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1.初一数学特训班讲义

初一数学基础知识讲义

第一讲和绝对值有关的问题

一、知识结构框图：

数

二、绝对值的意义：

(1)几何意义：一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。

(2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数；

③零的绝对值是零。

也可以写成：

()

() ||0

a a

当为正数

当为0

当为负数

说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数；

（Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。

典型例题

今天是星期日，若明天算是第一天，那么1^3+2^3+3^3+......+1998^3是星期几？

立方和的公式1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2这个数算出来是七的倍数啊所以还是星期一吧

最笨的计算方法：用数学公式：1^3+2^3+2^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2得出数据再除以7看余数是几就是星期几。

第二种方法：1^3=0*7+1

2^3=1*7+1

3^3=4*7-1

4^3=9*7+1

5^3=18*7-1

6^3=31*7-1

7^3=49*7

......

余数相加等于0，既无变化：以此为周期，用2002/7=286无余数，可知由星期几开始，那么结果还是星期几。

4 4 4 4

——— + ———— + ——- +……+ --------

1X3X5 3X5X7 5X7X9 97X99X101

原式=1/（1*3）-1/（3*5）+1/（3*5）-1/（5*7）+……+

1/（97*99）-1/（99*101）

=1/3-1/（99*101）

=3332/9999

三、

例1．（数形结合思想）已知a、b、c在数轴上位置如图：

则代数式| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（A ）

A．-3a B． 2c－a C．2a－2b D． b

解：| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a

分析：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。这道例题运用了数形结合的数学思想，由a 、b 、c 在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简。

例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>，那么y x z y z x --+++

的值（ C ）

A ．是正数

B ．是负数

C ．是零

D ．不能确定符号解：由题意，x 、y 、z 在数轴上的位置如图所示：

所以

分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x 、y 、z 三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题的意识。

例3．（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？

分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。那么究竟谁是正数谁是负数，我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。

解：设甲数为x ，乙数为y 由题意得：y x 3=，

（1）数轴上表示这两数的点位于原点两侧：

若x 在原点左侧，y 在原点右侧，即 x<0，y>0，则 4y=8 ，所以y=2 ,x= -6 若x 在原点右侧，y 在原点左侧，即 x>0，y<0，则 -4y=8 ，所以y=-2,x=6 （2）数轴上表示这两数的点位于原点同侧：

若x 、y 在原点左侧，即 x<0，y<0，则 -2y=8 ，所以y=-4,x=-12 若x 、y 在原点右侧，即 x>0，y>0，则 2y=8 ，所以y=4,x=12

例4．（整体的思想）方程x x -=-20082008 的解的个数是（ D ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．无穷多个

分析：这道题我们用整体的思想解决。将x-2008看成一个整体，问题即转化为求方程

a a -=的解，利用绝对值的代数意义我们不难得到，负数和零的绝对值等于它的相反数，

所以零和任意负数都是方程的解，即本题的答案为D 。

例5．（非负性）已知|a b －2|与|a －1|互为相互数，试求下式的值．

0)()(=--+-+=--+++y x z y z x y

x z y z x

2010

2008

()()()()()()

1111

112220072007

ab a b a b a b

++++

++++++

分析：利用绝对值的非负性，我们可以得到：|a b－2|=|a－1|=0，解得：a=1,b=2

于是

()()()()()()

1111

112220072007

ab a b a b a b

++++

++++++

2009

2008

2009

2008

2009

2008

在上述分数连加求和的过程中，我们采用了裂项的方法，巧妙得出了最终的结果．同学们可以再深入思考，

如果题目变成求值，你有办法求解吗？有兴趣的同学可以在课下继续探究。

例6．（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离4与2

-，3与5，2

-与6

-，4

-与3.

并回答下列各题：

（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：____相等.

（2）若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为―1，则A与B两点间的距离

分析：点B B所在的位置。那么点A呢？因为x可以表示任意有理数，所以点A可以位于数轴上的任意位置。那么，如何求出A 与B两点间的距离呢？

结合数轴，我们发现应分以下三种情况进行讨论。

当x<-1时，距离为-x-1, 当-10，距离为x+1 综上，我们得到A与B两点间的距离可以表示为1

（3）结合数轴求得23

x x

-++的最小值为 5 ，取得最小值时x的取值范围为-3≤x_≤2______.

分析：2

x即x与2的差的绝对值，它可以表示数轴上x与2之间的距离。

)3(3--=+x x 即x 与-3的差的绝对值，

它也可以表示数轴上x 与-3之间的距离。如图，x 在数轴上的位置有三种可能：

图1 图2 图3

图2符合题意

（4）满足341>+++x x 的x 的取值范围为 x<-4或x>-1

分析：同理1+x 表示数轴上x 与-1之间的距离，4+x 表示数轴上x 与-4之间的距离。本题即求，当x 是什么数时x 与-1之间的距离加上x 与-4之间的距离会大于3。借助

数轴，我们可以得到正确答案：x<-4或x>-1。

说明：借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上有关距离的问题，反之，有关数轴上的距离问题也可以转化为绝对值问题。这种相互转化在解决某些问题时可以带来方便。事实上，B A - 表示的几何意义就是在数轴上表示数A 与数B 的点之间的距离。这是一个很有用的结论，我们正是利用这一结论并结合数轴的知识解决了（3）、（4）这两道难题。

四、小结

1．理解绝对值的代数意义和几何意义以及绝对值的非负性 2．体会数形结合、分类讨论等重要的数学思想在解题中的应用

第二讲：代数式的化简求值问题

一、知识链接

1． “代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。它包括整式、分式、二次根式等内容，是初中阶段同学们应该重点掌握的内容之一。

2．用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值，叫做这个代数式的值。注：一般来说，代数式的值随着字母的取值的变化而变化

3．求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学建模的好处，为以后学习方程、函数等知识打下基础。

2008

2007120072007

2007

2222323=+=++=+++=++a a a a a a a 二、典型例题

例1．若多项式(

)

x y x x x mx 5378522

+--++-的值与x 无关，

求()[]

m m m m +---45222

的值.

分析：多项式的值与x 无关，即含x 的项系数均为零

因为()

()83825378522

++-=+--++-y x m x y x x x mx

所以 m=4

将m=4代人，()[]

441616444522

-=-+-=-+-=+---m m m m m m

利用“整体思想”求代数式的值

例2．x=-2时，代数式635-++cx bx ax 的值为8，求当x=2时，代数式63

5-++cx bx ax 的值。

分析：因为863

5=-++cx bx ax

当x=-2时，8622235=----c b a 得到862223

5-=+++c b a ，所以14682223

5-=--=++c b a

当x=2时，63

5-++cx bx ax =206)14(62223

-=--=-++c b a

例3．当代数式532++x x 的值为7时,求代数式2932

-+x x 的值. 分析：观察两个代数式的系数

由7532

=++x x 得232

=+x x ，利用方程同解原理，得6932

=+x x 整体代人，42932

=-+x x

代数式的求值问题是中考中的热点问题，它的运算技巧、解决问题的方法需要我们灵活掌握，整体代人的方法就是其中之一。

例4．已知012

=-+a a ，求200722

++a a 的值.

