三读
“三读”品智慧
——浅谈《草船借箭》的教学设计
内容提要：如果说初读是感知文章的整体脉络，品读就是把握文章的“骨骼”，那么研读就是通过充分展示文章的细节，感其血肉了。本文就通过初读感知，品读领悟，研读品味对诸葛亮“神机妙算”，及智慧进行层层解读并品味鉴赏。
关键词：初读感知品读领悟研读品味神机妙算智慧
有人说《三国演义》是一部关于智慧的书，而《草船借箭》就是智慧中的智慧了，真要品出诸葛亮的智慧，在阅读教学的过程中，老师还真得花一番工夫，引导学生进行品读、感悟和探究。
传统的阅读教学就是老师问，学生答。教师“抽筋剥皮”地找出一些问题，学生按照问题回答，使阅读教学成了“模模糊糊”的一大片。其实，阅读是学生个性化的行为，是学生独立、充分、深入地与文本对话，与作者进行精神交流的过程，也是学生走进文本，走进作者内心世界，并产生自己的读书感受，情感体验的过程。要实现这一对话过程，全在于不同目标，不同层次，不同情味的阅读中，以读贯穿始终，读中感受，读中思索，读中顿悟，并随机以读促说，读使对话过程得以升华，让枯燥的文字在学生心中变成闪烁的智慧。根据这有理念我设计了“三读”品悟诸葛亮的智慧。那就是通过初读、品读
和研读三种不同层次的读，从中感受，思索，领悟诸葛亮的智慧。
一、初读感知智慧
我相信在接触《草船借箭》这个文本前，每个学生心中早已贮藏着或多或少，或清晰或朦胧，或深刻或肤浅的关于诸葛亮的种种感知和理解。因此，在学生初步阅读课文后，让学生说出对诸葛亮的最初的印象。这是诸葛亮在学生心中的“雏形”，随着阅读的逐步深入，这个“雏形”会慢慢丰满、清晰、深刻。怎样引导学生走进文本，感知诸葛亮的智慧呢？我通过让学生提出问题，老师设计富有思考价值的多层次，多角度的问题来导读课文。通过不同方式的读，学生读清了文章的脉络，读出了人物的关系，也读出了诸葛亮的智慧。为了进一步突出诸葛亮的智慧，我让学生设计了一个“智慧排行榜”，在周瑜、曹操、鲁肃、诸葛亮几个人物中谁的智慧排第一，并说出你的理由。学生略经思考就会发现：诸葛亮借鲁肃之力，向曹操借了十万支箭，挫败了周瑜的阴谋。无可厚非，诸葛亮的智慧是排行第一的。在初步朗读中，学生不仅抓住了文章的主线，更深化了诸葛亮的智慧的形象。同时，创设“排行榜”这个情景也激发了学生初读后对探究文本的强烈兴趣。
二、品读领悟智慧
《基础教育课程改革指导纲要》把“以学生发展为本”作为新课程的基本理念提出“改变过于强调接受学习，死记硬背、机械训练的现状，倡导学生主动参与，乐于研究，勤于动手。”在品读课文的过程中，我让学生动眼看，动手划，动脑想，动口说，充分调动学生的
多种感官，全身心投入到学习中。
品读分两部分进行。首先是部分品读。我抓住了最精彩的两处：第一处是周瑜与诸葛亮的对话部分。这一部分最能表现人物的思想性格和内心活动。在分角色读完诸葛亮与周瑜的对话后，我设计了下面一道练习：
周瑜（）问：“……用什么兵器最好？”诸葛亮（）说：“用弓箭最好。”周瑜（）：“对，……希望先生不要推卸。”诸葛亮（）说：“当然照办……”周瑜（）问：“先生预计几天可以造好？”诸葛亮（）说：“只要三天。”周瑜（）说：“军营里可不能开玩笑。”诸葛亮（）说：“从明天起，到第三天，请派五百个军士到将边来搬箭。”
学生按照自己自己理解填空，（大部分填了：明知故问，故意，暗自高兴，已有察觉，迫不及待地，胸有成竹地，掩饰不住内心的狂喜，泰然自若地）这是学生品读领悟出来的结果。所填的这些词语把周瑜和诸葛亮的内心活动表现得淋漓尽致，使人物的形象马上凸显出来。《语文课程标准》强调指出：“阅读是学生的个性化行为，不应以教师的分析来代替学生的阅读实践。”学生的理解或许与教师的理解不是等量齐观的，但却是学生真实的感悟。第二处是“雾中借箭”部分：在品读这部分时，我让学生标出诸葛亮的“神机妙算”的地方，进行小组讨论；再分组画出“雾中借箭”的简笔画，请学生看图复述，通过读，说，画等方式来进一步体会诸葛亮的“神机妙算”。在品读的过程中可谓“八仙过海，各显神通”能读的读，能画的画，能说的
说，会写的写，会演的演，使更多的学生参与到与文本的对话中。
其次是抓住特色语言进行品读。我主要抓住几个句子：如“这时候大雾漫天，江上连面对面都看不清。”一般的学生仅仅注意到这是客观的对天气的描写，感悟到诸葛亮是“知天文”的。但我觉得这句话大有内涵，我让学生设想：这时诸葛亮和鲁肃都坐在船里，他们看到了如此大雾，假如你是鲁肃有什么反应？有何感受？把你的反应，感受读出来。很显然，鲁肃预先并不知道三天后长江有大雾，而此时他们坐的船向曹寨方向行去，鲁肃会感到吃惊、害怕。通过引导学生品读，把鲁肃的感受读出来。而诸葛亮刚相反，三天前，他已经算好了有大雾，此时正中他心意，他的喜悦，他的得意也可以通过这个句子读出来。从这里我们可以引导学生领悟诸葛亮不但“知天文”更“知人心”，鲁肃在不知情的情况下，义无返顾地帮诸葛亮一把。由此可见鲁肃真是一个憨厚老实的人。品读这个句子，也可以让学生想象到曹操看到如此大雾的反应。品读一个重要的句子，从中可以领悟出很多文本没有直接点出来的精粹。
