椭圆中焦点三角形的性质(含答案解析)

焦点三角形习题

性质一：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为a

b 2

2

性质二：已知椭圆方程为),0(122

22>>=+b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形

21F PF 中,21θ=∠PF F 则2

tan

221θ

b S PF F =?.

证明：记2211||,||r PF r PF ==，

由椭圆的第一定义得.4)(,22

22121a r r a r r =+∴=+

在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22

212

22

1c r r r r =-+θ

配方得：.4cos 22)(2

2121221c r r r r r r =--+θ 即.4)cos 1(242

212

c r r a =+-θ

.cos 12cos 1)(22

2221θ

θ+=+-=∴b c a r r

由任意三角形的面积公式得：

2tan 2

cos 22cos

2

sin

2cos 1sin sin 2122

222121θθθ

θ

θ

θθ?=?=+?==

?b b b r r S PF F .

.2

tan 221θ

b S PF F =∴?

同理可证，在椭圆122

22=+b

x a y （a ＞b ＞0）中，公式仍然成立.

性质三：已知椭圆方程为),0(122

22>>=+b a b

y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形

21F PF 中,21θ=∠PF F 则.21cos 2e -≥θ

性质三

证明：设,,2211r PF r PF ==则在21PF F ?中，由余弦定理得：

1222242)(2cos 2

12

221221221212

212221--=--+=-+=r r c a r r c r r r r r r F F r r θ

.2112221)2

(22222

2

22

2122e a c a r r c a -=--=-+-≥ 命题得证。 例1.

若P 是椭圆

164

1002

2=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且?=∠6021PF F ， 求△21PF F 的面积.

例1．解法一：在椭圆

164

1002

2=+y x 中，,6,8,10===c b a 而.60?=θ 记.||,||2211r PF r PF ==

Θ点P 在椭圆上，

∴由椭圆的第一定义得：.20221==+a r r

在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22

212

22

1c r r r r =-+θ

配方，得：.1443)(212

21=-+r r r r

.144340021=-∴r r 从而.3

256

21=

r r .3

36423325621sin 212121=??==

?θr r S PF F 解法二：在椭圆164

10022=+y x 中，642

=b ，而.60?=θ

.3

3

6430tan 642

tan

221=

?==∴?θ

b S PF F

例2.已知P 是椭圆19

252

2=+y x 上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，

2

1

2121=

，则△21PF F 的面积为（ ） A. 33 B. 32 C. 3 D.

3

3 解：设θ=∠21PF F ，则2

1

cos 2121=

=

θ，.60?=∴θ .3330tan 92

tan

221=?==∴?θ

b S PF F 故选答案A.

例3.已知椭圆19

162

2=+y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，点P 在椭圆上. 若P 、1F 、2F 是一

个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（ ） A.

5

9 B. 779 C. 49 D. 49或77

9

解：若1F 或2F 是直角顶点，则点P 到x 轴的距离为半通径的长4

9

2=a b ；若P 是直角顶点，

设点P 到x 轴的距离为h ，则945tan 92

tan

221=?==?θ

b S PF F ，又,7)2(2

1

21h h c S PF F =??=

? 97=∴h ，.7

7

9=

h 故选D.

1. 椭圆124

492

2=+x y 上一点P 与椭圆两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21PF F 的面积为

（ ）

A. 20

B. 22

C. 28

D. 24 解：24,90221=?==∠b PF F θ，∴2445tan 242

tan 221=?==?θ

b S PF F .故选D.

2. 椭圆14

22

=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积为1时，

21PF PF ?的值为（ ）

A. 0

B. 1

C. 3

D. 6 解：设θ=∠21PF F ，Θ12

tan

2tan

221===?θ

θ

b S PF F ，

∴

?=?=90,452

θθ

，021=?PF PF .故选A.

3. 椭圆14

22

=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积最大时，

21PF PF ?的值为（ ）

A. 0

B. 2

C. 4

D. 2- 解：3,1,2=

==c b a ，设θ=∠21PF F ，Θ 2

tan 2

tan 221θ

θ==?b S PF F ，

∴当△21PF F 的面积最大时，θ为最大，这时点P 为椭圆短轴的端点，?=120θ， ∴2120cos cos ||||22121-=?=?=?a PF PF PF PF θ.

故答案选D. 4．已知椭圆

122

2

=+y a

x （a ＞1）的两个焦点为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，

且?=∠6021PF F ，则||||21PF PF ?的值为（ ）

A ．1

B ．3

1

C ．3

4

D ．

3

2 解：?==∠6021θPF F ，1=b ，3

330tan 2

tan

221=

?==?θ

b S PF F ， 又Θ||||4

3sin ||||21212121PF PF PF PF S PF F ?=?=

?θ， ∴

33||||4321=

?PF PF ，从而3

4

||||21=?PF PF . 故答案选C.

5. 已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，1F 、2F 为焦点，点P 在椭圆上，

直线1PF 与2PF 倾斜角的差为?=∠9021PF F ，△21PF F 的面积是20，且c/a=√5/3， 求椭圆的标准方程.

解：设θ=∠21PF F ，则?=90θ. Θ 2045tan 2

tan 22221==?==?b b b S PF F θ

，

又Θ3

5

22=-=

=a b a a

c

e ， ∴95

122=-a

b ，即952012=-a .

解得：452=a .

∴所求椭圆的标准方程为1204522=+y x 或120

452

2=+x y .

专题2：离心率求法：

1．若椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个 正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为( )

1.解析：选A.如图所示，四边形B 1F 2B 2F 1为正方形，则△B 2OF 2为等腰直角三角形， ∴c a ＝2

2.

2．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距 成等差数列，则该椭圆的离心率是( ) 2.解析：选B.由题意知2b ＝a ＋c ，又b 2＝a 2－c 2， ∴4(a 2－c 2)＝a 2＋c 2＋2ac .

