四、随机变量的数字特征(答案)
概率论与数理统计练习题
系 专业 班 学号
第四章 随机变量的数字特征（一）
一、选择题：
1．设随机变量X ，且()E X 存在，则()E X 是 [ B ] （A ）X 的函数 （B ）确定常数 （C ）随机变量 （D ）x 的函数
2．设X 的概率密度为910()9
00
x
e
x f x x -?≥?=??
，则1
()9
E X -
= [ C ] （A ）919x x e dx +∞-∞?? （B ）91
9x
x e dx +∞-∞
-?? （C ）1- （D ）1
3．设ξ是随机变量，()E ξ存在，若2
3
ξη-=，则()E η= [ D ]
（A ）()E ξ （B ）()3E ξ （C ）()2E ξ- （D ）()2
33
E ξ- 二、填空题：
1．设随机变量X 的可能取值为0，1，2，相应的概率分布为0.6 , 0.3 , .01，则()E X = 0.5
2．设X
为正态分布的随机变量，概率密度为2
(1)
8()x f x +-=，则2(21)E X -= 9
3．设随机变量X 的概率分布
，则2(3)E X X += 116/15
4．设随机变量X 的密度函数为||
1()()2
x f x e x -=
-∞<<+∞，则()E X = 0 三、计算题：
1．袋中有5个乒乓球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3个，以X 表示取出的3个球中最大编号，求()E X
解：X 的可能取值为3，4，5
3511(3)10P X C ===， 23353(4)10C P X C === 2
4356
(5)10
C P X C ===
133
()345 4.510105
E X =?
+?+?=
2．设随机变量X 的密度函数为2(1)01
()0
x x f x -≤≤?=?
?其它，求()E X
解：1
1
()2(1)3
E X x x dx =?-=
?
3．设随机变量2
~(,)X N μσ，求(||)E X μ- 解：
222
()22
|||
x y x x dx y y e
dy μσ
μ
μσ
---
∞
∞
-
-∞
-∞
--=
?
令
2
2
y ye
dy ∞
-
=
=
4．设随机变量X 的密度函数为0
()0
x
e x
f x x -?≥=?
Y e -= （2）2max{,2}Y X = （3）3min{,2}Y X =
解：（1）201
3
x x E Y e e dx +∞
--=?=
?
() （2）2
20
2
()2x
x E Y e dx xe dx +∞--=
+?
?
2
222232e
e e ---=-+=+
（3）2
30
2
()2x x E Y xe dx e dx +∞--=
+?
?
2
221321e e e ---=-+=-
概率论与数理统计练习题
系 专业 班 学号
第四章 随机变量的数字特征（二）
一、选择题：
1．已知()1,()3E X D X =-=，则2
[3(2)]E X -= [ B ]
（A ）9 （B ）6 （C ）30 （D ）36
2．设~(,)X B n p ，则有 [ D ] （A ）(21)2E X np -= （B ）(21)4(1)1D X np p -=-+ （C ）(21)41E X np +=+ （D ）(21)4(1)D X np p -=-
3．设ξ服从参数为λ的泊松分布，23ηξ=-，则 [ D ] （A ）()23()23E D ηληλ=-=- （B ）()2()2E D ηλ
ηλ==
（C ）()23()43E D ηληλ=-=- （D ）()23()4E D ηληλ=-= 二、填空题：
1．设随机变量X 的可能取值为0，1，2，相应的概率分布为0.6 , 0.3 , .01，则 ()D X = 0.45 2．设随机变量X 的密度函数为||
1()()2
x f x e x -=
-∞<<+∞，则()D X = 2 3．随机变量X 服从区间[0，2]上的均匀分布，则
2
()
[()]D X E X = 1/3
4．设正态分布Y 2
(3)y
--，则()D X = 1/2
三、计算题：
1．设随机变量X 的可能取值为1，2，3，相应的概率分布为0.3 , 0.5 , .02，求：21Y X =-的期望与方差；
解：()10.320.530.2 1.9E X =?+?+?=
222()()()10.340.590.2(1.9)0.49D X E X EX =-=?+?+?-=
()2()1 2.8E Y E X =-= ()4() 1.96D Y D X ==
2．设随机变量~(0,1)X N ，试求||E x 、||D X 、3
()E X 与4
()E X
解：
22
||||x E X x dx -
+∞
-∞
=
?
22
2x dx -
+∞
=?
= 2
20
|x -+∞
==
222||(||)(||)()D X E X E x E X =-=-
2222
()x E X dx -
+∞
-∞
=
?
22
x -
+∞
-∞
=-
?
222
2
]x x xe
e
dx --
+∞+∞-∞
-∞
=-? = 1
所以 2
||1D X =-
π
233
2
()x E X dx ∞
-=
?
= 0
24
4
2
()x E X dx ∞
-
=
?
