第4讲--- 一次方程与分式方程

第4讲---- 一次方程与分式方程

?

方程

1. 含有未知数的等式叫做方程．

2. 只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，系数不为0，这样的整式方程叫一元一次方程．

3. 性质1：等式两边同时加上或减去一个代数式，所得结果仍是等式．即若a =b ，则a ±m =b ±m ． 性质2：等式两边同时乘以或者除以一个（不为0）代数式，所得结果仍是等式．即若am =bm ，

()0≠=

d bm

am

d a ． 4. 解一元一次方程的解法：解一元一次方程的一般步骤为： ①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；

⑤未知数系数化为1． ?二元一次方程

1．二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程． 2．二元一次方程的解：适合一个二元一次方程的一组未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解． 3．二元一次方程组：由两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组．

4．二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程的解． 5．解二元一次方程组的方法： ①代入消元法； ②加减消元法． 6．直线11y a x b =+与22y a x b =+的交点坐标，即为方程组???=+=+y b x a y

b x a 22

11的解．

?分式方程

1．分母中含有未知数的方程叫分式方程；

2．在分式方程变形中，有时产生使原分式方程的分母为零的根，这种根不适合原方程，叫做原方程的增根． 分式方程的解法：

3．解分式方程的思路是把分式方程转化为整式方程；

4．解分式方程的步骤是： ① 化分式方程为整式方程； ② 解整式方程； ③ 验根．

6．分式方程的验根方法： 一是将根代入原方程进行验根； 二是将根代入分母的最简公分母进行验根，看其值是否等于零．

7．分式方程的增根不是原分式方程的根，但其是将原分式方程去分母后所得整式方程的根． 8．若某分式方程有增根，则各分式的最简公分母的值为零．

知识梳理

考点一：等式的基本性质

【例1】 若x y =，那么下列各式成立的是（ ） A.53x y +=+

B.32x y -=-

C.ax ay =

D.x y a a

= 【例2】 运用等式的性质对等式进行的变形中，正确的是（ ） A.若x y =，则55x y -=+ B.若a b =，则ac bc =

C.若

a b c c =，则32a b =

D .若x y =，则22x y

a a

= 【例3】 若a b =，则下列结论正确的是（ ）

A.a b =

B.11

a b

= C.

2211

11

a b =

++ D.a b =-

考点二：方程的概念（一元一次方程，二元一次方程） 【例4】

已知下列方程①22x x -=

，②0.31x =，③512

x

x =-，④247x x -=，⑤0x =，⑥23x y +=，其中是一元一次方程的个数是（ ） A.2 B.3 C.4 D.5

【例5】 已知1

(2)20m m x --+=是一元一次方程，则m 的值为_________

【例6】

下列方程①

15y x +=，②52x y -=，③230x -=，④1xy =，⑤123

x y

+=中，是二元一次方程的个数为（ ） A.2

B.3

C.4

D.5

【例7】

已知方程311

13

n mx y x ++=-是关于x 、y 的二元一次方程，则m 、n 需要满足的条件为_______

考点三：方程的解（一元一次方程，二元一次方程，分式方程） 【例8】

已知21x y =??=?

是方程25x ay +=的解，则______a =

【例9】 分式方程15

4

x x =

+的解是（ ） A ．1-

B ．

23

C ．1

D ．无解

考点精讲

【例10】 分式方程

()()

1112x m x x x -=--+有增根，则m 的值为 ． 考点五：解方程（一元一次方程，二元一次方程，分式方程） 【例11】

解方程：

21101

1

36x x ++-=

253164x x ---=

【例12】 解方程组⑴25342x y x y -=??+=? ⑵2

52234

m n

m n ?-=???+=?

（3）892317674x y x y +=??

-=? 2

153224(4)111

4

66x y x y ?+=-????-=-??

【例13】 解分式方程：

2

28

224x x x x x +-=+-- 11

4112=---+x x x

一、选择题

1. 由方程组??

?=-=+m y m x 36，

可得出x 与y 的关系式是（ ）

A ．9x y +=

B ．3x y +=

C ．3x y +=-

D ．9x y +=-

2. 下列方程中①11037x x ++=；②43192x x -=-；③431x x =-；④23052

x ax

a a -=-+(a 为常数)是分式方

程的个数为（ ）

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

3. .已知223(211)0x y x y --+++=，则（ ）

A.2

1x y =??=?

B.0

3x y =??=-?

C.1

5x y =-??=-?

D.2

7x y =-??=-?

4. 若方程组111222a x b y c a x b y c +=??+=?的解是3

5x y =??=?，则方程111222

(2)(1)(2)(1)a x b y c a x b y c -++=??-++=?的解是（ ）

A.3

5x y =??=?

B.5

3x y =??=?

C.5

4x y =??=?

D.1

6x y =??=?

二、填空题

5. 当______a =时，关于x 的方程

2123

336

x a x a +-=--的解等于2. 6. 已知x 、y 满足方程组21005

21004x y x y +=??+=-?错误！未找到引用源。，则x y -的值为_________．

7. 已知方程组:230230

x y z x y z -+=??-+=?(0xyz ≠)，则________x y

z +=

8. 已知方程

355x a

x x

=+

--有增根，则a 的值为_________ 9. 若关于x 的分式方程3

132--=-x m

x 有增根，求m 的值. 三、解答题 11． 解方程：0.130.41200.20.5

x x +--=

课堂练习

13. 解方程： （1）222453224x x x x x -=-+- （2）2223122

211

x x x x x x x x ---=+++-

14. 解方程组：3(1)4(4)5(1)3(5)y x x y -=-??-=+? 3221

245

32310

4

5x y x y --?+=???

