第五章平面向量

第五章平面向量

考纲要求：

1. 理解向量的概念.

2. 掌握向量的几何表示.

3. 掌握向量的加法、减法、实数与向量的积和向量与向量的数量积及其几何意义

第一节 平面向量的概念和运算

1. 向量的概念

(1) 向量:既有大小，又有方向的量叫做向量.

(2) 零向量:长度为零的向量，记作0.量向量没有确定的方向. (3单位向量:模为1个单位长度的向量，叫做单位向量.

⑷相等向量:长度相等且方向相同的两个向量，称它们为相等向量. (5)向量的的表示：

① 向量的图形表示.用有向线段表示向量，有向线段的方向表示向量的方向，有向线 段的长度表示向量的大小；

② 符号表示:a 或AB , A 为有向线段的起点，B 为有向线段的终点.

(6)向量的模:向量的大小叫做向量的模，记作|a| 或 |AB|. 2. 向量的加法运算.

(1) 向量加法运算的三角形法则：设AB 二a ,BC 二b ,则a b 即首尾相同的两个向量的和向量就是以第一个向量的起 点为起点，第二个向量的终点为终点的向量.

这个法则可以推广到几个首尾相接的相量的和向量就是 以第一

个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点的 向量.简单地

说成为“首起尾终”.

(2) 向量运算的平行四边形法则：如图，设a ，b 是起点相 同的两个向量，以a ，b 为邻边作平行四边形OACB ，则过 它们公共起点的平行四边形的对角线 OC 对应的向量OC 就 是向量a ， b 的和向量。

(3) 三角形的中线向量定理：三角形一边上的中线所对应的向量等 于另两边所对应的向量的和的一半.即AD 二寸(AB AC)

3. 向量的减法.

(1) 相反向量：与a 长度相等，方向相反的两个向量，叫做a 的相反向量，记作-a.0的 相反向量是0.

(2) 向量的减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差.记作a 「b 二a ，(-b).求两 个向量的差的运算，叫做向量的减法.

(3) 向量减法运算的三角形法则：起点相同的两个向量的差向量，就是以减向量的终 二 AB BC 二 AC . C

B B b C

A

a

A

(4) 向量减法的平行四边形法则：起点相同的两个向量 a , b .以

a ,b为邻边作平行四边形,则对角线BA所确定的向量BA (方向指

向a的终点),就是a_b.O a A

4?实数与向量的积B

C

实数■与向量a的积是一个向量，记作a ,它的长度与方b

向规定如下：

(1)1 -a^| ■ ||a|; O a / A

⑵当0时，￡的方向与a的方向相同；当■0时，v的方向与a的方向相反；当■ =0时，，a等于零向量方向是任意的.

5?两个向量的数量积(内积)

(1) 向量的夹角：设AB二a,AC二b,则- BAC叫做向量a与b的夹角.其中0 _ _180 .

a与b的夹角可以记作:：:a,b ..

如果：::a,b 90，则说a与b垂直，记作a _ b .

(2) 向量的内积:a b =| a || b |cos ：：a,b -. 特别地:①a a =| a |2;

②| a |二.a a ;

③cos 二a b

- ;

-lallbj

④a_b：= ab=0

⑤(a b)2=a22a b b2

⑥(a b) (a _b)二a2_b2

_ _ _ a?b _ _

(3) 向量的投影：| b |cos ：：：a,b二称为b在a方向上的投影.

|a|

例1若O,E,F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是()

A. EF =OF OE

B. EF =OF -OE

C. EF - -OF OE

D. EF - -OF - OE

例2 |a | = 1,|b | = 2 , c = a ■ b ,且 c _ a ,贝U向量：::a, b ■=( ) A. 30 B. 60 C.120 D.150

例3已知非零向量AB与AC满足(AB. >6) BC = 0,且AB

AC 1 * __ =

，

则

| AB| | AC | | AB| | AC| 2

ABC为( ) A.三边不相等的三角形 B.直角三角形

C.等腰非等边三角开

D.等边三角形

例4证明余弦定理: b2= a2c2-2accosB -A

【证明】如图,在. ABC ，幕CA = BA 一 BC .CA CA = (BA-BC) (BA-BC)

即 |CA 『=|BA|2 |BC |2 -2| BA||BC |cos B 也就是 b 2 = a 2 - c 2 -2accosB 例5证明，半圆上的圆周角是直角.

