全国卷2理科数学试题及答案

2014年普通高等学校招生全国统一考试 理科(新课标卷二Ⅱ)

第Ⅰ卷

一.选择题：本大题共1２小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．

1.设集合Ｍ={0,1,2},N={}2|320x x x -+≤,则M N ?=( ) A ． {1} B. {2｝

C. ｛０，1}

D. ｛1,2}

【答案】D 【解析】

把M={0,1,2}中的数,代入不等式,023-2≤+x x 经检验x=1,2满足。所以选D.

2．设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z =（ ） Ａ． - ５ Ｂ. ５

C ． - 4+ i

D. － 4 - i

【答案】Ｂ 【解析】

.

,5-4-1-∴,2-,2212211B z z i z z z i z 故选关于虚轴对称，与==+=∴+=

3.设向量a,b 满足｜ａ+b

a-b ｜

a ?

b = ( ) A ． 1 B ． 2

C. 3

D. 5

【答案】Ａ 【解析】

.

,1,62-102∴,6|-|,10||2

222A b a b a b a b a b a b a 故选联立方程解得，，==+=++==+

4.钝角三角形AB Ｃ的面积是12

,AB ＝

，则AC=( )

A. ５

B.

C ． 2 D. 1

【答案】B 【解】

.

.5,cos 2-4

3π

∴ΔABC 4π

.43π,4π∴,

22

sin ∴21sin 1221sin 21222ΔABC B b B ac c a b B B B B B B ac S 故选解得，使用余弦定理，符合题意，舍去。

为等腰直角三角形，不时，经计算当或=+======???== 5．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两为优良的概率是0．６，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ )

Ａ. ０.８ B. 0．75 C. ０.6 D. 0.45

【答案】 A 【解析】

.

,8.0,75.06.0,A p p p 故选解得则据题有优良的概率为则随后一个空气质量也设某天空气质量优良，=?=

6.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3ｃm ，高为６cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )

Ａ. 1727 B. 59

C. 1027

D. 13

【答案】 C 【解析】

..27

10

π54π34-π54π.342π944.2342π.

546π96321C v v 故选积之比削掉部分的体积与原体体积，高为径为，右半部为大圆柱，半，高为小圆柱，半径加工后的零件，左半部体积，，高加工前的零件半径为==

∴=?+?=∴=?=∴π

7.执行右图程序框图,如果输入的ｘ,t 均为2,则输出的S= ( ） A. 4 B. 5 Ｃ. ６ D. 7 【答案】 C 【解析】

.

3 7 2

2 5 2 1

3 1 ,2,2C K S M t x 故选变量变化情况如下：==

８．设曲线ｙ=a x －l ｎ(ｘ+1)在点（0，0)处的切线方程为y=2x,则a ＝ Ａ. 0 B ． １ C. 2 D ． ３ 【答案】 D 【解析】

.

.3.2)0(,0)0(.

1

1

-

)(),1ln(-)(D a f f x a x f x ax x f 故选联立解得且==′=∴+=′∴+=

9.设ｘ,y 满足约束条件70

310350x y x y x y +-??

-+??--?

≤≤≥，则2z x y =-的最大值为( )

A. 1０

B. ８ C ． 3 Ｄ. ２ 【答案】 Ｂ 【解析】

.

.8,)2,5(07-013--2B z y x y x y x z 故选取得最大值处的交点与在两条直线可知目标函数三角形，经比较斜率，画出区域，可知区域为==+=+=

１0.设F 为抛物线C ：23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则△O ＡB 的面积为（ ） A ．

B ．

Ｃ. 6332 D. 94

【答案】 D

【解析】

.

.4

9

)(4321.

6),3-2(23

),32(233-4322,343222,2ΔOAB D n m S n m n m n n m m n BF m AF B A 故选，解得直角三角形知识可得，

，则由抛物线的定义和，分别在第一和第四象限、设点=+??=∴=+∴=+=?=+?===

１1.直三棱柱A ＢC-Ａ1B 1C １中,∠ＢＣA ＝９0°,Ｍ,N 分别是A 1B 1，Ａ1C 1的中点,B Ｃ=ＣA=ＣC １, 则ＢM 与ＡＮ所成的角的余弦值为( )

Ａ. 110 B. 25

C.

30

D ．

2 【答案】 C 【解析】

..1030

5

641-0|

|||θcos 2-1-,0(2-1,1-(∴).0,1,0(),0,1,1(),2,0,2(),2,2,0(,2,,111111C AN BM N M B A C C BC AC Z Y X C C A C B C 故选）。，），，则轴，建立坐标系。令为，，如图，分别以=+?=

=====

1２.设函数()3x f x m

π=.若存在()f x 的极值点0x 满足()2

2200x f x m +

()(),66,-∞-?∞

B.

()(),44,-∞-?∞

C ．

()(),22,-∞-?∞

D.()(),14,-∞-?∞ 【答案】 C

【解析】

.