三、研读品味智慧
如果说初读是感知文章的整体脉络，品读就是把握文章的“骨骼”，那么研读就是通过充分展示文章的细节，感其血肉了。研读是指学生在老师的指导下，以研究探索的方式自主地阅读和探究，以获取知识，激发兴趣，陶冶性情，提高阅读能力和鉴赏评价能力，优化语文综合素质的一种阅读教学方式。对文章的亮点或精妙处进行研读，会进一步激发学生学习的需求。苏霍姆林斯基说过：兴趣的源泉
藏在深处，你得去挖掘，才能发现。学生自身强烈的学习需求更能激发学生阅读的兴趣。
研读重点词语，以点盖面。课文第六自然段写鲁肃借船时用了“私自”一词，颇显其本色，从这一词再次看出鲁肃的为人。也从另一个侧面反映出诸葛亮识人之准。而第十自然段写诸葛亮的“笑”就更值得玩味了。我设问如下：诸葛亮这一“笑”，到底笑谁？学生联系上下文，细心品味，不难体会到这一“笑”的神秘：他可能笑鲁肃的忠厚老实，可能笑曹操的生性多疑，可能笑周瑜阴谋的挫败，也可能笑自己即将得逞的妙计……
研读亮点句子，挖掘深意。课文最后写长叹一声：“诸葛亮神机妙算，我真不如他。”我让学生探讨：周瑜比不上诸葛亮的就这点吗？学生通过深思，回想前文，马上会想到：其实，周瑜比不上诸葛亮的又岂止这点呢，从度量、智慧、人品、学识……他都比不上诸葛亮。
通过一层一层的品读探究，诸葛亮的“神机妙算”就如剥茧般被层层解读。不仅如此，诸葛亮的运筹帷幄，诸葛亮的成竹在胸，诸葛亮的雍容大度，诸葛亮的温文尔雅，诸葛亮的神机妙算都在学生的心中深深烙印。
学生对文本的研究和鉴赏，具有很强的个性化特点，每个阅读个体理解文本时的侧重点和聚焦点都不可能相同。正所谓“一百个读者心中，就有一百个林黛玉。”即使同一篇文章，各人的理解也不尽相同，教师善于引导，让学生在不同方式、不同层次的阅读中感知，领悟和品味。
参考文献：《语文课程标准》
《基础教育课程改革指导纲要》
2009-6-29
《数学归纳法及其应用举例》教案
《数学归纳法及其应用举例》教案 中卫市第一中学 俞清华 教学目标： 1．认知目标：了解数学归纳法的原理，掌握用数学归纳法证题的方法。 2．能力目标：培养学生理解分析、归纳推理和独立实践的能力。 3．情感目标：激发学生的求知欲，增强学生的学习热情，培养学生辩证唯物主义的世界观 和勇于探索的科学精神。 教学重点： 了解数学归纳法的原理及掌握用数学归纳法证题的方法。 教学难点： 数学归纳法原理的了解及递推思想在解题中的体现。 教学过程： 一．创设情境，回顾引入 师：本节课我们学习《数学归纳法及其应用举例》（板书）。首先给大家讲一个故事：从前有 一个员外的儿子学写字，当老师教他写数字的时候，告诉他一、二、三的写法时，员外儿子很高兴，告诉老师他会写数字了。过了不久，员外要写请帖宴请亲朋好友到家里做客，员外儿子自告奋勇地要写请帖。结果早晨开始写，一直到了晚间也没有写完，请问同学们，这是为什么呢？ 生：因为有姓“万”的。 师：对！有姓“万”的。员外儿子万万也没有想到“万”不是一万横，而是这么写的“万”。通过这个故事，你对员外儿子有何评价呢？ 生：（学生的评价主要会有两种，一是员外儿子愚蠢，二是员外儿子还是聪明的。） 师：其实员外儿子观察、归纳、猜想的能力还是很不错的，但遗憾的是他猜错了！在数学 上，我们很多时候是通过观察→归纳→猜想，这种思维过程去发现某些结论，它是一种创造性的思维过程。那么，我们在以前的学习过程中，有没有也像员外儿子那样猜想过某些结论呢？ 生：有。例如等差数列通项公式的推导。 师：很好。我们是由等差数列前几项满足的规律：d a a 011+=，d a a +=12，d a a 213+=，d a a 314+=，……归纳出了它的通项公式的。其实我们推导等差数列通项公式的方法和员外儿子猜想数字写法的方法都是归纳法。那么你能说说什么是归纳法，归纳法有什么特点吗？ 生：由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳法。特点：特殊→一般。 师：对。（投影展示有关定义） 像这种由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳法。根据推理过程中考察的 对象是涉及事物的一部分还是全部，分为不完全归纳法和完全归纳法。 完全归纳法是一种在研究了事物的所有（有限种）特殊情况后得出一般结论的推理方法，又 叫做枚举法。那么，用完全归纳法得出的结论可靠吗？ 生：（齐答）可靠。 师：用不完全归纳法得出的结论是不是也是可靠的呢？为什么？
“数学归纳法”中的三个问题
