反函数教案

《反函数》教案

一 章节内容

引出反函数，理解反函数的概念、定义域以及值域，了解原来的函数与反函数的关系。

二 课时:一课时

三 教学目的

1.知识目标：记住方程1()y f x -=的概念，并且了解()y f x =与1()y f x -=的性质与图像关系，即定义域、值域间的关系；

2.能力目标：体会反函数的变化，逐步培养学生的观察、比较、分析的能力；

3.情感目标：培养学生的求知欲，增强学生学习的主动性。

四 教材分析

1.重点：反函数概念与它的性质，反函数的图像。

2.难点：原函数与反函数之间的转换及灵活应用。

五 课型及教法

1.课型：新授课

2.教法：讲练结合法

六 教具:黑板

七 教学过程设计

1.引入

⑴物体做直线运动位移s 是时间t 的函数即s vt =（速度v 是常量）,反之由位移s 与速度v 来确定做匀速运动的时间t 即t s =(s 为自变量，时间t 是位移s 的函数)，就说t s v =是函数s vt =的反函数。

⑵走进一家2元店：①购买x 件商品，求所付的钱数y ；②若有y 元（2的整数倍），求能购买的商品的件数x 。

2.新授

⑴反函数的定义：一般的，函数()y f x =（x R ∈）中，设它的值域为c ，根据这个函数中,x y 的关系，用y 把x 表示出来，得到()x y ?=，形如这样的函数()x y ?=（y C ∈）叫做函数()y f x =（x A ∈）的反函数，记作1()x f y -=。

例如2y x =的反函数为2y x =（x R ∈）；函数56y x =-

的反函数为6y x =+（x R ∈）。

⑵反函数的性质：①互为反函数两个函数的图像关于直线y x =对称；②函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一对应的；③一个函数与它的反函数在相应的区间上单调性一致；④反函数具有唯一性，原函数与反函数之间是相互的，即若函数()y f x =有反函数1()y f x -=，那么函数1()y f x -=的反函数也就是()y f x =。

⑶求反函数的步骤：①先求出反函数的定义域，原函数的值域就是反函数的定义域；②反解x ，也就是用y 来表示x ；③改写，交换位置，也就是把x 改成y ，把y 改成x 。

3.练习巩固

例1：求下列数的反函数 ⑴31y x =-（x R ∈）；⑵31y x =+（x R ∈）

解： ⑴由31y x =-得(1)3x y =+，所以函数31y x =-（x R ∈）的反函数是(1)3y x =+（x R ∈）

⑵由函数31y x =+

得x =

，所以函数31y x =+（x R ∈

）的反函数是y =（x R ∈）；

例2：求函数32y x =-（x R ∈）的反函数并且画出原来的函数和它的反函数的图像。 解：由32y x =-得(2)3x y =+，所以函数32y x =-（x R ∈）的反函数是(2)3y x =+（x R ∈）；

函数32y x =-（x R ∈）和它的反函数(2)3y x =+（x R ∈）的图像如下：

4.小结

⑴反函数也是函数，因为它符合函数的定义。从反函数的定义可知，任意一个函数()y f x =，不一定有反函数，若函数()y f x =有反函数1()y f x -=，那么函数1()y f x -=的反函数就是()y f x =，这就是说函数()y f x =与1()y f x -=互为反函数。

⑵函数()y f x =的定义域正好是它的反函数1()y f x -=的值域；函数()y f x =的值域正好是它的反函数1()y f x -=的定义域。

5.布置作业

课本63页，习题1,2,3

八 板书设计

您已经完成中国工商银行人才招聘系统的注册。

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如果您在1小时之后尚未收到邮件，请使用您注册中的信息进行用户登陆，系统会重新将激活链接发送至您的邮箱 第二、为人处世方面

一、改掉自己偶尔性情急躁的坏毛病，千万不和同学发生冲突。

二、尊重身边的每一个人，不管他（她）有着什么样的性格，学习优秀的人，感化恶搞的人，用一颗真诚的心去对待他们，不去争名利，不计较利益，做一位合格的中国公民，为和谐社会的构建做自己力所能及的。

三、抓住每一个锻炼自己的机会，这样的机会不是每个人都有。全力以赴地完成在班级和学院的本职工作，为集体做一些力所能及的事，为劳累了多年的老师们哪怕减轻一点点负担也好。干出一点成绩，不一定非要得到他人的肯定，重要是给自己找一个相信自己的理由。

第三、生活方面

大学是真正属于自己的天地，在人的一生中这种日子不会长久，如果在这里我都不能很好的生活，那么估计我以后就别想好好生活。所以除了学习和工作之外，我必须给自己一个快乐的生活方式，珍惜现在拥有的。愚一直以为，让我干一件我不喜欢

的事比杀了我还恐怖，在大学里要摈弃曾经的陈旧观念，无论如何也不逼自己，只做值得自己做的事，好好地为自己活一次！

一、篮球是我的好伙伴，那些和我一起打篮球的伙伴更是我的好伙伴，我喜欢他们的大气，喜欢和他们呆在一起的感觉。所以，每周至少打一次篮球，这是必须的，劳逸结合，和篮球好友们联络联络感情，调节身心健康。

二、力求打破没上过西南民族大学的舞台的记录，不要走出大学校门后又一个遗憾。说出来不怕丢人，当一名歌手那是我孩提时最强烈的愿望，曾几何时，自己也在校园的小舞台上扮演着主角，所以我相信有一个舞台是属于自己的。

三、多和家人和同学联络，告诉他们我的快乐和不安，一路走来是他们支撑着我克服了重重困难。尤其是上了年纪的父母，他们操劳一辈子也许最想要的只是我的一个消息一个平安而已，所以我绝对不能让他们失望，他们幸福了我才能真正的心安理得。