∴3a 2－2ac －5c 2＝0.∴5c 2＋2ac －3a 2＝0.

∴5e 2＋2e －3＝0.∴e ＝3

5或e ＝－1(舍去)．

3．若椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的最近距离是1，则椭圆的离心率为

________．

3.解析：依题意，得b ＝3，a －c ＝1. 又a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝5，c ＝4，

∴椭圆的离心率为e ＝c a ＝45. 答案：4

5

4.已知A 为椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)上的一个动点，直线AB 、AC 分别过焦点F 1、 F 2，且与椭圆交于B 、C 两点，若当AC 垂直于x 轴时，恰好有|AF 1|∶|AF 2|＝3∶1， 求该椭圆的离心率．

4.解：设|AF 2|＝m ，则|AF 1|＝3m ，

∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝4m . 又在Rt △AF 1F 2中，

|F 1F 2|＝|AF 1|2－|AF 2|2＝22m .

∴e ＝2c 2a ＝|F 1F 2|2a ＝22m 4m ＝22.

5．如图所示，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M 的横坐标等于右焦点的横坐标，

其纵坐标等于短半轴长的2

3，求椭圆的离心率．

5. 解：法一：设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a 、b 、c .则焦点为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，

M 点的坐标为(c ，2

3b )， 则△MF 1F 2为直角三角形． 在Rt △MF 1F 2中，

|F 1F 2|2＋|MF 2|2＝|MF 1|2，

即4c 2＋4

9b 2＝|MF 1|2.

而|MF 1|＋|MF 2|＝4c 2＋49b 2＋2

3b ＝2a ， 整理得3c 2＝3a 2－2ab .又c 2＝a 2－b 2，

所以3b ＝2a .所以b 2a 2＝4

9.

∴e 2

＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝59， ∴e ＝53. 法二：设椭圆方程为 x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)，

则M (c ，23b )．代入椭圆方程，得c 2a 2＋4b 2

9b 2＝1，

所以c2

a2＝5

9，所以

c

a＝

5

3，即e＝

5

3.

椭圆中焦点三角形的性质及应用（答案）

性质二

离心率求法：

椭圆中焦点三角形的性质(含答案解析)

焦点三角形习题 性质一：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为a b 2 2 性质二：已知椭圆方程为),0(122 22>>=+b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形 21F PF 中,21θ=∠PF F 则2 tan 221θ b S PF F =?. 证明：记2211||,||r PF r PF ==， 由椭圆的第一定义得.4)(,22 22121a r r a r r =+∴=+ 在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22 212 22 1c r r r r =-+θ 配方得：.4cos 22)(2 2121221c r r r r r r =--+θ 即.4)cos 1(242 212 c r r a =+-θ .cos 12cos 1)(22 2221θ θ+=+-=∴b c a r r 由任意三角形的面积公式得： 2tan 2 cos 22cos 2 sin 2cos 1sin sin 2122 222121θθθ θ θ θθ?=?=+?== ?b b b r r S PF F . .2 tan 221θ b S PF F =∴? 同理可证，在椭圆122 22=+b x a y （a ＞b ＞0）中，公式仍然成立. 性质三：已知椭圆方程为),0(122 22>>=+b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形 21F PF 中,21θ=∠PF F 则.21cos 2e -≥θ 性质三 证明：设,,2211r PF r PF ==则在21PF F ?中，由余弦定理得： 1222242)(2cos 2 12 221221221212 212221--=--+=-+=r r c a r r c r r r r r r F F r r θ

椭圆焦点三角形面积

椭圆焦点三角形面积公式的应用 多年来，椭圆、双曲线相关的焦点?21F PF ,(为曲线上的任意一点P 21F F 与为曲线的焦点）中的边角关系是学生必须掌握的重点知识，也是 高考的热点内容之一，尤其是近几年的出题频率呈上升趋势.现列举部分典型试题说明其应用类型. 定理 在椭圆122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是椭圆上任意一点， θ=∠21PF F ，则2 tan 2 21θ b S PF F =?. 证明：记2211||,||r PF r PF ==，由椭圆的第一定义得 .4)(,2222121a r r a r r =+∴=+ 在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22 212 22 1c r r r r =-+θ 配方得：.4cos 22)(2 2121221c r r r r r r =--+θ 即.4)cos 1(242 212 c r r a =+-θ .cos 12cos 1)(22 2221θ θ+=+-=∴b c a r r 由任意三角形的面积公式得： 2tan 2 cos 22cos 2 sin 2cos 1sin sin 2122 222121θθθ θ θ θθ?=?=+?== ?b b b r r S PF F . .2 tan 221θ b S PF F =∴? 同理可证，在椭圆122 22=+b x a y （a ＞b ＞0）中，公式仍然成立. 典题妙解 例1 若P 是椭圆 164 1002 2=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且?=∠6021PF F ，求 △21PF F 的面积. 解法一：在椭圆 164 1002 2=+y x 中，,6,8,10===c b a 而.60?=θ记.||,||2211r PF r PF ==

椭圆焦点三角形圆周角最大问题

椭圆焦点三角形圆周角最大的证明 已知椭圆()22 22:10x y E a b a b +=>>两焦点()()12,0,,0F c F c -,同时点 P 椭圆()22 22:10x y E a b a b +=>>上一动点。通常我们把以 12,,P F F 为顶点的三角形称为焦点三角形（如右图） 若我们记12F PF θ∠=,则θ何时最大呢？ 法一：不妨设12 ,PF m PF n ==，于是2 2 2 2221212 12 4cos 22PF PF F F m n c PF PF mn θ+-+-==? 我们知道：当,0a b > )2a b a b +≤≤=当且仅当时取等号， 故而当,0a b >时，有()2 22 22a b a b ab a b ++??≤≤ = ??? 当且仅当时取等号 故()22 22222222 2 2424244222cos 122222m n m n m n c c c m n c mn mn mn m n θ++????+?-?-?- ? ?+-????==≥≥+?? ? ??? 我们我们注意到2m n a +=（为定值），所以 ()2 2 22222 24242cos 12222m n c a c c a a m n θ+???- ?-????≥==- ???+?? ? ??? 为定值 我们注意到()1式，有二次使用不等式，但这两次取等的条件都是m n =（即点P 在短轴的端点()12,B B 处取等），故()2 min cos 12c a θ?? =- ??? ，又 ()0,θπ∈，且函数cos y x =在()0,π上为减函数。故 cos θ最小时，θ恰有最大值。故点P 在短轴的端点() 12,B B 处，θ最大。

