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习题课三重积分 2

习题课三重积分

一、三重积分的概念

（ⅰ）定义：设),,(z y x f 是空间有界闭区域Ω上的有界函数。函数),,(z y x f 在闭

区域Ω上的三重积分

=???Ωdv z y x f ),,(i

i v f ?∑=),,(1

ηξ.其中Ω成为积分区域，

dv 称为体积元素

（ⅱ）当在),,(z y x f 有界闭区域Ω上连续时，三重积分

???Ω

z y x f ),,(一定存在。

（ⅲ）三重积分的物理意义：设物体占有空间有界闭区域Ω，它在点()z y x ,,处的体密度为()z y x ,,μ，并假定()z y x ,,μ在Ω上连续。则物体质量为

()dv z y x M ???Ω

=,,μ。

（2）三重积分的性质：二重积分的性质可推广到三重积分，如：（ⅰ）

V dv ,=???Ω

为Ω的体积；

（ⅱ）（三重积分的中值定理）设函数),,(z y x f 在闭区域Ω上连续，V 是Ω的

面积，则在Ω上至少存在一点),,(ξηζ使得 V

f dv z y x f ),,(),,(ξηζ=???Ω

二、三重积分的计算法

（ⅰ）利用直角坐标计算二重积分： ①

先

单

后

重

计

算

法

：

若空间闭区域

()()()(){

}xy D y x y x z z y x z z y x ∈≤≤=Ω,,,,,,21，若()()(){}b x a x y y x y y x D xy ≤≤≤≤=,,21，则三重积分可化为如下三次积分：

()()

()

()()

()

dz z y x f dy dx dz z y x f dxdy dv z y x f y x z y x z x y x y b

D y x z y x z xy

????

???==Ω

,,)

,()

,(212121,,),,(,,。

②先重后单计算法：设空间闭区域()(){}21,,,,c z c D y x z y x z ≤≤∈=Ω，其中z D 是竖标为z 的平面截闭区域Ω所得到的一个平面闭区域，则有：

()()dxdy z y x f dz dv z y x f z

D c c ??????

=Ω

,,,,2

（ⅱ）利用柱面坐标计算三重积分：若空间闭区域Ω可以表示为： },)()(,),(),(|),,{(2121βθαθρρθρθρθρθρ≤≤≤≤≤≤=Ωz z z z ，则

()()dz d d z f dxdydz z y x f θρρθρθρ??????Ω

=,sin ,cos ,,

=β

θρθρθρθρθρθρρρθ)

()

,()

,(2121),sin ,cos (z z dz z f d d

（ⅲ）利用球面坐标计算三重积分：若空间闭区域Ω可以表示为： },)()(,),(),(|),,{(2121βθαθ??θ?θ?θ?θ?≤≤≤≤≤≤=Ωr r r r ，则

()()θ???θ?θ?d drd r r r r f dxdydz z y x f sin cos ,sin sin ,cos sin ,,2??????

=β

θ?θ?θ?ρθ?ρ?θ?θ???θ)

()

,()

,(22121)cos ,sin sin ,cos sin (sin dr r r r r f d d

举例如下：

教科书 P164习题10-3、1，（1）直角坐标、（2），直角坐标（先单后重。先重后单）和柱坐标

（3）直角坐标。（4），先单后重。8，先重后单。9，（1）柱坐标。10，（1）球坐标

同步练习9.3-2 、三，

1.化三重积分???Ω

=dxdydz z y x I ),,(为三次积分其中积分区域Ω分别是:

(1)由双曲抛物面所围成的闭区域及平面01=-+=y x z xy (2)所围成的闭区域及平面由曲面122=+=z y x z (3)所围成的闭区域及由曲面22222x z y x z -=+=

(4)0,1),0(22

22==+>=z b

y a x c xy cz 由曲面所围成的在第一卦限内的闭区域。

解：（1）??

????-==xy

D xy dz z y x f dy dx dz z y x f dxdy I xy

),,(),,(

（2）?