++?-=??

15. 若分式方程12

2-=-+x a

x 的解是正数，求a 的取值范围.

1.

下列变形中，不正确的是（ ） A ．若25x x =，则5x =．

B ．若77,x -=则1x =-．

C ．若

10.2x x -=，则10

12

x x -=． D ．若

x y

a a

=，则ax ay =．2. 下列各式不是方程的是（ ） A ．24y y -=

B ．2m n =

C ．222p pq q -+

D ．0x =3. 解为2x =-的方程是（ ） A ．240x -=

B ．53

62

x +=

C ．3(2)(3)5x x x ---=

D ．

275

462

x x --=-4. 若关于x 的方程2(2||)(2)(52)0m x m x m -+---=是一元一次方程，求m 的解．

5. 若方程组23133530.9a b a b -=??+=?的解是8.3

1.2a b =??=?则方程组2(2)3(1)133(2)5(1)30.9x y x y +--=??++-=?

的解是（ ）

A ． 6.3

2.2x y =??=?

B ．8.3

1.2x y =??=?

C ．10.3

2.2x y =??=?

D ．10.3

0.2x y =??=?

6. 在分式

12

111

f f f =+中，用2,f f 表示1f ，则（ ） （A ）12f f f =- （B ）

12111

f f f =- （C ）212f f f ff -=

（D ）212f f f f f

=- 7. 已知关于x 的方程211

a x x x +

=--有增根，则a 的值是（ ） （A ）1 （B ）－1 （C ）0 （D ）2 8. 若分式方程

2121k x x x x

+=--无解，则k 的取值是 。 课后作业

9. 已知关于x 的方程

233

x m

x x -=

--有一个正数解，则m 的取值范围是___________。

北师大版数学八下5.4《分式方程(第一课时)》 教案

分式方程 第一课时 一、教学目标： （1）通过对实际问题的分析，感受分式方程刻画现实世界的有效模型的意义. （2）通过观察，归纳分式方程的概念. （3）体会分式方程到整式方程的转化思想． （4）掌握分式方程的解法 二、教学重点： 掌握分式方程的概念和分式方程的解法. 三、教学难点： 利用分式的基本性质、等式的基本性质将等式方程转化为一元一次方程去解，并体会两者的联系与区别. 四、教学过程: （一）回顾与思考 1. 什么叫做一元一次方程? 只含有一个未知数，并且未知数的指数为1，这样的方程叫做一元一次方程. 2. 下列方程哪些是一元一次方程? (1)3x-5=3 (2)x+2y=5 5)3(2=?x x 15 13)4(=+?x x 3.解一元一次方程的步骤有哪些？ 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 4. 请解方程： 解： 去分母，得 5x-3(x+1)=15 去括号，得 5x-3x-3=15 移项，得 5x-3x=15+3 合并同类项， 得 2x=18 系数化为1，得 x=9 经检验：x=9是原方程的根. 15 13=+?x x

（二）新知探究 1．小麦实验田问题 有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦9000kg 和15000kg.已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3000kg ，分别求出这两块试验田每公顷的产量. 你能找出这一问题中的所有等量关系吗？ （1）第一块面积=第二块面积， （2）每公顷的产量土地面积 总产量= （3）第一块实验田每公顷的产量=+kg 3000第二块试验田每公顷的产量 如果设第一块实验田每公顷的产量为xkg ，那么第二块试验田每公顷的产量是（x+3000）kg. 根据题意，可得方程： 2.高速公路问题 从甲地到乙地有两条长路：一条是全长600km 的普通公路，另一条是全长480km 的高速公路.某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45h km /，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间. 这一问题中有哪些等量关系？ 如果设客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间为 xh ，那么它由普通公路从甲地到乙地所需的时间为2x h . 根据题意，可得方程 452600480=?x x 3.捐款问题 （这个题目不要求学生讨论.让学生独立完成.） 为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园.某学校号召同学们自愿捐款.已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款总额为5000元，第二次捐款人数比第一次多20人， 3000150009000+=x x

分式方程的解法及应用(提高)知识讲解

分式方程的解法及应用（提高） 责编：杜少波 【学习目标】 1. 了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程． 2. 会列出分式方程解简单的应用问题． 【要点梳理】 【高清课堂分式方程的解法及应用知识要点】 要点一、分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫分式方程. 要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. （2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数 的方程是整式方程. （3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 要点二、分式方程的解法 解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根. 解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 要点三、解分式方程产生增根的原因 方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根. 产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根. 要点诠释：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方 程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方 程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根. （2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中 没有错误的前提下进行的. 要点四、分式方程的应用 分式方程的应用主要就是列方程解应用题. 列分式方程解应用题按下列步骤进行： （1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系； （2）设未知数； （3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程； （4）解这个分式方程；

《分式方程》第二课时导学案

3.4.2 分式方程（二） ●学习目标 1.通过讨论交流说出解分式方程的步骤，并解分式方程。 2.小组交流讨论得出解分式方程验根的必要性及出现增根的原因。 ●学习重点 通过讨论交流熟练解分式方程，并说出解分式方程的步骤。 ●学习难点 小组交流讨论得出解分式方程验根的必要性及出现增根的原因。 ●学习过程 一.提出问题，引入新课 1、当 x 时，分式 无意义。 2、下列方程是分式方程的是（ ） 二自主学习 目标：1.同桌间相互交流得出解分式方程的一般步骤 2.小组内讨论交流得出验根的必要性及方程出现增根的原因。 52433.=+x x A 775.-=x x B 2351.+=+x x C 2)1(3 1.=+x D 32--x x

