平行束反投影重建

一、 平行束反投影重建算法

平行束 重建采用的是平移加

旋转的扫描方式，如图1.1所示，射线源在某一角度下水平移动，将物体

全部照射后旋转一角度，如此重复，在这个过程中探测器相应地运动以接收X 射线。

1、反投影重建算法的物理概念： 断层平面中某一点的密度值可以看作是这一平面内所有经过该点的射线的投影值之和（的均值）。

整幅重建图像可以看作是所有方向下的投影累加而成。

射线标号示于图1.2中，像素值（代表密度）分别1x ,2x ,3x ,4x ，

赋值如下:

15x =,20x =,32x =,418x =

根据投影的定义(某条射线投影值为该条射线穿过的所有的像素值之和)，每条射线的投影i p (1,2i = )为： 1215p x x =+=, 23420p x x =+=,3137p x x =+= 42418p x x =+=, 532p x ==, 61423p x x =+=

720p x ==

根据反投影重建算法的物理意义，重建图像中各像素，得到：

113635x p p p =++=，214723x p p p =++=， 323529x p p p =++=，424661x p p p =++=

52

18

3529

61

26

54.1

8.7

3.3

(a) 原图像像素值 (b)反投影重建后图像 (c)求平均后图像

图 1.3 反投影示例

重建后的图像如图1.3(b)所示，可以看出原图像中像素值不为零的点反投影重建后仍较突出，但原图中像素值为零的点，经反投影重建后不再为零，即有伪迹。有时为了使重建后图像的像素值更接近于原图的像素值，在求反投影时，把数据除以投影的数目（即射线数），

50 2

18

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

X 射线管

平移

平移

探测器

图 1.1 平行束平移加旋转

图 1.2 断层像素值和射线

如图1.3(c)所示。 因此有：

,1

1p

n k k i

i p

x p

n ==

∑ (1.1)

该式可作为反投影重建算法的计算式。其中k x 表示像素k 的值，i k p ,表示经过像素k

的第i 条射线投影，p n 表示图像内的射线条数。

图1.4(a)表示空间中一个孤立点源A ，密度为1。经过A 点的三条射线也示于图中。射线束理论上可以很多，取三条示意。不经过A 点的射线投影为零，经过A 点的射线投影值均为1，1231p p p ===。

(a) 孤立点源A 及三条射线 (b)相应的反投影重建图，有星状伪迹

图 1.4 孤立点源的反投影重建及星状伪迹

经反投影重建后，得到A 点的像素值为123()/31A f p p p =++=。A 点以外的像素值原来为零，经反投影重建后不等于零，而是等于1/3。所以，经反投影重建后的图像除保留A 点的像外，还有像素值为1/n 的灰雾背景，后者称为星状伪迹。产生星状伪迹的原因在于：反投影的本质是把取自有限物体空间的投影均匀地回抹（反投影）到射线所及的无限空间的各点上，包括原先像素值为零的点。

A

(1)

(2)(3)

A

二、 反投影重建算法的数学描述

我们把“取投影” 、“反投影重建” 、“重建后图像”这些环节看作是一个以原像为输入，重建后图像为输出的成像系统，如图2.1所示，先来求该系统的点扩展函数PSF 。

图2.2中，(,)x y 为固定坐标，(,)r r x y 为旋转坐标，(,)r θ为极坐标，设位于坐标原点0,0x y ==的点源

(,)x y δ为x y -断面中唯一的像点，

扫描方式为平移加旋转。即射线先平行移动，从物体的一侧移向另一侧；然后旋转一个角度φ?，如此继续，直到累计的旋转角达到

180φ-?。为止。

为了计及这一几何要求我们设置一旋转坐标系统r r x y -，它绕原点转动使投影总是沿着r y 方向，r r x y -的原点与x y -的原点相同。二者的夹角为φ，不同的φ代表不同的投射方向。投影线的位置可由

(,)r x φ完全确定。

设φ为离散取值，如i φφ=，则相应的投影为：

()(,)(,)(,)()()()|(cos())

i i r r i r r r r r r r

r r r r i p x p x f x y dy x y dy x y dy x r φφφφδδδδδθφ+∞+∞

-∞

-∞

+∞=-∞

======-?

?? (2.1)

其中cos()r x r θφ=-，这可以从图2.2的几何关系很容易得出。 若n φφ=，则相应的投影为：

cos n n p r φδθφ=-[()] (2.2)

根据反投影重建的定义式(1.1),点(,)r r x y 的图像在所述坐标系统中表示为：

[]

[]cos()

1

1

1

11(,)(,)()|

cos()1

cos()i

r i i

i

N N r r r

x r i

i i N i

i f r f x y p x p x r N N p r φ

φ

φ

φθφφφ

φ

φθθφθφφπ

=-=====

=

-=-?∑∑∑ (2.3)

其中，N φ为投影数，/N φφπ?=。若在有限区间内将射线增至不相重的无限条，即连续取投影，则有：

[]0

1

(,)cos()f r p r d π

φθθφφπ

=

-?

(2.4)

在忽略射束硬化的情况下，φ在(,2)ππ区间内的投影值等于(0,)π区间内的投影值。 在输入图像为点源的情况下，由(2.1)及(2.4)可得：

取投影 反投影重建

(,)

x y δ(,)

h x y 重建后图像

原像

图 2.1 “反投影重建”成像系统

r

x θ

φ

r

(,)

f r θx

y

r

y 图2.2平移加旋转扫描方式所用坐标

[]0

1

(,)cos()h r r d π

θδθφφπ

=

-? (2.5)

因为，[]00()

()'()

a a δφφδφφ-=

(此公式推导可参见附录一)，其中，0φ是()0a φ=的唯一的根。

令()cos()a r φθφ=-，则有：00()cos()0a r φθφ=-=

因为0r ≠，所以0sin()1θφ-=，于是有：

[]00

022

0()

1

1

(,)cos()sin()

1

1

11

1

sin()

h r r d d r r r

x y π

π

δφφθδθφφφ

π

π

θφπθφππ-=

-=

-===

-+?

?

(2.6)

可见，相应于反投影重建算法的系统，它的点扩展函数不是δ函数，系统不是完美的。虽然在0r =处能反映原图是点源的情况，但在0r ≠处，像素值0≠，上式定量地描述了反投影重建算法星状伪迹的本质。

若原像为(,)x y μ，则将原像取投影后再按反投影算法得到的重建图像为：(,)(,)(,)f x y x y h x y μ=**，其中**表示二维卷积。

要去除反投影算法的星状伪迹，可以在输出端加一滤波器，使加了滤波器后的反投影重建等效成像系统的点扩展函数(PSF )为(,)x y δ。设滤波器的PSF 为(,)q x y ，相应的传递函数为[]2(,)(,)Q F q x y ξη=，要求(式2.7的推导可参见附录一)：

做二维傅氏变换，得：

22

1

(,)1Q ξηπξη

=+

或：

22(,)Q ξηπξηπρ=+= (2.8)

这是一个二维滤波器，实现起来较麻烦。若ρ的变化范围扩至∞，则根本不能实现。但它提供了去除星状伪迹的一个方向。

22

1

(,)(,)

q x y x y x y

δπ**=+ (2.7)

三、 滤波反投影重建算法

反投影重建算法的缺点是引入星状伪迹，即原来图像中密度为零的点，重建后不一定为零，从而使图像失真。去除伪迹的方法如图3.1所示。

(a)

(b)

(a)方案之一，先“反投影”再二维滤波；(b) 方案之二，先对投影数据作一维滤波，再“反 投影”

图 3.1星状伪迹的去除

3.1 投影定理

投影定理（或中心切片定理）：

在非衍射源情况下，某图像(,)f x y 在视角为φ时投影()r p x φ的一维傅氏变换给出(,)f x y 的二维傅氏变换^

12(,)(,)A A ωωρφ=的一个切片。切片与1ω轴相交成φ角，且通过坐

标原点。即：

^

1()(,)|r F p x A φ

φρφ??=??固定 (3.1) 图3.2阐明投影定理 证明：()f x,y 的二维傅立叶变换为

12()12,)()-j x y A(f x,y e dxdy ωωωω+∞+∞

+-∞

-∞

=?

?

(3.2)

由图2.2可以得到如下几何关系

cos sin sin cos r r x x y y φ

φφ

φ??????

=???

???-????

?? (3.3) 输入图像 （原图像）

输出图像 （同原图像）

取投影

反投影重建

二维滤波器 πρ

输入图像 （原图像）

取投影 输出图像 （同原图像）

反投影重建

一维滤波器

1

ωφ

()

r p x φ12(,)

A ωω2

ωr

x φ

φ

y

r

y r

x ρ

x

二维傅立

叶变换

一

维傅氏变换

以r y 为投影轴的投影为：()()()r r r r r r p x f x,y dy f x ,y dy φ+∞

+∞

-∞

-∞

==

??