?????---++==2

111

-1

),,(),,(x x y x D y x dz z y x f dy dx dz z y x f dxdy I xy

（3）联立.12222222=+-=+=y x z x z y x z 得，消去与所以Ω在xOy 面上的投

影区域从而为：,122≤+y x D xy ??

????-+-----+==2

22111

22.),,(),,(I x y x x x x y x D dz z y x f dy dx dz z y x f dxdy xy

（4）Ω在xOy 面上的投影区域xy D 为：,0,0,122

22≥≥≤+y x b

y a x Ω的上边界

为从而下边界为平面,0),0(1

=>=

z c xy c

z ?

??-==2

.),,(.),,(x a b a xy c a

xy c D dz z y x f dy dx dz z y x f dxdy I xy

8.计算???Ω

zdxdydz ，其中Ω是由锥面22y x R

z +=

与平面)0.0(>>=h R h z 所围成的闭区域。

解：Ω在z 轴上的投影区间为[0,h]过z 轴上的区间[0,h]内任何一点z 作垂直于z 轴的平面截Ω

得截面为一圆域z D ，其半径为:2222

2D .z h

R y x z h R z =+为：所以,其面积为222z h R π。

所以有4

h R dz z h

R z

dxdy zdz zdxdydz h

D h z

ππ=

==???????Ω

9.利用柱面坐标计算下列三重积分

（1）???Ω

zdv 其中Ω是曲面22222y x z y x z +=--=及所围成的闭区域.

解：联立2

2222y x z y x z +=--=及得：2222-2y x y x +=-即122=+y x 故Ω在

面xOy 上的投影区域为：122≤+y x .用柱坐标得：

7222421

020

202

θθπ

???? ??--==????????

-Ω

dr r r r d zdz

rdr d zdV r r

10.利用球面坐标计算下列三重积分

（1）dv z y x ???Ω

++222其中Ω是由球面1222=++z y x 所围成的闭区域。

解：

π??θπ

4s i n )(1

04020222==++??????

Ωdr r d d dV z y x

不定积分练习题及答案

不定积分练习题一、选择题、填空题： 1、(1 sin2X )dx 2 2、若e x是f(x)的原函数，贝x2f(l nx)dx ___________ 3、sin(ln x)dx _______ 2 4、已知e x是f (x)的一个原函数，贝V f (tanx)sec2xdx ___________ : 5、在积分曲线族dx 中，过(1,1点的积分曲线是y _______________ 6、F'(x) f(x)，则f '(ax b)dx ____________ ; 、1 7、设f (x)dx 2 c,则 x 8、设xf (x)dx arcs in x c,贝V ---------- dx f(x) 9、f '(lnx) 1 x,则f (x) _______ ; 10、若f (x)在(a,b)内连续，则在(a,b)内f (x) _________ (A)必有导函数(B)必有原函数(C)必有界(D)必有极限 11、若xf (x)dx xsin x sin xdx,贝Vf (x) _____ 12、若F'(x) f(x), '(x) f(x),贝V f (x)dx ______ (A)F(x) (B) (x) (C) (x) c (D)F(x) (x) c 13 、下列各式中正确的是：(A) d[ f (x)dx] f (x) (B)引 dx f (x)dx] f (x)dx (C) df(x) f(x) (D) df(x) f (x) c 14 、设f (x) e x,则： f(lnx) dx x 1 c x (A) 1 c x (B) lnx c (C) (D) ln x c ◎dx