1 」 -*

【证明】如图，设CA = a , CB = b .则CO = — (a b) 2

AB 二 b -a

—— 1 — 由于 |CO|= —| AB|

2

所以一 | b -a |

| a b |，两边平方得，a ?b = 0 , a _ b AC _ BC. 2

2

例6设a,b 是夹角为60的单位向量，求|2a b |.

-* 1 1

【解】由条件知|a|=|b|=1, a b =—

2

N ； --------- “ -

|2a b|= ..4|a|2 4a b |b|2 — 7

例7在 ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若 AM =2，求OA (OB OC)的 最小值。

【解】OM 二■ AM (0 _ ■ _ 1) OA (OB OC) =(OM MA) 2OM 乂 AM - AM ) 2 AM =2 ( -1) |AM |2 1 (2)

=一8 ' (1 ~^--8(

) 2 2

C

A

M

课后练习二十二

1.

已知非

零向量a,b 若a 2b 与a-2b 互相垂直，则1^-等于

(

)

|b |

1

1

A. —

B. —

C.2

D.4

2

4

2.

已知向

量a 与向量b 的夹角为120 ,|a|=3,|a b |=、13，则|b |等于 ( )

A. 5

B. 4

C.3

D. 1

3.

点0是

ABC 所在平面内一点，满足OA OB =0B QC = OC OA ,则O 是 ( )

A.三个内角平分线的交点

B.三条边的垂直平分线的交点

C.三条中线的交点

D.三条高线的交点 4. 在 ABC 中，AB =c , AC =b ，若点 D 满足 -2DC ，则 AD 等于 (

)

2 1 5 2 2 1 1 2

A.—b c

B.—c b

C.— b c

D. — b c 3 3 3 3 3 3

3 3

5. 在 ABC 中，AB =2,BC ABC =60 , AH _ BC ，垂足为 H ， M 为 AH 的中点, B. 2

3

D. -2

3

6. 已知向量a 与向量b 的夹角为120冬且

|W|=|b|=4,那么b ，(2a+b)= ______________________________________________ . 7. 已知向量/与向量b 的夹角为120。且|才|=1,|门=3,则|5扌-b|= _______________ . 8. 已知平面上三点A,B,C 满足|AB 戶3， |BC 戶4，|CA 戶5 ,则AB BC BC CA +

CA AB 的值等于 _

. 亠 -

9. 已知向量 a,b 满足 | a|=1 ,| b |=2 ,| a —b |= 2,则 |a + b |等于 __________ . 10. 已知 OA =a ,OB =b ，且 |a |=|b |=4 ,. AOB =60 .

(1) 求 |a -b |; ⑵求a b 与a 的夹角.

11. 已知a,b 为非零向量,若向量(a 3b) _ (7a -5b)并且(a - 4b) — (7a - 2b),求向量a 与b 的

若AM 「AB 」BC ，则■」的值为 A. 1 2 C. -1 2

夹角.

第二节共线向量平面向量基本定理

1. 平行向量(平面向量基本定理)

方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a〃b,由于向量可以进行任意的平移，平行向量总可以平移到同一条直线上，故平行向量也称为共线向量.零向量与任何向量共线.

2. 共线向量的充要条件

如果向量a为非零向量，那么向量b与向量a共线的充要条件是存在唯一实数人，

使得,b a .

3. 平面向量基本定理

如果e,e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 a ,都存在唯一的一对实数.I使a二’g * '202 .其中不共线的向量0(2叫做这一平面的一组基底，e1,e2分别叫做基向量.

