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函数的单调性7——(李华成)

扬华教育一对一学案

高考数学张星单晨专用

使用日期2014年7月24日

学案7 函数的单调性

一、课前准备：

【自主梳理】

1．函数单调性的定义：

（1）一般地，设函数()y f x =的定义域为A ，区间I A ?．

如果对于区间I 内的任意两个值1,2x x ，当12x x <时，都有_______________,那么就说

()y f x =在区间I 上是单调增函数，I 称为()y f x =的___________________．

如果对于区间I 内的任意两个值1,2x x ，当12x x <时，都有_______________,那么就说()y f x =在区间I 上是单调减函数，I 称为()y f x =的___________________．

（2）如果函数()y f x =在区间I 上是单调增函数或单调减函数，那么就说()y f x =在区

间I 上具有___________性，单调增区间或单调减区间统称为____________________．

2.复合函数的单调性：

对于函数()(),y f u u g x ==和如果当(,)(,),()x a b u m n u g x ∈∈=时，且在区间(,)a b 上和()y f u =在区间(,)m n 上同时具有单调性，则复合函数[()]y f g x =在区间(,)a b 上具有__________，并且具有这样的规律：___________________________．

3.求函数单调区间或证明函数单调性的方法：

（1）______________； (2)____________________； (3)__________________ ．

【课前热身】

1.函数(,)y kx b k b =+是常数在R 上是减函数，则k 的取值范围是___________．

2.函数2()1f x x =-在(0,)+∞上是_____函数（填“增”或“减”）．

3.函数12y x

=+的单调区间是_____________________． 4.函数()y f x =在定义域R 上是单调减函数，且(1)(2)f a f a +>，则实数a 的取值范围是________________________．

5.已知函数()f x 在区间(0,)+∞上是增函数，则23

(1)()4

f a a f -+与的大小关系是_______ ．

6.函数2()21f x x x =-+的单调减区间是___________________．

二、课堂活动：

【例1】填空题：

（1）若函数()f x 的单调增区间是(2,3)-，则(5)y f x =+的递增区间是

_________．

（2）函数2y x x =-+的单调减区间是________________．

（3）若1()-+2

ax f x x +=∞+在（2，）上是增函数，则a 的取值范围是_____________．（4）若(31)4,1()log ,1a

a x a x f x x x -+≤?=?>?是R 上的减函数，则a 的取值范围是_________．【例2】求证：函数2()1x f x x =

+在区间[1,)+∞上是减函数．

【例3】已知函数()f x 对任意的,a b R ∈，都有()()()1f a b f a f b +=+-，且当0x >时，

()1f x >．

（1）求证：()f x 是R 上的增函数；

（2）若(4)5f =，解不等式2

(32)3f m m --<．

课堂小结

扬华教育天天练

张星单晨专用

使用日期2014年7月24日

1.函数221

y x =

-单调减区间是_________________． 2.若函数2()(1)5f x x a x =--+在区间1(,1)2上具有单调性，则实数a 的取值范围是______ ．

3.已知函数()f x 是定义在[1,1]-上的增函数，且(1)(13)f x f x -<-，则实数x 的取值范围是_________________________．

4.已知()f x 在(,)-∞+∞内是减函数，,a b R ∈，且0a b +>，设()()A f a f b =+，()()B f a f b =-+-，则A,B 的大小关系是_________________．

5.若函数+b y a x y x ==-∞与在（0，）上都是减函数，则2(0,)y ax bx =++∞在上是

______ ．（填“增函数”或“减函数”）

6.函数212

()log (43)f x x x =-+-的递减区间是________________．

7.已知函数log (2)a y ax =-在[0，1]上单调递减，则a 的取值范围是_________．

8.已知函数(0)()(3)4(0)x a x f x a x a x ?<=?-+≥?满足对任意的12x x ≠，都有1212

()()0f x f x x x -<-成立，则a 的取值范围是_________．

9.确定函数1()12f x x

-的单调性．

10.已知函数()f x 是定义在(0,)+∞上的减函数，且满足()()()f xy f x f y =+，(2)1f =，若()(2)2f x f x ++>，求x 的取值范围．

