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江苏省南京市2018年高二数学暑假综合练习

高二暑假综合练习（一）

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1. 复数(1＋2i)2

的共轭复数是____________．

2. 若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a 、b ＞0)的离心率为2，则b

＝____________.

3. 样本数据11,8,9,10,7的方差是____________．

4. 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，φ∈[0,2π))的图象如图所示，则φ＝____________.

5. 已知集合A ＝{2,5}，在A 中可重复的依次取出三个数a 、b 、c ，则“以a 、b 、c 为边恰好构成三角形”的概率是__________．

6. 设E 、F 分别是Rt △ABC 的斜边BC 上的两个三等分点，已知AB ＝3， AC ＝6，则AE →·AF →

＝____________.

7. 设α、β为两个不重合的平面，m 、n 为两条不重合的直线，给出下列四个命题：

① 若m ⊥n ，m ⊥α，n ?α，则n ∥α；

② 若α⊥β，α∩β＝m ，n ?α，n ⊥m ，则n ⊥β； ③ 若m ⊥n ，m ∥α，n ∥β，则α⊥β；

④ 若n ?α，m ?β，α与β相交且不垂直，则n 与m 不垂直．其中，所有真命题的序号是____________．

8. 已知tan α＝17，tan β＝1

，且α、β∈(0，π)，则α＋2β＝

__________.

9. 右图是一个算法的流程图，最后输出的S ＝____________.

10. 已知圆x 2＋y 2＝m 与圆x 2＋y 2

＋6x －8y －11＝0相交，则实数m 的取值范围为____________．

11. 某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径40 mm ，满盘时直径120 mm.已知卫生纸的厚度为0.1 mm ，则满盘时卫生纸的总长度大约是__________m(π取3.14，精确到1 m)．

12. 已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝5a n －133a n －7

(n ∈N *

)，则数列{a n }的前100项的和为

____________．

13. 已知△ABC 的三边长a 、b 、c 满足b ＋2c ≤3a ，c ＋2a ≤3b ，则b a

的取值范围为____________．

14. 在平面直角坐标系xOy 中，点P 是第一象限内曲线y ＝－x 3

＋1上的一个动点，过点P 作切线与两个坐标轴交于A 、B 两点，则△AOB 的面积的最小值为______________．

二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15.在△ABC中，已知角A、B、C的对边分别为a、b、c，且(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc.

(1) 求A；

(2) 若B－C＝90°，c＝4，求b.(结果用根式表示)

16.三棱柱ABC—A1B1C1中，已知AB＝A1A，D为C1C的中点，O为A1B与AB1的交点．

(1) 求证：AB1⊥平面A1BD；

(2) 若点E为AO的中点，求证：EC∥平面A1BD.

17. 有一隧道既是交通拥挤地段，又是事故多发地段．为了保证安全，交通部门规定，隧道内的车距d (m)正比于车速v (km/h)的平方与车身长l (m)的积，且车距不得小于一个车身长l (假设所有车身长均为l )．而当车速为60(km/h)时，车距为1.44个车身长．

(1) 求通过隧道的最低车速；

(2) 在交通繁忙时，应规定怎样的车速，可以使隧道在单位时段内通过的汽车数量Q 最多？

18.如图，椭圆x 24＋y 2

＝1的左焦点为F ，上顶点为A ，过点A 作直线AF 的垂线分别交椭圆、

x 轴于B 、C 两点．

(1) 若＝λ，求实数λ的值；

(2) 设点P 为△ACF 的外接圆上的任意一点，当△PAB 的面积最大时，求点P 的坐标．

19. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝n n ＋1

(n ∈N *

)．

(1) 求S 1，S 2及S n ；

(2) 设b n ＝(12)a n ，若对一切n ∈N *

，均有∑n

k =1

b k ∈(1m ，m 2－6m ＋163)，求实数m 的取值范围．

20. 设函数f (x )＝ln x －kx －a

－ln a (x ＞0，a ＞0且a 为常数)．

(1) 当k ＝1时，判断函数f (x )的单调性，并加以证明；

(2) 当k ＝0时，求证：f (x )＞0对一切x ＞0恒成立；

(3) 若k ＜0，且k 为常数，求证：f (x )的极小值是一个与a 无关的常数.