分析：解法一（整体代人）：由012

=-+a a 得 02

=-+a a a

所以：

解法二（降次）：方程作为刻画现实世界相等关系的数学模型，还具有降次的功能。

2008

2007120072007220072)1(200722007222222223=+=++=++-=++-=++=++a a a a a a a a a a a a a 由012=-+a a ，得a a -=12

，所以：

解法三（降次、消元）：12

=+a a （消元、、减项）

2008

2007120072007)(2007

200722

2222323=+=++=+++=+++=++a a a a a a a a a a a

例5．（实际应用）A 和B 两家公司都准备向社会招聘人才，两家公司招聘条件基本相同，只有工资待遇有如下差异：A 公司，年薪一万元，每年加工龄工资200元；B 公司，半年薪五千元，每半年加工龄工资50元。从收入的角度考虑，选择哪家公司有利？分析：分别列出第一年、第二年、第n 年的实际收入（元）第一年：A 公司 10000； B 公司 5000+5050=10050 第二年：A 公司 10200； B 公司 5100+5150=10250 第n 年：A 公司 10000+200(n-1）；

B 公司：[5000+100(n-1)]+[5000+100(n-1)+50] =10050+200(n-1)

由上可以看出B 公司的年收入永远比A 公司多50元，如不细心考察很可能选错。

例6．三个数a 、b 、c 的积为负数，和为正数，且bc

bc ac ac ab ab c c b b a a x +++++=，则 12

3+++cx bx ax 的值是_______ 。

解：因为abc<0，所以a 、b 、c 中只有一个是负数，或三个都是负数

又因为a+b+c>0，所以a 、b 、c 中只有一个是负数。不妨设a<0，b>0，c>0 则ab<0，ac<0，bc>0

所以x=-1+1+1-1-1+1=0将x=0代入要求的代数式，得到结果为1。

同理，当b<0，c<0时，x=0。另：观察代数式

ac ac ab ab c c b b a a +

++++，交换a 、b 、c 的位置，我们发现代数式不改变，这样的代数式成为轮换式，我们不用对a 、b 、c 再讨论。有兴趣的同学可以在课下查阅资料，看看轮换式有哪些重要的性质。

规律探索问题：

例7．如图，平面内有公共端点的六条射线OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OF ，从射线OA 开始

按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，…．

（1）“17”在射线 ____上，

“2008”在射线___________上．（2）若n 为正整数，则射线OA 上数字的排列规律可以用含n 的代数式表示为__________________________．分析：OA 上排列的数为：1，7，13，19，…

观察得出，这列数的后一项总比前一项多6，归纳得到，这列数可以表示为6n-5

因为17=3×6-1，所以17在射线OE 上。

因为2008=334×6+4=335×6-2，所以2008在射线OD 上

例8．将正奇数按下表排成5列:

第一列第二列第三列第四列第五列第一行 1 3 5 7 第二行 15 13 11 9

第三行 17 19 21 23 第四行 31 29 27 25

根据上面规律，2007应在

A ．125行,3列 B. 125行,2列 C. 251行,2列 D . 251行,5列分析：观察第二、三、四列的数的排列规律，发现第三列数规律容易寻找第三列数： 3，11，19，27，规律为8n-5 因为2007=250×8+7=251×8-1

所以，2007应该出现在第一列或第五列

又因为第251行的排列规律是奇数行，数是从第二列开始从小到大排列，

所以2007应该在第251行第5列

例9．（2006年嘉兴市）定义一种对正整数n 的“F ”运算：①当n 为奇数时，结果为3n ＋5；

②当n 为偶数时，结果为k n 2（其中k 是使k

2为奇数的正整数），并且运算重复进行．例

如，取n ＝26，则：

26 13 44 11

第一次

F ② 第二次

F ① 第三次

F ② …

若n ＝449，则第449次“F 运算”的结果是__________．

分析：问题的难点和解题关键是真正理解“F ”的第二种运算，即当n 为偶数时，结果为k

n 2

（其中k 是使k

n 2 为奇数的正整数），要使所得的商为奇数，这个运算才能结束。

449奇数，经过“F ①”变为1352；1352是偶数，经过“F ②”变为169， 169是奇数，经过“F ①”变为512，512是偶数，经过“F ②”变为1， 1是奇数，经过“F ①”变为8，8是偶数，经过“F ②”变为1，

我们发现之后的规律了，经过多次运算，它的结果将出现1、8的交替循环。

再看运算的次数是449，奇数次。因为第四次运算后都是奇数次运算得到8，偶数次运算得到1，

所以，结果是8。

三、小结

用字母代数实现了我们对数认识的又一次飞跃。希望同学们能体会用字母代替数后思维的扩展，体会一些简单的数学模型。体会由特殊到一般，再由一般到特殊的重要方法。

第三讲：与一元一次方程有关的问题

一、知识回顾

一元一次方程是我们认识的第一种方程，使我们学会用代数解法解决一些用算术解法不容易解决的问题。一元一次方程是初中代数的重要内容，它既是对前面所学知识——有理数部分的巩固和深化，又为以后的一元二次方程、不等式、函数等内容打下坚实的基础。典型例题：

二、典型例题

例1．若关于x 的一元一次方程

2332

x k x k

--+=1的解是x=-1，则k 的值是（） A ．27 B ．1 C ．-1311

D ．0

分析：本题考查基本概念“方程的解”

因为x=-1是关于x 的一元一次方程

2332

x k x k

--+=1的解，

所以

12313)1(2=--+--?k k ，解得k=-13

例2．若方程3x-5=4和方程03

31=--x

a 的解相同，则a 的值为多少？

分析：题中出现了两个方程，第一个方程中只有一个未知数x ，所以可以解这个方程求得x 的值；第二个方程中有a 与x 两个未知数，所以在没有其他条件的情况下，根本没有办法求得a 与x 的值，因此必须分析清楚题中的条件。因为两个方程的解相同，所以可以把第一个方程中解得x 代入第二个方程，第二个方程也就转化为一元一次方程了。解：3x-5=4， 3x=9， x=3 因为3x-5=4与方程 0331=--

a 的解相同所以把x=3代人03

31=--x

a 中

即03

331=--a 得3-3a+3=0，-3a=-6，a=2

例3.（方程与代数式联系）

a 、

b 、

c 、

d 为实数，现规定一种新的运算 bc ad d c b a -=.

（1）则2121

-的值为；（2）当

185

)1(4

=-x 时，x = .

