高考数学(理科)前三道大题冲刺训练及答案(整理)

A

B

C

D

E

F

高考数学理科前三道大题冲刺训练

1．某批发市场对某种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的统计结果如下：

（1）填充上表；

（2）若以上表频率作为概率，且每天的销售量相互独立. ①5天中该种商品恰好有2天的销售量为1.5吨的概率；

②已知每吨该商品的销售利润为2千元，ξ表示该种商品两天销售利润的和（单位：千元），求ξ的分布列.

2．（本小题满分14分）如图，多面体ABCD EF -中，ABCD 是梯形，CD AB //，ACFE 是矩形，平面⊥

ACFE 平面ABCD ，a AE CB DC AD ====，2

π

=

∠ACB ． （1）若M 是棱EF 上一点，//AM 平面BDF ，求EM ； （2）求二面角D EF B --的平面角的余弦值．

日销售量 1 1.5 2 频数

10 25 15 频率[来源:https://www.wendangku.net/doc/046898259.html,]

0.2

3．（本小题满分12分）己知点(1,0),(0,1),(2sin cos )A B C θθ，. （1）若(2)1OA OB OC +=，其中O 为坐标原点，求sin 2θ的值； （2）若AC BC =，且θ在第三象限．求sin()3

π

θ+

值.

4．（本小题满分13分）

一个社会调查机构就某社区居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）.

（1）为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从

这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，求月收入在

[1500,2000)（元）段应抽出的人数；

（2）为了估计该社区3个居民中恰有2个月收入在[2000,3000)（元）

的概率，采用随机模拟的方法：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，我们用0，1，2，3，…表示收入在[2000,3000)（元）的居民，剩余的数字表示月收入不在[2000,3000)（元）的居民；再以每三

个随机数为一组，代表统计的结果，经随机模拟产生了20组随机数如

下： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989

据此估计，计算该社区3个居民中恰好有2个月收入在[2000,3000)（元）的概率.

(3)任意抽取该社区6个居民，用ξ表示月收入在（2000,3000）（元）的人数，求ξ的数学期望。

5. （本小题满分12分）在ABC ?中，a b c 、、分别为角A B C 、、的对边，△ABC 的面积S 满足

3

cos 2

S bc A =

.（1）求角A 的值； （2）若3a =，设角B 的大小为,x 用x 表示c ，并求c 的取值范围．

1000O 第17题图月收入(元)频率组距1500200025003000350040000.0001

0.0002

0.00030.00040.0005

男女6432性别

人数科别

甲科室乙科室

6.(本小题满分12分) 某单位甲乙两个科室人数及男女工作人员分布情况见右表.现 采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两个

科室中共抽取3名工作人员进行一项关于“低碳生活”的调查.

（1）求从甲、乙两科室各抽取的人数； （2）求从甲科室抽取的工作人员中至少有1名女性的概率；

（3）记ξ表示抽取的3名工作人员中男性的人数，求ξ的分布列及数学期望.w.w.w..s.5.u.c.o.m

7. （本小题满分14分）

已知数列{}n a 是首项11a =，公差大于０的等差数列，其前ｎ项和为n S ，数列{}n b 是首项12b =的等比数

列，且2216b S =,3372b S =．

(1) 求n a 和n b ；

(2) 令11c =，221k k c a -=，212k k k c a kb +=+（???=,3,2,1k ），求数列{}n c 的前12+n 项和12+n T ．

D C

B

A

P

8．（本小题满分14分）

已知如图5，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 为矩形，且PA=AD=1,AB=2, 120PAB ∠=,90PBC ∠=. (1)求证：平面PAD ⊥平面PAB ； (2)求三棱锥D －PAC 的体积； (3)求直线PC 与平面ABCD 所成角的正弦值． 图5

9、设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的。 （Ⅰ）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率； （Ⅱ）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；

（Ⅲ）记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布列及期望。

6、设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知1a a =，13n n n a S +=+，*

n ∈N ．

（Ⅰ）设3n

n n b S =-，求数列{}n b 的通项公式；

（Ⅱ）若1n n a a +≥，*

n ∈N ，求a 的取值范围．

1．(本小题满分12分)解：(1 ) 求得=a 0.5 =b 0.3.

