分数指数幂及其运算法则(供参考)

分数的四则运算和简便计算

分数的四则运算—计算题 专题复习 一、分数四则运算的运算法则和运算顺序 运算法则是：1、加减：同分母分数相加减，分母不变，分子相加减： 异分母分数相加减，先通分，再分母不变，分子相加减。 2、乘法：先约分，分子乘分子作为积的分子，分母乘分母作为积的分母 3、除法：除以一个数就等于乘这个数的倒数 运算顺序是：混合计算，先算乘除法再算加减；如果有括号，先算括号里面的（先算小括号，再算中括号）同一级运算，一般从左往右计算。如果符合运算定律，可以进行简算。 练习： 1、34 -（15 + 13 ）× 98 2、 107 13151321÷?????????? ??+- 3、??? ??-+614121÷121 4、 9798411÷??? ???- 5、?? ???????? ??-÷109329712 6、 52593145-?- 7、8949581÷+? 8、（52－81）÷40 1

二、分数四则运算的简便运算 引言：分数乘法简便运算所涉及的公式定律和整数乘法的简便运算是一样的，基本上有以下三个： ① 乘法交换律：________________________ ② 乘法结合律：________________________ ③ 乘法分配律：________________________ 做题时，我们要善于观察，仔细审题，发现数字与数字之间的关系，根据题意来选择适当的公式或方法，进行简便运算。 分数简便运算常见题型 第一种：连乘——乘法交换律的应用 例题：1）1474135?? 2）56153?? 3）26 6 831413? ? 涉及定律：乘法交换律 b c a c b a ??=?? 基本方法：将分数相乘的因数互相交换，先行运算。 第二种：乘法分配律的应用 例题：1）27)27498(?+ 2）4)41101(?+ 3）16)2 1 43(?+ 涉及定律：乘法分配律 bc ac c b a ±=?±)( 基本方法：将括号中相加减的两项分别与括号外的分数相乘，符号保持不变。 第三种：乘法分配律的逆运算 例题：1）213115121?+? 2）61959565?+? 3）75 1754?+?

分数指数幂的运算

分数指数幂的运算 2.1.1.2 分数指数幂的运算 一、内容及其解析 （一）内容：分数指数幂的运算。 （二）解析：本节课要学的内容有分数指数幂的概念以及运算，理解它关键就是能够利用次方根概念转化到分数指数幂的形式。学生已经学过了根式概念和运算性质，对于转化到分数指数幂的形式难度不大，本节课的内容分数指数幂就是在此基础上的发展。由于它还与有理数指数幂有必要的联系,所以在本学科有着比较重要的地位，是学习后面知识的基础,是本学科的一般内容内容。教学的重点是利用次方根的性质转化成分数指数幂的形式，在利用有理数指数幂的运算性质化简指数幂的算式，所以解决重点的关键是利用分数有理指数幂的运算性质的运算性质，计算、化简有理数指数幂的算式。 二、目标及其解析 （一）教学目标 1．理解分数指数幂的概念； 2．掌握有理指数幂的运算性质； （二）解析 1．理解分数指数幂的概念就是指通过复习已学过的整

数指数幂的概念和根式的概念，推导出分数指数幂的概念； 2．学会有理指数幂的运算性质，能够化简一般有理指数幂的算式。 三、问题诊断分析 在本节课的教学中，学生可能遇到的问题是分数指数幂的运算性质，产生这一问题的原因是：学生对根式化简到分数指数幂的形式熟练程度低，对于整数指数幂的运算性质不够熟练，不能很好的结合从特殊到一般的思想。要解决这一问题，就要在在练习中加深理解。 四、教学过程设计 1、导入新课 同学们，我们在初中学习了整数指数幂及其运算性质，那么整数指数幂是否可以推广呢？答案是肯定的.这就是本节的主讲内容，教师板书本节课题—分数指数幂 2、新知探究 提出问题 （1）整数指数幂的运算性质是什么？ （2）观察以下式子，并总结出规律： ①； ②； ③； ④ .

初一数学实数运算与分数指数幂

课 题 实数的运算与分数指数幂 教学目标 1、掌握分数指数幂的运算公式和性质； 2、同底数幂的运算法则，幂的乘方以及积的乘方； 3、掌握实数的混合运算. 教学内容 一、课前知识检测 1．4的平方根是（ ） Ａ．２ Ｂ．2- Ｃ．2± Ｄ．4 2．7-的立方根用符号表示是（ ） Ａ．3 7-± Ｂ．37 Ｃ．37- Ｄ．3 7-- 3．下列说法正确的是（ ） Ａ．()483 2 -=-- Ｂ． 6427 的立方根是4 3 ± Ｃ．125-没有立方根 Ｄ．立方根等于它本身的数是0和1 4．27-的立方根与9的平方根的和是（ ） Ａ．0 Ｂ．6 Ｃ．6- Ｄ．0或6- 5．如果 ( ) 012552 =-x ，那么x 等于（ ） Ａ．5± Ｂ．5 Ｃ．25 Ｄ．25- 6．在实数1.414，23， 3030030003 .0,3 41 ，4π -，3 216，2 131?? ? ??--中，无理数的个数是（ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 7．下列说法：①无理数包括正无理数、零、负无理数；②无理数就是开方开不尽的数；③无理数是无限不循环小数； ④有理数、无理数统称实数。其中正确说法得我个数是（ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4。 二、填空题 8．16的平方根是 ，算术平方根是 。 9．一个数的算术平方根等于它本身，那么这个数是 。 10．若53-=x ，则=x ，若，52 =x 则=x 11．满足73 x -的所有整数x 是 。 12．用“ ”“≤”或“＝”连接 1_______3 16, 6______27, 43_____34+。 13．当x 时，x 32-有意义；当x 时，3 52+x 有意义。 14．数轴上的点与 一一对应。 15．将坐标平面上的点( ) 2,5-A 向右平移2个单位长度，再向上平移 3个单位长度后，A 点的坐标为 。

