专题8.1 与圆有关的最值问题-2019届高三数学提分精品讲义 2020.8.9

解析几何

问题一：与圆有关的最值问题

一、考情分析

通过对近几年的高考试题的分析比较发现,高考对直线与圆的考查,呈现逐年加重的趋势,与圆有关的最值问题,更是高考的热点问题.由于圆既能与平面几何相联系,又能与圆锥曲线相结合,命题方式比较灵活,故与圆相关的最值问题备受命题者的青睐.

二、经验分享

1. 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略

(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．

(2)与圆上点(x ，y )有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如u ＝y －b

x －a 型的最值问题，可转化为过点(a ，

b )和点(x ，y )的直线的斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点到定点(a ，b )的距离平方的最值问题．

2.与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化

三、知识拓展

1.圆外一点P 到圆C 上点的距离距离的最大值等于，最小值等于PC r -.

2.圆C 上的动点P 到直线l 距离的最大值等于点C 到直线l 距离的最大值加上半径，最小值等于点C 到直线l 距离的最小值减去半径.

3.设点M 是圆C 内一点，过点M 作圆C

的弦，则弦长的最大值为直径，最小的弦长为四、题型分析

(一) 与圆相关的最值问题的联系点 1.1 与直线的倾斜角或斜率的最值问题

利用公式k ＝tan α(α≠90°)将直线的斜率与倾斜角紧密联系到一起,通过正切函数的图象可以解决已知斜率的范围探求倾斜角的最值,或者已经倾斜角的范围探求斜率的最值.

处理方法：直线倾斜角的范围是[0,π),而这个区间不是正切函数的单调区间,

因此根据斜率求倾斜角的范围时,要分????0，π2与????π

2，π两种情况讨论．由正切函数图象可以看出,当α∈????0，π2时,斜率k ∈[0,＋∞)；当α＝π

2

时,斜率不存在；当α∈????π2，π时,斜率k ∈(－∞,0)． 【例1】坐标平面内有相异两点2

(cos ,sin ),(0,1)A B θθ,经过两点的直线的的倾斜角的取值范围是( ).

A ．,44ππ??-

???? B ．30,,44πππ??

?? ??????? C ．30,,44πππ??

?????????? D ．3,44ππ??

???

? 【答案】C

【点评】由斜率取值范围确定直线倾斜角的范围要利用正切函数y ＝tan x 的图象,特别要注意倾斜角取值范围的限制；求解直线的倾斜角与斜率问题要善于利用数形结合的思想,要注意直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时,需依据正切函数y ＝tan x 的单调性求k 的范围．

【小试牛刀】【2017届山东菏泽一中宏志部高三上学期月考】若过点()

2 3 2P --，的直线与圆224x y +=有公共点,则该直线的倾斜角的取值范围是（ ）

A ．0 6π?? ???，

B ．0 3π?

?????， C. 0 6π??????， D ．0 3π?? ??

?， 【答案】B

【解析】当过点(23,2)P --直线与圆2

2

4x y += 相切时,设斜率为k ,则此直线方程为

+2=k(23)y x +,即k 2320x y k -+-=.由圆心到直线的距离等于半径可得

2

|232|21

k k -=+,求得0

k =或3k =

,故直线的倾斜角的取值范围是[0,]3

π

,所以B 选项是正确的.

1.2 与距离有关的最值问题

在运动变化中,动点到直线、圆的距离会发生变化,在变化过程中,就会出现一些最值问题,如距离最小,最大等.这些问题常常联系到平面几何知识,利用数形结合思想可直接得到相关结论,解题时便可利用这些结论直接确定最值问题.

【例2】 过点()1,2M 的直线l 与圆C ：()()22

3425x y -+-=交于,A B 两点,C 为圆心,当ACB ∠最小时,直线l 的方程是 ． 答案: 30x y +-=

解析：要使ACB ∠最小,由余弦定理可知,需弦长AB 最短.要使得弦长最短,借助结论可知当()1,2M 为弦的中点时最短.因圆心和()1,2M 所在直线的42

131

k -=

=-,则所求的直线斜率为1-,由点斜式可得1(2)30y x x y -=--?+-=.

