费曼_海尔曼定理的推广及应用

Simson定理

几何表示 过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线, 则三垂足共线. □ 一阶描述 基本定义: 选定 A,B,C 三点 □ 取外接圆上任意一点 P □ 得到三个垂足 D,E,F □ 基本描述: : A,B,C 三点不共线 西姆松定理 它们的坐标分别为 这三点构成的三角形的外接圆心及半径分别为 P 点的坐标为 . 全部 (x 1,y 1),(x 2,y 2),(x 3,y 3).l 1=AB,l 2=BC,l 3=CA.(u,v),r.(a,b)D(a 1,b 1),E(a 2,b 2),F(a 3,b 3). 91

□ ● : P 在三角形 ABC 的外接圆上 □ ● : P 不同于 A,B,C □ ● : D 是 P 到 BC 的垂足 □ ● : E 是 P 到 CA 的垂足 □ l 1l 2l 3(l 21=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2 )2 [l 22=(x 2-x 3)2+(y 2-y 3)2 [l 23=(x 3-x 1)2+(y 3-y 1 )2[l 1+l 2>l 3[l 2+l 3>l 1[l 3+l 1> l 2)92^uvr ((x 1-u)2 +(y 1-v)2=r 2 [ (x 2-u)2+(y 2-v)2=r 2[(x 3-u)2 +(y 3-v)2 =r 2 [(u-a)2+(v-b)2=r 2) 93\(a=x 1[b=y 1)[\(a=x 2[b=y 2)[\(a=x 3[b=y 3) 94(a 1-x 2)(b 1-y 3)-(a 1-x 3)(b 1-y 2)=0[(a 1-a)(x 2-x 3)+(b 2-b)(y 2-y 3)=0 95^

高二楞次定律专题

专题1 楞次定律 一、基本概念 1、内容 2、对楞次定律的理解 ①谁阻碍谁——感应电流的磁通量阻碍产生感应电流的磁通量； ②阻碍什么——阻碍的是穿过回路的磁通量的变化，而不是磁通量本身； ③如何阻碍——原磁通量增加时，感应电流的磁场方向与原磁场方向相反；当原磁通量减少时，感应电流的磁场方向与原磁场方向相同，即“增反减同”； ④阻碍的结果——阻碍并不是阻止，结果是增加的还增加，减少的还减少。 3、楞次定律的另一种表述： 感应电流总是阻碍产生它的那个原因，表现形式有三种： ①阻碍原磁通量的变化； ②阻碍物体间的相对运动（来时拒，去时留）； ③阻碍原电流的变化（自感）。 4、感应电动势方向与电势高低的判断 楞次定律提示了判断感应电流方向的规律，即“感应电流的磁场总要阻碍引起感应电流磁通量的变化”。它的核心思想是“阻碍”，只有深刻理解了“阻碍”的含义，才能准确的把握定律的实质。 5、楞次定律与右手定则的关系是什么？ 楞次定律与右手定则是一般与特殊的关系。一切电磁感应现象都符合楞次定律，而右手定则只适用于单纯由于部分导体做切割磁感线所产生的电磁感应现象。对于由磁感应强度B随时间变化所产生的电磁感应现象，只能由楞次定律进行分析。对于单纯是导体做切割磁感线所产生的电磁感应现象，既可运用右手定则判断，也可运用楞次定律判断，一般情况下，运用右手定则判断会更方便一些。 6、楞次定律的等价表述是什么？ 楞次定律还有另一种等价的表述，即感应电流所产生的效果，总要反抗产生感应电流的原因。这里的原因可以是原磁通量的变化，也可以是引起磁通量变化的机械效应（如相对运动或使回路发生形变等）；感应电流的效果，既可以是感应电流所产生的磁场，也可以是因为感应电流而导致的机械作用（如安培力等）。对于不需要判断感应电流方向，只需要判定由于电磁感应现象所产生的机械作用的问题，运用楞次定律的这一种表述进行判断通常比较简便。这时也可简化为“来拒去留”来判断。 7、楞次定律的实质是什么？ 楞次定律是能量的转化和守恒定律在电磁感应现象中的具体表现。感应电

积分中值定理的推广与应用

积分中值定理的推广与应用 系别数学系 专业数学与应用数学姓名韩凤 指导教师张润玲 职称副教授 日期2011年6月

国内图书分类号： 吕梁学院本科毕业论文（设计） 积分中值定理的推广与应用 姓名韩凤 系别数学系 专业数学与应用数学 申请学位学士学位 指导教师张润玲 职称副教授 日期2011年6月