(完整版)圆锥曲线焦点三角形推导

椭圆焦点三角形 1．椭圆焦点三角形定义及面积公式推导 （1）定义：如图1，椭圆上一点与椭圆的两个焦点12,F F 构成的三角形12 PF F 称之为椭圆焦点三角形． （2）面积公式推导 解：在12PF F ?中，设12F PF α∠=，11PF r =，22PF r =，由余弦定理得 2 2 2 1212 12 cos 2PF PF F F PF PF α+-= ?222 1212 (2)2r r c r r +-= ? 22121212()242r r r r c r r +--=22 1212(2)242a r r c r r --= 2212124()22a c r r r r --=212 122b rr r r -= ∴21212cos 2r r b r r α=- 即2 1221cos b r r α =+， ∴12 212112sin sin 221cos PF F b S r r ααα?==??+2sin 1cos b αα=+=2tan 2 b α． 例1．焦点为12,F F 的椭圆22 14924x y +=上有一点M ，若120MF MF ?=u u u u r u u u u r ，求12 MF F ?的面积． 解：∵120MF MF ?=u u u u r u u u u r ， ∴12MF MF ⊥， ∴ 12MF F S ?=290tan 24tan 242 2 b α ? ==． 例2．在椭圆的22 221(0)x y a b a b +=>>中，12,F F 是它的两个焦点，B 是短轴的 一个端点，M 是椭圆上异于顶点的点，求证：1212F BF F MF ∠>∠． 证明：如图2，设M 的纵坐标为0y ， 图1 F 1 x y O P F 2

椭圆标准方程+焦点三角形面积公式(高三复习)

椭圆焦点三角形面积公式的应用 性质1(选填题课直接用，大题需论证): 在椭圆122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是椭圆上任意一点， θ=∠21PF F ，则2 tan 221θ b S PF F =?. 证明：记2211||,||r PF r PF ==，由椭圆的第一定义得 .4)(,2222121a r r a r r =+∴=+ 在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212 22 1c r r r r =-+θ 配方得：.4cos 22)(2 21212 21c r r r r r r =--+θ 即.4)cos 1(242 212 c r r a =+-θ .cos 12cos 1)(22 2221θ θ+=+-=∴b c a r r 由任意三角形的面积公式得： 2tan 2 cos 22cos 2 sin 2cos 1sin sin 2122 222121θθθ θ θ θθ?=?=+?== ?b b b r r S PF F . .2 tan 221θ b S PF F =∴? 同理可证，在椭圆122 22=+b x a y （a ＞b ＞0）中，公式仍然成立. 典型例题 例1 若P 是椭圆 164 10022=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且?=∠6021PF F ，求 △21PF F 的面积. 例 2 已知P 是椭圆 19252 2=+y x 上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，若2 1 | |||2121= ?PF PF ，则△21PF F 的面积为（ ）

A. 33 B. 32 C. 3 D. 3 3 例3（04湖北）已知椭圆 19 162 2=+y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，点P 在椭圆上. 若P 、1F 、2F 是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（ ） A. 59 B. 779 C. 49 D. 49或7 79 答案： 例1 若P 是椭圆 164 1002 2=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且?=∠6021PF F ，求 △21PF F 的面积. 解法一：在椭圆 1641002 2=+y x 中，,6,8,10===c b a 而.60?=θ记.||,||2211r PF r PF == 点P 在椭圆上， ∴由椭圆的第一定义得：.20221==+a r r 在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212 22 1c r r r r =-+θ 配方，得：.1443)(212 21=-+r r r r .144340021=-∴r r 从而.3 256 21= r r .3 36423325621sin 212121=??== ?θr r S PF F 解法二：在椭圆 1641002 2=+y x 中，642=b ，而.60?=θ .3 3 6430tan 642 tan 221= ?==∴?θ b S PF F 解法一复杂繁冗，运算量大，解法二简捷明了，两个解法的优劣立现！

解析几何专题二(焦点弦及焦点三角形)

专题二：圆锥曲线焦点弦、焦点△知识专题 【焦半径——椭圆】θ取弦与焦点轴的锐角为 121212::=2:=2a ex;a ex; |AB |a e(x x );|AB |a e(x x ) ρρ=+=-++-+左焦半径右焦半径左焦弦右焦弦 【焦半径——双曲线】θ取弦与焦点轴的锐角为 (１) 单支焦点半径 112::=-2(a ex );|AB |a e(x x );ρ=-+-+左焦半径左焦弦 1122::=ex a;|AB |e(x x )a;ρ=-+-右焦半径右焦弦 （2) 双支焦点半径 1122::=a ex;|AB |a e(x x );ρ=+++异支左焦半径异支左焦弦 1122::=a ex;|AB |a e(x x );ρ=--+异支右焦半径异支右焦弦 【焦半径——抛物线】θ取弦与焦点轴的锐角为 1212==y x |AB |x x p;y |AB |y p ++++焦点在轴上焦点在轴上:: 【焦点弦有关推论——椭圆】θ取弦与焦点轴的锐角为 1、过椭圆、双曲线的一焦点F 交椭圆或双曲线（单支)于A ，Ｂ两点,则

