，且（b,c）=1,那么bc|a。 ④如果c|b,b|a,那么c|a. ⑤a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。 5．带余除法 一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,那么一定有另外两个整数q和r，0?r＜b,使得a=b×q+r 当r=0时，我们称a能被b整除。 当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称为商）。用带余数除式又可以表示为a÷b=q……r,0?r＜ba=b×q+r 6.唯一分解定理

任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即 n=p1×p2×...×pk 7.约数个数与约数和定理 设自然数n的质因子分解式如n=p1×p2×...×pk那么： n的约数个数：d(n)=(a1+1)(a2+1)....(ak+1) n的所有约数和：（1+P1+P1+…p1）（1+P2+P2+…p2）…（1+Pk+Pk+…pk） 8.同余定理 ①同余定义：若两个整数a，b被自然数m除有相同的余数，那么称a，b对于模m同余，用式子表示为a≡b(modm) ②若两个数a，b除以同一个数c得到的余数相同，则a，b的差一定能被c整除。 ③两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和。 ④两数的差除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数差。 ⑤两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积。 9．完全平方数性质 ①平方差：A-B=（A+B）（A-B），其中我们还得注意A+B，A-B同奇偶性。 ②约数：约数个数为奇数个的是完全平方数。 约数个数为3的是质数的平方。 ③质因数分解：把数字分解，使他满足积是平方数。 ④平方和。 10．孙子定理（中国剩余定理） 11．辗转相除法 12．数论解题的常用方法： 枚举、归纳、反证、构造、配对、估计

六年级奥数倒推法解题讲座(含答案解析)

六年级奥数倒推法解题讲座（含答案解析） 倒推法解题 一、知识要点 有些应用题如果按照一般方法，顺着题目的条件一步一步地列出算式求解，过程比较繁琐。所以，解题时，我们可以从最后的结果出发，运用加与减、乘与除之间的互逆关系，从后到前一步一步地推算，这种思考问题的方法叫倒推法。 二、精讲精练 【例题1】一本文艺书，小明天看了全书的1/3，第二天看了余下的3/5，还剩下48页，这本书共有多少页？ 【思路导航】从“剩下48页”入手倒着往前推，它占余下的1－3/5＝2/5。天看后还剩下48÷2/5＝120页，这120页占全书的1－1/3＝2/3，这本书共有120÷2/3＝180页。即 ÷÷＝180 答：这本书共有180页。 练习1： １．某班少先队员参加劳动，其中3/7的人打扫礼堂，剩下队员中的5/8打扫操场，还剩12人打扫教室，这个班共有多少名少先队员？ ２．一辆汽车从甲地出发，天走了全程的3/8，第二天

走了余下的2/3，第三天走了250千米到达乙地。甲、乙两地间的路程是多少千米？ ３．把一堆苹果分给四个人，甲拿走了其中的1/6，乙拿走了余下的2/5，丙拿走这时所剩的3/4，丁拿走最后剩下的15个，这堆苹果共有多少个？ 【例题2】筑路队修一段路，天修了全长的1/5又100米，第二天修了余下的2/7，还剩500米，这段公路全长多少米？ 【思路导航】从“还剩500米”入手倒着往前推，它占余下的1－2/7＝5/7，天修后还剩500÷5/7＝700米，如果天正好修全长的1/5，还余下700+100＝800米，这800米占全长的1－1/5＝4/5，这段路全长800÷4/5＝1000米。列式为： 【500÷+100】÷＝1000米 答：这段公路全长1000米。 练习2： １．一堆煤，上午运走2/7，下午运的比余下的1/3还多6吨，最后剩下14吨还没有运走，这堆煤原有多少吨？ ２．用拖拉机耕一块地，天耕了这块地的1/3又2公顷，第二天耕的比余下的1/2多3公顷，还剩下35公顷，这块地共有多少公顷？ ３．一批水泥，天用去了1/2多1吨，第二天用去了余

