ELM-Chinese-Brief(极限学习机)

求极限的方法总结

学号：0 学年论文 求极限的方法总结 Method of Limit 学院理学院专业班级 学生指导教师（职称） 完成时间年月日至年月日

摘要 极限的概念是高等数学中最重要、最基本的概念之一。许多重要的概念如连续、导数、定积分、无穷级数的和及广义积分等都是用极限来定义的。因此掌握好求极限的方法对学好高等数学是十分重要的。但求极限的方法因题而异，变化多端，有时甚至感到变幻莫测无从下手，通过通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。本文主要对了数学分析中求极限的方法进行一定的总结，以供参考。 关键词：极限洛必达法则泰勒展开式定积分无穷小量微分中值定理

Abstract The concept of limit is the most important mathematics,one of the most basic important concepts such as continuity,derivative,definite integral,infinite series and generalized integrals and are defined by the mater the methods the Limit learn mathematics integrals and are defined by the limit varies by title,varied,anf sometimes even impossible to start very unpredictable,and summarized through the adoption,we set out the requirements of some commonly used this paper,the mathematical analysis of the method of seeking a certain limit a summary for reference. Keyword:Limit Hospital's Rule Taylor expansion Definite integral Infinitesimal Mean Value Theorem

《数学分析》中关于极限概念教学的一点探讨

《数学分析》中关于极限概念教学的一点探讨 作者：张彩霞 来源：《科技创新导报》2011年第12期 摘要:在初学数学分析时,共有二十八种极限概念,这些极限概念是数学分析的基础,学生对各种极限概念的理解程度直接影响到对这门课程学习的成败。教师在教学过程中要引导学生将各种极限概念的定性描述准确地转化为定量描述,并能深刻理解,逐渐灵活运用。 关键词:数学分析极限概念教学 中图分类号:G6 文献标识码:A 文章编号:1674-098X(2011)04(c)-0147-02 《数学分析》课程是大学数学系一门重要的基础课,对这门课程学习的好坏,直接影响到学生思维能力的形成及对后续课程的接受能力。学生从高中刚入大学,学习内容从原来的具体到抽象、从离散到连续、从有限到无限,使学生感到《数学分析》很难,特别是刚开始接触各种极限概念的定量描述,理解起来很吃力.而数学分析这门课程就其自身而言,有着理论上的严密性和前后的连贯性,极限概念是数学分析的基石,学生对各种极限概念的理解程度直接影响到对这门课程学习的成败。本人在教学过程中,深刻体会到关于极限概念教学的重要性。 在初学数学分析时,就有二十八种极限概念(包括正常极限和非正常极限),教师在教学过程中的任务是引导学生将这二十八种极限概念从定性描述准确地转化为定量描述。并使学生对各种极限概念的定量描述能深刻理解,逐渐灵活运用。 1 正常极限概念 1.1 数列极限概念 数列极限的概念是最开始要学习的极限概念,如果学生对这个概念能准确理解的话,对于理解接下来要学习的函数极限概念就容易多了,所以对数列极限概念的教学至关重要。 首先观察数列:: 特征:当无限增大时,无限接近于 此时称该数列收敛于0,或称0为该数列的极限。 “无限增大”和“无限接近”是对数列变化性态的一种形象描述,是定性的说明,而不是定量的描述,这在数学上无法进行严谨地论证。所以我们要定量地描述该数列的特征。

数学分析中求极限的方法总结

数学分析中求极限的方法总结 1 利用极限的四则运算法则和简单技巧 极限的四则运算法则叙述如下： 定理１.１: (1 (2（３)若B ≠ （(5）[] 0lim ()lim () n n n x x x x f x f x →→??==A ???? （n 为自然数) i 由上述的性质和公式我们可以看书函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商. 例1。 求225 lim 3 x x x →+-的极限 解:由定理中的第三式可以知道 ()()22222 lim 55lim 3lim 3x x x x x x x →→→++=-- 22 2 2 2 lim lim5 lim lim3x x x x x x →→→→+= + 2259 23+ ==-- 例２． 求3 x →

33 22 x x →→ = 3 x→ = 1 4 = 式子经过化简后就能得到一个只有分母含有未知数的分式，直接求极限即可例３。已知() 111 1223 1 n x n n =+++ ??-?, 解：观察 11 =1 122 - ? 111 = 2323 - ? 因此得到() 111 12231 n x n n =+++ ??-? 1111111 1 22 11 n n n =-+-+-+- -- 所以 1 lim lim11 n n n x n →∞→∞ ?? =-= ? ?? 2 利用导数的定义求极限 导数的定义：函数f(x) 如果 ()( ) 00 lim lim x x f x x f x y x x ?→?→ +?- ? = ?? 存在， 则此极限值就称函数f(x) () 'f x。 即