最后，祝愿自己能把曾经失去的补回来，最终如愿以偿！

。

同济第六版《高等数学》教案WORD版-第01章 函数与极限

第一章函数与极限 教学目的： 1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形。 5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限 之间的关系。 6、掌握极限的性质及四则运算法则。 7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限 的方法。 8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有 界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 教学重点： 1、复合函数及分段函数的概念； 2、基本初等函数的性质及其图形； 3、极限的概念极限的性质及四则运算法则； 4、两个重要极限； 5、无穷小及无穷小的比较； 6、函数连续性及初等函数的连续性； 7、区间上连续函数的性质。 教学难点： 1、分段函数的建立与性质； 2、左极限与右极限概念及应用； 3、极限存在的两个准则的应用； 4、间断点及其分类； 5、闭区间上连续函数性质的应用。 §1. 1 映射与函数 一、集合 1. 集合概念 集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A, B, C….等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合M的元素表示为a?M. 集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A?{a, b, c, d, e, f, g}. 描述法: 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成, 则M可表示为

分段函数及反函数教案

第 16次课 学生： 蒋昊秋 授课时间: 2012 年 7 月 28 日 10 ： 00 --- 12 ： 00 教师 唐文 审核教师 授课课题 解函数解析式 一、 授课目的与考点分析： 1． 会用待定系数法以及配凑法求函数解析式 2． 会求分段函数定义域及值域。 3． 掌握反函数的性质，会求反函数。 二、 授课内容： 一：函数解析式的常用方法： 1、直接法：由题给条件可以直接寻找或构造变量之间的联系。 例1. 已知函数y ＝f （x ）满足xy ＜0，4x 2－9y 2＝36，求该函数解析式。 说明：这是一个分段函数，必须分区间写解析式，不可以写成 229 3 x y -=± 的形式。 2、待定系数法：由题给条件可以明确函数的类型，从而可以设出该类型的函数的一般式，然后再求出各个参变量的值。 例2. 已知在一定条件下，某段河流的水流量y 与该段河流的平均深度x 成反比，又测得该段河流某段平均水深为2m 时，水流量为340m 3/s ，试求该段河流水流量与平均深度的函数关系式。 变式.已知()f x 为二次函数，过原点，且f(1)=3, f(3)=6,求()f x 的解析式 。 说明：二次函数的表达形式有三种：一般式：2 ()f x ax bx c =++；顶点式：2 ()()f x a x m n =-+；零点式： 12()()()f x a x x x x =--，要会根据已知条件的特点，灵活地选用二次函数的表达形式）。 3、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将内函数用一个变量代换。 例3. 已知2211 ()x x x f x x +++= ，试求()f x 。 说明：要注意转换后变量范围的变化，必须确保等价变形。 变式：（1）已知,sin )cos 1(2 x x f =-求()2 x f 的解析式 起航学校个性化辅导教案提纲

反函数和复合函数的求导法则

二、反函数的导数法则 定理1：设)(x f y =为)(y x ?=的反函数，若)(y ?在0y 的某邻域内连续，严格单调，且0)(0≠'y ?，则)(x f 在0x （即)(0y f 点有导数），且) (1 )(00y x f ?'= '。 证明：0 0000)()(1 lim )()(lim )()(lim 000 y y y y y y y y x x x f x f y y y y x x --=--=--→→→???? )(1 )()(lim 100 00y y y y y y y ???'=--= → 所以 ) (1 )(00y x f ?'='。 注1：00 y y x x →? →，因为)(y ?在0y 点附近连续，严格单调； 2：若视0x 为任意，并用x 代替，使得)(1)(y x f ?'= '或)(1 dy dx dx dy =，其中dy dx dx dy , 均为整体记号，各代表不同的意义； 3：)(x f '和)(y ?'的“′”均表示求导，但意义不同； 4：定理1即说：反函数的导数等于直接函数导数的倒数； 5：注意区别反函数的导数与商的导数公式。 【例1】 求x y arcsin =的导数， 解：由于]1,1[,arcsin -∈=x x y ，是]2 ,2[,sin π π- ∈=y y x 的反函数，由定理1 得： 2211 sin 11cos 1)(sin 1)(arcsin x y y y x -= -=='='。 注1：同理可证：2 22 11 )tan (,11)(arctan ,11)(arccos x x arcc x x x x +-='+= '-- ='；

分段函数的几种常见题型和解法

函数的概念和性质 考点 分段函数 分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内, 有不同的对应法则的函数, 它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用, 时常在高考试题中“闪亮”登场, 本文就几种具体的题型做了一些思考, 解析如下： 1．求分段函数的定义域和值域 例1．求函数1222[1,0];()(0,2);3[2,);x x f x x x x +∈-?? =-∈??∈+∞? 的定义域、值域. 2．求分段函数的函数值 例2．已知函数2 |1|2,(||1)()1,(||1)1x x f x x x --≤?? =?>?+?求12[()]f f .

例3．求函数43(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤?? =+<≤??-+>? 的最大值. 4．求分段函数的解析式 例4．在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对称, 现将()y g x =的图象沿x 轴向左平移2个单位, 再沿y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数()f x 的表达式为（ ） 222(10) .()2(02)x x x A f x x +-≤≤?=?+<≤? 222(10) .()2(02)x x x B f x x --≤≤?=?-<≤? 222(12) .()1(24)x x x C f x x -≤≤?=?+<≤? 2 26(12) .()3(24)x x x D f x x -≤≤?=?-<≤? y x