小学奥数-数论专题知识总结

数论基础知识 小学数论问题,起因于除法算式：被除数÷除数＝商……余数 1.能整除：整除,因数与倍数,奇数与偶数,质数与合数,公因数与公倍数,分解质因数等； 2.不能整除：余数,余数的性质与计算（余数）,同余问题（除数）,物不知数问题（被除数）。 一、因数与倍数 1、因数与倍数 （1）定义： 定义1：若整数a能够被b整除,a叫做b的倍数,b就叫做a的因数。 定义2：如果非零自然数a、b、c之间存在a×b＝c,或者c÷a＝b,那么称a、b是c的因数,c是a、b 的倍数。 注意：倍数与因数是相互依存关系,缺一不可。（a、b是因数,c是倍数） 一个数的因数个数是有限的,最小的因数是1,最大的因数是它本身。 一个数的倍数个数是无限的,最小的倍数是它本身,没有最大的倍数。 （2）一个数的因数的特点： ①最小的因数是1,第二小的因数一定是质数； ②最大的因数是它本身,第二大的因数是：原数÷第二小的因数 （3）完全平方数的因数特征： ①完全平方数的因数个数是奇数个,有奇数个因数的数是完全平方数。 ②完全平方数的质因数出现次数都是偶数次； ③1000以内的完全平方数的个数是31个,2000以内的完全平方数的个数是44个,3000以内的完 全平方数的个数是54个。（312=961,442=1936,542=2916） 2、数的整除（数的倍数） （1）定义： 定义1：一般地,三个整数a、b、c,且b≠0,如有a÷b＝c,则我们就说,a能被b整除,或b能整除a,或a能整除以b。 定义2：如果一个整数a,除以一个整数b（b≠0）,得到一个整数商c,而且没有余数,那么叫做a能被b 整除或b能整除a,记作b|a。（a≥b） （2）整除的性质： 如果a、b能被c整除,那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。 如果a能被b整除,c是整数,那么a×c也能被b整除。 如果a能被b整除,b又能被c整除,那么a也能被c整除。 如果a能被b、c整除,那么a也能被b和c的最小公倍数整除。 （3）一些常见数的整除特征（倍数特征）： ①末位判别法 2、5的倍数特征：末位上的数字是2、5的倍数。 4、25的倍数特征：末两位上的数字是4、25的倍数。 8、125的倍数特征：末三位上的数字是8、125的倍数。 ②截断求和法（从右开始截） 9（及其因数3）的倍数特征：一位截断求和 99（及其因数3、9、11、33）的倍数特征：两位截断求和 999（及其因数3、9、27、37、111、333）的倍数特征：三位截断求和 ③截断求差法（从右开始截） 11的倍数特征：一位截断求差 101的倍数特征：两位截断求差

六年级奥数体育比赛中的数学问题

六年级奥数体育比赛中 的数学问题 集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）

体育比赛中的数学问题一．知识点总结 1.单循环赛：每两个队之间都要比赛一场，无主客场之分。 （通俗的说就是除了不和自己比赛，其他人都要比） 2.双循环赛：每两个队都要比赛一场，有主客场之分。 （每个队和同一个对手交换场地赛两次） 一共比赛场数=（人数-1）×人数 3.淘汰赛：每两个队用一场比赛定胜负，经过若干轮之后，最后决出冠 军。 （每场比赛输者打包回家） 二．做题方法 1.点线图 2.列表法 3.极端性分析------根据个人比赛场数，猜个人最高分 根据得分，猜“战况” 三．例题分析 例题1：三年级四个班进行足球比赛，每两个班之间都要赛一场，每个班赛几场？一共要进行多少场比赛？ 解析：除了不和自己赛，和其他班都要赛，所以每个班赛4-1=3场 一共进行的场数：3×4÷2=6场 学案1：每个学校都要赛一场，共赛了28场，那么有几个学校参加比赛？ 解析：方法一：“老土方法”：1+2+3+4+……7=28 7+1=8个

方法二：（人数-1）×人数=28×2=56 7×8=56，所以为8人 例题2：20名羽毛球运动员参加单打比赛，淘汰赛，那么冠军一共要比赛多少场？ 解析：第一轮：20÷2=10（场），10名胜利者进入下一轮比赛 第二轮：10÷2=5（场）， 5名胜利者进入下一轮比赛 第三轮：5÷2=2（场）....1人，3名胜利者进入下一轮比赛 第四轮：2÷2=1（场）胜利者和第三轮中剩下的一人进入下一轮比赛 第五轮：2÷2=1（场） 冠军一共参加了5场比赛。 决出冠军一共要比赛的场数：一场比赛淘汰一人，除了冠军不被淘汰 20-1=19场 例题3：规定投中一球得5分，投不进得2分，涛涛共投进6个球，得了16分，涛涛投中几个球？ 解析：方法一：（鸡兔同笼） 6个球全投进得5×6=30分 少得了30-16=14分 有1个不进的球就少得5+2=7分，不但没得5分，反而倒扣2分 所以没进的个数14÷7=2个 进的个数6-2=4个 方法二：5×（） -2 ×（） = 16 根据个位数字特点猜数，5×（ 4 ） -2 ×（ 2 ） = 16进了4个