摘要 在微积分学中积分中值定理与微分中值定理一样有着重要的地位.微积分的许多问题和不等式的证明都以它为依据,积分中值定理在证明有关中值问题时具有极其重要的作用.它是《数学分析》、《高等数学》课程中定积分部分的基本定理之一.众所周知积分中值定理包括积分第一中值定理与积分第二中值定理,而在数学分析课本上已有过这两个定理的详细证明,但这两个定理的推广与应用尚未提及.因此,在教学过程中,学在运用这一知识点解决有关的数学问题比较困难,常常不知如何下手,本文主要讲述的是积分第一中值定理的各种形式的推广以及通过以下几方面的列举例题,加以归纳总结,并充分体现积分中值定理在学习解题练习中的应用. 关键词：积分中值定理；推广；应用

ABSTRACT The integral median value theorem and differential median value theorem has the same important position in the questions and the proof of the inequality are all based on the integral theorem,the integral median theorem has played an important role in solving the problems about is one of the basic theorems in the definite integral part of“the mathematical analysis”and“the higher mathematics”.Well-known that the integral median theorem include the first median theorem for integrals and the second median theorem for integrals and the textbooks of the mathematical analysis have the detailed proof about the two theorems,but the popularization and application of the two theorems have not been addressed .Therefore,it is difficult when students use this knowledge to solve the related problems during the process of article mainly introduce various popularization of the first median theorem for integrals and giving some example through the following aspects,and giving some summary,strive to reflect the application of integral median value theorem in studying the way which can slove the ploblems. Keywords：Integral median value theorem; Promotion; Applications.

平面几何的几个重要定理--西姆松定理答案

1 《西姆松定理及其应用》 三点共线；、、则，、、垂足分别为的垂线，、、作外接圆上一点西姆松定理：若从F E D F E D AC AB BC P ABC ?三点共线 、、且又同理可得：四点共圆，、、、即可； ，显然，只需证明、证明：连接F E D FDC BDE FPC BPE PBE PBA PCF PFC BEP PFC FDC BPE BDE D P E B BEP BDP FDC BDE DF DE ∴∠=∠∴∠=∠∴∠=∠-?=∠?=∠=∠∠=∠∠=∠∴∴? =∠=∠∠=∠1809090 的外接圆上； 在在同一直线上，则、、若其垂足作垂线，或它们的延长线的三边向点西姆松的逆定理：从一ABC P N M L ABC P ??)(在同一直线上； 、、、，求证、、、的垂线，其垂足分别为、 、、作；从点、、的垂足分别为、、的三条垂线设例S R Q P S R Q P AC CF BE AB D F E D CF BE AD ABC ?.1四点共圆 、、、三点共线、、且由西姆松定理有：四点共圆 、、、又三点共线、、由西姆松定理有：四点共圆 、、、，则的垂心为证明：设S R Q P R Q P D B F O S R Q D C E O O ABC ∴? 。 平分线段，则直线、分别为的垂线，垂足、作直线是直角，若从是圆内接四边形，且四边形例BD EF F E AD AC B D ABCD ∠.2BD FG BFDG DGB FDG BFD G E F DC BG 平分另一条对角线对角线为矩形 四边形又共线，、、由西姆松定理有：证明：作∴∴?=∠=∠=∠⊥90,

2 在同一条直线上 、、、故在一条直线上，、、在一条直线上，、、由西姆松定理可知，、、、、所作垂线的垂足分别为、、、向若点交于同一点、圆、圆、圆圆也过点同理圆过点，即圆的另一个交点为与圆圆，于点交，于点交中，、、、线证明：如图，设四条直P N M L P N M N M L P N M L E DA CD BC AB G G AED ABF CDF BCE G AED G ABF A BGF CDA BEC CGF BGC BGF G CDF BCE F AD BC E CD AB AD CD BC AB ∴?=∠+∠∴∠+∠=∠+∠=∠∴180一条直线上； 直线所作垂线的垂足在且由该点向四条的外接圆相交于一点，交所构成的四个三角形求证：四条直线两两相例.3的。的西姆松线是互相垂直、，则关于的外接圆的任意直径为设例Q P PQ ABC ?.4A O A P QQ PP Q P A Q A P Q P BC Q P ''''''''⊥是矩形，则的西姆松线平行，再证、分别与点、，先证、于点作垂线并延长交外接圆向、提示：由； 或其延长线平分，求证：、垂足分别为的垂线，、点作直线是直角，若从是圆内接四边形，且、四边形练习BD EF F E AD AC B CDA ABCD ∠1， ＝＝＝，＝，＝分别四点共圆 、、、和、、、和、、、由题设可知，图中，＝证明：设PCQ FME PCQ RCB FCQ DCP NLC NGL DEP MNE MEN FME DCP DEP GCE NLQ FCQ EGQ P D E C C G L E C G F Q L QG PE N FG PE ∠∠∴∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠∠∴∠∠∠∠∠∠∴= ) 12(:3242题、奥林匹克数学高二分册的中点。线段点的西姆松线过关于，求证，其外接圆上任意一点的垂心为、设练习P PH P ABC P H ABC ??)11(;2242题、奥林匹克数学高二分册＝，则交于和的西姆松线、关于，若外接圆上的两点，求证为、、如图，设练习P PCQ FME M FG DE Q P ABC ABC Q P ∠∠??所平分被另一对角线是矩形，四边形共线、、，由西姆松定理可知的垂线作证明：由FG BD BGDF FDG BFD G F E BG DC B ?=∠=∠∴90