内容：课本88-89页 方法：（1）自学例1，例2，自己总结得出解分式方程的一般步骤，同桌之间可互相交流。（2）自学议一议，说出分式方程出现增根的原因，不懂得地方在小组长的带领下进行交流。 时间：8分钟 三：合作交流 1：课本中出现的疑问。 2：分式方程出现增根的原因。 四：检测题 1.解方程： （1）13-x =x 4;（2）1210-x +x 215-=2. ［分析］先总结解分式方程的几个步骤，然后解题. 解：（1）13-x =x 4 去分母，方程两边同乘以x （x －1），得 3x=4（x －1） 解这个方程，得x=4 检验：把x=4代入x （x －1）=4×3=12≠0， 所以原方程的根为x=4. （2）1210-x +x 215-=2

去分母，方程两边同乘以（2x －1），得 10－5=2（2x －1） 解这个方程，得x=4 7 检验：把x=47代入原方程分母2x －1=2×47－1=25≠0. 所以原方程的根为x=47. 五：小结 解分式方程一般需要经过哪几步骤？ （1）在方程两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程。 （2）解这个整式方程。 （3）验根。 简记：一去分母-----乘以最简公分母。 二解整式方程。 三验根 六：反馈练习

第4课时：分式乘除法

【学习课题】第4课时 分式乘除法 【学习目标】1、类比分数乘除法的运算法则.探索分式乘除法的运算法则； 2、会进行分式的乘除法的运算； 【学习重点】掌握分式乘除法的法则及其应用。 【学习难点】分子、分母是多项式的分式的乘除法的运算。 【学习过程】 学习准备： 1. 阅读教材74—76。 2. 计算 (1) 627 5 ? = (2) 411______22 3 ? = (3) 53_____9 10 ÷ = (4) 42______9 3 ÷ = 新知探究 3.思考： a b × c d =? a b ÷ c d =?与同伴交流总结并完成填空： 两个分式相乘，把____________作为积的分子，把_____________作为积的分母，用字母表示_____________； 两个分式相除，把_____________________________后再与____________,用字母表示_________________。 例1计算 （1）y x 34·3 2x y ; （2）2 63y xy x ÷ （3）4 2 232934m n n m ???? ? ??? ?? 解： 43x y · 3 2y x （两个分式相乘） 解：2 63y xy x ÷ 解：4 2 232938m n n m ???? ? ?? ??? = 3 234x y y x ??（分子相乘，分母相乘） =2 2 36x xy y ? (将除变为乘) = 8 212 2 16818164m n n m ? = 2 3222x xy xy ??（提公因式） = 2 263y x xy ? =610 4m n = 2 32x （约分） = 2 12 x 注意：（1）将算式对照乘除法运算法则，进行运算；（2）强调运算结果如不是最简分式时，一定要进行约分，使运算结果化为最简分式. 即时练习：计算（1）2a b b a ? （2）2 233b b a a ?? ÷- ??? （3）3 2 223b a a b ???? ? ?? ???

分式方程的概念-解法及应用

分式方程的解法及应用 一、目标与策略 明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！ 学习目标： ● 分式方程的概念以及解法； ● 分式方程产生增根的原因； ● 分式方程的应用题。 重点难点： ● 重点：分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想，用分式方程解决实际问题，能从实际问题中抽象出数量 关系． ● 难点：检验分式方程解的原因，实际问题中数量关系的分析． 学习策略： ● 经历“实际问题——分式方程——整式方程”的过程，发展分析问题、解决问题的能力，渗透数学的转化思想，培 养数学的应用意识。 二、学习与应用 （一）什么叫方程？什么叫方程的解？ 答：含有 的 叫做方程． 使方程两边相等的 的值，叫做方程的解． （二）分式的基本性质： 分式的分子与分母同乘（或除以）同一个 ，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质．用式子表示是： M B M A B A M B M A B A ÷÷=??=,（其中M 是不等于0的整式）． “凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对 知识回顾——复习 学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？

（三）等式的基本性质：等式的两边都乘（或除以）同一个数或 （除数不能为0），所得的结果仍是等式。 （四）解下列方程：（1）9－3x ＝5x ＋5； （2）5 2221+-=--y y y 知识点一：分式方程的定义 里含有未知数的方程叫分式方程。 要点诠释： （1）分式方程的三个重要特征：①是 ；②含有 ；③分母里含 有 。 （2）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有 （不是一般 的字母系数），分母中含有未知数的方程是 ，不含有未知数的方程是 方程，如：关于x 的方程 x x =-21和12723+=-x x 都是 方程，而关于x 的方程x x a =-21和d c b x =+1都是 方程。 知识点二：分式方程的解法 （一）解分式方程的基本思想 把分式方程化为 方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分 母，将分式方程转化为整式方程，然后利用整式方程的解法求解。 （二）解分式方程的一般方法和步骤 （1） ，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程。 （2）解这个 方程。 （3） ：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是 原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的 。 注：分式方程必须 ；增根一定适合分式方程转化后的整式方程， 知识要点——预习和课堂学习 认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听 课学习。请在虚线部分填写预习内容，在实线部分填写课堂学习内容。课堂笔记或者其它补 充填在右栏。详细内容请参看网校资源ID ：#tbjx5#233542