2.||,34

∴34)]([,2

||||,3)]([3πsin

3)(22

2202

0020C m m m m x f x m x x f m x x f 故选解得，，即的极值为><++≥+∴≤=±= 第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第１3题~第２1题为必考题，每个试题考生必须做答.第22

题~第24题为选考题，考生根据要求做答. 二.填空题

13.()10

x a +的展开式中,7x 的系数为１５，则a =________.(用数字填写答案)

【答案】 21

【解析】

.2

1.21,15a ∴15x a x 3

310737310====a a C C 故

14.函数()()()sin 22sin cos f x x x ???=+-+的最大值为＿_＿__＿___. 【答案】 1 【解析】

.

1∴.1≤sin φsin )φcos(-φcos )φsin()φcos(φsin 2-φsin )φcos(φcos )φsin()

φcos(φsin 2-)φ2sin()(最大值为x x x x x x x x x f =?+?+=+?++?+=++=

15．已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减,()20f =.若()10f x ->，则x 的取值范围是＿___＿_____.

【答案】 ），（），∞3∪1-∞-(+

【解析】

.

∞3∪1-∞-(∈2|1-|.

31--(2|1-|0)1-(∴.

2||0)(∴0)2(),0[)(），（），，解得故解集为），（），，解得的解集为的解集为上单增，且在偶函数+>+∞∪∞∈>>>>=+∞=x x x x x f x x f f x f y

16．设点M(0x ,1），若在圆O:221x y +=上存在点N,使得∠ＯMN=45°，则0x 的取值范围是_＿____＿＿.

【答案】 ]1,1-[ 【解析】

].

1,1-[∈x ].1,1-[x .,1)M(x 1,y O 000故形外角知识，可得由圆的切线相等及三角在直线上其中和直线在坐标系中画出圆∈=

三．解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. １7.(本小题满分12分）

已知数列{}n a 满足1a =1,131n n a a +=+.

(Ⅰ)证明{

}

12

n a +是等比数列,并求{}n a 的通项公式;

（Ⅱ)证明:1231112

n

a a a ++<…+．

【答案】 (1) 无 （2) 无

【解析】 （1)

的等比数列。

公比为是首项为3,2

3

21}21{∴).

21

(3211321a ∴.

*N ∈.n 13,111n 11=+++=++=++==++a a a a a a a n n n n n (２)

（证毕），所以，）（时，当，知，由.

*∈2

3

1111.

23

31-1233

1-131-131313111111∴.3

1

1-3211,11.

1-32

121-3∴,2321)1(3211-213211-1N n a a a a a a a a a n a a a a n n n n n n n n n n n n n n <++++<==++++<++++<=>====+

１8. （本小题满分12分)

如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ＡBCD，E为PD的中点.

(Ⅰ)证明:PB∥平面ＡEＣ；

（Ⅱ）设二面角D－AＥ-Ｃ为６０°,AP=１3求三棱锥E-ACＤ的体积.

【答案】（１)无(２) 无

【解析】

（1）

设AC的中点为G, 连接EＧ。在三角形PBD中，中位线EG/／ＰB,且EG在平面ＡEC上，所以P Ｂ//平面AEＣ.

(２）设CD＝m, 分别以AD,ＡB,AP为Ｘ,Y，Z轴建立坐标系,则

。

的体积为

所以，三棱锥

的高

即为三棱锥

面

且

的中点，则

为

设

解得

解得一个

则

法向量为

同理设平面

解得一个

则

法向量为

设平面

8

3

-

.

8

3

2

1

3

2

3

2

1

3

1

3

1

∴

.

-

,

⊥

,

2

1

2

,

//

.

2

3

,

2

1

3

3

3

|

,

cos

|

3

π

cos

).

3

-,3

-,

(

,0

,0

),

,

,

(

).

0,1,0(

,0

,0

),

,

,

(

).

0,

,3

(

),

2

1

,0,

2

3

(

),

0,0,3

(

∴

).

0,

,3

(

),

2

1

,0,

2

3

(

),

0,0,3

(

),

0,0,0(

Δ

-

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

1

1

ACD

E

EF

S

V

ACD

E

ACD

EF

EF

PA

EF

PA

AD

F

m

m

m

n

n

m

m

n

n

n

z

y

x

n

ACE

n

n

n

z

y

x

n

ADE

m

m

C

E

D

A

ACD

ACD

E

=

?

?

?

?

=

?

?

=

=

=

=

=

+

+

>

<

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

19. （本小题满分１2分）

（Ⅰ)求y 关于t 的线性回归方程；

（Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回归方程，分析２007年至201３年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．

附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：

()()

()

1

2

1

n

i

i

i n

i i t t y y b t t ∧

==--=

-∑∑,??a

y bt =-

【答案】 (１) .3.25.0+=t y （2) 约６８００元

【解析】

(1）

.