楞次定律的推广

For personal use only in study and research; not for commercial use 楞次定律的内容：---------------------------------------------- 一．就磁通量而言，总是阻碍引起感应电流的磁通量（原磁通量）的变化 当原磁通量增加时，感应电流的效果就是阻碍原磁通量的增加， 当原磁通量减少时，感应电流的效果就是阻碍原磁通量的减少。 例1. 如图2所示，ab是一个可绕垂直于纸面的轴O转动的闭合矩形导线框，当滑动变阻器R的滑片P 自左向右滑行时，线框ab将（） A.保持静止不动 B.逆时针转动 C.顺时针转动 D.发生转动，但因电源极性不明，无法确定转动方向 二．就相对运动而言，阻碍所有的相对运动，简称口诀“来据去留” 当磁铁插入线圈时，线圈中感应电流的磁场对磁铁产生斥力，阻碍其插入； 当磁铁拔出线圈时，线圈中感应电流的磁场对磁铁产生吸引力，阻碍其远离； 例1. 如图所示，当条形磁铁突然向闭合铜环运动时，铜环里产生的感应电流的方向怎样？铜环运动情况怎样？ 解析：磁铁右端的磁感线分布如图16-3-9所示，当磁铁向环运动时，环中磁通量变大，由楞次定律可判断出感应电流磁场方向，再由安培定则判断出感应电流方向如图16-3-9所示.把铜环等效为多段直线电流元，取上、下两对称的小段研究，由左手定则可知其受安培力如图16-3-9，由此推想整个铜环受合力向右，故铜环将向右摆动.

图16-3-9 由于磁铁的靠近引起环中感应电流的产生，而电流（通电导体）在磁场中受到力作用. 巧妙变式巧解提示一：磁铁向右运动，使铜环产生感应电流如图16-3-10所示.此环形电流可等效为图 16-3-10中所示的小磁针.显然，由于两磁体间的推斥作用铜环将向右运动. 图16-3-10 巧解提示二：由于磁铁向右运动而使铜环中产生感应电流，根据楞次定律的另一种表述可知铜环将向右躲避以阻碍这种相对运动. 三．就闭合回路而言，致使回路的面积有收缩或扩张的趋势 四．收缩或扩张是为了阻碍闭合回路磁通量的变化。若穿过闭合回路的磁感线皆朝同一个方向，则磁通量增大时，面积有收缩趋势，磁通量减小时，面积有增大的趋势，简称口诀“增缩减扩”； 若穿过闭合回路的磁感线朝两个相反的方向都有，以上结论可能完全相反。当螺线管B中的电流减小时，穿过闭合金属圆环A的磁通量减小，这时A环有收缩的趋势，对这类问题特别要注意圆环面积对其合磁通量的影响（圆环面积越小，穿过圆环的磁通量越大） 五．就感应电流而言，感应电流总是阻碍原电流的变化，简称口诀“增反减同” 六．

介值定理的一些应用

介值定理的一些应用 摘要：介值定理是连续函数的一个很重要的定理。本文主要讨论利用介值定理证明方程根的问题。介值定理不但可以证明方程根的存在性，而且可以判断方程根的个数，还能判断方程根的范围。文章还讨论利用介值定理处理不等式问题。最后举例说明介值定理在生活中的应用。 关键词：介值定理 方程 不等式 应用 介值定理是一个简单的定理，但是我们在学习数学分析的过程中会经常遇到很多依靠这个定理来解决的题目。此外，我们还会见到利用这个定理证明微积分中的一些定理。介值定理是闭区间上连续函数的基本性质之一，了解这个定理并能够灵活运用这个定理来解决一些问题是十分有必要的。 介值性定理：设函数()f x 在闭区间[]b a ,上连续。并且函数()f a 与函数()f b 不相等。如果μ是介于()f a 和()f b 之间的任何实数() f a <μ<() f b 或() f a >μ >()f b ，则至少存在一点0x (),a b ∈使得().0f x =μ. 推论：根的存在定理 如果函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，并且()f a 和 ()f b 满足()f a ()f b <0，那么至少存在一点0x ，使得().0f x =0. 即是方程()f x =0在(),a b 内至少有一个根。 1.介值定理在方程根的问题上的应用 利用介值性定理或是根的存在性定理解决方程的根的问题是一类广泛存在的题目。可以利用此定理来解决方程根是否存在，根的个数和根的范围等的问题。 1.1介值定理证明方程根存在性 证明类似方程()f x =()g x 在区间至少存在一个根的问题总是可以转化为连续函数()F x =()f x -()g x 的零点问题，一般可以利用根的存在定理来解决这类的问题。 例1 证明：函数()f x 在区间[]a 2,0上连续并且函数()0f =()2f a 。那么方