它的一维傅里叶变换为：

1(cos sin )[()]()()()r r -j2x r r r

-j2x r r r r r -j2x y F p x p x e dx f x ,y e dx dy f x,y e dxdy

πρφφπρπρφφ+∞

-∞+∞

+∞

-∞-∞+∞

+∞

+-∞-∞

===?

???

?

(3.4)

式中采用2πρ可以使后续反变换计算中的系数得以简化。 在推导上式的过程中，我们利用了下列关系：

()()r r r f x,y f x ,y =

以及

cos sin sin cos r

r r r r r x x x y dx dy dxdy dxdy y y x

y

φφφ

φ

????=

==??-?? (3.5)

由式(3.2)可知，当12,ωω的取值满足条件

122cos 2sin ωπρφωπρφ=??=?

(3.6)

时，有

121212()1cos sin 12cos sin [()]()|(,)|-j x y r 2222F p x f x,y e dxdy A ωωφωπρφ

ωπρφ

ωπρφ

ωπρφ

ωω∞∞

+=-∞

-∞

=====?

?

(3.7)

上式说明：12,ωω不是独立的而是受到式(3.6)的约束，其值必须局限于直线21(tg )ωφω=上。 根据投影定理，投影图像重建问题原则上可按如下流程求解： （1）采集不同视角下的投影；

（2）求出各投影的一维傅氏变换，此即图像二维傅氏变换过原点的各切片，理论上是连续的无穷多片；

（3）将上述各切片汇集成图像的二维傅氏变换； （4）求二维傅氏反变换的重建图像。

3.2 卷积反投影重建（即滤波反投影）

待重建图像为),(y x a ，它的二维傅氏变换为^

12(,)(,)A A ωωρφ=。根据中心切片定理，^

(,)A ρφ可通过),(y x a 在不同视角φ下的投影()r p x φ的一维傅氏变换求得。即：

待建图像：

^

121(,)(,)()()(,)r A A F p x P

P φφωωρφρρφ??====??

12^

1212()1212

2

^2cos()0

2cos()02cos()0

(,)(,)(,)1(,)4(,)(,)(,)i x y i r i r i r a r a x y F A A e d d A e d d P e d d d P e d ωωπ

πρθφπ

πρθφπ

πρθφθωωωωωωπ

ρφρρφ

ρφρρφ

φρρφρ

-∞∞

+-∞-∞

∞--∞

∞

--∞

∞--∞

======??

???

?

??

[]

(3.8)

因为cos()r x r θφ=-，所以有：

122(cos sin )22cos()r x y x y x r ωωπρφφπρπρθφ+=+==-

同时：

12d d J d d ωωρφ=

11222//2cos 2sin 4//2sin 2cos J ωρωφπφπρφπρωρ

ωφ

πφ

πρφ

????-=

==???? (3.9)

先来看该式的第二个积分：

[]

22cos()cos()

cos()cos()(,)(,)|()(,)|(,)|cos(),r

r

r r i x i r x

r r r x r r x r P e d P e d h x p x g x g r πρπρθφθφθφθφρρφρρρφρ

φφθφφ∞

∞

-=--∞

-∞

=-=-==*==-?

?

(3.10)

式中：

(,)()(,)r r r g x h x p x φφ=* (3.11)

式(3.10)的物理意义是投影(,)r p x φ经过传递函数为1[()]r F h x ρ=的滤波器后得到的修正后的投影(,)r g x φ在满足cos()r x r θφ=-时的值。将(3.11)代入(3.8)，得到：

^

(,)[cos(),]a r g r d π

θθφφφ=-? (3.12)

称为滤波反投影方程，其物理意义是经过给定点(,)r θ的所有滤波后的投影在0φ=~π范围内的累加—反投影重建，得出(,)r θ点的像素值。

可见，滤波（卷积）反投影算法的具体包含三大步：

(1) 把在固定视角i φ下测得的投影(,)r p x φ经过滤波，得到滤波后的投影(,)r g x φ； (2) 对每一个i φ，把(,)r i g x φ反投影于满足cos()r i x r θφ=-的射线上的所有各点(,)r θ； (3) 将步骤(2)中的反投影值对所有0<φπ≤进行累加（积分），得到重建后的图像。

3.3 滤波函数与内插函数的选取原则

由式(3.10),(3.11)可知，先要把投影值(,)r p x φ做一维滤波。滤波器的传递函数为()H ρρ=。可以证明这一理想的滤波函数是不可实现的。我们的目的是：选取这样的滤波

函数，使它既可以实现，又有足够的精度。为此，结合成像的具体情况考虑。 (1) 投影数据的高频（空间分辨率）分量幅度很小； (2) 投影数据的采集是天然离散的；

(3) 存在噪声。

在物体尺寸有限的情况下，投影数据的空间分布是有限的，因而严格来说，其频带无限。但若物体密度在空间变化是平稳的，则高频分量幅度不大。若采样间隔d 足够小,则在折叠频率1/2d 以上的频率分量可以不计。即：

1()0

2P d

ρρ=≥ (3.13)

由于投影数据在空间上的天然离散性，我们有：

(){}cos()(,)|,r r x r p x p nd θφφφ=-= (3.14)

其中，d 为射束平移的步距；n 为正整数；φ为某一固定的视角；{}?表示序列，与此相应，滤波函数也取离散形式：

{}()()|r

r x nd h nd h x == (3.15)

滤波后的投影值为：

{}(){}{}()*()p nd p nd h nd = (3.16) 由于实际中物体是连续的，即r x 连续，但是由于采样是离散的， 不一定能够正好落在采样点位置上，为了得到任意一点的值，需要对式(3.16)得到的值进行内插。内插函数为()r x ψ，则经内插后的任意一点滤波后投影值为：

(){()}*{()}*()r r p x p nd h nd x =ψ (3.17)

如前所述，投影值的高频分量小，在折叠频率以上可以忽略不计，所以可以把滤波器强制为带限的而不影响结果，即：

1

12()()

()102d H W W d

ρρρρρρ?

==?

?≥

??

(3.18)

结合式(3.11)与式(3.17)，可得：

(){()}*{()}*()()()r r r r p x p nd h nd x h x p x =ψ=* (3.19)

对式(3.19)两边进行傅里叶变换得：

[][](){()}{()}()

()()()=()()

r s s F p x F p nd F h nd H P H P ρρρρρρ??=ψ??=ψ (3.20)

其中：

1()()()()

1

()()()()

s r r s r r k P F p x x nd P d d k H F h x x nd H d d ρδρρδρ+∞

+∞

-∞-∞

+∞+∞

-∞-∞

??=-=+??????=-=+????∑∑∑∑ (3.21)

即时域中采样对应频域中平移再叠加。 为了使式(3.20)成立，需要注意以下问题：

(1) ()s P ρ为各个相隔1/d 的()P ρ的叠加（幅度乘一系数）。由于()P ρ在1/2d ρ≥时不是完全消失，只是幅值很小。叠加的结果，必有混叠效应，使在ρ接近1/2d 处的()

s P ρ

频谱幅度增加。如图3.3所示，为考虑这一情况，应注意()H ρ的频谱在接近1/2d ρ=处，不宜取()H ρρ=，而应压低，以便补偿混叠效应。

()

P ρ12d

-

12d

ρ

(a) ()P ρ

12d

-

12d

ρ

()

s P ρ1d

1d

(b) ()s P ρ

图 3.3 阐明投影定理的频谱混叠

(2) 在1/2d ρ=处不宜取()H ρρ=的另一个原因是投影数据中含有噪声，其频谱均匀，若仍取()H ρρ=，则在1/2d ρ=处，噪声被放大。

(3) 离散后的{()}h nd 频谱()s H ρ是()H ρ的周期延拓，导致1/2d ρ≥的频率范围中()s H ρ不为零，如图3.4所示，而式(3.20)右边在这些频率范围都为零。为消除这些影响，

需要选取适当的()ρψ。

12d

-

12d

()

H ρρ

(a)

12d

-

12d

ρ

()

s H ρ1d

1d

(b)

图 3.4 频域滤波函数及其周期延拓

常用的内插函数有线性内插和紧邻内插，其频谱分别为21()sin ()d c d ρρψ=和2()sin ()d c d ρρψ=如图3.5所示，其中sin ()sin()/c x x x ππ=，目前几乎都采用线性内插

函数，因为它在第一个过零点后迅速趋于零，这一点上明显好于紧邻内插。

1d

ρ

0.5

1.0

1d

1.0

0.5

1()

ρψ2()

ρψ0

ρ

(a)线性内插 (b)紧邻内插

图 3.5 内插函数频谱图

3.4 常用的滤波函数

1.R L -滤波函数

(1) 系统函数()R L H ρ-

()1

12()

()102R L d H W W d

ρρρρρρ-?

==?

?≥

??

(3.22)

(2) 相应的冲激响应()R L r h x -

22

2

2222()d sin 2sin 222sin (2)sin ()

r

R L B j x r B

r r r r r r h x e x B x B B B x B x B B c x B B c x B πρρρ

ππππ--=??=- ???

=-?