四、纠错分析

错

题

卡

题号

错题原因分析

高一数学函数的单调性知识点

高一数学函数单调性一、函数单调性知识结构【知识网络】 1．函数单调性的定义，2．证明函数单调性；3．求函数的单调区间 4．利用函数单调性解决一些问题；5．抽象函数与函数单调性结合运用二、重点叙述 1. 函数单调性定义 (一)函数单调性概念 (1)增减函数定义一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2 : 如果当x1＜x2时,都有f(x1 ) ＜f(x2 ),那么就说函数y=f(x)在区间D上是增函数; 如果当x1＜x2时,都有f(x1 ) ＞f(x2 ),那么就说函数y=f(x)在区间D上是减函数。如果函数在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做的单调区间。 (2)函数单调性的内涵与外延 ⑴函数的单调性也叫函数的增减性。函数的单调性是对某个区间而言的,是一个局部概念。 ⑵由函数增减性的定义可知:任意的x1、x2∈D, ① x1＜x2 ,且f(x1 ) ＜f(x2 ),y=f(x)在区间D上是增函数;(可用于判断或证明函数的增减性) ② y=f(x)在区间D上是增函数,且x1＜x2 , f(x1 ) ＜f(x2 ) ;(可用于比较函数值的大小) ③ y=f(x)在区间D上是增函数,且f(x1 ) ＜f(x2 ), x1＜x2。(可用于比较自变量值的大小) 2. 函数单调性证明方法证明函数单调性的方法有:定义法(即比较法);导数法。实际上,用导数方法证明一般函数单调性是很便捷的方法,定义法是基本方法,常用来证明解决抽象函数或不易求导的函数的单调性。 (1)定义法:利用增减函数的定义证明。在证明过程中,把数式的大小比较转化为求差比较(或求商比

函数的单调性知识点总结与题型归纳

函数的单调性知识梳理 1. 单调性概念一般地，设函数()f x 的定义域为I ：（1）如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数；（2）如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数. 2. 单调性的判定方法（1）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。（2）定义法步骤； ①取值：设12,x x 是给定区间内的两个任意值，且12x x < (或12x x >)； ②作差：作差12()()f x f x -，并将此差式变形（注意变形到能判断整个差式符号为止）； ③定号：判断12()()f x f x -的正负（要注意说理的充分性），必要时要讨论； ④下结论：根据定义得出其单调性. （3）复合函数的单调性：当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的单调性相反时则复合函数为减函数。也就是说：同增异减（类似于“负负得正”） 3. 单调区间的定义如果函数()y f x =，在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数在这个区间上具有单调性，区间D 叫做()y f x =的单调区间．例题精讲【例1】下图为某地区24小时内的气温变化图． (1)从左向右看，图形是如何变化的？ (2)在哪些区间上升哪些区间下降？解：（1）从左向右看，图形先下降，后上升，再下降；（2）在区间[0,4]和[14,24]下降，在区间[4,14]下降。【例2】画出下列函数的图象，观察其变化规律：（1）f (x )=x ; ①从左至右图象上升还是下降 ②在区间(-∞，+∞)上，随着x 的增大，f (x )的值随着怎么变化？

知识点一-导数与函数的单调性

1.函数的单调性：在某个区间( a,b )内，如果f (x) . 0 ,那么函数y = f (x)在这个区间内单调递增；如果f (x) ：：：0，那么函数y = f(x)在这个区间内单调递减?如果f(x)=0,那么函数y = f(x)在这个区间上是常数函数? 注：函数y = f (x)在(a,b )内单调递增，贝U f (x)亠0，f (x) . 0是y = f (x)在(a,b )内单调递增的充分不必要条件? 2.函数的极值：曲线在极值点处切线的斜率为0,并且，曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正. 一般地，当函数 y = f(x)在点沧处连续时，判断f(X。)是极大(小)值的方法是： (1)如果在X。附近的左侧f ' (x) 0 ，右侧f'(x)：：：，那么f(X0)是极大值. (2)如果在X o附近的左侧f '(X)：：：0 ,右侧f'(x) 0，那么f(X0)是极小值. 注：导数为0的点不一定是极值点知识点一：导数与函数的单调性方法归纳：在某个区间(a,b )内，如果f (x) ?0,那么函数y = f (x)在这个区间内单调递增；如果「(x) ：：：0，那么函数y二f(x)在这个区间内单调递减?如果f (x) =0，那么函数y二f(x)在这个区间上是常数函数?注：函数y = f (x)在(a,b )内单调递增，贝U f (x) _ 0 , f (x) 0是y = f (x)在(a,b )内单调递增的充分不必要条件? 例1】(B类)已知函数f(x)=x3 bx2 cx d的图象过点P(0, 2)，且在点M(-1, f(-1))处的切线方程为6x「y ?7 = 0 ? (I)求函数y = f(x)的解析式；(n)求函数y=f(x)的单调区间? 【解题思路】注意切点既在切线上，又原曲线上?函数f(x)在区间［a,b］上递增可得：f'(x)_0 ；函数 f (x)在区间［a,b］上递减可得：f'(x) E0. 3 【例2】(A类)若f(x)二ax x在区间［—1,1］上单调递增，求a的取值范围? 【解题思路】利用函数 f (x)在区间［a,b］上递增可得：f'(x)_0;函数f(x)在区间［a,b］上递减可得： f '(x)岂0.得出恒成立的条件，再利用处理不等式恒成立的方法获解 a 【例 3 】(B 类)已知函数f(x)=l nx,g(x) (a 0),设F(x^ f (x) - g(x). x (I)求函数F(x)的单调区间；