(答案)奥赛经典-奥林匹克数学中的几何问题---第六章西姆松定理及应用答

第六章西姆松定理及应用 习题A 1．由西姆松定理，知L ，M ，N 三点共线，注意到P ，L ，N ，B 及P ，M ，C ，L 分别四点共圆，知LPN B ∠=∠，LPM C ∠=∠．又由张角定理，有() sin sin sin B C B C PL PM PN ∠+∠∠∠= + ，即 sin sin sin mn A ln B lm C ?∠=?∠+?∠再应用正弦定理，得mn a ln b lm c ?=?+?． 2．根据直径所对的圆周角是直角，知90BDP ADP ∠=∠=?，90BFP CFP ∠=∠=?，90CEP AEP ∠=∠=?，即知D ，A ，B ；B ，F ，C ；C ，E ，A 分别三点共线． 又PD AB ⊥于D ，PE AC ⊥于E ，PF BC ⊥于F ，P 是ABC △外接圆周上一点，由西姆松定理，知D ，E ，F 三点共线． 3．延长BE ，CD 相交于点K ，延长CG ，BF 相交于点L ．设CG 与BE 相交于点I ，则I 为ABC △的 内心．由12CAI BAC ∠=∠，而()11 909022 CKI CIK B C BAC ∠=?-∠=?-∠+∠=∠，从而A ，I ，C ， K 四点共圆． 又AD CK ⊥于D ，AE KB ⊥于E ，AG CI ⊥于G ，A 是ICK △外接圆上任一点，由西姆松定理，知D ，E ，G 三点共线．同理，B ，I ，A ，L 四点共圆，AE BI ⊥于E ，AG IL ⊥于G ，AF BL ⊥于F ，由西姆松定理，知E ，G ，F 三点共线．故F ，G ，E ，D 四点共线． 4．设正ABC △外接圆弧?AB 上任一点P 到边BC ，CA ，AB 的距离分别为a h ，b h ，c h ，其垂足分别为 D ， E ， F ，正三角形边长为a ．由面积等式可得a b c h h h +-= ．此式两边平方，得 ()2222324 a b c a b b c a c h h h h h h h h h a +++--=． 由 sin sin b a h h PAC PBD PA PB =∠=∠=，有a b h PA h PB ?=?． 同理，a c h PA h PC ?=?，故a b h PA h PB k PC ?=?=?． 又P ，F ，E ，A 及P ，D ，B ，F 分别四点共圆，有PFD PBD PAC ∠=∠=∠，PDF PBF PCA ∠=∠=∠， 得PFD PAC △△≌，故c h PA a DF = ?，同理，a h PB a DE =?,b h PC a EF =?，即 a c b a c b h h h h h h k EF DE EF ???===由西姆松定理，知D ，E ，F 共线，即DF FE DE +=．于是 ￡()0a b a c b c hb h h h h h h DE DF EF k ? ---=--=?， 故222234 a b c h h h a ++=． 5．设以ABC △的三个顶点为圆心的三圆，皆经过同一点M ，而M 在ABC △的外接圆上，A e 与B e 另交于D ，A e 与C e 另交于E ，B e 与C e 另交于F ． 注意到A e 与B e 中，公共弦MD ⊥连心线AB ；A e 与C e 中，公共弦ME ⊥连心线AC ；B e 与C e 中，公共弦MF ⊥连心线BC ．对ABC △及其外接圆周上一点M ，应用西姆松定理，知D ，E ，F 三点共线． 习题B 1．(Ⅰ)设从点P 向BC ，CA ，AB 作垂线，垂足分别为X ，Y ，Z ．由对称性，知XY 为PUV △的中位线，故UV XY ∥同理，VW YZ ∥，WU XZ ∥．由西姆松定理，知X ，Y ，Z 三点共线，故U ，V ，W 三点共线．

数学奥赛-2(西姆松定理-欧拉线-九点圆)

西姆松(Simson)定理 西姆松定理说明 过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。（此线常称为西姆松线） 西姆松定理的逆定理若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上。 相关的结果有： （1）称三角形的垂心为H。西姆松线和PH的交点为线段PH的中点，且这点在九点圆上。 （2）两点的西姆松线的交角等于该两点的圆周角。 （3）若两个三角形的外接圆相同，这外接圆上的一点P对应两者的西姆松线的交角，跟P的位置无关。 （4）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。 证明 证明一：△ABC外接圆上有点P，且PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，PD⊥BC 于D，分别连DE、DF. 易证P、B、F、D及P、D、C、E和A、B、P、C分别共圆，于是∠FDP=∠A CP ①，（∵都是∠ABP的补角）且∠PDE=∠PCE ②而∠ACP+∠PCE=180° ③∴∠FDP+∠PDE=180° ④即F、D、E共线. 反之，当F、D、E共线时，由④→②→③→①可见A、B、P、C共圆. 证明二：如图，若L、M、N三点共线，连结BP，CP， 则因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、 L、N和M、P、L、C分别四点共圆，有 ∠PBN = ∠PLN = ∠PLM = ∠PCM. 故A、B、P、C四点共圆。 若A、B、P、C四点共圆，则∠PBN = ∠PCM。因PL 垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N 和M、P、L、C四点共圆，有 ∠PBN =∠PLN =∠PCM=∠PLM. 故L、M、N三点共线。

