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2个超神奇的数学魔术揭秘

§1 欺骗眼睛的几何问题

生活中我们常常相信亲眼所见，但又常常为自己的眼睛所骗，魔术就是一个很好的例子。数学中也有这种欺骗我们眼睛的奇妙的数学魔术，我们先看一个问题：

问题1：在下面的两个图形中，如果将图1中的四块几何图形裁剪开来重新拼接成图2，我们会发现，与图1相比，图2多出了一个洞！这怎么可能呢？我们自然会提出这样的疑问。奥妙何在我们姑且按下不表，让同学们先动动脑子！

上面的题目有些复杂，下面我们来看一个简单一些的问题。

问题2：将图3中面积为13×13=169的正方形裁剪成图中标出的四块几何图形，然后重新拼接成图4，计算可知长方形的面积为8×21＝168，比正方形少了一个单位的面积，非常不可思议，这是为什么呢？

这两个问题是这样的令人惊奇和难以理解，值得我们花费一些时间动手按照所说的剪裁方法做一做。

我们先

来分析一下

问题2：我们

在白纸上将

正方形量好

画出，剪成四块，重新安排后拼成长方形，除非图形做得很大并且作图和剪裁都十分精确，我们一般是不会发现拼接成的长方形在对角线附近发生了微小的重叠，正是沿对角线的微小重叠导致了一个单位面积的丢失。要证实这一点我们只要计算一下长方

形对角线的斜率和正方形拼接各片相应边的斜率，比较一下就会清楚了。

问题2中涉及到四个数据5、8、13和21，有一定数学基础的同学会认出这是著名的斐波那契数列中的四项，斐波那契数列的特征是它的每一项都是前两项之和：1，1，2，3，5，8，13，21，34，……。我们还可以使用这个数列中的其他相邻四项来试验这个过程，无论选取哪四项，都可以发现正方形和长方形的面积是不会相等的，有时正方形的面积比长方形多一个单位面积，有时则正好相反。多做几次上述实验，我们就会得出斐波那契数列的一个重要性质：这个数列任意一项的平方等于它前后相邻两项之积加1或减1。用公式表示就是：2111n n n f f f +-=?±。其中2n f 表示正方形的面积，11n n f f +-?表示长方形的面积。知道了这个事实，我们就可以自己构造类似于问题2的几何趣题。

上面的这个斐波那契数列是以1，1两数开始的，广义的斐波那契数列可以从任意两数开始。比如说，用广义斐波那契数列2，2，4，6，10，16，……做上述试验，就会多得或丢失四个单位的面积。如果用a 、b 、c 表示广义斐波那契数列的相邻三项，以x 表示“得”或“失”的数字，则下列两式成立：2a b c b ac x

+=??=±? 。我们还可以来研究这样一个有趣的问题：把正方形按上述方法剪成四块，是否会拼接成一个与它面积相等的长方形？要回答这个问题，可以令方

程组中的x 等于零，再解之得唯一正解是：12b a +=。其中12

恰是著名的黄金分割比，通常用来表示，它是一个无理数，等于1.618033……。这就是说，唯一的每项平方等于前后相邻两项之积的斐波那契数列是：1，φ，2φ，3φ，4φ，……。要证明它的确是斐波那契数列，只要证明它等价于数列1，φ，φ+1，2φ+1，3φ+2，……就可以了。只有用这个数列相邻项数表示的长度来分割正方形，才可以拼出面积不变的长方形。

我们再回到问题1，题中涉及到的数据1，1，2，3，5，8，13恰是斐波那契数列的前七项，因此问题1实际上是问题2的一个复杂化版本，计算一下图中两个大小三角形斜边的斜率，那么一开始的疑问已不讲自明。

最后再给喜欢思考的同学提出一个与前两个问题略有不同的问题 3，图5这个正方形按图中标出的数据分割成了五块几何图形，剪开后重新拼接成图6，奇怪，又多出了一个洞！这次斜线处并无叠合，少掉的一个单位面积哪里去了呢？这个问题最初是由美国魔术师保罗卡瑞提出的，虽然它曾经难倒了许多美国人，

但相信它难不倒聪明的中国学生。为帮助大家思考，提示一下：不要忘了计算！

最后送给大家一句华罗庚教授的话：“数缺形时少直观，形少数时难入微”。

§2 揭秘排队返现网的数字骗局

作晚朋友打电话给我，问我关于排队返现网的操作模式。我之前并不知道排队网的模式，我以为跟返利网一样，淘宝返利10%给网站，网站再返利5%给消费者。朋友说不是这样的，是消费100返现100，我说不可能，中间肯定有猫腻，于是上午花了一个小时，做了一回数学题，搞懂了他们的骗局模式。