人教版数学高一-新课标 反函数 精品教学设计

课时教案 年 月 日 第 周 星 期 执教人 学 科 数学 高中 年级 班 课 题 2.2.3反函数 课 型 新授课 教 学 目 标 学习反函数的概念，理解对数函数和指数函数互为反函数，能够在同一坐标上看出互为反函数的两个函数的图象性质 重 点 难 点 反函数的概念，对数函数和指数函数互为反函数 反函数的概念 教 学 用 具 教 学 主 线 教 学 过 程 一、课前预习、复习 阅读以下内容： 材料一： 当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．根据些规律，人们获得了生物体碳14含量P 与生物死亡年数t 之间的关系．回答下列问题： （1）求生物死亡t 年后它机体内的碳14的含量P ，并用函数的观点来解释P 和t 之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？ （2）已知一生物体内碳14残留量为P ，试求该生物死亡的年数t ，并用函数观点来解释P 和t 之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？ （3）这两个函数有什么特殊的关系？ （4）用映射的观点来解释P 和t 之间的对应关系是何种对应关系？ （5）由此你能获得怎样的启示？ 材料二： 探究：如何由x y 2=求出x ？ 分析：函数2log x y =由2x y =解出，是把指数函数2x y =中的自变量与因变量对调位置而得出的. 习惯上我们通常用x 表示自变量，y 表示函数，即写为x y 2log =。 由对数函数的定义可知，对数函数x y 2log =是把指数函数x y 2 =中的自变量与因变量对调位置而得出的，在列表画x y 2log =的图象时，也是把指数函数x y 2=的对应值表里的x 和y 的数值对换，而得到对数函数x y 2log =的对应值表，如下： 表一 x y 2= x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y … … 表二 x y 2log = 引导学生分析归纳，总结概括得出结论： （1）P 和t 之间的对应关系是一一对应； （2）P 关于t 是指数函数 t P ??? ? ??=573021； t 关于P 是对数函 数 x t 5730 2 1log =， 它们的底数相同，所描述的都是碳14的衰变过程中，碳14含量P 与死亡 年数t 之间的对应 关系； （3） 本问题中的同底数的指数函数和对数函数，是描述同一种关系（碳14含量 P 与死亡年 数t 之间的对应关系）的不同数学模型．

反函数怎么表示【整理反函数数学教案】

反函数怎么表示【整理反函数数学教案】 反函数数学教案数学教案【数学教案】教学目标1.使学生了解 反函数的概念；2.使学生会求一些简单函数的反函数；3.培养学生 用辩证的观点观察、分析解决问题的能力。 教学重点1.反函数的概念；2.反函数的求法。 教学难点反函数的概念。 教学方法师生共同讨论教具装备幻灯片2张第一张：反函数的定义、记法、习惯记法。（记作A）；第二张：本课时作业中的预习 内容及提纲。 教学过程（I）讲授新课（检查预习情况）师：这节课我们来学 习反函数（板书课题）§2.4.1反函数的概念。 同学们已经进行了预习，对反函数的概念有了初步的了解，谁来复述一下反函数的定义、记法、习惯记法？生：（略）（学生回答 之后，打出幻灯片A）。 师：反函数的定义着重强调两点：（1）根据y=f(x)中x与y的 关系，用y把x表示出来，得到x=φ（y）；（2）对于y在c中的 任一个值，通过x=φ（y），x在A中都有惟一的值和它对应。 师：应该注意习惯记法是由记法改写过来的。 师：由反函数的定义，同学们考虑一下，怎样的映射确定的函数才有反函数呢？生：一一映射确定的函数才有反函数。 （学生作答后，教师板书，若学生答不来，教师再予以必要的启示）。 师：在y=f(x)中与y=f-1(y)中的x、y，所表示的量相同。（前 者中的x与后者中的x都属于同一个集合，y也是如此），但地位 不同（前者x是自变量，y是函数值；后者y是自变量，x是函数值。）在y=f(x)中与y=f–1(x)中的x都是自变量，y都是函数值，

即x、y在两式中所处的地位相同，但表示的量不同（前者中的x是 后者中的y,前者中的y是后者中的x。）由此，请同学们谈一下， 函数y=f(x)与它的反函数y=f–1(x)两者之间，定义域、值域存在 什么关系呢？生：（学生作答，教师板书）函数的定义域，值域分 别是它的反函数的值域、定义域。 师：从反函数的概念可知：函数y=f(x)与y=f–1(x)互为反函数。 从反函数的概念我们还可以知道，求函数的反函数的方法步骤为：（1）由y=f(x)解出x=f–1(y)，即把x用y表示出；（2）将 x=f–1(y)改写成y=f–1(x)，即对调x=f–1(y)中的x、y。 （3）指出反函数的定义域。 下面请同学自看例1（II）课堂练习课本P68练习1、2、3、4。 （III）课时小结本节课我们学习了反函数的概念，从中知道了 怎样的映射确定的函数才有反函数并求函数的反函数的方法步骤， 大家要熟练掌握。 （IV）课后作业一、课本P69习题2.41、2。 二、预习：互为反函数的函数图象间的关系，亲自动手作题中要求作的图象。 板书设计课题：求反函数的方法步骤：定义：（幻灯片）注意：小结一一映射确定的函数才有反函数函数与它的反函数定义域、值 域的关系。

分段函数的几种常见题型及解法

分段函数的几种常见题型及解法 分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内, 有不同的对应法则的函数, 它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用, 时常在高考试题中“闪亮”登场, 笔者就几种具体的题型做了一些思考, 解析如下： 1．求分段函数的定义域和值域 例1．求函数1222[1,0]; ()(0,2);3 [2,);x x f x x x x +∈-?? =-∈?? ∈+∞?的定义域、值域. 【解析】 作图, 利用“数形结合”易知()f x 的定义域为 [1,)-+∞, 值域为(1,3]-. 2．求分段函数的函数值 例2．（05年浙江理）已知函数2 |1|2,(||1) ()1,(||1)1x x f x x x --≤?? =?>?+?求12 [()]f f . 【解析】 因为311222()|1|2f =--=-, 所以3 12 22 3 2 14[()]()1() 13 f f f =-== +-. 3．求分段函数的最值 例3．求函数43(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤?? =+<≤??-+>? 的最大值.