楞次定律的应用·典型例题解析

楞次定律的应用·典型例题解析 【例1】如图17－50所示，通电直导线L和平行导轨在同一平面内，金属棒ab静止在导轨上并与导轨组成闭合回路，ab可沿导轨自由滑动．当通电导线L向左运动时 [ ] A．ab棒将向左滑动 B．ab棒将向右滑动 C．ab棒仍保持静止 D．ab棒的运动方向与通电导线上电流方向有关 解析：当L向左运动时，闭合回路中磁通量变小，ab的运动必将阻碍回路中磁通量变小，可知ab棒将向右运动，故应选B． 点拨：ab棒的运动效果应阻碍回路磁通量的减少． 【例2】如图17－51所示，A、B为两个相同的环形线圈，共轴并靠近放置，A线圈中通有如图(a)所示的交流电i，则 [ ] A．在t1到t2时间内A、B两线圈相吸 B．在t2到t3时间内A、B两线圈相斥 C．t1时刻两线圈间作用力为零 D．t2时刻两线圈间作用力最大 解析：从t1到t2时间内，电流方向不变，强度变小，磁场变弱，ΦA↓，B线圈中感应电流磁场与A线圈电流磁场同向，A、B相吸．从t2到t3时间内，

I A反向增强，B中感应电流磁场与A中电流磁场反向，互相排斥．t1时刻，I A 达到最大，变化率为零，ΦB最大，变化率为零，I B＝0，A、B之间无相互作用力．t2时刻，I A＝0，通过B的磁通量变化率最大，在B中的感应电流最大， 但A在B处无磁场，A线圈对线圈无作用力．选：A、B、C． 点拨：A线圈中的电流产生的磁场通过B线圈，A中电流变化要在B线圈中感应出电流，判定出B中的电流是关键． 【例3】如图17－52所示，MN是一根固定的通电长导线，电流方向向上，今将一金属线框abcd放在导线上，让线圈的位置偏向导线左边，两者彼此绝缘，当导线中电流突然增大时，线框整体受力情况 [ ] A．受力向右 B．受力向左 C．受力向上 D．受力为零 点拨：用楞次定律分析求解，要注意线圈内“净”磁通量变化． 参考答案：A 【例4】如图17－53所示，导体圆环面积10cm2，电容器的电容C＝2μ F(电容器体积很小)，垂直穿过圆环的匀强磁场的磁感强度B随时间变化的图线如图，则1s末电容器带电量为________，4s末电容器带电量为________，带正电的是极板________． 点拨：当回路不闭合时，要判断感应电动势的方向，可假想回路闭合，由楞次定律判断出感应电流的方向，感应电动势的方向与感应电流方向一致． 参考答案：0、2×10-11C；a；

考研数学积分中值定理及其推广和应用分析

2015考研数学：积分中值定理及其推广和应用分析 来源：文都教育 在考研数学中，积分中值定理是一个有用的分析证明工具，考试中经常会用到。积分中值定理有3种情形：基本的积分中值定理、推广的积分中值定理、两个函数相乘时的积分中值定理。一般高等数学教材上对第一种情形的积分中值定理都有介绍说明，但对后两种情形可能没有相应说明。为了使各位考生对积分中值定理有一个更深刻的理解和更灵活的运用，那么，老师对积分中值定理及其推广和应用分析做一个全面的分析介绍，供各位考生参考。 基本的积分中值定理： 设函数()f x 在[,]a b 上连续，则至少存在一点[,]a b ξ∈，使 ()()()b a f x dx f b a ξ=-? 证明：设()f x 在[,]a b 上的最大和最小值分别为,M m ，则()()b b b a a a m f x M mdx f x dx Mdx ≤≤?≤≤?? ??1()b a m f x dx M b a ≤ ≤-?，由连续函数的介值定理得，至少存在一点[,]a b ξ∈，使1()()b a f x dx f b a ξ=-?，即()()()b a f x dx f b a ξ=-? 推广的积分中值定理： 设函数()f x 在[,]a b 上连续，则至少存在一点(,)a b ξ∈，使()()()b a f x dx f b a ξ=-? 证明：令()()x a x f t dt ?= ? ，则()()x f x ?'=，由拉格朗日中值定理得，至少存在一点(,)a b ξ∈，使()()()()b a b a ???ξ'-=-，即()()()b a f x dx f b a ξ=-? 注：虽然由定理2知，存在(,)a b ξ∈，使 ()()()b a f x dx f b a ξ=-? ，但这并不排除存在[,]a b η∈，使()()()b a f x dx f b a η=-?，即a η=或b 的可能性。 例如：(),[,]f x c x a b =∈，c 是常数，此时，对于任何[,]a b η∈，都有 ()()()b a f x dx f b a η=-? 成立。