数列极限四则运算法则的证明

数列极限四则运算法则的证明 设limAn=A,limBn=B,则有 法则1:lim(A n+B n)=A+B 法则2:lim(An-Bn)=A-B 法则3:lim(An ? Bn)=AB 法则4:lim(An/Bn)=A/B. 法则5:lim(An的k次方)=A的k次方(k是正整数) (n T+R的符号就先省略了，反正都知道怎么回事.) 首先必须知道极限的定义： 如果数列｛Xn｝和常数A有以下关系：对于？￡> 0(不论它多么小)，总存在正数N,使得对于满足n > N的一切Xn,不等式|Xn-A| v &都成立， 则称常数A是数列｛Xn｝的极限，记作limXn=A. 根据这个定义，首先容易证明：引理1: limC=C.(即常数列的极限等于其本身) 法则1的证明： ?/ limAn=A,二对任意正数 &存在正整数N?,使n > N?时恒有|An-A| v&①(极限定义)同理对同一正数&存在正整数N?,使n>N?时恒有|Bn-B| v 设N=max｛N ?,N?｝，由上可知当n > N时①②两式全都成立. 此时|(An+Bn)-(A+B)|=|An-A)+(Bn-B)| < |An-A|+|Bn-B| v & + & =2 &. 由于&是任意正数，所以2&也是任意正数. 即:对任意正数2 &存在正整数N,使n > N时恒有|(An+Bn)-(A+B)| v 2 &. 由极限定义可知，lim(An+Bn)=A+B. 即:对任意正数C&存在正整数N,使n > N时恒有|C ? An-CA|v C&. 由极限定义可知，lim(C ? An)=C?A若C=0的话更好证) 法则2的证明： lim(A n-B n) =limA n+lim(-B n)(法则1) =limAn+(-1)limBn (引理2) =A-B. 为了证明法则3,再证明1个引理. 引理3:若limAn=0,limBn=0,则lim(An ? Bn)=0. 证明：?/ limAn=0,二对任意正数 &存在正整数N?,使n>N?时恒有|An-0| v &③(极限定义)同理对同一

高等数学中极限问题的解法详析

数学分析中极限的求法 摘要:本文主要归纳了数学分析中求极限的十四种方法, 1：利用两个准则 求极限, 2:利用极限的四则运算性质求极限, 3:利用两个重要极限公式求极限, 4：利用单侧极限求极限，5：利用函数的连续性求极限, 6：利用无穷小量的性质求极限, 7：利用等价无穷小量代换求极限, 8：利用导数的定义求极限, 9：利用中值定理求极限, 10：利用洛必达法则求极限, 11：利用定积分求和式的极限,12：利用级数收敛的必要条件求极限, 13：利用泰勒展开式求极限, 14：利用换元法求极限。 关键词: 夹逼准则, 单调有界准则, 无穷小量的性质, 洛必达法则, 中 值定理, 定积分, 泰勒展开式, 级数收敛的必要条件. 极限是数学分析的基础，数学分析中的基本概念来表述，都可以用极限来描述。如函数y ＝f(x)在0x x =处导数的定义，定积分的定义，偏导数的定义，二重积分，三重积分的定义，无穷级数收敛的定义，都是用极限来定义的。极限是研究数学分析的基本公具。极限是贯穿数学分析的一条主线。学好极限是从以下两方面着手。1：是考察所给函数是否存在极限。2：若函数否存在极限，则考虑如何计算此极限。本文主要是对第二个问题即在极限存在的条件下，如何去求极限进行综述。 1：利用两个准则求极限。 (1)夹逼准则：若一正整数 N,当n>N 时，有n x ≤n y ≤n z 且lim lim ,n n x x x z a →∞→∞==则 有 lim n x y a →∞ = . 利用夹逼准则求极限关键在于从n x 的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列{ } n y 和 { } n z ，使得n n n y x z ≤≤。 例[1] 222111 ....... 1 2 n x n n n n = + ++++ 求n x 的极限 解：因为n x 单调递减，所以存在最大项和最小项