(3.23)

(3) 采样序列()R L h nd -

这里的采样间隔同前一样为d ，以r x n d =代入式(3.23)中，得到()R L r h x -的离散形式如下：

2222104()0

1R-L n d h nd n n n d

π??=?

==??-=??偶数奇数

(3.24)

如图3.6所示

2

14d 0

d d -2d

-3d

-2d

3d -4d

4d

-5d

5d

r x nd

=

图 3.6R L -滤波函数离散表示

2.S L -滤波函数

为了更好地补偿()s P ρ在1/(2)d ρ=处的混叠，设法使1/(2)d ρ=处的()H ρ幅值压得更低，可以通过选取适宜的窗函数()W ρ达到。例如，可取sin c 函数作为窗函数。

(1) 系统函数()S L H ρ-

()2sin (/2)()sin

()2S L B

H c B W W B

πρ

ρρρρρπ

-==

(3.25)

(2) 相应的冲激函数()S L r h x -

()

222

2()sin

d 214sin 4142214r S L B

j x r B

r r r B

h x e B

Bx Bx B Bx πρπρρ

π

ππ--=??-? ?????= ???-?

(3.26)

(3) 采样序列()S L h nd -

这里的采样间隔同样为d ，以r x nd =代入式(3.26)中，得到()R L r h x -的离散形式如下：

2222

(),0,1,2,(41)

S L h nd n d n π--=

=±±- (3.27)

如图3.7所示

()

S-L h nd 2

2

2d π-3d -2d d

-2d 3d 4d

-4d r x nd

=d

图 3.7 S L -滤波函数离散表示

四、 卷积反投影算法的计算机实现

4.1 卷积计算

数据采集在空间是离散的，因为r x nd =，故对应于r x 取变量为n ，我们假设采样点为256点，即0255n = 。从下面的推导可以看到()p n 只在0255n = 间取值是不够的，要用到2551n =-- 及256510n = 间的()p n 值。

()()*()()()t

t

N l N p n p n h n p n l h l =-==

-∑

(4.1)

(0)(255)(255)......(0)(0)......(255)(255)

(1)(255)(254)......(0)(1)......(255)(256)(255)(255)(0)......(0)(255)......(255)(510)

p h p h p h p p h p h p h p p h p h p h p =--++=--++=-++ (4.2)

这些值不像理论情况补以零值，而是按下法扩充：

(0)(1)'2551

2

(254)(255)

"256510

2

p p p n p p p n +==--+=

= (4.3)

所以，若采样点为N ，则扩充后的点数为32N -。

为了便于计算机实现，可将式(4.2)作如下变换：

256

256511

1

()()()

('256)('256)

l l p n p n l h l p n l h l =-==

+=+--∑

∑ (4.4)

这里引用新坐标'256l l =+，即256l =-正好是'l 的原点。我们有

()('256)(')s p l p l p l =-= (4.5)

()('256)(')s h l h l h l =-= (4.6)

于是式(4.4)变为：

511

'1()(')(')s s l p n p n l h l ==+∑ (4.7)

相应地式(4.2)变为：

(0)(1)(1)......(256)(256)......(511)(511)(1)(1)(2)......(256)(257)......(511)(512)

(255)(1)(256)......(256)(511)......(511)(766)

s s s s s s s s s s s s s s s s s s p h p h p h p p h p h p h p p h p h p h p =++=++=++

(4.8)

4.2 射束计算与内插

目前CT 中常用的内插方式是以离散滤波函数()h n 与投影数据(,)p n m 作离散卷积，得

到滤波后的投影数据

(,)p n m ，其中m 为对应于旋转角度φ的变量，φ?为每次旋转的角度，m φφ=?。然后进行线性内插，求得

(,)(,)*()r r p x m p n m x =ψ。

对于空间某点(,)j x y ι在某视角m φφ=下，必有一,r m x 随之而定,如图4.1所示：

,cos sin r m j x x y ιφφ=+ (4.9)

i

j

(,)

j x y ιφ

{

x

y

r

x 0

图 4.1 射束计算

由于(,)j x y ι是空间中任意一点坐标，故由式(4.9)得到的,r m x 并不一定正好为d 的整数倍，它可能位于0n d 与0(1)n d +之间，即：

,0(),

0<<1r m x n d δδ=+ (4.10)

我们采用线性内插，则可得到：

[] []

0000,00

(1)()[()]()()

(1)()(1)r m p n d p n d p n d p n x n d d

p n p n d δδδ+-+=+-=-++ (4.11) 在前面的推导过程中，r x 以0,0x y ==为坐标原点，而按照射束计算的实际配置，以直径的一端作为原点为宜，这样在计算中可避免负值（如图4.1所示，红线代表零号射束，

圆表示扫描所需最小直径的圆，设其直径为D ）。这一新的坐标记以 r x ，这样对于任一像素(,)j x y ι及视角φ，有：

cos sin ((1)/2)cos ((1)/2)sin r i j x x y i M j N φφ

φφ

=+=-++-+ (4.12)

其中M 、N 为待重建物体长和宽的象素个数

所以有：

/2r r

x x D =+ (4.13)

五、 流程图及程序

5.1 程序流程

否

否

否

反投影，外层角度循环

内层图像行列循环，从第一行第一列遍历图像每一点

计算图像上的点在旋转坐标系下的横

坐标，再参照图4.1所示圆进行坐标变换，得到以圆的直径一端为原点的坐标

判断图像点落在探测器上的位置，将投影值进行内插，得到该点的投影值，将投影值进行反投影

判断图像上所有行是否计算完毕

是

判断图像上所有列是否计算完毕

是

行数加一

列数加一

判断旋转角度是否达到180度

是

旋转至下一角度

反投影结束，将反投影值进行调整，压缩至0-255之间

否

否 如果该象元被射线穿过，则将该象元的像素值加到对应的探测器象元上 计算图像象元在旋转坐标系下的横坐标，

再参照图4.1所示圆进行坐标变换，得到以圆的直径一端为原点的坐标 内层图像行列循环，从第一行第一列遍历图像每一点 计算投影值，外

层角度循环

读入模拟待重建图像

判断图像象元落在探测器上的位置

判断图像上所有行是否计算完毕 是 判断图像上所有列是否计算完毕 判断旋转角度是否达到180度 是

旋转至下

一角度 将每一角度下的投影值与R-L 滤波器进行卷积滤波 是

否

行数加一 列数

加一

附录一（公式推导）：

1. ()0f t =有n 个互不相同的实根12,,n t t t ???，则有[2]

[]1()()'()

n

i i i f t t t f t δδ=-∑

(1.1)

证明：把()f t 在i t t =附近足够小的邻域内用泰勒级数展开，注意到()0i f t =并忽略高次项

21

()()'()()"()()2

'()()i i i i i i i f t f t f t t t f t t t f t t t =+-+-+????

≈- (1.2) 由尺度变换可知在i t t =附近[]()f t δ表示为：

[][]1()'()()()'()

i i i i f t f t t t t t f t δδδ=-=

- (1.3)

若'()f t 在n 个单根(1,2)i t t i n ==???处都不为零，则

[]11()()'()

n

i i i f t t t f t δδ==-∑

(1.4)

对应到本文第四页中式(2.6)有

[]0000()()

cos()cos'()sin'()

r r r δφφδφφδθφθφθφ---=

=

-- (1.5) 其中0φ是()0a φ=的唯一的根，0cos()0r θφ-=所以有，0sin()1θφ-=,这样式(1.5)变为

[]0cos()()r δθφδφφ-=- (1.6)

以上证明过程可以参考《信号与系统》 郑君里 应启珩 杨为理 第二章 77页

2．22

1

(,)f x y x y π=

+为x y -平面上的函数，其二维傅里叶变换为[3,4]

22

1

(,)F ξηπξη

=

+ (2.1)

函数二维傅里叶变换的定义为：

()(,)()-j 2x y F f x,y e dxdy πξηξη+∞+∞

+-∞

-∞

=

??

(2.2)

采用极坐标，即：

c o s s i n

c o s s i n

x r y r θθξρφηρφ==== (2.3)

则式(2.2)变为：

2cos()0

(,)()-j 2r F r f r,e drd ππρθφρφθθ+∞

-=?

?

(2.4)

因为()1/f r,r θ=具有圆对称性，即f 与θ无关，于是写出：

()(,)R f r f r θ= (2.5)

则：

2cos()0

(,)()-j 2r R F r f r e drd ππρθφρφθ+∞

-=?

?

(2.6)

利用贝塞尔函数关系式：

2cos()00

2()-ja e d J a π

θφθπ-=?

(2.7)

其中0()J ???是第一类零阶贝塞尔函数，于是：

00

(,)2()(2)R F r f r J r dr ρφππρ+∞=?