国家开放大学电大人体生理学题库题库及答案

任务1-1 衡量组织细胞兴奋性高低的指标是（） A. 阈值 B. 静息电位 C. 刺激强度 D. 反应强度 E. 动作电位能刚好引起组织产生反应的最小刺激强度，称为阈强度或阈值，凡是刺激强度等于阈值的刺激称为（） A. 阈上刺激 B. 阈刺激 C. 最适刺 D. 阈电位 E. 阈下刺激引起动作电位的刺激必须是（） A. 物理刺激 B. 阈下刺激 C. 阈刺激或阈上刺激 D. 电刺激 E. 化学刺激兴奋性是指（） A. 细胞兴奋的外在表现 B. 机体对刺激发生反射的过程 C. 细胞对刺激产生反应的过程 D. 细胞对刺激产生动作电位的全过程 E. 细胞对刺激产生动作电位的能力关于阈值的叙述，错误的是（） A. 阈值是指能引起组织兴奋的最小刺激强度 B. 组织的兴奋性与阈值成反比 C. 阈值即阈电位 D. 阈值是判断组织兴奋性高低的常用指标 E. 阈值是指能引起组织产生动作电位的最小刺激强度任务1-2 内环境不包括（） A. 淋巴液 B. 组织液 C. 脑脊液 D. 血浆 E. 消化液

内环境稳态是指（） A. 细胞内液的化学成分相对恒定 B. 细胞外液的理化性质相对恒定 C. 细胞外液的化学成分相对恒定 D. 细胞内、外液理化性质相对恒定 E. 细胞内液的理化性质相对恒定机体的内环境指的是（） A. 体液 B. 淋巴液 C. 细胞内液 D. 血液 E. 细胞外液维持内环境稳态的重要调节机制是（） A. 自身调节 B. 正反馈 C. 负反馈 D. 体液调节 E. 神经调节举例说明内环境稳态的维持和意义，不正确的是 A. 体温、pH相对恒定利于维持酶的活性正常 B. 通过肾脏排出代谢尾产物维持水电解质和酸碱平衡 C. 缺氧、高烧、酸中毒等情况下，内环境的理化性质不发生变化 D. 通过呼吸运动维持细胞外液中O2与CO2分压的稳定 E. 通过消化和吸收补充营养物质，血糖正常提供能量任务1-3 关于反馈控制的叙述，正确的是（） A. 控制部分与受控制部分间为闭环式回路 B. 正反馈是维持稳态的重要调节形式 C. 反馈信息减弱控制信息作用者为正反馈 D. 控制部分与受控制部分之间为单向信息联系 E. 反馈信息减弱控制信息作用者为负反馈神经调节的基本方式是（） A. 神经冲动 B. 正反馈 C. 反应 D. 反射 E. 负反馈关于自身调节的叙述，正确的是（）

不定积分练习题及答案

不定积分练习题 2 11sin )_________ 2 x d x -=?一、选择题、填空题：、（ 2 2()(ln )_______x e f x x f x dx =?、若是的原函数，则： 3sin (ln )______x d x =?、 2 2 2 4()(tan )sec _________; 5(1,1)________; 6'()(),'()_________;1() 7(),_________;1 8()arcsin ,______() x x x e f x f x xd x d x y x x F x f x f a x b d x f e f x d x c d x x e xf x d x x c d x f x --===+== +==+=?? ??? ? ? 、已知是的一个原函数，则、在积分曲线族中，过点的积分曲线是、则、设则、设则____; 9'(ln )1,()________; 10()(,)(,)()______;()()()()11()sin sin ,()______; 12'()(),'()(),()_____()() ()() ()(f x x f x f x a b a b f x A B C D xf x d x x x xd x f x F x f x x f x f x d x A F x B x C x κ??=+== - = ===???、则、若在内连续，则在内必有导函数必有原函数必有界必有极限、若则、若则)()()()c D F x x c ?+++ 13()[()]() ()[()]()() ()() () ()()d A d f x dx f x B f x dx f x dx d x C df x f x D df x f x c === = +????、下列各式中正确的是： (ln )14(),_______ 11() ()ln () () ln x f x f x e dx x A c B x c C c D x c x x -==++-+-+? 、设则：