(2) ①依题意，随机选取一天，销售量为1.5吨的概率5.0=p

设5天中该种商品有X 天的销售量为1.5吨，则X ～B （5,0.5）

3125.0)5.01(5.0)2(322

5=-??==C X P ②ξ的可能取值为4,5,6,7,8，则04.02.0)4(2

===ξP

2.05.02.02)5(=??==ξP ，37.0

3.02.025.0)6(2=??+==ξP 3.05.03.02)7(=??==ξP ，09.03.0)8(2===ξP ξ的分布列:

ξ

4 5 6 7 8 p

0.04

0.2

0.37

0.3

0.09

2．（本小题满分14分）

解（1）连接BD ，记O BD AC = ，在梯形ABCD 中，因为a CB DC AD ===，CD AB //，所以

DAC CAB ACD ∠=∠=∠，

2

3π

π+

∠=∠+∠+∠=∠+∠=DAC ACB ACD DAB BCD ABC ，6π

=

∠DAC ，

从而6π=∠CBO ，又因为2

π

=∠ACB ，a CB =，所以a CO 33=，连接FO ，由//AM 平面BDF 得FO AM //，因为ACFE 是矩形，所以a CO EM 3

3

==。 （2）以C 为原点，CA 、CB 、CF 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则)0 , 0 , 0(C ，

)0 , 0 , 3(a A ，)0 , , 0(a B ，)0 , 2

, 23(

a

a D -，) , 0 , 0(a F ，) , 0 , 3(a a E ， 设平面DEF 的一个法向量为) . . (1t s r n =，

则有?????=?=?0011

DF n EF n ，即?????=?+?+?-=?022

30

3t a s a

r a r a ， 解得)1 . 2 . 0(1-=n ， 同理可得平面BEF 的一个法向量为)1 . 1 . 0(2=n

观察知二面角D EF B --的平面角为锐角，所以其余弦值为10

10

|

|||||cos 2121=

?=

n n n n θ。

5.解：（1）在ABC ?中，由3cos 2S bc A =

1

sin 2

bc A = 得tan 3A = ∵0A π<< ∴3

A π

=-------------------------------------------5分

（2）由3,3

a A π

==

及正弦定理得

3

2sin sin 32

a c

A C

===，------------7分

∴22sin 2sin()2sin(

)3

c C A B x π

π==--=---------------------------9分 ∵3A π= ∴203x π<< ∴22033x ππ

<-<

--------------------10分 ∴20sin()13x π<-≤， 202sin()23

x π

<-≤ 即(0,2]c ∈ --------12分 6.解：（1）从甲组应抽取的人数为310215?=，从乙组中应抽取的人数为3

5115

?=；--------2分

（2）从甲组抽取的工作人员中至少有1名女性的概率26210213

C P C =-=（或1124642

102

3C C C P C +==） （3）ξ的可能取值为0，1，2，3

2142211054

(0)75

C C P C C ξ==?=，

1111246324212110510522

(1)75C C C C C P C C C C ξ==?+?=

， 2163211051

(3)5

C C P C C ξ==?=，

34

(2)1(0)(1)(3)75

P P P P ξξξξ==-=-=-==

（或 2111166432212110510534

(2)75

C C C C C P C C C C ξ==?+?=)-------10分

∴ξ的分布列如右

4223419

012375757555

E ξ=?+?+?+?=---------------------------------12分

7.解：(1)设数列{}n a 的公差为d （0d >）数列{}n b 的公比为q ， 则1(1),n a n d =+- 12n n b q -=

依题意得222(2)16b S q d =+=，2

332(33)72b S q d =+=

z y

x P

A

B C

D P

A

B

C

D

E 由此得2

(2)8

(1)12

q d q d +=??

+=? ∵0d >,解得2

2

d q =??