(2.8)

上式右端与φ无关，从而可以写成：

(,)()P F F ρφρ= (2.9)

上式中()P F ρ称为()R f r 的零阶汉克尔变换，查常用的汉克尔变换表对于()1/R f r r =，其汉克尔变换为

()1/P F ρρ= (2.10)

所以有：

22

1

(,)F ξηπξη

=

+ (2.11)

参考文献：

[1] 庄天戈.《计算机在生物医学中的应用（第二版）》.科学出版社 2000.1 第四章124-157 [2] 郑君里，应启珩，杨为理.《信号与系统（第二版）》.高等教育出版社 2000.5第二章 77 [3]（美）布拉斯维尔（Bracewell,R.N.）.《傅里叶变换及其应用》人民邮电出版社 1986.12

第十二章 286，292

[4] 刘培森.《应用傅里叶变换》北京理工大学出版社 1990.12 第一章 19-22

附录二（与程序对应所用图形）：

图1.程序中模拟所画图形图2. 每一探测器象元内射束排列，计算每条射束

边界用图

图3. 内插所用图形

《中心投影和平行投影》教案

《中心投影和平行投影》教案三维目标： 一、知识与技能 1．了解中心投影、平行投影、斜投影、正投影的概念。 2．了解三视图的有关概念。 3．掌握三视图画法规则，能正确画出简单空间几何体的三视图，并能识别三视图所表示的立体模型。 二、过程与方法 1、通过欣赏、观察各种投影，进一步培养学生的空间想象能力。 2、通过学生作图、识图来培养运用图形进行数学交流的能力。 三、情感态度与价值观 通过引导学生欣赏生活中投影的例子，使学生不断感受 数学，走进数学，转变学生的数学学习态度，激发学生 学习数学的热情。 教学重点： 1、中心投影、平行投影的概念 2、三视图的画法规则及画空间几何体的三视图 教学难点： 画空间几何体的三视图及根据三视图判断空间几何体的形状和结构。 教具准备： 多媒体课件、几何模型 教学过程： 一、创设情景，引入新课 （多媒体播放手影表演、皮影戏的动画，组织学生欣赏） 1、提问：同学们在感受这些形象逼真的图形时，是否 思考一下，这些图形是怎样形成的呢？它们形成的原 理又是什么呢？这些原理还有哪些重要用途呢？ 2、导入：这就是我们本节课所要研究的问题——中心 投影和平行投影。 二、知识生成、示例讲解： 1、投影的概念 （1）投影：光线通过物体，向选定的面（投影面）投射，并在该面上得到图形的方法。 （2）中心投影：投射线交于一点的投影称为中心投影。 （3）平行投影：投射线相互平行的投影称为平行投影。平行投影分为斜投影与正投影。 讲解原则：配以多媒体动画，让学生思考，抽象或概

括出相应定义，教师加以修正。 练习：判断下列命题是否正确 （1）直线的平行投影一定为直线 （2）一个圆在平面上的平行投影可以是圆或椭圆或线段 （3）矩形的平行投影一定是矩形 （4）两条相交直线的平行投影可以平行 2、中心投影和平行投影的区别和用途 中心投影形成的直观图能非常逼真地反映原来的物体，主要运用于绘画领域。同学们课后可阅读教科书第18页相关材料，平行投影形成的直观图则能比较精确地反映原来物体的形状和特征。因此更多应用于工程制图或技术图样。 3、空间图形的三视图 （1）三视图概念 视图是指将物体按正投影向投影面投射所得到的图形。光线自物体由前向后投射所得投影称为主视图或正视图。光线自物体由上向下投射所得投影称为俯视图。光线自物体由左向右投射所得投影称为左视图。 （2）三视图画法规则 高平齐：主视图与左视图的高要保持平齐 长对正：主视图与俯视图的长应对正 宽相等：俯视图与左视图的宽度应相等 讲解原则：借助多媒体，师生共同讨论，认识清楚三视图画法规则和画三视图过程中需注意的问题。 例1、画出下列几何体的三视图 分析：画三视图之前，应把几何体的结构弄清楚，选择一个合适的主视方向。一般先画主视图，其次画俯视图，最后画左视图。画的时候把轮廓线要画出来，被遮住的轮廓线要画成虚线。物体上每一组成部分的三视图都应符合三条投射规律。 解：这二个几何体的三视图如下 练习：画出下列几何体的三视图 回顾与反思：通过师生共同画图，学生独立画图，让学生充分掌握画三视图的画法规则和一般步骤，认识到空间图形与其三视图间的对应关系，进而提高学生的空间想象能力。 例2、如图，设所给的方向为物体的正前方，试画出它的三视图（单位：cm） 分析：该几何体结构较复杂，可先出示其实物模型，引导学生从三个不同角度观察，找出其轮廓线，进而画出其三视图。在画三视图时，可按相应比例来画。

平行束反投影重建

一、 平行束反投影重建算法 平行束 重建采用的是平移加 旋转的扫描方式，如图1.1所示，射线源在某一角度下水平移动，将物体 全部照射后旋转一角度，如此重复，在这个过程中探测器相应地运动以接收X 射线。 1、反投影重建算法的物理概念： 断层平面中某一点的密度值可以看作是这一平面内所有经过该点的射线的投影值之和（的均值）。 整幅重建图像可以看作是所有方向下的投影累加而成。 射线标号示于图1.2中，像素值（代表密度）分别1x ,2x ,3x ,4x ， 赋值如下: 15x =,20x =,32x =,418x = 根据投影的定义(某条射线投影值为该条射线穿过的所有的像素值之和)，每条射线的投影i p (1,2i = )为： 1215p x x =+=, 23420p x x =+=,3137p x x =+= 42418p x x =+=, 532p x ==, 61423p x x =+= 720p x == 根据反投影重建算法的物理意义，重建图像中各像素，得到： 113635x p p p =++=，214723x p p p =++=， 323529x p p p =++=，424661x p p p =++= 52 18 3529 61 26 54.1 8.7 3.3 (a) 原图像像素值 (b)反投影重建后图像 (c)求平均后图像 图 1.3 反投影示例 重建后的图像如图1.3(b)所示，可以看出原图像中像素值不为零的点反投影重建后仍较突出，但原图中像素值为零的点，经反投影重建后不再为零，即有伪迹。有时为了使重建后图像的像素值更接近于原图的像素值，在求反投影时，把数据除以投影的数目（即射线数）， 50 2 18 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) X 射线管 平移 平移 探测器 图 1.1 平行束平移加旋转 图 1.2 断层像素值和射线

用图像的投影数据进行重建程序

用图像的投影数据进行重建程序 宋利国赵向阳王春蔡国宝 摘要 本文通过引入Radon 变换来应用于CT图像重建问题，并且给出 Radon 变换在图像重建中的具体形式，并对滤波（卷积）逆投影法作了详细的研究，介绍其重建的基本思想和算法原理将问题转化为求解函数积分的形式。最后本文设计了一个人体脑部图像重建例子，通过matlab仿真说明如何投影才能重建准确的图像。 关键词：CT；图像重建；Radon变换；滤波逆投影法；matlab

1.问题重述 计算机断层成像技术（CT）是一种非介入式的检测技术，它极大地增强了人类观察物体内部结构的能力，在许多科学领域都得到了应用。特别在医学研究诊断中，它被用来作为一种获取人体内部信息的有效手段。我们在查阅许多资料，了解了CT成像的原理的基础上，选择采用在医学CT领域中的应用较为广泛，也是最基本最常用的图像重建算法──滤波逆投影法进行模型的仿真。 CT的工作原理就是投影重建（投影图像重建）。投影重建一般指从一个物体的多个（轴向）投影重建目标图像的过程。CT成像的基本数学原理是Radon 变换及其逆变换。目前，Radon变换及其逆变换是图像处理中的一种重要研究方法，许多图像重建便是有效地利用了这种方法，它不必知道图像内部的具体细节，仅利用图像的摄像值即可很好地反演出原图像。滤波逆投影法是当前用得较多的一种图像重建方法，在当代X 射线CT系统中几乎都用这种方法构成系统。它的特点是精度高，能快速实现。对于大量精确的投影数据来说，这是一种具有高效率的重建算法。滤波逆投影法又叫卷积逆投影法。这是因为频域上的滤波相当于空间域上的卷积运算。 我们通过引入Radon 变换来应用于CT图像重建问题，并且给出 Radon 变换在图像重建中的具体形式，对截面函数沿着特定直线进行积分就是它的 Radon 变换。滤波—逆投影法图像重建就是将截面函数沿若干个不同的角度下的特定直线进行积分产生的投影函数进行逆变换就得到了截面函数。滤波—反投影法能正确重建物体内部的吸收值图像，它把投影值按投影路线反过去赋予该路线上所有像元，使吸收值增加了该射线所经过的像元数目的倍数，经各个角度的投影反投回去与之叠加，最后能重建断面的图像。但由于反投影把投影路径的各处皆赋予该投影值，导致边缘较为模糊，所以通常把投影数值与某种校正函数卷积后再反投影，就能获得边缘清晰的图像。因为其中涉及到滤波函数的选取，也称为滤波反投影法。该重建方法兼顾了重建时间和重建质量两个方面，是医学上应用的最广泛的一种图像重建算法。 CT是X线照相术与复杂的计算机信号处理方法结合的产物，无论在医学放射诊断方面，还是在工业领域中均有着广泛的应用。采用滤波逆投影法成像技术，主要是因为医用CT可以采集到大量密集的投影数据，利用滤波逆投影法成像技术可以快速地得到具有一定质量的重建图像。 2.问题分析 2.1内容的选取 滤波逆投影法图像重建技术在医用CT 应用中的基本原理是由测量到的穿过人体横截面沿着许多直线的X 射线减的数据,重建出人体横截面的图像，是一种获取人体内部信息的有效手段，极大地增强了人类观察物体内部结构的能力，在医学成像方面发挥了巨大的作用。现代CT 成像的数学原理是Radon 变换及其逆变换。该变换是由函数在直线的线积分值来确定的,其逆变换就是由函数在空间所有直线上的线积分值确定这一函数（此函数对应实际中被扫描物体的密度函数或物体对X-射线的衰函数）。相对于早期的联立方程法和投影法克服了庞大的计算量和重建图像模糊精确度低的缺点。 2.2 影响因素的选取 在许多领域中，由于受客观条件的限制，经常会遇到不完全数据重建问题。