二重积分及三重积分的计算

第一部分定积分的计算一、定积分的计算例1 用定积分定义求极限. )0(21lim 1>++++∞→a n n a a a a n . 解原式=?∑=??? ? ??=∞→1011lim a a n i n x n n i dx = a a x a += ++11 11 1. 例2 求极限 ? +∞→10 2 1lim x x n n dx . 解法1 由10≤≤x ，知n n x x x ≤+≤ 2 10，于是? +≤1 2 10x x n ?≤1 n x dx dx . 而?1 0n x ()∞→→+=+= +n n n x dx n 01111 01，由夹逼准则得?+∞→1021lim x x n n dx =0. 解法2 利用广义积分中值定理 ()()x g x f b a ? ()()?=b a x g f dx ξdx （其中()x g 在区间[]b a ,上不变号）， ().101111 2 1 02 ≤≤+= +? ? n n n n dx x dx x x ξξ 由于11102≤+≤ n ξ ，即 211n ξ +有界， ()∞→→+=?n n dx x n 0111 0，故?+∞→1021lim x x n n dx =0. 注（1）当被积函数为( )22,x a x R +或() 22,a x x R -型可作相应变换. 如对积分() ?++3 1 2 2 112x x dx ，可设t x tan =；对积分 ()0220 2>-? a dx x ax x a ，由于 () 2 222a x a x ax --=-，可设 t a a x s i n =-. 对积分dx e x ? --2 ln 0 21，可设.sin t e x =- （2）()0,cos sin cos sin 2 ≠++=?d c dt t d t c t b t a I π 的积分一般方法如下：

不定积分例题及答案

第4章不定积分

习题4-1 1.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。解： 5 3 2 2 23x dx x C - - ==-+? ★(2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)22x x dx +? （）思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)422 331 1 x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。解：4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 2 1x dx x +?

思路:注意到22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34134 （- +-）2 思路:分项积分。解：34 11342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（- +-）2 223134 ln ||.423 x x x x C --=--++ ★ (8)23( 1dx x -+? 思路:分项积分。解：2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ? ★★ (9) 思路 =？ 111 7248 8 x x ++==，直接积分。解： 715 8 88 .15x dx x C ==+? ? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。解： 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解：21(1)(1) (1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? ★★(12)3x x e dx ?

三重积分及其计算和多重积分72254

第四节三重积分及其计算和多重积分在第三节中我们讨论了二重积分，本节将之推广到一般的n 维空间中去. 类似于第三节,我们先定义一个R 3中集合的可求体积性. 同样可以给出一列类似的结论. 读者自己推广. 这里将不再赘述. 一、引例设一个物体在空间R 3中占领了一个有界可求体积的区域V ，它的点密度为()z y x f ,,，现在要求这个物体的质量．假设密度函数是有界的连续函数，可以将区域V 分割为若干个可求体积的小区域n V V V ,...,,21，其体积分别是n V V V ???,...,,21，直径分别是n d d d ,...,,21，即},||sup{|i i V Q W WQ d ∈=, (i =1,2,…,n ）, |WQ|表示W, Q 两点的距离．设 },...,,m ax {21n d d d =λ，则当λ很小时，()z y x f ,,在i V 上的变化也很小．可以用这个小区域上的任意一点()i i i z y x ,,的密度()i i i z y x f ,,来近似整个小区域上的密度，这样我们可以求得这个小的立体的质量近似为()i i i i V z y x f ?,,，所有这样的小的立体的质量之和即为这个物体的质量的一个近似值．即 ()i i i i n i V z y x f M ?≈∑=,,1 ．当0→λ时，这个和式的极限存在，就是物体的质量．即 ()i i i i n i V z y x f M ?=∑=→,,lim 1 λ．从上面的讨论可以看出，整个求质量的过程和求曲顶柱体的体积是类似的，都是先分割，再求和，最后取极限．所以我们也可以得到下面一类积分．二、三重积分的定义设()z y x f ,,是空间3 R 中的一个有界可求体积的闭区域V 上的有界函数，将V 任意分割为若干个可求体积的小闭区域n V V V ,...,,21，这个分割也称为V 的分划，记为P : n V V V ,...,,21. Φ=?o o j i V V (空, j i ≠), 其体积分别是n V V V ???,...,,21，直径分别是n d d d ,...,,21．设 },...,,m ax {21n d d d =λ,或记为||P ||. 在每个小区域中任意取一点()i i i i V z y x ∈,,，作和 ()i i i i n i V z y x f ?∑=,,1 (称为Riemann 和)，若当0→λ时，这个和式的极限存在，则称其极