1.6复数的极限及连续性

1.6复数的极限及连续性 一.函数的极限 定义：若存在数A ，0) 0,,δρεδ ε<≤?>?（（）当00z z δ<-<时，有()f z A ε-<，则称A 为()f z 为0z z →时的极限，记作0 lim ()z z f z A →=或当0z z →时，()f z A →。 通俗定义：设函数0(),(,)w f z z U z ρ=∈ ，如果)()(lim 00 z f z f z z =→成立，则称) (z f 在0z 处连续；如果)(z f 在E 中每一点连续，则称)(z f 在E 上连续。 几何意义: 当变点z 一旦进入0z 的充分小去心邻域时,它的象点()f z 就落入A 的一个预先给定的ε邻域中 注：1.意义中0z z →的方式是任意的。与一元函数相比较要求更高。 2. A 是复数；若()f z 在z 出有极限，则极限是唯一。 二、极限的运算法则 复变函数极限与其实部和虚部极限的关系： 定理一.如果000iy x z +=，则 00 000 00,0000,lim (,)(,)lim ()lim (,)(,)x x y y z z x x y y u x y u x y f z A u iv v x y v x y →→→→→=??==+??=?? 即一个复变函数的连续性等价于两个实变二元函数的连续性，给出了证明复变函数连续性的方法。 定理二.若0 lim ()lim ()z z z z f z A g z B →→==，则： []0 lim ()()lim ()lim ()z z z z z z f z g z f z g z A B →→→±=±=± lim ()()lim ()lim ()z z z z z z f z g z f z g z AB →→→==

数学分析求极限的方法

求极限的方法 具体方法 ⒈利用函数极限的四则运算法则来求极限 定理1①：若极限)(lim 0 x f x x →和)(lim x g x x →都存在，则函数)(x f ±)(x g ，)()(x g x f ? 当0x x →时也存在且 ①[])()()()(lim lim lim 0 .0 x g x f x g x f x x x x x →→→±=± ②[])()()()(lim lim lim 0 x g x f x g x f x x x x x x →→→?=? 又若0)(lim 0 ≠→x g x x ，则 ) () (x g x f 在0x x →时也存在，且有 )()()() (lim lim lim 0 x g x f x g x f x x x x x x →→→= 利用极限的四则运算法则求极限，条件是每项或每个因子极限存在，一般所给的变量都不满足这个条件，如 ∞ ∞、00 等情况，都不能直接用四则运算法则，必须要对变量进行变形，设法消去分子、分母中的零因子，在变形时，要熟练掌握饮因式分解、有理化运算等恒等变形。 " 例1：求24 22 lim ---→x x x 解：原式=()()()022 22lim lim 22 =+= -+-- - →→x x x x x x ⒉用两个重要的极限来求函数的极限 ①利用1sin lim =→x x x 来求极限 1sin lim 0 =→x x x 的扩展形为： 令()0→x g ，当0x x →或∞→x 时，则有

()()1sin lim 0=→x g x g x x 或()()1sin lim =∞ →x g x g x 例2：x x x -→ππ sin lim 解：令t=x -π.则sinx=sin(-π t)=sint, 且当π→x 时0→t 故 1sin sin lim lim 0 ==-→→t t x x t x ππ ~ 例3：求() 11 sin 21 lim --→x x x 解：原式=()()()()()()()211sin 1111sin 1221 21lim lim =--?+=-+-+→→x x x x x x x x x ②利用e x x =+∞→)1 1(lim 来求极限 e x x =+∞ →)1 1(lim 的另一种形式为e =+→α α α1 )1(lim .事实上，令 .1 x =α∞→x .0→?α所以=+=∞ →x x x e )11(lim e =+→ααα1 0)1(lim 例4: 求x x x 1 )21(lim +→的极限 解：原式=221 210)21()21(lim e x x x x x =?? ?+????+→ 利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限。一般常用的方法是换元法和配指数法。 ⒊利用等价无穷小量代换来求极限 所谓等价无穷小量即.1) () (lim =→x g x f x x 称)(x f 与)(x g 是0x x →时的等价无穷小量，记作)(x f )(~x g .)(0x x →.

