师范类大学数学系数学教育数学与应用数学毕业论文设计模板
郑重声明
本人的毕业论文是在指导教师徐琳的指导下独立撰写完成的。如有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权的行为，本人愿意承担由此产生的各种后果，直至法律责任，并愿意通过网络接受公众的监督。特此郑重声明。
毕业论文作者：
年月日
外文翻译
Derivative and derivative application
LiBo Directed by Prof. Xu Lin
Abstract
The derivative in the scientific research, the technology, and so on many domains all has the extremely widespread application with the economical management, therefore understood and grasps the derivative the elementary knowledge to be extremely important.The this article first part has given the definition to the derivative, discussed the derivative background and the different function derivative asks the law; The second part gives the derivative the application, namely derivative in economical and practical life application two parts.
Key words derivative ask the law of derivative higher derivative limit function elasticity
致谢
我的毕业论是在徐琳老师全面、具体的指导下进行的。导师渊博的专业知识，严谨的治学态度，精益求精的工作作风，诲人不倦的高尚师德，严以律己、宽以待人的崇高风范，使我受益匪浅，终生难忘。徐老师严谨的治学态度和对工作兢兢业业、一丝不苟的精神将永远激励和鞭策我认真学习、努力工作。在此，谨向导师表示崇高的敬意和衷心的感谢！
目录
标题 (1)
摘要 (1)
关键词 (1)
一、预备知识 (1)
（一）正项级数收敛的充要条件 (1)
（二）几种不同的判别法 (1)
1.比较判别法 (1)
2. 比式判别法 (1)
3. 柯西判别法 (2)
4.积分判别法 (2)
5. 拉贝判别法 (2)
6. 阿贝尔判别法 (3)
7. 狄利克雷判别法 (3)
8.伯尔特昂（Bertrand）判别法 (3)
9. 对数判别法 (3)
10. 等价判别法 (3)
二、判别方法的比较 (3)
三、应用举例 (7)
四、总结 (8)
参考文献 (9)
正项级数判别法
摘 要 级数理论是数学分析的重要组成部分，而正项级数又是级数理论中重要的组成部分，级数的收敛性更是级数理论的核心问题，要想解决正项级数的求和问题必须先解决正项级数收敛性判断.正项级数收敛性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧，归纳总结正项级数收敛性判断的一些典型方法，比较这些方法的不同特点，总结出一些典型的正项级数，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断，能够最大限度的节约时间，提高效率，特别是一些典型问题，运用典型方法，才能事半功倍.
关键词 正项级数；收敛；典型；方法；比较
一、预备知识
（一）正项级数收敛的充要条件
部分和数列{}n S 有界，即存在某正数M ，对0n ?>，有n S 设1 n n i u =∑和1 n n i v =∑是两个正项级数，如果存在某正数N ，对一切n>N 都有 ，那么 （1）若级数1n n i v =∑收敛，则级数1n n i u =∑也收敛； （2）若级数1 n n i u =∑发散，则级数1 n n i v =∑也发散； 即1 n n i u =∑和1 n n i v =∑同时收敛或同时发散；。 比较判别法的极限形式 ： 设1 n n i u =∑和1 n n i v =∑是两个正项级数。若lim n n n u l v →+∞ = ，则 （1）当0l <<+∞时，1 n n i u =∑与1 n n i v =∑同时收敛或同时发散； （2）当0l =且级数1 n n i v =∑收敛时，1 n n i u =∑也收敛； （3）当且1 n n i v =∑发散时，1 n n i u =∑也发散。 