不定积分例题及答案理工类吴赣昌

第4章不定积分习题4-1 1.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！

★(1) ? 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。解： 53 2 2 23x dx x C --==-+? ★(2) dx ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+? ??? ★(3)22 x x dx +? （）思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++???（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422 22 3311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。解：422 32233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

经济数学(不定积分习题及答案)

第五章不定积分习题 5－1 1. 1. 验证在(-∞,+∞) 内, 221 sin , cos 2, cos 2x x x -- 都是同一函数的原函数. 解 221 (sin )'(cos 2)'(cos )'sin 22x x x x =-=-=因为 221 sin ,cos 2,cos sin 22x x x x --所以都是的原函数. 2. 2. 验证在(-∞,+∞) 内, 2222(),() 2()x x x x x x e e e e e e ---+-+都是的原函数. 解 2 2 22[()]' [()]'=2() x x x x x x e e e e e e - --+=-+因为 2222 ()() 2().x x x x x x e e e e e e ---+=-+所以都是的原函数 3.已知一个函数的导数是2 11 x -，并且当x = 1时, 该函数值是3 2π，求这个函数. 解设所求函数为f (x ), 则由题意知 '()f x = '(arcsin )x 因为 '()()d arcsin f x f x x x C ===+?所以又当x = 1时， 3 (1)2f π =，代入上式, 得C = π 故满足条件的函数为 ()f x =arcsin x π+. 3. 3. 设曲线通过点(1, 2) , 且其上任一点处的切线的斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线的方程. 解设曲线方程为 ()y f x =, 则由题意知'' ()2y f x x == 因为 2()'2x x = 所以 2'()d 2d y f x x x x x C = ==+? ? 又因为曲线过点(1, 2), 代入上式, 得C = 1 故所求曲线方程为 2 1y x =+. 5. 求函数y = cos x 的分别通过点( 0, 1) 与点(π, -1)的积分曲线的方程. 解设y = cos x 积分曲线方程为 ()y f x = 因为 ' (sin )cos x x = 所以 ()cos d sin f x x x x C ==+? 又因为积分曲线分别通过点( 0, 1) 与点(π, -1),代入上式, 得C 1 = 1 与 C 2 = -1. 故满足条件的积分曲线分别为

不定积分例题及答案

第4章不定积分内容概要课后习题全解习题4-1 1.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。

思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。解： 53 2 2 23x dx x C -- ==-+? ★(2) dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解：1 14111 33322 23()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)22 x x dx +? （）思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。解：4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +?

思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。解：22 21arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34 134（ -+-）2 思路:分项积分。解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-? ????34134（ -+-）2 ★ (8) 23(1dx x -+? 思路:分项积分。解：2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ?? ★★ (9) 思路 =？看到1117248 8 x x ++==，直接积分。解： 7 15 8 88 .15x dx x C ==+? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。解： 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解：21(1)(1)(1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? 3x x e dx ?

二、三重积分的计算技巧

二、三重积分的计算技巧重积分的计算中，对积分区域的熟悉非常重要，以下关于重积分的几种计算技巧均是基于积分区域的特点分析归纳得出。一、积分区域为圆（二重积分）或球（三重积分） 1、在闭区域D 为2 2 2 a y x ≤+的圆，区域关于原点，坐标轴均对称，则有（1） dxdy y dxdy x a y x a y x ????≤+≤+= 2 222222 2 （2）若n m ,中有一个为奇数有 .02 22=??≤+dxdy y x a y x m n 例1．求 dxdy y x a y x ?? ≤++2 22)3(2 2 解：根据对称性，原式=dxdy y x a y x ??≤++2 22)(2 2 2 =.24 200 3a dr r d a πθπ =?? 例2．求 dxdy y x a y x 2 2 22)3(??≤++ 解：原式= .2 5)(5)69(4 2 22 22 22222a dxdy y x dxdy xy y x a y x a y x π=+=++?? ?? ≤+≤+ 例3．求 .)53(2 2222 dxdydz z y x a z y x ??? ≤++++（积分区域为球）解：原式= .)10306259(2 222222dxdydz xz yz xy z y x a z y x ??? ≤+++++++ = .32854.335.)(335552222 22 2a a dxdydz z y x a z y x ππ==++???≤++ 2、在闭区域D 为2 2 2 )(a y a x ≤+-的圆上例4．求 dxdy x a y a x ??≤+-2 22)( 解：原式= .)(3 2 )(2 22a dxdy a a x a y a x π=+-??≤+-

