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高中数学必修5第一章解三角形教案学案正弦和余弦定理设计

第一章解三角形

本章概览

三维目标

1．掌握正、余弦定理，能初步利用这两个定理解斜三角形。能利用计算器解决有关解斜三角形的计算问题，能够利用正、余弦定理等知识、方法解决一些与测量以及与几何计算的有关的实际问题。

2．通过对三角形的边角关系的探究学习，体验数学探究活动的过程，培养探索精神和创新意识；在运用正、余弦定理解决一些实际问题的过程中，逐步养成实事求是、扎实严谨的科学态度，学会用数学的思维方式解决问题、认识世界；通过实习作业，体会“解三角形在测量中的应用”，提高应用数学知识解决实际问题的能力和实际操作能力；通过学习和应用，进一步体会数学的科学价值、应用价值，进而领会数学的人文价值、美学价值，不断提高自身的文化素养，并且由正、余弦定理的形式能感受到数学的美。

3．通过对正、余弦定理的学习，要求对于三角形的的相关问题的解决能灵活地根据具体问题去恰当处理。总之，有了正、余弦定理之后，又给解决三角形的问题提供了一种新的思路，对于具体问题的解决都要具体分析，灵活地运用所学知识去应对实际生活中的各种可能的问题。

4．本章中的有关三角形的一些实际问题，往往动笔计算比较复杂，象这样的问题的计算就要求大家能用计算器或电脑来帮助计算，能根据精确度的需要保留相应的位数。尽管科学技术发展很快，但必要的计算能力对于一个现代人还是有必要的，所以平时大家还要注意训练自己的运算速度与准确性，时刻注意锻炼自己的意志力。

5．本章学习了正、余弦定理后，对于以后遇到相关三角形的问题时，应当时时注意考虑运用这两个定理去解决相关问题，但与此同时也不能忽视其它方面的知识的应用，否则可能问题不能顺利解决，时时注意前后知识的关联。

本章知识网络

1.1 正弦定理和余弦定理

第一版块

三点剖析

一、正弦定理及其证明

正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

sin sin sin a b c A B C

== 正弦定理揭示的是一般三角形中的重要边角关系，它们是解三角形的两个重要定理之一。

对于正弦定理，课本首先引导学生回忆任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系，引导学生思考是否能得到这个边、角关系准确量化表示的问题。由于涉及边角之间的数量关系，就比较自然地引导到三角函数。

在直角三角形中，边之间的比就是锐角的三角函数。研究特殊的直角三角形中的正弦，就很快证明了直角三角形中的正弦定理。分析直角三角形中的正弦定理，考察结论是否适用于锐角三角形，可以发现asinB 和bsinA 实际上表示了锐角三角形边AB 上的高。这样，利用高的两个不同表示，就容易证明锐角三角形中的正弦定理。

钝角三角形中定理的证明要应用正弦函数的诱导钝角三角形中定理的证明要应用正弦函数的诱导公式，教科书要求学生自己通过探究来加以证明。可以考虑采用向量的知识来证明。

二、余弦定理及其证明

余弦定理在一个三角形中，任一边的平方都等于其它两边的平方和减去这两边与其夹角的余弦的积的2倍，即

2222cos a b c bc A =+-；2222cos b a c ac B =+-；2222cos c a b ab C =+-；

余弦定理同样揭示的是一般三角形中的重要边角关系，它们是解三角形的两个重要定理之一。

由直角三角形三边间的关系，归纳猜想任意三角形的边角间的关系。自己学会探索、并试着去从理论上去解决。通过这个定理的探索并去从理论上证明，作为一个现代中学生，要掌握一些研究事物的方法、要学会学习，善于提出问题，并且试着去解决问题。

同样这个定理的证明也是采用了向量的相关知识很容易得到解决，向量知识在数学上的一个具体应用，这也体现了数学科学的特点之一：前后知识间联系紧密。

这也要求大家能够将前后知识联系起来，而不应该是孤立地来学习某部分知识，而不善于将所学恰当地应用，这也要求大家能够活学活用。当然这两个定理的证明证明方法，自己还可以考虑采用比如平面几何知识等其它的方法，以锻炼自己的能力。

三、正弦定理和余弦定理的应用

正弦定理的应用：

1．用正弦定理解三角形是正弦定理的一个直接应用，正弦定理可以用于两类解三角形的问题：

（１）已知三角形的任意两个角与一边，求其他两边和另一角。

（２）已知三角形的两边与其中一边的对角，计算另一边的对角，进而计算出其他的边和角.

２．三角形解的个数

一般地，已知两边和其中一边的对角解斜三角形（已知a, b 和A ），用正弦定理求B 时的各种情况：

⑴若A 为锐角时:

sin sin ()sin (, )

()a b A a b A b A a b a b <=<

一解直角二解一锐一钝一解锐角，如下图所示：

已知边a,b 和∠A

有两个解仅有一个解无解CH=bsinA

⑵若A 为直角或钝角时: a b ()a b ≤>???

无解一解锐角余弦定理的应用：

利用余弦定理可以解决两类解斜三角形问题：

（1）已知三边，求各角；

（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个角。

问题与探究

【问题1】正、余弦定理都揭示的是同一个三角形的边角间的关系，有了这两个重要定理后，对于三角形的问题好似有了两把“宝剑”，那么这两把“宝剑”如何恰当地使用呢？

【探究】就这个问题，通常须具体问题而定、视题中所给的条件而定。一般说来，正弦定理常宜解决下列问题：（1）已知两角及一边，求其它元素；（2）已知两边及其中一边的对角，求其它元素。而余弦定理常宜解决下列问题：（3）已知三边，求各角；（4）已知两边及其夹角，求其它元素。

由于三角形全等的判定定理有“角角边”、“角边角”、“边边边”、“边角边”，所以以上的（1）、（3）、（4）情形都只有一解，而（2）这样的情形可能有一解、两解或无解。当然这也不是绝对的，有关解三角形的问题，在具体的问题中如何恰当地使用这两个定理，

这的确必须视具体问题而定，有时在同一个问题中可能这两个定理要同时使用才能达到目的或者使用其中的任何一个定理都可以达到目的。另外还应当注意使用方式，是利用定理的原始形式还是使用相应的某种变形形式，这都是要在具体问题中去具体地分析才行。

【问题2】除了正、余弦定理所给出的同一个三角形的边角间的关系外，是否还有其它的一些边角关系呢？通过进一步地思考，由这两个定理还可以得到在三角形中的怎样一些结论？

【探究】其实这两个定理本身仅揭示的是同一个三角形的基本的边角关系，还有很多其它的边角关系。比如，由正弦定理及其它相关知识还可以有这样的一些边角关系：::sin :sin :sin a b c A B C =，