分式方程(第二课时)教学设计

分式方程（2） 〖教学目标〗 ◆1、掌握用分式方程解应用题的一般方法和步骤． ◆2、理解公式变形的实质就是简单的字母分式方程，其在变形过程中的方法和分式方程的解法一致，但应注意谁是常量，谁是变量． ◆3、掌握简单的公式变形方法，在实际应用中能基本变形． 〖教学重点与难点〗 ◆教学重点：利用分式方程解应用题和公式变形是本节重点． ◆教学难点：公式变形中用到字母分式方程的知识，学生较难理解，是本节难点． 〖教学过程〗 （一）：1：复习用一元一次方程解应用题的一般步骤 ① 理解问题，搞清未知和已知，分析数量关系 ② 制订计划，考虑如何根据等量关系设元，列出方程 ③ 执行计划，列出方程并求解 ④ 回顾，检验答案的正确性及是否符合题意 2：用分式方程解应用题的一般步骤和一元一次方程类似。 例1：工厂生产一种电子配件，每只成本为2元，毛利率为25%，后 来该工厂通过改进工艺，降低了成本，在售价不变的情况下，毛利率增加了15%，问这种配件每只的成本降低了多少元？（精确到0.01元） 分析：这道题主要弄清楚一个分式，毛利率=100%-?售价成本成本

解：设这种电子配件每只的成本降低了X 元，改进工艺前，每只售 价为2(125%) 2.5?+=元，由题意得2.5(2)25%15%2x x --=+- 解这个方程约x=314 0.21≈（元） 经检验：314 x =是方程的根，且符合题意 答：每只成本降低了0.21元。 （二）：分式变形：公式变形其实就是解字母方程，注意把要表示的字母当成 未知数，其余的当成已知数。 例2：把公式111f u v =+ 变为已知f 、v ，求u 的公式 111v f u f v fv -=-= fv u v f ∴= - ②当堂训练：已知商品的买入价为a ，售出价为b ，毛利率b a p a -= （b>a ）把这个分式变形成已知p 、b ，求a 的分式 解：pa=b-a pa+a=b (p+1)a=b 1b a p =+ (三)：课内练习：见书本习题 （四）：作业：见作业题 教学反思: 这个内容是要我们掌握用分式方程解应用题的一般方法和步骤．理解公式变形的实质就是简单的字母分式方程，其在变形过程中的方法和分式方程的解法

《分式方程(第一课时)》教学设计

分式方程（第1课时）教学设计 一、教学目标 知识与能力（1）了解分式方程的概念。 （2）了解需要对分式方程的解进得检验的原因。 过程与方法会用去分母的方法解可化为一元一次方程的简单分式方程，体会化归思想和程序化思想。 情感态度与价值观通过对本节课的学习使学生养成严谨的数学思维，培养学生发现问题，分析问题，解决问题的能力。 二、教学重难点 重点利用去分母的方法解分式方程。 难点了解用去分母的方法解分式方程产生增根的原因。 三、学情及学法分析 这是八年级学生第一次接触分式方程，在对整式方程的认识还不够深入的情况下，就遇到比解整式方程复杂的求解过程和可能产生增根的新情况，学生对此内容的接受会有很大困难，特别是产生增根的原因，学生没有认知准备。 四、教学过程 1、创设情境，引入课题 问题1 为了解决引言中的问题，我们得到了方程 9060 3030 v v = +- 。仔细观察这个方程， 未知数的位置有什么特点？ 师生活动：学生独立思考并作答。 设计意图：由实际问题引出分母中含有未知数胡方程，让学生了解研究分式方程的必要性。 追问1：方程12 23 x x = + ， 2 110 525 x x = -- ， 2 1 133 x x x x =+ ++ 与上面的方程有什么共同 特征？ 追问2：你能再写出几个分式方程吗？ 设计意图：让学生进一步巩固对分式方程概念的认识。 2、思考探索，获取新知 问题2 你能试着解分式方程 9060 3030 v v = +- 吗？ 师生活动：学生分组讨论，相互交流。教师适当给出提示和纠正。并派出学生代表将不同的解法展示在黑板上，学生相互交流。 设计意图：让学生在已有的知道经验基础上，尝试解分式方程。 问题3 这些解法有什么共同特点？ 师生活动：学生讨论之后，教师总结，这些解法的共同点是先去分母将分式方程转化为整式方程式，再解整式方程，进而通过以下几个问题明确解分式方程的方法和依据： （1）如何把它转化为整式方程？ （2）怎样去分母？ （3）在方程两过乘什么样的式子才能把每一个分母都约去？ （4）这样做的依据是什么？ 学生思考后得出结论：分母中含有未知数的方程，通过去分母就化为整式方程了。利用等式的性质2可以在方程两边都乘以一个式子——各分母的最简公分母。 设计意图：通过探究活动，学生探索出解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，

高中数学 第七讲 化归—解方程组的基本思想

第七讲 化归—解方程组的基本思想 初中阶段已学过的方程组有：二元一次方程组、三元一次方程组、二元二次方程组． 尽管具体到每类方程组的解法不全相同，但纵有千变万化，而万变不离其宗： 化归是解方程组的基本思想，降次与消元是化归的主要途径，因式分解、换元是降次的常用方法，代人法、加减法是消元的两种主要手段． 解一些特殊方程组(如未知数系数较大，未知数个数较多等)，需要在整体分析方程组特点基础上，灵活运用一些技巧与方法，常用的技巧与方法有迭加、迭乘、换元、配方、取倒等． 注：转化与化归是解方程(组)的基本思想，常见形式有： 分式方程整式化 无理方程有理化 高次方程低次化 多元方程一元化 通过恰当的转化，化归目的明确，复杂的方程(组)就会变为我们熟悉的、简单的方程(组)． 【例题求解】 【例1】已知正实数x 、y 、z 满足?? ???=++=++=++35158zx x z yz z y xy y x ，则xyz z y x +++= ． 思路点拨 由)1)(1(1++=+++b a b a ab 想到从分解因式入手，还需整体考虑． 【例2】方程组? ??=+=+6323yz xy yz xz 的正整数解的组数是（ ） A ．4 B ．3 C 2 D ．1 思路点拨 直接消元降次解三元二次方程组较困难，从分析常数项的特征入手． 【例3】 解下列方程组： (1)???=+-=++291322y x y x xy （2）? ??=++=++24542144)53)(1(y x x y x x x (3)?? ???=+=-++2621133y x y x 思路点拨 对于(1)，先求出整体y x +、xy 的值，对于(2)，视x x +2、y x 53+为整体，可得到)53()(2y x x x +++、)53)((2y x x x ++的值；对于(3)设a x =+31，b y =-31，用换元法解．