《分数指数幂》教学设计

教学设计：《分数指数幂》 一、教学目标 〖知识与技能〗 （1） 理解分数指数幂的概念，掌握有理数指数幂的运算性质，并能运用性质进行计算和化简。 （2） 会对根式、分数指数幂进行互化。 （3） 了解无理指数幂的概念 〖过程与方法〗 通过对实际问题的探究过程，感知应用数学解决问题的方法，理解分类讨论思想、化归与转化思想在数学中的应用。 〖情感、态度与价值观〗 通过对数学实例的探究，感受现实生活对数学的需求，体验数学知识与现实的密切联系。 二、教学重难点 根式、分数指数幂的概念及其性质。 三、教学情景设计 1、复习讨论 （1）根式的相关概念 （2）整数指数幂：a a a a n ???= 运算性质：n n n mn n m n m n m b a ab a a a a a ===?+)(,)(,)1,,,0(*>∈>n N n m a 。 2、问题情境设疑 问题1、当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个 时间称为“半衰期”，根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P 与死亡年数t 之间的关系5730)2 1(t P =，考古学家 根据这个式子可以知道，生物死亡t 年后，体内碳14含量P 的值。 例如： 当生物死亡了5730，2×5730，3×5730，……年后，它体内碳14的含量P 分别为 21，2)21(，3 )2 1(，…… 当生物死亡了6000年，10000年，100000年后，根据上式，它体内碳14的含量P 分别为57306000 )21(， 573010000 )21(，5730 100000 )2 1 (。 设疑：以上三个数的含义到底是什么呢？ 问题2：如何计算：322?？ 分析：6623626 3332222222=?=?= ?，然而普通学生要找到该解法并不容易，如何把这种运算简单 化呢？能否类似于整数指数幂的运算来解决上题？

分数的四则运算和简便计算

分数的四则运算—计算题 专题复习 一、分数四则运算的运算法则和运算顺序 运算法则 是： 1、加减：同分母分数相加减，分母不变，分子相加减： 异分母分数相加减，先通分，再分母不变，分子相加减。 2、乘法：先约分，分子乘分子作为积的分子，分母乘分母作为积的分母 3、除法：除以一个数就等于乘这个数的倒数 运算顺序 是：混合计算，先算乘除法再算加减；如果有括号，先算括号里面的（先算小括号，再算中括号）同一级运算，一般从左往右计算。如果符合运算定律，可以进行简算。练习： 3 1 1 9 2 1 1 7 1、4- （ 5 + 3 ）× 8 2 、 1 3 5 13 10 3、 1 1 1 ÷ 1 4、 1 1 8 7 5、12 7 2 9 2 4 6 12 4 9 9 9 3 10 6、 5 1 9 2 7 、 1 5 4 8 8 、 （2－1 ）÷ 1 4 3 5 5 8 9 9 5 8 40

二、分数四则运算的简便运算 引言：分数乘法简便运算所涉及的公式定律和整数乘法的简便运算是一样的，基本上有以下三个： ①乘法交换律：________________________ ②乘法结合律：________________________ ③乘法分配律：________________________ 做题时，我们要善于观察，仔细审题，发现数字与数字之间的关系，根据题意来选择适 当的公式或方法，进行简便运算。 分数简便运算常见题型 第一种：连乘——乘法交换律的应用 例题： 1）5 4142）3153）1336 1375614826 涉及定律：乘法交换律 a b c a c b 基本方法：将分数相乘的因数互相交换，先行运算。第二种：乘法分配律的应用 例题： 1）(84 ) 272）( 11 ) 43）( 31 ) 16 92710442 涉及定律：乘法分配律(a b) c ac bc 基本方法：将括号中相加减的两项分别与括号外的分数相乘，符号保持不变。第三种：乘法分配律的逆运算 例题： 1）1 1112） 5 5513） 4 717 21532699655

分数指数幂运算

数学学科导学案 教师: 学生: 年级: 高一日期: 星期: 时段: 课题分数指数幂 学情分析 熟练掌握指数的运算是学好该部分知识的基础，较高的运算能力是高考得分的保障，所以熟练掌握这一基本技能是重中之重． 教学目标理解分数指数幂的含义，掌握分数指数幂的运算方法. 教学重点分数指数幂的运算 考点分析分数指数幂的化简、求值是常考题型. 教学方法讲授法、训练法 学习内容与过程 1．根式 (1)根式的概念 如果一个数的n次方等于a(n＞1且，n∈N*)，那么这个数叫做a的n次方根．也就是，若x n＝a，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*. (2)根式的性质 ①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这 时，a的n次方根用符号n a表示． ②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的 n次方根用符号n a表示，负的n次方根用符号－ n a表示．正负两个n次方根可 以合写为±n a(a＞0)． 注：式子n a叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．