数学基础训练45 数列的极限及四则运算

数学基础训练45 数列的极限及四则运算 ●训练指要 数列极限的定义与运算法则，若|a |＜1,则∞→n lim a n =0. 一、选择题 1.已知等比数列｛a n ｝的前三项分别为a , 31,21++a a ,其中a ∈R ,则∞→n lim (a 1+a 2+…+a n )等于 A.9 B.6 C.2 9 D.3 2.在数列｛a n ｝中，有∞→n lim ［(2n -1)a n ］=1，∞→n lim a n 存在，则∞ →n lim (na n )的值为 A.0 B.21 C.1 D.-1 3.已知｛a n ｝是等比数列，如果a 1+a 2=12,a 2+a 3=-6,S n =a 1+a 2+…+a n ，那么∞ →n lim S n 的值等于 A.8 B.16 C.32 D.48 二、填空题 4.设无穷等比数列｛a n ｝的a 1=2,S =3,则公比q =_________. 5.已知∞ →n lim (2n -342+-kn n )=1,则k 的值为_________. 三、解答题 6.求下列数列的极限： (1))21(lim 32 3232n n n n n +++∞→Λ; (2)302050)3()1(1lim --+∞→n n n n 7.求下列数列的极限. (1))1(lim n n n n -+∞→; (2)n n n n n b a b a -+++∞→1 1lim (|a |≠|b |). 8.正数数列｛a n ｝中，a 1=2,lg a n =lg a n -1+lg t (t 为常数，且t ＞0). (1)求｛a n ｝的通项公式； (2)求11lim n -+∞→n n a a . 数学基础训练45答案 一、1.A 2.B 3.B

数学分析中求极限的方法总结

数学分析中求极限的方 法总结 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】

数学分析中求极限的方法总 结 1 利用极限的四则运算法则和简单技巧 极限的四则运算法则叙述如下： 定理：如果0 x x lim f x =,lim g x =x x →→A B （）（） （1）[]0 lim ()()lim ()lim ()x x x x x x f x g x f x g x →→→±=±=A ±B （2）[]0 x x lim f x g x =lim f x)lim ()x x x x g x →→→??=A?B （）（）（ （3）若B ≠0 （4）0 x lim c ()lim ()x x x f x c f x c →→?=?=A （5） [] 0lim ()lim ()n n n x x x x f x f x →→??==A ????（n 为自然数） 上述性质对于,,x x x →∞→+∞→-∞也同样成立i 由上述的性质和公式我们可以看书函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。 例1. 求225 lim 3x x x →+-的极限 解：由定理中的第三式可以知道 例2. 求3 2 lim 3x x →-的极限 式子经过化简后就能得到一个只有分母含有未知数的分式，直接求极限即可 例3. 已知 ()1111223 1n x n n = +++ ??-?，求lim n n x →∞ 解： 观察 11 =112 2- ? 111=2323-?

因此得到 ()1111223 1n x n n = +++ ??-? 所以 1lim lim 11n n n x n →∞→∞ ?? =-= ??? 2 利用导数的定义求极限 导数的定义：函数f(x)在0x 附近有定义，χ??，则 如果 存在， 则此极限值就称函数f(x)在点0x 的导数记为 () 0'f x 。 即 在这种方法的运用过程中，首先要选好f(x)。然后把所求极限都表示成f(x)在定点0 x 的导数。 例4. 3 利用两个重要极限公式求极限 两个极限公式： （1 （2）1lim 1x x e x →∞ ?? += ??? 但我们经常使用的是它们的变形： （1，

数列极限的运算法则

数列极限的运算法则 (上海教育出版社高中课本数学高二第一学期第二课时) 一．教学目标： 掌握数列极限的运算法则，并会利用这些法则求简单的数列的极限。 二．教学重点：运用数列极限的运算法则求极限 教学难点：无限个数列极限的运算 教学过程： 1. 引入： 今天的主角是古希腊著名的数学家、物理学家阿基米德。他提出了三次方程的几何解法，发现了以他的名字命名的螺线，他曾求出许多图形的面积和体积，极限的思想能够帮助我们解决很多几何图形面积体积的问题，今天我们也来做一次数学家，研究重现一下他这一贡献的过程。我们来看这个例子，要计算由抛物线2y x =、x 轴以及直线x=1所围成的区域的面积S ，这是一个曲边三角形，不能用三角形的面积公式来计算，阿基米德是如何计算的呢首先把区间[0，1]分为两部分，那么作出的这一个矩形的面积必然小于曲边三角形面积，之后我们再尝试继续一分为二，那么作出这三个矩形，其面积比我们刚才计算的要大，但仍小于曲边三角形的面积，继续采取这种方法，增大区间段，不妨设把区间[0，1]分成n 个小区间，即用x 轴上的分点0,1231,,,.....,,n n n n n n - 分隔;那么在每个小区间上作一个小矩形，使矩形的左上端点在抛物线上，这些矩形的高对应就是 222212310,(),(),(),.....,()n n n n n -，我们来考虑这些矩形面积的总和： 2222222332 1112111123...(1)(1)(21)(1)(21)0()()....()66n n n n n n n n S n n n n n n n n n n -++++-----=?+?+?+?===我们不妨考察n S 与S 之间有何关系，我们尝试使n 越来越大，也就使分的每段区间越来越小，那么矩形可以要多窄有多窄，我们是不是就可以把n S 近似看作S 了呢，n 无限增大，矩形面积的和就可以无限逼近曲边三角形的面积~这就是一种极限的思想，当n 无限增大时，矩形面积的总和n S 可以近似等于曲边三角形的面积，它们之间的差极其小。那么这个极限我们上节课已经学过了，结果是多少哇（1/3）非常好，这是大学中非常重要的一种积分的思想，我们看到了极限的重要性，那么大家更要认真学习，积极理解。那么我们就来回顾一下上节课介绍的常见的三种数列极限。（提问）不错，功课做的很足~我们上节课呢，介绍的f(n)/g(n)模型是常考点，但除此之外还有很多复杂的数列，他们的极限比较复杂，那么应该如何求呢我们学过实数的四则运算，今天我们就来探讨一下数列极限的四则运算性质： 揭示主题：数列极限的四则运算性质。 2. 概念详细讲解：

