初中直线与圆的位置关系经典练习题
圆与直线的基本性质
一、定义
[例1]在ABC
Rt?中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有何位置关系？为什么？
（1）r=2cm；
（2）r=2.4cm；
（3）r=3cm。
[例2]在ABC
?中，BC=6cm，∠B=30°，∠C=45°，以A为圆心，当半径r多长时所作的⊙A与直线BC相切？相交？相离？
[变式题]已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO=2，则直线l与⊙O的位置关系是【】
A．相切B．相离C．相离或相切
D．相切或相交
二、性质
例1：如图，AB是⊙O的直径，C．D是⊙O上一点，∠CDB=20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于【】A．40°B．50°C．60°D．70°变式1：如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO=CD，则∠ACP=【】
A．
30B．
45
C．
60D．67.5
例3：如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，点C是劣弧AB上的一个动点，若∠P＝40°，则∠ACB的度数是【】
A．80° B．110°
C．120° D．140°
变式2：如图，圆周角∠BAC＝55°，分别过B，C两点作⊙O的切线，两切线相交与点P，则∠BPC＝°．
例5：如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，以其三边为直径向三角形外作三个半圆，矩形EFGH的各边分别与半圆相切且平行于AB或BC，则矩形EFGH的周长是．
变式3：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，若AB的长为8cm，则图中阴影部分的面积为cm2．例7：如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，点M在PB上，且OM∥AP，MN⊥AP，垂足为N．
（1）求证：OM=AN；
（2）若⊙O的半径R=3，PA=9，求OM的长．变式4：如图，AB为⊙O的直径，EF切⊙O于点D，过点B作BH⊥EF 于点H，交⊙O于点C，连接BD．
(1)求证：BD平分∠ABH；
(2)如果AB＝12，BC＝8，求圆心O到BC的距离．
三、切线的判定定理：
例1：如图，AB是⊙O的直径，AC和BD是它的两条
切线，CO平分∠ACD．（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AC=2，BC=3，求AB的长．
例2：如图，已知AB=AC，∠BAC=120o，在BC上取一点O，以O为圆心OB为半径作圆，
①且⊙O过A点，过A作AD∥BC交⊙O于D，
求证：（1）AC是⊙O的切线；
（2）四边形BOAD是菱形。变式1：如图，△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB上的一点，且∠A=2∠DCB.E是BC上的一点，以EC为直径的⊙O经过点D。
（1）求证:AB是⊙O的切线；
（2）若CD的弦心距为1,BE=EO.求BD的长.
高中数学-直线与圆的位置关系练习
高中数学-直线与圆的位置关系练习题 5分钟训练(预习类训练,可用于课前) 1.已知直线x=a(a>0)和圆(x-1)2+y 2 =4相切,那么a 的值是( ) A.5 B.4 C.3 D.2 解析：考查直线与圆的位置关系及平面几何知识.结合图形,可知直线x=a 要与圆(x-1)2+y 2 =4相切,则a=3或-1,因为a ＞0,所以a=3. 答案：C 2.直线l:4x-3y+5=0与圆C:x 2+y 2 -4x-2y+m=0无公共点的条件是m 属于( ) A.(-∞,0) B.(0,5) C.(1,5) D.(1,+∞) 解析：由圆心(2,1)到直线l:4x-3y+5=0的距离大于圆的半径可得. 答案：C 3.过点M(3，2)作⊙O：x 2+y 2 +4x-2y+4=0的切线方程是____________. 解析：作图知,所求切线不可能垂直x 轴,故切线斜率必定存在.设切线方程为y-2=k(x-3)，即kx-y+2-3k=0,由 2 2)1(| 3212|-+-+--k k k =1,得k= 12 5 或k=0,代入即可求得. 答案：y=2或5x-12y+9=0 10分钟训练(强化类训练，可用于课中) 1.已知直线l:ax-y-b=0,圆C:x 2+y 2 -2ax-2by=0,则l 与C 在同一坐标系中的图形只可能是( ) 图2-3-1 解析：考查对直线与圆的方程的认识,直线与圆位置关系的判断.注意到圆的方程的特点,易知圆C 过原点,所以A 、C 均不正确;再由B 、D 两选项和圆心、直线的斜率知B 正确. 答案：B 2.直线m(x+1)+n(y+1)=0(m≠n)与圆x 2+y 2 =2的位置关系是( ) A.相切 B.相离 C.相交 D.不确定 解析：方法一,考查直线与圆的位置关系的判定方法.直线方程可化为mx+ny+m+n=0.由于圆 心(0,0)到该直线的距离为22| |n m n m ++,又222 222)(2)(n m n m n m n m +--=-++＜0(m≠n),∴d＜r,即直线与圆相交. 方法二:易知直线m(x+1)+n(y+1)=0(m≠n)恒过点(-1，-1)，且点(-1，-1)在圆上，又m≠n，所以直线与圆不相切.所以直线与圆相交. 答案：C 3.过点(2,1)的所有直线中,被圆x 2+y 2 -2x+4y=0截得的弦最长的直线方程为( ) A.3x-y-5=0 B.3x+y-7=0 C.3x-y-1=0 D.3x+y-5=0 解析：考查直线与圆的位置关系及圆的性质.直线被圆截得的最长弦应是直径,故问题即求过 (2,1)和圆心的直线方程.圆的方程为(x-1)2+(y+2)2 =5,直线被圆截得的弦最长时,应过圆心
与圆有关的位置关系
与圆有关的位置关系 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
第2讲与圆有关的位置关系 一、【教学目标】 1. 熟悉点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系，能够将半径与到圆心的距离与之对应． 2. 了解三角形的内心和外心及内切圆、外接圆、内接三角形、外切三角形的概念． 3. 了解切线相关的概念，掌握切线长及切线长定理． 二、【教学重难点】 1.教学重点：直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、切线及切线长定理 2.教学难点：灵活应用切线及切线长定理，易错题中对位置关系的全面分析 三、【考点聚焦】 考点一. 点和直线与圆的位置关系 1．点与圆的位置关系 (1).点到圆心的距离(d)、圆的半径(r) 不在同一直线上的三个点确定一个圆．（圆心怎么找） 注意：经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个． (3).经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形（三角形三条边的垂直平分线的交点）.