按说作为一个互联网从业者，去揭秘这种事是很不地道的，但是我相信大家都是聪明人，迟早都会明白是怎么回事。

排队返现网站给出的规则是这样的。你去网站的联盟商家买东西，满100元，再送你100元的返现券，然后你拿着返现券去网站排队等返现。关键就在于这个排队上，规则是每新增加20（有的网站是15）个排队号，20个前面的一个排队号就可以返现。如你的排队号是1，那么总排队号到20的时候，你就能返现；如你的排队号在10，那得等到总排队号到200，才轮到你返现。

网站怎么赚钱呢，商家给你的100元返现券（网站出钱返给你），这个券是商家向网站购买的，目前大多网站是收15元/100元返现券，相当于商家打了8.5折。

也许你会觉得，排队返利网站只收入了15元，却给消费者返了100元，它不是尽亏85元吗？理论是这样的，可是事实上不是。它的模式就像前几年出现的非法融资模式，理论上它是巨额亏损，实际上它手上钱越来越多。下面我们就来分析这个数字骗局：

排队返利网每出售20张返现券，才会返100元出去，算下：20X15元=300元，减去100元，剩下200元在手上。如果网站运营不错的话，每10分钟出去一张100返现券，那么每小时出6张，每天按12小时算，每天出72张*15元=1080元，再减去给用户返现的，按4位算，即减去400元。每天收入680元，每月收入20400，不错的收入。

按照上述的假设，来看看排队的奥秘。假如你的排队号是1，那么总排队号到20，你就可以返利，那么你当天就可以等到返利；排队号是10，那你得等到总排队号到200，即第三天返利；排队号是100，总排队号要到2000，要等到一个月后；排队号到1000，总排队号要到20000，等到返利差不多277天；排队号

在10000，总排队号要到20万，你得等到4年后才能返现；要是你排在了10万名的话，恭喜你，你要等到77年后……由你的儿子帮你去领返现吧。

在等待排队的朋友，你去看看你的排队号是多少吧？随便搜了一个北京的排队拿网站，目前的排队号是3900多，如果你现在加入的话，拿到返现的时间是在3年后。

现在你知道了，网站上说消费100，返现金100，不是那么容易拿到的。

§3 游戏解密三则

大家知道，游戏的公平是指各方获胜的可能性(概率)相同.在我们身边，有些游戏是公平的，还有一些游戏是不公平的，只要我们认真研究都可以透彻地认识它们.下面用我们所学的数学知识揭穿三则游戏的奥秘，并希望同学们能从中受到一些启示.

一、“抢31”

“抢31’’游戏:第一个人先说，’1”或‘，l，2”，第二个人接着往下说一个数或两个数，然后又轮到第一个人，再接着说一个数或两个数，这样两个人反复轮流，每次每人说一个数或两个数都可以，但不可以连说三个数，谁先抢到“31”谁就获胜.

分析为方便分析，现把各数依次写出:l，2，3，4，…，25，26，27，28，29，30，31，要先抢到“31”，根据游戏规则，可知，只要先抢到“28”即可.比如甲、乙双方，甲先抢到“28，，，那么乙只能说“29”或“29，30”，如果乙说“29”，甲就说“30，31”即获胜;如果乙说“29，30”，甲必说“31”，还是甲胜.这就是说“抢31”实际上变为“抢28”.

同样道理，“抢28’’实际就是“抢25”.依次类推，实际就是“抢22”、“抢19”、“抢16”…“抢7，’、“抢4’’、“抢1”.

由以上分析说明，在明确上述道理的情况下，谁先说谁获胜，故“抢31”游戏对双方是不公平的，总结上面分析，易知“抢31”就是抢“3n+1”(n为自然数).

推广1在与“抢31”游戏规则相同的情况下，游戏改为“抢32”或“抢33”，实际就是“抢(3n+2)”或“抢3n”，显然“抢32”先说者获胜;“抢33”后说者获胜.

推广2如果“抢31”将上面游戏规则改为：第一个人先说“1”或“1，2”或“1，2，3”，第二个人接着往下说一个数或两个数，或三个数，…，如上面的两人反复轮流，一个人只可说一个数或两个数或三个数，但不可说四个数，谁先抢到“31”谁获胜.

仿照上面分析易知，这种“抢31”实际就是“抢(4n+3)”，先说者说“l，2，

3”就占领了获胜制高点，只要不失误，就胜券在握了.