２、过双曲线的焦点Ｆ的直线分别与两支交于A,B ，与焦点轴夹角为 )2 (πθ< 2 1122cos a cos |AF ||BF |p b θθ?+== 3、过抛物线的焦点F 直线交抛物线于Ａ,Ｂ两点，与焦点轴夹角为)2 (π θ< 112 |AF ||BF |p += 4、已知点是离心率为的椭圆或双曲线的焦点，过点的弦与 的焦点所在的轴的夹角为θ，且。 （1） 当焦点内分弦时，有 （2） 当焦点外分弦 时(此时曲线为双曲线)，有 【椭圆焦三角形 面积】q 为动点到原点的距离,，m,n 为弦长，α为弦夹角 【椭圆】22 212 2 ()S (a c )tan b tan α α =-= 22()S b mn b =- 3()S (a c )(a c )(a q )(a q )=+-+- 【双曲线焦△ 面积】q 为动点到原点的距离,,m,n 为弦长，α为弦夹角 212 b ()S tan α = 22()S b mn b =- 3()S (a c )(a c )(a q )(a q )=+-+-

焦点三角形的性质

椭圆中焦点三角形的性质及应用 定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。与焦点三角形的有关问题有意地考查了定义、三角形中的的正(余)弦定理、内角和定理、面积公式等. 一．焦点三角形的形状判定及周长、面积计算 例1 椭圆上一点P 到焦点21,F F 的距离之差为2，试判断21F PF ?的形状. 解：由 112 162 2=+y x 椭圆定义： 3||,5||.2||||,8|||212121==∴=-=+PF PF PF PF PF PF . 又4||21=F F Θ，故满足：,||||||2 12 212 2PF F F PF =+故21F PF ?为直角三角形. 说明：考查定义、利用已知、发挥联想，从而解题成功. 性质一：已知椭圆方程为),0(122 22>>=+b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形 21F PF 中,21θ=∠PF F 则2 tan 221θ b S PF F =?。 θ cos 2)2(212 2212 2 12PF PF PF PF F F c -+==Θ)cos 1(2)(21221θ+-+=PF PF PF PF θ θθcos 12)cos 1(244) cos 1(24)(2 222 22121+= +-=+-+= ∴b c a c PF PF PF PF 2 tan cos 1sin 2122212 1θθθb b PF PF S PF F =+==∴? 性质二：已知椭圆方程为),0(122 22>>=+b a b y a x 左右两焦点分别为,,21F F 设焦点三角 形21F PF ，若21PF F ∠最大，则点P 为椭圆短轴的端点。 证明：设),(o o y x P ,由焦半径公式可知：o ex a PF +=1，o ex a PF -=1 在21PF F ?中，2 12 2 121212cos PF PF F F PF PF -+= θ2 12 21221242)(PF PF c PF PF PF PF --+=

2018届高三数学椭圆经典结论

2018届高三数学一轮复习 极速秒杀法-------椭圆经典结论 [结论1]：椭圆焦点三角形周长：122PFF =2a 2,=4a c MNF +周长周长； [例题]：（1）椭圆22 131 x y +=，点A,B 经过椭圆左焦点，2ABF ?的周长。 解：2AB F 周长 （2）过椭圆 221259 x y +=左焦点作直线与椭圆交于AB ，若22AF +BF =12AB ，求的值。 解：2AB =4a=12+AB AB =8F ∴周长。 [结论2]：焦点三角形离心率：1212 22F F c e a PF PF = =+；1221cos 2=PFF =PF F cos 2 e αβ αβαβ+=∠∠-（，）； [例题]：（1）过椭圆22 221x y a b +=左焦点作x 轴的垂线与椭圆交于P ，若1260F PF ∠=，求离心率。 解：12122233 F F c e a PF PF t = === + 。 （2）过椭圆 22 112m x y +=右焦点2F 作x 轴的垂线与椭圆交于A,B ，若1ABF ?为正三角形，求椭圆方程。 解：3090 cos cos 22===830903cos cos 22 e m αβ αβ++= =- - 。 （3）已知正方形ABCD ，求以A ，B 为焦点且过C ，D 的椭圆的离心率。 解：1212212F F c e a PF PF = ===+ 。 （4）在三角形ABC 中，AB=BC ，7 cos 18 B =- ，求以A,B 为焦点，且过C 的椭圆的离心率。 解：2122 1225523 59328 3 F F t t c t AC AC e t a PF PF t =∴=∴====++ 。 （5）设22 222 1F x y a b +=以的右焦点为圆心，且过椭圆中心的圆与椭圆的一个交点为M ，若1F M 与圆相切，求e. 解：1212212F F c e a PF PF = ===+。

椭圆标准方程+焦点三角形面积公式(高三复习)

椭圆标准方程+焦点三角形面积公式(高三复 习) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

椭圆焦点三角形面积公式的应用 性质1(选填题课直接用，大题需论证): 在椭圆122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是椭圆上任意一 点，θ=∠21PF F ，则2 tan 221θ b S PF F =?. 证明：记2211||,||r PF r PF ==，由椭圆的第一定义得 .4)(,2222121a r r a r r =+∴=+ 在△21PF F 中，由余弦定理得：2(cos 2212 22 1r r r r =-+θ配方得：.4cos 22)(22121221c r r r r r r =--+θ 即.4)cos 1(242212c r r a =+-θ .cos 12cos 1)(22 2221θ θ+=+-=∴b c a r r 由任意三角形的面积公式得： 2tan 2 cos 22cos 2 sin 2cos 1sin sin 2122 222121θθθ θ θ θθ?=?=+?== ?b b b r r S PF F . .2 tan 221θ b S PF F =∴? 同理可证，在椭圆122 22=+b x a y （a ＞b ＞0）中，公式仍然成立. 典型例题 例1 若P 是椭圆 164 1002 2=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且?=∠6021PF F ，求 △21PF F 的面积. 例2 已知P 是椭圆 19252 2=+y x 上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，若2 1 | |||2121= ?PF PF ，则△21PF F 的面积为（ ）