分析：（1）即a=1，b=2，c=-1，d=2，

因为bc ad d c b a -=，所以2121-=2-（-2）=4

（2）由

185

)1(4

=-x 得：10-4（1-x ）=18

所以10-4+4x=18，解得x=3

例4．（方程的思想）如图，一个瓶身为圆柱体的玻璃瓶内装有高a 厘米的墨水，将瓶盖盖

好后倒置，墨水水面高为h 厘米，则瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的（）

A ．

b a a + B ．b a b + C ．h a b

+ D ．h a h + 分析：左右两个图中墨水的体积应该相等，所以这是个等积变换问题，我们可以用方程的思想解决问题

解：设墨水瓶的底面积为S ，则左图中墨水的体积可以表示为Sa 设墨水瓶的容积为V ，则右图中墨水的体积可以表示为V-Sb 于是，Sa= V-Sb ，V= S(a+b)

由题意，瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的比为

a a

b a S Sa V Sa +=+=)(

例5．小杰到食堂买饭，看到A 、B 两窗口前面排队的人一样多，就站在A 窗口队伍的里面，过了2分钟，他发现A 窗口每分钟有4人买了饭离开队伍，B 窗口每分钟有6

人买了

饭离开队伍，且B 窗口队伍后面每分钟增加5人。此时，若小李迅速从A 窗口队伍转移到B 窗口后面重新排队，将比继续在A 窗口排队提前30秒买到饭，求开始时，有多少人排队。分析：“B 窗口每分钟有6人买了饭离开队伍，且B 窗口队伍后面每分钟增加5人”相当于B 窗口前的队伍每分钟减少1人，

题中的等量关系为：小李在A 窗口排队所需时间=转移到B 窗口排队所需时间+ 2

1 解：设开始时，每队有x 人在排队，

2分钟后，B 窗口排队的人数为：x-6×2+5×2=x-2 根据题意，可列方程：

16224+-+=x x 去分母得 3x=24+2(x-2)+6

去括号得3x=24+2x-4+6 移项得3x-2x=26 解得x=26

所以，开始时，有26人排队。

课外知识拓展：

一、含字母系数方程的解法：

思考：b ax =是什么方程？

在一元一次方程的标准形式、最简形式中都要求a ≠0，所以b ax =不是一元一次方程我们把它称为含字母系数的方程。例6．解方程b ax =

解：（分类讨论）当a ≠0时，a

x =

当a=0，b=0时，即 0x=0，方程有任意解

当a=0，b ≠0时，即 0x=b ，方程无解即方程b ax =的解有三种情况。

例7．问当a 、b 满足什么条件时，方程2x+5-a=1-bx ：（1）有唯一解；（2）有无数解；（3）无解。

分析：先解关于x 的方程，把x 用a 、b 表示，最后再根据系数情况进行讨论。解：将原方程移项得2x+bx=1+a-5，合并同类项得：(2+b)x=a-4 当2+b0，即b-2时，方程有唯一解b

a x +-=

，当2+b=0且a-4=0时，即b=-2且a=4时，方程有无数个解，当2+b=0且a-4≠0时，即b=-2且a ≠4时，方程无解，例 8．解方程

11x x a b

a b ab

--+-= 分析：根据题意，ab ≠0，所以方程两边可以同乘ab

去分母，得b(x-1)-a(1-x)=a+b 去括号，得bx-b-a+ax=a+b 移项，并项得 (a+b)x=2a+2b 当a+b ≠0时，b

a b

a x ++=

22=2

当a+b=0时，方程有任意解

说明：本题中没有出现方程b ax =中的系数a=0，b ≠0的情况，所以解的情况只有两种。

二、含绝对值的方程解法

例9．解下列方程523x -= 解法1：（分类讨论）

当5x-2>0时，即x>

， 5x-2=3， 5x=5， x=1 因为x=1符合大前提x>52

，所以此时方程的解是x=1

当5x-2=0时，即x=52

，得到矛盾等式0=3，所以此时方程无解

当5x-2<0时，即x<52， 5x-2= -3，x=5

因为x=51-符合大前提x<52，所以此时方程的解是x=5

综上，方程的解为x=1 或x=5

注：求出x 的值后应注意检验x 是否符合条件解法2：（整体思想）联想：3=a 时，a=±3

类比：523x -=，则5x-2=3或5x-2=-3

解两个一元一次方程，方程的解为x=1 或x=5

例10．解方程

215

x --= 解：去分母 2| x-1|-5=3

移项 2| x-1|=8 | x-1|=4

所以x-1=4或x-1=-4 解得x=5或x=-3

例11．解方程 121x x -=-+ 分析：此题适合用解法2

当x-1>0时，即x>1，x-1=-2x+1，3x=2，x=

因为x=

不符合大前提x>1，所以此时方程无解当x-1=0时，即x=1，0=-2+1，0 =-1，此时方程无解

当x-1<0时，即x<1，1-x=-2x+1，x=0

因为x=0符合大前提x<1，所以此时方程的解为x=0

综上，方程的解为x=0

三、小结

1、体会方程思想在实际中的应用

2、体会转化的方法，提升数学能力

第四讲：图形的初步认识

一、相关知识链接：

1．认识立体图形和平面图形

我们常见的立体图形有长方体、正方体、球、圆柱、圆锥，此外，棱柱，棱锥也是常见的几何体。我们常见的平面图形有正方形、长方形、三角形、圆

2．立体图形和平面图形关系

立体图形问题常常转化为平面图形来研究，常常会采用下面的作法

（1）画出立体图形的三视图

立体图形的的三视图是指正视图（从正面看）、左视图（从左面看）、俯视图（从上面看）得到的三个平面图形。

（2）立体图形的平面展开图

常见立体图形的平面展开图

圆柱、圆锥、三棱柱、三棱锥、正方体（共十一种）

二、典型问题：

（一）正方体的侧面展开图（共十一种）

分类记忆：

第一类，中间四连方，两侧各一个，共六种。

第二类，中间三连方，两侧各有一、二个，共三种。

第三类，中间二连方，两侧各有二个，只有一种。

第四类，两排各三个，只有一种。

基本要求：

1. 在右面的图形中是正方体的展开图的有（ C ）

（A ）3种（B ）4种（C ）5种（D ）6种

2．下图中, 是正方体的展开图是( B )

A B C D

3．如图四个图形都是由6个大小相同的正方形组成，其中是正方体展开图的是（ D ）

A ．①②③

B ．②③④

C ．①③④

D ．①②④

较高要求：

4．下图可以沿线折叠成一个带数字的正方体，每三个带数字的面交于正方体的一个顶点，则相交于一个顶点的三个面上的数字之和最小是( A ) A ． 7 B ． 8 C ． 9 D ． 10

5．一个正方体的展开图如右图所示，每一个面上都写有一个自然数并且相对两个面所写的两个数之和相等，那么a+b-2c= （ B ） A ．40 B.38 C.36 D. 34 分析：由题意 8+a=b+4=c+25 所以 b=4+a c=a-17