“数学归纳法”中的三个问题 https://www.wendangku.net/doc/066840907.html,/gzsx/gxrz/200910/t20091002_604430.htm 绍兴市稽山中学孔莉群骆永明 参加课题研讨会之前，绍兴的子课题研究成员特别围绕这次会议的主题举行了研讨会，鲁迅中学的老师开设了研讨课“数学归纳法”。在衢州的会议中，笔者不但听到了四堂精彩的研究课，而且有幸聆听到许多专家的点评，收获很大。在听课和讨论的过 程中，想的最多的是以下三个问题： 1．数学归纳法到底是归纳法，还是演绎法？ 讨论的过程中，好几个老师提到这个问题。甚至有老师肯定的说数学归纳法是演绎法。这就奇怪了，如果是演绎法，为什么取个名字叫某某归纳法？数学当中很多名称都可以顾名思义看到本质，比如“反函数”——反过来也是函数；“零点”——方程的根，就是数轴上的点。我想“数学归纳法”也不会例外。 首先，从数学归纳法的本质讲，数学归纳法是自然数理论中的皮亚诺公理即归纳公理的直接应用，既然是公理，数学归纳法的正确性就无需证明，只需要理解与接受。 众所周知， p(n)表示与正整数n有关的待证命题，证明主要有两个步骤： （1）证明p(1)为真；（2）证明若p(k)为真，则p(k+1)为真； 有了这两步的保证，就可实现以下的无穷动态的递推过程： P(1)真? P(2)真? P(3)真?…? P(k)真? P(k+1)真?… 因此得到对于任何正整数n，命题p(n)都为真。 纵观全过程，这是一个“个别——特殊——一般”的推理形式，完全合乎归纳推理程序， 从这个意义上讲，它是归纳的。 当然，在这个归纳的过程中，是由无数个“三段论”——“演绎论证”构成的，大前提是“若命题P(k)真，则命题P(k+ 1)真”；小前提是P(1)真，结论是P(2)真；大前提是“若命题P(k)真，则命题P(k+ 1)真”；小前提是P(2)真，结论是P3)真；…… 命题“若命题P(k)真，则命题P(k+ 1)真”的证明更是需要用演绎法来证明。 然而在证明过程的某个局部有演绎，并不妨碍我们说这个证明过程从整体上讲是归纳。举个例子，写记叙文，有“顺叙”和“倒叙”。把后发生的事情写在前面，把先
数学归纳法及其应用举例1
数学归纳法及其应用举例 【本章学习目标】 人们在研究数量的变化时，常常会遇到有确定变化趋势的无限变化过程，这种无限变化过程就是极限的概念与思想，极限是人们研究许多问题的工具。以刘微的“割圆术”为例，圆内接正n 边形的边数无限增加时，正n 边形的周长P n 无限趋近于圆周长2πR 。这里的是个有限多项的数列，人们可以从这个有限多项的数列来探索无穷数列的变化趋势。不论n 取多么大的整数，n P 都是相应的圆周长的近似值，但是我们可以从这些近似值的精确度的无限提高中（限n 无限增大）找出圆周长的精确值2πR 。随着n 的增加，n P 在变化，这可以认为是量变（即只要n 是有限数，n P 都是圆内接正多边形的周长）；但是我们可以从这些量变中来发现圆周长。一旦得出2πR ，就是质的变化（即不再是正多边形的周长）。这种从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的思想就是极限的思想。 本章重点内容是： （1）数学归纳法及其应用。 （2）研究性课题：杨辉三角。 （3）数列的极限。 （4）函数的极限。 （5）极限的四则运算。 （6）函数的连续性。 本章难点内容是： （1）数学归纳法的原理及其应用。 （2）极限的概念。 【基础知识导引】 1．了解数学推理中的常用方法——数学归纳法。 2．理解数学归纳法的科学性及用数学归纳法来证明与正整数有关命题的步骤。 3．掌握数学归纳法的一些简单应用。 【教材内容全解】 1．归纳法
前面我们在学习等差数列时，通过等差数列的前几项满足的关系式归纳出等差数列的通项公式。再如根据三角形、四边形、五边形、六边形等的内角和归纳出凸n 边形内角和公式。像这样由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，叫做归纳法。 对于归纳法我们可以从以下两个方面来理解。 （1）归纳法可以帮助我们从具体事列中发现事物的一般规律。 （2）根据考察的对象是全部还是部分，归纳法又分完全归纳法与不完全归纳法。显然等差数列通项公式，凸n 边形内角和公式都是通过不完全归纳法得出的，这些结论是正确的。但并不是所有由不完全归纳法得出的结论都是正确的。这是因为不完全归纳只考察了部分情况，结论不具有普遍性。例如课本62P 数列通项公式22)55(+-=n n a n 就是一个典型。 2．数学归纳法 在生活与生产实践中，像等差数列通项公式这样与正整数有关的命题很多。由于正整数有无限多个，因而不可能对所有正整数一一加以验证。如果只对部分正整数加以验证就得出结论，所得结论又不一定正确，要是找到把所得结论递推下去的根据，就可以把结论推广到所有正整数。