3.25.03

.24*2

1

-3.4-,

21

2*14142*)149(8.48.15.007.0214*3,3.47

9

.52.58.44.46.33.39.2,47721+======++++++++=+==++++++==+++=

t y t y t b y a b a bt y y t 的回归方程为关于所以，代入公式，经计算得

设回归方程为

百元左右。

千年，该区人均纯收入约所以，预计到千元）

该区人均纯收入年，

增长，预计到年该区人均纯收入稳步年至862015(8.63.295.0201520132007∴,02

1

=+?=>=y b

20. (本小题满分12分)

设1F ,2F 分别是椭圆()222210y x a b a b

+=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线

1MF 与C 的另一个交点为N.

(Ⅰ)若直线MN 的斜率为34

，求Ｃ的离心率；

(Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为２,且15MN F N =,求a,b .

【答案】 (１） 21

?（2)72,7==b a

【解析】 （１）

.

2

1

∴.2102-32.,43

21∴4322222211的离心率为解得，

联立整理得：且由题知，C e e e c b a c a b F F MF ==++==?=

(２)

7

2,7.72,7.,

,1:4:)23-(,:

.23-,,.4,.

4222221111112

2====+===+=+====?=b a b a c b a a

c

e NF MF c e a NF ec a MF c c N M m MF m N F a

b MF 所以，联立解得，且由焦半径公式可得两点横坐标分别为可得由两直角三角形相似，由题可知设，即知，由三角形中位线知识可

21． (本小题满分1２分) 已知函数()f x ＝2x x e e x --- （Ⅰ)讨论()f x 的单调性;

（Ⅱ）设()()()24g x f x bf x =-,当0x >时,()0g x >，求b 的最大值； (

Ⅲ）已知1.4142 1.4143<

，估计ｌn2的近似值(精确到0.001）

【答案】 (1） 上单增在R x f )(??(2） 2 【解析】 (1)

.

)(.

02-12≥2-12-)(∴∈2--)(--上单增在所以，，R x f e e e e e e x f R x x e e x f x

x

x x x x x x =?+=+=′= (2)

2

≥22≥0-0≥)-(-))((0≥)-(2-2-2.0≥)(0,t t),(0,∈?x ∴)-(2-2-2)(.0)0(,0m m),(0,∈x )2-(2-2-)(.

0≥)2-(2-2-0≥)2-(4-4-22.0≥)(0,m m),(0,∈?x ∴)2-(4-4-22)(.

0)0(,0),2--(4-4--)(.0,0)2--(4-4--)(4-)2()(--------2-2-2-2-2-2-2-2-2-2-2-2-2-2-2-2的最大值为，所以，即即，

且，即即使，则，同理，令即即使，则令b b e e e e b e e e e e e b e e e e e e b e e x m e e b e e x m m e e b e e x m e e b e e e e b e e x h e e b e e x h h x x e e b x e e x h x x e e b x e e x bf x f x g x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =?>++>+>=′=>++=++++′>++=′=>=>>==

(3)

.

2

2

2ln 41-232.41-2322ln 23-242ln 6),2ln 2-21

-282ln 2-21-2)2(ln 8)2(ln )2(ln 8)2ln 2(,02ln ),(8)2()2(.22

2ln .

02ln -222ln 2-2

1-2)2(ln ,0)2(ln ,02ln <<>>>>>>=><

>==>>=所以，即解得

（，即即，则令知，由解得即则设f f f f x x f x f f f x

请考生在第22、2３、2４题中任选一题做答,如果多做,同按所做的第一题计分,做答时请写清题号.

22.(本小题满分10）选修4—１:几何证明选讲

如图,P 是Ｏ外一点，ＰA 是切线，A 为切点，割线PB Ｃ与O 相交于点B,Ｃ，PC=2ＰＡ,D 为PC 的中点,ＡD 的延长线交O 于点Ｅ．证明:

(Ⅰ)BE=ＥC;

(Ⅱ）ＡD DE ＝22PB

【答案】 (1） 无 ?(２）无

【解析】 （1）

EC.

BE BE ∠CE ∠BE ∠αBE,∠βαβBE ∠∠DEB ∠PDA ∠∠∠∠∠.

AE ∠CE ,∠EB ∠,,,2===+=+∴+===+=+====∠Δ=∴==，所以，即即则连接为等腰三角形。

，D B D D D PAD BAD PAB BCE PAB B B D PAB AB PAD PD PA DC PD PA PC αβ

（2)

2

22PA PA -PA PB -PB)PA -(PA DC BD ,

,PA DC,BD DE AD PB PB PB PB PC PB PC PB PA DC PD PC PB =?=??=??==?∴==?=?=?）（

2３. (本小题满分１０)选修４－4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xoy 中,以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系,半圆Ｃ的极坐标方程为

2cos ρθ=，

0,2

πθ??∈??

??

. （Ⅰ）求C 的参数方程；

（Ⅱ)设点D 在Ｃ上,C 在D 处的切线与直线:32l y x =+垂直,根据(Ⅰ）中你得到的参数方程，确定Ｄ的坐标.

所以D 点坐标为31(1)22-或31(1,)22

+-。

２4． (本小题满分1０）选修４-5:不等式选讲 设函数()f x =1(0)x x a a a

++->

（Ⅰ）证明:()f x ≥2；

（Ⅱ）若()35f <，求a 的取值范围.