2. 比式判别法 设1 n n i u =∑为正项级数，且存在某正整数0N 及常数()01l l <<, （1）若对一切0n N >，不等式1 n n u l u +≤成立，则级数1 n n i u =∑收敛； （2）若对一切0n N >,不等式1 1n n u u +≥成立，则级数1 n n i u =∑发散。 比式判别法的极限形式： 若1 n n i u =∑为正项级数，则 （1）当1 lim 1n n n u u +→∞<时，级数1n n i u =∑收敛； （2）当1 lim 1n n n u u +→∞≥时，级数1n n i u =∑发散。 3. 柯西判别法 设1n n i u =∑为正项级数，且存在某正整数0N 及常数l , （1）若对一切0n N > 1l <成立，则级数1 n n i u =∑收敛； （2）若对一切0n N >, 1成立，则级数1 n n i u =∑发散。 柯西判别法的极限形式： 设1 n n i u =∑ 是正项级数，且lim n l =，则 （1）当1l <时，级数1n n i u =∑收敛； （2）当1l >时，级数1n n i u =∑发散。 4. 积分判别法 设()f x 为[1,)+∞上非负递减函数，那么正项级数()f n ∑与反常积分 ()1 f x dx +∞ ? 同时收敛或同时发散。 5. 拉贝判别法 设1n n i u =∑是正项级数，且存在自然数0N 及常数l ， （1）若对一切0n N >，不等式111n n u n l u +?? -≥> ?? ?成立，则级数1n n i u =∑收敛； （2）若对一切0n N >,不等式111n n u n u +?? -< ?? ?成立，则级数1n n i u =∑发散。 拉贝判别法的极限形式： 设1n n i u =∑是正项级数，且极限1lim 1n n n u n l u +→∞ ?? - = ?? ? 存在，则 （1）当1l >时，级数1n n i u =∑收敛； （2）当1l <时，级数1 n n i u =∑发散。 （3）当1l =时，拉贝判别法无法判断 6. 阿贝尔判别法 若数列0n a >， 0n b >，且{}n a 为单调有界数列，级数n b ∑收敛，则级数 n n a b ∑收敛。 7. 狄利克雷判别法 若数列0n a >， 0n b >，且数列{}n a 单调递减，lim 0n n a →+∞ =，又级数n b ∑的部分和数列有界，则级数n n a b ∑收敛。 8. 伯尔特昂（Bertrand ）判别法 设1n n i u =∑是正项级数，且()()1ln 1111n n n u B n n u +?? ??=++--?? ???? ?，若lim n n B B →+∞=，则 （1）当B>1时，级数1n n i u =∑收敛； （2）当B<1时，级数1 n n i u =∑发散。 9. 对数判别法 设0α>，0n N ≥，1n n i u =∑是正项级数，若 （1）1 ln 1ln n u n α≥+，0n u >，级数1 n n i u =∑收敛； （2）1ln 1ln n u n ≤，级数1 n n i u =∑发散。 10. 等价判别法 设1 n n i u =∑是正项级数，n n u a ，1 n n i a =∑收敛，则级数1 n n i u =∑收敛。 二、 判别方法的比较 （一）当级数可化为含参数的一般式、通项为等差或等比式或通项为含二项以上根式的四则运算且通项极限无法求出时，可以选用正项级数的充要条件进行判断。如： 1. 2. ) 1n S = + + +???+ 1= 1= lim 1n n S S →∞ ==-即原级数收敛。 （二）当级数表达式型如 1 n u ，n u 为任意函数、级数一般项如含有sin cos θθ 或等 1.()11111n n n a a a ∞ =?? ≤> ?+??∑级数收敛。 2. () ln ln ln ln 2ln 2 11111 ln n n n n n e e n n ∞ ==≤=∑级数收敛。 比较判别法使用的范围比较广泛，适用于大部分无法通过其它途径判别 其敛散性的正项级数。 （三）当级数含有阶层、n 次幂，型如!n a a 或或分子、分母含多个因子连 乘除时，选用比式判别法。当通项含()1n -与n u 的函数可以选用比式判别法的极限形式进行判断，例： 1. ()1 242!n n n ∞ =????∑ 解：122 lim lim 21n n n n u n u n +→∞→∞+==+，即原级数发散。 2.4474710 3373711???+ ++?????? 解：1343 lim lim 1434n n n n u n u n +→∞→∞+==<+ 即级数() () 471034371143n n ?????