这就是数学归纳法的基本思想：即先验证使结论 有意义的最小正整数0n ，如果当0n n =时，命题成立，再假设当 ),(*0N k n k k n ∈≥=时，命题成立（这时命是否成立不是确定的），根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于0n 的正整数命题都成立。 由此可知，用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，要分两个步骤，且两个步骤缺一不可。 第一步递推的基础，缺少第一步，递推就缺乏正确的基础，一方面，第一步再简单，也不能省略。另一方面，第一步只要考察使结论成立的最小正整数就足够了，一般没有必要再多考察几个正整数。 第二步是递推的根据。仅有这一步而没有第一步，就失去了递推的基础。例如，假设n=k 时，等式 成立，就是。那么， 。这就是说，如果n=k 时等式成立， 那么n=k+1时等式也成立。但仅根据这一步不能得出等式对于任何n ∈N*都成立。因为当n=1时，上式左边=2，右边31112=++=，左边≠右边。这说明了缺少第一步这个基础，第二步的递推也就没有意义了。只有把第一步的结论与第二步的结论结合在一起，才能得出普遍性结论。因此，完成一、二两点后，还要做一个小结。 在证明传递性时，应注意： （1）证n=k+1成立时，必须用n=k 成立的假设，否则就不是数学归纳法。应当指出，n=k 成立是假设的，这一步是证明传递性，正确性由第一步可以保证，有了递推这一步，联系第一步的结论（命题对0n n =成立），就可以知道命题对10+n 也成立，进而再由第二步可知1)1(0++=n n ，即20+=n n 也成立。这样递推下去，就可以知道命题对所有不小于0n 的正整数都成立。 （2）证n=k+1时，可先列出n=k+1成立的数学式子，作为证明的目标。可以作为条件加以运用的有n=k 成立的假设，已知的定义、公式、定理等，不能直接将n=k+1代入命题。 3．这一节课本中共安排了五个例题，例1～例3是用数学归纳法证明等式。其步骤是先证明当0n n =（这里10=n ）时等式成立。再假设当n=k 时等式成立，利用这一条件及已知的定义、公式、定理证明当n=k+1时等式也成立。注意n=k+1时的等式是待证明的，不能不利用假设。例如：求证：。
数学归纳法
骨牌一个接一个倒下，就如同一个值到下一个值的过程。 1.证明当n = 1 时命题成立。 2.证明如果在n = m时命题成立，那么可以推导出在n = m+1 时命题也成立。 （m代表任意自然数） 这种方法的原理在于：首先证明在某个起点值时命题成立，然后证明从一个值到下一个值的过程有效。当这两点都已经证明，那么任意值都可以通过反复使用这个方法推导出来。把这个方法想成多米诺效应也许更容易理解一些。例如：你有一列很长的直立着的多米诺骨牌，如果你可以： 1.证明第一张骨牌会倒。 2.证明只要任意一张骨牌倒了，那么与其相邻的下一张骨牌也会倒。 那么便可以下结论：所有的骨牌都会倒。 [编辑]例子 假设我们要证明下面这个公式（命题）：
其中n为任意自然数。这是用于计算前n个自然数的和的简单公式。证明这个公式成立的步骤如下。 [编辑]证明 [编辑]第一步 第一步是验证这个公式在n = 1时成立。我们有左边 = 1，而右边 = 1(1 + 1) / 2 = 1，所以这个公式在n = 1时成立。第一步完成。 [编辑]第二步 第二步我们需要证明如果假设n = m时公式成立，那么可以推导出n = m+1 时公式也成立。证明步骤如下。 我们先假设n = m时公式成立。即 （等式 1） 然后在等式等号两边分别加上m + 1 得到 （等式 2） 这就是n = m+1 时的等式。我们现在需要根据等式 1 证明等式 2 成立。通过因式分解合并，等式 2 的右手边 也就是说
这样便证明了从 P(m) 成立可以推导出 P(m+1) 也成立。证明至此结束，结论：对于任意自然数n，P(n) 均成立。 [编辑]解释 在这个证明中，归纳推理的过程如下： 1.首先证明 P(1) 成立，即公式在n = 1 时成立。 2.然后证明从 P(m) 成立可以推导出 P(m+1) 也成立。（这里实际应用的是演绎 推理法） 3.根据上两条从 P(1) 成立可以推导出 P(1+1)，也就是 P(2) 成立。 4.继续推导，可以知道 P(3)成立。 5.从 P(3) 成立可以推导出 P(4) 也成立。 6.不断重复推导下一命题成立的步骤。（这就是所谓“归纳”推理的地方） 7.我们便可以下结论：对于任意自然数n，P(n) 成立。 [编辑]数学归纳法的变体 在应用，数学归纳法常常需要采取一些变化来适应实际的需求。下面介绍一些常见的数学归纳法变体。 [编辑]从 0 以外的数字开始 如果我们想证明的命题并不是针对全部自然数，而只是针对所有大于等于某个数字b 的自然数，那么证明的步骤需要做如下修改： 1.第一步，证明当n = b时命题成立。 2.第二步，证明如果n = m (m≥b) 成立，那么可以推导出n = m+1 也成立。用这个方法可以证明诸如“当n≥ 3 时，n2 > 2n”这一类命题。 [编辑]只针对偶数或只针对奇数 如果我们想证明的命题并不是针对全部自然数，而只是针对所有奇数或偶数，那么证明的步骤需要做如下修改： 奇数方面： 1.第一步，证明当n = 1时命题成立。 2.第二步，证明如果n = m成立，那么可以推导出n = m+2 也成立。 偶数方面：