CT反投影滤波重建算法设计(汇编)

地理与生物信息学院 2011 / 2012 学年第二学期 实验报告 课程名称：医学图像处理和成像技术实验名称：CT反投影滤波重建算法设计 班级学号: B090903** 学生姓名: **** 指导教师: **** 日期：2012 年 4 月

一、实验题目：CT反投影滤波重建算法设计 二、实验内容： 1.显示图像； 2.获得仿真投影数据； 3.基于获得的仿真投影数据重建图像。 三、实验要求： 1.画出Shepp-Logan头模型，显示尺寸为128×128； 2.从头模型中获得投影数据，投影数据格式为180×185； 3.基于获得的仿真投影数据重建图像，使用R-L卷积函数，重建 尺寸为128×128。 四、实验过程： 1.显示图像： ①算法实现流程： I. S-L头模型由10个位置、大小、方向、密度各异的椭圆组成， 象征一个脑断层图像。将模型中的椭圆参数写入一个p矩阵中，方便使用其中的数据，并设定所需参数。 II. 使用循环语句给像素赋值： for i=1:10 for x…. for y….. 判断点(x, y)是否在第i个椭圆内;

如是,则将第i个椭圆折射指数赋给点(x, y); end end end III. 显示仿真头模型，使用imshow(f,[])函数显示出图像。 ②实验代码： clear all; p=[0 0 0.92 0.69 pi/2 1 0 -0.0184 0.874 0.6624 pi/2 2 0.22 0 0.31 0.11 72/180*pi 0 -0.22 0 0.41 0.16 108/180*pi 4 0 0.35 0.25 0.21 pi/2 5 0 0.1 0.046 0.046 0 6 0 -0.1 0.046 0.046 0 7 -0.08 -0.605 0.046 0.023 0 8 0 -0.605 0.023 0.023 0 8 0.06 -0.605 0.046 0.023 pi/2 8]; N=256; x=linspace(-1,1,N); y=linspace(-1,1,N); f=zeros(N,N); for i=1:N for j=1:N for k=1:10 A=p(k,3); B=p(k,4); x0=p(k,1); y0=p(k,2); x1=(x(i)-x0)*cos(p(k,5))+(y(j)-y0)*sin(p(k,5)); y1=-(x(i)-x0)*sin(p(k,5))+(y(j)-y0)*cos(p(k,5)); if((x1*x1)/(A*A)+(y1*y1)/(B*B)<=1) %判断条件 f(i,j)=p(k,6); end end end end f=rot90(f); imshow(f,[])

一种基于约束共轭梯度的闪光照相图像重建算法

第17卷第7期强激光与粒子束V o l.17,N o.7 2005年7月H I G H P OW E R L A S E R A N D P A R T I C L E B E AM S J u l.,2005 文章编号:1001-4322(2005)07-1083-05 一种基于约束共轭梯度的闪光照相图像重建算法* 景越峰,刘瑞根,董维申 (中国工程物理研究院流体物理研究所,四川绵阳621900) 摘要:针对闪光照相系统成像信噪比低的特点,提出了正则化预优约束共轭梯度算法(R P C C G)。 R P C C G算法在闪光照相重建方程中引入T i k h o n o v正则化准则,利用预优约束共轭梯度法迭代求图像重建的 最优解。数值试验表明,采用最小二乘+平滑准则的R P C C G算法是一种具有较高的抗噪能力的有效闪光照 相图像重建算法,具有良好的收敛性和稳定性以及较高的重建精度。 关键词:约束共轭梯度;图像重建;正则化;闪光照相 中图分类号:T P391文献标识码:A 闪光照相的重要目标是重建客体的空间密度分布。由于受到模糊、散射、噪声等的影响,闪光照相图像有很大的误差。如何从这种含有很大误差的图像中重建高精度的客体空间密度分布是一个很困难的问题,也是闪光照相图像重建算法研究的核心问题。近20年来很多人对这个问题进行了研究,探索了多种重建算法,其中研究比较多的是滤波反投影方法和代数法。 在数学上,闪光照相图像重建问题,可以看成是大型稀疏矩阵的线性方程组的求解问题。共轭梯度算法是求解这类大规模优化问题的有效算法。同时闪光照相图像重建问题是不适定的,人们往往会根据不同的需要来求在一定准则下的最优解。T i k h o n o v创立的正则化方法[1]是一种求解不适定问题颇为有效的方法,本文在重建算法中引入了基于T i k h o n o v正则化技术的重建准则,讨论了采用约束共轭梯度法的闪光照相图像重建模型,提出的R P C C G算法具有可充分利用先验知识对重建数据进行约束的优点。 1闪光照相图像重建模型 闪光照相系统在单能、无模糊、无散射的情况下,X射线穿过客体时沿射线i的衰减表示为 y i=X/X0=e x p(-Σ k μkαi kρk)(1) 式中:X和X 0分别是X射线的透射照射量和入射照射量;μ k 是客体体元k的质量吸收系数,可以认为是已知 的;α i k 是正向投影矩阵的第i k个元素,它与射线通过体元k的光程相关;ρ k 是体元k中的材料密度;k的求和范 围是射线i所经过的所有体元。令^μ k=μkρk 为体元k线吸收系数,由于质量吸收系数μ k 在不考虑能谱效应时 近似为常数,因此可以通过求线吸收系数的分布得到密度的分布,此时方程(1)进一步改写为 y'k=-l n(X/X0)=Σ k αi k^μk(2) 这样闪光照相图像重建算法要解决的问题就是在方程(2)中由已知的投影y'求得线吸收系数^μ k 的分布。 闪光照相系统为单轴照相,因而假定被照客体是轴对称的。根据上述闪光照相成像模型,闪光照相图像重建的代数方程为 z=A x(3)式中:x为所求的客体空间线吸收系数分布矢量;z为可测量得到的量化投影图像矢量;A为从x到z的正向投影矩阵。对于轴对称客体,在客体的每一个重建截面上,我们采用间距相等的同心圆环网格,每一个截面分为N层,每层的间距为2Δr,如图1所示。 在平行光束投影下,正向投影矩阵A为上三角阵。A的元素A i j 表示第i条光线穿过第j个圆环网格的长度,其大小为 *收稿日期:2005-03-03;修订日期:2005-06-10 基金项目:中国工程物理研究院双百人才基金资助课题 作者简介:景越峰(1980-),男,黑龙江肇州人,硕士研究生,从事图像处理研究工作;绵阳919-105信箱;E-m a i l:j y f@e y o u.c o m。

投影基本知识习题及答案

一、填空题 1、工程上常采用的投影法是 中心投影法 和 平行投影 法，其中平行投影法按投射线与投影面是否垂直又分为 正投影 和 斜投影 法。 2、当直线平行于投影面时，其投影 直线 ，这种性质叫 真实 性，当直线垂直投影面时，其投影 点 ，这种性质叫 积聚 性，当平面倾斜于投影面时，其投影 平面 ，这种性质叫 类似 性。 3、主视图所在的投影面称为 正立面投影面 ，简称 正立面 ，用字母 V 表示，俯视图所在的投影面称为 水平投影面 ，简称 水平面 ，用字母 H 表示。左视图所在的投影面称为 侧立投影面 简称 侧立面 ，用字母 W 表示。 4、三视图的投影规律是：主视图与俯视图 长对正 ；主视图与左视图 高平齐 ；俯视图与左视图 宽相等 。 6、直线按其对三个投影面的相对位置关系不同，可分为 投影面垂直线、 投影面平行线、 一般位置直线 。 7、与一个投影面垂直的直线，一定与其它两个投影面 平行 ，这样的直线称为投影面的 投影面垂直线 。 8、与正面垂直的直线，与其它两个投影面一定 平行 ，这样的直线称为 正垂线 。 9、与一个投影面平行，与其它两个投影面倾斜的直线，称为投影面的 投影面平行线 ，具体又可分为 正平线 、 水平线 、 侧平线 。 10、与三个投影面都倾斜的直线称为 一般位置直线 。 11、空间平面按其对三个投影面的相对位置不同，可分投影面垂直面、 投影面平行面、 一般位置面 12. 正垂面与正面 垂直 ，与水平面 倾斜 ，与侧面 倾斜 ，正垂面在正面投影为 直线 ，在水平面和侧面投影为 投影面的类似性 。 13.正平面与正面 ，与水平面 ，与侧面 ，正平面在正面投影为 ，在水平面投影和侧面投影为 。 14.参照图下图中的立体图，在三视图中填写物体的六个方位。（填前、后、左、右、上、下） 二、选择题（12分） 1.下列投影法中不属于平行投影法的是（ A ） A 、中心投影法 B 、正投影法 C 、斜投影法 2、当一条直线平行于投影面时，在该投影面上反映（ A ） 上 下 左 前 右 后