③? ????n a n ＝a . ④当n 为奇数时，n a n ＝a ； 当n 为偶数时，n a n ＝ |a |＝????? a a ≥0 －a a ＜0 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正整数指数幂：a n ＝a ·a ·…·a n 个 (n ∈N * )； ②零指数幂：a 0＝1(a ≠0)； ③负整数指数幂：a －p ＝1 a p (a ≠0，p ∈N *)； ④正分数指数幂：a m n ＝n a m (a ＞0，m 、n ∈ N *，且n ＞1)； ⑤负分数指数幂：a －m n ＝1a m n ＝1n a m (a ＞0，m 、n ∈N *且n ＞1)． ⑥0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的性质 ①a r a s ＝a r ＋s (a ＞0，r 、s ∈Q ) ②(a r )s ＝a rs (a ＞0，r 、s ∈Q ) ③(ab )r ＝a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈Q )． 分数指数幂与根式的关系 根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算． 指数幂的化简与求值 【例1】?化简下列各式(其中各字母均为正数)．

分数指数幂的运算

分数指数幂的运算 【知识要点】 1、整数指数幂运算性质 (1)=?n m a a ),(Z n m ∈ (2) =n m a a ),(Z n m ∈ (3) =n m a )( ),(Z n m ∈ （4）=?n b a )( )(Z n ∈ (5) 根式运算性质 ?? ?=为偶数为奇数n a n a a n n ,, 2、正数的正分数指数幂的意义 n m n m a a = （n m a ,,0>∈N *,且)1>n 注意：（1）分数指数幂是根式的另一种表示形式； （2）二是根式与分数指数幂可以进行互化. 3、对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂作如下规定. (1)n m n m a a 1 =- （n m a ,,0>∈N * ,且)1>n (2)0的正分数指数幂等于0. (3)0的负分数指数幂无意义. 4、有理指数幂的运算性质 (1)∈>=?+s r a a a a s r s r ,,0(Q ） (2) ∈>=s r a a a rs s r ,,0(）（Q ） (3) ∈>=?s r a b a b a r r r ,,0()(Q ） 注意：若p a ,0>是一个无理数，则p a 表示一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用 【典型例题】 例1、当0>a 时 ①5102552510)(a a a a ===②3124334312)(a a a a === ③323332 32)(a a a ==④21221)(a a a == 根据以上等式，找出规律，把下列各数化成上述形式()0>x .

(1)721x (2) 416x (3) 93x (4) 126x 例2、求值： 43 32132)8116(,)41(,100 ,8---. 例3、用分数指数幂的形式表示下列各式： a a a a a a ,,3232?? (式中0>a ) 4、计算：[].01.016)2()87() 064.0(2175.0343031-++-+----- 例5、化简：（1）52932232(9)(10)100- （2）322322+- （3） a a a a 【经典练习】 1.用根式的形式表示下列各式（0>a ) 3 2 53 4351 ,,,--a a a a 2、求下列各式的值： (1)2325 （2）3227 （3）23)49 36( （4）23)425(- （5）423 981? （6）63125.132?? 3. 用分数指数幂表示下列各式：（其中各式中的字母均为正数）

分数简便运算常见题型

分数简便运算常见题型 第一种：连乘——乘法交换律的应用 例题：1） 1474135?? 2）56153?? 3）266831413?? 涉及定律：乘法交换律 b c a c b a ??=?? 基本方法：将分数相乘的因数互相交换，先行运算。 第二种：乘法分配律的应用 例题：1）27)27498(?+ 2）4)41101(?+ 3）16)2143(?+ 涉及定律：乘法分配律 bc ac c b a ±=?±)( 基本方法：将括号中相加减的两项分别与括号外的分数相乘，符号保持不变。 第三种：乘法分配律的逆运算 例题：1） 213115121?+? 2）61959565?+? 3）751754?+? 涉及定律：乘法分配律逆向定律 )(c b a c a b a ±=?±? 基本方法：提取两个乘式中共有的因数，将剩余的因数用加减相连，同时添加括号，先行运算。 第四种：添加因数“1” 例题：1）759575 ?- 2）9216792?- 3）232331 17233114+?+? 涉及定律：乘法分配律逆向运算 基本方法：添加因数“1”，将其中一个数n 转化为1×n 的形式，将原式转化为两两之积相加减的形式，再提取公有因数，按乘法分配律逆向定律运算。

第五种：数字化加式或减式 例题：1）16317? 2）19718? 3）3169 67? 涉及定律：乘法分配律逆向运算 基本方法：将一个大数转化为两个小数相加或相减的形式，或将一个普通的数字转化为整式整百或1等与另一个较小的数相加减的形式，再按照乘法分配律逆向运算解题。 注意：将一个数转化成两数相加减的形式要求转化后的式子在运算完成后依然等于原数，其值不发生变化。例如：999可化为1000-1。其结果与原数字保持一致。 第六种：带分数化加式 例题：1）4161725 ? 2）351213? 3）135127? 涉及定律：乘法分配律 基本方法：将带分数转化为整数部分和分数部分相加的形式，再按照乘法分配律计算。 第七种：乘法交换律与乘法分配律相结合 例题：1）247174249175?+? 2）1981361961311?+? 3）1381137138137139?+? 涉及定律：乘法交换律、乘法分配律逆向运算 基本方法：将各项的分子与分子（或分母与分母）互换，通过变换得出公有因数，按照乘法分配律逆向运算进行计算。 注意：只有相乘的两组分数才能分子和分子互换，分母和分母互换。不能分子和分母互换，也不能出现一组中的其中一个分子（或分母）和另一组乘式中的分子（或分母）进行互换。 分数简便运算课后练习一（能简算的简算） 59 × 34 ＋59 × 14 46×45 44 （ 34 ＋58 ）×32 15 ＋ 29 × 310 44－72×512 23 ＋( 47 ＋12 )×725