2sin sin sin sin sin sin a b c a b c R A B C A B C ++====++， sin sin sin A B C +>等。同样由余弦定理也可得到另外一些边角关系，以及把正、余弦定理结合在一起还可以得到一些新的结论，如：222sin sin sin 2sin sin cos A B C A B C =+-，222a b c C +>?是锐角等。（注：注意这些结论在解决相关问题时可以考虑恰当地选用。）

精题精讲

【例1】在ABC ?中，若30B =，2AB AC ==，求ABC ?的周长。

思路解析：本题是是已知两边及其一边所对的角，要求其周长，自然要考虑去寻求第三边BC ，容易想到由正弦定理去考虑，先找出其中某个内角的大小或其正弦的大小，通过分析发现可以先将角C 给找出，进而把问题解决。

解：由正弦定理得 sin sin 2

AB B C AC ==。 ,AB AC C B >∴>，60C =或120。

（1）当60C =时，90A =，4BC =，ABC ?的周长为6+；

（2）当120C =时，30A =，,2A B BC AC ===，ABC ?的周长为4+。

综上，ABC ?的周长是6+4+。

黑色陷阱：此类问题容易漏解。在以上的解题目过程中，由sin C =容易简单地得到 60C =，从而造成问题解答不全面，产生这样的错误的原因是对于相关三角函数的知识模糊。

【例2】在ABC ?中，,,a b c 分别是,,A B C ∠∠∠的对边长,且

cos 3cos C a c B b

-=。（1）求sin B ；

（2）若b =a c =，求ABC ?的面积。

思路解析：本题所给已知条件中，即有边又有角，第一个问题是求其中一内角的正弦，由此

容易想到把已知条件中的边转化为相应的角，利用正弦定理、余弦定理可知，把已知条件中的边角之间的关系全部转化为角之间的关系，从而将问题解决。第二个问题容易想到利用三角形相应的面积公式，从而围绕着公式去考虑需要些什么条件，决定去寻找相应的条件，把问题解决。

解：（1）由正弦定理得 sin sin a A b B =，sin sin c C b B =，又c o s 3c o s

C a c B b -=，cos 3sin sin cos sin C A C B B -∴=，即

s i n c o s 3B C A B C B =-，sin()3sin cos B C A B +=。又()()s i n s i n s i

B C A A π+=-=>，

sin 3sin cos A A B ∴=，1cos 3

B ∴=。又0B π<<，sin B ∴==；（2）在AB

C ?中，由余弦定理得 222323a c ac +-=，又a c =，22432,243

a a ∴==，

12ABC S ?∴==。绿色通道：对于此类三角形中的问题解决，通常已知条件中既涉及到边又涉及到角，通常考虑问题有两个方向：一是将所有的边之间的关系转化为角之间的关系；二是将所有的角之间的转化为边之间的关系从而将问题解决。当然这样的问题究竟是将边全部转化为角好还是将角全部转化为边好，这要视具体问题而定，只有对于此类问题作了一定的练习之后，逐渐就会对于此类问题有所办法。

【例3】在ABC ?中，,,a b c 分别是,,A B C ∠∠∠的对边长，若cos ,sin b a C c a B ==，试判断ABC ?的形状。

思路解析：本题是根据已知条件判断三角形的形状问题，而已知条件中既涉及到边又涉及角，所以容易想到借助于正、余弦定理将边、角互化，从而将问题解决。

解：由c o s b a C =得，22222222a b c a b c b a ab b +-+-==，即2222

2b a b c =+-，222b c a +=，90A =，∴sin b c a B a b a

===，故ABC ?为等腰直角三角形。绿色通道：类似本题这样的的问题，判断三角形的形状，常常有两种方式去考虑，一是从边的角度去加以判断，从而可以考虑将已知条件转化为边间的关系；二是从角的角度去判断，从而可以考虑将已知条件转化为角间的关系。

【例4】已知有,A B 两个小岛相距21海里，B 岛在A 岛的正南方。现在甲船从A 岛出发，以9海里/时的速度向B 岛行驶，而乙船同时以6海里/时的速度离开B 岛向南偏东60方向行驶。问行驶多少时间后，两船相距最近？并求出两船的距离。

思路解析：本题是实际生活中的数学问题，如何恰当地应用所学数学知识去解决相关的实际问题，这也是学数学的真正目的。对于绝大多数同学来说，往往不能很好地去解决这样的实际问题，这就说明同学的应用意识不强，只会学那些抽象的知识，并不能真正将其应用到生

活中去解决问题，这样的问题同学常常觉得难，这易入手。另外，这个问题中涉及到方位角，对于方位角的含义要求同学真正清楚，否则也容易出错。本题在解决时同学自己应该能根据题意所述，画出相应的示意图来，从而帮助恰当地解决问题。显然随着时间的推移，两船之间的距离要随之而变化，故可以试着去建立以时间为变量的函数关系，从而把问题解决。解：设行驶x 小时后，甲船到达C 处，乙船到达D 处。则219,6,9030C B x B D x C B D =-=∠=+=，由余弦定理得：

()22222cos120CD CB BD CB BD CB BD CB BD =+-=+-

()()()()()222

2136219972736323x x x x x x x ????=---=---=-+????

∴当2x =时，CD =

绿色通道：本题主要是要能够根据题意所述，正确地画出示意图，并能根据题意所述正确列出函数关系式，从而把问题转化为二次函数的最值问题。

第二版块

基础达标

1．在ABC ?中，已知150,3A a ==，则其外接圆的半径R =（）

A ．3 B

Ｃ．2 D .不确定

1．思路解析：由于在ABC ?中，有362,3sin sin150

a R R A ====，故选A 。答案：选A 。

2．在ABC ?中，sin sin A B <是A B <的（）

A ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件

Ｃ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件

2．思路解析：由 2sin 2sin sin sin A B a b R A R B A B

3．在ABC ?中，,,a b c 分别是,,A B C ∠∠∠的对边长，下列等式恒成立的是（）。

A ．cos cos a C c A =

B ．sin sin b

C c A =

C ．sin sin ab C bc B =

D ．sin sin a C c A =

3．思路解析：根据正弦定理可知有：sin sin a c A C

=，sin sin a C c A = 。答案：选 D 。

4．在ABC ?中，,,a b c 分别是,,A B C ∠∠∠的对边长，且::2a b c =，则s i n :s i n :s i n A B C =（）。

A 2:1

B ． 2

C ． 1:2

D ． 2

4．思路解析：根据正弦定理有：

sin sin sin a b c A B C ==，sin :sin :sin ::A B C a b c = 答案：选D 。

5．在ABC ?中，已知三边6,7,8a b c ===，试判断ABC ?的形状。

5．思路解析：本题主要涉及到三角形的形状问题，在此可以借助于余弦定理判断好象每个内角是锐角、钝角还是直角，事实上在此只要判断其中的最大内角是怎样的角就可以了（因为这个三角形显然不是等腰三角形），而要判断它是怎样的角，只要判断其符号如何，即判断22a b +与2c 的大小即可。