【点评】与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义,利用圆的几何性质数形结合求解．此题通过两次转化,最终转化为求过定点的弦长最短的问题.

【例3】【2016-2017学年湖北大冶市实验中学高二上学期月考】若圆C ：2

2

2430x y x y ++-+=关于直线260ax by ++=对称,则由点(,)a b 向圆C 所作的切线长的最小值是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 【答案】C

【点评】与切线长有关的问题及与切线有关的夹角问题,解题时应注意圆心与切点连线与切线垂直,从而得出一个直角三角形．

【小试牛刀】【2016届河北省武邑中学高三上学期测试】在平面直角坐标系x y O 中,圆

1C :()()221625x y ++-=,圆2C :()()22

21730x y r -+-=．若圆2C 上存在一点P ,使得过点P 可作一

条射线与圆1C 依次交于点A ,B ,满足2PA =AB ,则半径r 的取值范围是（ ） A ．[]5,55 B ．[]5,50 C ．[]10,50 D ．[]10,55

【答案】A

【解析】由题,知圆1C 的圆心为(1,6)-,半径为5,圆2C 的圆心为(17,30),半径为r ,两圆圆心距为

22(171)(306)30++-=,如图,可知当AB 为圆1C 的直径时取得最大值,所以当点P 位于点1P 所在位置时r 取得最小值,当点P 位于点2P 所在位置时r 取得最大值．因为max ||10AB =,||2||PA AB =,所以

min 5r =,max 55r =,故选A ．

1.3 与面积相关的最值问题

与圆的面积的最值问题,一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系,借助函数求最值的方法,如配方法,基本不等式法等求解,有时可以通过转化思想,利用数形结合思想求解.

【例4】 在平面直角坐标系中,,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点,若以AB 为直径的圆C 与直线

240x y +-=相切,则圆C 面积的最小值为（ ）

A.45π

B.34π

C.(625)π-

D.54

π 【答案】A

【解析】设直线l ：240x y +-=.因为1

||||2

C l OC AB d -==,所以圆心C 的轨迹为以O 为焦点,l 为准线的抛物线.圆C 半径最小值为1

12

255O l

d -=,圆C 面积的最小值为24(.55

ππ=选A. 【例5】动圆C 经过点(1,0)F ,并且与直线1x =-相切,若动圆C 与直线21y x =+总有公共点,则圆C 的面积（ ）

A ．有最大值8π

B ．有最小值2π

C ．有最小值3π

D ．有最小值4π 【答案】D

【解析】设圆心为(,)a b ,半径为r ,|||1|r CF a ==+,即222

(1)(1)a b a -+=+,即2

14

a b =

,∴圆心为21(,)4b b

,21

14r b =+,圆心到直线221y x =++的距离为2

2|221|

4142

b b b d -++=≤+,∴2(223)b ≤-+或2b ≥,当2b =时,min 1

4124

r =

?+=,∴2min 4S r ππ==. 【小试牛刀】【2016-2017学年广东潮阳黄图盛中学高二上期中】已知点A (2,0)-,B (0,2),点P 是圆

22(1)1x y -+=上任意一点,则PAB ?面积的最大值是（ ）

A.3

B.23+

C.23-

D.6 【答案】B

(二) 与圆相关的最值问题的常用的处理方法 2.1 数形结合法

处理与圆有关的最值问题,应充分考虑圆的几何性质,并根据代数式的几何意义,借助数形结合思想求解. 【例6】已知实数x ,y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0,求： (1)y

x 的最大值和最小值； (2)y －x 的最大值和最小值； (3)x 2＋y 2的最大值和最小值．

【分析】(1)利用斜率模型；(2)利用截距模型；(3)利用距离模型

【解析】原方程变形为(x －2)2＋y 2＝3,表示以(2,0)为圆心,半径r ＝3的圆．

(1)设y

x ＝k ,即y ＝kx ,由题知,直线y ＝kx 与圆恒有公共点,则圆心到直线的距离小于等于半径 3.

