最新-全国高中数学联赛模拟试题7 精品

全国高中数学联赛模拟试题（七）

（选题人：李潜）

第一试

一、选择题：（每小题6分，共36分）

1、a 、b 是异面直线，直线c 与a 所成的角等于c 与b 所成的角，则这样的

直线c 有

（A ）1条 （B ）2条 （C ）3条 （D ）无数条

2、已知f (x )是R 上的奇函数，g (x )是R 上的偶函数，若f (x )-g (x )=x 2+2x +3，

则f (x )+g (x )=

（A ）-x 2+2x -3 （B ）x 2+2x -3 （C ）-x 2-2x +3 （D ）x 2-2x +3

3、已知△ABC ，O 为△ABC 内一点，∠AOB =∠BOC =∠COA =3

2π，则使AB +BC +CA ≥m (AO +BO +CO )

成立的m 的最大值是

（A ）2 （B ）35 （C ）3 （D ）2

3 4、设x =0.820.5，y =sin1，z =log 37则x 、y 、z 的大小关系是

（A ）x ＜y ＜z （B ）y ＜z ＜x （C ）z ＜x ＜y （D ）z ＜y ＜x

5、整数??

????+31010951995的末尾两位数字是 （A ）10 （B ）01 （C ）00 （D ）20

6、设(a ,b )表示两自然数a 、b 的最大公约数．设(a ,b )=1，则(a 2+b 2,a 3+b 3)为

（A ）1 （B ）2 （C ）1或2 （D ）可能大于2

二、填空题：（每小题9分，共54分）

1、若f (x )=x 10+2x 9-2x 8-2x 7+x 6+3x 2+6x +1，则f (2-1)= ．

2、设F 1、F 2是双曲线x 2-y 2=4的两个焦点，P 是双曲线上任意一点，从F 1

引∠F 1PF 2平分线的垂线，垂足为M ，则点M 的轨迹方程是 ．

3、给定数列{x n }，x 1=1，且n n n x x x -+=+31

31，则x 1999-x 601= ．

4、 正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 是CD 中点，F 是BB 1中点，则

四面体AD 1EF 的体积是 ．

5、在坐标平面上，由条件?????+-≤--≥3

21x y x y 所限定的平面区域的面积是 ．

6、12个朋友每周聚餐一次，每周他们分成三组，每组4人，不同组坐不同

的桌子．若要求这些朋友中任意两个人至少有一次同坐一张桌子，则至少需要 周．

三、（20分） 已知椭圆122

22=+b

y a x 过定点A (1,0)，且焦点在x 轴上，椭圆与曲线|y |=x 的交点为B 、C ．现有以A 为焦点，过B 、C 且开口向左的抛物线，抛物

线的顶点坐标M (m ,0)．当椭圆的离心率e 满足13

22<

四、（20分）

a 、

b 、

c 均为实数，a ≠b ，b ≠c ，c ≠a ． 证明：2

3≤a c c b b a b a c a c b c b a -+-+--++-++-+222＜2．

五、（20分）

已知f (x )=ax 4+bx 3+cx 2+dx ，满足

（i ）a 、b 、c 、d 均大于0；

（ii ）对于任一个x ∈{-2, -1,0,1,2}，f (x )为整数；

（iii ）f (1)=1,f (5)=70．

试说明，对于每个整数x ，f (x )是否为整数．