所以

a+b-2c=a+(4+a)-2(a-17)=4+34=38

6 4

c 84

25b

6．将如图所示的正方体沿某些棱展开后，能得到的图形是（ C ）

A．B．C．D．

7．下图是某一立方体的侧面展开图，则该立方体是（ D ）

还原正方体，正确识别正方体的相对面。

（二）常见立体图形的平面展开图

8．下列图形是四棱锥的展开图的是（ C ）

（A）（B）（C）（D）

9．下面是四个立体图形的展开图，则相应的立体图形依次是( A )

A．正方体、圆柱、三棱柱、圆锥 B.正方体、圆锥、三棱柱、圆柱

C．正方体、圆柱、三棱锥、圆锥 D.正方体、圆柱、四棱柱、圆锥

10．下列几何体中是棱锥的是（ B ）

A. B.C. D.

11．如图是一个长方体的表面展开图，每个面上都标注了字母，请根据要求回答问题：（1）如果A面在长方体的底部，那么哪一个面会在上面？

（2）若F面在前面，B面在左面，则哪一个面会在上面？（字母朝外）（3）若C面在右面，D面在后面，则哪一个面会在上面？（字母朝外）

答案：（1）F ；（2）C，A

（三）立体图形的三视图

．

12．如图，从正面看可看到△的是( C )

13．对右面物体的视图描绘错误的是（ C ）

14．如图的几何体，左视图是（ B ）

15．如图，是由几个相同的小正方体搭成的几何体的三种视图，则搭成这个几何体的小正方体的个数是 ( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 （四）新颖题型

16. 正方体每一面不同的颜色对应着不同的数字，将四个这样的正方体如图拼成一个水平放置的长方体，那么长方体的下底面数字和为 .

分析：正面—黄，右面—红，上面—蓝，后面—紫，下面—白，左面—绿所以，从右到左，底面依次为：白、绿、黄、紫数字和为：4+6+2+5=17

17．观察下列由棱长为 1的小正方体摆成的图形，寻找规律，如图⑴ 所示共有1个小立方体，其中1个看得见，0个看不见；如图⑵所示：

共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见；如图⑶所示：共有27个小立方体，其中19个看得见，8个看不见……（1）写出第⑹个图中看不见的小立方体有 125 个；（2）猜想并写出第(n)个图形中看不见的小立方体的个数为____ (n-1)3 ______个. 分析：

1 1=1 0=03

2 8=2

3 1=13 3 27=33 8=23

4 64=43 27=33

D C B A

俯视图

左视图

主视图

C (2)

A D B

n n 3 (n-1) 3

第五讲：线段和角

一、知识结构图

二、典型问题：

（一）数线段——数角——数三角形

问题1、直线上有n 个点，可以得到多少条线段？分析：点线段

2 1

3 3 =1+2

4 6=1+2+3

5 10=1+2+3+4

6 15=1+2+3+4+5 ……

n 1+2+3+ … +(n-1)=

()2

1-n n 问题2．如图，在∠AOB 内部从O 点引出两条射线OC 、OD ，则图中小于平角的角共有（ D ）个

(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6

拓展：1、在∠AOB 内部从O 点引出n 条射线图中小于平角的角共有多少个？射线角 1 3 =1+2 2 6=1+2+3 3 10=1+2+3+4 ……

n 1+2+3+ … +(n+1)=

()()2

21++n n

类比：从O 点引出n 条射线图中小于平角的角共有多少个？射线角

2 1

3 3 =1+2

4 6=1+2+3

5 10=1+2+3+4 ……

n 1+2+3+ … +(n-1)=

()2

1-n n

类比联想：如图，可以得到多少三角形？

（二）与线段中点有关的问题线段的中点定义：

文字语言：若一个点把线段分成相等的两部分，那么这个点叫做线段的中点

图形语言：M

几何语言： ∵ M 是线段AB 的中点 ∴ 1

AM BM AB ==

，22AM BM AB == 典型例题：

1．由下列条件一定能得到“P 是线段AB 的中点”的是（ D ）

（A ）AP=

21AB （B ）AB ＝2PB （C ）AP ＝PB （D ）AP ＝PB=2

AB 2．若点B 在直线AC 上，下列表达式：①AC AB 2

=；②AB=BC ；③AC=2AB ；④AB+BC=AC ．

其中能表示B 是线段AC 的中点的有（ A ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3.如果点C 在线段AB 上,下列表达式①AC=1

AB;②AB=2BC;③AC=BC;④AC+BC=AB 中, 能表示C 是AB 中点的有( C )

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

4．已知线段MN ，P 是MN 的中点，Q 是PN 的中点，R 是MQ 的中点，那么MR = ______ MN ．分析：据题意画出图形

设QN=x ，则PQ=x ，MP=2x ，MQ=3x ，

所以，MR=23x ，则8

423==x x

MN MR

5．如图所示，B 、C 是线段AD 上任意两点，M 是AB 的中点，N 是CD 中点，若MN=a ，BC=b ，则线段AD 的长是（）

A 2（a-b ）

B 2a-b

C a+b

D a-b 分析：不妨设CN=ND=x ，AM=MB=y 因为MN=MB+BC+CN 所以a=x+y+b

因为AD=AM+MN+ND 所以AD=y+a+x=a-b+a=2a-b （三）与角有关的问题

1．已知：一条射线OA ，若从点O 再引两条射线OB 、OC ，使∠AOB=600，∠B OC =200，

则∠A OC =____80°或40°________度（分类讨论）

2． A 、O 、B 共线，OM 、ON 分别为∠ AOC 、∠ BOC 的平分线，猜想∠ MON 的度数，

试证明你的结论．猜想：_90°______

证明：因为OM 、ON 分别为∠ AOC 、∠ BOC 的平分线所以∠MOC=

12∠AOC ，∠CON=1

2∠COB 因为∠MON=∠MOC+∠CON 所以∠MON=12∠AOC +12∠COB=1

∠AOB=90°

3．如图，已知直线AB 和CD 相交于O 点，COE ∠是直角，OF 平分AOE ∠，

34COF =∠，求BOD ∠的度数．

分析：因为COE ∠是直角，34COF =∠，所以∠EOF=56°

因为OF 平分AOE ∠ 所以∠AOF=56°

因为∠AOF=∠AOC+∠COF

所以∠AOC=22°

因为直线AB 和CD 相交于O 点

所以BOD

∠=∠AOC=22°

4．如图，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，

（1）若∠A = 60°，求∠O；

（2）若∠A =100°，∠O是多少？若∠A =120°，∠O又是多少？

（3）由（1）、（2）你又发现了什么规律？当∠A的度数发生变化后，你的结论仍成立吗？（提示：三角形的内角和等于180°）

答案：（1）120°；（2）140°、150°（3）∠O=90°+1

∠A

5．如图，O是直线AB上一点,OC、OD、OE是三条射线,则图中互补的角共有（ B ）对

(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5

6．互为余角的两个角（ B ）

（A）只和位置有关（B）只和数量有关

（C）和位置、数量都有关（D）和位置、数量都无关

7．已知∠1、∠2互为补角，且∠1＞∠2，则∠2的余角是（ C ）

A.1

（∠1＋∠2） B.