解：由题意知 c b a >>，所以 C 最大，而22236498564a b c +=+=>=，故内角C 是锐角，故ABC ?为锐角三角形。

6．．在ABC ?中，,,a b c 分别是,,A B C ∠∠∠的对边长。已知,,a b c 成等比数列，且22a c ac bc -=-，求A ∠的大小及sin b B c

的值。 6．思路解析：本题已知条件中所出现的边之间的关系及其形式，容易联想到余弦定理，从而借助于余弦定理把相应角给找出，进而看后者，然而结合已知条件，看似,sin ,b B c 不可求，但仔细结合正弦定理分析，从整体来看容易发现问题能够解决。

解：,,a b c 成等比数列，2b ac ∴=。又22a c ac bc -=-，222b c a bc ∴+-=。

在ABC ?中，由余弦定理得 2221cos 222

b c a bc A bc bc +-===，60A ∠=。在ABC ?中，由正弦定理得 sin sin b A B a

=，又2,60b a c A =∠=，2sin sin 603sin 60

b B b

c ca ∴=== 7．在ABC ?中，,,a b c 分别是,,A B C ∠∠∠的对边长。求证：()222sin sin A B a b c C

--=。 7．思路解析：本题要证的等式中既有边又有角，同样容易考虑到要么将边化为角要么将角化为边，从而借助于正、余弦定理把问题解决。

证明：根据正弦定理知，要证明的等式等价于()222sin sin sin sin sin A B A B C C

--=，又注意到 ()sin sin C A B =+，即要证：()()22sin sin sin sin A B A B A B -=+-，即证：222222sin sin sin cos cos sin A B A B A B -=-，即证：

()()2222sin 1cos sin 1cos A B B A -=-，亦即证：2222sin sin sin sin A B B A =，而上式显然成立，故()222sin sin A B a b c C

--=成立。 8．某观测站C 在目标A 的南偏西25方向，从A 出发有一条南偏东35走向的公路，在C

处测得公路上与C 相距31千米的B 处有一人正沿此公路向A 走去，走20千米后到达D 处，此时测得C 、D 间的距离为21千米，求此人所在D 处距A 还有多少千米？

8．思路解析：本题是与实际生活有关的问题，对于这样的问题也是学数学、用数学的一个方面的体现，数学从实际生活中来，又反过来为实际生活服务。此题主要涉及到方位角，对于方位角不要要分清东南西北四个基本方向，然后对于一些方位术语要有清楚的认识才行，否则就容易出错。

解：由题意知，60CAD ∠=，22222231202123cos 22312031

BD BC CD B BD BC +-+-===??，

sin B =。在ABC ?中，s i n 24sin BC B AC A

==。由余弦定理得 2222cos BC AC AB AC AB A =+-即2223124224cos60AB AB =+-，

2243850AB AB --=，35AB =或11-（舍）。故15AD AB BD =-=（千米），此人所在D 处距A 还有15千米。

9. 在ABC ?中，,,a b c 分别是,,A B C ∠∠∠的对边长，已知222

a c

b b

c +=+，且)

:1:2a c =，求内角C 的大小。 9. 思路解析：本题由第一个条件容易想到应用余弦定理从而可以将角B 求出,再由第二个条件容易想到从正弦定理出发，利用相关的边角关系将问题解决。解：由2222cos a c b ac B ac +-==得 1cos 2B =

，60B =。

由):1:2a c =得)sin :sin 1:2A C =，()()31sin sin 18060sin 120sin120cos cos120sin sin 2

A C C C C C +=--=-=-=

0,sin cos C C C C -==，tan 1C =，45C ∴=。综合发展

10．我缉私巡逻艇在一小岛南50西，距小岛12海里的B 处，发现隐藏在小岛边上的一走

私船正向岛北10西方向行驶，测得其速度为10海里/时，试问我巡逻艇必须用多大的速度朝什么方向航行才能恰好在两小时后截获走私船？

（参考数据：sin 380.62≈）

10．思路解析：本题来源于实际生活，涉及到方位角，所以象这样的题目最好先根据题意画出相应的示意图，以帮助问题正确解决。对于题中所涉及的方位角，这就要求学生对于基本的方位一定要清楚，否则就会在解决问题的过程中出现问题，从而导致出错。

解；设我巡逻艇恰在C 处截获走私船，我巡逻艇的航行速度为v 海里/时，则2,20BC v AC ==。依题意，1805010120BAC ∠=--=，由余弦定理得 2222cos120BC AB AC AB AC =+-，2784,282BC BC v ===，14v =。又由正弦定理得

20sin 2sin 0.6228AC BAC ABC BC ∠∠==≈，38ABC ∴∠=，从而易知，我巡逻艇必须用14海里/时的速度向北12东的方向航行。

11．在一很大的湖岸边（可视湖岸为一直线）停放着一只小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮起跑，其方向与湖岸成15，速度为2.5千米/时，同时岸边有一人，从同一地点开始追赶小船，已知他在岸上跑的速度为4千米/时。试问此人能否追上小船？若小船速度改变，则小船能被人追上的最大速度是多少？

11．思路解析：本题是从实际生活中抽象出来的数学问题，要求学生根据已知条件画出其示意图来，以帮助思考、解决问题。另外还要求学生能将生活语言恰当地转化为数学语言，要求人能追上小船这样的生活语言，这样的要求反映在数学上又是什么意思，这些都要求同学能正确地转化。

解：设小船的速度为v 千米/时，显然当4v ≥时，人不可能追上小船；当02v <≤时，人不必在岸上跑，而只要立即从同一地点直接下水就可以追上小船，因此只要考虑24v <<的情况，由于人在水中游的速度小于船的速度，人只有先沿湖岸跑一段后再游水追赶，当人沿岸跑的轨迹和人游水的轨迹以及船在水中漂流的轨迹组成一个封闭的三角形时，人才能追上小船。设人追上小船所用时间为t 小时，其中人在岸上跑的时间为()01kt k <<，则人在水

中游的时间为()1k t -小时，人要追上小船，则人船的运动路线必构成一个三角形。 ()4,21,OA kt AB k t OB vt ==-=，由余弦定理得

2222cos15AB OA OB OA OB =+-，

即()()()222262414244k t kt vt kt vt +-=+-，整理得 ()