数学归纳法教学设计电子教案
数学归纳法教学设计
授课日期： 2016 年 4 月 8 日授课班级：高二年级2 班
【教学难点】 （1）对数学归纳法原理的理解，即理解数学归纳法证题的严密性与有效性； （2）假设的利用，即如何利用假设证明当n=k+1时结论正确. 教法、学法分析 教法： 学习数学归纳法的过程紧扣多米诺骨牌是怎样倒下的，通过对科技节活动中多米诺骨牌倒下的分析类比得出数学归纳法的应用步骤，尤其是在引导学生理解数学归纳法由n=k得出n=k+1时必要性和有效性中，类比“后一块骨牌必须是被前一块骨牌砸倒的”起到重要作用。在教师的组织启发下，师生之间、学生之间共同探讨，平等交流;既强调独立思考，又提倡团结合作；既重视教师的组织引导，又强调学生的主体性、主动性、平等性、开放性、合作性。这节课主要选择以合作探究式教学法组织教学． 学法： 本课以问题为中心，以解决问题为主线展开，学生主要采用“探究式学习法”进行学习.本课学生的学习主要采用下面的模式进行： 教学设计中注意激发起学生强烈的求知欲望，使得他们能积极主动地观察、分析、归纳，以形成认识，参与到课堂活动中，充分发挥他们作为认知主体的作用． 教学资源 导学案、PPT 教学过程 教学环 节 教师活动学生活动设计意图 课前复习准备 1、布置导学案内容; 2、批改纠正学生出现的错误; 3、及时了解学生学习情. 完成学案内容 1、归纳推理： 2、回忆等差数列,等比数 列的通项公式；思考等 差、等比数列通项公式的 得出过程，你能证明该公 式吗？ 3、已知数列{}n a中， 1 1 = a, ) (* + ∈ + =N n a a a n n n2 2 1 ， 试猜想这个数列的通项公 式并证明你的猜想. 复习公式及 其得出过 程，为本节 学习做好铺 垫. 使学生发现 不能解决的 问题，激发 学生学习新 知的愿望. 创设问题情景，引出新课问题情景：引导学生共同回顾学案 第3小题数列{}n a通项公式的得出过 程，提问：你的猜测正确吗？如何证 明？ 学生回忆第3小题数列 {} n a通项公式的得出过 程，并思考老师的问题. 发现问题， 突出矛盾． 合作探索解决问题的方法1. 多媒体演示多米诺骨牌游戏. 引导学生共同探讨多米诺骨牌全 部依次倒下的条件： （1）第一块要倒下; 学生类比多米诺骨牌依顺 序倒下的原理，探究出证 明有关正整数命题的方 播放视频活 跃课堂氛 围，激发学 生的兴趣. 提 出 问 分 析 问 猜想与 置疑 论证 观察 情景 应用
关于数学归纳法
一、关于数学归纳法 1．数学归纳法到底是归纳法，还是演绎法？ 如果是演绎法，为什么取个名字叫某某归纳法？数学当中很多名称都可以顾名思义看到本质，比如“反函数”——反过来也是函数；“零点”——方程的根，就是数轴上的点。我想“数学归纳法”也不会例外。 首先，从数学归纳法的本质讲，数学归纳法是自然数理论中的皮亚诺公理即归纳公理的直接应用，既然是公理，数学归纳法的正确性就无需证明，只需要理解与接受。 众所周知， p(n)表示与正整数n有关的待证命题，证明主要有两个步骤： （1）证明p(1)为真； （2）证明若p(k)为真，则p(k+1)为真； 有了这两步的保证，就可实现以下的无穷动态的递推过程： P(1)真P(2)真 P(3)真… P(k)真 P(k+1)真… 因此得到对于任何正整数n，命题p(n)都为真。 纵观全过程，这是一个“个别——特殊——一般”的推理形式，完全合乎归纳推理程序，从这个意义上讲，它是归纳的。 当然，在这个归纳的过程中，是由无数个“三段论”——“演绎论证”构成的，大前提是“若命题P(k)真，则命题P(k+ 1)真”；小前提是P(1)真，结论是P(2)真；大前提是“若命题P(k)真，则命题P(k+ 1)真”；小前提是P(2)真，结论是P（3)真；…… 命题“若命题P(k)真，则命题P(k+ 1)真”的证明更是需要用演绎法来证明。在证明过程的某个局部有演绎，并不妨碍我们说这个证明过程从整体上讲是归纳。新教材特别重视思想方法的渗透，在学习数学归纳法方法的同时渗透和体验“归纳-猜想-证明”的思想方法。 2．学习数学归纳法的必要性在哪里？ 学生知道了不完全归纳法属于合情推理，它能帮助我们研究数学问题，进行数学猜想、发现数学规律、找到数学结论，并为证（解）题提供思路和方向．但由于由有限多个特殊事例得出的结论不一定正确，这种推理方法不能作为一种论证方法．上课的时候一般我们都会举个例子来说明不完全归纳法是不一定准确的，所以有必要学习数学归纳法。 数学归纳法作为一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方法．它能促进学生从有限思维发展到无限思维。如果我们可以通过一一验证的方法来证明，数学归纳法是不是就变成可有可无了？关键是让学生体验无法一一验证的痛苦。有了体验之后，学生必然会思索有没有一种对付这类涉及无穷性的命题，既不需做完全的考察而又是十分可靠的办