2．直线与圆的位置关系 (1) r为圆的半径，d为圆心到直线的距离： 考点二. 切线及切线长定理 3．圆的切线 (1)定义：和圆有唯一公共点的直线叫做圆的切线，这个公共点叫切点． (2)切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径． (3)切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 推论：①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点，②经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 4．切线长定理 (1)切线长定义：圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长． (2)切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角． 注意：切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． 5．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆． 三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心．这个三角形叫做圆的外切三角形． 注意：三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点． 6．三角形外心、内心有关知识比较
高中数学必修二直线与圆、圆与圆的位置关系练习题
1．已知直线和圆有两个交点，则的取值范围是（） A． B． C． D． 2．圆x2+y2-2acos x-2bsin y-a2sin=0在x轴上截得的弦长是（） A．2a B．2|a| C．|a| D．4|a| 3．过圆x2+y2-2x+4y- 4=0内一点M（3，0）作圆的割线，使它被该圆截得的线段最短，则直线的方程是（） A．x+y-3=0 B．x-y-3=0C．x+4y-3=0 D ．x-4y-3=0 4．若直线(1+a)x+y+1=0与圆x2+y2-2x=0相切，则a的值为（） A．1或-1 B．2或-2 C．1 D．-1 5．若直线3x+4y+c=0与圆(x+1)2+y2=4相切，则c的值为（） A．17或-23 B．23或-17 C．7或 -13 D．-7或13 6．若P(x,y)在圆 (x+3)2+(y-3)2=6上运动，则的最大值等于（） A．-3+2 B．-3+ C．-3-2 D．3-2 7．圆x2+y2+6x-7=0和圆x2+y2+6y-27=0的位置关系是（） A．相切 B．相交 C．相 离 D．内含 8．若圆x2+y2=4和圆x2+y2+4x-4y+4=0关于直线对称，则直线的方程是（）
A．x+y=0 B．x+y-2=0 C．x-y-2=0 D．x-y+2=01． 9．圆的方程x2+y2+2kx+k2-1=0与x2+y2+2(k+1)y+k2+2k=0的圆心之间的最短距离是（） A． B．2 C．1 D． 10．已知圆x2+y2+x+2y=和圆(x-sin)2+(y-1)2=, 其中0900, 则两圆的位置关系是（） A．相交 B．外切 C．内 切 D．相交或外切 11．与圆(x-2)2+(y+1)2=1关于直线x-y+3=0成轴对称的曲线的方程是（） A．(x-4)2+(y+5)2=1 B．(x-4)2+(y-5)2=1C．(x+4)2+(y+5)2=1 D．(x+4)2+(y-5)2=1 12．圆x2+y2-ax+2y+1=0关于直线x-y=1对称的圆的方程为x2+y2=1, 则实数a 的值为（） A．0 B．1 C． 2 D．2 13．已知圆方程C1：f(x,y)=0，点P1(x1,y1)在圆C1上，点P2(x2,y2)不在圆 C1上，则方程： f(x,y)- f(x1,y1)-f(x2,y2)=0表示的圆C2与圆C1的关系是（） A．与圆C1重 合 B．与圆C1同心圆 C．过P1且与圆C1同心相同的圆 D．过P2且与圆 C1同心相同的圆 14．自直线y=x上一点向圆x2+y2-6x+7=0作切线，则切线的最小值为___________． 15．如果把直线x-2y+=0向左平移1个单位，再向下平移2个单位，便与圆 x2+y2+2x-4y=0相切，则实数的值等于__________．
直线与圆的位置关系(教案)
《直线与圆的位置关系》的教学设计 一、教学课题：人民教育出版社出版的普通高中课程标准实验教科书A版数学②第四章第二节“直 线与圆的位置关系”第一课时。 二、设计要点：学生在初中平面几何中已学过直线与圆的三种位置关系，在前面几节课学习了直线与圆的方程，因此，本节课主要以问题为载体，通过教师几个环节的设问，让学生利用已有的知识，自己去探究用坐标法研究直线与圆的位置关系的方法。用过学生的参与和一个个问题的解决，让学生体验有关的数学思想，提高学生自主学习、分析问题和解决问题的能力，培养学生“用数学”及合作学习的意识。 三、教学目标： 1．知识目标：能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系，并解决相关的问题；2．能力目标：通过理论联系实际培养学生建模能力，培养学生数形结合思想与方程的思想；3．情感目标：通过学生的自主探究，培养学生学习的主动性和合作交流的学习习惯。 四、教学重点、难点、关键： （1）重点：用坐标法判断直线与圆的位置关系 （2）难点：学生对用方程组的解来判断直线与圆的位置关系方法的理解 （3）关键：展现数与形的关系，启发学生思考、探索。 五、教学方法与手段： 1．教学方法：探究式教学法 2。教学手段：多媒体、实物投影仪 六、教学过程： 1．创设情境，提出问题 教师利用多媒体展示如下问题： 问题：一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西50km 处，受到影响的范围是半径长为30km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北50km处，如果 这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？ 教师提出：利用初中所学的平面几何知识，你能解决这个问题吗？请同学们动手试一下。 设计意图：让学生从数学角度看日常生活中的问题，体验数学与生活的密切联系，激发学生的探索热情。 2．切入主题，提出课题 （1）由学生将问题数学建模，展示平面几何解决方法，得出结论。教师带领学生一起回顾初中所学直线与圆的三种位置关系及判断方法。