函数的单调性知识点总结及练习

2.3 函数的单调性学习目标： 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义. 2.会用定义判断函数的单调性，会求函数的单调区间及会用单调性求函数的最值．重点难点：函数单调性的应用一、知识点梳理 1．函数单调性定义：对于给定区间D 上的函数f(x)，若对于任意x 1,x 2∈D, 当x 1 f(x 2)，则称f(x)是区间D 上的减函数，D 叫f(x)单调递减区间． 2．函数单调性的判断方法：（1）定义法．步骤是： ①任取x 1，x 2∈D ，且x 1

若内外两函数的单调性相反时，则()y f g x =????在x 的区间D 内单调递减． 3．常见结论若f(x)为减函数，则-f(x)为增函数；若f(x)>0（或<0）且为增函数，则函数) (1x f 在其定义域内为减函数．（二、例题精讲题型1：单调性的判断 1．写出下列函数的单调区间（1）,b kx y += （2）x k y =，（3）c bx ax y ++=2． * 2．求函数22||3y x x =-++的单调区间． # ３．判断函数f （x ）＝1 x 2－4x 的增减情况．

高中函数单调性知识点及习题

函数的简单性质一、函数的单调性 1、单增函数：在函数y=f(x)的定义域的一个区间M中，如果对于任意两个值x1，x2，当改变量x2>x1时，有Δy＝f(x2)－f(x1)>0，即：f(x2)> f(x1)那就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数，． 2、单减函数：在函数y=f(x)的定义域的一个区间M中，如果对于任意两个值x1，x2，当改变量x2>x1时，有Δy＝f(x2)－f(x1)<0，即：f(x2)< f(x1)就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数， 2．单调性与单调区间如果一个函数在某个区间M上是单增函数或是单减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性(区间M称为单调区间)． 3、证明单调性：用定义证明函数单调性的步骤 (1)设x1，x2是f(x)定义域内一个区间上的任意两个量，且x1

5、常用结论：（1）若f(x)是增函数，则-f(x)为减函数（2）若f(x)是减函数，则-f(x)为增函数（3）若f(x)和g(x)均为增（或减）函数，则在f(x)和g(x)的共定义域上f(x)+g(x)为增（或减）函数（4）若f(x)>0,且为增函数，则函数为增函数，为减函数若f(x)>0,且为减函数，则函数为减函数，为增函数练习： 1、（函数单调性的判断）（1）证明函数x x f- = ) (在定义域上是减函数。（定义法）（2）证明函数3 ()2 f x x x =--在R上是单调递减函数；（定义法）（3）证明函数2 ()231 f x x x =-+-在区间 3 (,] 4 -∞上是单调递增函数；（图像法）