数学分析3.4两个重要的极限

第三章函数极限(下载后可解决看不到公式的问题) 4 两个重要的极限 一、证明：=1. 证：∵sinx

∴=e. 注：e的另一种形式：=e. 证：令a=，则当a→0时，→∞，∴==e. 例3：求. 解：==e2. 例4：求. 解：==. 例5：求. 解：<→e(n→∞)，又当n>1时有 =≥→e(n→∞，即→0). 由迫敛性定理得：=e.

习题 1、求下列极限： (1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)；(9)；(10). 解：(1)==2； (2)==··=0； (3)== -1； (4)=·=1； (5)=== ====； (6)令arctan x=y，则x=tany，且x→0时，y→0， ∴===1； (7)==1； (8)==·2sin a =··2sin a= sin2a； (9)==8=8； (10)=== 2、求下列极限：

数列求和及极限

数列求和及极限 【知识及方法归纳】 1、 数列求和主要有以下几种常见方法：（1）公式法；（2）通项转移法；（3）倒序相加法； （4）裂项相消法；（5）错项消法；（6）猜想、证明（数学归纳法）。 2、 能运用数列极限的四则运算法则求数列的极限；求无穷等比数列各项的和。 【学法指导】 1、 在公式法求和中，除等差、等比的求和公式外，还应掌握自然数方幂数列的求和公式，如：+++…+= 6 ) 12)(1(++n n n ；2、对于形式比较复杂而又不能直接用公式求和的数列，可通 过对数列通项结构特点的分析研究，将2其分解为若干个易求和的新数列的和、差；3、将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余的项易求和，这样的数列常用倒序相加，如课本中等差数列的求和公式就是用这种办法得到；4、利用裂项变换改写数列的通项公式，通过消去中间项达到求和的目的；5、若通项是由一个等差数列与一个等比数列相乘而得的数列，其求和的方法类似于推导等比数列前n 项和公式的方法，通过乘于等比数列的公比，在错位相减，转化为等比数列的求和问题；6、通过对、、…进行归纳，分析，寻求规律，猜想出，然后再用数学归纳法给予证明。 【典型例题】 例1 求和：+++…+2)12(-n 【分析】这是一个通项为2)12(-n 的数列求前 n 项和，对通项公式展开可得：=1442++n n ， 所以对原数列求和分解为3个新数列求和，可用方法2求和。 【简解】+++…+2)12(-n =（114142+?-?）+（124242+?-?）+…+（1442+-n n ）=4（+++… +）–4·（1+2+3+…+n ）+n =4。 3) 12)(12(2)1(46)12)(1(+-= ++?-++n n n n n n n n n 。 例2 求和：12510257541+++…+1 523-- n n 【分析】这是一个通项为1 5 23--n n 的数列求前n 项和，观察通项，不难发现它是一个等差数列与一个等比数列的积，可用方法5求和。 【简解】设=12510257541+++…+1523-- n n ，则n S 51=25451++…+n n n n 5235531-+--，所以n S )511(-=1+2 5353++…+ n n n 523531 ---=1++++251511(53 (2) 51 -+n ） –n n 523-=1+5 1 1)51(1531 --?-n –n n 523-=n n 5471247?+-，所以=151********-?+-n n 。