【解析】当0x ≤时, max ()(0)3f x f ==, 当01x <≤时, m ax ()(1)4f x f ==, 当1x >时, 5154x -+<-+=, 综上有m ax ()4f x =. 4．求分段函数的解析式 例4．在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对称, 现将()y g x =的图象沿x 轴向左平移2个单位, 再沿y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数()f x 的表达式为（ ） 222(10) .()2(02)x x x A f x x +-≤≤?=?+<≤? 222(10) .()2(02)x x x B f x x --≤≤?=?-<≤? 222(12) .()1(24)x x x C f x x -≤≤?=?+<≤? 2 26(12) .()3(24)x x x D f x x -≤≤?=?-<≤? 【解析】 当[2,0]x ∈-时, 1 2 1y x =+, 将其图象沿x 轴向右平移2个单位, 再沿y 轴向下 平移 1个单位, 得解析式为11 2 2 (2)111y x x = -+-= -, 所以 ()22 ( [f x x x = + ∈-, 当[0,1]x ∈时, 21y x =+, 将其图象沿x 轴向右平移2 个单位, 再沿y 轴向下平移1个单位, 得解析式2(2)1124y x x =-+-=-, 所以 1 2 ()2([0,2])f x x x = +∈, 综上可得2 22(10) ()2(02)x x x f x x +-≤≤?=?+<≤?, 故选A . 5．作分段函数的图像 例5．函数|ln | |1|x y e x =--的图像大致是（ ） y x

2021届高考数学复习教学案：反函数 (1)

课题：2.4.2 反函数（2） 教学目的： ⒈使学生了解互为反函数的函数图象间的关系的定理及其证明. ⒉会利用互为反函数的函数图象间的关系解决有关问题. 教学重点：互为反函数的函数图象间的关系定理及其证明，定理的应用； 教学难点：定理的证明（但教材不作要求）. 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1．反函数的定义； 2．互为反函数的两个函数) (x f y=与) (1x f y- =间的关系： ----定义域、值域相反，对应法则互逆； 3．反函数的求法：一解、二换、三注明 4. 在平面直角坐标系中，①点A(x,y)关于x轴的对称点'A(x,-y); ②点A(x,y)关于y轴的对称点'A(-x,y);③点A(x,y)关于原点的对称点'A(-x,-y);④点A(x,y)关于y=x轴 的对称点'A(?,？); 5.我们已经知道两个互为反函数的函数间有着必然的联系（在定义域、值域和对应法则方面）. 函 数图象是从“形”的方面反映这个函数的自变量x与因变量y之间的关系.因此，互为反函数的函数图象间也必然有一定的关系，今天通过观察如下图像研究—互为反函数的函数图象间的关系. ①) ( 2 3R x x y∈ - =的反函数是) ( 3 2 R x x y∈ + = ②) ( 3R x x y∈ =的反函数是) ( 3R x x y∈ = ) (x f y=的图象和它的反函数) (1x f y- =的图象关于直线x y=对称. 2．证明结论（不要求掌握，根据实际情况处理） 证明：设M(a,b)是) (x f y= 则当x=a时，) (x f有唯一的值b a f= ) (.

反函数(教学设计)教学设计

3.7 反函数 【高教版中职（基础）数学第一册第三章3.7“反函数”第一节】 一、教材与学生的数学现实分析 1．现在的世界已进入信息时代，计算机和互联网迅速普及，计算机科学和信息科学蓬勃发展，由此促使了离散教学的地位日益上升，于是映射成了数学中最基本的概念之一。映射也是日常生活中许多现象的抽象，中学生学习映射的概念.有多方面的用处，本教材就是运用映射的观点阐述反函数的概念，给出了反函数的求法，与传统的方法不同，我们的创新，使得反函数概念的本质容易理解，反函数的求法严谨且易于掌握。所以，抓住反函数这一典型课题，通过科学的设计，使学生亲历将映射的观念惯穿始终的由特殊抽象到一般思维过程，感受知识的形成与发展规律是至关重要的。 2．此前学生已经学习了映射的基本概念，同时也学习了函数的基本性质，对于理论性的研究有了初步的尝试，有了一定得分析、对比、抽象概括的能力，但毕竟以前接触的函数等知识较为简单，而反函数的知识较为抽象，因此本节的设计更加具体、细致、突出学生的主动认知性。 3．考虑到中学生基础较差，辨析与理解力较低。所以本节应用两个较简单的例子引入，而且应用了“对应法则”这个很熟悉的词来寻找互为反函数的关系，又将其应用至求反函数的整个过程中，使学生原本厌学的情绪有所转化，激发他们的学习兴趣，进一步培养他们的学习能力。 通过以上分析，可得出： 1）学习重点和难点：重点是反函数概念的理解、应用和在代数中有着重要和广泛应用的由特殊到一般的化归思想；难点是反函数概念的理解。 2）教学方法：引导类比探索法，从具体到抽象，让学生充分感受和理解知识的发生、发展过程，展开学生的思维，培养学生抽象概括能力。 3）教学工具：多媒体教学 二、教学目标 知识目标：（1）对反函数概念的理解。 （2）给定函数的反函数的求法。 能力目标：让学生亲自体验知识的形成过程，加深对知识及其内在联系的理解，并进一步强化映射、函数知识的应用。培养学生的逻辑推理、逆向思维、 发散思维、综合归纳的能力。 情感目标：（1）培养学生对立统一的辩证唯物主义观点。 （2）在民主、和谐的教学气氛中，促进师生的情感交流。 三、教学过程

分段函数的几种常见题型及解法好

分段函数的几种常见题型及解法 分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内, 有不同的对应法则的函数, 它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 若能画出其大致图像, 定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等问题就会迎刃而解, 方程、不等式等可用数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想及函数思想来解, 使问题得到大大简化 1．求分段函数的定义域和值域 例1．求函数1222[1,0];()(0,2);3[2,);x x f x x x x +∈-?? =-∈??∈+∞? 的定义域、值域. 2．求分段函数的函数值 例2．已知函数2 |1|2,(||1)()1,(||1)1x x f x x x --≤?? =?>?+?求12[()] f f . 3．求分段函数的最值 例3．求函数43(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤?? =+<≤??-+>? 的最大值. 4．求分段函数的解析式 例4．在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对称, 现将()y g x =的图象沿x 轴向左平移2个单位, 再沿y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数()f x 的表达式为（ ） 2 22(10) .()2(02)x x x A f x x +-≤≤?=?+<≤?