函数的单调性与曲线的凹凸性

§3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性一、函数单调性的判别法定理1 设 )(x f 在区间I 上可导，则)(x f 在I 上递增（减）的充要条件是 )()('00≤≥x f . 证若 f 为增函数，则对每一I x ∈0，当0x x ≠时，有 ()() 00 0≥--x x x f x f 。令0x x →，即得 00≥)('x f 。反之，若 )(x f 在区间I 上恒有0≥)('x f ，则对任意I x x ∈21,（设21x x <），应用拉格朗日定理，存在，使得 ()()()01212≥-=-x x f x f x f ξ')(。由此证得 f 在I 上为增函数。定理2 若函数 f 在),(b a 内可导,则f 在),(b a 内严格递增(递减)的充要条件是: (1)),(b a x ∈?有)()('00≤≥x f ; (2) 在),(b a 内的任何子区间上0≠)('x f . 推论设函数在区间I 上可微,若))('()('00<>x f x f , 则f 在I 上(严格)递增(递减). 注1 若函数 f 在),(b a 内(严格)递增(递减),且在点a 右连续,则f 在),[b a 上亦为(严格)递增(递减), 对右端点b 可类似讨论. 注2 如果函数 )(x f 在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外，导数存在且连续，那么只要用方程0=)('x f 的根及)('x f 不存在的点来划分函数)(x f 的定义区间就能保证 )('x f 在各个部分区间保持固定符号，因而函数)(x f 在每个部分区间上单调。注意：如果函数 )(x f 在区间],[b a 上连续，在),(b a 内除个别点处一阶导数为零或不存在外，在其余点上都有 0>)('x f （或0<)('x f ），那么由于连续性，)(x f 在区间 ],[b a 上仍然是单调增加（或单调减少）的。

证明函数单调性的方法总结

证明函数单调性的方法总结导读：1、定义法: 利用定义证明函数单调性的一般步骤是： ①任取x1、x2∈D，且x1 ②作差f(x1)－f(x2)，并适当变形(“分解因式”、配方成同号项的和等)； ③依据差式的符号确定其增减性． 2、导数法: 设函数y＝f(x)在某区间D内可导．如果f′(x)>0，则f(x)在区间D内为增函数；如果f′(x) 注意：(补充) （1）若使得f′(x)=0的x的值只有有限个，则如果f ′(x)≥0，则f(x)在区间D内为增函数；如果f′(x) ≤0，则f(x)在区间D内为减函数．（2）单调性的判断方法：定义法及导数法、图象法、复合函数的单调性(同增异减)、用已知函数的单调性等（补充）单调性的有关结论 1．若f(x)，g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g(x)仍为增(减)函数． 2．若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为减(增)函数，如果同时有f(x)>0，

则为减(增）函数，为增（减）函数 3．互为反函数的两个函数有相同的单调性． 4．y＝f[g(x)]是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的'单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为增函数；若f(x)、g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为减函数．简称”同增异减” 5. 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反．函数单调性的应用 (1)求某些函数的值域或最值． (2)比较函数值或自变量值的大小． (3)解、证不等式． (4)求参数的取值范围或值． (5)作函数图象．【证明函数单调性的方法总结】 1.函数单调性的说课稿 2.高中数学函数的单调性的教学设计 3.导数与函数的单调性的教学反思

函数的单调性知识点与题型归纳

1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义． 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质. ★备考知考情 1.函数的单调性是函数的一个重要性质，是高考的热点，常见问题有：求单调区间，判断函数的单调性，求参数的取值，利用函数单调性比较数的大小，以及解不等式等．客观题主要考查函数的单调性，最值的确定与简单应用． 2.题型多以选择题、填空题的形式出现，若与导数交汇命题，则以解答题的形式出现. 一、知识梳理《名师一号》P15 注意：研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集单调区间不能并！知识点一函数的单调性 1.单调函数的定义 1

2 2.单调性、单调区间的定义若函数f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做f (x )的单调区间. 注意： 1、《名师一号》P16 问题探究问题1 关于函数单调性的定义应注意哪些问题？ (1)定义中x 1，x 2具有任意性，不能是规定的特定值． (2)函数的单调区间必须是定义域的子集； (3)定义的两种变式：设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1-f x f x x x ? f (x )在[a ，b ]上是增函数；

3 1212 ()() 0-<-f x f x x x ? f (x )在[a ，b ]上是减函数． ②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0?f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0?f (x )在[a ，b ]上是减函数． 2、《名师一号》P16 问题探究问题2 单调区间的表示注意哪些问题？单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．知识点二单调性的证明方法：定义法及导数法《名师一号》P16 高频考点例1 规律方法 (1) 定义法: 利用定义证明函数单调性的一般步骤是： ①任取x 1、x 2∈D ，且x 10，则f (x )在区间D 内为增函数；如果f ′(x )<0，则f (x )在区间D 内为减函数．注意：(补充) （1）若使得f ′(x )=0的x 的值只有有限个，