椭圆中的焦点三角形(总结非常好)

学习任务单 椭圆焦点三角形的性质 班级_______________学号_______________姓名_______________ 任务一课前小测，知识回顾 1.△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知3 A π=，2a =，求,b c .2.△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2a =，4b c +=. (1)若23B π=，求c ；(2)设B θ=，试用θ表示c . 3.(教材习题)如果椭圆22 110036 x y +=上一点P 到焦点1F 的距离等于6，那么点P 到另一个焦点2F 的距离是________. 4.(教材习题)已知经过椭圆22 12516 x y +=的右焦点2F 作直线AB ，交椭圆于A ,B 两点，1F 是椭圆的左焦点，则△1AF B 的周长为________.思考与总结: ①你能说出椭圆焦点三角形，焦点弦的定义吗？ ②通过题3、题4的解答，你能说说“椭圆焦点三角形的元素”与“椭圆的几何性质”间的一些关系吗？ 任务二抽丝剥茧，试题分析

学而不思则罔，思而不学则殆 5.(2020顺德二模第19题)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ,2F ，122F F =， 设点P 为椭圆C 上一点,123 F PF π∠= ，且△12F PF (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设椭圆C 的左右顶点为1A ,2A ，称以12A A 为直径的圆为椭圆C 的“伴随圆”.设直线1l ,2l 为过点1F 的两条互相垂直的直线，设1l 交椭圆于Q ,T 两点，2l 交椭圆C 的“伴随圆”于M ,N 两点，当QT 取到最小值时，求四边形QMTN 的面积.思考与总结： ①题5条件中有很多△12F PF 的信息，由这些出发，你能得到什么？这些对第(1)问求椭圆C 的标准方程有帮助吗？ ②第(2)问表面上“高深莫测”，请耐心一点，逐句分析，你能得到哪些基本信息？请一一写出来！ ③你能想到什么方法求QT 的最小值？ 任务三方法感悟，素养提升

椭圆中的重要结论

椭圆中焦点三角形的性质及应用 定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。与焦点三角形的有 关问题有意地考查了定义、三角形中的的正 (余)弦定理、内角和定理、面积公式等 一?焦点三角形的形状判定及周长、面积计算 2 2 例1椭圆 ? 1 1上一点P 到焦点F 「F 2的距离之差为2，试判断：PF 1F 2 的形状. 16 12 性质一： 2 2 已知椭圆方程为 笃?爲=1(a b 0),两焦点分别为F“ F 2 ,设焦点三角形 a b PF 1F 2 中. F 1PF 2 ",则 S -F 1PF 2 形PF 1F 2，若一 F 1 PF 2最大，则点P 为椭圆短轴的端点。 性质 三： h 厶 过椭圆焦点的所有弦中通径 (垂直于焦点的弦)最短，通径为2 b a 性质四： 2 2 已知椭圆方程为 务?每=1(a b 0),两焦点分别为F“ F 2,设焦点三角形 a b 2 PF 1F 2 中 FfF 2 - V,则 COST 一1 — 2e . 2 2 一 x y 例2 (2000年高考题)已知椭圆 — 2 =1(a b 0)的两焦点分别为F-F 2,若椭圆上 a b 存在一点P,使得三F 1PF 2二12。0,求椭圆的离心率e 的取值范围。 二 b 2 tan —。 2 性质二：已知椭圆方程为 2 2+ 着 x 2 = 1(a b ■ 0),左右两焦点分别为 F 1, F 2,设焦点三角

例3已知椭圆的焦点是F i( —1, 0)、F2(1 , 0) , P为椭圆上一点，且| I F1F2 I 是 | PF I 和PR丨的等差中项. (1)求椭圆的方程； (2)若点P在第三象限，且/ PFF2= 120°,求tan F1PF2.

最新椭圆焦点三角形面积公式备课讲稿

求解 运用公式 设P为椭圆上的任意一点， 角F1F2P=α ，F2F1P=β，F1PF2=θ， 则有离心率e=sin(α+β) / (sinα+sinβ)， 焦点三角形面积S=b^2*tan(θ/2)。 证明方法一 设F1P=m ，F2P=n ，2a=m+n， 由射影定理得2c=mcosβ+ncosα， e=c/a=2c/2a=mcosβ+ncosα / (m+n)， 由正弦定理e=sinαcosβ+sinβcosα/ (sinβ+sinα)=sin(α+β)/ (sinα + sinβ）。 证明方法二 对于焦点△F1PF2，设PF1=m,PF2=n 则m+n=2a 在△F1PF2中,由余弦定理: (F1F2)^2=m^2+n^2-2mncosθ 即4c^2=(m+n)^2-2mn-2mncosθ=4a^2-2mn(1+cosθ) 所以mn(1+cosθ)=2a^2-2c^2=2b^2 所以mn=2b^2/(1+cosθ) 例题 F1，F2是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的焦点，PQ是过F1的一条弦，求三角形PQF2面积的最大值 【解】S△PQF2=S△QF1F2+S△QF1F2=1/2 * |y2-y1| * 2c=c*|y2-y1| △QF1F2与△QF1F2底边均为F1F2=2c，之后是联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理表示出|y2-y1|进行分析即可【|y1-y2| = √(1+1/k^2)[(y1+y2)^2 - 4y1y2] 】请你看下面的一个具体例题，会对你有所启发的。