数学分析中求极限的方法总结

数学分析中求极限的方法 总结 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020

数学分析中求极限的方法总结 1 利用极限的四则运算法则和简单技巧 极限的四则运算法则叙述如下： 定理：如果0 x x lim f x =,lim g x =x x →→A B （）（） （1）[]0 lim ()()lim ()lim ()x x x x x x f x g x f x g x →→→±=±=A ±B （2）[]0 x x lim f x g x =lim f x)lim ()x x x x g x →→→??=A?B （）（）（ （3）若B ≠0 （4）0 x lim c ()lim ()x x x f x c f x c →→?=?=A （5）[]00lim ()lim ()n n n x x x x f x f x →→??==A ????（n 为自然数） 上述性质对于,,x x x →∞→+∞→-∞也同样成立i 由上述的性质和公式我们可以看书函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。 例1. 求225 lim 3x x x →+-的极限 解：由定理中的第三式可以知道 例2. 求3 x →的极限

式子经过化简后就能得到一个只有分母含有未知数的分式，直接求极限即可 例3. 已知 ()1111223 1n x n n = +++ ??-?，求lim n n x →∞ 解： 观察 11=112 2-? 111=2323- ?因此得到 ()1111223 1n x n n = +++ ??-? 所以 1lim lim 11n n n x n →∞→∞ ?? =-= ??? 2 利用导数的定义求极限 导数的定义：函数f(x)在0x 附近有定义，χ??，则 如果 存在， 则此极限值就称函数f(x)在点0x 的导数记为 () 0'f x 。 即 在这种方法的运用过程中，首先要选好f(x)。然后把所求极限都表示成f(x)在定点 x 的导数。

复变函数经典例题

第一章例题 例1.1试问函数把平面上的下列曲线分别变成平面上的何种曲线？ （1）以原点为心，2为半径，在第一象项里的圆弧； （2）倾角的直线； （3）双曲线。 解设，则 因此 （1）在平面上对应的图形为：以原点为心，4为半径，在上半平面的半圆周。（2）在平面上对应的图形为：射线。 （3）因，故，在平面上对应的图形为：直线 。 例1.2设在点连续，且，则在点的某以邻域内恒不为0. 证因在点连续，则，只要，就有 特别，取，则由上面的不等式得 因此，在邻域内就恒不为0。 例1.3设 试证在原点无极限，从而在原点不连续。

证令变点，则 从而（沿正实轴） 而沿第一象限的平分角线，时，。 故在原点无确定的极限，从而在原点不连续。 第二章例题 例2.1在平面上处处不可微 证易知该函数在平面上处处连续。但 当时，极限不存在。因取实数趋于0时，起极限为1，取纯虚数而趋于零时，其极限为－1。故处处不可微。 例 2.2函数在满足定理2.1的条件，但在不可微。 证因。故 但

在时无极限，这是因让沿射线随 而趋于零，即知上式趋于一个与有关的值。 例2.3讨论的解析性 解因, 故 要使条件成立，必有，故只在可微，从而，处处不解析。例2.4讨论的可微性和解析性 解因, 故 要使条件成立，必有，故只在直线上可微，从而，处处不解析。 例2.5讨论的可微性和解析性，并求。 解因, 而 在复平面上处处连续且满足条件，从而在平面上处处可微，也处处解析。且 。 例2.6设确定在从原点起沿负实轴割破了的平面上且，试求 之值。 解设，则

由代入得 解得：，从而 。 例2.7设则 且的主值为。 例2.8考查下列二函数有哪些支点 (a) (b) 解（a）作一条内部含0但不含1的简单闭曲线, 当沿正方向绕行一周时,的辐角得到增量,的辐角没有改变, 即 从而 故的终值较初值增加了一个因子，发生了变化，可见0是的支点。同理1 也是其支点。 任何异于0，1的有限点都不可能是支点。因若设是含但不含0，1的简