24.2与圆有关的位置关系知识点
24.2与圆有关的位置关系知识点 24.2.1 点和圆的位置关系 （1）设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有： 点P在⊙O内则d＜r 点P在⊙O上则d=r 点P在⊙O外则d＞r （2）不在同一条直线上的三个点确定一个圆 a、经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个． b、经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆 c、三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心。 d、这个三角形叫做这个圆的内接三角形。 e、三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形三 个顶点的距离相等。 f、锐角三角形的外心位于三角形内, 直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点, 钝角三角形的外心位于三角形外. （3）反证法：先假设命题的结论不成立，然后由此经过推理得出矛盾(常与公理、定理、定义或已知条件相矛盾)，由矛盾判定假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法． 反证法常用于解决用直接证法不易证明或不能证明的命题，主要有： a、命题的结论是否定型的； b、命题的结论是无限型的； c、命题的结论是“至多”或“至少”型的.
24.2.2 直线和圆的位置关系 （1）直线与圆相离 <=> d>r 直线与圆相切 <=> d=r 直线与圆相交 <=> d 直线和圆的位置关系练习题 一、选择题：(每小题5分，共50分，每题只有一个正确答案) 1．已知⊙O的半径为10cm，如果一条直线和圆心O的距离为10cm，那么这条直线和这个圆的位置关系为（） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相交或相离 2．如右图，A、B是⊙O上的两点，AC是⊙O的切线， ∠B=70°，则∠BAC等于（） A. 70° B. 35° C. 20° D. 10° 3．如图，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，OP交⊙O于C， 下列结论中，错误的是（） A. ∠1=∠2 B. PA=PB C. AB⊥OP D. 2 PA PC·PO 4．如图，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为30°，过C点的切线PC与AB的延长线交于P，PC=5，则⊙O的半径为（） A. 33 5 B. 63 5 C. 10 D. 5 5．已知AB是⊙O的直径，弦AD、BC相交于点P，那么CD︰AB等于∠BPD的（） A. 正弦 B. 余弦 C. 正切 D. 余切 6．A、B、C是⊙O上三点，AB⌒的度数是50°，∠OBC=40°，则∠OAC等于（） A. 15° B. 25° C. 30° D. 40° 7．AB为⊙O的一条固定直径，它把⊙O分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C，作弦CD ⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当C点在半圆（不包括A、B两点）上移动时，点P （） A. 到CD的距离不变 B. 位置不变 C. 等分DB⌒ D. 随C点的移动而移动 （第3题图）（第4题图） 第5题图 第6题图 第7题图 8．内心与外心重合的三角形是（ ） A. 等边三角形 B. 底与腰不相等的等腰三角形 C. 不等边三角形 D. 形状不确定的三角形 9．AD 、AE 和BC 分别切⊙O 于D 、E 、F ，如果AD=20，则△ABC 的周长为（ ） A. 20 B. 30 C. 40 D. 2 135 10．在⊙O 中，直径AB 、CD 互相垂直，BE 切⊙O 于B ，且BE=BC ，CE 交AB 于F ，交⊙O 于M ，连结MO 并延长，交⊙O 于N ，则下列结论中，正确的是（ ） A. CF=FM B. OF=FB C. BM ⌒的度数是22.5° D. BC ∥MN 第9题图 第10题图 第11题图 二、填空题：(每小题5分，共30分) 11．⊙O 的两条弦AB 、CD 相交于点P ，已知AP=2cm ，BP=6cm ，CP ︰PD =1︰3，则DP=___________． 12．AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，P 是BA 的延长线上的点，连结PC ，交⊙O 于F ，如果PF=7，FC=13，且PA ︰AE ︰EB = 2︰4︰1，则CD =_________． 13．从圆外一点P 引圆的切线PA ，点A 为切点，割线PDB 交⊙O 于点D 、B ，已知PA=12，PD=8，则=??DAP ABP S S :__________． B B D A C E F D C B A P 《直线与圆的位置关系》知识点及习题 1、直线与圆的位置关系 （1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点； （2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线， （3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。 