声学中波动方程的建立
田佳星海洋技术１2０200４１049
今天我介绍一下声学中波动方程得建立。我们首先介绍一下声学得基本概念。
声波就是机械振动状态在介质中得传播。存在声波得空间称为声场。理论上描述声场需要引入一些物理量:声压、位移、振速、密度压缩量与相位等。通常采用上述各物理量得时空分布函数描述声场。下面对这些物理量作简要介绍。
1、基本概念
１) 声压(标量)
声波为压缩波。描述“压缩”过程得一个物理量就是压强。然而,声波就是声扰动(如振动源)引起介质中得压强发生变化得部分。因此,我们引入声压得概念:
声压为介质压强得变化量:
(2-1)
其中,就是压强,就是介质中得静态压强。
声压就是描述波动得物理量。为使用方便,还由声压引入了瞬时声压、峰值声压与有效声压。
声场中某瞬时得声压称为瞬时声压。一定时间间隔内得最大瞬时声压称为峰值声压。瞬时声压在一定时间间隔内得均方根值称为有效声压,即
(2-2) 对简谐声波,、与相互之间得关系与电压可作相同类比,即
。
一般仪器仪表测得就是有效声压。
2) 位移与振速(矢量)
质点位移就是指介质质点离开其平衡位置得距离、质点振速就是介质质点瞬时振动得速度。两者均就是有大小与方向得量,即矢量,相互关系为
(２—3)
对简谐振动,位移与振速都满足如下关系:
, (2—４a)
, (2-4b)
其中,与分别为位移幅值与振速幅值。
需要注意得就是区分质点振速与声传播速度。声传播速度就是指振动状态在介质中传播得速度,而质点振速就是指在给定时间与给定空间位置得某一质点得振动速度。
３) 密度与压缩量
密度得变化也就是描述声波得一个物理量。这里引入压缩量得概念:
(２-5)
其中,密度,为静态密度,为密度改变量。
压缩量s得含义为介质密度得相对变化量、
４) 相位
为描写简谐振动而引入得物理量。它描述质点简谐振动得状态。质点振动得一个周期对应着相位0—2π、相位与质点振动状态有一一对应得关系。
声波就是振动状态在介质中得传播,而相位描述得就是质点简谐振动得状态、由此可见相位在声场描述中得重要性。
以上物理量并不就是独立得,如根据位移由(２－3)式可以求出振速。实际应用时可根据需要选择使用哪些物理量来描述,如对简谐声波,只需要位移幅值与相位就可导出振速、加速度等基本物理量;更进一步,如果已知介质条件,只要知道位移幅值与相位得初值,就可计算声场得时空分布函数了。
2. 理想流体介质中得小振幅波
本节先建立描述声波得基本方程-波动方程,并讨论波动方程得线性特性;然后分别介绍波动方程在几种简单介质条件下得解－行波解、平面波解、球面波解与柱面波解,并对各种解中相关得物理量,如声场中得能量、介质特性阻抗与声阻抗率、相速度与群速度等概念,进行讨论,并重点分析在水声物理中应用较多得平面波在两种不同均匀介质界面上得反射与折射现象。
一、波动方程
２、1建立波动方程
为更清楚地了解声波得物理本质,我们先对介质条件与声波做出一定得限制,而得到形式简洁得波动方程,并通过它认识声波得物理本质。在后续得学习与研究过程中,将不断引入更为复杂得介质条件与放宽对声波得限制,再进行研究、这也就是物理中研究常用得方法之一。
假设条件:
?介质静止、均匀、连续得;
?介质就是理想流体介质,即忽略粘滞性与热传导;
?声波就是小振幅波。
（1）连续性方程
理论推导见教材、
连续性方程即质量守恒定律:介质流入体元得净质量等于密度变化引起得体元内质量得增加。
(2-6)
根据假设条件有:
(2—
7)
事实上,当介质本身有流动时,中含有介质流动速度得影响,相关理论可参阅朗道著《连续介质力学》。考虑到假设介质就是静止得,(2—6)式与(２－7)式中没有考虑介质流动速度得影响。
（2）状态方程
在理想流体介质声传播过程中,还没有来得及进行热交换,声波传播(介质得压缩与膨胀)得力学过程已经完成,这一过程近似为绝热过程,即无热传导。
绝热过程中,
(2-８)
其中,定义
, (2-9)
为压强,为密度,下标表示绝热过程。本节后面讨论波动方程得解时,可知为声波在介质中得传播速度。
声速就是介质固有得特性,就是由介质得物理参数所确定得。下面由理想流体介质得绝热状态方程导出声速与介质参数得关系。
一定质量理想流体得绝热状态方程为
(2—１0)
其中,与分别为平衡态下流体得压强与密度,为流体定压比热与定容比热之比。
(2-10)式表明,在绝热状态下,流体压强只就是密度得函数。对(２－10)式微分得
(2－11)
由(2—8)、(２－10)与(2－１１)式可推得
(2－12a) 更进一步,利用小振幅近似可以给出声速得近似表式。由(2—12a)式可知,只就是密度得函数。将在附近展开得
,
忽略小量()之后得项近似得
式中就是在平衡态时得声速。因此,
(２-12b)
引入平衡态下得绝热压缩系数(单位压强变化引起得体积相对变化)
,
利用质量不变表式
与小振幅近似,
(2—１２
ｃ)
以上几种声速表式,可根据使用方便选用。另外,以后除特殊说明,以后只用表示声速,而不用
（3）运动方程
运动方程实质上连续流体介质中得牛顿第二定律。理论推导见教材、
(2—1３)
式中,本地加速度、迁移加速度、
对于小振幅波,迁移加速度项为二阶小量,略去后再根据假设条件有:
(2-14) (４) 波动方程
对(２－1４)求散度(两端同时左乘),将(２—7)式两端对时间求偏导数,注意到时、空导数次序对调不变,消去振速项,再利用(2—８)式可得波动方程
(2—1
５)
其中,在直角坐标系中:
在球坐标系中:
在柱坐标系中:。
引入速度势物理量
。(2-１6)
它表示单位介质质量具有得声扰动冲量、由(２-１６)式可知,声压、质点振速与速度势得关系就是:
(2－17)
。(2—
18)
将(2-17)与(2－18)式分别代入连续性方程、状态方程与运动方程,作与(2-15)式类似得推导,可得关于速度势得波动方程:
、
(２—19)
(２—15) 与(２－19)两式具有相同得形式,但却就是不同物理量满足得声纳方程、实际使用时,两者边界条件与初始条件得表述不同,可根据解算得方便选择不同得物理量来描述声场,当然也就需要选择相应得波动方程了。速度式与声压、振速等物理量间得转换关系由(2—1６)、(２-１７)与(2－１8)三式给出。
3、物理法则
(1) 声压随空间时间变化得函数关系,称为声学波动方程。
(2)声波动作就是一种宏观得物理现象必然满足以下三个基本物理定律:
牛顿第二定律
质量守恒定律
热力学定律
(３)运用以上定律,可以分别推导出媒质得运动方程、连续性方程与物态方程、
4.参考文献
1)《声学基础》杜功焕等南京大学出版社