数学试卷附加题

21．

B ．选修4—2 矩阵与变换

已知矩阵A ＝???? 2 1 －1 2 ，B ＝???

1 －20 1．

(1) 计算AB ；

(2) 若矩阵B 把直线l ：x ＋y ＋2＝0变为直线l'，求直线l'的方程．

C ．选修4—4参数方程与极坐标

已知⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别是ρ＝2cos θ和ρ＝2a sin θ（a 是常数）．

（1）分别将两个圆的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若两个圆的圆心距为5，求a 的值．

22．如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AB ＝2，BC ＝1，AA 1＝6，D 是棱CC 1的中点．

(1) 证明：A 1D ⊥平面AB 1C 1；

(2) 求二面角B －AB 1－C 1的余弦值．

23．某电视台的一个智力游戏节目中，有一道将四本由不同作者所著的外国名著A 、B 、C 、D 与它们的作者连线的题目，每本名著只能与一名作者连线，每名作者也只能与一本名著连线．每连对一个得3分，连错得－1分，一名观众随意连线，他的得分记作X ． (1) 求该观众得分非负的概率； (2) 求X 的分布列及数学期望．

A B

A 1

B 1

C 1 D

高二暑假综合练习（一）参考答案

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1. －3－4i

2. 3

3. 2

4. π4

5. 58

6. 10

7. ①②

8. π

4 9. 2

5 10. 1＜m ＜

121 11. 100 12. 200 13. (34，53) 14. 332

二、解答题：本大题共6小题，共90分．

15. 解：(1) 由条件，得(b ＋c )2－a 2＝3bc ，即b 2＋c 2－a 2

＝bc ，(2分)

∴ cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1

.(4分)

∵ A 是三角形内角，∴ A ＝60°.(6分)

(2) 由???

B ＋

C ＝120°，B －C ＝90°，

得B ＝105°，C ＝15°.(8分)

由正弦定理得b sin105°＝4sin15°，即b ＝4sin105°sin15°

.(10分)

∴ b ＝4tan75°.(12分)

∵ tan75°＝tan(45°＋30°)＝1＋tan30°

1－tan30°

＝2＋3，

∴ b ＝8＋4 3.(14分)

16. 证明：(1) 连DA 、DB 1、DO ， ∵ AB ＝A 1A ，D 为C 1C 的中点，

而DB 1＝DC 21＋C 1B 21，DA ＝DC 2＋CA 2

， ∴ DB 1＝DA .(2分)

又O 是正方形A 1ABB 1对角线的交点， ∴ DO ⊥AB 1.(4分)

又A 1B ⊥AB 1，A 1B ∩DO ＝O ， ∴ AB 1⊥平面A 1BD .(7分) (2) 取A 1O 的中点F ，

在△A 1OA 中，∵ E 是OA 中点，∴ EF 1

AA 1.(9分)

又D 为C 1C 的中点，∴ CD 1

AA 1.

∴ EFCD ，故四边形CDFE 是平行四边形．∴ CE ∥DF .(12分) 又DF ?平面A 1BD ，CE ?平面A 1BD ， ∴ EC ∥平面A 1BD .(14分)

17. 解：(1) 依题意，设d ＝kv 2

l ，其中k 是待定系数， ∵ 当v ＝60时，d ＝1.44l ，

∴ 1.44l ＝k ×602

l .(2分)

∴ k ＝0.000 4.则d ＝0.000 4v 2

l .(4分)

∵ d ≥l ，∴ 0.000 4v 2

l ≥l .

则v ≥50.∴ 最低车速为50 km/h.(7分)

(2) 因为两车间距为d ，则两辆车头间的距离为l ＋d (m)，

一小时内通过汽车的数量为Q ＝ 1 000v l ＋0.000 4v 2l ，即Q ＝ 1 000

l (1

＋0.000 4v )

.(9分)

∵ 1

＋0.000 4v ≥2

1v ×0.000 4v ＝0.04，∴ Q ≤25 000l

.(12分)

当1v ＝0.000 4v ，即v ＝50时，Q 取得最大值为25 000l

∴ 当v ＝50 km/h 时，单位时段内通过的汽车数量最多．(14分)

18. 解：(1) 由条件，得F (－1,0)，A (0，3)，直线AF 的斜率k 1＝ 3.