小学奥数讲解 关于数论的问题

奥数题讲解数论问题 所用知识不超过小学5年级，题目难度5颗星。 a,b,c,d都是个位数，由它们组成的四位数abcd和两位数ab、cd满.足(ab+cd) *(ab+cd)=abcd。请问满.足条件的四位数abcd共有多少个? 答案: 3个。 辅导办法:将题目写给小朋友，让他自行思考解答，若20分钟还不能解答,由家长进行讲解。 讲解思路:这种类型的题目,关键是要寻找ab和cd的关系,再根据关系寻找满足条件的数。 步骤1:先思考第一个问题,ab+cd的范围是什么?这个问题很简单, 由于ab+cd的平方是四位数,而32*32=1024 ,99*99=9801, 因此ab+cd在32到99之间。 步骤2:再思考第二个问题,db和cd满足什么关系? 由题意，(ab+cd) *(ab+cd) =100*ab+cd,化简有(ab+cd)*(ab+cd-l)=99*ab 因此，(ab+cd) *(ab+cd-1)是99的倍数。 步骤3:再思考第二个问题,ab+cd可能的取值是多少? 由于99=3*3*11,而(ab+cd)和(ab+cd-1)不可能同时是9的倍数, 因此只可能有3种情况, 结合步骤1中ab+cd的范围讨论。 情况一：ab+cd是9的倍数,ab+cd-1是11的倍数,此时只有ab+cd 是45才满足条件;

情况二:ab+cd是11的倍数,ab+cd-1是9的倍数,此时只有ab+cd是55才满足条件; 情况三:ab+cd或ab+cd-1是99的倍数,此时只有xb+cd是99才满足条件。 步骤4:综合上述几个问题,代入验证， 45*45=2025=(20+25)*(20+25) 55*55=3025= (30+25)*(30+25) 99*99=9801= (98+1) *(98+1),都满足条件, 所以满足条件的数是3个。

小学六年级奥数题及答案详解

六年级奥数题及答案 1、电影票原价每张若干元,现在每张降低3元出售,观众增加一半,收入增加五分之一,一张电影票原价多少元？ 解：设一张电影票价x元 (x-3)×（1+1/2）=(1+1/5)x (1+1/5)x这一步是什么意思，为什么这么做 (x-3){现在电影票的单价}×（1+1/2){假如原来观众总数为整体1，则现在的观众人数为（1+2/1)} 左边算式求出了总收入 (1+1/5）x{其实这个算式应该是：1x*（1+5/1）把原观众人数看成整体1，则原来应收入1x元，而现在增加了原来的五分之一，就应该再*（1+5/1），减缩后得到（1+1/5x）} 如此计算后得到总收入，使方程左右相等 2、甲乙在银行存款共9600元，如果两人分别取出自己存款的40%，再从甲存款中提120元给乙。这时两人钱相等，求乙的存款 答案 取40％后，存款有 9600×（1－40％）＝5760（元） 这时，乙有：5760÷2＋120＝3000（元） 乙原来有：3000÷（1－40％）＝5000（元） 3、由奶糖和巧克力糖混合成一堆糖，如果增加10颗奶糖后，巧克力糖占总数的60%。再增加30颗巧克力糖后，巧克力糖占总数的75%,那么原混合糖中有奶糖多少颗？巧克力糖多少颗？ 答案 加10颗奶糖，巧克力占总数的60%，说明此时奶糖占40%， 巧克力是奶糖的60/40=1.5倍 再增加30颗巧克力，巧克力占75%，奶糖占25%，巧克力是奶糖的3倍 增加了3-1.5=1.5倍，说明30颗占1.5倍 奶糖=30/1.5=20颗 巧克力=1.5*20=30颗 奶糖=20-10=10颗 4、小明和小亮各有一些玻璃球，小明说：“你有球的个数比我少1/4！”小亮说：“你要是能给我你的1/6，我就比你多2个了。”小明原有玻璃球多少个？ 答案 小明说：“你有球的个数比我少1/4！”，则想成小明的球的个数为4份，则小亮的球的个数为3份

【小学数学】小学六年级奥数重点知识点：长方体和正方体知识点带试题解析

（一）长方体和正方体的特征 （二）长方体和正方体的棱长总和 （三）长方体和正方体的表面积 1.概念：长方体或正方体6个面的总面积;叫做它们的表面积。 2.计算公式： 重点提示：不足6个面的实际问题根据具体情况计算;例如鱼缸、无盖纸盒等。