22122840k v k v ??--+-=??，要使这个关于k 的一元二次方程在()0,1内有

实数解，则必须有：240112

v -<<且()2

22841240v v ???=--??-≥??，由

此解得 2v <≤max v =

故当船速在(2,时，人船运动路线可构成三角形，即人能追上小船，船能使人追上的

最大速度为千米/时，由此可见当船速为2.5千米/时时，人能追上小船。

探究创新

12．已知有两座城市,A B ，根据你所学过的知识，试给出城市C ，使三点,,A B C 恰好构成

以AB 为斜边的直角三角形的多种条件。

12．思路解析：这个问题是从实际生活中所抽象出来的，只要能恰当地将其数学化，充分地利用所学数学知识，不难发现要给出使ABC ?为以AB 为斜边的直角三角形的条件很多。可以从以前所学的勾股定理的逆定理来考虑，也可以从这里学过的正、余弦定理来考虑，使得它为以AB 为斜边的直角三角形的条件是多种多样的。

解：下面仅列出一部分可以使ABC ?为以AB 为斜边的直角三角形的条件：（注：记,,a b c 分别是,,A B C ∠∠∠的对边长）

（1）2A B π

+=；（2）222a b c +=；（3）cos b A c =或cos a B c =；（4）sin a A c =或sin b B c

=；（5）tan a A b =或tan b B a

=；（6）222sin sin sin A B C +=；（7）222cos cos cos 1A B C +=+；（8）cos 0C =；

（9）sin cos sin B A C

=。

请同学们自己继续思考是否还有其它的一些不同条件，也能够保证ABC ?为以AB 为斜边的直角三角形。并思考为什么以上的条件都能够使得ABC ?为以AB 为斜边的直角三角形。

第三版块

合作共赢

现在我们将全班同学分成5个研究小组，阅读下面的材料，并思考材料后的问题。

古希腊几何学家海伦在他的著作《度量》一书中提出并证明了已知三角形的三边长，求面积的公式：用,,a b c 表示三角形的三边长，p 表示半周长，即()12

p a b c =

++，则三角形的面积公式为：

S =其实古希腊叙拉古的阿基米德早就知道这个公式，只是海著书得以传播于世而已，后人为了纪念才以海伦的名字命名，海伦公式的简单、转换对称的美感，让人看一眼公式便铭记在心，并激发起人们进一步思索的欲望。事实上，后来有人发现并证明了圆内接四边形的面积公式：用,,,a b c d 表示圆内接四边形的四边长，p 表示四边形的半周长，即()12

p a b c d =+++，则该四边形的面积为

S =。

问题：（1）读完这段材料后，你们觉得数学美吗？你们还能想到在数学中能够体现数学美的例子吗？

（2）我们一起通过讨论试用正弦定理推导出三角形的面积公式另一种方式S=1sin 2

ab C ；（3）我们共同合作能否根据已所学数学知识如正、余弦定理等写出其中的三角形

的面积公式S =

见仁见智

一个数学兴趣小组的同学对正、余弦定理的使用问题作了深入的研究，对此总结出了如下一些结论：

学生甲：我学习过正、余弦定理后，对于解决三角形的相关问题只要根据题目中所给的条件，只要用这两个定理去套就可以了，不需要去怎么具体地分析。

学生乙：我学习过正、余弦定理后，对于解决三角形的相关问题只要根据题目中所给的条件，

用这两个定理去根据题中的要求，去逐一地把相应三角形的其它元素给求出即可。

学生丙：既然正、余弦定理揭示的是同一个三角形的边角之间的关系，以后凡是涉及三角形的问题都必须采用这两个定理才能解决。因此只要记住这两个公式就够了，在具体题目中，慢慢试就行了。

（1）上述几位同学的观点全面吗？

（2）就你在学习过程中的体会谈谈自己的看法？把你自己在解决三角形的相关问题的过程中的经验、体会说出来与大家共勉吧。

2018年必修五《正弦定理》教案

§1.1.2 正弦定理一、知识与技能 1会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题 2通过三角函数、正弦定理等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一. 3.在问题解决中,培养学生的自主学习和自主探索能力．二、过程与方法让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。三、教学重点与难点：重点：正弦定理的探索及其基本应用。难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。【授课类型】：习题拔高课四、教学过程一、知识回顾 1正弦定理的内容是什么？二、例题讲解例 1试推导在三角形中 A a s i n =B b sin =C c sin =2R 其中R 是外接圆半径. 证明如图所示，∠A ＝∠D ∴R CD D a A a 2sin sin === 同理B b sin R 2=，C c sin R 2= ∴ A a sin = B b sin =C c sin =2R a b c O B C A D

例2 在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，===? 解：∵213 60sin 1sin sin ,sin sin 0=?==∴=b B c C C c B b ，C B C B c b ,,60,0<∴=> 为锐角， 0090,30==∴B C ∴222=+=c b a 例3 C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===? 解2 3245sin 6sin sin ,sin sin 0=?==∴=a A c C C c A a 0012060,sin 或=∴<

人教版高一必修五解三角形单元试题及答案

高一必修5 解三角形单元测试题 1．在△ABC 中，sinA=sinB ，则必有（） A ．A=B B ．A ≠B C ．A=B 或A=C －B D ．A+B= 2 π 2．在△ABC 中，2cosBsinA=sinC ，则△ABC 是（） A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形 3．在ABC ?中，若 b B a A cos sin =，则B 的值为（） A ． 30 B ． 45 C ． 60 D ． 90 4．在ABC ?中，bc c b a ++=2 2 2 ，则角A 等于（） A ．60° B ．45° C ．120° D ．30° 5．在△ABC 中，b =，，C=600，则A 等于（） A ．1500 B ．750 C ．1050 D ．750或1050 6．在△ABC 中，A:B:C=1:2:3，则a:b:c 等于（） A ．1:2:3 B ．3:2:1 C ． 2: D ． 7．△ABC 中，a=2，A=300，C=450，则S △ABC = （） A B ． C 1 D ．11)2 8．在ABC ?中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则acosB+bcosA 等于（） A ． 2 b a + B ． b C ． c D ．a 9．设m 、m ＋1、m ＋2是钝角三角形的三边长，则实数m 的取值范围是（） A ．0＜m ＜3 B ．1＜m ＜3 C ．3＜m ＜4 D ．4＜m ＜6 10．在△ABC 中，已知a=x ， A=450，如果利用正弦定理解这个三角形有两个解，则x 的取值范围为（） A ． B ．22 D ．x<2 11．已知△ABC 中，A=600，，c=4，那么sinC= ； 12．已知△ABC 中，b=3， B=300，则a= ； 13．在△ABC 中，|AB |＝3，||＝2，AB 与的夹角为60°，则|AB -|＝____ __； 15．在ABC ?中，5=a ， 105=B ， 15=C ，则此三角形的最大边的长为__________；