∠1 C.

（∠1－∠2） D.

∠2

分析：因为∠1＋∠2=180°，所以1

（∠1＋∠2）=90°

90°-∠2=1

（∠1＋∠2）-∠2=

（∠1－∠2）

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初一数学基础知识讲义第一讲和绝对值有关的问题一、知识结构框图：数二、绝对值的意义： (1)几何意义：一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 (2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数； ③零的绝对值是零。也可以写成： () () () ||0 a a a a a a ? ?? =? ? - ?? 当为正数当为0 当为负数说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数；（Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。三、典型例题例1．（数形结合思想）已知a、b、c在数轴上位置如图：则代数式| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（A ）A．-3a B． 2c－a C．2a－2b D． b

解：| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a 分析：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。这道例题运用了数形结合的数学思想，由a 、b 、c 在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简。例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>，那么y x z y z x --+++ 的值（ C ） A ．是正数 B ．是负数 C ．是零 D ．不能确定符号解：由题意，x 、y 、z 在数轴上的位置如图所示：所以分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x 、y 、z 三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题的意识。例3．（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。那么究竟谁是正数谁是负数，我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。解：设甲数为x ，乙数为y 由题意得：y x 3=，（1）数轴上表示这两数的点位于原点两侧：若x 在原点左侧，y 在原点右侧，即 x<0，y>0，则 4y=8 ，所以y=2 ,x= -6 若x 在原点右侧，y 在原点左侧，即 x>0，y<0，则 -4y=8 ，所以y=-2,x=6 （2）数轴上表示这两数的点位于原点同侧：若x 、y 在原点左侧，即 x<0，y<0，则 -2y=8 ，所以y=-4,x=-12 若x 、y 在原点右侧，即 x>0，y>0，则 2y=8 ，所以y=4,x=12 例4．（整体的思想）方程x x -=-20082008 的解的个数是（ D ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无穷多个分析：这道题我们用整体的思想解决。将x-2008看成一个整体，问题即转化为求方程a a -=的解，利用绝对值的代数意义我们不难得到，负数和零的绝对值等于它的相反数，所以零和任意负数都是方程的解，即本题的答案为D 。例5．（非负性）已知|a b －2|与|a －1|互为相互数，试求下式的值． ()()()()()() 1111 112220072007ab a b a b a b ++++++++++L 0)()(=--+-+=--+++y x z y z x y x z y z x

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七年级数学培优讲义

七年级数学培优讲义目录第01讲与有理数有关的概念...................（3--9）第02讲有理数的加减法......................（10--16）第03讲有理数的乘除、乘方..................（17--23）第04讲整式................................（24--31）第05讲整式的加减..........................（32--37) 第06讲一元一次方程概念和等式性质...........(38--44) 第07讲一元一次方程解法...................(45--52) 第08讲实际问题与一元一次方程..............(53--60) 第09讲多姿多彩的图形......................(61--70) 第10讲直线、射线、线段....................(71--78) 第11讲角..................................(79--86) 第12讲与相交有关概念及平行线的判定........(87--95) 第13讲平行线的性质及其应用................(96--106)

第14讲平面直角坐标系（一）...............(107--112) 第15讲平面直角坐标系（二）...............(113--118) 第16讲认识三角形.........................(119--126) 第17讲认识多边形.........................(127--133) 第18讲二元一次方程组及其解法.............(134--142) 第19讲实际问题与二元一次方程组...........(143--154) 第20讲三元一次方程组和一元一次不等式组...(155--165) 第21讲一元一次不等式（组）的应用..........(166--174) 第22讲一元一次不等式（组）与方程（组）的结合.(175--184) 第23讲数据的收集与整理...................(185--197) 模拟测试一..................................(198--202) 模拟测试二..................................(203--206) 模拟测试三..................................(207--210)

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第一讲数系扩张--有理数(一）一、【典型例题解析】: 1、若|||||| 0,a b ab ab a b ab +- 则的值等于多少? 2．如果m 是大于1的有理数，那么m 一定小于它的（ ) A ．相反数 B.倒数Ｃ.绝对值 D.平方３、已知两数a 、b 互为相反数,c 、d 互为倒数,x 的绝对值是2,求 220062007()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值。 4、如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置,如下图所示,那么||||a b a b -++化简的结果等于（ A.2a B.2a - C.0 D.2b 5、已知2(3)|2|0a b -+-=,求b a 的值是( ) A.2 B.3 C.9 D ．6 ６、有３个有理数a,b,c,两两不等,那么 ,, a b b c c a b c c a a b ------中有几个负数？７、设三个互不相等的有理数,既可表示为1，,a b a +的形式式，又可表示为０，b a , b 的形式,求20062007a b +。 8、三个有理数,,a b c 的积为负数,和为正数,且 ||||||||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac = +++++则321ax bx cx +++的值是多少？ 9、若,,a b c 为整数,且20072007||||1a b c a -+-=，试求||||||c a a b b c -+-+-的值。三、课堂备用练习题。 1、计算:１+２-3－4+５+6-７－８+…+2005＋２00６ 2、计算：1×2+2×3+３×4+…+n(n+1) 3、计算:59173365129 132******** +++++ - ４、已知,a b 为非负整数，且满足||1a b ab -+=,求,a b 的所有可能值。5、若三个有理数,,a b c 满足 ||||||1a b c a b c ++=,求||abc abc

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一、【问题引入与归纳】 1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。 2、有理数的两种分类： 3、有理数的本质定义，能表成（互质）。 4、性质：①顺序性（可比较大小）； ②四则运算的封闭性（0不作除数）； ③稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。 5、绝对值的意义与性质： ①②非负性 ③非负数的性质：i）非负数的和仍为非负数。 ii）几个非负数的和为0，则他们都为0。二、【典型例题解析】： 1、若的值等于多少？ 2．如果是大于1的有理数，那么一定小于它的（） A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方 3、已知两数、互为相反数，、互为倒数，的绝对值是2，求的值。 4、如果在数轴上表示、两上实数点的位置，如下图所示，那么化简的结果等于（ A. B. C.0 D. 5、已知，求的值是（） A.2 B.3 C.9 D.6 6、有3个有理数a,b,c，两两不等，那么中有几个负数？ 7、设三个互不相等的有理数，既可表示为1，的形式式，又可表示为0，，的形式，求。