∴|2k －0|

k 2＋1

≤ 3.∴k

2≤3,即－3≤k ≤3,∴y x 的最大值为3,最小值为－ 3.

(2)设y －x ＝b ,则当直线y －x ＝b 与圆相切时,b 取最值,由|2－0＋b |

2＝3,得b ＝－2±6,

∴y －x 的最大值为6－2,最小值为－2－ 6. (3)令d ＝x 2＋y 2表示原点与点(x ,y )的距离,

∵原点与圆心(2,0)的距离为2,∴d max ＝2＋3,d min ＝2－ 3.

∴x 2＋y 2的最大值为(2＋3)2＝7＋43,最小值为(2－3)2＝7－4 3.

【点评】研究与圆有关的最值问题时,可借助图形的性质,利用数形结合求解．常见的最值问题有以下几种类型：①形如μ＝y －b

x －a 形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题,

可转化为动直线截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．

【小试牛刀】【2017届河北武邑中学高三周考】已知直线:60l x y +-=和曲线

22:2220M x y x y +---=,点A 在直线l 上,若直线AC 与曲线M 至少有一个公共点C ,且030MAC ∠=,则点A 的横坐标的取值范围是（ ）

A ．()0,5

B ．[]1,5

C ．[]1,3

D ．(]0,3 【答案】B

【解析】设()00,6A x x -,依题意有圆心到直线的距离sin302d AM =≤,即()()2

2

001516x x -+-≤,解得

[]01,5x ∈.

2.2 建立函数关系求最值

根据题目条件列出关于所求目标函数的关系式,然后根据关系的特点选用参数法、配方法、判别式法等进行求解.

【例7】设Q P ,分别为()262

2

=-+y x 和椭圆110

22

=+y x 上的点,则Q P ,两点间的最大距离是（ ） A.25 B.246+ C.27+ D.26 【答案】D

2.3 利用基本不等式求解最值

如果所求的表达式是满足基本不等式的结构特征,如a b ?或者a b +的表达式求最值,常常利用题设条件建立两个变量的等量关系,进而求解最值.同时需要注意,“一正二定三相等”的验证.

【例8】 设m R ∈,过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ,则||||PA PB ?的最大值是 .

【分析】根据2

2

2

||||||10PA PB AB +==,可用均值不等式求最值

【解析】易得(0,0),(1,3)A B .设(,)P x y ,则消去m 得：2

2

30x y x y +--=,所以点P 在以AB 为直径的圆

上,PA PB ⊥,所以2

2

2

||||||10PA PB AB +==,2

||||||52

AB PA PB ?≤=. 【小试牛刀】【2017届河北武邑中学高三周考】设,m n R ∈,若直线()()1120m x n y +++-=与圆

()()

22

111x y -+-=相切,则m n +的取值范围是（ ）

A ．13,13??

B ．(

)

,1313,?-∞++∞?

C ．222,22

2?-+?

D ．()

,22

2222,?-∞-++∞?

【答案】D

【解析】直线与圆相切,圆心到直线的距离等于半径,()()

22

111m n

m n +=+++,化简得2mn m n =++,由基

本不等式得2

22m n m n mn +??++=≤ ?

??

,令t m n =+,则2

480t t --≥,解得

(

)

,222222,t ??∈-∞-++∞?

?

.

四、迁移运用

1．【北京市朝阳区2018届高三第一学期期末】阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数k （0k >且1k ≠）的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点,A B 间的距离为2，动点P 与A ， B 距离之比为2，当,,P A B 不共线时， PAB ?面积的最大值是

A. 22

B. 2

C.