4. 平面内三点共线的充要条件

(1) 如果对于平面内的三点A,B,C,0是该平面内任意一点,且0A= [0B…20C, 则三点代B,C共线的充要条件是* J = 1.

(2) 设向量e i,e2是平面的一组基底,那么a n x g y1e2 , ^x2e1 y2e2 ,那么

a //

b = x1x2y1 = 0 .

例1设两个非零向量a与b不共线.

___ p. h亠F乂亠|. 乂

⑴若AB二a b,BC 2a 8b ,CD = 3a - 3b ,求证：代B,D三点共线.

⑵试确定实数k,使ka b和a kb共线.

(1)【证明】方法一：

AD =AB BC CD =(a b) (2a 8b) (3a -3b) =6(a b) =6AB

■ AB,AD共线，?代B,D共线.

万法二二: CA = CB ■ BA = -3a - 9b, CB = -2a - 8b

设CD 兔CA 2CB

即3a -3b = ■ 1 (-3a - 9b)…心(~2a - 8b) = (-3 ■ 1 - 2込)a ' (-9冷1 - 8冷2 )b 则卜弘一

3,解得;人7

"2=

厂9打—8》2 = _3 ~)'2~6

二打+丸2=1，二A, B, D三点共线.

- - - - k 1

⑵【解】法一：ka b和a kb共线，则—一 ,k ?1.

- - 1k-

法二：ka b和a kb共线，则存在■,使得ka ' b *心-kb)

f. r,

」k =人,2 hk =1

例2如右图,在ABC中,M是BC的中点，N在边AC上，且AN =2NC,AM与BN

相交于P点,求△匕的值?

PM

【解】

---- 1 1 ——3——1——3——

AM (AB AC)=丄(AB AN) AB + AN 2 2 2 2 4

所以AP = ■ AM = _ AB+ — AN

2 4

又由于B,P,N共线,

所以一+ 31, 一4.

2 4 5

AP /

4.

PM

例3平面内有三个向量OA,OB,OC,其中OA与OB的夹角为120 ,OA与OC的夹角为30，且|OA|=|OB| = 1,|OC|=2 3，若OC — OA」OB( J R),求的值?【解】

①如图，当OC在.AOB内时，过C作CA //OB交OA的延长线于 A ,作CB //OA

交OB的延长线于B .那么

N B F O S/OCB q O。

OB'=2, BC =4 .即卩OA' =4 .OB =2OB,OA

=4OA

■ = 4,」=2,，■」=6 ②当OC在.AOB外时，

A OC 二

B O

C =30

OB =OA =2

”?” & =2,卩=—2，九 + A = 0

课后练习二十三

1. a V b(…R)是 a 〃b 的

( )

A.充分非必要条件

B.必要非充分条件

C.既不充分又不必要条件

D.充要条件

2.

若a,b

不共线，且■ a= 0 (■,.” R)，则一定有

(

)

A. a = b =0

B.，=」=0

C.，=0, b=0

D.a=0,」=0

3.

平面向

量a,b 共线的充要条件是

( )

A. a,b 方向相同

B. a,b 两向量中至少有一个为零向量

C. 存在…R,使 b 「a

D.存在不全为零的实数'1, -2,使得

2「2匕=0

4. 在平行四边形ABCD 中,AC 与BD 交于点

O, E 是线段0D 的中点,AE 的延长线与CD

( )

1 1 1 2,

C. -a b

D. — a b

2 4

3 3

,则下列各组向量中，不能作为平面向量一

)