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第1讲与有理数有关的概念考点·方法·破译 1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量. 2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想. 3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数. 经典·考题·赏析【例1】写出下列各语句的实际意义 ⑴向前－7米⑵收人－50元⑶体重增加－3千克【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等” 解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克. 【变式题组】 01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（） A ．－18% B ．－8% C ．＋2% D ．＋8% 02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( ) A ．－5吨 B ．＋5吨 C ．－3吨 D ．＋3吨 03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京时间l5：00，纽约时问是____ 【例２】在－227 ，π，0.033. 3这四个数中有理数的个数（ ) A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0 ??????????????? 正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数；按整数、分数分类，有理数?????????????????正整数整数0负整数正分数分数负分数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝3.1415926… 是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－227 是分数0.033.3是无限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C ．【变式题组】

初一数学基础知识讲义

第一讲和绝对值有关的问题一、知识结构框图：二、绝对值的意义： (1)几何意义：一般地，数轴上表示数a 的点到原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a|。 (2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数； ③零的绝对值是零。也可以写成： ()()() ||0a a a a a a ??? =??-??当为正数当为0当为负数三、典型例题例1．（数形结合思想）已知a 、b 、c 在数轴上位置如图：则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（） A ．-3a B ． 2c －a C ．2a －2b D ． b 例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>，那么y x z y z x --+++的值（） A ．是正数 B ．是负数 C ．是零 D ．不能确定符号例3．（分类讨论思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？例4．（整体思想）方程x x -=-20082008 的解的个数是（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无穷多个例5．（非负性）已知|a b －2|与|a －1|互为相互数，试求下式的值． ()()()() ()() 1111 112220072007ab a b a b a b ++++ ++++++ 说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数；（Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。

例6．（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与2-，3与5，2-与6-，4-与3. 并回答下列各题：（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：___ . （2）若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为―1，则A 与B 两点间的距离可以表示为 ________________. （3）结合数轴求得23x x -++的最小值为，取得最小值时x 的取值范围为 ___. （4）满足341>+++x x 的x 的取值范围为 ______ . 第二讲：代数式的化简求值问题一、知识链接 1．“代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。它包括整式、分式、二次根式等内容. 2．用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值，叫做这个代数式的值。注：一般来说，代数式的值随着字母的取值的变化而变化 3．求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学建模的好处，为以后学习方程、函数等知识打下基础。二、典型例题例1．若多项式( ) x y x x x mx 5378522 2 2 +--++-的值与x 无关，求()[] m m m m +---45222 的值. 例2．x=-2时，代数式635-++cx bx ax 的值为8，求当x=2时，代数式63 5-++cx bx ax 的值。例3．当代数式532 ++x x 的值为7时,求代数式2932 -+x x 的值. 例4．已知012 =-+a a ，求200722 3 ++a a 的值.

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七年级数学上册培优训练

第一讲有理数（一）一、【问题引入与归纳】 1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。 2、有理数的两种分类： 3、有理数的本质定义，能表成 m n （0,,n m n ≠互质）。 4、性质：① 顺序性（可比较大小）； ② 四则运算的封闭性（0不作除数）； ③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。 5、绝对值的意义与性质： ① (0) ||(0) a a a a a ≥?=?-≤? ② 非负性 2(||0,0)a a ≥≥ ③ 非负数的性质： i ）非负数的和仍为非负数。 ii ）几个非负数的和为0，则他们都为0。二、【典型例题解析】： 1、若|||||| 0,a b ab ab a b ab +- 则的值等于多少？ 2．如果m 是大于1的有理数，那么m 一定小于它的（） A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方 3、已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2，求 220062007()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值。 4、如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置，如下图所示，那么||||a b a b -++化简的结果等于（ ) A.2a B.2a - C.0 D.2b 5、已知2(3)|2|0a b -+-=，求b a 的值是（） A.2 B.3 C.9 D.6 6、有3个有理数a,b,c ，两两不等，那么,,a b b c c a b c c a a b ------中有几个负数？

7、设三个互不相等的有理数，既可表示为1，,a b a +的形式式，又可表示为0， b a ， b 的形式，求20062007a b +。 8三个有理数,,a b c 的积为负数，和为正数，且 ||||||||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac = +++++则321ax bx cx +++的值是多少？ 9、若,,a b c 为整数，且20072007||||1a b c a -+-=，试求||||||c a a b b c -+-+-的值。三、课堂备用练习题。 1、计算：1+2-3-4+5+6-7-8+…+2005+2006 2、计算：1×2+2×3+3×4+…+n(n+1) 3、计算：5917336512913248163264 +++++- 4、已知,a b 为非负整数，且满足||1a b ab -+=，求,a b 的所有可能值。 5、若三个有理数,,a b c 满足||||||1a b c a b c ++=，求||abc abc 的值。

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秋季七年级上数学讲义

七年级数学上学期讲义第二讲授课时间：2017年9月16日授课时段：13:30—15:00 科目：有理数课时：2课时姓名：授课老师：徐老师教学过程（内容）备注例1.下列各对数中，互为相反数的是() A.＋(－8)和－8B．－(－8)和－|－8| C．－(－8)和|＋8|D．－(＋8)和－|－8| “一号一用”，即某个“－”号定为某种用途后，这个“－”号就不能再作他用．例2.比较两个数的大小：﹣﹣．（填“＞”“＜”或“=”）例3.数轴上的点A表示的数是-2，(1)向右平移3个单位，表示的数是 ___________ （2）与点A相距5个单位长度的点表示的数是________________ 例4.点M在数轴上距原点4个单位长度，将M向右移动2个单位长度至N 点，点N表示的数例5.已知a=5，|b|=2，则a+b的值例6.为体现社会对教师的尊重，教师节这一天上午，出租车司机小王在东西方向的公路上免费接送老师．如果规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下（单位：千米）：+15，-4，+13，-10，-12，+3，-13．（1）出车地记为0，最后一名老师送到目的地时，小王距出车地点的距离是多少？（2）若汽车耗油量为0.1升/千米，这天上午汽车共耗油多少升？选择题 2．下面两个数互为相反数的是()