证明函数单调性的方法总结归纳

证明函数单调性的方法总结归纳 1、定义法: 利用定义证明函数单调性的一般步骤是： ①任取x1、x2∈D，且x1②作差f(x1)－f(x2)，并适当变形(“分解因式”、配方成同号项的和等)； ③依据差式的符号确定其增减性． 2、导数法: 设函数y＝f(x)在某区间D内可导．如果f′(x)>0，则f(x)在区间D 内为增函数；如果f′(x)注意：(补充) （1）若使得f′(x)=0的x的值只有有限个，则如果f ′(x)≥0，则f(x)在区间D内为增函数；如果f′(x) ≤0，则f(x)在区间D内为减函数．（2）单调性的判断方法：定义法及导数法、图象法、复合函数的单调性(同增异减)、用已知函数的单调性等（补充）单调性的有关结论 1．若f(x)，g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g(x)仍为增(减)函数． 2．若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为减(增)函数，如果同时有f(x)>0，

则为减(增）函数，为增（减）函数 3．互为反函数的两个函数有相同的单调性． 4．y＝f[g(x)]是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为增函数；若f(x)、g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为减函数．简称”同增异减” 5. 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反．函数单调性的应用 (1)求某些函数的值域或最值． (2)比较函数值或自变量值的大小． (3)解、证不等式． (4)求参数的取值范围或值． (5)作函数图象．搜集整理，仅供参考学习，请按需要编辑修改

函数的单调性的题型分类及解析

函数的单调性知识点 1、增函数定义、减函数的定义：（1）设函数)(x f y =的定义域为A ，区间M ?A ，如果取区间M 中的任意两个值21,x x ,当改变量012>-=?x x x 时，都有0)()(12>-=?x f x f y ，那么就称函数)(x f y =在区间M 上是增函数，如图（1）当改变量012>-=?x x x 时，都有0)()(12<-=?x f x f y ，那么就称函数)(x f y =在区间M 上是减函数，如图（2）注意：单调性定义中的x 1、x 2有什么特征：函数单调性定义中的x 1,x 2有三个特征,一是任意性，二是有大小，三是同属于一个单调区间． 1、根据函数的单调性的定义思考：由f (x )是增(减)函数且f (x 1)x 2) 2、我们来比较一下增函数与减函数定义中y x ??,的符号规律，你有什么发现没有？ 3、如果将增函数中的“当012>-=?x x x 时，都有0)()(12>-=?x f x f y ”改为当 012<-=?x x x 时，都有0)()(12<-=?x f x f y 结论是否一样呢？ 4、定义的另一种表示方法如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1,x 2,若 0) ()(2 121>--x x x f x f 即 0>??x y ，则函数y=f(x)是增函数，若0)()(2 121<--x x x f x f 即0

函数单调性和奇偶性情况总结复习资料

课次教学计划（教案）课题函数的单调性和奇偶性教学目标 1. 通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 理解增区间、减区间等概念，掌握增（减）函数的证明和判别 2. 结合具体函数，了解奇偶性的含义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 理解奇函数、偶函数的几何意义，能熟练判别函数的奇偶性教学策略重点难点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数教学策略：讲练结合，查漏补缺 1.例1：观察y=x 2的图象，回答下列问题问题1：函数y=x 2的图象在y 轴右侧的部分是上升的，说明什么？?随着x 的增加，y 值在增加。问题2：怎样用数学语言表示呢？ ?设x 1、x 2∈[0，+∞]，得y 1=f(x 1), y 2=f(x 2).当x 1f(x 2).那么就是f(x)在这个区间上是减函数(decreasing function)。如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么就说函说y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y=f(x)的单调区间，在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。 12（3）函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念。 3.例2.己知函数f （x ）＝－x 2＋2x ＋3,⑴画出函数的图象;⑵根据图象写出函数f(x)的单调区间;⑶利用定义证明函数f （x ）＝－x 2＋2x ＋3在区间(-∞,1］上是增函数;⑷当函数f(x)在区间(一∞,m ］上是增函数时,求实数m 的取值范围. 1、用定义判断单调性： A ．设所给范围∈21,x x 且21x x <； B ．计算f (x 1)－f (x 2)=几个因式的乘积形式 C ．判断上述差的符号； D.下结论。如果)()(f 21x f x <，则函数是增函数；如果)()(f 21x f x >，则函数是减函数用定义法判断单调性 1．试用函数单调性的定义判断函数2()1 x f x x = -在区间（0，1）上的单调性.