同样可以按上述规则改为“抢4n”、“抢(4n+1)”、“抢(4n+2)”.至于谁获胜，同学们不难得知.

推广3上面游戏还可以推广为“抢(5n+m)”(m=0，1，2，3，4)，“抢(6n+m)”(m=0，l，2，3，4，5)，…

二、“涂13花瓣”甲、乙两人轮流在一朵有着13片花瓣的雏菊花瓣上涂色，每次可在一片花瓣或相邻两片花瓣上涂色，涂过的不准重涂，谁最后涂谁赢.

分析1.如果只准挨着涂，则与“抢31”道理相同，实为“抢13，’，由前面的分析知，先徐者赢.

2.假设没有任何限制，即可以按规则每人随意涂一片花瓣或相邻两片花瓣.采取如下策略，第一个涂的输，即第二个涂的赢.

不妨假设甲先涂，那么只要乙采取均分法(对称法)，即乙将甲涂第一次余下的花瓣脚分为各5片花瓣的两部分，即如下两种情况.

(1)甲涂1片，乙就涂两片.如图1所示.

(2)甲涂2片，乙就涂1片.如图2所示.

随后，乙只需跟着甲涂对称的花瓣，乙赢就确定无疑了.

推广1甲、乙两人轮流在有着，(n)3)片花瓣的雏菊花瓣上涂色，每次可在一片花瓣或邻两片花瓣上涂色，涂过的不准重涂，谁最后涂谁赢.舒图2只要采取上述策略就是第一个先涂的输，即另一个赢.

仿照“抢31”的推广2、推广3可继续推广，请同学们自己完成.

三、“赶长龙”

首先设计如下“长龙”.

游戏规则从一副扑克牌(去掉大小王)中，任意抽取一张，如果抽到的点是n，就从n开始往后数n个格，最后赶到哪个格抽奖者就中那个格所预先设定的奖.比如，你抽到5，就从5开始往后数5个格，正好赶到9，你就能得9这个格中所设的奖.

这种游戏，坐庄者一般在奇数格上设小奖或没有奖，在极少的奇数格上设有中等奖，而在偶数格上设有较多奖，且有一些大奖，以诱惑别人.

分析当参加游戏者抽到n时，从n开始数，往后数n个格，而前面只有(n-l)格，因此，最后赶到的格的数字为(n-1)+n=2n-1为奇数，所以这种游戏，参加游戏者无论抽到任何一张牌，都不会赶到偶数，因此，不可能中大奖.

说明上面游戏中，也可改为:抽到n，从n后面第一个格开始数往后数n个格，但“长龙”中预先设的奖，正好与前者颠倒，即奇数格中大多都有奖，且有大奖;而偶数格中，大多没有奖或部分格中有小奖，极少的格中设有中等奖，其道理不难说明，留给同学们自己思考.

借此，提醒同学们，在街头巷尾，有一些江湖骗子摆摊玩一些游戏，这些游戏大都与“赶长龙”类似，以重奖诱惑骗人，你只要认真研究，都可以揭穿他们骗人的伎俩，且不可上当受骗.

§4 隐蔽的尺寸

在城市广场的中央有一片很大的圆形憩息地。市议会拟在该地建造一个菱形浅水池。多里斯。莱特市长看到这一计划，她找来了建筑师。莱特市长：“我喜欢呈菱形的水池，用红瓷砖砌成，不知道这水池的每边有多长？”建筑师弗兰克。劳埃德。朗被问住了。朗先生：“从A至B是5米，从B至C是4米。唔，应求出BD。也许我需要应用毕达格拉斯定理。朗先生正疑惑不解，市长阁下忽然叫起来。莱特市长：“啊哈！水池每边长为9米，这是毫无疑问的。”

朗先生：“我的天哪！怪不得你姓莱特（Wright）我姓朗（Wrong）呢。”有了什么好主意使这个问题迎刃而解？

既是对角线又是半径

莱特夫人忽然悟到水池每边即为矩形的对角线。这个矩形的另一条对角线就是圆形栖息地的半径。而矩形的两条对角线是相等的，所以水池每边边长就是圆半径的长度。半径是5+4=9米，因此水池每边也是9米，无需应用毕达格拉斯定理。

你再找一种更简便的方法试试看，这样你就更能体会我们这种解法的优点。如果你仅应用毕达格拉斯定理和相似三角形，其解法一定很冗长，繁琐。但你如果想到下列平面几何定理：一个圆的两条内部相交的弦，一条弦的两部分之积等于另一根弦两部分之积，那么就可以得出稍微简短的解法。根据这一定理，可以求得直角三角形的高为√56，在应用毕达格拉斯定理，算出直角三角形的斜边为9。

