量子力学作业答案
第一章 量子理论基础
1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即
m λ T=b （常量）；
并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式
dv e c
hv d kT
hv v v 1
1
833
-?
=πρ， （1）
以及 c v =λ， （2）
λρρd dv v v -=， （3）
有
,1
18)()
(5-?=?=??
? ??-=-=kT
hc v v e
hc c
d c d d dv λλλ
πλλρλλλρλρ
ρ
这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：
011511
86
'
=????
?
??
-?+--?=
-kT hc kT
hc
e kT hc e
hc
λλλλλ
πρ ? 0115=-?+
--
kT
hc e
kT
hc
λλ
? kT
hc
e
kT
hc
λλ=
--
)1(5
如果令x=
kT
hc
λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5
这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=，经过验证，此解正是所要求的，这样则有
xk
hc T m =
λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知
K m T m ??=-3109.2λ
1．4 利用玻尔——索末菲的量子化条件，求：
（1）一维谐振子的能量；
（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。
已知外磁场H=10T ，玻尔磁子124109--??=T J M B ，试计算运能的量子化间隔△E ，并与T=4K 及T=100K 的热运动能量相比较。
解 玻尔——索末菲的量子化条件为
?=nh pdq
其中q 是微观粒子的一个广义坐标，p 是与之相对应的广义动量，回路积分是沿运动轨道积一圈，n 是正整数。
（1）设一维谐振子的劲度常数为k ，谐振子质量为μ，于是有
2
22
12kx p E +=μ
这样，便有
)2
1(22kx E p -
±=μ 这里的正负号分别表示谐振子沿着正方向运动和沿着负方向运动，一正一负正好表示一个来回，运动了一圈。此外，根据
221
kx E =
可解出 k
E
x 2±
=± 这表示谐振子的正负方向的最大位移。这样，根据玻尔——索末菲的量子化条件，有
??
-+
+
-
=--+-x x x x nh dx kx E dx kx E )2
1
(2)()21(222μμ
?
nh dx kx E dx kx E x x x x =-+-??
+-
-
+
)2
1
(2)21(222μμ
?
h
n dx kx E x x 2)21(22=-?
+
-
μ
为了积分上述方程的左边，作以下变量代换；
θsin 2k
E
x =
这样，便有
h n k E d E 2sin 2cos 222
2
=???
? ???-
θθμπ
π
?
?
-
=?
2
2
2
cos 2cos 2π
π
θθθμh n
d k E E
?
h n
d k
E 2
cos 222
2=
?
?=
π
πθθμ
这时，令上式左边的积分为A ，此外再构造一个积分
?-?
=22
2sin 2π
πθθμ
d k
E B
这样，便有
??--?
=-?=?
=+22
22
2cos 2,
22π
ππ
πθ
θμμπθμd k
E B A k
E d k
E B A （1）
??--==22
22
,
cos )
2(2cos π
ππ
π???θθμd k
E
d k
E
这里? =2θ，这样，就有
0sin ==-?-π
π
?μ
d k
E
B A （2）
根据式（1）和（2），便有
k
E A μ
π
=
这样，便有
h n k
E 2
=
μ
π
? k
h n E μπ2=
,
k nh
μ
=
其中π
2h
h =
最后，对此解作一点讨论。首先，注意到谐振子的能量被量子化了；其次，这量子化的能量是等间隔分布的。
（2）当电子在均匀磁场中作圆周运动时，有
B q R
υυμ
=2
? qBR p ==μυ 这时，玻尔——索末菲的量子化条件就为
?
=π
θ20
)(nh R qBRd
? nh qBR =?π22 ? nh qBR =2
又因为动能耐μ
22
p E =，所以，有
μ
μ22)(2
222R B q qBR E ==
,22B nBN q nB qBn =?==
μμ
其中，μ
2
q M B =
是玻尔磁子，这样，发现量子化的能量也是等间隔的，而且 B BM E =?
具体到本题，有
J J E 232410910910--?=??=?
根据动能与温度的关系式
kT E 2
3=
以及
J eV K k 223106.1101--?==?