222(10) .()2(02)x x x B f x x --≤≤?=?-<≤? 222(12) .()1(24)x x x C f x x -≤≤?=?+<≤? 2 26(12) .()3(24)x x x D f x x -≤≤?=?-<≤? 5．作分段函数的图像 例5．函数|ln ||1|x y e x =--的图像大致是（ ） A C D 6．求分段函数得反函数 例6已知()y f x =是定义在R 上的奇函数, 且当0x >时, ()31x f x =-, 设 ()f x 得反函数为()y g x =, 求()g x 的表达式. 7．判断分段函数的奇偶性 例7．判断函数22(1)(0) ()(1)(0) x x x f x x x x ?-≥?=?-+

高中一年级数学反函数教学设计

高中一年级数学反函数教学设计 一、教材分析： 1、教材的地位与作用 “反函数”一节课是《高中代数》第一册的重要内容。这一节课与函数的基本概念有着紧密的联系，通过对这一节课的学习，既可以让学生接受、理解反函数的概念并学会反函数的求法，又可使学生加深对函数基本概念的理解，还为日后反三角函数的教学做好准备,起到承上启下的重要作用。 2、重点与难点：反函数的定义和求法 二、教学目标分析： (1)知识与技能：使学生接受、理解反函数的概念，并能判定一个函数是否存在反函数；使学生能够求出指定函数的反函数，并能理解原函数和反函数之间的内在联系； (2)能力与方法：培养学生发现问题、观察问题、解决问题的能力； (3)情感与态度：使学生树立对立统一的辩证思维观点。 三、学情分析： 学生已经学习了函数的基本概念和表示法，掌握了函数的基本知识，理解反函数的概念及互为反函数的两个函数的性质和特征，更有助于学生将函数的思想理解得更透彻。 四、教学过程设计 1、创设问题情境： 导入阶段的教学中，抓住反函数也是函数这一实质，以对函数概念的复习来引出反函数。指明函数是一种映射的实质，分析原函数中映射的具体情况，进而引导学生考虑，若将定义域、值域互换，此时映射还是不是一个函数呢？ 首先提问学生函数基本概念，使学生明白函数是一种单值对应，即映射。再出示电脑动画，以函数y=2x来具体分析，结合图象引导学生注意：在定义域内所有自变量，都能在值域内找到唯一确定的一个函数值，即存在x→y的单值对应，例如：１→２，２→４，３→６，……若将定义域与值域互换，则对应变为２→１，４→２，６→３，…这种对应是否构成单值对应，即映射呢？这种对应是否构成函数呢？至此，引出反函数的概念，为概念的新授做好准备。 设计意图：这样的引入方式，抓住了反函数概念的实质，确保学生不会产生概念上的偏差。此外，可以使学生明白新知识来源于旧知识，促使学生主动运用函数的研究方法去学习反函数，为顺利完成教学任务做好思维上的准备。 2、知识建构： 给出概念后，必须防止学生对于反函数f-1(y)形式的误解（以为是1/f(x)）。此外，还

函数反函数 教案

函数反函数教案 教案示例 反函数 教学目标 使学生了解反函数的概念,初步掌握求反函数的方法. 通过反函数概念的学习,培养学生分析问题,解决问题的能力及抽象概括的能力. 通过反函数的学习,帮助学生树立辨证唯物主义的世界观. 教学重点,难点 重点是反函数概念的形成与认识. 难点是掌握求反函数的方法. 教学用具 投影仪 教学方法 自主学习与启发结合法 教学过程 揭示课题 今天我们将学习函数中一个重要的概念----反函数. 反函数(板书) (一)反函数的概念(板书) 二.讲解新课 教师首先提出这样一个问题:在函数中,如果把当作因变量,把当作自变量,能否构成一个函数呢?(让学生思考后回答,要讲明理由)可以 根据函数的定义在的允许取值范围内的任一值,按照法则

都有唯一的与之相对应.(还可以让学生画出函数的图象,从形的角度解释“任一对唯一”) 学生解释后教师指出不管从哪个角度,它都是一个函数,即有反 函数,而且把这个函数称为的反函数.那么这个反函数的解析式是什么呢? 由学生回答出应为 .教师再提出它作为函数是没有问题的,但不太符合我们的表示习惯,按习惯用表示自变量,用表示因变量,故 它又可以改写成 ,改动之后带来一个新问题: 和是同一函数吗? 由学生讨论,并说明理由,要求学生能从函数三要素的角度去认识,并给出解释,让学生真正承认它们是同一函数.并把叫做的反函数.继而再提出: 有反函数吗？是哪个函数? 学生很快会意识到是的反函数,教师可再引申为 与是互为反函数的.然后利用问题再引申:是不是所有的函 数都有反函数呢?如果有,请举出例子.在教师启发下学生可以举出象这样的函数,若将当自变量,当作因变量,在允许取值范围内一个可能对两个 (可画图辅助说明,当时,对应 ),不能构成函数,说明此函数没有反函数. 通过刚才的例子,了解了什么是反函数,把对的反函数的研究过程一般化,概括起来就可以得到反函数的定义,但这个数学的抽象概括,要求比较高,因此我们一起阅读书上相关的内容. 反函数的定义:(板书)(用投影仪打出反函数的定义) 为了帮助学生理解,还可以把定义中的换成某个具体简单的函数如解释每一步骤,如得 ,再判断它是个函数,最后改写为 .给出定义后,再对概念作点深入研究. 2.对概念得理解(板书)