A.12和0.2 B.13和－0.333 C.－2.75和324 D.9和－(－9) 3．一天早晨的气温是7-℃，中午的气温比早晨上升了11℃，中午的气温是（） A ．11℃ B ．4℃ C ．18℃ D ．11-℃ 4.如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是（） A ． B ． C ． D ． 5.已知两个有理数的和为负数，则这两个有理数（） A ．均为负数 B ．均不为零 C ．至少有一正数 D ．至少有一负数 6．规定向北为正，某人走了+5km 后，又继续走了-10km ，那么他实际上（） A ．向北走了15km B ．向南走了15km C ．向北走了5km D ．向南走了5km 7.在数轴上与-1距离等于5个单位的点所表示的数是（） A.6 B.4 C.－6 D.4或－6 8．如果0=+b a ，那么a ，b 两个有理数一定是（） A ．一正一负 B ．互为倒数 C ．互为相反数 D ．无法确定 9.有理数a 、b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则a 、b 、a -、b 的大小关系正确的是（） A ．b a a b >->> B ．a a b b ->>> C ．a b b a ->>> D ．b a b a >->> 10.下列说法，其中正确的个数为是（） ①正数和负数统称为有理数；②符号相反的两个数互为相反数③a 一定是正数；④a -一定是负数. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 11.非零有理数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝0，则a b c abc a b c abc +++所有可能的值为（）. A ．0B ．1或－1 C ．2或－2D ．0或－2 二．填空题 1.比较大小：3-1；π-________3.1432-_____34 -, 2.已知420x y -++=，则x ＝_____，y ＝_____

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第一讲数系扩张--有理数（一）一、【问题引入与归纳】 1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。 2、有理数的两种分类： 3、有理数的本质定义，能表成 m n （0,,n m n ≠互质）。 4、性质：① 顺序性（可比较大小）； ② 四则运算的封闭性（0不作除数）；③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。 5、绝对值的意义与性质： ① (0)||(0) a a a a a ≥?=? -≤? ② 非负性 2 (||0,0)a a ≥≥ ③ 非负数的性质： i ）非负数的和仍为非负数。 ii ）几个非负数的和为0，则他们都为0。二、【典型例题解析】： 1、若|||||| 0,a b ab ab a b ab +- 则的值等于多少？ 2．如果m 是大于1的有理数，那么m 一定小于它的（） A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方 3、已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2，求2 20062007()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值。 4、如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置，如下图所示，那么||||a b a b -++化简的结果等于（） A.2a B.2a - C.0 D.2b 5、已知2 (3) |2|0a b -+-=，求b a 的值是（） A.2 B.3 C.9 D.6 6、有3个有理数a,b,c ，两两不等，那么 ,, a b b c c a b c c a a b ------中有几个负数？ 7、设三个互不相等的有理数，既可表示为1，,a b a +的形式式，又可表示为0， b a ，b 的形式，求2006 2007a b +。 8、三个有理数,,a b c 的积为负数，和为正数，且||||||||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac = +++++则32 1ax bx cx +++的值是多少？ 9、若,,a b c 为整数，且2007 2007||||1a b c a -+-=，试求||||||c a a b b c -+-+-的值。三、课堂备用练习题。 1、计算：1+2-3-4+5+6-7-8+…+2005+2006 2、计算：1×2+2×3+3×4+…+n(n+1) 3、计算： 59173365129 132******** +++++- 4、已知,a b 为非负整数，且满足||1a b ab -+=，求,a b 的所有可能值。5、若三个有理数,,a b c 满足||||||1a b c a b c ++=，求||abc abc 的值。 5、（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与2-，3与5，2-与6-，4-与3. 并回答下列各题：（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：____ . （2）若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为―1，则A 与B 两点间的距离可以表示为 ________。 6、结合数轴求得23 x x -++的最小值为_____，取得最小值时x 的取值范围为____________。

初一数学有理数经典讲义

初一数学有理数经典讲义 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

一、有理数的相关概念： 1. 负数（1）正数：大于0的数叫做正数。（2）负数：在正数前面加上“-”的数叫做负数。 a) “-”读作负号。 b) 一个数前面的“+”、“-”叫做这个数的符号（3）0：既不是正数也不是负数。取一个基准量，记为0；大于（高于）基准量的数为正数，小于（低于）基准量的数为负数；习题： 1、某仓库运进货物30吨，记作30吨，那么－50吨表示( )； 2、物体向东运动4m ，记作4m ，那么向西运动5m ，记作( ) 3、某零件的直经尺寸在图纸上是 10± 0．05 （mm ），表示这种零件的标准尺寸是 ______ （mm ），合格产品的零件尺寸范围是（mm ）。 2. 有理数分类1：有理数{ 整数{正整数负整数0分数{正分数负分数分类2：有理数{ 正有理数{正整数正分数负有理数{负整数负分数0 数的分类注意： a) 0非正非负，0是整数，0是自然数 b) 小数可以化为分数，所以小数属于分数习题： 1、把下列各数分别填入相应的集合内：3-，2，17 -，0.21，0，－3.01，3.14159，10-．整数集合:{ } 分数集合: { } 负数集合: { } 正数集合: { } 3.数轴：用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。三要素：原点、正方向、单位长度 a) 在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点； b) 通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向； c) 选取适当的长度为单位长度。方向表示正负，距离表示数。数轴上，唯一的点——唯一的数（1) 给数描点，给点读数（2) 比较大小：从左到右，由小变大；（3) 会找有特定限制的数，比如，小于4的正整数。习题：

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第 12 讲与相交有关概念及平行线的判定
【解】⑴∵OE、OF 平分∠BOC、∠AOC ∴∠EOC＝ 1 ∠BOC，∠FOC＝ 1 ∠AOC ∴
2
2
考点·方法·破译
1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行. 2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们.
∠EOF＝∠EOC＋∠FOC＝ 1 ∠BOC＋ 1 ∠AOC＝ 1 BOC AOC 又∵∠BOC＋∠
2
2
2
AOC＝180° ∴∠EOF＝ 1 ×180°＝90° ⑵∠BOE 的余角是：∠COF、∠AOF；∠BOE 2
的补角是：∠AOE.
3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系.
【变式题组】
经典·考题·赏析
01．如图，已知直线 AB、CD 相交于点 O，OA 平分∠EOC，且∠EOC＝100°，则∠BOD
的度数是（
）
【例 1】如图，三条直线 AB、CD、EF 相交于点 O，一共构成哪几对对顶角？一共
A．20° B． 40° C．50°
D．80°
构成哪几对邻补角？【解法指导】 ⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角.
AE
D
E D
1
4
⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两
边的反向延长线. ⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线. 有 6 对对顶角. 12 对邻补角.
C
B
F
A
O
A
C （第 1 题图）
32 （第 2 题图）
【变式题组】
02．（杭州）已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，则∠4＝
.
01．如右图所示，直线 AB、CD、EF 相交于 P、Q、R，则：
C
E
【例３】如图，直线 l1、l2 相交于点 O，A、B 分别是 l1、l2 上的点，试用三角尺完成下
⑴∠ARC 的对顶角是邻补角是
. .
列作图：
A
P
⑴经过点 A 画直线 l2 的垂线.
⑵中有几对对顶角，几对邻补角？ 02．当两条直线相交于一点时，共有 2 对对顶角；
当三条直线相交于一点时，共有 6 对对顶角；
A
Q
F
RB D
⑵画出表示点 B 到直线 l1 的垂线段. 【解法指导】垂线是一条直线，垂线段是一条线段. 【变式题组】
O
B
l2
当四条直线相交于一点时，共有 12 对对顶角. 问：当有 100 条直线相交于一点时共有
对顶角.
01．P 为直线 l 外一点，A、B、C 是直线 l 上三点，且
PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝6cm，则点 P 到直线 l 的距
l1
【例２】如图所示，点 O 是直线 AB 上一点，OE、OF 分别
离为（
）
平分∠BOC、∠AOC． ⑴求∠EOF 的度数； ⑵写出∠BOE 的余角及补角.
A．4cm
B． 5cm C．不大于 4cm
D．不小于 6cm
F
C
E 02 如图，一辆汽车在直线形的公路 AB 上由 A 向 B 行驶，M、N 为位于公路两侧的村
庄；
【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的
⑴设汽车行驶到路 AB 上点 P 的位置时距离村庄 M 最近.行驶到 AB 上点 Q 的位
定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解；
A
O
B
置时，距离村庄 N 最近，请在图中的公路上分别画出点 P、Q 的位置.
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初一数学培优专题讲义--线段和角