分式方程的解法及应用(提高)

分式方程的解法及应用（提高） 一、目标与策略 明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！ 学习目标： ●了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程． ●会列出分式方程解简单的应用问题． 学习策略： ●解分式方程去分母是关键； ●解分式方程的应用注意找等量关系，最后要验根. 二、学习与应用 1.一艘轮船在静水中的速度是20km/h,水流速度为v km/h，则轮船顺流航行的速度为，逆流航行的速度为 ，顺流航行100km所用的时间为，逆流航行60km所用的时间为 . 2. 解方程 21101 1 36 x x ++ -=时，去分母，去括号后为 . 3.将方程 11111 24396 x x x x +++=去分母后得到方程________. 要点一、分式方程的概念 分母中含有的方程叫分式方程. 要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含 有未知数. （2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一 般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有 未知数的方程是整式方程. （3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 要点二、分式方程的解法 “凡事预则立，不预则废”．科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对 要点梳理——预习和课堂学习 认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习．课堂笔记或者其它补充填在右栏．预习和课堂学习更多知识点解析请学习网校资源 ID：#45981#405285 知识回顾——复习 学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？

中考数学总复习学案：第4课时 分式

第4课时 分式 一、选择题 1．化简分式2b ab b +的结果为（ ） A ．1a b + B ．11a b + C ．21a b + D ．1ab b + 2．要使22969 m m m --+的值为0，则m 的值为（ ） A ．m=3 B ．m=-3 C ．m=±3 D．不存在 3．若解方程3 33-=-x m x x 出现增根，则m 的值为（ ） A ． 0 B ．-1 C ．3 D ．1 4．如果04422=+-y xy x ，那么y x y x +-的值等于（ ） A ．31- B ． y 31- C ． 31 D ． y 31 二、填空题. 5．当x = 时，分式6 422---x x x 的值为0． 6．若一个分式含有字母m ，且当5m =时，它的值为12，则这个分式可以是 ．（写出一个．． 即可） 7．已知432z y x ==，求分式y x z y x 32534++-= 8．若分式方程 12552=-+-x a x x 的解为x =0，则a 的值为 ． 9．已知分式方程k x k =++131无解，则k 的值是 ． 三、解答题 10．化简： （1）211( )(1)11x x x ---+ （2）24142 x x +-+ 11．先化简，再求值：224242 x x x +---，其中2x =．

12．当a=2时，求1 121422-÷+--a a a a 的值． 13．先化简，再求值：2224124422a a a a a a ??--÷ ?-+--??，其中a 是方程2310x x ++=的根． 三、解分式方程. （1） 01221=---x x （2） 123514-+=--+x x x x （3） 163104245--+=--x x x x （4）4)25.01(11=++x x （5） 52742316--=+-x x x x （6） 141112-=--+-x x x x x

分式方程的概念及解法

分式方程的概念，解法 知识要点梳理 要点一：分式方程的定义 分母里含有未知数的方程叫分式方程。 要点诠释： 1．分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量。 2．分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于的方程和 都是分式方程，而关于的方程和都是整式方程。 要点二：分式方程的解法 1. 解分式方程的其本思想 把分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，然后利用整式方程的解法求解。 2．解分式方程的一般方法和步骤 (1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程。 (2)解这个整式方程。 (3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公 分母等于零的根是原方程的增根。 注：分式方程必须验根；增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零。 3. 增根的产生的原因： 对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件。当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根。 规律方法指导 1．一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程有可能使原方程中分母为0，因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则，这个解不是原分式方程的解． 经典例题透析： 类型一：分式方程的定义 1、下列各式中，是分式方程的是（） A．B．C．D． 举一反三：

第八章 分式 第4课时 分式的基本性质(3)

八年级数学(下)第八章 分 式 第4课时 分式的基本性质(3) 班级：__________ 姓名：__________ 一、选择题 1．分式25y x 和52y x 的最简公分母是 ( ) A ．10x 7 B ．7x 10 C ．105 D ．7x 7 2．求最简公分母时，如果各分母的系数都是整数，那么最简公分母的系数通常取 ( ) A ．各分母系数的最小者 B ．各分母系数的最小公倍数 C ．各分母系数的公倍数 D ．各分母系数的最大公约数 3．分式()()21 55x x +-和()()21 55x x +-的最简公分母是 ( ) A ．(x+5)3(5－x)3 B ．(x+5)2(x －5) 2 C ．(x+5)3(x －5) 2 D ．(x+5) 2 (x －5)3 4．分式2223c a b -、424a b c 、2 52b ac 的最简公分母是 ( ) A ．12abc B ．－12abc C ．24a 2b 4c 2 D ．－12a 2b 4c 2 5．分式22a a b -、222b a ab b ++、222c a ab b -+的最简公分母是 ( ) A ．()()a b a b -+ B ．2()()a b a b -+ C ．22()() a b a b -+ D ．2()()a b a b -+ 二、填空题 6．分式52a -、2329a b 、42 712c a b -的最简公分母是_________． 7．将分式 1xyz 、221x y 通分时需要将分式1xyz 的分子与分母同时乘________，将分式221x y 的分子与分母同时乘__________． 8．将分式213x 、512xy 通分得_________、_________． 9．将分式52a -、2329a b 、42 712c a b -通分得_________、________、________． 三、解答题