分数简便计算

分数的简便计算 学法指导 分数四则运算中有许多十分有趣的现象与技巧，它主要通过一些运算定律、性质和一些技巧性的方法，达到计算正确而迅速的目的。 分数简便计算的技巧掌握，首先要学好分数的计算法则、定律及性质，其次是掌握一些简算的技巧： 1、运用运算定律：这里主要指乘法分配律的应用。对于乘法算式中有因数可以凑整时，一定要仔细分析另一个因数的特点，尽量进行变换拆分，从而使用乘法分配律进行简便计算。 2、充分约分：除了把公因数约简外，对于分子、分母中含有的公因式，也可直接约简为1。 进行分数的简便运算时，要认真审题，仔细观察运算符号和数字特点，合理进行简算。需要注意的是参加运算的数必须变形而不变质，当变成符合运算定律的形式时，才能使计算既对又快。 典型例题 例1、计算：（1） 4544×37 （2）2004×2003 67 分析与解：观察这两道题的数字特点，第（1）题中的45 44 与1只相差1个分数单位，如果把 4544写成（1-45 1）的差与37相乘，再运用乘法分配律可以使计算简便。同 样，第（2）题中可以把整数2004写成（2003+1）的和与2003 67 相乘，再运用乘法分配 律计算比较简便。 （1）4544×37 （2）2004×200367 =（1-451）×37 = （2003+1）×2003 67 = 1×37 - 451×37 = 2003×200367 + 1×200367 = 36458 =672003 67 例2、计算: (1)73 151×81 (2) 16620 1 ÷41

分析与解：（1）73151把改写成(72 + 15 16 )，再运用乘法分配律计算比常规方法计算要简便得多，所以 73151×81 = (72 + 1516)×81 = 72 ×81 + 1516×81 = 915 2 （2）把题中的166 20 1 分成41的倍数与另一个较小的数相加的形式，再利用除法的运算性质使计算简便。 166201÷41 = (164 + 2041)×411 = 164×411 + 2041×411 = 420 1 例3、计算：（1） 41×39 + 43×25 + 426×133 （2）1174×（232 - 43）+ 15121 ÷ 21 17 分析与解：（1）根据乘法的交换律和结合律，41×39可以写成43×13，426× 13 3 可以写成43×1326 ，然后再运用乘法分配律使计算简便。 41×39 + 43×25 + 426×133 = 43×13 + 43×25 + 43×1326 = 43×（13 + 25 + 2）= 4 3 ×40 = 10 （2）根据分数除法的计算法则，将15121 ÷ 2117改写成15121 × 1721，则232 - 4 3 与 15121都和17 21相乘，可以运用乘法分配律使计算简便。 1174×（232 - 43）+ 15121 ÷ 21 17

整数运算定律推广到分数

整数运算定律推广到分数 教学目标： 1、通过创设自主探究，尝试迁移、合作交流的探究情境，使学生理解整数乘法运算定律对于分数乘法同样适用，并能应用这些定律进行一些简便计算。 2、在观察、迁移、尝试练习、交流反馈等活动中，培养学生的推理能力及思维的灵活性。 3、创设开放、民主、有趣的自主探究空间，鼓励学生大胆猜测，培养他们勇于实践的思维品质。 教学重点： 理解整数乘法运算定律对于分数乘法同样适用，并能应用这些定律进行一些简便计算。 教学难点：熟练掌握运算定律，灵活、准确、合理地进行计算。 教具准备：多媒体课件 教学过程： 一、旧知铺垫 1、整数混合运算的运算顺序是怎么样？（先算二级运算，后算一级运算） 2、哪些运算属于二级运算，哪些运算属于一级运算？（乘、除法属于二级运算，加、减法属于一级运算）遇到有括号的题目该怎么来计算？（有括号的要先算小括号里面的，再算中括号里面的） 3、观察下面各题，先说说运算顺序，再进行计算。 （1）36×2＋15 （2）5×6＋7×3 （3）15×（34－27） 二、新知探究 1、向学生说明：分数混合运算的顺序和整数的运算顺序相同。按照此规则，学生仔细确定运算顺序后计算下面各题。（课件出示） （1）＋×（2）×－ （3）－×（4）×＋ 2、复习整数乘法的运算定律 （1）乘法交换律：a×b=b×a 乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c) 乘法分配律：(a＋b)×c=a×c＋b×c （2）这些运算定律有什么用处？你能举例说明吗？ （3）用简便方法计算：25×7×4 0.36×101 3、推导运算定律是否适用于分数。 （1）鼓励学生大胆猜测并勇于发表自己的个人意见。 （2）验证：有些同学认为整数乘法的运算定律能适用于分数乘法，而有些同学认为不能，你们能找到证据证明自己的观点吗？ （利用例5的三组算式，小组讨论、计算，得出两边式子的关系） （3）各四人小组汇报讨论和计算结果。 4、教学例6 （1）课件出示：××，学生先独立计算，然后全班交流，说一说应用了什么运算定律？（应用乘法交换律） （2）课件出示：＋×，学生先观察题目，然后指名说说这道题适用哪个运算定律，为什么？（适用乘法分配率，因为×4和×4都能先约分，这样能使数据变小，方便计算）（3）小结：应用乘法交换律、结合律和分配律，可以使一些计算简便，在计算时，要认真观察已知数有什么特点，想想应用什么定律可以使计算简便。 三、课堂检测