各种圆定理总结(包括托勒密定理、塞瓦定理、西姆松定理、梅涅劳斯定理、圆幂定理和四点共圆)

托勒密定理 定理图 定理的内容托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组 对边所包矩形的面积之和。从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式， 托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质. 定理的提出 一般几何教科书中的托勒密定理”，实出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是从他的 书中摘出。 证明 一、(以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。) 在任意四边形ABCD 中，作△ ABE使/ BAE= / CAD / ABE= / ACD 因为△ ABE ACD 所以BE/CD=AB/AC, 即BE-AC=AB CD (1) 而/ BAC= / DAE ,，/ ACB= / ADE 所以△ ABC AED 相似. BC/ED=AC/AD 即ED- AC=BC AD (2) ⑴+⑵，得 AC(BE+ED)=AB CD+AD BC 又因为BE+EI> BD (仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即托勒密定理”) 所以命题得证 复数证明 用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D的复数，则AB、CD、AD、BC、AC、 BD的长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。首先注意到复数恒等式：(a -b)(c - d) + (a - d)(b - c) = (a - c)(b - d)，两边取模，运用三角不等式得。等 号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。四点不限于同一平面。平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。 二、设ABCD是圆内接四边形。在弦BC上，圆周角/ BAC = / BDC，而在AB上， / ADB = / ACB。在AC 上取一点K，使得/ ABK = / CBD ; 因为/ ABK + / CBK = / ABC = / CBD + / ABD，

浅谈介值定理应用的体会

例题1.设f(x) 在[a,b] 上连续,a

同样分析这个题目，题目这次给出的条件有： 1. f(x)在[0 1]上一阶连续导数， 2. f(0)=0， 3.证明闭区间存在一点似的一阶导数等于一个数 那么由这些条件可以分析出那些东西？ 条件1：f(x)在[0 1]上一阶连续导数，可以推出： f(x)满足有界，最值，介值四条定理（显然这个题目不是用它） 一阶导数也满足上面四条定理 条件2：没什么解读的 条件3：如上题的解析，似乎在暗示介值定理，为什么这么说呢？ 在此我们先来看介值定理是怎么说的？ 一步步分解已知，从条件和结论双方慢慢的去靠拢，要理解题目解法和知识点背后的框架，这样才能让你的思路清晰.当然要及时回顾，不然就如我般会忘得一干二净. 因此要用介值定理的话，关键是证明第2部分的条件成立与否？ 在看这个题目一阶导数函数本质还是个函数，而这个2 f (x )1 0部分本质是个数，因此从要证明的就是2 f (x )10这部分在最大值最小值之间. 这个题目的本质还是介值定理的应用，因为它证明还是在闭区间存在一个数使得函数等于一个数.（这不就介值定理的应用吗？要证介值定理，常要用最值定理.） 用最值定理去证明这个数在最大值最小值之间. 由三段论知道，我们这个题目的关键在于证明2 f (x )10dx 在f’(x )最大与最小值之间. 如何来证呢？ 解题： （首先由）f’(x )在[0,1]连续，故m ≤f’ x ≤M （原理连续函数的有界性） （如何联系f(x)与 f’(x )可以用拉格朗日中值定理，题目也给出了一个点，这也是暗示运用中值定理） f x ?f 0 =f’ μ x ?0 ,(0<μ

平面几何-五大定理及其证明

平面几何定理及其证明 梅涅劳斯定理 1 .梅涅劳斯定理及其证明 定理：一条直线与 ABC 的三边AB BC CA 所在直线分别交于点 D E 、F ,且D E 、F 均 证明：如图，过点C 作AB 的平行线，交EF 于点G. 因为 CG // AB ，所以 CG CF --------------------- （ 1） AD FA 因为 CG // AB ，所以 EC （ 2） DB BE C F ，即得 A D C F EC FA DB EC FA 2.梅涅劳斯定理的逆定理及其证明 定理：在 ABC 的边AB BC 上各有一点 D E ,在边 AC 的延长线上有一点 F ,若 二、 塞瓦定理 3 .塞瓦定理及其证明 定理：在ABC 内一点P,该点与ABC 的三个顶点相连所在的 三条直线分别交 ABCE 边AB BC CA 于点D E 、F ,且D E 、F 三点均不是 ABC 不是ABC 的顶点，则有 AD BE CF 1 DB EC 由（1）宁（2） DB 可得兀 AD BE CF DB EC FA 1 ，那么，D E 、F 三点共线. 证明：设直线EF 交AB 于点D ，则据梅涅劳斯定理有 AD / BE CF 丽 EC FA 因为AD Bl CF DB EC FA 1，所以有誥 段AB 上，所以点D 与D 重合.即得D 鴿.由于点D D 都在线 E 、F 三点共线. 证明： 运用面积比可得 AD DB S ADP S BDP S ADC S BDC 根据 等 比定理有 S ADP S ADC S ADC S ADP S APC S S BDP BDC S BDC S BDP S