分式方程的概念解法及应用

分式方程的概念，解法及应用 目标认知 学习目标： 1．使学生理解分式方程的意义，掌握可化为一元一次方程的分式方程的一般解法． 2．在学生掌握了分式方程的一般解法和分式方程验根方法的基础上，使学生进一步掌握可化为一元一 次方程的分式方程的解法，使学生熟练掌握解分式方程的技巧． 3．通过学习分式方程的解法，使学生理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未 知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想． 4．能够利用分式方程解决实际问题，能从实际问题中抽象出数量关系，体会方程与实际问题的联系； 5．通过实际问题的解决，使分析问题和解决问题的能力得到培养和训练，进一步体验“问题情景——建立模型——求解——解释和应用”的过程； 重点： 分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想，用分式方程解决实际问题，能从实际问题中抽象出数量关系． 难点： 检验分式方程解的原因，实际问题中数量关系的分析． 知识要点梳理

要点一：分式方程的定义 分母里含有未知数的方程叫分式方程。 要点诠释： 1．分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量。 2．分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于 的方程和 都是分式方程，而关于

的方程和 都是整式方程。 要点二：分式方程的解法 1. 解分式方程的其本思想 把分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，然后利用整式方程的解法求解。 2．解分式方程的一般方法和步骤 (1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程。 (2)解这个整式方程。

【计划】2018年中考数学真题分类汇编第7讲分式方程无答案

【关键字】计划 第7讲分式方程 知识点1 分式方程的解 知识点2 分式方程的解法 知识点3 分式方程的增根 知识点4 分式方程的实际应用 知识点1 分式方程的解 （2018株洲）5、关于的分式方程解为，则常数的值为 A、B、C、D、 （2018张家界）2．若关于的分式方程的解为，则的值为( ) 知识点2 分式方程的解法 （2018德州）8.分式方程的解为（ D ） A．B． C. D．无解 （2018龙东） （2018荆州）5.解分式方程时，去分母可得（） A. B. C. D. （2018成都）8.分式方程的解是（A ） A．x=1 B． C. D． （2018兰州） （2018哈尔滨）

（2018海南） （2018黄石）13、分式方程的解为________________ （2018铜仁） （2018甘肃） （2018湘潭）11．（3分）分式方程=1的解为x=2． （2018无锡） （2018常德）10.分式方程的解为． （2018眉山）15．已知关于x的分式方程－2=有一个正数解，则k的取值范围为. （2018广州）13.方程的解是__x= 2__. 知识点3 分式方程的增根 （2018潍坊）14．当时,解分式方程会出现增根． （2018达州）13．若关于的分式方程无解，则的值为. （2018齐齐哈尔） 知识点4 分式方程的实际应用 （2018临沂）10.新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱.各种品牌相继投放市场，一汽贸公司经销某品牌新能源汽车，去年销售总额为5000万元，今年1-5月份.每辆车的销售价格比去年 降低1万元.销售数量与去年一整年的相同.销售总额比去年整年的少20%。今年1-5月份每辆车的销售价格是多少万元?设今年1-5月份每辆车的销售价格为x万元根据题意.列方程正确的是（） A． () 5000120% 5000 1 x x - = + B． () 50001+20% 5000 1 x x = + C. () 5000120% 5000 -1 x x - = D． () 50001+20% 5000 -1 x x = （2018黔东南、黔南、黔西南）8.施工队要铺设1000米的管道，因在中考期间需停工2天，每天要比原计划多施工30米才能按时完成任务.设原计划每天施工x米，所列方程正确的是（） A．10001000 2 30 x x -= + B． 10001000 2 30 x x -= + C．10001000 2 30 x x -= - D． 10001000 2 30 x x -= - （2018淄博）10.“绿水青山就是金山银山”.某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，

(完整版)分式方程的解法及应用(基础)

分式方程及应用 【典型例题】 类型一、判别分式方程 1、下列方程中，是分式方程的是（ ）． A ．3214312x x +--= B ．124111x x x x x -+-=+-- C ．21305x x += D ．x a x a b +=，（a ，b 为非零常数） 类型二、解分式方程 2、 解分式方程（1） 10522112x x +=--；（2）225103x x x x -=+-． 举一反三： 【变式】解方程：21233x x x -=---． ． 类型三、分式方程的增根 3、m 为何值时，关于x 的方程 223242 mx x x x +=--+会产生增根？ 举一反三： 【变式】如果方程11322x x x -+=--有增根，那么增根是________． （二）分式方程的特殊解法 一、交叉相乘法 例1．解方程：231+= x x 二、化归法 例2．解方程： 01 2112=---x x 三、左边通分法