∵ AB ⊥AF ，∴ 直线AB 的斜率为－3

则直线AB 的方程为y ＝－3

x ＋ 3.(2分)

令y ＝0，得x ＝3.∴ 点C 的坐标为(3,0)．(3分) 由?????

y ＝－3

3x ＋3，

x 2

4＋y 2

3＝1，

得13x 2

－24x ＝0.解得x 1＝0(舍)，x 2＝2413

∴ 点B 的坐标为(2413，53

13)．(5分)

∵ ＝λ，∴ λ＞0，且λ＝AB

∴ λ＝24133－2413

＝8

5.(7分)

(2) ∵ △ACF 是直角三角形，∴ △ACF 外接圆的圆心为D (1,0)，半径为2.

∴ 圆D 的方程为(x －1)2＋y 2

＝4.(9分)

∵ AB 是定值，∴ 当△PAB 的面积最大时，点P 到直线AC 的距离最大．过D 作直线AC 的垂线m ，则点P 为直线m 与圆D 的交点．(11分) ∴ 直线m 的方程为y ＝3(x －1)．(13分)

代入圆D 的方程，得(x －1)2＋3(x －1)2

＝4.(14分) ∴ x ＝0或x ＝2(舍)．

则点P 的坐标为(0，3)．(16分)

19. 解：(1) 依题意，n ＝1时，S 1＝2，n ＝2时，S 2＝6.(2分)

∵ 1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝n n ＋1

，① n ≥2时，1S 1＋1S 2

＋…＋1S n －1＝n －1

，②

①－②，得1S n ＝n n ＋1－n －1

，∴ S n ＝n (n ＋1)．(4分)

上式对n ＝1也成立，∴ S n ＝n (n ＋1)(n ∈N *

)．(5分) (2) 由(1)知，S n ＝n (n ＋1)，

当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n .(7分)

∵ a 1＝2，∴ a n ＝2n (n ∈N *

)．(8分)

∴ b n ＝(14)n

∵ b n ＋1b n ＝14

，∴ 数列{b n }是等比数列．(10分)

则∑k ＝1

b k ＝14(1－14n )1－14

＝13(1－1

4n )．(12分)

∵ 13(1－14n )随n 的增大而增大，∴ 14≤∑k ＝1n b k ＜1

3.(13分) 依条件，得?????

1m ＜1

4，

m 2

－6m ＋163≥1

.(14分)

即???

m ＜0，或m ＞4，m ≤1，或m ≥5.

∴ m ＜0或m ≥5.(16分)

20. (1) 解：当k ＝1时，f (x )＝ln x －

a ·x 12

＋ax －1

2－ln a ，

∵ f ′(x )＝1x －12a ·x －12－a 2x －3

2(1分)

＝－(x －a )

2axx

≤0，(3分)

∴ 函数f (x )在(0，＋∞)上是单调减函数．(4分)

(2) 证明：当k ＝0时，f (x )＝ln x ＋ax －1

2－ln a ，

f ′(x )＝1x －a 2x x ＝2x －a

2x x

，

令f ′(x )＝0，解得x ＝a

.(6分)

当0＜x ＜a

4时，f ′(x )＜0，f (x )是单调减函数；

当x ＞a

时，f ′(x )＞0，f (x )是单调幸函数．

∴ 当x ＝a 4时，f (x )有极小值为f (a

)＝2－2ln2.(8分)

∵ e ＞2，∴ f (x )的极小值f (a 4)＝2(1－ln2)＝2ln e

＞0.

∴ f (x )＞0恒成立．(10分)

(3) 证明：∵ f (x )＝ln x －k a ·x 12＋ax －12－ln a ，∴ f ′(x )＝－kx ＋2ax －a

2axx .

