2019-2020年高中数学第2章概率1离散型随机变量及其分布列课后演练提升北师大版选修

2019-2020年高中数学第2章概率1离散型随机变量及其分布列课后

演练提升北师大版选修

一、选择题

1．下列变量中，不是随机变量的是( ) A ．中超足球赛某场比赛的进球数 B ．标准状态下，水在100 ℃时会沸腾 C ．某日上证收盘指数

D ．某地110在一天内接到的报警电话数

解析： 由物理知识可知，在标准状况下，水在100 ℃时会沸腾，这是必然事件，不是随机变量．

答案： B

2．设随机变量X 等可能取值1,2，…，n ，如果P (X <4)＝0.3，那么( ) A ．n ＝3 B ．n ＝4 C ．n ＝10

D ．n 不能确定

解析： ∵随机变量X 等可能取值，∴p 1＋p 2＋…＋p n ＝np i ＝1. ∴P (X ＝1)＝P (X ＝2)＝P (X ＝3)＝1n ＝1

3P (X <4)＝0.1，

∴n ＝10. 答案： C

3．若随机变量X 的分布列如下，则m 的值是( )

A ． 13

B ． 2

C ． 16

D ． 14

解析： 由分布列性质得 13＋ 16＋m ＝1，∴m ＝ 1

2.

答案： B

4．①某机场候机室中一天的游客数量为X ； ②某寻呼台一天内收到的寻呼次数为X ； ③某水文站观察到一天中长江的水位为X ； ④某立交桥一天经过的车辆数为X .

其中不是离散型随机变量的是( ) A ．①中的X B ．②中的X C ．③中的X D ．④中的X

解析：

答案： C 二、填空题

5．下列变量中是离散型随机变量的是____________. ①某无线寻呼台1 min 内接到的寻呼次数X ； ②连续不断射击，首次命中目标需要的射击次数X ； ③将一个骰子掷3次，3次出现的点数之和X ；

④某工厂加工的某种钢管，外径与规定的外径尺寸之差X .

解析： 判断一个变量是否是离散型随机变量，主要看变量的某些值的出现是不是确定的，并且变量的取值能否按一定顺序列举出来．④中X 取值为某一范围实数，无法列出，为连续型随机变量．

答案： ①②③

6．袋中有4只红球和3只黑球，从中任取4只球，取到一只红球得1分，取到一只黑球得3分，设得分为随机变量X ，则P (X ≤6)＝______________.

解析： 可能的情形为：4红，3红1黑，2红2黑，1红3黑，对应的得分依次是4分，6分，8分，10分．

P (X ≤6)＝P (X ＝4)＋P (X ＝6)＝C 4

4C 47＋C 34C 1

3C 47＝135＋1235＝1335.

答案：

1335

三、解答题

7．指出下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由． (1)某人射击一次命中的环数；

(2)任意掷一枚均匀硬币5次，出现正面向上的次数； (3)投一颗质地均匀的骰子出现的点数(最上面的数字)；

(4)某个人的属相；

(5)在标准大气压下，水的结冰温度．

解析： (1)某人射击一次，可能命中的环数是0环，1环，…，10环结果中的一个，而且出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．

(2)任意掷一枚硬币1次，可能出现正面向上也可能出现反面向上，因此投掷5次硬币，出现正面向上的次数可能是0,1,2,3,4,5，而且出现哪种结果是随机的，是随机变量．

(3)投一颗骰子出现的结果是1点，2点，3点，4点，5点，6点中的一个且出现哪个结果是随机的，因此是随机变量．

(4)属相是出生时便定的，不随年龄的变化而变化，不是随机变量． (5)标准大气压下，水的结冰温度是0 ℃，不是随机变量．

8．写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果． (1)一个袋中装有2个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为X ； (2)一个袋中装有5个同样大小的球，编号为1,2,3,4,5，现从该袋内随机取出3个球，被取出的球的最大号码数为X .

解析： (1)X 可能的取值为0,1,2.

X ＝0表示取出的3个球中有0个白球，3个黑球． X ＝1表示取出的3个球中有1个白球，2个黑球． X ＝2表示取出的3个球中有2个白球，1个黑球．

(2)X 可取3,4,5.

X ＝3表示取出的3个球的编号为1,2,3.

X ＝4表示取出的3个球的编号为1,2,4或1,3,4或2,3,4.

X ＝5表示取出的3个球的编号为1,2,5或1,3,5或2,3,5或1,4,5或2,4,5或3,4,5.

尖子生题库

☆☆☆

9．袋中有4个黑球，3个白球，2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球得0分，每取到一个白球得1分，每取到一个红球则得2分，用ξ表示得分数，求ξ的概率分布．

解析： 由题意知，ξ的可能取值是0,1,2,3,4，则 P (ξ＝0)＝C 2

4C 29＝4×39×8＝16.

P (ξ＝1)＝C 1

4·C 1

3C 29＝1

3

.

P (ξ＝2)＝C 1

4·C 1

2＋C 2

3C 2

9＝4×2＋39×82

＝11

36

.

P (ξ＝3)＝C 13·C 1

2C 29＝3×29×82＝1

6

.