2014年高考一轮复习数学教案：2.5 反函数

2.5 反函数 ●知识梳理 1.反函数定义：若函数y =f （x ）（x ∈A ）的值域为C ，由这个函数中x 、y 的关系，用y 把x 表示出来，得到x =?（y ）.如果对于y 在C 中的任何一个值，通过x =?（y ），x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，x =?（y ）就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数.这样 的函数x =?（y ）（y ∈C ）叫做函数y =f （x ）（x ∈A ）的反函数，记作x =f －1 （y ）. 在函数x =f －1（y ）中，y 表示自变量，x 表示函数.习惯上，我们一般用x 表示自变量，y 表示函数，因此我们常常对调函数x =f －1 （y ）中的字母x 、y ，把它改写成y =f －1 （x ）. 2.互为反函数的两个函数y =f （x ）与y =f －1 （x ）在同一直角坐标系中的图象关于直线y =x 对称. 3.求反函数的步骤： （1）解关于x 的方程y =f （x ），得到x =f －1（y ）. （2）把第一步得到的式子中的x 、y 对换位置，得到y =f －1（x ）. （3）求出并说明反函数的定义域〔即函数y =f （x ）的值域〕. ●点击双基 1.（2005年北京东城区模拟题）函数y =－1 1+x （x ≠－1）的反函数是 A.y =－ x 1－1（x ≠0） B.y =－x 1+1（x ≠0） C.y =－x +1（x ∈R ） D.y =－x －1（x ∈R ） 解析：y =－1 1+x （x ≠－1）?x +1=－y 1?x =－1－y 1.x 、y 交换位置，得y =－1－ x 1. 答案：A 2.函数y =log 2（x +1）+1（x ＞0）的反函数为 A.y =2x －1－1（x ＞1） B.y =2x －1 +1（x ＞1） C.y =2x +1－1（x ＞0） D.y =2x +1+1（x ＞0） 解析：函数y =log 2（x +1）+1（x ＞0）的值域为{y |y ＞1}，由y =log 2（x +1）+1，解得x =2y －1 －1. ∴函数y =log 2（x +1）+1（x ＞0）的反函数为y =2x －1－1（x ＞1）. 答案：A 3.函数f （x ）=－12+x （x ≥－2 1）的反函数 A.在［－ 2 1，+∞）上为增函数 B.在［－ 2 1，+∞）上为减函数 C.在（－∞，0］上为增函数 D.在（－∞，0］上为减函数 解析：函数f （x ）=－12+x （x ≥－2 1）的值域为{y |y ≤0}，而原函数在［－2 1，+∞） 上是减函数，所以它的反函数在（－∞，0］上也是减函数. 答案：D 4.（2005年春季上海，4）函数f （x ）=－x 2（x ∈（－∞，－2］）的反函数f －1（x ）

反函数教学设计

教学过程（教学过程的表述不必详细到将教师、学生的所有对话、活动逐字记录，但是应该把主要环节的实施过程很清楚地再现。） 教学环 节 教师活动预设学生行为设计意图 1.复习引入 1.什么叫映射？，函数 与映射的关系是什么？下 列两个从集合A到B,A到 C的对应是函数吗？为什 么？如果是，写出函数的 解析式 2.倒过来，从集合B到A, C 到A的对应是函数吗？为 什么？如果是，请写出函 数解析式？ 3.函数y=2x， {} 1,2,3,4 x∈的反函数解 析式是什么？ 1.从函数与映射的关系 出发，从具体事例出发， 让学生通过分组讨论判 断数集之间映射的逆映 射是否为函数，构成函数 的条件是什么？ 2.通过这个例子引出反 函数的概念，让学生探讨 归纳反字的意义. 3.学生讨论 2 y x=它不符 合我们的习惯，我们习惯 用x表示自变量，用y 表示函数值，故可改写成 2 x y=, 由于反函数是一 种特殊的函数，所 以一定要讲清它 的特殊性以及它 和原函数之间的 关系，是学生明白 反函数体现的是 两个函数之间的 关系，特别要强调 反字,所以设计问 题时，从函数与映 射的关系出发，从 具体事例出发，让 学生判断数集之 间映射的逆映射 是否为函数

板书设计： §2.4.1反函数 1．反函数的概念 注意: ①②③ 例1 例2. 2.求反函数的基本步骤 课后反思： 在教学过程中，教师通过设疑启发、引导，再结合学生分组讨论，探究总结，突出了学生的教学主体地位，实现了新课程中师生都是主体的教育教学理念，以积极的双边活动使学生主动自觉地发现概念、发现方法。培养了学生的观察分析能力和思维的全面性。具体教学中，教师创设问题情境，学生在这一情境中去讨论分析、探究发现，以符合学生思维的形式发展了学生的能力，达到了教学目标，优化了整个教学。