分数指数幂公开课教案

《分数指数幂》教学设计 陈炜明(2013/3/5公开课) 一、教学目标： 知识与技能：理解分数指数幂的含义，了解分数指数幂的运算性质，掌握根式与分数指数幂的互化。通过具体实例了解实数指数幂的意义。 过程与方法：回顾整数指数幂的定义过程，学生通过观察，模仿，并进行合作交流，对整数指数幂进行推广，寻求分数指数幂最合理自然的规定方式。 情感、态度与价值观：通过对指数的推广，感受从特殊到一般的思想方法，提高数学的基本运算能力，体会数学的理性精神以及数学的美学意义。 二、教学重点：分数指数幂的意义和运算性质 三、教学难点：分数指数幂的概念 四、教学过程： 【问题情境】 里氏震级是目前国际通用的地震震级标准。它是根据离震中一定距离所观测到的地震波幅度和周期，并且考虑从震源到观测点的地震波衰减，经过一定公式，计算出来的震源处地震的大小。 假设第0级地震所释放的能量为1，且在估算能量的时候，里氏震级每增加1级，释放的能量大约增加31.6227倍，则 （1）第3级地震所释放的能量为多少？ 31.6227 答：3 （2）第x级地震所释放的能量为多少？ y 答：31.6227x （3）上一问中的x会出现为分数的情况吗？ 教师举例

引导学生提出问题：当指数为分数时，应该如何定义？又该如何计算？ （此时教师在黑板上画出函数2,x y x Z =∈的图像辅助说明该问题的提出） 【温故知新】 问题一：m a 表示什么含义（当m 为正整数的时候）？当指数为正整数时候，指数的运 算都有哪些运算性质？ 答：m 个a 相乘。 , ,(,0)(), ()m n m n m m n n m n mn m m m a a a a a m n a a a a a b a b +-==>≠== （此处板书） 在这里,m n 均为正整数。 问题二：若在计算m n a -时，遇到m n =时，有无意义？怎样计算？得出什么结果？ 若m n <呢？ 答：当扩展到整数指数幂时候，若要求维持原来的运算性质，可以得到 01a =(0)a ≠。同理，可以对负分数指数幂进行规定。 小结：负整指数幂的实质是分式（或分数）形式。在将正整数指数幂推广到整数指数幂时，保持了原有的运算性质不变。（对刚刚运算性质的板书修改）。 问题三：为什么对于熟悉的分式还需要用负指数幂来表示呢？

高中数学-指数(分数指数幂)教案

高中数学-指数（分数指数幂）教案 第二课时 提问： 1．习初中时的整数指数幂，运算性质？ 00,1(0),0n a a a a a a a =?????=≠无意义 1(0)n n a a a -=≠ ;()m n m n m n mn a a a a a +?== (),()n m mn n n n a a ab a b == 什么叫实数？ 有理数，无理数统称实数. 2．观察以下式子，并总结出规律：a ＞0 ① 1051025255()a a a a === ② 884242()a a a a === ③ 1212343444()a a a a === ④5105102525 ()a a a a === 小结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式，（分数指数幂形式）. 根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式.如： 2323 (0)a a a ==> 1 2(0)b b b ==> 5544(0)c c c ==> *(0,,1)m n m n a a a n N n =>∈> 为此，我们规定正数的分数指数幂的意义为： *(0,,)m n m n a a a m n N =>∈ 正数的定负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同. 即：*1 (0,,)m n m n a a m n N a -=>∈

规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义. 说明：规定好分数指数幂后，根式与分数指数幂是可以互换的，分数指数幂只是根式的一种新的写法，而不是111(0)n m m m m a a a a a =????> 由于整数指数幂，分数指数幂都有意义，因此，有理数指数幂是有意义的，整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即： （1）(0,,)r s r s a a a a r s Q +?=>∈ （2）()(0,,)r S rs a a a r s Q =>∈ （3）()(0,0,)r r r a b a b Q b r Q ?=>>∈ 若a ＞0，P 是一个无理数，则P 该如何理解？为了解决这个问题，引导学生先阅读课本P 62——P 62. 即：2的不足近似值，从由小于2的方向逼近2，2的过剩近似值从大于2的方向逼近2. 所以，当2不足近似值从小于2的方向逼近时，25的近似值从小于25的方向逼近25. 当2的过剩似值从大于2的方向逼近2时，25的近似值从大于25的方向逼近25，(如课本图所示) 所以，25是一个确定的实数. 一般来说，无理数指数幂(0,)p a a p >是一个无理数是一个确定的实数，有理数指数幂 的性质同样适用于无理数指数幂.无理指数幂的意义，是用有理指数幂的不足近似值和过剩近似值无限地逼近以确定大小. 思考：3 2的含义是什么？ 由以上分析，可知道，有理数指数幂，无理数指数幂有意义，且它们运算性质相同，实数指数幂有意义，也有相同的运算性质，即： (0,,)r s r s a a a a r R s R +?=>∈∈ ()(0,,)r s rs a a a r R s R =>∈∈

分数计算及简便运算(生)