? 2 - - —

6. 设 AB —(a 5b) ,BC 二-2a 8b ,CD =3(a -b)，则共线的三点是

2

A.代 B,C

B. B,C, D 7. 以下四个命题中正确的是

一 1 一 1

A. 若0P = — OA -OB ，则P, A, B 三点共线

2

3

-

B. 若￡,b ｝为平面向量的一组基底，则"a b,a -b ｝也可以构成平面向量的一组基底

C^ ABC 为直角三角形的充要条件是 AB AC =0

D. |a 「|b|=|a b|是a,b 共线的充要条件

8. 如图，OA 二 a ，OB =b ，且 AP = 2AB ，则向量

OP = _________________

9. 设e 1,e 2是两个不共线的向量

交于点F ,若AC =a , BD 二b ,则AF 等于 A 1

1

2

1 ,

A. -a

b

B. — a b 4

2

3 3

5. e!,e 2是表示平面内所有向量的一组基底 组基底的是

■1 * 上

—*■

?.■

A. e 62 和 ? - 62

C. e - 2e 2 和 2ei -

( -- b -

-v

B. 3e - 2e ?和 4e - 6e

I

]

I

D. e i e> 和 e>

e 2

C. A, B,D

D. AC, D ()

,已知 AB = 2? ke 2 , CB 二

A,B, D三点共线,同实数k的值为________ .

10. 如图，在ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交AB,

AC 于不同的两点M , N，若AB =mAM , AC =n AN，求m ? n的值.

C

第三节平面向量的坐标运算

1. 平面向量的坐标表示

(1) 在直角坐标系中，分别取X 轴，y 轴正方向相同的两个单位向量i,j 作为基底, 由平面向量基本定理知，该平面内的任一向量 a 都可以表示成a 二xi ?yj ,这里数对 (x, y)叫做向量a 的坐标,记作a 二(x, y)，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴 上的坐标.

(2) 相等的两个向量坐标对应相同，坐标对应相同的两个向量相等.

(3) 若点A 的坐标是(x , yj ,点B 的坐标是(X 2, y 2)，则AB 二(x 2 -捲，y 2 - yj ，特别地, 如果O 是坐标原点,A 的坐标是(x, y)，则0A 二(x, y).

2. 平面向量的坐标运算

aa.

_ta.

(1)若 a = (x i , yjb 二(X 2, y ?)，则 a b 二(x i x ?, y i y ?) ,a - b 二(x i - x ?, y i - y ?).

⑵若 a =(x, y),则 a =( x, y) (3)

若a =(X i , yjb =(X 2, y ?)，则 a b ? y 』2

⑷若a =(X i , yjb =(X 2, y ?)，则 allb = x°2 - x ?y^0 (5)若 a px^yjb =(X 2, y ?),则 a — b= a b =0= W2 y”2 =0

(6)若 a =(x, y) ，则 | a | 二:.x 2 y 2

⑺两点的距离公式：若 A(X i ,y i ),B(X 2,y 2),则 | AB |=| AB |「化 - xj 2 (y^y i )2

(8)若a =(X i , yjb 十2, y ?)，则 cos ：： a,b

X i X 2 + y i y ? .X i 2

y i 2 /X 22

y ?2

例 1 已 a = (4,一3), | b | = 1, a b = 5 ,求 b .

4

x =

4 . 4 3)

3^^ = (5^5)

例2在矩形ABCD 中,AB 二、2AD ,E 为CD 的中点，F 在对 角线BD 上，且BF -2FD ，求证：

(1) AF _ BD;

⑵代E, F 三点共线.

【证明】(1)不妨令AD =1,AB -..2 ,以A 为坐标原点建立

【解】设b =(x, y),则」 x + y =1

—

、4x —3y = 5

面直角坐标系，.22 —■ ■ ■

=( ,),DB=(2-1), AF DB=O,. AF_DB,. AF _ BD.

3 3

2 3 ______ ___

⑵又AE =(,1) AF AF//AE,所以A,E,F 共线?

2 2

例 3 已知向量m =(cosr,si nr)和n =(.. 2-s in r,cosv),〔三(二,2二)

_ _ 8 j 2 128 【解】| m n | (. 2 - sin — cos^)2(sin v cos^)2

5 25

7

25

cos( )= —

4 25

又二：:：v ::: 2 二,9 二<——8

5 二<

8 2

4

5

平

AF

|m -8 珀'2

n=T

,求cos( )的值.