反函数知识点总结讲义教案

班级：一对一 所授年级+科目： 高一数学 授课教师： 课次：第 次 学生： 上课时间： 教学目标 理解反函数的意义，会求函数的反函数；掌握互为反函数的函数图象之间的关系，会利用反函数的性质解决一些问题． 教学重难点 反函数的求法，反函数与原函数的关系． 反函数知识点总结教案 【知识整理】 一．函数的定义 如果在某个变化过程中有两个变量x 和y ,并且对于x 在某个围的每一个确定的值，按照某个对应法则, y 都有唯一确定的值和它对应,那么y 就是x 的函数， x 就叫做自变量， x 的取值围D 称为函数的定义域，和x 的值对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合A 叫做函数的值域，记为： )(x f y = x ∈D. 二．反函数定义 一般地，函数)(x f y = (x ∈D),设它的值域为A,我们根据这个函数中x , y 的关系，用y 把 x 表示出，得到)(y x ?= ,如果对于 y 在 A 中的任何一个值，通过)(y x ?= , x 在D 中都有唯 一的值和它对应，那么，)(y x ?= 就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数，这样的函数)(y x ?= （y ∈A)叫做函数)(x f y = ( x ∈D)的反函数.记作：)(1 y f x -= 反函数)(1 y f x -=中，x 为因变量，y 为自变量，为和习惯一致，将x , y 互换得： )(1x f y -= ( x ∈A). 注：并非所有的函数都有反函数.反函数存在的条件：从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数； 三．主要方法： 1．求反函数的方法步骤： ①求出原函数的值域，即求出反函数的定义域； ②由)(x f y =反解出)(1 y f x -= (把x 用y 表示出来)； ③将x , y 互换得： )(1 x f y -=，并写出反函数的 定义域 2． 分段函数的反函数的求法：逐段求出每段的反函数及反函数的定义域，再合成分段函数. 3． 原函数与反函数的联系

高中数学《反函数》教案

课 题：2.4.1 反函数（一） 教学目的：掌握反函数的概念和表示法，会求一个函数的反函数 教学重点：反函数的定义和求法 教学难点：反函数的定义和求法 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教材分析： 反函数是数学中的一个很重要的概念，它是我们以后进一步研究具体函数类即五大类基本初等函数的一个不可缺少的重要组成部分 反函数是函数中的一个特殊现象，对反函数概念的讨论研究是对函数概念和函数性质在认识上的进一步深化和提高反函数概念的建立，关键在于让学生能从两个函数关系的角度去认识它，从而深化对函数概念的认识 本节是反函数的第一节课围绕如何理解反函数概念这个重难点展开 由于函数是一种对应关系，这个概念本身不好理解，而反函数又是函数中的一种特殊现象，它是两个函数之间的关系所以弄清函数与其反函数的关系，是正确理解反函数概念必不可少的重要环节教学设计中，通过对具体例子的求解，不但使学生掌握求反函数的方法步骤，并有意识地阐明函数与反函数的关系深化了对概念的理解和掌握 教学过程： 一、复习引入： 我们知道，物体作匀速直线运动的位移s 是时间t 的函数，即s=vt,其中速度v 是常量,定义域t ≥0,值域s ≥0；反过来，也可以由位移s 和速度v （常量）确定物体作匀速直线运动的时间，即v s t = ，这时，位移s 是自变量，时间t 是位移s 的函数,定义域s ≥0,值域t ≥0. 又如，在函数62+=x y 中，x 是自变量，y 是x 的函数，定义域x ∈R ，值域y ∈R. 我们从函数62+=x y 中解出x ，就可以得到式子32 -=y x . 这样，对于y 在R 中任何一个值，通过式子32 -= y x ，x 在R 中都有唯一的值和它对应. 因此，它也确定了一个函数：y 为自变量，x 为y 的函数，定义域是y ∈R ，值域是x ∈R. 综合上述，我们由函数s=vt 得出了函数v s t = ；由函数62+=x y 得出

正反函数教案高中数学反函数教案

正反函数教案|高中数学反函数教案 教学目标 1.使学生了解反函数的概念； 2.使学生会求一些简单函数的反函数； 3.培养学生用辩证的观点观察、分析解决问题的能力。 教学重点 1.反函数的概念； 2.反函数的求法。 教学难点 反函数的概念。 教学方法 师生共同讨论 教具装备 幻灯片2张 第一张：反函数的定义、记法、习惯记法。（记作A）； 第二张：本课时作业中的预习内容及提纲。 教学过程 （I）讲授新课 （检查预习情况） 师：这节课我们来学习反函数（板书课题）§2.4.1 反函数的概念。 同学们已经进行了预习，对反函数的概念有了初步的了解，谁来复述一下反函数的定义、记法、习惯记法？ 生：（略） （学生回答之后，打出幻灯片A）。 师：反函数的定义着重强调两点：

（1）根据y= fx中x与y的关系，用y把x表示出来，得到x=φ（y）； （2）对于y在c中的任一个值，通过x=φ（y），x在A中都有惟一的值和它对应。 师：应该注意习惯记法是由记法改写过来的。 师：由反函数的定义，同学们考虑一下，怎样的映射确定的函数才有反函数呢？ 生：一一映射确定的函数才有反函数。 （学生作答后，教师板书，若学生答不来，教师再予以必要的启示）。 师：在y= fx中与y= f -1y中的x、y，所表示的量相同。（前者中的x与后者中的 x都属于同一个集合，y也是如此），但地位不同（前者x是自变量，y是函数值；后者y 是自变量，x是函数值。） 在y= fx中与y= f –1x中的x都是自变量，y都是函数值，即x、y在两式中所处的地位相同，但表示的量不同（前者中的x是后者中的y,前者中的y是后者中的x。） 由此，请同学们谈一下，函数y= fx与它的反函数y= f –1x两者之间，定义域、值 域存在什么关系呢？ 生：（学生作答，教师板书）函数的定义域，值域分别是它的反函数的值域、定义域。 师：从反函数的概念可知：函数y= f x与y= f –1x互为反函数。 从反函数的概念我们还可以知道，求函数的反函数的方法步骤为： （1）由y= f x解出x= f –1y，即把x用y表示出； （2）将x= f –1y改写成y= f –1x，即对调x= f –1y中的x、y。 （3）指出反函数的定义域。 下面请同学自看例1 （II）课堂练习课本P68练习1、2、3、4。 （III）课时小结 本节课我们学习了反函数的概念，从中知道了怎样的映射确定的函数才有反函数并求 函数的反函数的方法步骤，大家要熟练掌握。 （IV）课后作业 一、课本P69习题2.4 1、2。