解三角形(1)---正弦定理

解三角形(1)---正弦定理【定理推导】如图1-1，固定?ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。思考：（1）∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？（2）显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大，能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？如图1-2，在Rt ?ABC 中，设BC=a 、AC=b 、AB=c ，根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有a sinA c =，sin b B c =，又sin 1c C c ==, 则a b c c sinA sinB sinC ===，从而在直角三角形ABC 中， sin sin sin a b c A B C ==。思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（分为锐角三角形和钝角三角形两种情况）如图1-3，当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =，则：sin sin a b A B = ，同理可得 sin sin c b C B = ，从而 sin sin a b A B = sin c C = 思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。证法二：（向量法）过点A 作j AC ⊥ ，由向量的加法可得AB AC CB =+ 则 ()j AB j AC CB ?=?+ ∴j AB j AC j CB ?=?+? ()()0 0cos 900cos 90-=+- j AB A j CB C ∴sin sin =c A a C ，即 sin sin = a c A C 证明三：（外接圆法）如图所示，∠A ＝∠D ，∴ 2sin sin a a CD R A D ===，同理：sin b B =2R ，sin c C ＝2R 同理，过点C 作⊥ j BC ，可得sin sin =b c B C ，从而a b c sinA sinB sinC == 类推：当?ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。从上面的探究过程，可得以下定理： c b a C B A (图1-2) c b a C B A (图1-3) c b a C B A j C B A (图1-1) a b c O B C A D

必修五正弦定理和余弦定理

必修五第一讲正弦定理知识梳理 1．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a sin A ＝b sin B ＝c sin C . 2．解三角形：一般地，把三角形的三个角A 、B 、C 和它们的对边a 、b 、c 叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．题型分析 [例1] 在△ABC 中，已知a [解] A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(60°＋75°)＝45°.由 b sin B ＝a sin A 得，b ＝a sin B sin A ＝8×sin 60°sin 45°＝46，由a sin A ＝ c sin C 得， c ＝a sin C sin A ＝8×sin 75°sin 45°＝8×2＋642 2＝4(3＋1)．∴A ＝45°，b ＝46，c ＝4(3＋1)． [变式训练]在△ABC 中，已知c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，解这个三角形．解：∵A ＝45°，C ＝30°，∴B ＝180°－(A ＋C )＝105°.由 a sin A ＝c sin C 得a ＝c sin A sin C ＝10×sin 45°sin 30°＝10 2. 由 b sin B ＝ c sin C 得b ＝c sin B sin C ＝10×sin 105°sin 30°＝20sin 75°，∵sin 75°＝sin (30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45° ＝2＋64，∴b ＝20×2＋64 ＝52＋5 6. [例2] 在△ABC [解] ∵a sin A ＝c sin C ，∴sin C ＝c sin A a ＝6×sin 45°2＝32，∴C ＝60°或C ＝120°. 当C ＝60°时，B ＝75°，b ＝c sin B sin C ＝6sin 75°sin 60°＝3＋1；当C ＝120°时，B ＝15°，b ＝ c sin B sin C ＝6sin 15°sin 120°＝3－1. ∴b ＝3＋1，B ＝75°，C ＝60°或b ＝3－1，B ＝15°，C ＝120°. [变式训练]在△ABC 中，若c ＝6，C ＝π3 ，a ＝2，求A ，B ，b . 解：由a sin A ＝c sin C ，得sin A ＝a sin C c ＝22.∴A ＝π4或A ＝34π.又∵c ＞a ，∴C ＞A ，∴只能取A ＝π4 ， ∴B ＝π－π3－π4＝5π12，b ＝c sin B sin C ＝6·sin 5π12sin π3＝3＋1.

苏教版数学必修五：1.1正弦定理(二)【教师版】

课题：§1.1 正弦定理（二）总第____课时班级_______________ 姓名_______________ 【学习目标】掌握正弦定理的内容及其等价形式；会运用正弦定理、内角和定理与三角形的面积公式解决一些与测量和几何计算与证明有关的实际问题. 【重点难点】学习重点：正弦定理的等价形式及其基本应用. 学习难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数. 【学习过程】一、自主学习与交流反馈：问题1：对于任意的三角形若已知两边及夹角怎样求三角形的面积? 问题2：正弦定理还有哪些等价的变形形式? 二、知识建构与应用：例1 在ΔABC 中,已知 C c B b A a cos cos cos ==，试判断ΔABC 的形状. 例2 在ΔABC 中,AD 是∠BAC 的平分线，如图，用正弦定理证明： DC BD AC AB =. 例 3 某登山队在山脚处测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡前进A B 35?20?1000180?-βαβαD C B A

米后到达处，又测得山顶的仰角为，求山的高度. 例4 判断下列三角形解的情况：（1）已知; （2）已知; （3）已知. 四、巩固练习 D 65?060,12,11 ===B c b 0 110,3,7===A b a 045,9,6===B c b

1．在ΔABC 中，已知,150,3,2o ===C b a 则=?ABC S . 2．在中，_________,sin 23==B A b a 则. 3．在中，若,60,3?==A a 那么的外接圆的周长为____ ____. 4．在中，若，则 . 5. 在中, ______,cos cos 的形状为则ABC B C b c ?=. ABC ?ABC ?ABC ?ABC ?3,600==a A _______sin sin sin =++++C B A c b a ABC ?

高中数学的必修五解三角形知识点归纳

解三角形一.三角形中的基本关系： (1)sin()sin ,A B C += cos()cos ,A B C +=- tan()tan ,A B C +=- (2)sin cos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C +++=== (3)a>b 则Ａ＞Ｂ则sinA>sinB,反之也成立二.正弦定理： 2sin sin sin a b c R C ===A B ．R 为C ?AB 的外接圆的半径）正弦定理的变形公式： ①化角为边：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②化边为角：sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R =； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++===A +B +A B ．两类正弦定理解三角形的问题：

①已知两角和任意一边求其他的两边及一角. ②已知两边和其中一边的对角，求其他边角. (对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、无解）) 三．余弦定理： 222 2cos a b c bc =+-A 222 2cos b a c ac =+-B 222 2cos c a b ab C =+-．注意：经常与完全平方公式与均值不等式联系推论： 222 cos 2b c a bc +-A = 222 cos 2a c b ac +-B = 2 2 2 cos 2a b c C ab +-= ．