2 8

课后练习二十四

1. 若平面向量b 与向量a =(1,-2)成180角，且|b|=3..5，则b 等于

()

A . (-3,-6)

B . (-3,6)

C . (6,-3)

D . (-6,3)

2. 已知向量a =(x —5,3),b =(2,x),且a_b ,则x 取值的集合是

()

A . {2,3}

B . { -1,6}

C . {2}

D . {6}

3. 已知向量 a =(1,2), b =(—2,—4), |c|「5,若(a b) c 则 a 与 c 的夹角为() 2

A . 30

B . 60

C . 120

D . 150

4. 在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB 二(2,4) , AC = (1,3),则BD =()

A . (-2,4)

B . (-3,-5)

C . (2,4)

D . (3,5) 5. 若向量 a =(2, 一1), b

=(x,_2), c =(3, y),且 a // b ,

(a b)_ (b -c),则 x y =()

A . 0

B . 2

C . 4

D . -4

6.设向量 a = ( -1,2), b = (2,一1),则(a b)(a b)等于

()

A . (1,1)

B . (-4,-4)

C . -4

D . (-2,-2)

7.在 ABC 中，C =90

,AB =(k,1), AC 二 二(2,3),则k 的值是

()

A . 5

B . - 5 3

D .

3

C .—

2 2

8. 已知 a +b =(2,—8),a —b = (—8,16),贝U a b = ____________

9. 已知向量 a = (1,1),b = (2,-3),若(k^2b)丄 a ,则实数 k = __________________

10. 已知ia=2,ibi=v2, a 与b 的夹角为45。,要使茁-a 与a 垂直，则几= ________________ 11.

已知向量

a = (cos — x,sin — x),

b = (cos △，-sin —),且 x [0, — ].

2 2 2 2 2

(1) 求 a b 及 | a - b |

(2) 求函数f (x) =a b -4 | a b |的最小值.

第四节 定比分点与图形平移

1 ?线段的定比分点的定义

设P l ,P 2是直线I 上的两点,点P 是I 上异于P l ,P 2的任意一点,则存在一个实数-, 使PiP = - PP 2, ■叫做点P 分有向线段所成的比.

(1)当P 在线段RP 2上时，，0,且一

1 PP|

.

|PP 2 |

P

P

P 2

---------- V --------------------------------- V

-------------------

■

⑵当P 在线段RP 2的延长线上时，「:： —1,且

P 1 P 2

P

|RP| /u —— .

|PP 2|

----------- V --------------------------------- V --------------

■

⑶当P 在线段P 1P 2的延长线上时，-1 ：「：：： 0,

P 9

P 1 ■

—I

|P l P| |PP 2|

2.定比分点的坐标公式

X[ + X = -----------

申

■ 4 ]

设 P 1(x 1, yj P 2(X 2, y 2)，p(x,y),由 RP =丸PF 2.则 <

I

1 +丸

3. 中点坐标公式

___ x =

(1)当P 为有向线段P 1P 2的中点时，■二1,所以

y =

(2)如果 ABC 的三个顶点的坐标分别是 A(x 「yj , Bg, y ?), Cg y a ) , ABC

L

X 1 +X 2 +X 3

的重心G(x, y),则有｛

[y 3

-y 1 + y 2 * y 3 3

⑶n 边形AA 2

A n 的顶点坐标分别是A 1 (x 1, y 1), A 2(x 2, y 2^ A n (x n , y n ),重心是

X 1 x 2 2

y 「y 2

2

x1X2亠亠X n

X = G(x, y),则

y =

n y i y2 亠Tn

n

4.图形的平移

(1)设F是坐标平面内的一个图形，将图上的每一点按照同一方向移动同样长度得到图形F ,我们把这一过程叫做图形的平移.