六年级分数的四则运算+简便计算 专题复习 一、分数四则运算的运算法则和运算顺序 运算法则是：1、加减：同分母分数相加减，分母不变，分子相加减： 异分母分数相加减，先通分，再分母不变，分子相加减。 2、乘法：先约分，分子乘分子作为积的分子，分母乘分母作为积的分母 3、除法：除以一个数就等于乘这个数的倒数 运算顺序是：1、如果是同一级运算，一般按从左往右依次进行计算 2、如果既有加减、又有乘除法，先算乘除法、再算加减 3、如果有括号，先算括号里面的 4、如果符合运算定律，可以利用运算定律进行简算。 练习： 1、34 -（15 + 13 ）× 98 2、 107 13151321÷?????????? ??+- 3、??? ??-+614121÷121 4、 9798411÷??? ???- 5、?? ???????? ??-÷109329712 6、 52593145-?- 7、8949581÷+? 8、（52－8 1 ）÷401

二、分数四则运算的简便运算 引言：分数乘法简便运算所涉及的公式定律和整数乘法的简便运算是一样的，基本上有以下三个： ① 乘法交换律：________________________ ② 乘法结合律：________________________ ③ 乘法分配律：________________________ 做题时，我们要善于观察，仔细审题，发现数字与数字之间的关系，根据题意来选择适当的公式或方法，进行简便运算。 分数简便运算常见题型 第一种：连乘——乘法交换律的应用 例题：1）1474135?? 2）56153?? 3）26 6 831413? ? 涉及定律：乘法交换律 b c a c b a ??=?? 基本方法： 第二种：乘法分配律的应用 例题：1）27)27498(?+ 2）4)41101(?+ 3）16)2 1 43(?+ 涉及定律：乘法分配律 bc ac c b a ±=?±)( 基本方法： 第三种：乘法分配律的逆运算 例题：1）213115121?+? 2）61959565?+? 3）75 1754?+? 涉及定律：乘法分配律逆向定律 )(c b a c a b a ±=?±? 基本方法：

分数指数幂的运算

10 分数指数幕的运算 【知识要点】 1、整数指数幕运算性质 2、正数的正分数指数幕的意义 二是根式与分数指数幕可以进行互化 3、对正数的负分数指数幕和 0的分数指数幕作如下规定 1 * —（a 0,m, n N,且 n 1） a^ 的正分数指数幕等于 0. 4、有理指数幕的运算性质 质，对于无理数指数幕都适用 【典型例题】 例1、当a V a m ( a 0, m, n N,且 n 1) 注意：（1） 分数指数幕是根式的另一种表示形式; (3)0 的负分数指数幕无意义 ① V a 10 a 5②牯2站(a 4)3 a 4 12 a^ ③V a 2 3J (a 3)3 a 3④ J a 彳(a 2) 根据以上等式，找出规律，把下列各数化成上述形式 (X 0). (1) (m,n Z)⑵ m a n a (m,n Z) / m \n (a ) (m,n Z) (4)(a b)n (n Z) 根式运算性质 a, n 为奇数 a, n 为偶数 (1) (2)0 (1) r s “ 亠 a (a 0,r,s Q) 注意: (a r )s (a b)r rs a (a 0,r,s Q ) a r b r (a 0,r,s Q) 若a 0, P 是一个无理数，则 a P 表示一个确定的实数，上述有理指数幕的运算性

3.用分数指数幕表示下列各式: （其中各式中的字母均为正数） 例2、求值: 2 83,100 例3、用分数指数幕的形式表示下列各式: 【经典练习】 1.用根式的形式表示下列各式（ 13 3 2 a , a , a , a 2、求下列各式的值: 3 (1) 252 （4） （25） 4 (1) V x 21 ⑵ V x 16 纵3⑷1$x 6 a 2 j a,a 3 打a 2,J a 禹( 式中a 0) 1 4、计算：(0.064) 3 8)0 (2)3 4 3 16 0.75 1 0.012. 例 5、化简：（1）（ J 9）3（茁O 2）' 7100^ ( 2) J 3 2迈 73 2/2 ( 3) a 0) 2 (2) 27 3

分数简便计算题

加法交换律：在从左往右算的顺序，两个数相加，交换加数的位置，和不变。 相关公式： a+b=b+a 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加另一个加数；或者先把后两个数相加，再加另一个加数；和不变。 相关公式： a+b+c=a+(b+c)=(a+c)+b 去括号法则: 1.括号前面有"+"号,把括号和它前面的"+"号去掉,括号里各项的符号不改变 2.括号前面是"-"号,把括号和它前面的"-"号去掉,括号里各项的符号都要改变为相反的符号 47 +29+37 211+513+911+713 314+17?17 78+517+1217 715 +56?615 12?15?14 916?79?29+716 813?16+513?16 910 +19?35?19 16+76?512?712 37+724+47+1124 1221+225+45+37 110 +115+120 45?524?18 512+78+112?316 1312?79?29 1219+（1415+719） 512+（16+712+56） 47+（1724?47） 815+（715?2431） 511+（53?19） 915+（57+25） 45?（1316?516） 516?（516?47） 45 ?（118+35） 724?（724?56） 1213?（1213?23）+13 1721+34?（12?421） 解决问题的策略——倒推、替换 “倒过来推想”是一种应用于特定问题情境下的解题策略。通常情况下，已知某种数量或事物按照明确的方法和步骤发展、变化后的结果，又要追溯它的起始状态，便适合用“倒过来推想”的策略加以解决。 1. 运算倒推法： 小明原来有一些邮票，今年又收集了24 解答思路：将此类问题转化成上面的形式，然后再利用倒推法求解。 原有? 张→又收集24张→送给小军30张→还剩52张 2．运用示意图： 例2：甲乙两杯果汁原来共重400毫升，从甲杯倒入乙杯40毫升，两杯果汁就同样多了，求原来两杯果 汁各有多少毫升？ 解题思路：将复杂的问题利用抽象的图形表示出来，以便达到视觉上的简单、明白，从而快速的理解题意。 解答一： 解答二： 400÷2=200（毫升） 40×2=80（毫升） 400-80=320（毫升） 甲：200＋40=240（毫升） 原乙：320÷2=160（毫升） 乙：200－40=160（毫升） 原甲：160＋80=240（毫升） 例3. 小华去参观动物园，先从大门向北走2格到熊猫馆，再向北走1格到百鸟园，再向东走4格到猴山， 最后向南走2格到蛇馆。问小华回来时的路线应该怎么走？ 甲 乙 ＋20 ÷5 －8 6 两杯果汁共400毫升 甲杯倒入乙杯40毫升 现在两杯果汁同样多 甲 乙