+?????+∑ 收敛。 （四）当级数含有n 次幂，形如n a 或()n n u 或通项1 ln n p u n n = 即分母有含ln x 的函数，分子为1，或级数含有多个聚点时，可选用根式判别法。 例：1.121n n n n ∞ =?? ?+?? ∑ 解：1lim 212 n n n n →∞==+ 即级数收敛。 一般来说，当选用根式判别法无法判断时，我们也可以选用比式判别法来判断，但有时候我们用根式判别法而不使用比式判别法，因为根式判别法得到的收敛条件比比式判别法更优。例如： 2. ()10n n b bc b c b c +++???++???<< 根式判别法 2lim n →∞ = lim n →∞ =1bc >，级数发散； 1bc <，级数收敛； 1bc =，原式11b b =+++???级数发散。 比式判别法 1 n n u u += b c n n 为奇数为偶数 1lim n n n u c u +→∞= 1c > 级数收敛； 1lim n n n u b u +→∞= 1b > 级数发散。 由例题可知，两种判别法都可以用来判断上题，但根式判别法与比式判别法相比得出的收敛范围更小，约束条件更为详细。因此，上题选用根式判别法比比式判别法更好。在使用判别法时，我们可以选用根式判别法找到最佳收敛条件。同时也存在只能使用根式判别法，使用比式判别法无法 判断的情况。 例： 3. ()12n n ---∑ 12n n == 即级数收敛 不可使用比式判别法 ()1211 lim lim 2n n n n n u u -+-+→∞→∞= 无法判断敛散性 因此，当我们观察级数的一般项的极限趋近于0时，我们可以选用比式判别法或根式判别法。 （五）当级数表达式型如 1n u ， n u 为含有ln n 的表达式或1 n u 可以找到原函数，或级数n u 为[)1,+∞上非负单调递减函数，n u 含有sin θ或cos θ等三角函数的因子可以找到原函数，可以选用积分判别法。 例： 1. 31 ln ln ln n n n n ∞ =∑ ，其中1ln ln ln n u x x x = 因为3n u dx ∞ ?发散，所以级数发散。 （六）当级数同时含有阶层与n 次幂，型如!a 与n a 时，或使用比式、根 式判别法时极限等于1或无穷无法判断其敛散性的时候，选用拉贝判别法。例： 1. 1! n n n e n n ∞ =∑ 11lim 12n n n u n u +→∞??-=- ?? ? 不能用比式判别法 不能用根式判别法 n = 因此，当根式判别法与比式判别法无法判断敛散性时，我们可以选用拉贝判别法。 （七）当通项是由两个部分乘积而成，其中一部分为单调递减且极限趋于0的数列，另一部分为部分和有界的数列，如含有sin θ或cos θ等三角函数、 ()1n -等；或可化为()1n -，如() () ()12 11n n n --=-；也可以型如()sin n u ∑，n u 为任 意函数，则可以选用狄利克雷判别法。阿贝尔判别法也可以看成是狄利克雷判别法的特殊形式。 例： 1.设1n n b ∞ =∑ 收敛，则级数1 n ∞ =11n n n b n ∞ =+∑，1 11n n n b n ∞ =?? + ???∑， 1 31 ln 2n n n b n ∞ =+∑等都收敛。 （八）当通项可通过泰勒展开式等方法找到其等价式，则可以通过判断其等价式的敛散性来判断原正项级数的敛散性，这需要对泰勒展开式能够较为熟练的使用，以及对各种等价式能够熟练的运用。 例： 1.() sin 2!en n α π∑ ()0α> 11 11!! e n =++???++??? ()1 1sin 2!sin 2!11!!en n n ππ????=++???+ ?????? ? ()()211221sin 2!11!!112n o n n n n n πππ?? ????=++???++ ++?? ? ?+++????? ? ()() ()22212sin 112o n n n n n n πππ????=++→∞?? ?+++???? 即()1sin 2!2en n n ααππ+ 12n απ +∑收敛 ∴级数收敛 （九）当1 n n u u +的值可化为泰勒展开式，则选用高斯判别法。 例： 1.ln 12n n λ∞ -=∑ 21111ln 2n n u o u n n λ+??=+?+ ??? 2log e λ>，级数收敛； 2log e λ≤，级数发散。 （十）当通项ln n u n x =或()()ln ln g x n u f x =可以选用对数判别法。 例： 1. () ln 1 ln ln n n u n = ()1ln ln ln ln ln n u n n =????对0α>，0n ?，当0n n ≥时，