P (ξ＝4)＝C 2

2C 29＝1

36.

故ξ的概率分布列为

P (ξ＝0)＝16，P (ξ＝1)＝13

， P (ξ＝2)＝1136

，P (ξ＝3)＝16

， P (ξ＝4)＝136，

故ξ的分布列为

2019-2020年高中数学第2章概率2超几何分布课后演练提升北师大

版选修

一、选择题

1．袋中有大小相同的5个白球和3个黑球，从其中任取2个球，则取得的2球颜色不同的概率约为( )

A ．0.357

B ．0.536

C ．0.464

D ．0.250

解析： P ＝C 15C 1

3C 28＝15

28≈0.536.

答案： B

2．50个乒乓球中，合格品45个，次品5个，从这50个乒乓球中任取3个，出现次品的概率为( )

A ．C 3

5

C 350 B ．C 15＋C 25＋C 3

5C 3

50 C ．1－C 345

C 350

D ．C 15C 2

45＋C 25C 1

45C 3

50

解析： 可以直接考虑次品1个、2个、3个，也可以用对立事件没有出现次品C 3

45

C 350

，∴

出现次品的概率：1－C 3

45

C 350

.

答案： C

3．从4个女同学和5个男同学中，任选3人，选到2个女同学和1个男同学的概率p 为( )

A ． 114

B ． 514

C ． 584

D ． 1184

解析： p ＝ C 24C 1

5C 39＝ 5

14.

答案： B

4．袋中有5个黑球和3个白球，从中任取2个球，则其中至少有1个黑球的概率是( ) A ．C 15C 1

3

C 28

B ．

C 15C 13＋C 25C 0

3C 2

8 C ．C 16C 18－1C 28

D ．5×78×7

解析： 记黑球个数为X ，P (X ≥1)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝C 15C 1

3C 28＋C 25C 0

3C 28＝C 15C 1

3＋C 25C 0

3

C 2

8. 答案： B 二、填空题

5．一次口试中，学生要从10道题中随机抽出3道题回答，答对其中两道题就获得及格，某学生会答10道题中的8道题，那么这位学生口试及格的概率是____________.

解析： 从超几何分布来看，及格的概率P ＝C 28C 1

2＋C 3

8C 3

10＝14

15. 答案：

14

15

6．某小组有男生6人，女生4人，现要选3个人当班干部，则当选的3人中至少有1个女生的概率为______________.

解析： P ＝C 14C 2

6＋C 24C 1

6＋C 3

4C 3

10＝5

6. 答案： 5

6

三、解答题

7．袋中有7个球，其中3个黑球、4个红球，从袋中任取3个球，求取出的红球数X

的分布列．并求至少有一个红球的概率．

解析： X ＝0,1,2,3，X ＝0表示取出的三个球全是黑球， P (X ＝0)＝C 3

3C 37＝1

35

.

同理P (X ＝1)＝C 14C 2

3C 37＝1235，P (X ＝2)＝C 24C 1

3C 37＝18

35，

P (X ＝3)＝C 3

4C 37＝4

35.

∴X 的分布列为：

至少有一个红球的概率为P (X ≥1)＝1－35＝35

.

8．设有10件产品中，有3件次品，7件正品，现从中抽取5件，求抽得次品件数X 的分布列．

解析： X 的可能取值为0,1,2,3. {X ＝0}表示取出的5件产品全是正品． P (X ＝0)＝C 03C 5

7C 510＝21252＝1

12

；

{X ＝1}表示取出的5件产品中有1件次品，4件正品． P (X ＝1)＝C 13C 47C 510＝105252＝5

12

；

{X ＝2}表示取出的5件产品中有2件次品，3件正品． P (X ＝2)＝C 23C 37C 510＝105252＝5

12

；

{X ＝3}表示取出的5件产品中有3件次品，2件正品． P (X ＝3)＝C 33C 27C 510＝21252＝1

12.

∴X 的分布列为：

尖子生题库

☆☆☆

9．袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上

最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X 表示取出的3个小球上的最大数字，求：

(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率； (2)随机变量X 的分布列；

(3)计算介于20分到40分之间的概率．

解析： (1)方法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A ， 则P (A )＝C 35C 12C 12C 1

2C 310＝2

3

.

方法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A “一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为B ，则事件A 和事件B 是对立事件，

因为P (B )＝C 15C 22C 18C 310＝1

3，

所以P (A )＝1－P (B )＝1－13＝2

3

.

(2)由题意，X 所有可能的取值为2,3,4,5. P (X ＝2)＝C 22C 1

2＋C 12C 2

2C 3

10＝1

30； P (X ＝3)＝C 24C 1

2＋C 14C 2

2C 3

10＝2

15； P (X ＝4)＝C 26C 1

2＋C 16C 2

2C 3

10＝3

10； P (X ＝5)＝C 28C 1

2＋C 18C 2

2C 3

10＝8

15. 所以随机变量X 的概率分布列为

(3)“一次取球得分介于20分到40分之间”的事件记为C ， 则P (C )＝P (X ＝3或X ＝4)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4) ＝215＋310＝1330.