优秀是训练出来的理想教育初一（上）数学培优扎实基础提升能力 1 初一数学培优专题讲义四---几何图形初步典型问题：（一）数线段——数角——数三角形问题1、直线上有n 个点，可以得到多少条线段？问题2．如图，在∠AOB 内部从O 点引出两条射线OC 、OD ，则图中小于平角的角共有（）个 (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 拓展：1、在∠AOB 内部从O 点引出n 条射线图中小于平角的角共有多少个？类比：从O 点引出n 条射线图中小于平角的角共有多少个？类比联想：如图，可以得到多少三角形？（二）与线段中点有关的问题线段的中点定义：文字语言：若一个点把线段分成相等的两部分，那么这个点叫做线段的中点图形语言：M 几何语言： ∵ M 是线段AB 的中点 ∴ 12 AM BM AB ==，22AM BM AB == 典型例题：1．由下列条件一定能得到“P 是线段AB 的中点”的是（）（A ）AP= 21AB （B ）AB ＝2PB （C ）AP ＝PB （D ）AP ＝PB=2 1AB 2．若点B 在直线AC 上，下列表达式：①AC AB 21=；②AB=BC ；③AC=2AB ；④AB+BC=AC ．其中能表示B 是线段AC 的中点的有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3.如果点C 在线段AB 上,下列表达式①AC=12 AB;②AB=2BC;③AC=BC;④AC+BC=AB 中, 能表示C 是AB 中点的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4．已知线段MN ，P 是MN 的中点，Q 是PN 的中点，R 是MQ 的中点，那么MR = ______ MN ． 5．如图所示，B 、C 是线段AD 上任意两点，M 是AB 的中点，N 是CD 中点，若MN=a ，BC=b ，则线段AD 的长是（） A 2（a-b ） B 2a-b C a+b D a-b （三）与角有关的问题 D

人教版七年级数学上册培优辅导讲义

最新人教版七年级数学上册培优辅导讲义第1讲与有理数有关的概念考点·方法·破译 1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量. 2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想. 3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数. 经典·考题·赏析【例1】写出下列各语句的实际意义⑴向前－7米⑵收人－50元⑶体重增加－3千克【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量应该包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等” 解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克. 【变式题组】 01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（） A．－18% B．－8% C．＋2% D．＋8%

02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( ) A ．－5吨 B ．＋5吨 C ．－3吨 D ．＋3吨 03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）. 如现在是北京时间15：00，纽约时问是_ ___ 【例２】在－22 7 ，π，0，0.033.3这四个数中有理数的个数（ ) A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0???? ??? ???????? 正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数；（2）按整数、分数分类，有理数????????????????? 正整数整数0负整数正分数分数负分数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝3.1415926…是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－22 7 是分数，0.033.3是无限循环小数可以化成分数形式，0 是整数，所以都是有理数，故选C ．【变式题组】 01．在7，0，15，－12，－301，31.25，－1 8 ，100，1，－3 001中，负分数为，

初一数学平面直角坐标系讲义

第六章平面直角坐标系一平面直角坐标系. 1．定义：平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。要求：画平面直角坐标系时，χ轴、y 轴上的单位长度通常应相同，但在实际应用中，有时会遇到取相同的单位长度有困难的情况，这时可灵活规定单位长度，但必须注意的是，同一坐标轴上相同长度的线段表示的单位数量相同。二．各个象限内点的特征: x 在平面内有公共原点而且互相垂直的两条数轴，构成了平面直角坐标系.

第一象限：（＋，＋）点P （x ，y ），则x ＞0，y ＞0；第二象限：（－，＋）点P （x ，y ），则x ＜0，y ＞0；第三象限：（－，－）点P （x ，y ），则x ＜0，y ＜0；第四象限：（＋，－）点P （x ，y ），则x ＞0，y ＜0；练习 1.已知点A(a,0)在x 轴正半轴上,点B(0,b)在y 轴负半轴上,那么点C(-a, b)在第_____象限. 2..如果点M(a+b,ab)在第二象限,那么点N(a,b)在第_____象限 3.若点A 的坐标为(a2+1, -2–b2),则点A 在第____ 象限. 4.若ab>0,则点p(a,b)位于第＿＿＿＿＿象限．在x 轴上：（x ，0）点P （x ，y ），则y ＝0； x 若点P （x ，y ）在第一象限，则 x ＞ 0，y ＞ 0 若点P （x ，y ）在第二象限，则 x ＜ 0，y ＞ 0 若点P （x ，y ）在第三象限，则 x ＜ 0，y ＜ 0 若点P （x ，y ）在第四象限，则 x ＞ 0，y ＜ 0

在x 轴的正半轴：（＋，0）点P （x ，y ），则x ＞0，y ＝0；在x 轴的负半轴：（－，0）点P （x ，y ），则x ＜0，y ＝0；在y 轴上：（0，y ）点P （x ，y ），则x ＝0；在y 轴的正半轴：（0，＋）点P （x ，y ），则x ＝0，y ＞0；在y 轴的负半轴：（0，－）点P （x ，y ），则x ＝0，y ＜0；坐标原点：（0，0）点P （x ， y ），则x ＝0，y ＝0；总结练习： 1.点P(m+2,m-1)在x 轴上,则点P 的坐标是 2.点P(m+2,m-1)在y 轴上,则点P 的坐标是 . 3. 点P(x,y)满足 xy=0, 则点P 在 4.若，则点p(x,y)位于＿＿注意： ①. x 轴上的点的纵坐标为0，表示为（x ，0）， ②. y 轴上的点的横坐标为0，表示为（0，y ）。 ③. 原点（0，0）既在x 轴上，又在y 轴上。三，与坐标轴平行的两点连线 (1). 若AB ∥ x 轴, 则A( x1, n ), B( x2, n ) 0x y

1.初一数学特训班讲义

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