分数指数幂的运算

分数指数幂的运算 1.1.2 一、内容及其解析 内容：。 解析：本节课要学的内容有分数指数幂的概念以及运算，理解它关键就是能够利用次方根概念转化到分数指数幂的形式。学生已经学过了根式概念和运算性质，对于转化到分数指数幂的形式难度不大，本节课的内容分数指数幂就是在此基础上的发展。由于它还与有理数指数幂有必要的联系,所以在本学科有着比较重要的地位，是学习后面知识的基础,是本学科的一般内容内容。教学的重点是利用次方根的性质转化成分数指数幂的形式，在利用有理数指数幂的运算性质化简指数幂的算式，所以解决重点的关键是利用分数有理指数幂的运算性质的运算性质，计算、化简有理数指数幂的算式。 二、目标及其解析 教学目标 ．理解分数指数幂的概念； ．掌握有理指数幂的运算性质； 解析 ．理解分数指数幂的概念就是指通过复习已学过的整数

指数幂的概念和根式的概念，推导出分数指数幂的概念； ．学会有理指数幂的运算性质，能够化简一般有理指数幂的算式。 三、问题诊断分析 在本节课的教学中，学生可能遇到的问题是性质，产生这一问题的原因是：学生对根式化简到分数指数幂的形式熟练程度低，对于整数指数幂的运算性质不够熟练，不能很好的结合从特殊到一般的思想。要解决这一问题，就要在在练习中加深理解。 四、教学过程设计 导入新 同学们，我们在初中学习了整数指数幂及其运算性质，那么整数指数幂是否可以推广呢？答案是肯定的.这就是本节的主讲内容，教师板书本节课题—分数指数幂 新知探究 提出问题 整数指数幂的运算性质是什么？ 观察以下式子，并总结出规律： ①； ②； ③； ④.

利用的规律，你能表示下列式子吗？ 且n>1) 你能用方根的意义来解释的式子吗？你能推广到一般情形吗？ 活动：学生回顾初中学习的整数指数幂及运算性质，仔细观察，特别是每题的开始和最后两步的指数之间的关系，教师引导学生体会方根的意义，用方根的意义加以解释，指点启发学生类比的规律表示，借鉴，我们把具体推广到一般，对写正确的同学及时表扬，其他同学鼓励提示. 讨论结果：形式变了，本质没变，方根的结果和分数指数幂是相通的.综上我们得到正数的正分数指数幂的意义，教师板书： 规定：正数的正分数指数幂的意义是. 提出问题 负整数指数幂的意义是怎么规定的？ 你能得出负分数指数幂的意义吗？ 你认为应该怎样规定零的分数指数幂的意义？ 综合上述，如何规定分数指数幂的意义？ 分数指数幂的意义中，为什么规定，去掉这个规定会产生什么样的后果？ 既然指数的概念从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质是否也适用于有理数指数幂呢？

第3讲 实数的运算及分数指数幂(讲义)解析版

第3讲实数的运算及分数指数幂 模块一：近似数的精确度 .知识精讲 知识点：有关概念 1．准确数概念： 一般来说，完全符合实际地表示一个量多少的数叫做准确数． 2．近似数概念： 与准确数达到一定接近程度的数叫做近似数（或近似值）． ☆在很多情况下，很难取得准确数，或者不必使用准确数，而可使用近似数． ☆取近似数的方法：四舍五入法，进一法，去尾法（根据具体实际情况使用） 3．精确度概念： 近似数与准确数的接近程度即近似程度，对近似程度的要求，叫做精确度． ☆近似数的精确度通常有两种表示方法： （1）精确到哪一个数位； （2）保留几个有效数字． 4．有效数字概念： 对于一个近似数，从左边第一个不是零的数字起，往右到末位数字为止的所有数字，叫做这个近似数的有效数字．