(完整版)不定积分习题与答案

不定积分（Ａ）１、求下列不定积分１）?2 x dx ２） ? x x dx 2 ３） dx x ?-2)2 ( ４） dx x x ? +2 2 1 ５）??- ? dx x x x 3 2 5 3 2 ６） dx x x x ?2 2sin cos 2 cos ７） dx x e x) 3 2(?+ ８） dx x x x ) 1 1( 2 ?- ２、求下列不定积分（第一换元法）１） dx x ?-3)2 3( ２） ? - 33 2x dx ３） dt t t ?sin ４） ? ) ln(ln ln x x x dx ５）? x x dx sin cos６） ?- +x x e e dx ７） dx x x) cos(2 ? ８） dx x x ? -4 3 1 3 ９） dx x x ?3 cos sin 10） dx x x ? - - 2 4 9 1 11）? -1 22x dx 12） dx x ?3 cos 13)?xdx x3 cos 2 sin 14) ?xdx x sec tan3 15) dx x x ? +2 3 916) dx x x ? +2 2sin 4 cos 3 1 17) dx x x ? -2 arccos 2 1 10 18) dx x x x ? +) 1( arctan

3、求下列不定积分（第二换元法）１） dx x x ? +2 1 1 ２） dx x ?sin ３） dx x x ?-4 2 ４） ?> - )0 (, 2 2 2 a dx x a x ５）? +3 2)1 (x dx ６） ? +x dx 2 1 ７）? - +2 1x x dx ８） ? - +2 1 1x dx ４、求下列不定积分（分部积分法）１） inxdx xs ? ２） ?xdx arcsin ３）?xdx x ln 2 ４） dx x e x ?- 2 sin 2 ５）?xdx x arctan 2 ６） ?xdx x cos 2 ７）?xdx 2 ln ８） dx x x 2 cos2 2 ? ５、求下列不定积分（有理函数积分）１） dx x x ? +3 3 ２）? - + + dx x x x 10 3 3 2 2 3）? +)1 (2x x dx （Ｂ） 1、一曲线通过点 )3, (2e，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的方程。 2、已知一个函数 ) (x F的导函数为2 1 1 x -，且当1 = x时函数值为 π 2 3 ，试求此函数。

三重积分的计算方法小结与例题

三重积分的计算方法介绍：三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。从顺序看：如果先做定积分?2 1),,(z z dz z y x f ，再做二重积分??D d y x F σ),(，就是“投影法”，也即“先一后二”。步骤为：找Ω及在xoy 面投影域D 。多D 上一点（x,y ）“穿线”确定z 的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D 上的二重积分，完成“后二”这一步。σd dz z y x f dv z y x f D z z ??????Ω =2 1]),,([),,( 如果先做二重积分??z D d z y x f σ),,(再做定积分?2 1 )(c c dz z F ，就是“截面法”，也即“先二后一”。步骤为：确定Ω位于平面21c z c z ==与之间，即],[21c c z ∈，过z 作平行于xoy 面的平面截Ω，截面z D 。区域z D 的边界曲面都是z 的函数。计算区域z D 上的二重积分??z D d z y x f σ),,(，完成了“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分?2 1 )(c c dz z F ，完成“后一”这一步。dz d z y x f dv z y x f c c D z ]),,([),,(2 1σ??????Ω = 当被积函数f （z ）仅为z 的函数（与x,y 无关），且z D 的面积)(z σ容易求出时，“截面法”尤为方便。为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。可以按以下几点考虑：将积分区域Ω投影到xoy 面，得投影区域D(平面) （1） D 是X 型或Y 型，可选择直角坐标系计算（当Ω的边界曲