可知，当温度T=4K 时，
J J E 2222106.9106.145.1--?=???=
当温度T=100K 时，
J J E 2022104.2106.11005.1--?=???=
显然，两种情况下的热运动所对应的能量要大于前面的量子化的能量的间隔。
由下列定态波函数计算几率流密度：
ikr ikr e r e r -==1
)2( 1)1(21ψψ
从所得结果说明1ψ表示向外传播的球面波，2ψ表示向内(即向原点) 传播的球面波。
解：分量只有和r J J 21
在球坐标中 ?
θθ?θ??
+??+??=?sin r 1e r 1e r r 0
r mr
k r mr k r r ik r r r ik r r m i r e r
r e r e r r e r m i m
i J ikr ikr ikr ikr
30
20
220
1*
1*111 )]11(1)11(1[2 )]1(1)1(1[2 )
(2 )1(==+----=??-??=?-?=--ψψψψ r J 1
与同向。表示向外传播的球面波。
r
mr
k r mr k r )]r 1ik r 1(r 1)r 1ik r 1(r 1[m 2i r )]e r 1(r e r 1)e r 1(r e r 1[m 2i )
(m
2i J )2(3020
220
ik r ik r ik r ik r *
2*222
-=-=---+-=??-??=?-?=--ψψψψ
可见，r J
与2反向。表示向内(即向原点) 传播的球面波。
补充：设ikx e x =)(ψ，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？
∞==??
∞∞
dx dx ψψ*
∴波函数不能按1)
(2
=?
∞
dx x ψ方式归一化。
其相对位置几率分布函数为 12
==ψ
ω表示粒子在空间各处出现的几率相同。
一粒子在一维势场
??
?
??>∞≤≤<∞=a x a x x x U ，，
，0 00)( 中运动，求粒子的能级和对应的波函数。
解：t x U 与)(无关，是定态问题。其定态S —方程
)()()()(22
2
2x E x x U x dx
d m ψψψ=+- 在各区域的具体形式为
Ⅰ： )()()()(2 011122
2x E x x U x dx d m x ψψψ=+-
< ① Ⅱ： )()(2 0 222
2
2x E x dx d m a x ψψ=-≤≤ ② Ⅲ： )()()()(2 3332
2
2x E x x U x dx d m a x ψψψ=+-
> ③
由于(1)、(3)方程中，由于∞=)(x U ，要等式成立，必须
0)(1=x ψ 0)(2=x ψ 即粒子不能运动到势阱以外的地方去。
方程(2)可变为
0)(2)(22222=+x mE
dx x d ψψ
令222
mE
k =
，得 0)()(22
2
22=+x k dx
x d ψψ 其解为 kx B kx A x cos sin )(2+=ψ ④ 根据波函数的标准条件确定系数A ，B ，由连续性条件，得 )0()0(12ψψ=⑤
)()(32a a ψψ=⑥
⑤ 0=?B ⑥ 0sin =?ka A
)
,3 ,2 ,1( 0
sin 0 ==?=∴≠n n ka ka A π
∴x a
n A x π
ψsin )(2= 由归一化条件 1)(2
=?
∞
dx x ψ
得 1sin 0
2
2
=?
a
xdx a
n A
π
由
mn a
b
a
xdx a n x a m δππ?
=*2
sin sin
x a
n a x a
A πψsin 2)(22=
∴=
?
222
mE k =
),3,2,1( 222
2
2 ==
?n n ma
E n π可见E 是量子化的。
对应于n E 的归一化的定态波函数为
??
?
??><≤≤=-a x a x a x xe a
n a t x t
E i
n n , ,0 0 ,sin 2),( πψ . 证明（）式中的归一化常数是a
A 1=
'
证：
??
?
?
?
≥<+'=a x a x a x a n A n ,0 ),(sin πψ （）
由归一化，得
a
A a x a n n a A a A dx a x a
n A x A dx a x a
n A dx a x a
n A dx a
a a
a
a
a a a a
a
n 222
2
222
22
)
(sin 2)(cos
2
2)](cos 1[21)(sin 1'=+?'-'=+'-
'=+-'=+'==-----∞
?
?
??π
ππ
ππ
ψ
∴归一化常数a
A 1=
' #
求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。
解：2
22
1
22)(x
xe x ααπ
α
ψ-?=
2
22
223
222
112 24)()(x
x
e x e x x x α
α
π
α
π
α
αψω--?=
??