例题解析 例1.一个正数的平方是3，这个数的准确数_________；近似数（精确到千分之一位）是_______；近似数的有效数字有_______位，有效数字是_______． 【难度】★ 1.732；四； 1、7、3、2． ≈，所以有效数字是四位，有效数字是 1、7、3、2． 1.732 【总结】本题主要考查了准确度、近似数和有效数字的概念. 例2.写出下列各数的有效数字，并指出精确到哪一位? 1)2000； 2）4.523亿；3）5 ?；4）0.00125． 7.3310 【难度】★ 【答案】1)有效数字：2、0、0、0，精确到个位； 2）有效数字：4、5、2、3，精确到十万位； 3)有效数字：7、3、3，精确到千位； 4）有效数字：1、2、5，精确到十万分位． 【解析】对于一个近似数，从左边第一个不是零的数字起，往右到末位数字为止的所有数字，叫做这个近似数的有效数字． 【总结】解答此题的关键在于掌握近似数、有效数字与科学记数法的知识点． 例3.用四舍五入法，按括号内的要求对下列数取近似值． （1）0.008435(保留三个有效数字) ≈_________； （2）12.975(精确到百分位) ≈_________； （3）548203(精确到千位) ≈_________；

初中数学3分数指数幂(学生)

分数指数幂 课时目标 1. 理解分数指数幂的意义，会进行方根和分数指数幂间的转化； 2. 理解有理数数指数幂的运算性质，并能熟练应用于计算； 知识精要 1. 分数指数幂 把指数的取值范围扩大到分数，规定： (0)m n a a =≥m n a - =(0)a >，其中m ，n 为正整数，1n >. m n a 和m n a -叫做分数指数幂，a 是底数. 注：当m 与n 互素时，如果n 为奇数，那么分数指数幂中的底数a 可为负数. 2. 有理数指数幂 整数指数幂和分数指数幂统称为有理数指数幂. 3. 有理数指数幂运算性质 设0,0a b >>，,p q 为有理数，那么 （1）()p q pq a a =，p q p q a a a -÷= （2）()p q pq a a = （3）(),()p p p p p p a a ab a a b b == 4. 分数指数幂的运算 （1）应用幂的运算性质进行分数指数幂的运算. （2）将方根化成幂的形式后能运用幂的性质，可使运算简便，所得结果中如有分数指数幂一般应化为方根.

热身练习 1. 把下列方根化为幂的形式 （1 （2） （3 （4） （5 （6 说明：根据1 n a =0a ≥）进行求解，但要记住：当n 是偶数时，若0a <，则没有意义. 2. 计算 （1）131()27- （2）2 3 8()27 （3）121()16- （4）0.57 (1)9 （5）1 2(32) （6）31 21)64( 3. 计算 （1）1 38()27 （2）21331010? （3）11 2 228?

（4）111362a a a ÷g （5）2110 55(25)? 4. 利用幂的运算性质运算： （1 （2 （3 精解名题 例1 计算 （1）43555÷? （2）25 1232)3(32)27(2-+--- （3）6 4 3 321648?÷? （4）12 43a a a a ?? （5）05321 )15(125)25 9(+--- （6）341 41 331 064.028|48|÷?--

分数乘法简便运算

① 引言：分数乘法简便运算所涉及的公式定律和整数乘法的简便运算是一样的，基本上有 以下三个： ② 乘法交换律：a ·b=b ·a ③ 乘法结合律：(a ·b)·c=a ·(b ·c) ④ 乘法分配律：bc ac c b a ±=?±)( 做题时，我们要善于观察，仔细审题，发现数字与数字之间的关系，根据题意来选择适当的公式或方法，进行简便运算。 ? 分数简便运算常见题型 第一种：连乘——乘法交换律的应用 例题：1）1474135?? 2）56153?? 3）266831413?? 涉及定律：乘法交换律 b c a c b a ??=?? 基本方法：将分数相乘的因数互相交换，先行运算。 第二种：乘法分配律的应用 例题：1）27)27498(?+ 2）4)41101(?+ 3）16)2143(?+ 涉及定律：乘法分配律 bc ac c b a ±=?±)( 基本方法：将括号中相加减的两项分别与括号外的分数相乘，符号保持不变。 第三种：乘法分配律的逆运算 例题：1） 213115121?+? 2）61959565?+? 3）75 1754?+? 涉及定律：乘法分配律逆向定律 )(c b a c a b a ±=?±?

基本方法：提取两个乘式中共有的因数，将剩余的因数用加减相连，同时添加括号，先行运算。7 第四种：添加因数“1” 例题：1）759575?- 2）9216792?- 3）232331 17233114+?+? 涉及定律：乘法分配律逆向运算 基本方法：添加因数“1”，将其中一个数n 转化为1×n 的形式，将原式转化为两两之积相加减的形式，再提取公有因数，按乘法分配律逆向定律运算。 第五种：数字化加式或减式 例题：1）16317? 2）19718? 3）3169 67? 涉及定律：乘法分配律逆向运算 基本方法：将一个大数转化为两个小数相加或相减的形式，或将一个普通的数字转化为整式整百或1等与另一个较小的数相加减的形式，再按照乘法分配律逆向运算解题。 注意：将一个数转化成两数相加减的形式要求转化后的式子在运算完成后依然等于原数，其值不发生变化。例如：999可化为1000-1。其结果与原数字保持一致。 第六种：带分数化加式 例题：1）4161725? 2）351213? 3）13 5127? 涉及定律：乘法分配律 基本方法：将带分数转化为整数部分和分数部分相加的形式，再按照乘法分配律计算。 第七种：乘法交换律与乘法分配律相结合 例题：1）247174249175?+? 2）1981361961311?+? 3）1381137138137139?+? 涉及定律：乘法交换律、乘法分配律逆向运算 基本方法：将各项的分子与分子（或分母与分母）互换，通过变换得出公有因数，按照