数学归纳法优秀教学设计
数学归纳法 【教学目标】 1．进一步理解“数学归纳法”的含意和本质；掌握数学归纳法证题的两个步骤一个结论；会用“数学归纳法”证明简单的恒等式；理解为证n=k+1成立，必须用n=k成立的假设；掌握为证n=k+1成立的常见变形技巧。 2．掌握归纳与推理的方法；培养大胆猜想，小心求证的辩证思维素质；培养学生对于数学内在美的感悟能力。 【教学重点】 使学生理解数学归纳法的实质，掌握数学归纳法的证题步骤 【教学难点】 如何理解数学归纳法证题的有效性；递推步骤中如何利用归纳假设 【授课类型】 新授课 【课时安排】 1课时 【教学准备】 多媒体、实物投影仪 【教学过程】 一、复习引入： 1．归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法。特点：特殊→一般 2．不完全归纳法：根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫做不完全归纳法。 3．完全归纳法：把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法。 完全归纳法是一种在研究了事物的所有(有限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法。与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的。通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法。 4．数学归纳法：对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性： )时命题成立，证明当n=k+1先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(k N*，k≥n 时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法
5． 数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数n 0，如果当n=n 0时，命题成立，再假设当n=k(k ≥n0，k ∈N*)时，命题成立。(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n 0的正整数n 0+1，n 0+2，…，命题都成立。 6．用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤： （1）证明：当n 取第一个值n 0结论正确； （2）假设当n=k(k ∈N*，且k ≥n 0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确。 由（1），（2）可知，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确 二、讲解范例： 例1用数学归纳法证明 6 )12)(1(3212222++=++++n n n n 例2用数学归纳法证明 2)1()13(1037241+=+++?+?+?n n n n 三、课堂练习： 1．用数学归纳法证明：().125312n n =-++++ 证明：（1）当1=n ，左边=1，右边=1，等式成立。 （2）假设当k n =时，等式成立，就是(),125312k k =-++++ 那么()()[]11212531-++-++++k k ()[]1122-++=k k 122++=k k ().12+=k 这就是说，当1+=k n 时等式也成立。 根据（1）和（2），可知等式对任何的*N n ∈都成立。 2．用数学归纳法证明()()(),1121531n n n n -=--+-+- 当1=n 时，左边应为_____________。 3．判断下列推证是否正确，并指出原因。 用数学归纳法证明：126422++=++++n n n 证明：假设k n =时，等式成立 就是 126422++=++++k k k 成立 那么()122642++++++k k ()1212++++=k k k =()()1112++++k k 这就是说当1+=k n 时等式成立， 所以*N n ∈时等式成立。
数学归纳法的七种变式及其应用..