令f ′(x 0)＝0，得kx 0－2ax 0＋a ＝0.(12分)

∴ x 0＝a 1－1－k k .(x 0＝a 1＋1－k

舍去)

∴ x 0＝a

(1＋1－k )

.(14分) 当0＜x ＜x 0时，f ′(x )＜0，f (x )是单调减函数；当x ＞x 0时，f ′(x )＞0，f (x )是单调增函数．因此，当x ＝x 0时，f (x )有极小值f (x 0)．(15分)

又f (x 0)＝ln x 0a －k x 0a

＋a x 0，而x 0a ＝1(1＋1－k )2

是与a 无关的常数， ∴ ln x 0a ，－k

x 0a ，a

x 0

均与a 无关．

∴ f (x 0)是与a 无关的常数．

则f (x )的极小值是一个与a 无关的常数．(16分) 21．B ．

解：(1) AB ＝??

2 －3－1 4 ， ………………………………3分

(2) 设P (x ，y )是直线l'上一点，P (x ，y )由直线l 上点P'(x'，y')经矩阵B 变换得到，……4分

则????x y ＝????1 －20 1 ????x'y'＝????x'－2y' y'， ………………………………6分所以???x ＝x'－2y'，y ＝y'，解得???x'＝x ＋2y ，y'＝y ．

………………………………8分

代入直线l 的方程x ＋y ＋2=0，得x ＋2y ＋y ＋2＝0，即x ＋3y ＋2＝0，故直线l'的方程为x ＋3y ＋2＝0． ………………………10分

C ．解：（1）两圆原方程可化为ρ2＝2ρcos θ和ρ2

＝2aρsin θ．

∴两圆的直角坐标方程分别是x 2＋y 2－2x ＝0和x 2＋y 2

－2ay ＝0．

（2）根据（1）可知道两圆圆心的直角坐标分别是O 1(－1，0)和O 2(0，a )．

由题知1＋a 2

＝5，解得a ＝±2．

22．证明(1) ∵∠ACB ＝90°，∴BC ⊥AC ．

∵三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱，∴BC ⊥CC 1． ∵ AC CC 1＝C ，∴BC ⊥平面ACC 1A 1．以C 为坐标原点，，，分别为x 轴、

y 轴、z 轴正方向的方向向量，建立如图所示的

空间直角坐标系．

∵AB ＝2，BC ＝1，AA 1＝6，∴C (0，0，0)，B (1，0，0)，A (0，0，3)，C 1(0，60)，B 1(1，6，0)，A 1(0，6，3)，D (0，6

2，0)．

(1) ＝(0，－

，－3)，＝(－1，0，0)，＝(1，6，－3)， ∵·＝0，·＝0，∴⊥，⊥，即AD 1⊥B 1C 1，AD 1⊥AB 1．

∵B 1C 1∩AB 1＝B 1，B 1C 1，AB 1?平面AB 1C 1，∴A 1D ⊥平面AB 1C 1．

(2) 设n ＝(x ，y ，z )是平面ABB 1的法向量，由得?

????x ＋6y －3z ＝0，

6y ＝0．

取z ＝1，则n ＝(3，0，1)是平面ABB 1的一个法向量．

又＝(0，－6

，－3)是平面AB 1C 1的一个法向量，

且＜，n ＞与二面角B －AB 1－C 1的大小相等．

由cos ＜，n ＞＝＝(0，－6

2，－3)·(3，0，1)

３2

2×２＝－6

6．

故二面角B －AB 1－C 1的余弦值为－

． y z

x A B C

A 1

B 1

C 1 D

23．解：(1) X 的可能取值为－4，0，4，12．

P (X ＝12)＝＝1

24；

P (X ＝4)＝＝624＝1

4；

P (X ＝0)＝＝824＝1

；

该同学得分非负的概率为P (X ＝12)＋P (X ＝4)＋P (X ＝0)＝15

．

(2) P (X ＝－4)＝＝9

．

X 的分布列为:

E (X )＝－4×924

＋4×14

＋12×124

＝0．

X －4 0 4 12

924 13 14 124