==
22]22[2 )(323
1x e x x dx x d ααπ
αω--=
令
0 )
(1=dx
x d ω，得 ±∞=±==x x x 1
0α
由)(1x ω的表达式可知，±∞==x x 0，时，
0)(1=x ω。显然不是最大几率的位置。 222
2)]251[(4)]22(2)62[(2 )( 44223
322223212x
x e x x e
x x x x dx x d ααααπ
α
αααπ
αω----=---=而 0142 )(32
12
12<-=±
=e dx x d x παω 可见μω
α
±
=±
=1
x 是所求几率最大的位置。 #
.氢原子处在基态0/3
1
),,(a r e a r -=π?θψ，求：
(1)r 的平均值；
(2)势能r
e 2
-的平均值；
(3)最可几半径； (4)动能的平均值；
(5)动量的几率分布函数。
解：(1)?θθπτ?θψππd rd d r re a d r r r a r sin 1
),,(0
220
/23
2
0???
?∞
-==
?
∞
-=
/2330
04dr a r a a r
?
∞
+-=
1
!n ax n a
n dx e x
04
03023
2!34a a a =???
?
??=
22
03020
/23
20
20
/23
2
20
2/23
2
2214 4 sin sin 1)()2(000a e a a e dr
r e a e d drd r e a e d drd r e r
a e r e U a r a r a r -=???
? ??-=-=-=-=-=?
???
???
∞
-∞
-∞
-ππππ?
θθπ?θθπ
(3)电子出现在r+dr 球壳内出现的几率为 ?
?
=ππ
?θθ?θψω0
20
22 sin )],,([)(d drd r r dr r dr r e a a r 2
/230
04-=
2
/230
04)(r e a r a r -=
ω 0/2030
)2
2(4)(a r re r a a dr r d --=ω 令
0321 , ,0 0)
(a r r r dr
r d =∞==?=，ω 当0)( ,0 21=∞==r r r ω时，为几率最小位置
/222
03022)482(4)(a r e r a r a a dr r d -+-=ω
08)
(2
30
2
20
<-
=-=e a dr r d a r ω ∴ 0a r =是最可几半径。
(4)2222?21??-==μ
μ p T ???∞--?-=ππ?θθπμ02002
/2/30
2 sin )(1200d drd r e e a T a r a r ????????+????+????=?22222
sin 1)(sin sin 1)(1?θθθθθr r r r
???∞---=ππ?θθπμ02002/22/302 sin )]([11200d drd r e dr d r dr
d r
e a a r a r ?
∞
----=0
/0
203
2 )2(1
(240
dr e a r r a a a r μ
2
2
20204022)442(24a a a a μμ =-= (5) τ?θψψd r r p c p
),,()()(*
?= ???
-∞
-=
π
π
θ?θθππ20
cos 0
2
/30
2
/3 sin 1
)2(1
)(0
d d e
dr r e
a p c pr i
a r
??
-=
-∞
-π
θθπππ0
cos 0
/2
30
2
/3)cos ( )
2(20
d e
dr e
r a
pr i
a r
?
∞
--=
cos /230
2
/30)
2(2πθπππpr i
a r e ipr
dr
e r a
?∞---=
/30
2
/3)()2(20dr e e re ip a pr i
pr
i
a r πππ ?
∞
+-=
1
!n ax n a
n dx e x ])1(1)1(1[)2(2202030
2
/3p i a p i a ip a
+--=
πππ 2
2
22
003
30)1(421
p a a ip
ip a +=
π 2
22
2044003
3
)
(24
+=
p a a a a π
2
22202/30)
()2(
+=
p a a π
动量几率分布函数
4
22025
302
)
(8)()(
+==p a a p c p πω
一刚性转子转动惯量为I ，它的能量的经典表示式是I
L H 22
=，L 为角动量，
求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数： (1) 转子绕一固定轴转动： (2) 转子绕一固定点转动：
解：(1)设该固定轴沿Z 轴方向，则有 22Z L L =
哈米顿算符 22
222?21??
d d I L I H Z -== 其本征方程为 (t H
与?无关，属定态问题)
)(2)( )()(22
22
222?φ??φ?φ?φ?