数学分析求极限的方法

求极限的方法 具体方法 ⒈利用函数极限的四则运算法则来求极限 定理1①：若极限)(lim 0 x f x x →和)(lim x g x x →都存在，则函数)(x f ±)(x g ，)()(x g x f ? 当0x x →时也存在且 ①[])()()()(lim lim lim 0 .00 x g x f x g x f x x x x x →→→± = ± ②[])()()()(lim lim lim 0 x g x f x g x f x x x x x x →→→?= ? 又若0)(lim 0 ≠→x g x x ，则 ) ()(x g x f 在0x x →时也存在，且有 ) ()() ()(lim lim lim x g x f x g x f x x x x x x →→→= 利用极限的四则运算法则求极限，条件是每项或每个因子极限存在，一般所给的变量都不满足这个条件，如 ∞ ∞、 0等情况，都不能直接用四则运算法则， 必须要对变量进行变形，设法消去分子、分母中的零因子，在变形时，要熟练掌握饮因式分解、有理化运算等恒等变形。 例1：求2 42 2 lim --- →x x x 解：原式=()() ()022 22lim lim 2 2 =+= -+-- - →→x x x x x x ⒉用两个重要的极限来求函数的极限 ①利用1sin lim =→x x x 来求极限 1sin lim =→x x x 的扩展形为： 令()0→x g ，当0x x →或∞→x 时，则有 ()() 1sin lim =→x g x g x x 或()() 1sin lim =∞ →x g x g x

数列极限四则运算法则的证明

数列极限四则运算法则 的证明 https://www.wendangku.net/doc/059433220.html,work Information Technology Company.2020YEAR

数列极限四则运算法则的证明 设limAn=A,limBn=B,则有 法则1:lim(An+Bn)=A+B 法则2:lim(An-Bn)=A-B 法则3:lim(An·Bn)=AB 法则4:lim(An/Bn)=A/B. 法则5:lim(An的k次方)=A的k次方(k是正整数) (n→+∞的符号就先省略了,反正都知道怎么回事.) 首先必须知道极限的定义: 如果数列{Xn}和常数A有以下关系:对于ε＞0(不论它多么小),总存在正数N,使 得对于满足n＞N的一切Xn,不等式|Xn-A|＜ε都成立, 则称常数A是数列{Xn}的极限,记作limXn=A. 根据这个定义,首先容易证明: 引理1: limC=C. (即常数列的极限等于其本身) 法则1的证明: ∵limAn=A, ∴对任意正数ε,存在正整数N?,使n＞N?时恒有|An-A|＜ε.①(极限定义) 同理对同一正数ε,存在正整数N?,使n＞N?时恒有|Bn-B|＜ε.② 设N=max{N?,N?},由上可知当n＞N时①②两式全都成立. 此时|(An+Bn)-(A+B)|=|An-A)+(Bn-B)|≤|An-A|+|Bn-B|＜ε+ε=2ε. 由于ε是任意正数,所以2ε也是任意正数. 即:对任意正数2ε,存在正整数N,使n＞N时恒有|(An+Bn)-(A+B)|＜2ε. 由极限定义可知,lim(An+Bn)=A+B. 为了证明法则2,先证明1个引理. 引理2:若limAn=A,则lim(C·An)=C·A.(C是常数) 证明:∵limAn=A, ∴对任意正数ε,存在正整数N,使n＞N时恒有|An-A|＜ε.①(极限定义) ①式两端同乘|C|,得: |C·An-CA|＜Cε. 由于ε是任意正数,所以Cε也是任意正数. 即:对任意正数Cε,存在正整数N,使n＞N时恒有|C·An-CA|＜Cε. 由极限定义可知,lim(C·An)=C·A. (若C=0的话更好证) 法则2的证明: lim(An-Bn) =limAn+lim(-Bn) (法则1) =limAn+(-1)limBn (引理2) =A-B. 为了证明法则3,再证明1个引理.

高三数学试题数列的极限

数列的极限 1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{a n }的项a n 无限地趋近于某个常数a （即|a n －a |无限地接近于0），那么就说数列{a n }以a 为极限. 注：a 不一定是｛a n ｝中的项. 2.几个常用的极限：①∞ →n lim C =C （C 为常数）;②∞ →n lim n 1 =0;③∞→n lim q n =0 （|q |＜1）. 3.数列极限的四则运算法则：设数列｛a n ｝、｛b n ｝， 当∞ →n lim a n =a , ∞ →n lim b n =b 时，∞ →n lim （a n ±b n ）=a ±b ; ∞ →n lim （a n ·b n ）=a ·b ; ∞ →n lim n n b a =b a （ b ≠0）. ●点击双基 1.下列极限正确的个数是 ①∞ →n lim α n 1=0（α＞0） ②∞ →n lim q n =0 ③∞ →n lim n n n n 3 232+-=－1 ④∞ →n lim C =C （C 为常数） A.2 B.3 C.4 D.都不正确 解析:①③④正确. 答案:B 2. ∞ →n lim ［n （1－3 1）（1－4 1）（1－51） (1) 2 1 +n ）］等于 A.0 B.1 C.2 D.3 解析: ∞ →n lim ［n （1－3 1）（1－4 1）（1－5 1） (1) 2 1 +n ）］