不定积分_定积分复习题与答案

上海第二工业大学不定积分、定积分测验试卷姓名：学号：班级：成绩：一、选择题：（每小格3分，共30分） 1、设 sin x x 为()f x 的一个原函数，且0a ≠，则()f ax dx a ?应等于（）（A ）3sin ax C a x +；（B ）2sin ax C a x +；（C ）sin ax C ax +；（D ）sin ax C x + 2、若x e 在(,)-∞+∞上不定积分是()F x C +，则()F x =（）（A ）12,0(),0x x e c x F x e c x -?+≥=?-+?? ===??-<>。令1()b a s f x dx =?，2()()s f b b a =- 31 [()()]()2 s f a f b b a =+-，则（）（A ）123s s s <<；（B ）213s s s <<；（C ）312s s s <<；（D ）231s s s <<

三重积分的计算方法与例题

三重积分的计算方法：三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分(一重积分)和一个二重积分。从顺序看： Z 2 如果先做定积分f(x, y,z)dz，再做二重积分F(x,y)肚，就是“投 Z i D 影法；也即“先一后二。步骤为：找。及在xoy面投影域D。多D上一点(x,y) “穿线”确定的积分限，完成了“先一”这一步(定积分)；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D上的二重积分，完成“后二” Z 2 这一步。f(x, y,z)dv 二[f(x, y,z)dz]d二 Q D z i C2 如果先做二重积分f(x,y,z)d匚再做定积分F(z)dz，就是“截面 D z c i 法；也即“先二后一。步骤为：确定。位于平面Z = C i与Z = C2之间，即 z?[C i,C2]，过z作平行于xoy面的平面截门，截面D z。区域D z的边界曲面都是z的函数。计算区域D z上的二重积分..f(x,y,z)d二，完成 D z C2 了“先二”这一步(二重积分)；进而计算定积分J F(z)dz，完成“后一” C i C2 这一步。川f(x, y,z)dv = [ f (x, y,z)d；「]dz Q C i D z 当被积函数f (z)仅为z的函数(与x,y无关)，且D z的面积二⑵ 容易求出时，“截面法”尤为方便。为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。可以按以下几点考虑：将积分区域「投影到xoy面，得投影区域D(平

面) (1)D是X型或丫型，可选择直角坐标系计算(当「的边界曲面中有较多的平面时，常用直角坐标系计算) (2)D是圆域(或其部分)，且被积函数形如f(x2y2), f(^)时, x 可选择柱面坐标系计算(当「为圆柱体或圆锥体时，常用柱面坐标计算) (3)「是球体或球顶锥体，且被积函数形如f(x2 y2 z2)时，可选择球面坐标系计算以上是一般常见的三重积分的计算方法。对-向其它坐标面投影或门不易作出的情形不赘述。三重积分的计算方法小结： 1. 对三重积分，采用“投影法”还是“截面法'要视积分域门及被积函数f(x,y,z)的情况选取。一般地，投影法(先一后二)：较直观易掌握；截面法(先二后一)：D z是门在z处的截面，其边界曲线方程易写错，故较难一些。特殊地，对D z积分时，f(x,y,z)与x,y无关，可直接计算S°z。因而门中只要z- [a,b],且f(x,y,z)仅含z时，选取“截面法”更佳。 2. 对坐标系的选取，当「为柱体，锥体，或由柱面，锥面，旋转抛物面与其它曲面所围成的形体；被积函数为仅含 z或zf(x2 y2)时，可考虑用柱面坐标计算。