（四）长方体和正方体的体积、容积

2.体积（容积）单位进率换算： 1立方米=1000立方分米 1立方分米=1000立方厘米 1升=1000毫升 1立方分米=1升 1立方厘米=1毫升 奥数练习题 【题目1】： 一个长方体和一个正方体的棱长之和相等。已知长方体的长是6分米;宽是4分米;高是2分米;求正方体的表面积和体积？ 【解析】： 要求出正方体的表面积和体积;必须先求出正方体的棱长。 长方体有12条棱分为3组：4条长、4条宽、4条高;正方体有12条棱;每条棱的长度都相等。 设这个正方体的棱长为x分米;根据题意;可以列出方程： 12x=（6＋4＋2）×4 解得：x﹦4 正方体的棱长为4分米。 所以正方体的表面积为：42×6﹦96（平方分米）。 正方体的体积为：43﹦64（立方分米）。 【题目2】： 一块长方形铁片（厚度不计）;四个角剪去边长为2.8分米的正方形;焊成一个长方体铁皮盒;可以盛水546升。已知这块长方形铁皮的长是21.2分米;求长方形铁皮的面积。 【解析】： 546升﹦546立方分米;即焊成的铁皮盒的容积为546立方分米。厚度不计;铁皮盒的容积也就相当于它的体积。

如上图;铁皮盒的体积为546立方分米;铁片盒的高为2.8分米;铁皮盒底面的长为：21.2－2.8×2﹦15.6（分米）。 所以;铁皮盒底面的宽为：546÷2.8÷15.6﹦12.5（分米）。 则铁皮原来的宽为：12.5＋2.8×2﹦18.1（分米）。 由长方形铁皮原来的长、宽;可以求出它的面积为： 21.2×18.1﹦383.72（平方分米）。 【题目3】： 一个长方体;如果从它的高度方向锯掉3厘米的一段;正好得到一个正方体;但表面积减少了72平方厘米;原来长方体的体积是多少？ 【解析】： 如下图： 从长方体高度方向锯掉3厘米的一段;表面积减少部分就是高3厘米的长方体的四个侧面和一个上面;同时表面积又增加了一个切面;切面面积正好与原长方体上面的面积相等;互相抵消。因此;剩下正方体表面积比原长方体表面积减少的72 平方厘米;就是高3厘米的长方体的侧面积。 所以长方体的底面周长为：72÷3﹦24（厘米）。 剩下部分是个正方体;即长方体底面是正方形;所以长方体的底面边长即所得正方体的棱长为：24÷4﹦6（厘米）。 所以原长方体的体积为： 6×6×（6＋3）﹦324（立方厘米）。 【题目4】： 如图;一个正方体切去一个长方体后;剩下图形的体积和表面积各是多少？（长度单位：厘米） 【解析】： 原正方体棱长为8厘米。

小学奥数专题之数论

1 （人大附中考题） 有____个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每个数字都能整除它本身。1359 ，1935，3195，3915，9135，9315 2 （101中学考题） 如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原来的数的9倍，问这个两位数45 是＿＿。 3（人大附中考题） 甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135．那么甲最小是____。 可以分析出甲甲是偶数，是135的倍数，且是完全平方数 而135=5*3*3*3，最小再乘以15即为完全平方数，若要为偶数则需再乘4 于是丙为60，甲为90，乙为4050 4 (人大附中考题) 下列数不是八进制数的是( D) A、125 B、126 C、127 D、128 预测 1．在1～100这100个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？4456 预测 2．有甲、乙、丙三个网站，甲网站每3天更新一次，乙网站每五5天更新一次，丙网站每7天更新一次。2004年元旦三个网站同时更新，下一次同时更新是在____月____日？4.14 预测 3、从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行．从左向右1至11报数，报数为11的同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右1至11报数，报数为11的同学留下，其余的同学出列；留下的同学第三次从左向右1至1l报数，报到11的同学留下，其余同学出列．那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是____．1331 数论篇二 1 （清华附中考题） 有3个吉利数888，518，666，用它们分别除以同一个自然数，所得的余数依次为a,a+7,a+10,则这个自然数是_____.518=7=511 666-10=656 888,511,656除以这个数，余数相同 888-511=377 888-656=232 这个数为377与232的公因数，且大于10 377=13×29 232=8×29 所以这个自然数为29 2 （三帆中学考题）