IE d d E d d I -==-
令 2
22 IE
m =
，则 0)()( 2
2
2=+?φ?
?φm d d 取其解为 ??φim Ae =)( (m 可正可负可为零) 由波函数的单值性，应有
?π??φπ?φim im e e =?=++)2()()2( 即 12=πm i e ∴m= 0，±1，±2，…
转子的定态能量为I
m E m 22
2 = (m= 0，±1，±2，…)
可见能量只能取一系列分立值，构成分立谱。 定态波函数为 ?φim m Ae = A 为归一化常数，由归一化条件
π
π
??φφπ
π
21
21 220
220
*
=
?===??A A d A d m m
∴ 转子的归一化波函数为 ?
π
φim m e 21=
综上所述，除m=0外，能级是二重简并的。
(2)取固定点为坐标原点，则转子的哈米顿算符为
2?21?L I H
= t H
与?无关，属定态问题，其本征方程为
),(),(?212
?θ?θEY Y L I
= (式中),(?θY 设为H
?的本征函数，E 为其本征值) ),(2),(?2?θ?θIEY Y L
= 令 22 λ=IE ，则有
),(),(?22?θλ?θY Y L
= 此即为角动量2?L
的本征方程，其本征值为 ) ,2 ,1 ,0( )1(222 =+==λL 其波函数为球谐函数?θ?θim m
m m e P N Y )(cos ),( = ∴ 转子的定态能量为
2)1(2
I
E +=
可见，能量是分立的，且是)12(+ 重简并的。 .设氢原子处于状态 ),()(2
3),()(21),,(11211021?θ?θ?θψ--=
Y r R Y r R r 求氢原子能量、角动量平方及角动量Z 分量的可能值，这些可能值出现的几率
和这些力学量的平均值。
解：在此能量中，氢原子能量有确定值
2
2
2
22
282 s s e n e E μμ-
=-
= )2(=n
角动量平方有确定值为
2222)1( =+=L )1(= 角动量Z 分量的可能值为 01=Z L -=2Z L 其相应的几率分别为 41， 4
3
其平均值为 4
343041-=?-?=
Z L
一粒子在硬壁球形空腔中运动，势能为
???<≥∞=a r a r r U ,0;
,)(
求粒子的能级和定态函数。
解：据题意，在a r ≥的区域，∞=)(r U ，所以粒子不可能运动到这一区域，即在这区域粒子的波函数
0=ψ (a r ≥)
由于在a r <的区域内，0)(=r U 。只求角动量为零的情况，即0= ，这时在各个方向发现粒子的几率是相同的。即粒子的几率分布与角度?θ、无关，是各向同性的，因此，粒子的波函数只与r 有关，而与?θ、无关。设为)(r ψ，则粒子的能量的本征方程为
ψψ
μE dr
d r dr d r =-
)(1222 令 222 ,)(
E
k rE r U μψ=
=，得 022
2=+u k dr
u
d
其通解为
kr
r
B
kr r A r kr
B kr A r u sin cos )(sin cos )( +=-∴+=ψ 波函数的有限性条件知， =)0(ψ有限，则 A = 0 ∴ kr r
B
r sin )(=
ψ 由波函数的连续性条件，有
0sin 0)(=?=ka a
B
a ψ
∵0≠B ∴),2,1( ==n n ka π
a
n k π=
∴ 2
2222a n E n μπ
= r a
n r B r πψsin )(=
其中B 为归一化，由归一化条件得
2
220
22
2sin 4 sin )(1aB rdr a
n B dr
r r d d a
a
πππθψ?θπ
π
=?====?
???