第6章 西姆松定理及应用(含答案)

第六章西姆松定理及应用 【基础知识】 西姆松定理 过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足点共线（此线常称为西姆松线）． 证明如图6-1，设P 为ABC △的外接圆上任一点，从P 向三边BC ，CA ，AB 所在直线作垂线，垂足分别为L ，M ，N ．连PA ，PC ，由P ，N ，A ，M 四点共圆，有 β α γ βL M A P B N C 图6-1 PMN PAN PAB PCB PCL ∠=∠=∠=∠=∠． 又P ，M ，C ，L 四点共圆，有PML PCL ∠=∠． 故PMN PML ∠=∠，即L ，N ，M 三点共线． 注 此定理有许多证法．例如，如下证法： 如图6-1，连PB ，令PBC α∠=，PCB β∠=， PCM γ∠=，则 PAM α∠=，PAN β∠=，PBN γ∠=，且cos BL PB α=?，cos LC PC β=?，cos CM PC γ=?， cos MA PA α=?，cos AN PA β=?，cos NB PB γ=?．对ABC △，有 cos cos cos 1cos cos cos BL CM AN PB PC PA LC MA NB PC PA PB αγββαγ ?????=??=???．故由梅涅劳斯定理之逆定理，知L ，N ，M 三点共线． 西姆松定理还可运用托勒密定理、张角定理、斯特瓦尔特定理来证（略）． 西姆松定理的逆定理 若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上． 证明如图6-1，设点P 在ABC △的三边BC ，CA ，AB 所在直线上的射影分别为L ，M ，N ，且此三点共线．由PN AB ⊥于N ，PM AC ⊥于M ，PL BC ⊥于L ，知P ，B ，L ，N 及P ，N ，A ，M 分别四点共圆，而AB 与LM 相交于N ，则PBC PBL PNM PAM ∠=∠=∠=∠，从而P ，B ，C ，A 四点共圆，即点P 在ABC △的外接圆上． 【典型例题与基本方法】 1．找到或作出三角形外接圆上一点在三边上的射影，是应用西姆松定理的关键 例1如图6-2，过正ABC △外接圆的AC 上点P 作PD ⊥直线AB 于D ，作P E A C ⊥于E ，作P F B C ⊥于F ．求证： 111 PF PD PE += ．

高中物理 第四章 习题课一 楞次定律的应用练习(含解析)新人教版选修3-2

习题课一楞次定律的应用 1. 如图所示,老师做了一个物理小实验让学生观察:一轻质横杆两侧各固定一金属环,横杆可绕中心点自由转动,老师拿一条形磁铁插向其中一个小环,后又取出插向另一个小环,同学们看到的现象是( B ) A.磁铁插向左环,横杆发生转动 B.磁铁插向右环,横杆发生转动 C.无论磁铁插向左环还是右环,横杆都不发生转动 D.无论磁铁插向左环还是右环,横杆都发生转动 解析:左环没有闭合,在磁铁插入过程中,不产生感应电流,故横杆不发生转动.右环闭合,在磁铁插入过程中,产生感应电流,小环受安培力,横杆将发生转动,故B正确. 2.(2019·甘肃兰州四中期中)(多选)如图所示,在光滑水平面上固定一条形磁铁,有一小球以一定的初速度向磁铁方向运动,如果发现小球做减速运动,则小球的材料可能是( CD ) A.铁 B.木 C.铜 D.铝 解析:铁球被磁化后受到引力做加速运动,选项A错误;磁场对木块无任何作用,木块做匀速运动,选项B错误.铜、铝是金属,金属小球可看做由许多线圈构成,在向磁铁方向运动过程中,由于条形磁铁周围的磁场是非匀强磁场,穿过金属线圈中的磁通量会发生改变,会产生感应电流,根据楞次定律的推论,来拒去留,它们的速度会减小,选项C,D正确. 3.(2019·江西龙南中学月考)(多选)如图所示,虚线矩形abcd为匀强磁场区域,磁场方向竖直向下,圆形金属环以一定的速度沿光滑绝缘水平面向磁场区域运动.图中给出的是圆环的四个可能到达的位置,则圆环速度可能为零的位置是( AD ) 解析:当圆形金属环进入磁场时,会受到磁场对它的阻力,所以A中圆环的位置的速度可能是零,选项A正确;圆环完全进入磁场后,圆环中不再产生感应电流,故它也不再受到安培力的作用,所以圆环在磁场中一旦进入后,其速度不可能为零,故选项B,C错误;在圆环运动出磁场时,磁场也会对圆环有一个吸引力阻碍它的离开,故D的位置速度可能为零,选项D正确. 4.如图所示,通电螺线管两侧各悬挂一个小铜环,铜环平面与螺线管截面平行.当开关S接通瞬间,两铜环的运动情况是( A )