高中数学必修五《正弦定理》说课稿92898

高中数学必修五《正弦定理》说课稿大家好，今天我向大家说课的题目是《正弦定理》。下面我将从以下几个方面介绍我这堂课的教学设计。一教材分析本节知识是必修五第一章《解三角形》的第一节内容，与初中学习的三角形的边和角的基本关系有密切的联系与判定三角形的全等也有密切联系，在日常生活和工业生产中也时常有解三角形的问题，而且解三角形和三角函数联系在高考当中也时常考一些解答题。因此，正弦定理和余弦定理的知识非常重要。根据上述教材内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征及原有知识水平，制定如下教学目标：认知目标：在创设的问题情境中，引导学生发现正弦定理的内容，推证正弦定理及简单运用正弦定理与三角形的内角和定理解斜三角形的两类问题。能力目标：引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，培养学生的创新意识和观察与逻辑思维能力，能体会用向量作为数形结合的工具，将几何问题转化为代数问题。情感目标：面向全体学生，创造平等的教学氛围，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，调动学生的主动性和积极性，给学生成功的体验，激发学生学习的兴趣。教学重点：正弦定理的内容，正弦定理的证明及基本应用。教学难点：正弦定理的探索及证明，已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。二教法根据教材的内容和编排的特点，为是更有效地突出重点，空破难点，以学业生的发展为本，遵照学生的认识规律，本讲遵照以教师为主导，以学生为主体，训练为主线的指导思想，采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“正弦定理的发现”为基本探究内容，以生活实际为参照对象，让学生的思维由问题开始，到猜想的得出，猜想的探究，定理的推导，并逐步得到深化。突破重点的手段：抓住学生情感的兴奋点，激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想，积极探索，以及及时地鼓励，使他们知难而进。另外，抓知识选择的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给以适当的提示和指导。突破难点的方法：抓住学生的能力线联系方法与技能使学生较易证明正弦定理，另外通过例题和练习来突破难点三学法：指导学生掌握“观察——猜想——证明——应用”这一思维方法，采取个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学知识应用于对任意三角形性质的探究。让学生在问题情景中学习，观察，类比，思考，探究，概括，动手尝试相结合，体现学生的主体地位，增强学生由特殊到一般的数学思维能力，形成了实事求是的科学态度，增强了锲而不舍的求学精神。

苏教版高中数学必修五正弦定理教案

第 1 课时： §1.1 正弦定理（1）【三维目标】：一、知识与技能 1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容和推导过程； 2.能解决一些简单的三角形度量问题（会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题）；能够运用正弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题； 3.通过三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一. 4.在问题解决中,培养学生的自主学习和自主探索能力．二、过程与方法让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。三、情感、态度与价值观 1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力； 2.培养学生合情推理探索数学规律的数学思想能力，通过三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。【教学重点与难点】：重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。【学法与教学用具】： 1. 学法：引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系： sin sin sin a b c A B C == ，接着就一般斜三角形进行探索，发现也有这一关系；分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导，让学生发现向量知识的简捷，新颖。 2. 教学用具：多媒体、实物投影仪、直尺、计算器【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题 1.在直角三角形中的边角关系是怎样的？ 2.这种关系在任意三角形中也成立吗？ 3.介绍其它的证明方法二、研探新知 1.正弦定理的推导（1）在直角三角形中：c a A = sin ,1sin ,sin ==C C B B ，即 =c A a sin ，=c B b sin ，=c C c sin ∴A a sin =B b sin =C c sin 能否推广到斜三角形？（2）斜三角形中证明一：（等积法，利用三角形的面积转换）在任意斜△ABC 中，先作出三边上的高AD 、BE 、CF ，则sin AD c B =，sin BE a C =，sin CF b A =．所以111 sin sin sin 222 ABC S ab C ac B bc A ?= ==，每项

(完整版)必修五-解三角形-题型归纳

构成三角形个数问题 1在 ABC 中，已知a x,b 2,B 45°，如果三角形有两解，则x 的取值范围是( ) A. 2 x 2\f2 B. X 2 血 C . V2 x 2 D. 0x2 2 ?如果满足 ABC 60 , AC 12 , BC k 的厶ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是 3.在 ABC 中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（） A* CJ = S J fr = 10^ A = 45" E ? 口 = 60 r ￡* = S1 B = 6（T * C. a — 7 > ￡> = 5 ? A - &0= D ? 口二 14# 6 - 20 , -4-45"心求边长问题 A. 5 B 5?在△ ABC 中, a 1,B 450, S ABC 2，则 b = _________________ 三. 求夹角问题 6.在 ABC 中， ABC -, AB 2,BC 3，则 sin BAC （） 4 10 10 3 10 5 A. 10 B 5 C 10 D 5 7 .在厶ABC 中，角A , B , C 所对的边分别a,b,C,S 为表示△ ABC 的面积，若 4.在 ABC 中，角 A, B,C 所对边 a,b,c ，若 a 3,C 1200 , ABC 的面积S 15 3 4

1 2 2 2 acosB bcosA csinC, S -(b c a )，则/ B=() 4 A. 90° B . 60° C . 45° D . 30° 四.求面积问题 &已知△ ABC中，内角A，B, C所对的边长分别为a,b,c.若a 2bcosA, B -,c 1，则 3 △ ABC的面积等于( ) 书书书书 A B------ B ■ C i D i +11 8 6 4 2 A 9.锐角ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知cos2C j (i)求sinC的值； (n)当a 2, 2si nA si nC时，求b的长及| ABC的面积. 10?如图，在四边形ABCD 中，AB 3,BC 7J3,CD 14, BD 7, BAD 120 (1 )求AD边的长; (2)求ABC的面积.

必修五解三角形正弦定理和余弦定理

学案正弦定理和余弦定理导学目标： 1.利用正弦定理、余弦定理进行边角转化，进而进行恒等变换解决问题.2.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．自主梳理 1．三角形的有关性质 (1)在△ABC中，A＋B＋C＝________； (2)a＋b____c，a－bb?sin A____sin B?A____B； (4)三角形面积公式：S△ABC＝1 2ah＝ 1 2ab sin C＝ 1 2ac sin B＝_________________； (5)在三角形中有：sin 2A＝sin 2B?A＝B或________________?三角形为等腰或直角三角形； sin(A＋B)＝sin C，sin A＋B 2＝cos C 2. 自我检测 1．(2010·上海)若△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13，则△ABC() A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 2．(2010·天津)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sin C＝23sin B，则A等于() A．30°B．60°C．120°D．150° 3．(2011·烟台模拟)在△ABC中，A＝60°，b＝1，△ABC的面积为3，则边a的值为() A．27 B.21 C.13 D．3