=∞ →n lim ［n ×32×43×54×…×2 1++n n ］ =∞ →n lim 2 2+n n =2. 答案:C ●典例剖析 【例1】 求下列极限： （1）∞ →n lim 7 5722 2+++n n n ;（2） ∞ →n lim （ n n +2－n ）; （3）∞ →n lim （ 2 2n + 2 4n +…+2 2n n ）. 剖析:（1）因为分子分母都无极限，故不能直接运用商的极限运算法则，可通过变形分子分母同除以n 2后再求极限；（2）因 n n +2与 n 都没有极限，可先分子有理化再求极限；（3）因为极限的运算法则只适用于有限个数列，需先求和再求极限. 解:（1）∞ →n lim 7 57 222 +++n n n =∞→n lim 2 2757 12n n n +++ =5 2. （2）∞ →n lim （ n n +2－n ）= ∞ →n lim n n n n ++2=∞ →n lim 1111++ n =2 1. （3）原式=∞ →n lim 2 2642n n ++++Λ=∞ →n lim 2 )1(n n n +=∞→n lim （1+n 1 ）=1. 评述:对于（1）要避免下面两种错误：①原式=) 75(lim ) 72(lim 22+++∞ →∞ →n n n n n =∞ ∞=1, ②∵∞ →n lim （2n 2+n +7）, ∞ →n lim （5n 2+7）不存在，∴原式无极限.对于（2） 要避免出现下面两种错误： ①∞ →n lim （ n n +2－n ）= ∞ →n lim n n +2－∞ →n lim n =∞－∞=0;②原式=∞ →n lim n n +2－∞ →n lim n =∞－∞不存在.

复变函数极限

复变函数的极限 于秀芝 (渤海大学数学系辽宁锦州121000 中国) 摘要：这是一篇讨论复变函数极限的论文，把我们所熟悉的数学分析中实变函数极限的定义、定理、性质，推广到复变函数中，并加以证明。但是实变函数极限的定义、定理、性质，并不完全适用于复变函数。例如：复变函数的极限没有保序性、正性，复变函数没有左、右极限等等。同时，复变函数极限的定义与数学分析中的二元函数极限的定义相似，故它又具有二元函数的某些性质。本篇论文由四个方面组成。首先，我们讨论的是复变函数在某个定点时极限的定义，即描述性极限的定义和表达式极限的定义。其次，我们讨论的是复变函数极限的定理，如Heine定理、Cauchy 准则、复合函数极限的定理等等，并给出了详细的证明。再次，我们讨论的是复变函数极限的性质，即唯一性、绝对值的极限、局部有界性、四则运算法则等等，同时，我们也给了详细的证明。最后，我们讨论的是复变函数在无穷远点的极限。在这方面，我们将极限从有限的定点逐渐引入到无穷远点，进而给出了函数在无穷远点处极限的定义、运算法则、定理，并给予了相应的应用。 关键词：Heine 定理Cauchy 准则极限复数列 Complex variable function limit Yu Xiuzhi (Department of Mathematics Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China) Abstract：This is a discussion about complex variable function limit paper. It promotes the definition, theorem, nature of the real variable function limit to the complex variable function limit and performs to prove it .But the definition, the theorem, the nature of the real variable function limit aren’t completely suitable for the complex variablefunction.For example, complex variable f unction limit doesn’t have order nature,positive nature , and complex variable function doesn’t have left limit and right limit , and so on . Simultaneously,the definition of the complex variable function limit and the definition of the dual function limit of mathematica lanalysis is similar.So it also has some natures of dual function limit.This paper has four aspects.First,We discuss the defination of the complex variable function in some apex time , namely the definition of description limit and the definition of expression limit.Next,we discuss the theorem of the complex variable function limit.For example ,Heine theorem, Cauchy criterion,the theorem of composite function limit,and so on. And it has produced the detailed proof. Once more,we discuss the nature of the complex variable function limit. Namely unique nature , absolute value limit nature ,partially having nature, mathematical operations principle nature ,and so on . At the same time, we have also gave the detailed proof. Finally ,we discuss the complex variable function limit in the infinite point. In this aspect, we gradually introduce the limit from the limited fixed point to the infinite point, and then we have produced the definition and the theorem of limit in the infinite point . And we have gave the corresponding application. Key words: Heine theorem Cauchy criterion Limit Duplicate sequence 一、复变函数极限的定义 1．定义