数学归纳法的七种变式及其应用 摘要：数学归纳法是解决与自然有关命题的一种行之有效的方法，又是数学证明 的又一种常用形式.数学归纳法不仅能够证明自然数命题，在实数中也广泛应用，还能对一些数学定理进行证明.在中学时学习了第一数学归纳法和第二数学归纳法，因而对一些命题进行了简单证明.在原有的基础上，给出了数学归纳法的另外五种变式，其中涉及到反向归纳法、二重归纳法、螺旋式归纳法、跳跃归纳法和关于实数的连续归纳法，并简单的举例说明了每种变式在数学各分支的应用.这就突破了数学归纳法仅在自然数中的应用，为今后的数学命题证明提供了一种行之有效的证明方法——数学归纳法. 关键词：数学归纳法；七种变式；应用 1引言 归纳法是由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，一般性结论的正确性依赖于各个个别论断的正确性。数学归纳法的本质[]4 是证明一个命题对于所有的自然数都是成立 的.由于它在本质上是与数的概念联系在一起，所以数学归纳法可以运用到数学的各个分支，例如：证明等式、不等式，三角函数，数的整除，在几何中的应用等. 数学归纳法的基本思想是用于证明与自然数有关的命题的正确性的证明方法，如第一数学归纳法，操作步骤简单明了.在第一数学归纳法的基础上，又衍生出了第二数学归纳法，反向归纳法，二重归纳法等证明方法.从而可以解决更多的数学命题. 2 数学归纳法的变式及应用 2.1 第一数学归纳法 设()p n 是一个含有正整数n 的命题,如果满足： 1） ()1p 成立（即当1n =时命题成立）； 2）只要假设()p k 成立（归纳假设），由此就可证得()1p k +也成立（k 是自然数），就能保证对于任意的自然数n ，命题()p n 都成立. 通常所讨论的命题不都全是与全体自然数有关，而是从某个自然数a 开始的，因此，将第一类数学归纳法修改为： 设()p n 是一个含有正整数n 的命题(n a ≥，*a N ∈), 如果 1）当n =a 时,()p a 成立；
数学归纳法(有答案)
数学归纳法 2015高考会这样考 1.考查数学归纳法的原理和证题步骤； 2.用数学归纳法证明与等式、不等式或数列有关的命题，考查分析问题、解决问题的能力． 复习备考要这样做
1.理解数学归纳法的归纳递推思想及其在证题中的应用； 2.规范书写数学归纳法的证题步骤． 一、知识梳理 数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0 (n0∈N*)时命题成立； (2)(归纳递推)假设n＝k (k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫作数学归纳法． [难点正本疑点清源] 1．数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据． 2．在用数学归纳法证明时，第(1)步验算n＝n0的n0不一定为1，而是根据题目要求，选择合适的起始值．第(2)步，证明n＝k＋1时命题也成立的过程，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法． 小试牛刀 1．凸k边形内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和为f(k＋1)＝f(k)＋________. 答案π 解析易得f(k＋1)＝f(k)＋π. 2．用数学归纳法证明：“1＋1 2 ＋ 1 3 ＋…＋ 1 2n－1
人教版高中数学《数学归纳法》教学案例
《数学归纳法》教学案例（第一课时） 一、设计思想： 根据新课程标准的基本理念-----倡导积极主动、勇于探索的学习方式，设置恰当的教学情景，并通过亲自动手做实验（多米诺骨牌实验），感受事实，发现本质，提高数学的学习兴趣，体会数学推理的严谨性，发展学生的数学思维能力。 二、教材分析： 本内容在选修2-2模块中的“推理与证明”这一章中，它的要求是：了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。另外,数学归纳法内容抽象,思想新颖,通过对该部分的学习,对培养学生的逻辑思维能力与创新能力,全面提高学生的数学素质有十分重要的意义. 三、学情分析： 学生在此之前，已了解合情推理和演绎推理，并能用归纳和类比等进行简单的推理，他们虽然知道从特殊的几个事例推出一般结论不一定合理，但对如何为什么不一定明白。再就是数学归纳法原理的理解上有一定困难，这就要教师创设教学情景，让学生经历数学发现、实验、观察，共同交流合作，寻求解决问题的办法。 四、教学目标： （1）知识与技能：了解“归纳法”和“数学归纳法”的原理；体会用数学归纳法证明的合理性；学会用“数学归纳法”证明的“两个步骤一个结论”的书写格式；初步掌握用“数学归纳法”证明简单的恒等式的方法。 （2）过程与方法：通过列举具体事例，亲自操作并仔细观察多米诺骨牌实验，发现数学归纳法的基本原理，将感性认识上升到理性认识，类比归纳出“数学归纳法”的基本步骤。
（3）情感、态度与价值观：培养大胆猜想，严格论证的辩证思维素质，感受数学推理的严谨性，培养学生对于数学内在美的感悟能力，提高学生学习数学的兴趣。 五、教学重点与难点： （1）重点：对“数学归纳法”的原理的理解，明白“两步一结论的重要性”，特别是第一第二步的辨证关系的理解。 （2）难点：如何理解用“数学归纳法”证题的可靠性和有效性。 六、教学策略与手段： 数学实验法，引导发现法、感性体验法，学生合作交流、自主探索，再配合教师适时的引导、点拨、启发，从而使学生获得知识和能力上的发展。 七、课前准备： 学生看书，复习回忆等差数列和等比数列通项公式的推导过程；上网查找多米诺骨牌游戏的有关资料，并拷入优盘有待上课时老师选用。 教师准备教具：制作幻灯片，多米诺骨牌尽可能多一些，还有各种颜色的乒乓球若干，一个有盖纸盒。 八、教学过程设计： 教师提出问题： 大家还记得以前学等差数列的时候它的通项公式=n a ()d n a 11-+是怎样得到的吗? 我现展示给大家看： d a a 011+= d a d a a 1112+=+= d a d a a 2123+=+= d a d a a 3134+=+= …… 由此可知： ()d n a a n 11-+=（)* ∈N n （这是书上的写法）