223 D. 2

3

【答案】A

2．【山西省太原十二中2018届高三上学期1月月考】如图，两条距离为4的直线都与y 轴平行，它们与抛物线2

(014)y px p =-<<和圆()2

249x y -+=分别交于,A B 和,C D ，且抛物线的准线与圆相切，则当

AB CD ?取得最大值时，直线AB 的方程为（ ）

A. 2x =-

B. 3x =

C. 2x =-

D. 1x =-

【解析】根据题意，由抛物线的准线与圆相切可得

12

p

= 或7，又014p <<，故2p

=，

设直线AB 的方程为()03x t t =-<<，则直线CD 的方程为4x t =-则

()

()22242989,03AB CD t t t t t ?=?-=-<< 设()()()29,03f t t t t =-<<

则()()2

93,03f t t t '=-<< 令()003f t x >?<<' ，令()033f t x

故()()max 3f t f

= ，此时直线AB 的方程为3x =-

，故选B

3．【西藏拉萨市2018届高三第一次模拟】已知点P 在圆C ： 2

2

4240x y x y +--+=上运动，则点P 到直线l ： 250x y --=的距离的最小值是（ ） A. 4 B. 5 C. 51+ D. 51-

【答案】D

【解析】圆C ： 2

2

4240x y x y +--+=化为()()22

211x y -+-=，圆心()2,1C 半径为1，先求圆心

到直线的距离

2

2

225512

--=+，则圆上一点P 到直线l ： 250x y --=的距离的最小值是51-.选D.

4．【辽宁省沈阳市东北育才学校2018届高三第三次模拟】已知圆C 的方程为2

2

20x x y -+=，直线

:220l kx y k -+-=与圆C 交于A ，B 两点，则当ABC ?面积最大时，直线l 的斜率k =（ ）

A. 1

B. 6

C. 1或7

D. 2或6 【答案】C

5．【天一大联考2017—2018学年高中毕业班阶段性测试】过点()3,0P -作直线()220ax a b y b +++=（,a b 不同时为零）的垂线，垂足为M ，点()2,3N ，则MN 的取值范围是（ ） A. 0,55?+? B. 55,5???? C. 5,55?? D. 55,55?+?

【解析】()220ax a b y b +++=,整理为： ()()220a x y b y +++=得直线恒过点Q （1，-2），画出图像可知90PMQ ∠=或者M 与P,Q 之一重合， 25PQ =,故点M 在以PQ 为直径的圆上运动，设该圆的圆心为F ，则线段MN 满足的范围为55FN MN FN -≤≤+,所以： MN 的取值范围是55,55??-+??

6．【陕西省西安市2018届高三上学期期末】直线()13y k x -=-被圆()()2

2

224x y -+-=所截得的最短弦长等于（ ） A.

3 B. 23 C. 22 D. 5

【答案】C

【解析】圆()()2

2

224x y -+-=的圆心()2,2C ，半径为2，直线()13y k x -=-， ∴此直线恒过定点

()3,1，当圆被直线截得的弦最短时，圆心()2,2C 与定点()3,1P 的连线垂直于弦，弦心距为

()()

2

2

23212-+-=， ∴所截得的最短弦长()

2

2

22222+

=，故选C.

7．【山西省2018届高三第一次模拟】若点为圆

上的一个动点，点

，

为两个定点，则

的最大值为（ ）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】∵∠APB=90°，∴，由不等式可得

∴，故选：B

8．【重庆市梁平区2018届二调】过点()1,1P -作圆C ： ()()2

2

21(x t y t t -+-+=∈R)的切线，切点分别为A ，B ，则PA PB ?的最小值为（ ） A.

103 B. 403 C. 21

4

D. 22－3 【答案】C

【解析】由题意可得圆心坐标为(),2C t t -，半径1r =， 其中()()2

2

2

21122410PC t t t t =--+-+=-+，

222

21249PA PB PC t t ==-=-+，

22249cos 2410

PA

t t APC PC t t -+∠==-+，

222

2224924

cos 2cos 121241025

t t t t APB APC t t t t -+-+∠=∠-=?-=-+-+.