4．(2010·山东)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2， sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________． 5．(2010·北京)在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3 ，则a ＝________. 探究点一正弦定理的应用例1 (1)在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°，求角A 、C 和边c ； (2)在△ABC 中，a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，求边b 和c . 变式迁移1 (1)在△ABC 中，若tan A ＝13 ，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________； (2)在△ABC 中，若a ＝50，b ＝256，A ＝45°，则B ＝________. 探究点二余弦定理的应用例2 (2011·咸宁月考)已知a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 的对边，且a 2＋c 2－ b 2＝a c . (1)求角B 的大小； (2)若c ＝3a ，求tan A 的值．变式迁移2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，B ＝2π3 ，b ＝13，a ＋c ＝4，求a . 探究点三正、余弦定理的综合应用例3 在△ABC 中，a 、b 、c 分别表示三个内角A 、B 、C 的对边，如果(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，试判断该三角形的形状．变式迁移3 (2010·天津)在△ABC 中，AC AB ＝cos B cos C . (1)证明：B ＝C ； (2)若cos A ＝－13 ，求sin ????4B ＋π3的值． 1．解斜三角形可以看成是三角变换的延续和应用，用到三角变换的基本方法，同时它是对正、余弦定理，三角形面积公式等的综合应用． 2．在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求

人教版高中数学必修五教案1

第一章解三角形 1.1正弦定理和余弦定理 1.1.1正弦定理知识结构梳理几何法证明正弦定理的证明向量法证明已知两角和任意一边正弦定理正弦定理正弦定理的两种应用已知两边和其中一角的对角解三角形知识点1 正弦定理及其证明 1正弦定理： 2.正弦定理的证明：（1）向量法证明（2）平面几何法证明 3.正弦定理的变形知识点2 正弦定理的应用 1.利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知两角和任意一边，求其他两边和另一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边和角。 2.应用正弦定理要注意以下三点：（1）（2）（3）知识点3 解三角形

1.1.2余弦定理知识点1 余弦定理 1. 余弦定理的概念 2. 余弦定理的推论 3. 余弦定理能解决的一些问题： 4. 理解应用余弦定理应注意以下四点：（1）（2）（3）（4）知识点2 余弦定理的的证明证法1：证法2：知识点3 余弦定理的简单应用利用余弦定理可以解决以下两类解三角的问题：（1）已知三边求三角；（2）已知两边和它们的夹角，可以求第三边，进而求出其他角。例1（山东高考）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，tanC=73. (1) 求C cos ； (2) 若 =2 5 ,且a+b=9，求c.

1.2应用举例知识点1 有关名词、术语（1）仰角和俯角：（2）方位角：知识点2 解三角形应用题的一般思路（1）读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，准确理解应用题中的有关术语、名称，如仰角、俯角、视角、方位角等，理清量与量之间的关系；（2）根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型；（3）合理选择正弦定理和余弦定理求解；（4）将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位、结果要求近似等。 1.3实习作业实习作业的方法步骤（1）首先要准备皮尺、测角仪器，然后选定测量的现场（或模拟现场），再收集测量数据，最后解决问题，完成实习报告。要注意测量的数据应尽量做到准确，为此可多测量几次，取平均值。要有创新意识，创造性地设计实施方案，用不同的方法收集数据，整理信息。（2）实习作业中的选取问题，一般有：○1距离问题，如从一个可到达点到一个不可到达点之间的距离，或两个不可到达点之间的距离；②高度问题，如求有关底部不可到达的建筑物的高度问题。一般的解决方法就是运用正弦定理、余弦定理解三角形。

高中数学必修五第一章解三角形知识点归纳

高中数学必修五第一章解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b，则90C <；③若2 2 2 a b c +<，则90C >． 11、三角形的四心：垂心——三角形的三边上的高相交于一点重心——三角形三条中线的相交于一点（重心到顶点距离与到对边距离之比为2:1）外心——三角形三边垂直平分线相交于一点（外心到三顶点距离相等）内心——三角形三内角的平分线相交于一点（内心到三边距离相等） 12 、请同学们自己复习巩固三角函数中诱导公式及辅助角公式（和差角、倍角等）。

(完整版)必修五;正弦定理与余弦定理

必修五：正弦定理和余弦定理一：正弦定理 1：定理内容：在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即 R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 是三角形外接圆半径） 2：公式变形（1）R A a C B A c b a 2sin sin sin sin ==++++ （2）?? ???C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2===或R c C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin === （3）?? ???B c C b A c C a A b B a sin sin sin sin sin sin === （4）R abc A bc B ac C ab S ABC 4sin 21sin 21sin 21====? 以下是ABC ?内的边角关系：熟记（5）B A B A b a >?>?>sin sin （大边对大角）（6）B A B A cos cos （7）?? ???+=+=+=)sin(sin )sin(sin )sin(sin B A C C A B C B A 思考A cos 与)cos(C B +的关系（8）2 cos 2sin C B A += （9）若AD 是ABC ?的角平分线，则 AC DC AB DB = 思考题： 1：若B A sin sin =，则B A ,有什么关系？ 2：若B A 2sin 2sin =，则B A ,有什么关系？ 3：若B A cos cos =，则B A ,有什么关系？ 4：若2 1sin > A ，则角A 的范围是什么？

解三角形：已知三角形的几个元素，求其他元素的过程叫做解三角形. 例1：已知ABC ?，根据下列条件，解三角形. （1）10,45,60=?=∠?=∠a B A . （2）?=∠==120,4,3A b a . （3）?=∠==30,4,6A b a . （4）?=∠==30,16,8A b a . （5）?=∠==30,4,3A b a . 思考：在已知“边边角”的情况下，如何判断三角形多解的情况判断方法:（1）用正弦定理：比较正弦值与1的关系（2）作图法：用已知角所对的高与已知角所对的边长比较. 练习：（1）若?=∠==45,12,6A b a ，则符合条件的ABC ?有几个？（2）若?=∠==30,12,6A b a ，则符合条件的ABC ?有几个？（3）若?=∠==45,12,9A b a ，则符合条件的ABC ?有几个？例2：根据下列条件，判断三角形形状. （1）C B A 2 22sin sin sin =+. （2）C B A cos sin 2sin = （3）B b A a cos cos = （4）A b B a tan tan 22=