有一个与此密切相关的问题，那就是诗人亨利。朗非罗在其小说《卡瓦诺》中所提出的有名的水仙花问题。当水仙花花茎垂直时，花朵伸出水面10厘米。

如果把水仙花拉向一边，使花茎保持直线，花朵沾水的位置离原来的位置是21厘米，问水深多少厘米？

要解这个问题，可以先画一张草图，此图与水池问题的图相似。我们要确定的就是x的长度。与水池问题一样，这个问题也不止一种解法。若你还记得两弦相交的定理，解这个问题是轻而易举的。

还有一个有趣的游泳池难题，灵机一动则迎刃而解。一条海豚位于一个圆形水池的西边A点，它笔直地游了12米，鼻子触到水边的B点，转过身后，又笔直地游了5米，到达水池边上的C点，此位置正好与水池边上的A点遥遥相对，试问如果它直接从A点游向C点，需要游多长距离？

啊哈！要解决这个问题只需知道下列定理：半圆上的圆周角是直角，所以三角形ABC是直角三角形。已知两直角边长分别为12米和5米，所以斜边为13米。上述问题都给我们以启示：在许多情况下，如果思路正确，几何问题的求解会变得极其容易。而要做到这一点，这取决于你是否想到了欧几里德几何的某个基本定理。

2004-07-24摘自：《走进数学》

§5 赌马中的数学问题

随着中国的改革开放，境外许多事物渐渐被生活在大陆的人知晓诸如赌

马、六合彩等常在媒体中提及。对我们来说，了解一些原来不熟悉的东西也是必要的。其实，一些博彩游戏和古老的赌博有许多相似之处，我们可以用初等概率知识对其中的现象作一定的分析。

我们以赌马问题为例。为简便起见，假设只有两匹马参加比赛。通过对决定马匹胜负的各因素的研究以及对以往赛事胜负情况的统计分析，我们可得出两匹马各自胜出的实际概率。不失一般性，设其中一匹马胜出的实际概率为p ，则另一匹马胜出的实际概率为p -1。那么，参赌者该如何下注以最大的限度确保他们能赢得钱呢？

要解决这个问题必须先弄明白庄家的赔率是如何设定的。所谓赔率，是指押注一元钱于胜方所获得的总金额。举例来说，若赔率为1.65元，则如押注一元的一方恰好胜出，可得收益0.65元，加上本金，一共可得1.65元。若押注负方，则会失去所押注的1元，但不须另外再输钱。现在，我们知道了马匹胜出的实际概率，知道了庄家设定的赔率，就可以分析参赌者该如何下注。这里，设总金额为1元，并设在第一匹马上押注a 元，则在第二匹马上押注a -1。至于具体押注多少，参赌者可以将总金额按该比例分配给这两匹马。于是，可得下表：

如果第一匹马赢，参赌者可得到a r 1元，再减去付出的1元，参赌者的收益为)1(1-a r 元；同理，如果第二匹马赢，参赌者收益为)1)1((2--a r 元。考

虑到两匹马胜出的实际概率分别为p 和p -1，参赌者的期望收益为

1)1())1(()1)1()(1()1(22121--+--=---+-=r p r p pr a a r p a r p D ，其中

)1,0(∈a 。另外，若参赌者把所有钱都押注于第一匹马时期望收益为)1(1-r p ；若参赌者把所有的钱都押注于第二匹马时，期望收益为)1)(1(2--r p 。

自然，参赌者希望收益0>D ，这样，他们才能以一个正的概率赢利。所以要求：)1,0(,01)1())1((221∈>--+--=a r p r p pr a D 。

1）当0)1(21>--r p pr ，且01)1(2>--r p ，即当0)1(21>--r p pr 且p r ->11

2时，不论a 取何值，D 恒大于0，且当a 趋向1时，D 趋向于极大

值11-pr 。实际上，当1=a ，即参赌者把钱全押注于第一匹马上时，有收益1)1(11->-pr r p ，所以参赌者应当把钱全部押注于第一匹马上。

2）当0)1(21<--r p pr 且01)1(2>--r p ，即当0)1(21<--r p pr 且

p r ->11

2时，收益D 随着a 的变大而变小，且当a 趋于0时，D 趋于极大值

1)1(2--r p 。实际上，当0=a ，即参赌者把钱全押注于第二匹马上时，有收益1)1()1)(1(22-->--r p r p 。所以参赌者应当把钱全押在第二匹马上。