利用平面向量数量积的定义有：

(

)

()()

22

2

222

224

24925

242524,25

PA PB PA PB cos APB t t t t t t t t t t t t t t ?=??∠-+=-+?-+-+??=-++-+???-+ 设()2

24,3m t t m =-+≥，则：

()()2211213111

m m m PA PB m m m m m m +???=++?==++-??+++， 结合对勾函数的性质可得：

函数()()1

2131f m m m =++-+在区间[)23,1,2??+∞?-+∞?????

上单调递增 当3m =时， ()

min

121

24344

PA PB ?=?+

-=

. 本题选择C 选项.

9．【甘肃省2018届高三第一次诊断性考试】过直线

上的点作圆

的切线，则切

线长的最小值为（ ）

A. B. C. D.

【答案】A 【解析】直线上上任取一点. 作圆

的切线，设切点为A. 圆，即，圆心为

，半径为

.

切线长为

.

.

所以切线长的最小值为

.故选A.

10．【新疆乌鲁木齐市2018年高三年级第二次质量监测】已知点P 是双曲线2

2

14

y x -=的渐近线上的动点，过点P 作圆()2

255x y -+=的两条切线，则两条切线夹角的最大值为（ ） A. 90? B. 60? C. 45? D. 30? 【答案】B

11．【重庆市九校联盟2018届高三上学期第一次联合考试】设,m R θ∈，则

()()2

2

2cos 2sin m m θ

θ

-+-的最小值为（ ）

A. 3

B. 4

C. 9

D. 16 【答案】C

【解析】其几何意义是单位圆上的点到直线420x y +-=的距离的平方，故其最小值为()2

419-=，故选：C

12．【北京西城14中2018届高三上期中】已知圆()()2

2

:341C x y -+-=和两点(),0A m -，

(),0(0)B m m >．若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=?，则m 的最大值为（ ）．

A. 4

B. 5

C. 6

D. 7 【答案】C

【解析】圆()()22

:341C x y -+-=的圆心()3,4C ，半径为1，圆心C 到()0,0O 的距离为5， 故圆C 上的点到点O 的距离的最大值为6，再由90APB ∠=?可得，以AB 为直径的圆和圆C 有交点， 可得1

2

PO AB m =

=，所以6m ≤， 故m 的最大值为6．故选C ．

13．【2017河北卓越联盟上学期月考】由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线,则切线长的最小值为（ ）

A.1

D.3 【答案】C

【解析】圆的圆心为()3,0，r=1,圆心到直线10x y -+=的距离为所以由勾股定理可知

14．【2017届河南中原名校豫南九校高三上学期质检四】如果直线()70 0ax by a b +=>>，和函数()()1log 0 1m f x x m m =+>≠，的图象恒过同一个定点,且该定点始终落在圆()()2

2

1125x b y

a +-++-=的

内部或圆上,

） A B 4 3??+

∞????，

D

【答案】A

【解析】根据指数函数的性质,可知函数

()()

1log 0 1m f x x m m =+>≠，，恒过定点

()1 1，,将点()1 1，

代入

7ax by +=,可得7a b +=,由于()1 1，始终落在所给圆的内部或圆上,所以2225a b +≤,由2

2725a b a b +=??+=?,解得

34a b =??=?或43a b =??=?,这说明点()

a b ，在以(

)3 4，和()4 3，为端点的线段上运动,选A.

15．【2017湖北宜昌葛洲坝中学上期中】若圆C ：x 2＋y 2－22x －22y －12＝0上有四个不同的点到直线l ：x －y ＋c ＝0的距离为2,则c 的取值范围是（ ） A ．[－2,2] B ．[－22,22] C ． （－2,2） D ．（－22,22） 【答案】D

【解析】圆C ：x 2＋y 2－22x －22y －12＝0,配方为：()(

)

2

2

22

16x y -+-=,

[

∵圆上有四个不同的点到直线l ：x-y+c=0的距离为2, ∴圆心到直线l 的距离22

c d =

<,

解得2222c -<<

16．【2017届四川省高三高考适应性测试】已知圆的方程为2260x y x +-=,过点()1 2，

的该圆的所有弦中,最短的弦长为（ ） A.