=?.-∴21n a n =-，2n n b =.

(2) ∵()211121342()2n T c a a b a a b +=++++++? +???212()n n n a a nb -+++

＝2121(2)n n S b b nb ++++???+

令122n A b b nb =+++

则2

2222n A n =+?+

+?

2312222(1)22n n A n n +=+?++-+?

212222n n A n +-=+++-?，∴11222n n A n ++=?-+

又2222(1)

42

n n n a S n +==， ∴2112114222n n n T n n +++=++?-+2134(1)2n n n +=++-.

8. (1)证明：∵ABCD 为矩形 ∴AD AB ⊥且//AD BC ∵BC PB ⊥ ∴DA PB ⊥且AB PB B =

∴DA ⊥平面PAB ,又∵DA ?平面PAD ∴平面PAD ⊥平面PAB

(2) ∵D PAC P DAC P ABC C PAB V V V V ----===-

由（1）知DA ⊥平面PAB ，且//AD BC ∴BC ⊥平面PAB

∴111

sin 332C PAB PAB V S BC PA AB PAB BC -?=?=???∠?133121626=????=----10分

（3）解法1：以点A 为坐标原点，AB 所在的直线为ｙ轴建立空间直角坐标系如

右图示，则依题意可得(0,0,1)D ,(0,2,1)C ,31

(,,0)22

P - 可得35

(

,,1)22CP =--, 平面ABCD 的单位法向量为(1,0,0)m =，设直线PC 与平面ABCD 所成角为θ，

则3

62cos()28||||325

11

44

m CP m CP πθ?-===??++ ∴6sin 8θ=，即直线PC 与平面ABCD 所成角的正弦值6

8

.

解法2：由（1）知DA ⊥平面PAB ，∵AD ?面ABCD

∴平面ABCD ⊥平面PAB, 在平面PAB 内，过点P 作PE ⊥AB ，垂足为E ， 则PE ⊥平面ABCD ，连结EC ，则∠PCE 为直线PC 与平面ABCD 所成的角 在Rt △PEA 中，∵∠PAE=60°，PA=1，∴3

2

PE =

, 又2

2

2

2cos1207PB PA AB PA AB =+-?= ∴2222PC PB BC =

+=

在Rt △PEC 中3

62sin 822PE PC θ===.即直线PC 与平面ABCD 所成角的正弦值6

8

. 2、【解】：记A 表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品， 记B 表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品，

记C 表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种，

记D 表示事件：进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种，

（Ⅰ）C A B A B =?+?

()(

)P C P A

B A B =?+?()()P A B P A B =?+?()()()()

P A P B P A P B

=?+? 0.50.40.50.6=?+?0.5=

（Ⅱ）D A B =? ()()

P D P A B =?()()

P A P B =?0.50.4=?0.2= ()()

10.8P D P D =-= （Ⅲ）()3,0.8B ξ

，故ξ的分布列

()300.20.008P ξ===

()1

2310.80.20.096P C ξ==??= ()22320.80.20.384P C ξ==??=

()330.80.512P ξ===

所以30.8 2.4E ξ=?= 6、解：

（Ⅰ）依题意，113n n n n n S S a S ++-==+，即123n

n n S S +=+，

由此得1

13

2(3)n n n n S S ++-=-． ······································································· 4分

因此，所求通项公式为

13(3)2n n n n b S a -=-=-，*n ∈N ．① ······························································ 6分

（Ⅱ）由①知13(3)2n n n S a -=+-，*

n ∈N ，于是，当2n ≥时，1n n n a S S -=-

1123(3)23(3)2n n n n a a ---=+-?---?1223(3)2n n a --=?+-， 1

2

143

(3)2

n n n n a a a --+-=?+-2

2

321232n n a --????=+-?? ???????

，

当2n ≥时，

2

1312302n n n a a a -+??

?+- ?

??

≥≥9a ?-≥．

又2113a a a =+>．

综上，所求的a 的取值范围是[)9-+∞，． ························································· 12分