CT图像重建资料讲解

C T图像重建

昆明理工大学信息工程与自动化学院学生实验报告 （ 2009—2010学年第一学期） 一、实验目的与意义 医学成像技术是生物医学工程专业的一门重要的专业课程,课程主要涉及X光仪器，CT 仪器，MRI仪器和核医学仪器的工作原理及成像方法。其中CT算法的出现又为后来数字化医学成像技术的发展提供了基础。该门课程为生物医学工程专业的专业基础课。 CT技术是医学成像系统中的一种重要手段。它通过特定的算法，利用计算机的高速运算功能，可以在短时间内快速呈现人体断层图像。让学生练习CT图像的重建有助于学生理解CT算法的内容，熟悉数字图像重建的过程。同时也能培养学生的团队精神和解决实际问题的能力。 二、实验算法原理 1、MATLAB处理数字图像的基本函数； 2、X-CT三维图像重建的基本算法。 CT图象重建有四种基本的算法:矩阵法,迭代法,傅立叶算法,反投影算法.我们采用的方法为卷积反投影. 卷积反投影有:平行光束投影的卷积反投影算法, 等角扇形光来投影的重建算法. 1）.平行光束投影的卷积反投影算法 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢2

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3 从投影重建三维物体的图像，就是重建一个个横断面。这样三堆图像的重建就归结为二维图象的重建。二维图像的重建问题可以从数学上描述如下。 假定),(y x g 表示一个二维的未知函数，通过),(y x g 的直线称为光钱(见图2．1)。沿光线),(y x g 的积分称作光线积分。沿相同方向的一组光线积分，就构成一个投影。图2．1中垂直于直线'CC (与X 轴夹角为θ)的光线所形成。 图2.1 ),(y x g 在θ方向的投影)(t P θ 的投影)(t P θ，称之为),(y x g 在θ方向的投影。光线积分和投影在数学上可以定义如下： 在图2.1中直线AB 的方程为： 1sin cos t Y X =+θθ (2.1) 其中1t 是AB 到原点的距离，),(y x g 沿AB 的积分为： dxdy t y x y x g ds y x g t P AB )sin cos (),(),()(11-+==??+∞ ∞-θθδθ (2.2) 对于给定的θ，),(y x g 在θ方向的投影)(t P θ是t 的函数。如果),(y x g 在各个方向的投影已知，),(y x g 就可以唯一确定。下面就讨论卷积反投影重建算法。

文档CT图像滤波反投影重建算法的研究[宝典]

文档CT图像滤波反投影重建算法的研究[宝典] 西北工业大学学位论文知识产权声明书本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即:研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属于西北工业大学。学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。本人允许论文被查阅和借阅。学校可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时本人保证，毕业后结合学位论文研究课题再撰写的文章一律注明作者单位为西北工业大学。保密论文待解密后适用本声明。学位论文作者签名::《～～～塑, 指导教师签名。,况订年弓月多,日聊年岁月歹口日西北工业大学学位论文原创性声明秉承学校严谨的学风和优良的科学道德，本人郑重声明:所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容和致谢的地方外，本论文不包含任何其他个人或集体己经公开发表或撰写过的研究成果，不包含本人或其他已申请学位或其他用途使用过的成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式表明。本人学位论文与资料若有不实，愿意承担一切相关的法律责任。学位论文作者签名网年;月如日西北〕,业大学硕士学位论文第一章绪论第一章绪论本章首先概述了图像重建和,,技术的基本概念及图像重建方法的分类，然后介绍了,,的发展及国内外研究现状，最后阐明了本文的研究目的与意义、主要工作和内容安排。,(,图像重建与,,技术概述由物体的二维截面或断面向该平面内的各个方向作投影，可获得一系列一维投影函数。由这些一维投影函数来重建该二维截面则称为图像重建。该技术是随着计算机技术的进步而发展起来并获得广泛应用的图像处理技术，其最典型的应用是医学上的计算机断层成像术(;,,,,,,, ,,,,鲫,,或;;胁,,,,,,,,,(，,,,肿,,,)，简称为;,技术。它用于获取人体头颅、心肺、腹部等内部器官的二维断层

投影基本知识习题及答案

一、填空题 1、工程上常采用的投影法是中心投影法和平行投影法，其中平行投影法按投射线与投影面是否垂直又分为正投影和斜投影法。 2、当直线平行于投影面时，其投影直线，这种性质叫真实性，当直线垂直投影面时，其投影点，这种性质叫积聚性，当平面倾斜于投影面时，其投影平面，这种性质叫类似性。 3、主视图所在的投影面称为正立面投影面，简称正立面，用字母V 表示，俯视图所在的投影面称为水平投影面，简称水平面，用字母H 表示。左视图所在的投影面称为侧立投影面简称侧立面，用字母W 表示。 4、三视图的投影规律是：主视图与俯视图长对正；主视图与左视图高平齐；俯视图与左视图宽相等。 6、直线按其对三个投影面的相对位置关系不同，可分为投影面垂直线、投影面平行线、一般位置直线。 7、与一个投影面垂直的直线，一定与其它两个投影面平行，这样的直线称为投影面的投影面垂直线。 8、与正面垂直的直线，与其它两个投影面一定平行，这样的直线称为正垂线。 9、与一个投影面平行，与其它两个投影面倾斜的直线，称为投影面的投影面平行线，具体又可分为正平线、水平线、侧平线。 10、与三个投影面都倾斜的直线称为一般位置直线。 11、空间平面按其对三个投影面的相对位置不同，可分投影面垂直面、投影面平行面、一般位置面 12. 正垂面与正面垂直，与水平面倾斜，与侧面倾斜，正垂面在正面投影为直线，在水平面和侧面投影为投影面的类似性。 13.正平面与正面，与水平面，与侧面，正平面在正面投影为，在水平面投影和侧面投影为。

14.参照图下图中的立体图，在三视图中填写物体的六个方位。（填前、后、左、右、上、下） 二、选择题（12分） 1.下列投影法中不属于平行投影法的是（ A ） A 、中心投影法 B 、正投影法 C 、斜投影法 2、当一条直线平行于投影面时，在该投影面上反映（ A ） A 、实形性 B 、类似性 C 、积聚性 3、当一条直线垂直于投影面时，在该投影面上反映（ C ） A 、实形性 B 、类似性 C 、积聚性 4、在三视图中，主视图反映物体的（ B ） A 、长和宽 B 、长和高 C 、宽和高 5、主视图与俯视图（ ） A 、长对正 B 、高平齐 C 、宽相等 6、主视图与左视图（ B ） A 、长对正 B 、高平齐 C 、宽相等 7、为了将物体的外部形状表达清楚，一般采用（A ）个视图来表达。 A 、三 B 、四 C 、五 8、三视图是采用（ B ）得到的 A 、中心投影法 B 、正投影法 C 、斜投影法 9、当一个面平行于一个投影面时，必（ B ）于另外两个投影面 A 、平行 B 、垂直 C 、倾斜 10、当一条线垂直于一个投影面时，必（ C ）于另外两个投影面 A 、平行 B 、垂直 C 、倾斜 上 下 左 前 右 后

平行投影和中心投影

中心投影与平行投影 知识点一中心投影与平行投影 1、投影：光线通过物体，向选定的面（投影面）投射，并在该面上得到图 形的方法。 2、中心投影：投射线交于一点的投影称为中心投影。其投影的大小随物 体与投影中心间距离的变化而变化，所以其投影不能反映 物体的实形. 3、平行投影：投射线相互平行的投影称为平行投影。平行投影的投影线 是平行的。在平行投影中，投影线正对着投影面时，叫做 正投影，否则叫做斜投影。在平行投影下，与投影面平行 的平面图形留下的影子与这个平面图形全等； 4、中心投影与平行投影的区别与联系 (1)中心投影后的图形与原图形相比虽然改变较多，但直观性强，看起来 与人的视觉效果一致，最像原来的物体，画实际效果图时，一般用中心投影法； (2)平行投影形成的直观图则能比较精确地反映原来物体的形状和特征。 画立体几何中的直观图形时一般用平行投影法。 例1、判断下列命题是否正确 （1）直线的平行投影一定为直线 （2）一个圆在平面上的平行投影可以是圆或椭圆或线段 （3）矩形的平行投影一定是矩形 （4）两条相交直线的平行投影可以平行 知识点二三视图 1、概念：视图是指将物体按正投影向投影面投射所得到的图形。线自物 体由前向后投射所得投影称为主视图或正视图。光线自物体由上向下投射所得投影称为俯视图。光线自物体由左向右投射所得投影称为左视图。 2、三视图画法规则 高平齐：主视图与左视图的高要保持平齐 长对正：主视图与俯视图的长应对正 宽相等：俯视图与左视图的宽度应相等 例2、画出下列几何体的三视图 分析：一般先画主视图，其次画俯视图，最后画左视 图。画的时候把轮廓线要画出来，被遮住的轮廓线要画成虚线。解：这二个几何体的三视图如下