(2)平移公式：设"Z按向量"(h，k)平移后得到点PD'叫y' = y + k

⑶曲线y = f(x)按向量a =(h,k)平移后得到的曲线的函数的解析式为

1已知点A分有向线段BC的比为2，贝U下列的结论中错误的是

——1 点C分AB的比

是-—

3

2 点B分AC的比是-—

3 B .点C分BA的比是- 3

D .点A分CB的比是2

1

2已知三点A(8,0) , B(-4,0), C(5,-3), D点分AB所成的比为丄，E在BC上,且使BDE的面积是ABC的面积的一半，求E的坐标.

1

【解】S BDE二丄BD BE Sin DBE

2

1

S A BC BA BC sin _ ABC

2

1

因为S.BDE =-S ABC,所以BAM=2BD BE

B A1——

BE BC BC BC

2BD 2汉9 3

即BE = — BC

3

设E(x,y),则(x 4, y) = (6, -2),得x = 2,y = -2,所以 E 点的坐标为(2, -2).

例3利用向量平移化简方程xy ? x - 2y = 0,并判断这一方程确定的曲线的形状.

【解】xy x -2y = 0= (x -2)y x 二0= y =

_ 2 _ 2

=y 7二—按向量a =(-2,1)平移得、一.所以其图形是双曲线?

x —2 x

例4已知两点M (一2,0), N(2,0)动点P在y轴上的射影为H ,如果

PM卩N =2| PH | ,求动点P的轨迹方程?

= (-2 — x,-y), PN =(2-x,-y).

【解】设P(x, y),H (0, y),则PH 二(-x,0), PM

所以| PH |2 = x2, PM 卩N = x2 y2 -4.

由PM卩N = 2|PH |2,得y2一x2= 4 ,即为所求轨迹的方程

课后练习二十五

1. 已知点P(4,—9)与Q(—2,3)，则直线PQ与y轴的交点分有向线段PQ所成的比为()

1 1

A. - B C . 2 D . 3

3 2

2. 已知点M(6,2)与N(1,7),直线y=mx — 7与线段MN的交点分有向线段MN所成的比

3

为一,则m的值为() 2

2 3 1

A. B . C . - D . 4

3 2 4

3. 已知三点P1(x1, yj , P2(X2, y2), Psg y3)共线,且为x, X3成公差不为0的等差数列

则R分有向线段所成的比为()

1 1

A. B . C . - 2 D . - 3

3 2

4?点P在线段RP2的延长线上，且IRP2 1=1,1 PP2 |=2,则点P分PP2所成的比是()

2 3 c 1

A .

B .

C . 2

D .—

3 2 3

5. 将函数y=x2?4x?5的图象按向量a经过一次平移后，得到y = x2，则a等于()

A . (2,-1) B. (-2,1) C . (-2,-1) D . (2,1)

x J[ 、" ■6.将函数y=2cos(- )的图象按向量a=( - 二-2)平移后，则平移后所得图象的解析

3 6 4

式为() X丄兀x 兀

A . y = 2 cos( ) - 2

3 4 B . y = 2cos( ) 2

3 4

小x 兀x 兀

C. y =2cos( )-2 D . y 二2cos( ) 2

3 12 3 12

6.在ABC 中,已知A(2,3), B(8,V)，重心G(2, -1) ，则C点的坐标为?

一IT 、, IT 7. 把一个函数的图象按a二「，2)平移后得到的图象对应的解析式为y二sin(x ) 2,

4 4

那么原来函数的解析式是 ____________________ .

8. 已知按向量a把(2, -3)平移到(1, -2),则才把点(-7,2)平移到点 ________________ .

9. _________________________________________________________________ 已知三点R(3,y),P2(x,-1),P3(0,-3)共线，且圧也=3，则x ________________________

| P3P2 |

10. 已知三点A(1,2), B(4,1),C(3,4),在线段AB上取一点P ,使过

P且平行于BC的直线PQ把ABC的面积分成

S.APQ : S四边形P Q C B4: 5的两个部分,求P点的坐标.