设点F1是x^2/3+y^2/2=1的左焦点，弦AB过椭圆的右焦点，求三角形F1AB的面积的最大值。 【解】a^2=3,b^2=2,c^2=3-2=1→→c=1 ∴F1F2=2c=2 假设A在x上方，B在下方直线过(1,0) 设直线是x-1=m(y-0)x=my+1 代入 2x^2+3y^2=6(2m^2+3)y^2+4my-4=0→→y1+y2=-4m/(2m^2+3),y1y2=-4/(2m^2+3) △F1AB=△F1F2A+△F1F2B 他们底边都是F1F2=2 则面积和最小就是高的和最小（即|y1|+|y2|最小[1]） ∵AB在x轴两侧,∴一正一负→→|y1|+|y2|=|y1-y2| (y1-y2)^2=(y1+y2)^2-4y1y2=16m^2/(2m^2+3)2+16/(2m^2+3) →→|y1-y2|=4√[m2+(2m2+3)]/(2m2+3)=4√3*√(m2+1)]/(2m2+3) 令√(m^2+1)=p^2m^2+3=2p^2+1且p>=1则p/(2p^2+1)=1/(2p+1/p) (分母是对勾函数) ∴p=√(1/2)=√2/2时最小这里p>=1→→p=1,2p+1/p最小=3 此时p/(2p2+1)最大=1/3→→|y1-y2|最大=4√3*1/3∴最大值=2*4√3/3÷2=4√3/3 在椭圆中，我们通常把焦点与过另一个焦点的弦所围成的三角形叫做焦点三角形，类似地，我们也把顶点与过另一个顶点所对应的焦点弦围成的三角形叫顶焦点三角形．在椭圆的顶焦点三角形中有许多与椭圆焦点三角形相类似的几何特征，蕴涵着椭圆很多几何性质，在全国各地的高考模拟试卷及高考试题中，都曾出现过以“顶焦点三角形”为载体的问题．本文对椭圆的顶焦点三角形的性质加以归纳与剖析．

椭圆中与焦点三角形有关的问题

椭圆中与焦点三角形有关的问题 例1：椭圆14 92 2=+y x 的焦点为F l 、F 2，点P 为其上动点，当 21PF F ∠为钝角时，点P 横坐标的取值范围是_______。 （二）问题的分析 问题1. 椭圆14 92 2=+y x 的焦点为F l 、F 2，点P 为其上一点，当21PF F ∠为直角时，点P 的横坐标是_______。 问题2. 而此题为钝角，究竟钝角和直角有何联系？ 解题的关键在于点动，发现21PF F ∠的大小与点P 的位置有关，究竟有何联系。 性质一：当点P 从右至左运动时，21PF F ∠由锐角变成直角，又变成钝角，过了Y 轴之后，对称地由钝角变成直角再变成锐角，并且发现当点P 与短轴端点重合时，21PF F ∠达到最大。 3.“性质一”是为什么呢？你能证明吗？ 问题3：解三角形中我们常用的理论依据是什么？ 问题4：究竟转化为求哪种三角函数的最值，经演算、试验，悟出“欲求21PF F ∠的最大值，只需求cos 21PF F ∠的最小值”

问题5：由上面的分析，你能得出cos 21PF F ∠与离心率e 的关系吗？ 性质二：已知椭圆方程为),0(122 22>>=+b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则.21cos 2e -≥θ（当且仅当动点为短轴端点时取等号） 题2：已知1F 、2F 是椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的两个焦点，椭圆上一点P 使?=∠9021PF F ，求椭圆离心率e 的取值范围。 变式1：已知椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的两焦点分别为,,21F F 若椭圆上存在一点,P 使得,1200 21=∠PF F 求椭圆的离心率e 的取值范围。 变式2：若椭圆13 42 2=+y x 的两个焦点1F 、2F ，试问：椭圆上是否存在点P ，使?=∠9021PF F ？存在，求出点P 的纵坐标；否则说明理由。

专题：椭圆的焦点三角形

椭圆的焦点三角形 一 知识梳理 定义：椭圆（双曲线）上一点和两焦点组成的三角形叫焦点三角形；有一个角为直角的焦点 三角形叫焦点直角三角形。 性质一：该三角形一边长为焦距，另两边的和为定值。所以周长为定值2a+2c 性质二：已知椭圆方程为),0(122 22>>=+b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则2tan 221θb S PF F =?. 证明：记2211||,||r PF r PF ==， 由椭圆的第一定义得.4)(,22 22121a r r a r r =+∴=+ 在△21PF F 中，由余弦定理得： 2(cos 2212221c r r r r =-+θ配方得：.4cos 22)(2 2121221c r r r r r r =--+θ 即.4)cos 1(242212c r r a =+-θ .cos 12cos 1)(22 2221θ θ+=+-=∴b c a r r 由任意三角形的面积公式得： 2tan 2cos 22cos 2sin 2cos 1sin sin 2122 222121θθθ θθθθ?=?=+?==?b b b r r S PF F . .2tan 221θ b S PF F =∴? 性质三：已知椭圆方程为),0(122 22>>=+b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则.2112cos 222 e a b -=-≥θ并且点P 在y 轴上是张角最大。 证明：设,,2211r PF r PF ==则在21PF F ?中，由余弦定理得： 1244242)(2cos 212 221221221212 212221--=--+=-+=r r c a r r c r r r r r r F F r r θ

椭圆中焦点三角形的性质(含答案)

专题1：椭圆中焦点三角形的性质及应用 性质一：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为a b 2 2 证明： 性质二：已知椭圆方程为 ),0(122 22 >>=+b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则2 tan 221θ b S PF F =?. 证明： 性质三：已知椭圆方程为),0(122 22>>=+b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形 21F PF 中,21θ=∠PF F 则.21cos 2e -≥θ 例1. 若P 是椭圆 164 1002 2=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且?=∠6021PF F ， 求△21PF F 的面积. 例2.已知P 是椭圆 19 252 2=+y x 上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点， 2 1 | |||2121= ?PF PF ，则△21PF F 的面积为（ ） A. 33 B. 32 C. 3 D. 3 3 例3.已知椭圆 19 162 2=+y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，点P 在椭圆上. 若P 、1F 、2F 是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（ ） A. 59 B. 779 C. 49 D. 49或7 79 例 4. 已知1F 、2F 是椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的两个焦点，椭圆上一点P 使 ?=∠9021PF F ，求椭圆离心率e 的取值范围。