实验二扇形束投影数据采集与滤波反投影重建实验

南昌大学实验报告 学生姓名：胡文松学号： 6103413007 专业班级：生医131班 实验类型：□验证□综合■设计□创新实验日期： 20160516 实验成绩： 实验二、扇形束投影数据采集与滤波反投影重建实验 一、实验目的及要求： 1、用MA TLAB中的fanbeam函数获取Shepp-Logan头模型的扇形束投影数据； 2、显示扇形束投影数据并和平行束投影数据进行比较； 3、用MA TLAB中的ifanbeam函数实现图像重建； 4、改变投影参数，观察对重建图像的影响。 二、实验基本原理： fanbeam 函数，计算扇形束投影。 句法 F = fanbeam(I,D) F = fanbeam(...,param1,val1,param1,val2,...) [F,sensor_positions,fan_rotation_angles] = fanbeam(...) F = fanbeam(I,D) 计算图像I的扇形束投影(正弦图) ，D 是扇形束顶点到旋转中心的距离。F的每一列表示一个角度下的扇形采样数据。探测器圆弧状排布，探测器间相隔一度，旋转360度[0:359] 。 F = fanbeam(...,param1,val1,param1,val2,...) 指定参数控制扇形投影 'FanRotationIncrement' 指定旋转角度增量，单位为度，默认值为1度。 'FanSensorGeometry' 指定探测器的排布方式 'arc'—探测器圆弧状排布（默认值） 'line' --探测器等距离线性排布 'FanSensorSpacing' 指定探测器间的间隔，探测器圆弧状排布的情况，单位为度，默认值为1。探测器等距离线性排布，单位为像素。 [F,sensor_positions,fan_rotation_angles] = fanbeam(...) 返回探测器位置和旋转角度信息 ifanbeam 函数，由扇形束投影数据重建图像 句法 I = ifanbeam(F,D) I = ifambeam(...,param1,val1,param2,val2,...) [I,H] = ifanbeam(...) I = ifanbeam(F,D) 由投影数据F重建图像I。 D是扇形束顶点到旋转中心的距离 I = ifanbeam(...,param1,val1,param2,val2,...) 指定参数控制图像重建。 'FanCoverage' 指定旋转角度范围 'cycle'}—旋转360度[0,360).

文档CT图像滤波反投影重建算法的研究

西北工业大学学位论文知识产权声明书本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属于西北工业大学。学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。本人允许论文被查阅和借阅。学校可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时本人保证，毕业后结合学位论文研究课题再撰写的文章一律注明作者单位为西北工业大学。保密论文待解密后适用本声明。学位论文作者签名：：《！！！塑Ｌ指导教师签名。＞况订年弓月多Ｄ日聊年岁月歹口日西北工业大学学位论文原创性声明秉承学校严谨的学风和优良的科学道德，本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容和致谢的地方外，本论文不包含任何其他个人或集体己经公开发表或撰写过的研究成果，不包含本人或其他已申请学位或其他用途使用过的成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式表明。本人学位论文与资料若有不实，愿意承担一切相关的法律责任。学位论文作者签名网年；月如日西北〕＝业大学硕士学位论文第一章绪论第一章绪论本章首先概述了图像重建和ＣＴ技术的基本概念及图像重建方法的分类，然后介绍了ＣＴ的发展及国内外研究现状，最后阐明了本文的研究目的与意义、主要工作和内容安排。１．１图像重建与ＣＴ技术概述由物体的二维截面或断面向该平面内的各个方向作投影，可获得一系列一维投影函数。由这些一维投影函数来重建该二维截面则称为图像重建。该技术是随着计算机技术的进步而发展起来并获得广泛应用的图像处理技术，其最典型的应用是医学上的计算机断层成像术（ｃｏｍｐｕｔｅｄＴ０ｍｏ鲫ｈｙ或ｃｃ胁ｐｕｔｅｒｉｚｅｄ．Ｉｂｍｏ肿ｐｂｙ），简称为ｃＴ技术。它用于获取人体头颅、心肺、腹部等内部器官的二维断层图像（故亦称断层摄影技术），对于ｘ射线放射诊断是一个重大突破，具有深远的实际意义，因而受到普遍的重视。１．１．１图像重建图像重建是图像处理中一个重要研究分支，是指根据对物体的探测获取的数据来重新建立图像，其重要意义在于获取被检测物体内部结构的图像而不对物体造成任何物理上的损伤。由于具备无损检测技术的显著优点，它在各个不同的应用领域中都显示出独特的重要性。例如：在医疗放射学、核医学、电子显微、无线电雷达天文学、光显微和全息成像学及理论视觉等领域都多有应用。在上述的众多领域中，图像重建在医学方面的应用最为显著。它大大丰富了对于人体内部器官进行无损检测的方法和手段，为疾病的早期正确诊断提供了科学的、准确的依据。根据原始数据获取方法及重建原理的不同可分为如下几种：发射断层重建成像（Ｅｍｊ醛ｉ∞ｃｏｍｐｕｔｃｄＴｏｍｏｇｒａｐｈｙ，Ｅｃ砷，透射断层重建成像ｆｒｆａｎｓｍｉｓｓｉｏｎｃｃ吼ｐｌＩｔｃｄＴｏｍｏ掣ａｐｈｙ，１∞，反射断层重建成像（Ｒｅｆｌｅｃｔｉ∞Ｃｃ粕ｐｕｔｅｄ劢衄ｏｇｒａｐｈｙ，ＲｃＩ）及核磁共振重建成像（Ｍａ印ｅｔｉｃＲｅｓ∞卸ｃｃｌＩＩＩａｇｉｎｇ，ＭＲｎ。西北工业大学硕士学位论文第一章绪论１．１．２ＣＴ技术在各种图像重建算法中，计算机断层成像术即ＣＴ技术占有重要的地位。ｃＴ技术的功能是将人体中某一薄层中的组织分布情况，通过射线对该薄层的扫描、检测器对透射信息的采集、计算机对数据的处理，并利用可视化技术在显示器或其他介质上显示出来。１．１．３图像重建的方法图像重建是ＣＴ技术中的一个重要问题。它的实质是按照采集后的数据，求解图像矩阵中象素，然后重新构造图像的过程；而图像矩阵的求解由计算机完成。图像重建问题的求解方法根据其特点可分为２大类。第１类是变换重建方法ｆ也叫解析法呐，其特点是先在连续域解析处理，最后离散化以利用计算机计算。其中又可分成傅里叶反变换重建法和滤波（或卷积）反投影重建法。第２类是级数展开重建法１２ｊ１３ｌ（也叫代数重建法、迭代算法、优化技术等），其特点是从开始就离散化进行分析，从而直接得到数值解。另外还有将变换法和级数展开法相结合的综合方法，如：迭代变换法、迭代重建重投影、角谐函数重建法和正交多项式展开重建。变换法的突出优点是实现简单，速度快，对足够精确的投影数据能获得很好的重建质量。因此目前实用ＣＴ系统中，尤其是医用ｃＴ系统中广泛采用变换法，特别是滤波反投影类型的算法来进行图像重建。变换法在技术上有两个主要的限制：（１）噪声特性不好。因为变换法是基于解析求反公式的闭合形式，要求投影数据是精确的。对于数据中的噪声，可以通过滤波步骤来适当解决。如果我们能在投影数据输入给变换法之前，将影响投影数据不精确性的诸多物理因素进行足够的校正，则便可以认为投影数据是相当准确的，从而得到满意的重建。（乃正因为变换法基于解析求反公式的闭合形式，所以变换法的简单与复杂强烈地依赖于数据采集扫描方