例3：解方程： 87178=----x x x 四、分子对等法 例4．解方程：)(11b a x b b x a a ≠+=+ 五、观察比较法 例5．解方程： 417425254=-+-x x x x 六、分离常数法 例6．解方程： 87329821+++++=+++++x x x x x x x x 七、分组通分法 例7．解方程：4 1315121+++=+++x x x x （三）分式方程求待定字母值的方法 例1．若分式方程 x m x x -=--221无解，求m 的值。 例2．若关于x 的方程 11122+=-+-x x x k x x 不会产生增根，求k 的值。 例3．若关于x 分式方程 432212-=++-x x k x 有增根，求k 的值。 例4．若关于x 的方程 1151221--=+-+-x k x x k x x 有增根1=x ，求k 的值。 ． 类型四、分式方程的应用 例、甲、乙两班参加绿化校园植树活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲 班种60棵树所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等．求甲、乙两 班每小时各种多少棵树? 举一反三：

分式方程第一课时教案

课题：8.5分式方程 （第1课时） 教学目标：1 ?经历分式方程的概念，能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，体会分式方程的模型作用. 2. 经历“实际问题-分式方程方程模型”的过程，发展学生分析问题、解决 问题的能力，渗透数学的转化思想人体，培养学生的应用意识。 3. 在活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯，培养学生努力寻找解决问 题的进取心，体会数学的应用价值. 教学重点：将实际问题中的等量关系用分式方程表示 教学难点：找实际问题中的等量关系 教学过程 教学过程集体讨论内容 一、情境创设 1、甲、乙两人加工同一种服装，乙每天比甲多加工1件,已知乙加工 24件服装所用时间与甲加工20件服装所用时间相同.甲每天加工多少服 装？ 如果设甲每天加工x件服装，那么乙每天加工件服装， 根据题意，可列出方程： 2、一个两位数的各位数字是4，如果把各位数字与十位数字对调，那 么所得的两位数与原两位数的比值是-。原两位数的十位数字是几？ 4 如果设原两位数的十位数字是X，那么可以列出方程： 3、某校学生到距离学校15km的山坡上植树，一部分学生骑自行车出 发40min后，另一部分学生乘汽车出发，结果全体学生同时到达。已知汽 车的速度是自行车的速度的3倍，求自行车速度。 如果设自行车的速度是x km/h，那么可列出方程： 二、探索活动 1、可以米取不同的方式，探寻各个实际问题中的数量关系。（如列表、画 线段示意图等） 2、上面所得到的方程有什么共同特点？（学生可分组讨论交流） 分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 3、分式方程与整式方程有什么区别？ 4、探寻分式方程的解法：如何解分式方程24=20?（让学生各抒己见） X 1 X 可以引导学生类比猜想，可以先猜想在验证。 说明：解分式方程的一般步骤是先去分母，；把不熟悉的分式方程转化 为熟悉的一兀一次方程来解决。 三、例题教学 3 2 例1解方程：---- 0。 x x 2 教师可以板书出解分式方程的一般过程及完整的书写格式。

【中考数学】中考复习第4课时 分式

第一章 数与式 第4课时 分式1.了解分式和最简分式的概念， 2.会利用分式的最基本性质进行约分和通分， 3.会进行简单的分式加、减、乘、除运算. . . 一、预习考点 阅读中考帮13页，了解分式的概念、基本性质方法和分式的运算法则。 将预学中的疑问用笔标出。（3-5分钟） 二、考点分析 考点1：分式的概念 1定义：能识别给定的代数式是整式还是分式 典例：下列哪些是整式，哪些是分式？ 2.分式有无意义和值为零的条件 典例：若分式x 2－1 x ＋1的值有意义，则 ，那么x 的取值范围 若分式x 2－1 x ＋1的值无意义，则 ，那么x 的取值范围 若分式x 2－1 x ＋1的值为零，则 且 ，那么x 的值 考点2：能利用分式的基本性质进行约分和通分 1.通过类比分数的基本性质引导学生掌握分式的基本性质（中考帮P13） 2.最简分式、最简公分母、约分、通分的含义（中考帮P13） 典例：1.中考帮典例3 2.化简 y x xy m x x b 22 1)4(33(41)2(,2)1(+-+-，π），

考点3：分式的运算 1.分式的乘除法则 典例：（1）226283a y y a ?（2） x y xy 2262÷ （3）22122a a a a +?-+（4）41441222--÷+--a a a a a 2.分式的加减法法则 典例：同分母分式相加减 （1）y x y y x x -+-；（2）a a a a ----12112；（3）m n n n m n m n n m ---+-+22 典例：异分母分式相加减 x xy x xy y -++1)1(； 11)2(2+-+x x x ； 3 1913)3(2+---+-a a a a a 备选题目：112)1(--x ； 1 312(22--+-a a a a ）； 222)3(n m m n m n n m m -++++ 3.分式的乘方法则 4.分式的混合运算 典例：见中考帮典例4、变式3、典例5 备选题目：（1）3 41213-31222+-+-?---x x x x x x x （2） x x x x x -÷??? ??+--2422 ，其中x =–1． 三、随堂巩固：随堂帮第4页 四、学习体会 本节课你有哪些收获？ 预习时的疑难解决了吗？你还有哪些疑惑？ 五、布置作业 作业帮第4页 A 、 B 层：第1-13题 C 、 D 层：第1-9题 E 层：第1-8题 ，，1 21)2(205)1(222+--x x x y x xy