如果⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d,那么： 直线l 与⊙O 相交 ＜====＞ d 3．在△ABC中，已知∠ACB=90°，BC=AC=10，以C为圆心，分别以5，8为半径作图，那么直线AB 与圆的位置关系分别是______，_______，_______． 4．⊙O的半径是6，点O到直线a的距离为5，则直线a与⊙O的位置关系为（） A．相离 B．相切 C．相交 D．内含 5．下列判断正确的是（） ①直线上一点到圆心的距离大于半径，则直线与圆相离；②直线上一点到圆心的距离等于半径，则直线 与圆相切；③直线上一点到圆心的距离小于半径，?则直线与圆相交． A．①②③ B．①② C．②③ D．③ 6．OA平分∠BOC，P是OA上任一点（O除外），若以P为圆心的⊙P与OC相离，?那么⊙P与OB的位置关系是（） A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切 7．如图所示，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=6，CB=8，以C为圆心，r为半径作⊙C，当r为多少 时，⊙C与AB相切？ 8．如图，⊙O的半径为3cm，弦，AB=4cm，若以O为圆心，?再作一个圆与AC相切，则这个圆的半径为多少？这个圆与AB的位置关系如何？ ◆提高训练 9．如图所示，在直角坐标系中，⊙M的圆心坐标为（m，0），半径为2，?如果⊙M与y轴所在直线相切，那么m=______，如果⊙M与y轴所在直线相交，那么m?的取值范围是_______． 10．如图，△ABC中，AB=AC=5cm，BC=8cm，以A为圆心，3cm?长为半径的圆与直线BC的位置关系是_______． 11．如图，正方形ABCD的边长为2，AC和BD相交于点O，过O作EF∥AB，交BC于E，交 AD于F，则以点B AC，EF，CD的位置关系分别是什么？ 2018年10月05日数学40的初中数学组卷 一．选择题（共22小题） 1．已知⊙O的半径为5，若PO=4，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．无法判断2．如图，⊙O的半径为2，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC．若∠BAC 与∠BOC互补，则弦BC的长为（） A．4 B．3 C．2 D． 3．⊙O的直径为15cm，O点与P点的距离为8cm，点P的位置（）A．在⊙O外B．在⊙O上C．在⊙O内D．不能确定 4．已知⊙O的半径为4cm，点A到圆心O的距离为3cm，则点A与⊙O的位置关系是（） A．点A在⊙O内B．点A在⊙O上C．点A在⊙O外D．不能确定5．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为（0，3），点B为（2，1），点C为（2，﹣3）．则经画图操作可知：△ABC的外心坐标应是（） A．（0，0） B．（1，0） C．（﹣2，﹣1）D．（2，0） 6．⊙O的半径为4，圆心到点P的距离为d，且d是方程x2﹣2x﹣8=0的根，则点P与⊙O的位置关系是（） A．点P在⊙O内部 B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外部 D．点P不在⊙O上7．一个点到圆的最小距离为6cm，最大距离为9cm，则该圆的半径是（）A．1.5cm B．7.5cm C．1.5cm或7.5cm D．3cm或15cm 8．已知⊙O的半径为6，A为线段PO的中点，当OP=10时，点A与⊙O的位置关系为（） A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．不确定 9．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标为（1，4），（5，4），（1，﹣2），则△ABC外接圆的圆心坐标是（） A．（2，3） B．（3，2） C．（1，3） D．（3，1） 10．⊙O的半径为5，圆心O的坐标为（0，0），点P的坐标为（4，2），则点P 与⊙O的位置关系是（） A．点P在⊙O内B．点P的⊙O上 C．点P在⊙O外D．点P在⊙O上或⊙O外 11．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若点A，B，C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的值可以是下列选项中的（） A．3 B．4 C．5 D．6 12．若⊙P的半径为13，圆心P的坐标为（5，12），则平面直角坐标系的原点O 与⊙P的位置关系是（） A．在⊙P内B．在⊙P上C．在⊙P外D．无法确定 13．点O是△ABC的外心，若∠BOC=80°，则∠BAC的度数为（） A．40°B．100°C．40°或140°D．40°或100° 14．一个点到圆的最小距离为3cm，最大距离为8cm，则该圆的半径是（） 7.6 直线与圆的位置关系 ●知识梳理 直线和圆 1.直线和圆位置关系的判定方法一是方程的观点，即把圆的方程和直线的方程联立成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系. ①Δ＞0，直线和圆相交. ②Δ=0，直线和圆相切. ③Δ＜0，直线和圆相离. 方法二是几何的观点，即把圆心到直线的距离d 和半径R 的大小加以比较. ①d ＜R ，直线和圆相交. ②d =R ，直线和圆相切. ③d ＞R ，直线和圆相离. 2.直线和圆相切，这类问题主要是求圆的切线方程.求圆的切线方程主要可分为已知斜率k 或已知直线上一点两种情况，而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况. 3.直线和圆相交，这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题. ●点击双基 1.设m >0，则直线2（x +y ）+1+m =0与圆x 2+y 2=m 的位置关系为 A.相切 B.相交 C.