平行投影与正投影

投影（二） 一、学生起点分析 学生的知识技能基础：太阳光与影子是日常生活中的常见现象，学生在物理上也了解了影子的形成原因，积累了物体在太阳光下形成的影子的有关知识，具备了探究影子在方向、大小和形状有变化的基本技能. 学生的活动经验基础：太阳光下的影子是学生非常熟悉的一种现象，学生站在阳光下就会在地面或墙上留下自己的影子，并随着时间的变化会发现影子的长短和方向也在变化，获得了探究影子变化规律的经验基础.另外，根据新课程要求，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式，因此平时的培养使学生具备了一定的探究与合作能力. 二、教学任务分析 本节课的内容是这一章第一节第二课时，主要内容是学习平行投影. 影子是生活中的常见现象，通过课前活动的设置及课上的讨论互动，了解不同时刻物体在太阳光下形成影子的大小和方向的变化特点，并能根据影子的大小和方向确定时刻的先后；了解物体、影子、光线这三者之间的关系，能正确作图，进一步培养并提高学生观察问题、分析问题、解决问题的能力.为此，本节课的教学目标是： ①经历实践、探索的过程，了解平行投影的含义，并理解物体、影子、光线这三者之间的关系，能正确作图； ②通过学生的自主探索与合作交流，发现不同时刻物体在太阳光下形成的影子的大小和方向的变化规律，并能根据物体影子的大小和方向确定时刻的先后顺序； ③通过小组合作与教师演示让学生了解平行投影与物体三种视图之间的关系； ④通过本节课的学习进一步让学生感受数学来源于生活，增强学生学数学的兴趣，并进一步提高学生的合作意识，提高学生分析问题、解决问题的能力. 三、教学过程分析 本节课设计了六个教学环节：第一环节：综合调查，创设资源；第二环节：因势利导、学习新知；第三环节：合作学习，深入研究；第四环节：练习巩固，拓展提高；第五环节：归纳总结，感悟收获；第六环节：布置作业.

卷积反投影重建(二维)

卷积反投影图像重建 1 反投影重建基本介绍[1] 设待重建图像为),(y x a ，它的二维傅氏变换为^ 1 2 (,)(,)A A ωωρφ=。根据中心切片定理，^ (,)A ρφ可通过),(y x a 在不同视角φ下的投影()r p x φ的 一维傅氏变换求得。即： 待建图像： 12^ 1212()1212 2 ^2cos()0 2cos()02cos()0(,)(,)(,)1(,)4(,)(,)(,)i x y i r i r i r a r a x y F A A e d d A e d d P e d d d P e d ωωππρθφπ πρθφπ πρθφθωωωωωωπρφρρφ ρφρρφ φρρφρ -∞∞ +-∞-∞ ∞--∞ ∞ --∞ ∞ --∞======?? ??? ? ?? [] (1.1) 因为cos()r x r θφ=-，所以有： 122(cos sin )22cos()r x y x y x r ωωπρφφπρπρθφ+=+==- 同时： 12d d J d d ωωρφ= 11222//2cos 2sin 4//2sin 2cos J ωρωφπφ πρφ πρωρωφπφ πρφ ????-= = =???? (1.2) 先来看该式的第二个积分： [] 22cos() cos()cos()cos()(,)(,)|()(,)|(,)|cos(),r r r r i x i r x r r r x r r x r P e d P e d h x p x g x g r πρπρθφθφθφθφρρφρρρφρ φφθφφ∞ ∞ -=--∞ -∞ =-=-==*==-? ? (1.3) 式中：(,)()(,)r r r g x h x p x φφ=* (1.4) ^ 121(,)(,)()()(,)r A A F p x P P φφωωρφρρφ??====??

由投影重建图像

4-5 由投影重建图像 一、 实验目的 了解反投影重建算法的方法. 二、 实验内容 1.利用radon 和iradon 函数实现平行束投影和反投影重建算法 2. 利用fanbeam 和ifanbeam 函数实现扇形束投影和反投影重建算法 三、 实验步骤 1.用MATLAB图像处理工具箱的phantom 生成Shep‐Logan 头模型； P=phantom(256); imshow(P); 2.用MATLAB中的radon 函数获得Shepp‐Logan 模型的投影数据： theta1=0:10:170; [R1,xp]=radon(P,theta1); %计算Shep‐Logen头模型18 个角度 theta2=0:5:175; [R2,xp]=r adon(P,theta2); %36 个角度 theta3=0:2:178;[R3,xp]=radon(P,theta3); % 90 个角度的投应 %显示投影数据： %18 个角度 figure,imagesc(theta1,xp,R1);xlabel('\theta');ylabel('x\prime');

% 36 个角度 figure,imagesc(theta2,xp,R2);xlabel('\theta');ylabel('x\prime'); % 90 个角度 figure,imagesc(theta3,xp,R3);xlabel('\theta');ylabel('x\prime');

3．用MATLAB 中的iradon 函数对获得的投影数据进行滤波反投影重建，获得Shepp‐Logan 模型的重建图像： I1=iradon(R1,10);I2=iradon(R2,5);I3=iradon(R3,2); %显示重建图像： figure,imshow(I1);

1.2.1--1.2.2 中心投影与平行投影 空间几何体的三视图

1.2.1--1.2.2 中心投影与平行投影 空间几何体的三视图 学习目标：1.了解中心投影和平行投影的概念. 2.能画出简单空间几何体的三视图. 3.能识别三视图所表示的立体图形. 学习重点：空间几何体的三视图. 学习难点：由三视图还原空间几何体. 二、导学指导与检测 导学指导 导学检测及课堂展示 阅读教材11P 完成右框内容 一、投影的定义及分类 1、定义：由于光的照射,在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的 ，这种现象叫做 .其中，我们把光线叫做 ,把留下物体影子的屏幕叫做 . 2、中心投影：光由 向外散射形成的投影，叫做中心投影.中心投影的投影线交 于 . 3、平行投影:在一束 光线照射下形成的投影，叫做平行投影.平行投影的投影线是 的.在平行投影中,投影线正对着投影面时，叫做 ,否则叫做 . 【即时训练1】下列说法： ①平行投影的投影线互相平行,中心投影的投影线相交于一点;②空间图形经过中心投影后，直线变成直线,但平行线可能变成了相交的直线;③几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式;④一条直线在一个平面内的投影仍是一条直线. 其中正确有 . 阅读教材1312P P —完成右框内容 二、三视图的分类及画法规则 正视图：光线从几何体的前面向 正投影，得到投影图； 侧视图：光线从几何体的 正投影，得到投影图； 俯视图：光线从几何体的 正投影，得到投影图. 画法规则： 、 、 . 【即时训练2】画出下列几何体的三视图. 课堂小结

【A组】： 1、画出下列几何体的三视图. 【B组】： 2、根据下列图中所给出的几何体的三视图，试画出它们的形状. 【C组】： 3、某三棱锥的三视图如图所示，求该三棱锥四个面中的面积最大值.

正投影的基本原理

正投影的基本原理 威海职业学院教案 单元三正投影的基本原理 第一讲投影的基本知识 计划教学课题投影的基本知识 2 课时 1. 投影法的基本知识 2. 投影法的概念 3. 投影法的种类及应用 4. 机械工程上常用的图样简介 教学目标 5. 正投影的基本性质 6. 点的投影 7. 点在两面投影体系中的投影 8. 点在三面投影体系中的投影 教学重点掌握点的三面投影 教学难点掌握点的投影规律 教学方法多媒体教学和在黑板上画图讲解相结合。 教学手段通过课件多媒体教学和在黑板上画图讲解相结合。本讲主题 1. 投影法的基本知识 2. 投影法的概念 3. 投影法的种类及应用 4. 机械工程上常用的图样简介 5. 正投影的基本性质

6. 点的投影 7. 点在两面投影体系中的投影 8. 点在三面投影体系中的投影 9. 点的三面投影与直角坐标 10. 特殊位置点的投影 11. 两点的相对位置 所用环节方式教学内容时间 幻灯片演示投影过程，动态分析投影。 5分钟 教一、模型演示 学 1. 投影法的基本知识 20分过 2. 投影法的概念钟程 二、分析讲解 3. 投影法的种类及应用 4. 机械工程上常用的图样简介 威海职业学院教案 5分钟 三、练习 幻灯片演示投影过程，动态分析投影。 10分 四、模型演示钟 5. 正投影的基本性质 60分 6. 点的投影钟 7. 点在两面投影体系中的投影 8. 点在三面投影体系中的投影五、分析讲解 9. 点的三面投影与直角坐标10. 特殊位置点的投影

11. 两点的相对位置 布置 课后练习 P9 1～2 作业 2.1投影的基本知识 2.1.1投影法概念:是投射线通过物体向预定投影面进行投影而得到图形的方法。 2.1.2投影法的分类: ,、中心投影法:投射线从投影中心出发的投影方法称为中心投影法，所得的投影称为中心投影。 ,、平行投影法:用相互平行的投射线对物体进行投影的方法称为平行投影法，所得的 投影称为平行投影。 斜投影法:投射线倾斜于投影面的投影方法称为斜投影法， 所得的投影称为斜投影。 平行投影法又可分为 正投影法:投射线垂直于投影面的投影方法称为正投影法， 所得的投影称为正投影。以后无特殊说明，投影均指正 投影。 2.1.3机械工程上常用的图样简介 1、轴测投影图 2、多面正投影图 2.1.4正投影的基本性质 1、真实性 2、积聚性 3、类似性