四个重要定理(梅涅劳斯-塞瓦-托勒密-西姆松)

平面几何中的四个重要定理 梅涅劳斯（Menelaus ） 定理（梅氏线） △ ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上有点 P 、Q 、R ,贝U P 、Q 、R 共线的充 塞瓦（Ceva ）定理（塞瓦点） △ ABC 的三边BC 、CA 、AB 上有点P 、Q 、R ,贝U AP 、BQ 、CR 共点的充要条件 西姆松（Simson ）定理（西姆松线） 从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接 要条件是 BP CQ AR 1 PC QA RB 是BP 殂塑1。 PC QA RB P 圆 。

-可编辑- 圆上。 例题: 1、设AD 是厶ABC 的边BC 上的中线，直线CF 交AD 于F 。求 、 AE 2AF 证：—— ED FB AE DC BF 【分析】CEF 截厶ABD T -------------------------- 1 （梅氏定理） ED CB FA 【评注】也可以添加辅助线证明：过 A 、B 、D 之一作CF 的平 行线。 【分析】连结并延长 AG 交BC 于M ，贝U M 为BC 的中点。 BE CF GM (DB DC) = GM 2MD EA FA = AG MD 2GM MD AB 、AC 于 E 、F ,交 CB 于 D 。 求证： BE CF 1。 EA FA DEG 截厶 ABM T DGF 截厶 ACM T BE AG MD EA GM DB CF AG MD FA GM DC 1 （梅氏定理） 1 （梅氏定理） A 2、过△ ABC 的重心G 的直线分别交

5、已知△ ABC 中，/ B=2 / C 。求证: 【评注】梅氏定理 【评注】梅氏定理 CG 相交于一点。 【分析】 【评注】塞瓦定理 3、D 、E 、F 分别在△ ABC 的 BC 、 匹圧些,AD 、BE 、 DC FB EA 【分析】 4、以△ ABC 各边为底边向外作相似的等腰厶 BCE 、△ CAF 、△ ABG 。求证： AE 、BF 、

(完整版)楞次定律练习题及详解

… … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … … 1．如图所示，固定长直导线A中通有恒定电流。一个闭合矩形导线框abcd与导线A在同一平面内，并且保持ab边与通电导线平行，线圈从图中位置1匀速向右移动到达位置2。关于线圈中感应电流的方向，下面的说法正确的是 A．先顺时针，再逆时针 B．先逆时针，再顺时针 C．先顺时针，然后逆时针，最后顺时针 D．先逆时针，然后顺时针，最后逆时针 【答案】C 【解析】 试题分析：由安培定则可得导线左侧有垂直纸面向外的磁场，右侧有垂直纸面向里的磁场，且越靠近导线此场越强，线框在导线左侧向右运动时，向外的磁通量增大，由楞次定律可知产生顺时针方向的感应电流；线框跨越导线的过程中，先是向外的磁通量减小，后是向里的磁通量增大，由楞次定律可得线框中有逆时针方向的电流；线框在导线右侧向右运动的过程中，向里的磁通量减小，由楞次定律可知产生顺时针方向的感应电流；综上可得线圈中感应电流的方向为：先顺时针，然后逆时针，最后顺时针。 故选C 考点：楞次定律的应用 点评：弄清楚导线两侧磁场强弱和方向的变化的特点，线框在导线两侧运动和跨越导线的过程中磁通量的变化情况是解决本题关键。 2．如图所示，在两根平行长直导线M、N中，通入同方向同大小的电流，导线框abcd和两导线在同一平面内，线框沿着与两导线垂直的方向，自左向右在两导线间匀速移动，在移动过程中，线框中感应电流的方向为 A．沿adcba不变 B．沿abcda不变 C．由abcda变成adcba D．由adcba变成abcda 【答案】B 【解析】 试题分析：线框沿着与两导线垂直的方向，自右向左在两导线间匀速移动，在移动过程中，线框的磁通量先垂直纸面向外减小，后垂直纸面向里增大，由楞次定律可知，感应电流的磁场方向一直垂直纸面向外，由安培定则知感应电流一直沿adcba不变；故B正确 考点：楞次定律的应用 点评：难度中等，弄清楚两导线中间磁场强弱和方向的变化的特点是解决本题关键，应用楞次定律判断感应电流方向的关键是确定原磁场的方向及磁通量的变化情况 3．如图所示，一个闭合三角形导线框ABC位于竖直平面内，其下方（略靠前）固定一根与线框平面平行的水平直导线，导线中通以图示方向的恒定电流。释放线框，它由实线位置下落到虚线位置未发生转动，在此过程中： …