函数单调性的判断或证明方法

函数单调性的判断或证明方法. （1）定义法。用定义法证明函数的单调性的一般步骤是①取值，设，且；②作差，求；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）向有利于判断差值符号的方向变形；④定号，判断的正负符号，当符号不确定时，应分类讨论；⑤下结论，根据函数单调性的定义下结论。例1.判断函数在(－1，＋∞)上的单调性，并证明．解：设－10，x2＋1>0. ∴当a>0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)0，即f(x1)>f(x2)， ∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递减．例2.证明函数在区间和上是增函数；在上为减函数。（增两端，减中间）证明：设，则因为，所以,

所以，所以所以设则，因为，所以，所以所以同理，可得（2）运算性质法. ①在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．（增+增=增；减+减=减；增-减=增，减-增=减） ②若. ③当函数. ④函数二者有相反的单调性。 ⑤运用已知结论，直接判断函数的单调性，如一次函数、反比例函数等。（3）图像法.根据函数图像的上升或下降判断函数的单调性。例3.求函数的单调区间。解：

在同一坐标系下作出函数的图像得所以函数的单调增区间为减区间为. （4）复合函数法.（步骤：①求函数的定义域；②分解复合函数；③判断内、外层函数的单调性；④根据复合函数的单调性确定函数的单调性.⑤若集合是内层函数的一个单调区间，则便是原复合函数的一个单调区间，如例4；若不是内层函数的一个单调区间，则需把划分成内层函数的若干个单调子区间，这些单调子区间便分别是原复合函数的单调区间，如例5.）设，，都是单调函数，则在上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数。如下表：增增增增减减减增减减减增例4.求函数的单调区间

函数的单调性知识点汇总典型例题(高一必备)24620

第二讲：函数的单调性一、定义： 1.设函数)(x f y =的定义域为I ,如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有),()(21x f x f <那么就说)(x f 在区间D 上是增函数.区间D 叫)(x f y =的单调增区间. 注意：增函数的等价式子：0) ()(0)]()()[(2 1212121>--?>--x x x f x f x f x f x x ; 难点突破：（1）所有函数都具有单调性吗？（2）函数单调性的定义中有三个核心①21x x <②)()(21x f x f <③ 函数)(x f 为增函数,那么①②③中任意两个作为条件，能不能推出第三个？ 2. 设函数)(x f y =的定义域为I ,如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有),()(21x f x f >那么就说)(x f 在区间D 上是减函数.区间D 叫)(x f y =的单调减区间. 注意：(1)减函数的等价式子：0) ()(0)]()()[(21212121<--? <--x x x f x f x f x f x x ； (2)若函数)(x f 为增函数，且)()(,2121x f x f x x <<则. 题型一：函数单调性的判断与证明例 1.已知函数)(x f 的定义域为R ，如果对于属于定义域内某个区间I 上的任意两个不同的自变量21,x x 都有 .0) ()(2 121>--x x x f x f 则（） A.)(x f 在这个区间上为增函数 B.)(x f 在这个区间上为减函数 C.)(x f 在这个区间上的增减性不变 D.)(x f 在这个区间上为常函数

第四节函数单调性凹凸性与极值

第四节函数单调性、凹凸性与极值我们已经会用初等数学的方法研究一些函数的单调性和某些简单函数的性质，但这些方法使用范围狭小，并且有些需要借助某些特殊的技巧，因而不具有一般性. 本节将以导数为工具，介绍判断函数单调性和凹凸性的简便且具有一般性的方法. 分布图示 ★ 单调性的判别法 ★ 例1 ★ 单调区间的求法 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 曲线凹凸的概念 ★ 例9 ★ 例 10 ★ 曲线的拐点及其求法 ★ 例11 ★ 例12 ★ 例13 ★ 函数极值的定义 ★函数极值的求法 ★ 例14 ★ 例15 ★ 例16 ★第二充分条件下 ★ 例17 ★ 例18 ★ 例19 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题3-4 ★ 返回内容要点一、函数的单调性：设函数)(x f y =在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导. (1) 若在(a , b )内0)(>'x f , 则函数)(x f y =在[a , b ]上单调增加; (2) 若在(a , b )内0)(<'x f , 则函数)(x f y =在[a , b ]上单调减少. 二、曲线的凹凸性：设)(x f 在[a , b ]上连续, 在(a , b )内具有一阶和二阶导数, 则 (1) 若在(a , b )内，,0)(>''x f 则)(x f 在[a , b ]上的图形是凹的; (2) 若在(a , b )内，,0)(<''x f 则)(x f 在[a , b ]上的图形是凸的. 三、连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点判定曲线的凹凸性与求曲线的拐点的一般步骤为： (1) 求函数的二阶导数)(x f ''； (2) 令0)(=''x f ，解出全部实根，并求出所有使二阶导数不存在的点； (3) 对步骤(2)中求出的每一个点，检查其邻近左、右两侧)(x f ''的符号，确定曲线的凹凸区间和拐点. 四、函数的极值极值的概念；极值的必要条件；第一充分条件与第二充分条件；求函数的极值点和极值的步骤：（1）确定函数)(x f 的定义域，并求其导数)(x f '; （2）解方程0)(='x f 求出)(x f 的全部驻点与不可导点; （3）讨论)(x f '在驻点和不可导点左、右两侧邻近符号变化的情况，确定函数的极值点; （4）求出各极值点的函数值，就得到函数)(x f 的全部极值.