练习题： 1. 椭圆124 492 2=+x y 上一点P 与椭圆两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21PF F 的面积为（ ） A. 20 B. 22 C. 28 D. 24 2. 椭圆14 22 =+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积为1时，21PF PF ?的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 6 3. 椭圆14 22 =+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积 最大时，21PF PF ?的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 2- 4．已知椭圆1222 =+y a x （a ＞1）的两个焦点为1F 、2F ，P 为椭圆上一点， 且?=∠6021PF F ，则||||21PF PF ?的值为（ ） A ．1 B ．3 1 C ． 3 4 D ． 3 2 5. 已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，1F 、2F 为焦点，点P 在椭圆上， 直线1PF 与2PF 倾斜角的差为?90，△21PF F 的面积是20，离心率为3 5， 求椭圆的标准方程. 专题2：离心率求法： 1．若椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个 正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为( ) A.22 B.32 C.53 D.63 2．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距 成等差数列，则该椭圆的离心率是( ) A.45 B.35 C.25 D.15 3．若椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的最近距离是1，则椭圆的离心率为________． 4.已知A 为椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)上的一个动点，直线AB 、AC 分别过焦点F 1、 F 2，且与椭圆交于B 、C 两点，若当AC 垂直于x 轴时，恰好有|AF 1|∶|AF 2|＝3∶1， 求该椭圆的离心率． 5．如图所示，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M 的横坐标等于右焦点 的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的2 3，求椭圆的离心率．

椭圆焦点三角形的性质

椭圆的焦点三角形 基础再现： 已知椭圆22 122:1(0)x y C a b a b +=>>的焦点为21,F F ，长轴端点为21,A A ，短轴端点为21,B B ，P 为椭圆上任意一点，O 为坐标原点． 1. 焦半径1PF 的范围：[]c a c a +-,．类似的：OP 的范围：[]a b ,． 2. 焦点三角形的周长：c a L 22+=． 3. []22221,b c b PF PF -∈?，当且仅当P 位于短轴端点时取得22c b -，长轴端点时取得2b ． 4. 21PF F ∠在点P 位于短轴端点时取得最大值． 类似的：21PA A ∠在点P 位于短轴端点时取得最大值． 特别的：过焦点的所有弦中通径通径最短，通径：a b L 2 2= 5. 焦点三角形的面积： ⅰ．2121sin 2 1PF F PF PF S ∠??=． ⅱ．p y c b b S =?=+?=2tan cos 1sin 22θθθ，当且仅当点P 位于短轴端点时面积取得最大值bc ． 6. 22121cos e PF F -≥∠，其中e 为椭圆离心率． 7. P F F F PF PF F e 212121sin sin sin ∠+∠∠=，其中e 为椭圆离心率． 实战演练 1．已知椭圆()()22 1:1,3,0,3,02516x y C A C +=-，B 为椭圆上一点，则在ABC ?中B C A sin sin sin +的值为 ． 2．已知21,F F 为椭圆22 1:12516x y C +=的两个焦点， 过1F 的直线交椭圆于B A ,，且1222=+B F A F ，则=AB ．

椭圆中焦点三角形性质探究公开课优质课比赛获奖教案

椭圆中焦点三角形性质探究 教材分析：本节是人教版选修2-1第二章2.2椭圆之后专题课，是椭圆知识的延续。焦点三角形蕴含着椭圆很多耳目一新的几何性质，这些性质浑然一体，相得益彰。在全国各地的高考模拟试题及高考试题中以焦点三角形为载体的问题，更是层出不穷，精彩纷呈。故值得我们去探究与总结。 学情分析： 学生已初步具备解析几何思想。也已经掌握椭圆的定义和相关性质，但是对于常考题型，还没有全面了解。焦点三角形是圆锥曲线中一种特殊的三角形，受到其几何图形的影响与三角形面积相关的考点，学生往往自顾不暇，计算繁琐。 教学目标： 1、知识上，能一起探究焦点三角形的常用结论。如三角形形状判断，顶角 问题，面积问题，离心率问题等，体现了知识的整合性 2、思想上，能理解、会应用，体会到一些有用的结论将会为解析几何的解题带来帮助； 3、行动上，笔不离手，认识到有效的计算是解答解析几何问题的必备手段。教学思想： 数学在其自身的发展过程中充满了合情推理和逻辑推理的过程，充满了数学实验的过程，如何使学生在数学学习中受到数学文化的熏陶，体验到数学思想方法的美妙，进而使思维品质得到有效的锻炼，逐步形成用数学看世界的思维方式呢？那么，本节课就是一个很好的载体。圆锥曲线是中学数学的难点和重点，以椭圆双为背景的问题往往是学生学习结合的难点，在学习解析几何初步的过程中，结合新课标要求，学生必须掌握一个经典的知识点及焦点三角形的相关问题，在焦点三角形知识点的探求中，学生会逐步的发现问题，经历搜索解决问题，这正是学习数学的妙处。 课程资源： 导学案：网络上关于“焦点三角形”资源。 教学重点：