最新人教版高一数学必修1第一章《分段函数》教案

示范教案 整体设计 教学分析 本节教材通过两个实例分析了分段函数的概念及简单应用．分段函数能够考查学生的逻辑思维能力，所以有关分段函数问题是高考热点和重点，在新课标中也有明确说明．因此要重视本节的教学． 三维目标 掌握分段函数的含义及其简单应用，提高学生的逻辑思维能力和应用能力，树立应用意识． 重点难点 教学重点：分段函数的含义及应用． 教学难点：理解分段函数的含义． 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 思路1.随着生活水平的提高，坐出租车的人越来越多，设行驶路程为x km ，费用为y 元，请结合当地实际，判断y 是否为x 的函数？学生回答后，教师让学生书写其解析式，此时，点出课题． 思路2.在今后的学习中，会经常遇到一类函数，是高考的重点和热点，教师点出课题． 推进新课 新知探究 提出问题 1已知变量x ，y 满足下列等式，y 是x 的函数吗？ ①|y|＝x ；②y ＝????? 1，x>3，2，x≤2；③y ＝? ???? x ，x≥0，－x ，x<0.2 函数y ＝????? 1，x>3，2，x≤2与函数y ＝? ???? x ，x≥0， －x ，x<0有什么特点？ 3请指出2中两个分段函数的定义域. 讨论结果：(1)根据函数的定义，仅有②和③中，y 是x 的函数． (2)在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应法则，我们称这类函数为分段函数．分段函数不是几个函数，而是一个函数． (3)函数y ＝????? 1，x>3， 2，x≤2的定义域是(－∞，2]∪(3，＋∞)． 函数y ＝? ??? ? x ，x≥0，－x ，x<0的定义域是(－∞，0)∪[0，＋∞)，即R . 由以上可见，分段函数的定义域是“每段”自变量取值范围的并集． 应用示例 思路1

分段函数的几种常见题型及解法

复习教案： 分段函数的几种常见 题型及解法 数学组

分段函数的几种常见题型及解法 【关键词】 分段函数; 定义域; 值域或最值; 函数值; 解析式; 图像; 反函数; 奇偶性; 方程; 不等式. 分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数.它是一类表达形式特殊的函数,是中学数学中的一种重要函数模型。分段函数有关问题蕴含着分类讨论、数形结合等思想方法. 它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用, 时常在高考试题中“闪亮”登场, 对于分段函数类 型的求解不少同学感到困难较多， 笔者就几种具体的题型做了一些思考, 解析如下： 1． 求分段函数的定义域和值域 分段函数的定义域为每一段函数定义域的并集,在表示每一段函数中x 的取值范围时,要确保做到定义域不重不漏,即交集为空集, 并集为整个定义域.值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集。 例1求函数4,23,0123,10x x y x x x x -+>?? =+<≤??+-≤≤? 的定义域和值域 例1．求函数12 22[1,0];()(0,2);3[2,);x x f x x x x +∈-?? =-∈??∈+∞? 的定义域、值域. 【解析】 作图, 利用“数形结合”易知()f x 的定义域为 [1,)-+∞, 值域为(1,3]-. 例5．求函数的值域。 解：因为当x≥0时，x 2+1≥1；当x<0时，-x 2<0。

反函数教学设计教学设计.doc

3.7 反函数【高教版中职（基 础）数学第一册第三章 3.7“反函数”第一节】 一、教材与学生的数学现实分析 1．现在的世界已进入信息时代，计算机和互联网迅速普及，计算机科学和信息科学蓬勃发展，由此促使了离散教学的地位日益上升，于是映射成了数学中最基 本的概念之一。映射也是日常生活中许多现象的抽象，中学生学习映射的概念. 有多方面的用处，本教材就是运用映射的观点阐述反函数的概念，给出了反函数的求法，与传统的方法不同，我们的创新，使得反函数概念的本质容易理解，反函数的求法 严谨且易于掌握。所以，抓住反函数这一典型课题，通过科学的设计，使学生亲历 将映射的观念惯穿始终的由特殊抽象到一般思维过程，感受知识的形成与发展规律 是至关重要的。 2．此前学生已经学习了映射的基本概念，同时也学习了函数的基本性质， 对于理论性的研究有了初步的尝试，有了一定得分析、对比、抽象概括的能力，但 毕竟以前接触的函数等知识较为简单，而反函数的知识较为抽象，因此本节的设计 更加具体、细致、突出学生的主动认知性。 3．考虑到中学生基础较差，辨析与理解力较低。所以本节应用两个较简单 的例子引入，而且应用了“对应法则”这个很熟悉的词来寻找互为反函数的关系， 又将其应用至求反函数的整个过程中，使学生原本厌学的情绪有所转化，激发他们 的学习兴趣，进一步培养他们的学习能力。 通过以上分析，可得出： 1）学习重点和难点：重点是反函数概念的理解、应用和在代数中有着重要和广泛应用的由特殊到一般的化归思想；难点是反函数概念的理解。 2）教学方法：引导类比探索法，从具体到抽象，让学生充分感受和理解知识的发生、发展过程，展开学生的思维，培养学生抽象概括能力。 3 ）教学工具：多媒体教学 二、教学目标 知识目标：（1）对反函数概念的理解。 （2）给定函数的反函数的求法。 能力目标：让学生亲自体验知识的形成过程，加深对知识及其内在联系的理解，并进一步强化映射、函数知识的应用。培养学生的逻辑推理、逆向思维、 发散思维、综合归纳的能力。 情感目标：（1）培养学生对立统一的辩证唯物主义观点。 （2）在民主、和谐的教学气氛中，促进师生的情感交流。 三、教学过程