完整word版,人教版必修五“解三角形”精选难题及其答案

人教版必修五“解三角形”精选难题及其答案一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 锐角△ABC 中，已知a =√3，A =π 3，则b 2+c 2+3bc 的取值范围是( ) A. (5，15] B. (7，15] C. (7，11] D. (11，15] 2. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足sinA =2sinBcosC ，则△ABC 的形状为( ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 3. 在△ABC 中，∠A =60°，b =1，S △ABC =√3，则 a?2b+c sinA?2sinB+sinC 的值等于 ( ) A. 2√39 3 B. 263 √3 C. 8 3√3 D. 2√3 4. 在△ABC 中，有正弦定理：a sinA =b sinB =c sinC =定值，这个定值就是△ABC 的外接圆的直径.如图2所示，△DEF 中，已知DE =DF ，点M 在直线EF 上从左到右运动(点 M 不与E 、F 重合)，对于M 的每一个位置，记△DEM 的外接圆面积与△DMF 的外接圆面积的比值为λ，那么( ) A. λ先变小再变大 B. 仅当M 为线段EF 的中点时，λ取得最大值 C. λ先变大再变小 D. λ是一个定值 5. 已知三角形ABC 中，AB =AC ，AC 边上的中线长为3，当三角形ABC 的面积最大时，AB 的长为( ) A. 2√5 B. 3√6 C. 2√6 D. 3√5 6. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边， b = c ，且满足sinB sinA =1?cosB cosA .若点O 是△ABC 外一点，∠AOB =θ(0<θ<π)，OA =2OB =2，平面四边形OACB 面积的最大值是( ) A. 8+5√34 B. 4+5√34 C. 3 D. 4+5√32 7. 在△ABC 中，a =1，b =x ，∠A =30°，则使△ABC 有两解的x 的范围是( ) A. (1，2√3 3 ) B. (1，+∞) C. (2√3 3 ，2) D. (1，2) 8. △ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，若AB ????? +AC ????? =2AO ????? ，且|OA ????? |=|AC ????? |，则△ABC 的面积为( ) A. √3 B. √32 C. 2√3 D. 1 9. 在△ABC 中，若sinBsinC =cos 2A 2，则△ABC 是( )

正弦定理解三角形

利用正弦定理解三角形利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形问题： 1、已知三角形的两角和任意一边，求三角形其他两边与角。 2、已知三角形的两边和其中一边的对角，求三角形其他边与角。例题设计一：已知△ABC，根据下列条件，求相应的三角形中其他边和角的大小（保留根号或精确到0.1）。（1）∠A＝60°∠B=45° a＝10 （2）∠A＝45°∠B＝105° c＝10 （1）属于已知三角形的两角和其中一角的对边，先由三角形内角和定理知∠C＝180°-∠A-∠B＝75°，然后由正弦定理直接得：b＝＝＝≈8.2，c==≈11.2 （2）为已知两角和另一角的对边，这时先利用∠A+∠B+∠C＝π，求出另一角∠C＝30°，然后由正弦定理得：a=== b=== 这两道例题均选自教材，使学生明确在三角形中已知两角和任意一边时，这样的三角形是唯一确定的。学会用方程思想分析正弦定理解决问题。习题设计一：设计意图：巩固当堂内容已知在△ABC中,c=10, ∠A=45°,∠C=30°,求a、b和∠B.

解：∵，∴a＝，∠B＝180°- （∠A+∠C）＝180°-（45°+30°）＝105°，∵，∴ b ＝＝20sin75°=20×=5+5. 例题设计二：已知△ABC中，根据下列条件，求相应的三角形中其他边和角的大小（保留根号或精确到0.1）（1） a=3 b=4 ∠A＝30° （2） a=b＝6 ∠A＝120° （3） a=2 b=3 ∠A＝45° （1）由正弦定理得sinB＝＝＝，再由三角形内角和定理知∠B的范围为：0°＜B＜150°，∴∠B≈41.8°或∠B≈138.2°，再根据“三角形中大边对大角”知 b=4＞a＝3，∴∠B＞∠A， ∴∠B≈41.8°或∠B≈138.2°；当∠B≈41.8°时，∠C≈180°-30°-41.8°＝108.2°， c＝＝≈5.7；当∠B≈138.2°时，∠C≈180°-30°-138.2°≈11.8°，

人教A版高中数学必修五正弦定理(一)

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作正弦定理（一） ●作业导航掌握正弦定理，会利用正弦定理求已知两角和任意一边或两边和一边对角的三角形问题．一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分) 1．已知△ABC 中，a ＝4，b ＝43，∠A ＝30°，则∠B 等于( ) A ．30° B ．30°或150° C ．60° D ．60°或120° 2．已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为( ) A ．9 B ．18 C ．93 D ．18 3 3．已知△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，则A ∶B ∶C 等于( ) A ．1∶2∶3 B ．2∶3∶1 C ．1∶3∶2 D ．3∶1∶2 4．已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k (k≠0)，则k 的取值范围为( ) A ．(2，＋∞) B ．(-∞，0) C ．(-2 1，0) D ．(2 1，＋∞) 5．在△ABC 中，sin A ＞sin B 是A ＞B 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分) 1．在△ABC 中，若∠B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则△ABC 的面积是________． 2．在△ABC 中，若b ＝2c sin B ，则∠C ＝________． 3．设△ABC 的外接圆半径为R ，且已知AB ＝4，∠C ＝45°，则R ＝________． 4．已知△ABC 的面积为2 3 ，且b ＝2，c ＝ 3，则∠A ＝________． 5．在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝60°，a ＝2(3＋1)，那么△ABC 的面积为________．三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分) 1．在△ABC 中，∠C ＝60°，BC ＝a ，AC ＝b ，a ＋b ＝16．

必修五解三角形练习题

一．选择题（共10小题） 1．在△ABC中，sinA=sinB是△ABC为等腰三角形的（） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 2．在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若这样的△ABC有两个，则实数x的取值范围是（） A．（2，+∞）B．（0，2）C．（2，2）D．（，2） 3．在锐角△ABC中，若C=2B，则的范围（） A．B．C．（0，2）D． 4．在△ABC中，下列等式恒成立的是（） A．csinA=asinB B．bcosA=acosB C．asinA=bsinB D．asinB=bsinA 5．已知在△ABC中，若αcosA+bcosB=ccosC，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形或钝角三角形B．以a或b为斜边的直角三角形C．以c为斜边的直角三角形D．等边三角形 6．在△ABC中，若cosAsinB+cos（B+C）sinC=0，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形 C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形 7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且=，则∠B为（） A．B．C．D． 8．在△ABC中，已知sinA=2sinBcosC，则该三角形的形状是（） A．等边三角形B．直角三角形 C．等腰三角形D．等腰直角三角形 9．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，，，b=1，则角B 等于（） A．B．C．D．或

10．在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若此三角形有两解，则x的取值范围是（）A．x＞2 B．x＜2 C．D．二．填空题（共1小题） 11．（文）在△ABC中，∠A=60°，b=1，△ABC的面积为，则的值为．三．解答题（共7小题） 12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c=，cos2A ﹣cos2B=sinAcosA﹣sinBcosB （1）求角C的大小；（2）求△ABC的面积的最大值． 13．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知bccosA=3，△ABC的面积为2．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）若a=2，求b+c的值． 14．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且=．（1）求角B的大小；（2）△ABC的外接圆半径是，求三角形周长的范围．

高中数学必修5第一章解三角形教案学案 正弦和余弦定理设计