高中数学第四全国青年教师优秀课观摩大赛 《数学归纳法及其应用举例》教案
《数学归纳法及其应用举例》教案 教学目标： 1．认知目标：了解数学归纳法的原理，掌握用数学归纳法证题的方法。 2．能力目标：培养学生理解分析、归纳推理和独立实践的能力。 3．情感目标：激发学生的求知欲，增强学生的学习热情，培养学生辩证唯物主义的世界观和勇于探索的科学精神。 教学重点： 了解数学归纳法的原理及掌握用数学归纳法证题的方法。 教学难点： 数学归纳法原理的了解及递推思想在解题中的体现。 教学过程： 一．创设情境，回顾引入 师：本节课我们学习《数学归纳法及其应用举例》（板书）。首先给大家讲一个故事：从前有一个员外的儿子学写字，当老师教他写数字的时候，告诉他一、二、三的写法时，员外儿子很高兴，告诉老师他会写数字了。过了不久，员外要写请帖宴请亲朋好友到家里做客，员外儿子自告奋勇地要写请帖。结果早晨开始写，一直到了晚间也没有写完，请问同学们，这是为什么呢？ 生：因为有姓“万”的。 师：对！有姓“万”的。员外儿子万万也没有想到“万”不是一万横，而是这么写的“万”。通过这个故事，你对员外儿子有何评价呢？ 生：（学生的评价主要会有两种，一是员外儿子愚蠢，二是员外儿子还是聪明的。） 师：其实员外儿子观察、归纳、猜想的能力还是很不错的，但遗憾的是他猜错了！在数学 上，我们很多时候是通过观察→归纳→猜想，这种思维过程去发现某些结论，它是一种创造性的思维过程。那么，我们在以前的学习过程中，有没有也像员外儿子那样猜想过某些结论呢？ 生：有。例如等差数列通项公式的推导。 师：很好。我们是由等差数列前几项满足的规律：d a a 011+=，d a a +=12，d a a 213+=，d a a 314+=，……归纳出了它的通项公式的。其实我们推导等差数列通项公式的方法和员外儿子猜想数字写法的方法都是归纳法。那么你能说说什么是归纳法，归纳法有什么特点吗？ 生：由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳法。特点：特殊→一般。 师：对。（投影展示有关定义） 像这种由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳法。根据推理过程中考察的对象是涉及事物的一部分还是全部，分为不完全归纳法和完全归纳法。 完全归纳法是一种在研究了事物的所有（有限种）特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法。那么，用完全归纳法得出的结论可靠吗？ 生：（齐答）可靠。 师：用不完全归纳法得出的结论是不是也是可靠的呢？为什么？ 生：不可靠。这是因为只考察了部分情况，结论不一定具有普遍性。
数学归纳法及应用举例
《数学归纳法及应用举例》第一课说课方案 重庆市第二十九中学校邹安宇 一、说教材 （一）教材分析 本课是数学归纳法的第一节课。前面学生已经通过数列一章内容和其它相关内容的学习，初步掌握了由有限多个特殊事例得出一般结论的推理方法，即不完全归纳法。不完全归纳法它是研究数学问题，猜想或发现数学规律的重要手段。但是，由有限多个特殊事例得出的结论不一定正确，这种推理方法不能作为一种论证方法。因此，在不完全归纳法的基础上，必须进一步学习严谨的科学的论证方法─数学归纳法。数学归纳法安排在数列之后极限之前，是促进学生从有限思维发展到无限思维的一个重要环节。并且，本节内容是培养学生严密的推理能力、训练学生的抽象思维能力、体验数学内在美的好素材。 （二）教学目标 学生通过数列等相关知识的学习。已基本掌握了不完全归纳法，已经有一定的观察、归纳、猜想能力。通过近几年教学方法的改革和素质教育的实施，学生已基本习惯于对已给问题的主动探究，但主动提出问题和置疑的习惯还未形成。能主动提出问题和敢于置疑是学生具有独立人格和创新能力的重要标志。如何让学生主动置疑和提出问题？本课也想在这方面作一些尝试。 根据教学内容特点和教学大纲、根据学生以上实际、根据学生终身发展需要而制订以下教学目标。 1.知识目标 （1）了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确。 （2）初步理解数学归纳法原理。 （3）理解和记住用数学归纳法证明数学命题的两个步骤。 （4）初步会用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的恒等式。 2.能力目标 （1）通过对数学归纳法的学习、应用，培养学生观察、归纳、猜想、分析能力和严密的逻辑推理能力。 （2）让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生的创新能力。 3.情感目标 （1）通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的、实事求是的科学态度和不怕困难，勇于探索的精神。 （2）让学生通过对数学归纳法原理的理解，感受数学内在美的振憾力，从而使学生喜欢数学。 （3）学生通过置疑与探究，培养学生独立的人格与敢于创新精神。 （三）教学重难点 根据教学大纲要求、本节课内容特点和学生现有知识水平，确定如下教学重难点： 1.重点 （1）初步理解数学归纳法的原理。 （2）明确用数学归纳法证明命题的两个步骤。 （3）初步会用数学归纳法证明简单的与正整数数学恒等式。