人教版-数学-八年级上册--16.3 分式方程 第一课时 教案

16.3 分式方程（1） 一、教学目标 1．使学生理解分式方程的意义． 2．使学生掌握可化为一元一次方程的分式方程的一般解法． 3．了解解分式方程解的检验方法． 4．在学生掌握了分式方程的一般解法和分式方程验根方法的基础上，使学生进一步掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，使学生熟练掌握解分式方程的技巧．5．通过学习分式方程的解法，使学生理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想． 二、教学重点和难点 1．教学重点： (1)可化为一元一次方程的分式方程的解法． (2)分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想． 2．教学难点：检验分式方程解的原因 3．疑点及分析和解决办法： 解分式方程的基本思想是将分式方程转化为整式方程(转化思想)，基本方法是去分母(方程左右两边同乘最简公分母)，而正是这一步有可能使方程产生增根．让学生在学习中讨论从而理解、掌握． 三、教学方法 启发式设问和同学讨论相结合，使同学在讨论中解决问题，掌握分式方程解法． 四、教学手段 演示法和同学练习相结合，以练习为主． 五、教学过程 (一)复习及引入新课 1．提问：什么叫方程？什么叫方程的解？ 答：含有未知数的等式叫做方程． 使方程两边相等的未知数的值，叫做方程的解．

解：(1)当x=0时， 右边=0， ∴左边=右边， 这个方程和我们以前所见过的方程不同，它的主要特点是：分母中含有未知数，这种方程就是我们今天要研究的分式方程． (二)新课 板书课题： 板书：分式方程的定义． 分母里含有未知数的方程叫分式方程．以前学过的方程都是整式方程． 练习：判断下列各式哪个是分式方程． 在学生回答的基础上指出(1)、(2)是整式方程，(3)是分式，(4)是分式方程． 先由同学讨论如何解这个方程．

第七讲 分式方程和无理方程的解法

分式方程和无理方程的解法 初中大家已经学习了可化为一元一次方程的分式方程的解法．本讲将要学习可化为一元二次方程的分式方程的解法以及无理方程的解法．并且只要求掌握(1)不超过三个分式构成的分式方程的解法，会用”去分母”或”换元法”求方程的根，并会验根；(2)了解无理方程概念，掌握可化为一元二次方程的无理方程的解法，会用”平方”或”换元法”求根，并会验根． 分析：去分母，转化为整式方程． 解：原方程可化为： 142 12(2)(2)2 x x x x x +-=++-- 方程两边各项都乘以2 4x -： 2(2)42(2)4x x x x -+-+=- 即2 364x x -=-， 整理得：2 320x x -+= 解得：1x =或2x =． 检验：把1x =代入2 4x -，不等于0，所以1x =是原方程的解； 把2x =代入24x -，等于0，所以2x =是增根． 所以，原方程的解是1x =． 说明： (1) 去分母解分式方程的步骤： ①把各分式的分母因式分解； ②在方程两边同乘以各分式的最简公分母； ③去括号，把所有项都移到左边，合并同类项； ④解一元二次方程； ⑤验根． (2) 验根的基本方法是代入原方程实行检验，但代入原方程计算量较大．而分式方程可能产生的增根，就是使分式方程的分母为0的根．所以我们只要检验一元二次方程的根，是否使分式方程两边同乘的各分式的最简公分母为0．若为0，即为增根；若不为0，即为原方程的解． 2．用换元法化分式方程为一元二次方程 【例2】解方程 22 23()4011 x x x x --=-- 分析：本题若直接去分母，会得到一个四次方程，解方程很困难．但注意到方程的结构特点， 设 2 1x y x =-，即得到一个关于y 的一元二次方程．最后在已知y 的值的情况下，用去分母的方法解方程 2 1 x y x =-． 解：设 2 1 x y x =-，则原方程可化为：2340y y --= 解得4y =或1y =-．

分式方程的概念-解法及应用

分式方程的解法及应用 一、目标与策略 爭抡明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！ 学习目标： 分式方程的概念以及解法； 分式方程产生增根的原因； 分式方程的应用题。 重点难点： 重点：分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想，用分式方程解决实际问题，能从实际问题中抽象岀数量 关系. 难点：检验分式方程解的原因，实际问题中数量关系的分析. 学习策略： 经历“实际问题一一分式方程一一整式方程”的过程，发展分析问题、解决问题的能力，渗透数学的转化思想，培养数学的应用意识。 二、学习与应用 “凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对 知识回顾一一复习 学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？*答：含有的叫做方程. 使方程两边相等的............... …的值，叫做方程的解. （二）分式的基本性质： 分式的分子与分母同乘（或除以）同一个，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质?用式子表示是: A A M A A M（其中M是不等于0的整式）

（三）等式的基本性质：等式的两边都乘（或除以）同一个数或 ................... （除数不能为0），所得的结果仍是等式。 （四）解下列方程：（1）9—3x= 5x+ 5; （2）y y 12 y 2 2 5 I -- 知识要点一一预习和课堂学习■认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听 课学习。请在虚线部分填写预习内容，在实线部分填写课堂学习内容。课堂笔记或者其它补w 充填在右栏。详细内容请参看网校资源ID : #tbjx5#233542 - 知识点一：分式方程的定义 .......... 里含有未知数的方程叫分式方程。 要点诠释： （1）分式方程的三个重要特征：①是_______________ ;②含有 ____________ ;③分母里含 （2 ）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有__________________ （不是一般 的字母系数），分母中含有未知数的方程是__________________ ，不含有未知数的方程是 _ 方程，女口：关于X的方程1 2 x和—卫7都是_____________ 方程，而关于X的 x x 2 2x 1 方程Lx 2 x和x 1d都是_______________________ 方程。 a be 粒：|知识点二：分式方程的解法 （一）解分式方程的基本思想 把分式方程化为_________ 方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分 母，将分式方程转化为整式方程，然后利用整式方程的解法求解。 （二）解分式方程的一般方法和步骤 （1）________ ，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程。 （2）解这个______ 方程。 （3） _____ :把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是 原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的 ________________ 。 注：分式方程必须_____________ ;增根一定适合分式方程转化后的整式方程，