相切或相离 D.相交或相切 解析：圆心到直线的距离为d = 2 1m +，圆半径为m . ∵d －r =21m +－m =21（m －2m +1）=2 1（m －1）2≥0， ∴直线与圆的位置关系是相切或相离. 答案：C 2.圆x 2＋y 2－4x +4y +6=0截直线x －y －5=0所得的弦长等于 A.6 B.2 25 C.1 D.5 解析：圆心到直线的距离为 22，半径为2，弦长为222)22()2(-=6. 答案：A 3.圆x 2+y 2－4x =0在点P （1，3）处的切线方程为 A.x +3y －2=0 B.x +3y －4=0 C.x －3y +4=0 D.x －3y +2=0 解法一： x 2+y 2－4x =0 与圆有关的位置关系（习题） ?巩固练习 1.在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2．下 列说法中不正确 ．．．的是（） A．当a＜5时，点B在⊙A内 B．当1＜a＜5时，点B在⊙A内 C．当a＜1时，点B在⊙A外 D．当a＞5时，点B在⊙A外 2.如图，若△ABC的顶点都在⊙P上，则点P的坐标是______． 第2题图第3题图 3.小英家的圆形镜子被打碎了，她拿了如图所示（网格中每个小正方形的边长 均为1）的一块碎片到玻璃店，配制成形状、大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是__________． 4.已知⊙O1，⊙O2的半径分别是r1=2，r2=4，若两圆相交，则圆心距O1O2可 能取的值是（） A．2 B．4 C．6 D．8 5.如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，⊙O是以AB为直径的圆，则直线 CD与⊙O的位置关系是（） A．相离B．相切C．相交D．无法确定 D C B A 第5题图第6题图 6.如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°．点 P在数轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设OP=x，则x的取值范围是______． 7.如图，PA，PB是⊙ O的两条切线，切点分别为A，B．如果OP=4，PA= 那么∠AOB=_______． A 第7题图 第8题图 8. 如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在线段AB 的延长线上，DC 切⊙O 于点C ．若∠A =25°，则∠D =_________． 9. 如图，P A ，PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B ，AC 是⊙O 的直径．若 ∠BAC =35°，则∠P =________． 10. 已知宽为3 cm 的刻度尺的一边与⊙O 相切，另一边与⊙O 的两个交点处的 读数如图所示（单位：cm ），则⊙O 的半径为__________cm ． 11. 如图1，将一个量角器与一张等腰直角三角形（△ABC ）纸片放置成轴对称 图形，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，半圆（量角器）的圆心与点D 重合，且CE =5 cm ．如图2，将量角器沿DC 方向平移2 cm ，半圆（量角器）恰与△ABC 的边AC ，BC 相切，则AB 的长为________cm ．（结果保留根号） E C B A A B C D 图1 图2 ? 思考小结 1. 判断与圆有关的位置关系，关键是找准_____和_______，在直线与圆位置关 系中，它们分别代表____________________和_________________． 2. 已知圆锥的母线长为l ，底面圆的半径为r ，借助扇形及其所围成圆锥间的等 量关系，推导圆锥的侧面积公式S =πlr ．（写出证明的关键环节） 1 24.2点、直线、圆和圆的位置关系练习题 1.已知⊙O 的半径为5，圆心O 的坐标为（0,0），点P 的坐标为（3,4），那么点P 与⊙O 的位置关系是 2.已知⊙O 1、⊙O 2 的半径分别是 r 1=2,r 2=4,若两圆相交，则圆心O 1O 2D 可能的取值是（ ） A.2 B.4 C.6 D.8 3.如图1所示，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别是A 、B,如果∠P=60°，求∠AOB 的大小。 4.如图2所示，已知△ABC ，AC=BC=6，∠C=90°，O 是AB 的中点，⊙O 与AC 、BC 分别相切与点D 与点E.点F 是⊙O 与AB 的一个交点，连DF 并延长交CB 的延长线于点G,求CG 的长度。 5.如图3所示，已知直线AB 是⊙O 的切线，A 为切点，OB 交⊙O 与点C ，点D 在⊙O 上，且∠ADC=40°，求∠ADC 的大小。 6.如图4所示两圆相交于A 、B 两点，小圆经过大圆的圆心O, 点C 、D 分别在两圆上，若∠ADB=100°，求∠ACB 的大小。 7.已知：如图5所示，在△ABC 中，D 是AB 边上一点，圆O 经过D 、B 、C 三点，∠DOC=2，∠ACD=90°。 （1）求证:直线AC 是圆O 的切线； （2）如果∠ACB=75°，圆O 的半径为2，求BD 的长。 图5 B C A 图4C D 图3 A 图1P B 2 8.如图6所示，AB 是⊙O 的切线，A 为切点，AC 是⊙O 的弦，过O 坐OH ⊥AC 于点H,若OH=2，AB=12，BO=13. （1）求⊙O 的半径； （2）AC 的值。 9.如图7所示，已知⊙O 的外切等腰梯形ABCD ， AD ∥BC,AB=DC,梯形中位线为EF. (1)求证：EF=AB; (2)若EF=5，AD:BC=1:4，求此梯形ABCD 的面积。 10.如图8所示，正方形ABCD 中，有一直径BC 的半圆，BC=2cm ，现有两点E 、F,分别从点B ，点A 同时出发，点E 沿线段BA 以1cm/s 的速度向点E 运动，点F 沿折线A-D-C 以2cm/s 的速度向点C 运动，设点E 离开点B 的时间为t(s). (1)当t 为何值时，线段EF 与BC 平行？ (2)设1﹤t ﹤2,当t 为何值时，EF 与半圆相切？ 图7 B B H O C B 一、直线和圆的位置关系的定义、性质及判定 1、设O ⊙的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，则直线和圆的位置关系如下表： 从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示： 二、切线的性质及判定 1． 切线的性质： 定理：圆的切线垂直于过切点的半径． 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 2． 切线的判定： 定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； 距离法：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线； 定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 3． 切线长和切线长定理： ⑴ 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． ⑵ 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． ①切线的判定定理 设OA 为⊙O 的半径，过半径外端A 作l ⊥OA ，则O 到l 的距离d=r ，∴l 与⊙O 相切．因此，我们得到：切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 注：定理的题设①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可．结论是“直线是圆的切线”．举例说明：只满足题设的一个条件不是⊙O 的切线． _A _ l _ l _A _ l 上 ②切线的性质定理及其推论 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径． 三、三角形内切圆 1． 定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形． 2． 多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形． 3．直角三角形的内切圆半径与三边关系 （1） （2） 图（1）中，设a b c ，，分别为ABC ?中A B C ∠∠∠，，的对边，面积为S 则内切圆半径（1）s r p =，其中()12p a b c =++； 图（2）中，90C ∠=?，则()1 2 r a b c =+- 四、典例分析：切线的性质及判定 _ O _F _E _ D _ C _ B _ A _ C _ B _ A _ C _ B _ A _c _ b _a _c _ b _a _T _A 与圆有关的位置关系（讲义）?知识点睛 1.点与圆的位置关系 d表示__________的距离，r表示___________． ①点在圆外?_____________； ②点在圆上?_____________； ③点在圆内?_____________． 三点定圆定理：_________________________________． 注：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． 2.直线与圆的位置关系 d表示__________________的距离，r表示__________． ①直线与圆相交?____________； ②直线与圆相切?____________； ③直线与圆相离?____________． 切线的判定定理：__________________________________ __________________________________________________； 切线的性质定理：__________________________________．*切线长定理：______________________________________ __________________________________________________．注：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆 的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心．*3. 圆与圆的位置关系 d表示__________的距离，R表示________，r表示 _________． ①圆与圆外离?_________________； ②圆与圆外切?_________________； ③圆与圆内切?_________________； ④圆与圆内含?_________________； ⑤圆与圆相交?_________________． 4.圆内接正多边形 _______________________________叫做圆内接正多边形，这个圆叫做该正多边形的_________. 正多边形的中心：___________________________________； 正多边形的半径：___________________________________； A 直线和圆的位置关系练习题 班别：____________ 姓名：_____________ 座号：_____ 成绩：_____________ 一、选择题：(每小题5分，共50分，每题只有一个正确答案) 1．已知⊙O 的半径为10cm ，如果一条直线和圆心O 的距离为10cm ，那么这条直 线和这个圆的位置关系为（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相交或相离 2．如右图，A 、B 是⊙O 上的两点，AC 是⊙O 的切线， ∠B=70°，则∠BAC 等于（ ） A. 70° B. 35° C. 20° D. 10° 3．