发现焦点三角形的题型与解决思路 教学难点： 解析几何与平面几何思想方法的融合 教学方法与工具： 导学案“以学定教”式，小组合作讨论 教学内容： 圆锥曲线在高考中常以大题和小题各出一题的形式来考察，而小题一般是性质的灵活运用。在椭圆之中有一个三角形就是高考常客。 学生活动1：观察图中三角形，尝试发现三角形的顶点与椭圆的关系。 定义： 椭圆上一点和两焦点组成的三角形叫焦点三角形； 学生活动2：观察焦点三角形，结合椭圆特征，发现三角形中一些常见结论。 （提示：因为焦点是定点，只有一个顶点为动点，因此与其相关的最值问题层出不穷。因此可以从边、角、周长、面积等角度探究） 总结：关于椭圆焦点三角形的常见问题： 一、焦点三角形的形状与周长问题 二、焦点三角形的顶角问题 三、焦点三角形的面积问题 四、焦点三角形相关的离心率问题 一、焦点三角形的形状与周长问题 问题1：椭圆 22 11612x y +=上一点P 到两焦点1,2F F 的距离之差为2，试判断12PF F 的形状 . 2 21(4x M y y k x A B +==练习1：已知点椭圆与直线交于点、，则ABM 的周长为（ ） A.4 B.8 C.12 D.16

椭圆中焦点三角形的拓展结论

专题：椭圆中焦点三角形的性质及应用 前言：焦点三角形，又称“魅力三角形”，其定义为：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。与焦点三角形的有关问题主要是：考查椭圆定义、三角形中的正(余)弦定理、内角和定理、面积公式等知识点. 性质一：(面积公式)已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设 焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则2 tan 221θ b S PF F =?.(由《名师》P35品味12引出) 专题训练： 1. 已知(3,4)P 为椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 上的一点, 12,F F 为焦点，若12F P PF ⊥,求 12F PF ?的面积 .(20) 2. 若P 为椭圆22143x y +=上的一点，12,F F 为左右焦点，若123 F PF π ∠=，求点P 到x 轴 的距离性质二：(顶角最大)已知椭圆方程为),0(122 22>>=+b a b y a x 左右两焦点分别为 ,,21F F 设焦点三角形21F PF ，若21PF F ∠最大，则点P 为椭圆短轴的端点. 1. 点P 在椭圆14 22 =+y x 上, 12,F F 为焦点，则12F PF ∠的取值范围 .( 20,3π?? ???? ) 2. 若P 在椭圆 22 21(50)25x y b b +=>>上的一点，12,F F 为左右焦点，若12F PF ∠的最大值为2 π ，则椭圆的方程为 . ( 22212525x y +=) 拓展结论：已知P 是椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上的一点, 12,F F 为椭圆的两焦点. (1) 当c b >时，椭圆上存在4个点，使得1290F PF ? ∠=1e <<； (2) 当c b =时，椭圆上存在2个点，使得1290F PF ? ∠=，且2 e = ；

专题椭圆的焦点三角形-精品

专题椭圆的焦点三角形-精品 2020-12-12 【关键字】焦点、标准、倾斜、中心 一 知识梳理 定义：椭圆（双曲线）上一点和两焦点组成的三角形叫焦点三角形；有一个角为直角的焦点 三角形叫焦点直角三角形。 性质一：该三角形一边长为焦距，另两边的和为定值。所以周长为定值2a+2c 性质二：已知椭圆方程为),0(122 22>>=+b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角 形21F PF 中,21θ=∠PF F 则2 tan 221θ b S PF F =?. 证明：记2211||,||r PF r PF ==， 由椭圆的第一定义得.4)(,22 22121a r r a r r =+∴=+ 在△21PF F 中，由余弦定理得： 2(cos 2212 22 1c r r r r =-+θ配方得：.4cos 22)(2 2121221c r r r r r r =--+θ 即.4)cos 1(242 212 c r r a =+-θ 由任意三角形的面积公式得： 2tan 2 cos 22cos 2 sin 2cos 1sin sin 2122 222121θθθ θ θ θθ?=?=+?== ?b b b r r S PF F . 性质三：已知椭圆方程为),0(122 22>>=+b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角 形21F PF 中,21θ=∠PF F 则.2112cos 222 e a b -=-≥θ并且点P 在y 轴上是张角最大。 证明：设,,2211r PF r PF ==则在21PF F ?中，由余弦定理得： .21121)2 (2222 2212e a b r r b -=-=-+≥当切仅当21r r =，即点P 在y 轴是θcos 取的最小值，而角θ取得最大值。 二 典型例题

椭圆焦点三角形

1．椭圆焦点三角形定义及面积公式推导 （1）定义：如图1，椭圆上一点与椭圆的两个焦点12,F F 构成的三角形12 PF F 称之为椭圆焦点三角形． （2）面积公式推导 解：在12PF F ?中，设12F PF α∠=，11PF r =，22PF r =，由余弦定理得 2 2 2 1212 12 cos 2PF PF F F PF PF α+-= ?222 1212 (2)2r r c r r +-= ? 22121212()242r r r r c r r +--=22 1212 (2)242a rr c rr --= 2212124()22a c r r r r --=212 12 2b r r r r -= ∴2 1212cos 2rr b rr α=- 即21221cos b r r α =+， ∴12 2 12112sin sin 221cos PF F b S r r ααα ?==??+2sin 1cos b αα=+=2tan 2b α． 例1．焦点为12,F F 的椭圆22 14924x y +=上有一点M ，若120MF MF ?= ，求12 MF F ?的面积． 解：∵120MF MF ?= ， ∴12MF MF ⊥， ∴ 12MF F S ?=290tan 24tan 242 2 b α ? ==． 例2．在椭圆的22 221(0)x y a b a b +=>>中，12,F F 是它的两个焦点，B 是短轴的 一个端点，M 是椭圆上异于顶点的点，求证：1212F BF F MF ∠>∠． 证明：如图2，设M 的纵坐标为0y ， ∵2121021212 1 21MF F F BF S y F F b F F S ??=?>?= ， 图1 F 1 x y O P F 2 F 1 x y O M F 2 B