1

2

B.1

C.2

D.4 【答案】C

【解析】2222

60(3)9x y x x y +-=?-+=,最短的弦长为2229(31)22---=,选C.

17．【2017重庆万州二中上期中】已知圆22

:8150C x y x +-+=,直线 2y kx =+上至少存在一点P ,使得

以点P 为圆心,半径为1的圆与圆C 有公共点,则k 的最小值是（ ）

A.43-

B.5

4- C.35- D.53

-

【答案】A

18．【2016学年四川省雅安中学期中】已知点P （t,t ）,t ∈R,点m 是圆221

(1)4

x y +-=

上的动点,点N 是圆221

(2)4

x y -+=上的动点,则PN PM -的最大值是（ ）

B ．2

C ．3

D ．

【答案】B 【解析】如图：

圆 221(1)4x y +-=

的圆心E （0,1）,圆的圆心 F （2,0）,这两个圆的半径都是2

1 要使|PN||-|PM|最大,需|PN|最大,且|PM|最小,由图可得,|PN|最大值为|PF|+2

1

,

PM|的最小值为|PE|-2

1

PN PM -=|PF|-|PE|+1,点P （t,t ）在直线 y=x 上,E （0,1）关于y=x 的对称点E′（1,0）,直线FE′与y=x 的

交点为原点O,则|PF|-|PE|=|PF|-|PE′|≤|E′F|=1,故|PF|-|PE|+1的最大值为1+1=2,故答案为B ．

19．【2016届浙江省临海市台州中学高三上第三次统练】已知(,)P x y 是直线)0(04>=++k y kx 上一动

点,PA PB 、是圆C ：022

2=-+y y x 的两条切线,A B 、是切点,若四边形PACB 的最小面积是2,则k 的值

为（ ）

A ．3

B ．2

1

2 C ．22 D ．2 【答案】D

【解析】圆C 的方程可化为2

2

()11x y +-=,因为四边形PACB 的最小面积是2,且此时切线长为2,故圆心

()0,1到直线40kx y ++=的距离为

5,即

2

1k

=+5,解得2k =±,又0k >,所以2k =．

20．【2016届江苏省如东高中高三上学期期中】在平面直角坐标系xOy 中,已知点(2,0)A -,点B 是圆

22:(2)4C x y -+=上的点,点M 为AB 中点,若直线:5l y kx k =-上存在点P,使得30OPM ∠=,则实数

k 的取值范围为________．

【答案】22k -≤≤

【解析】因为点M 为AB 中点,所以1

1

2OM CB ==,即点M 轨迹为以原点为圆心的单位圆,当PM 为单位圆

切线时,OPM ∠取最大值,即30OPM ∠≥,从而

1

2

sin OP OPM =

≤∠,因此原点到直线:5l y kx k =距

离不大于2,2

5222

1

k k k -≤?-≤≤+

21.已知圆22: (01)O x y c c +=<≤,点 (, )P a b 是该圆面（包括⊙O 圆周及内部）上一点,则a b c ++的最小值等于 ．

【答案】12

-

【解析】依题意可得2

2

a b c +≤.令z a b c =++.所以,a b 满足如图所示.所以目标函数b a z c =-+-.所以

当目标函数与直线相切的时候z 最小.由圆心到直线的距离可得.2z c c =- =221

()22

c --.所以当且仅当12c =

时,min 1

2

z =-.

22.在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为2240x y x +-=．若直线(1)y k x =+上存在一点P ,使过P 所作的圆的两条切线相互垂直,则实数k 的取值范围是 ．学@科网 【答案】22,22??-??