习题课11--三重积分部分

宁波工程学院高等数学AI 教案习题课11（三重积分部分） 1.利用二重积分、三重积分求下列立体Ω的体积： ⑵ Ω是由平面0,0,1x y x y ==+=所围成的柱面被平面0z =及抛物面226x y z +=-所截得的立体. 2.化三重积分dv z y x f ???Ω ).,(为三次积分，其中积分区域Ω是：由曲面z x y =及平面 1,0,0,0x y z x y +====围成的位于第一卦限的闭区域. 3.dv z ???Ω 2其中Ω为两个球体2222R z y x =++与2222x y z Rz ++=的公共部分(0)R >. 提示：用坐标轴投影法. 4.利用柱面坐标计算下列三重积分：（1）v d y x ???+Ω22，其中Ω是由曲面22 9z x y =--及平面0z =所围成的闭区域；（2）v d y ???Ω ，其中Ω是由曲面22z x y =+及平面2z y =所围成的闭区域. （3）??? Ω++1 22y x dxdydz ，其中Ω为锥面222z y x =+及平面1=z 所围成的闭区域；（4）dxdydz y x z ???Ω+22，其中Ω由曲面22x x y -= ，0=z ，)0(>=a a z ， 0=y 所围成的闭区域。 5.利用球面坐标计算下列三重积分：（1）dv y ??? Ω2，其中Ω为介于两球面2222 x y z a ++=与2222b z y x =++之间的部分(0)a b ≤<. （2）v d y x ???Ω+)(22，其中Ω是由曲面z = 与z =所围成的闭区域. （3）计算???Ω ++dv z y x f )(2 22，Ω： 1222≤++z y x （4）计算 dv e z y x Z ???≤++1 222 6.选用适当的坐标系计算下列三重积分。

(初稿)三重积分计算方法小结

江西师范大学数学与信息科学学院学士学位论文三重积分的计算方法小结Methods of Calculation of Triple Integral 姓名：蒋晓颖学号： 1007012048 学院：数学与信息科学学院专业：数学与应用数学指导老师：蒋新荣（副教授）完成时间：2014年1月23日

三重积分的计算方法小结蒋晓颖【摘要】三重积分的计算是数学分析中的难点，本文结合教材以及相关资料较全面地给出了三重积分计算中的四种处理方法。第一，利用降低三重积分重数的思想，将其化为累次积分；第二，采用坐标变换的方法，将积分体表示成适当的形式；第三，充分运用被积函数的奇偶性和积分区域的对称性，简化计算；第四，利用高斯公式将三重积分的计算转化成曲面积分计算。希望这几种方法能对学习者具有一定的指导意义。【关键词】三重积分累次积分坐标变换对称性高斯公式

Methods of Calculation of Triple Integral Jiang Xiaoying 【Abstract】The calculation of triple integral is the difficulty in Mathematics analysis．In this paper，unifying the teaching and related materials ，we give four instructive methods of the calculation of triple integral for learner．The four methods are as follows：the first，lower the multiplicity of triple integral and replace it with iterated integral；the second，with the method of coordinate alternate，we can transform the integral volume into appropriate form；the third，fully use the parity of integrand and symmetry of integral area to simplify calculation；finally，we can calculate the triple integral with the Gauss formula that could transform triple integral into a surface integral．【Key words】triple integral iterated integral coordinate alternate symmetry Gauss formula

不定积分-定积分复习题及答案-精品

不定积分-定积分复习题及答案-精品不定积分、定积分测验试卷姓名：学号：班级：成绩：一、选择题：（每小格3分，共30分） 1、设 sin x x 为()f x 的一个原函数，且0a ≠，则() f ax dx a ?应等于（）（A ）3sin ax C a x +；（B ）2sin ax C a x +；（C ）sin ax C ax +；（D ）sin ax C x + 2、若x e 在(,)-∞+∞上不定积分是()F x C +，则()F x =（）（A ）12,0(),0x x e c x F x e c x -?+≥=?-+?? ===??-<>。令1()b a s f x dx = ? ，2()()s f b b a =- 31 [()()]()2 s f a f b b a =+-，则（）（A ）123s s s <<；（B ）213s s s <<；（C ）312s s s <<；（D ）231s s s << 二、填空题：（每小格3分，共30分）

习题课三重积分 2

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