23
2
x ∞
-
=-
?
22
2
3x dx ∞
-
=?
= 3
3．设随机变量X 的分布密度为02()240ax
x f x bx c x <
=+≤
其它，已知3()2,(13)4E X P X =<<=，求：
（1）常数A ，B ，C 的值； （2）方差()D X ； （3）随机变量X
Y e =的期望与方差。 解：（1）2
4
2
2()()E X x axdx x bx c dx ==
?++?
?
323424022|||332
a b c x x x =
++8
56633a b c =++
得
856
6233
a b c ++= 3(13)4P X <<=
得 353
224
a b c ++= ()1f x dx +∞-∞
=?
得 2621a b c ++=
所以 解得11
,, 1.44
a b c =
=-=
2
42
2
20
211(2)()(2)()(2)(1)(2)44
D X x f x dx x x dx x x dx +∞
-∞
=
-=
-+--?
?
?
2
3
=
2
4220
2111
(3)()()(1)(1)444
x
x x E Y e f x dx xe dx x e dx e +∞
-∞
=
=
+-=-?
?
?
222222
1()()(())()[(1)]4
x D Y E Y E Y e f x dx e +∞
-∞
=-=
--? 222242
220211111142424244
()|[
()][()]x x x x e x e e e =-+---- 4222211
11164
()[()]e e =
--- 22
21(1)4
e e =
-
概率论与数理统计练习题
系 专业 班 学号
第四章 随机变量的数字特征（三）
一、选择题：
1．对任意两个随机变量X 和Y ，若EY EX XY E ?=)(，则 [ B ] （A ）()()()D XY D X D Y = （B ）()()()D X Y D X D Y +=+ （C ）X 与Y 相互独立 （D ）X 与Y 不相互独立
2．由()()()D X Y D X D Y +=+即可断定 [ A ] （A ）X 与Y 不相关 （B ）(,)()()X Y F x y F x F y =? （C ）X 与Y 相互独立 （D ）相关系数1XY ρ=- 二、填空题：
1．设维随机变量(,)X Y 服从(0,0,1,1,0)N ，则(32)D X Y -= 13 2．设X 与Y 独立，且6)(=X D ，3)(=Y D ，则(2)D X Y -= 27 三、计算题：
1． 已知二维随机变量),(Y X 的分布律如表： 试验证X 与Y 不相关，但X 与Y 不独立。 解：X 的分布律为:
X 1- 0 1 P 0.375 0.25 0.375 Y 的分布律为:
X 1- 0 1 P 0.375 0.25 0.375
103750025103750E X =-?+?+?=()()...
103750025103750E Y =-?+?+?=()()...
110125100125110125E XY =--?+-??+-??()()().().(). 01101250110125++?-?++??().. = 0
0xy E XY E X E Y ρ=-=()()() 所以X 与Y 不相关。
110125P X Y =-=-=(,).≠1103750375P X P Y =-=-=?()().. 所以X 与Y 不相互独立。
2．设()25,()36,0.4XY D X D Y ρ===，求：(),()D X Y D X Y +- 解：(,)xy Cov X Y ρ=0.45612=??=
()()2(,)()85D X Y D X Cov X Y D Y +=++=， ()()2(,)()37D X Y D X Cov X Y D Y -=-+=
3．设~(0,4),~(0,4)X N Y U ，且X ，Y 相互独立，求：(),(),(23)E XY D X Y D X Y +-
解：()0,()4E X D X ==， 40
()22
E Y +==，244()123D Y ==，0xy ρ= 0)(=XY E ,
416
()()()433
D X Y D X D Y +=+=+
=, (23)4()9()161228D X Y D X D Y -=+=+=
4．设X ，Y 相互独立，其密度函数分别为21
()0X x x f x ≤≤?=??0其它，(5)5
()0
5
y Y e y f y y --?>=?
≤?，求()E XY
解：31
10022
()2|33
x E X x xdx =?=
=? (5)555
()(1)|6y y E Y y e dy e e y +∞
---+∞
=
?=-+=?
2
()()()643
E XY E X E Y ==
?= 5．（1）设随机变量2
3041605(),()(),(),(),.XY W aX Y E X E Y D X D Y =+====ρ=-。
求常数a 使()E W 为最小，并求()E W 的最小值。
（2）设随机变量(,)X Y 服从二维正态分布，且有22(),()X
Y
D X D Y =σ=σ，证明当2
22
X Y
a σ
=σ时，随机变量W X aY =-与V X aY =+相互独立。 解：（1）222
69W a X aXY Y =++
2
2
2
2
2
2
6969()[]()()()E W E a X aXY Y a E X aE XY E Y =++=++ 2
2
2
69[()(())]()[()(())]a D X E X aE XY D Y E Y =++++ 2
424144a a =-+
2
2
46364327()[()]a a a =-+=-+