如图，PA 切⊙O 于A ，PB 切⊙O 于B ，OP 交⊙O 于C ， 下列结论中，错误的是（ ） A. ∠1=∠2 B. PA=PB C. AB ⊥OP D. 2PA PC ·PO 4．如图，已知⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为30°，过C 点的切线PC 与AB 的延长线交于P ，PC=5，则⊙O 的半径为（ ） A. 3 3 5 B. 6 3 5 C. 10 D. 5 5．已知AB 是⊙O 的直径，弦AD 、BC 相交于点P ，那么CD ︰AB 等于∠BPD 的（ ） A. 正弦 B. 余弦 C. 正切 D. 余切 6．A 、B 、C 是⊙O 上三点，AB ⌒的度数是50°，∠OBC=40°，则∠OAC 等于（ ） A. 15° B. 25° C. 30° D. 40° 8．内心与外心重合的三角形是（ ） A. 等边三角形 B. 底与腰不相等的等腰三角形 C. 不等边三角形 D. 形状不确定的三角形 9．AD 、AE 和BC 分别切⊙O 于D 、E 、F ，如果AD=20，则△ABC 的周长为（ ） A. 20 B. 30 C. 40 D. 2 1 35 二、填空题：(每小题5分，共30分) 11．⊙O 的两条弦AB 、CD 相交于点P ，已知AP=2cm ，BP=6cm ，CP ︰PD =1︰3，则DP=___________． 12．AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB，垂足为E ，P 是BA 的延长线上的点，连结PC ，交⊙O 于F ，如果PF=7，FC=13，且PA ︰AE ︰EB = 2︰4︰1，则CD =_________． B D A C E F 3题图） 4题图） D C B A P 【课题】4.2.1直线与圆的位置关系 【教材】人民教育出版社（A版）高中数学必修2第126页至128页【课时安排】 1个课时 【教学对象】高中一年级 【授课教师】 【教学重点】掌握直线和圆的几种位置关系，学会判定直线与圆的位置关系的两种方法： （1）直线到圆心距离与圆半径的大小关系，写出判定直线与圆的位置关系。 （2）通过解直线与圆方程组成的方程，根据解的个数，写出判定直线与圆的位置关系。 【教学难点】由位置关系得出大小关系式从而判断解的个数 【教学目标】 知识与技能 掌握直线和圆的几种位置关系，熟练掌握判断位置关系的两种方法。判断直线到圆心距离与圆半径的大小关系法和求解个数法 过程与方法 1、理解直线和圆的三种位置关系，感受直线和圆的位置与它们的方程所组成的二元二次方程组的解的对应关系； 2、体验通过比较圆心到直线的距离和半径之间的大小判断直线与圆的位置关系； 3、领会数形结合的数学思想方法，提高发现问题、分析问题、 解决问题的能力。 情感态度与价值观 让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣，感受“方程思想”、“坐标法”等数学思想的内涵，养成良好的思维习惯。 【教学方法】教师启发讲授、学生探究学习 【教学手段】PowerPoint，动画演示 【教学过程设计】 1、回顾旧知(3分钟) 平面几何中，直线与圆有哪几种位置关 系？在初中，我们怎样判断直线与圆的位 置关系？ 一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预 报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响的范围是半径 教师 运用 边提 问边 回答 的形 式引 导学 生回 忆知 识点 老师 引导 学生 思考 学生 回忆 并回 答问 题 学生 观察 动画 并思 考如 何解 决 回顾知识点 的益处在于 不仅复习了 以前学习的 知识，又为 今后的学习 作铺垫 与学生进行 互动交流， 学生更积极 思考，并可 活跃课堂氛 围 直线与圆的位置关系 班级：____________ 姓名：__________________ 一、选择题(每小题5分，共40分) 1.如果a2+b2=c2，那么直线ax+by+c=0与圆x2+y2=1的位置关系是() A.相交 B.相切 C.相离 D.相交或相切 2.设直线过点(a，0)，其斜率为-1，且与圆x2+y2=2相切，则a的值为() A.± B.±2 C.±2 D.±4 3.直线x+2y-5+=0被圆x2+y2-2x-4y=0截得的弦长为() A.1 B.2 C.4 D.4 4.过点P(-2，4)作圆O：(x-2)2+(y-1)2=25的切线l，直线m：ax-3y=0与直线l平行，则直线l与m间的距离为() A.4 B.2 C. D. 5.过原点的直线与圆x2+y2+4x+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是() A.y=x B.y=-x C.y=x D.y=-x 6.已知圆C：(x-a)2+(y-2)2=4(a>0)及直线l：x-y+3=0，当直线l被圆C截得的弦长为2时，a 等于() A. B.2- C.-1 D.+1 7.由直线y=x+1上的一点向圆(x-3)2+y2=1引切线，则切线长的最小值为() A.1 B.2 C. D.3 8.过点P(-，-1)的直线l与圆x2+y2=1有公共点，则直线l的倾斜角α的取值范围是() A.0°<α<30° B.0°<α≤60° C.0°≤α≤30° D.0°≤α≤60° 二、填空题(每小题5分，共10分) 9.过点A(1，)的直线l将圆(x-2)2+y2=4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k=________. 圆的性质及与圆有关的位置关系 一、圆的有关概念 1．与圆有关的概念和性质 （1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形． （2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦．（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧． （4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角． （5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角． （6）弦心距：圆心到弦的距离． 2．注意 （1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条； （2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个． （3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆． 二、垂径定理及其推论 1．垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形． 2．推论 （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 三、圆心角、弧、弦的关系 1．定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立． 2．推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 四、圆周角定理及其推论 1．定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 2．推论 （1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等． （2）直径所对的圆周角是直角． 圆内接四边形的对角互补．在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化．比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等．五、与圆有关的位置关系 1．点与圆的位置关系 设点到圆心的距离为d． (1)d 36圆与圆的位置关系 一、选择题 1.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，DE ∥BC ，且AD=2CD ，则以 D 为圆心DC 为半径的⊙D 和以 E 为圆心EB 为半径的⊙E 的位置关系是 （ ） （A ）外离； （B ）外切； （C ）相交； （D ）不能确定． 2.已知半径分别为5cm 和8cm 的两圆相交，则它们的圆心距可能是（ ） A ．1cm B ．3cm C ．10cm D ．15cm 3.已知两圆的半径分别为3和4，圆心距为1，则两圆的位置关系是 （ ） Ａ．相交 Ｂ．内切 Ｃ．外切 Ｄ．内含 4.已知半径分别是3和5的两个圆没有公共点，那么这两个圆的圆心距d 的取值范围是（ ） A ．8d > B ． 2d > C ．02d ≤< D ． 8d >或02d ≤< 5.已知两圆半径分别为4和7，圆心距为3，那么这两个圆的位置关系是（ ）． A. 内含 B. 内切 C. 相交 D. 外切 6.如图，已知⊙01与⊙02关于y 轴对称，点01的坐标为（- 4， 0）.两圆相交于A 、B ，且01A ⊥02A ，则图中阴影部分的面积是 （ ） A.4π – 8 B.8π – 16 C. 16π – 16 D.16π – 32 二、填空题 1.如图，⊙O1和⊙O2的半径为2和3，连接O1O2，交⊙O2于点P ，O1O2=7，若将⊙O1绕点P 按顺时针方向以30°/秒的速度旋转一周，请写出⊙O1与⊙O2相切时的旋转时间为_______秒． 2．已知⊙O1＝7，则⊙O1、⊙O 2的位置关系是 ▲ ． 3．已知⊙1O 和⊙2O 的半径分别为3cm 和5cm ，且它们内切，则12O O 等于 ▲ cm． 4.已知⊙O1的半径为3，⊙O2的半径为5， O1O 2＝7，则⊙O1、⊙O 2的位置关系是 A D (第1题图) 人教版高一数学直线与圆的位置关系知识 点 数学在科学发展和现代生活生产中的应用非常广泛，以下是查字典数学网为大家整理的人教版高一数学直线与圆的位置关系知识点，希望能帮助大家学习。 一、教学目标 1、知识与技能 (1)理解直线与圆的位置的种类; (2)利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离; (3)会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系. 2、过程与方法 设直线：，圆：，圆的半径为，圆心到直线的距离为，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点： (1)当时，直线与圆相离; (2)当时，直线与圆相切; (3)当时，直线与圆相交; 3、情态与价值观 让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想. 二、教学重点、难点： 重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法. 难点：用坐标法判直线与圆的位置关系. 三、教学设想问题设计意图 师生活动 1.初中学过的平面几何中，直线与圆的位置关系有几类? 启发学生由图形获取判断直线与圆的位置关系的直观认知，引入新课. 师：让学生之间进行讨论、交流，引导学生观察图形，导入新课. 生：看图，并说出自己的看法. 2.直线与圆的位置关系有哪几种呢?得出直线与圆的位置关系的几何特征与种类. 师：引导学生利用类比、归纳的思想，总结直线与圆的位置关系的种类，进一步深化数形结合的数学思想.问题设计意图 师生活动 生：观察图形，利用类比的方法，归纳直线与圆的位置关系. 3.在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系呢?如何用直线与圆的方程判断它们之间的位置关系呢? 使学生回忆初中的数学知识，培养抽象概括能力. 师：引导学生回忆初中判断直线与圆的位置关系的思想过程. 生：回忆直线与圆的位置关系的判断过程. 4.你能说出判断直线与圆的位置关系的两种方法吗?直线和圆的位置关系练习题附答案
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