函数的单调性证明

函数的单调性证明一．解答题（共40小题） 1．证明：函数f（x）=在（﹣∞，0）上是减函数． 2．求证：函数f（x）=4x+在（0，）上递减，在[，+∞）上递增．3．证明f（x）=在定义域为[0，+∞）是增函数． 4．应用函数单调性定义证明：函数f（x）=x+在区间（0，2）上是减函数．

5．证明函数f（x）=2x﹣在（﹣∞，0）上是增函数． 6．证明：函数f（x）=x2+3在[0，+∞）上的单调性． 7．证明：函数y=在（﹣1，+∞）上是单调增函数． 8．求证：f（x）=在（﹣∞，0）上递增，在（0，+∞）上递增．9．用函数单调性的定义证明函数y=在区间（0，+∞）上为减函数．

10．已知函数f（x）=x+．（Ⅰ）用定义证明：f（x）在[2，+∞）上为增函数；（Ⅱ）若＞0对任意x∈[4，5]恒成立，数a的取值围． 11．证明：函数f（x）=在x∈（1，+∞）单调递减． 12．求证f（x）=x+的（0，1）上是减函数，在[1，+∞]上是增函数．13．判断并证明f（x）=在（﹣1，+∞）上的单调性． 14．判断并证明函数f（x）=x+在区间（0，2）上的单调性．

15．求函数f（x）=的单调增区间． 16．求证：函数f（x）=﹣﹣1在区间（﹣∞，0）上是单调增函数． 17．求函数的定义域． 18．求函数的定义域． 19．根据下列条件分别求出函数f（x）的解析式（1）f（x+）=x2+（2）f（x）+2f（）=3x．

20．若3f（x）+2f（﹣x）=2x+2，求f（x）． 21．求下列函数的解析式（1）已知f（x+1）=x2求f（x）（2）已知f（）=x，求f（x）（3）已知函数f（x）为一次函数，使f[f（x）]=9x+1，求f（x）（4）已知3f（x）﹣f（）=x2，求f（x）

函数知识点单调性复习

函数的单调性函数的单调性问题. 函数单调性的方法：（1）图像法（2）定义法（证明题）先介绍一下定义法的步骤：（1）取值在给定的区间上任取两个不相等的变量21,x x ，且21x x >，则021>-=?x x x （2）作差求()()21x f x f y -=?（差比，商比）（3）定号当0>?y ，则函数单调递增；当0x 时，试判断)(x f 在R 上的单调性. 图像法求单调性（1）一次函数（斜率）（2)二次函数（对称轴）（3）指数函数和对数函数（4）反比例函数（4）幂函数（分段函数）例5，给定函数x y 2)1(=，x y 21log )2(=，1)3(-=x y ，21)4(x y =，其中在区间) 1,0(上单调递减的是

例6：求函数的单调区间（图像翻折问题）（1）322--=x x y （2）4 132+-=x x y 练习：函数x x f =)(在区间[]2,2-上的单调性是单调性与奇偶性的结合已知)(x f 是奇函数，当0>x 时，2)(2+=x x f ，则=-)1(f 已知函数)(x f 是定义在)1,1(-上的奇函数，又是减函数，0)2()2 1(>-+a f f ，求实数a 的取值范围。练习：已知函数)(x f 是定义在)1,1(-上的奇函数，又是减函数，0)1()1(2<-+-a f a f ，求实数a 的取值范围。