∴ a
B 21π=
∴ 归一化的波函数
r
r
a n a
r ππψsin
21)(=
第1章 量子力学基础-习题与答案
一、是非题 1. “波函数平方有物理意义， 但波函数本身是没有物理意义的”。对否 解：不对 2. 有人认为，中子是相距为10-13 cm 的质子和电子依靠库仑力结合而成的。试用测不准关系判断该模型是否合理。 解：库仑吸引势能大大地小于电子的动能, 这意味着仅靠库仑力是无法将电子与质子结合成为中子的，这个模型是不正确的。 二、选择题 1. 一组正交、归一的波函数123,,,ψψψ。正交性的数学表达式为 a ，归一性的 表达式为 b 。 () 0,() 1i i i i a d i j b ψψτψψ** =≠=?? 2. 列哪些算符是线性算符------------------------------------------------------ (A, B, C, E ) (A) dx d (B) ?2 (C) 用常数乘 (D) (E) 积分 3. 下列算符哪些可以对易-------------------------------------------- (A, B, D ) (A) x ? 和 y ? (B) x ?? 和y ?? (C) ?x p 和x ? (D) ?x p 和y ? 4. 下列函数中 (A) cos kx (B) e -bx (C) e -ikx (D) 2 e kx - (1) 哪些是 dx d 的本征函数；-------------------------------- (B, C ) (2) 哪些是的22 dx d 本征函数；-------------------------------------- (A, B, C ) (3) 哪些是22dx d 和dx d 的共同本征函数。------------------------------ (B, C ) 5. 关于光电效应，下列叙述正确的是：(可多选) ------------------（C,D ） (A)光电流大小与入射光子能量成正比 (B)光电流大小与入射光子频率成正比 (C)光电流大小与入射光强度成正比 (D)入射光子能量越大，则光电子的动能越大 6. 提出实物粒子也有波粒二象性的科学家是：------------------------------（ A ）
高等量子力学复习题
上册 1.3 粒子在深度为0V ,宽度为a 的直角势阱(如图1.3)中运动,求 (a)阱口刚好出现一个束缚态能级(即0V E ≈)的条件; (b)束缚态能级总和,并和无限深势阱作比较 . 解 粒子能量0V E 小于时为游离态,能量本征值方程为: []0)(22''=-+ ψψx V E m (1) 令002k mV = ,β=- )(20E V m (2) 式(1)还可以写成 ?? ???≥=-≤=+）（阱外）（阱内4)(2,03)(2,022''2''a x a x mE ψβψψψ 无限远处束缚态波函 数应趋于0，因此式(4)的解应取为()2,a x Ce x x ≥=-βψ 当阱口刚好出现束缚态能级时,0,0≈≈βV E ,因此 2,0)('a x Ce x x ≥≈±=-ββψ （6） 阱内波函数可由式(3)解出,当0V E ≈解为 ()()2,s i n ,c o s 00a x x k x x k x ≤?? ?==ψψ奇宇称 偶宇称 （7） 阱内、外ψ和ψ应该连续，而由式（6）可知，2a x =处，0'=ψ， 将这条件用于式（7），即得 ,5,3,,02cos ,6,4,2,02 sin 0000ππππππ====a k a k a k a k 奇宇称偶宇称(8) 亦即阱口刚好出现束缚能级的条件为 ,3,2,1, 0==n n a k π （9） 即2 22202π n a mV = （10） 这种类型的一维势阱至少有一个束缚能级，因此，如果 2 2202π< a mV ，只存在一个束缚态，偶宇称（基态）。如果22202π = a mV ，除基态外，阱口将再出现一个能级（奇宇称态），共两个能级。如() 222022π= a mV ，阱口将出现第三个能级(偶宇称)。依此类推，由此可知，对于任何20a V 值，束缚态能级总数为 其中符号[A]表示不超过A 的最大整数。 当粒子在宽度为a 的无限深方势阱中运动时，能级为 ,3,2,1,212 =?? ? ??=n a n m E n π 则0V E ≤的能级数为 120-=?? ????=N mV a n π （12） 也就是说，如果只计算0V E ≤的能级数，则有限深)(0V 势阱的能级数比无限深势阱的能级数多一个。注意，后者的每一个能级均一一对应的高于前者的相应能级。
高等量子力学习题汇总(可编辑修改word版)
2 i i i j i j ± 第一章 1、简述量子力学基本原理。 答：QM 原理一 描写围观体系状态的数学量是 Hilbert 空间中的矢量,只相差一个复数因子的两个矢量，描写挺一个物理状态。QM 原理二 1、描写围观体系物理量的是 Hillbert 空间内的厄米算符( A ? )；2、物理量所能取的值是相应算符 A ? 的本征值；3、 一个任意态总可以用算符 A ? 的本征态 a i 展开如下： = ∑C i a i i C i = a i ；而 物理量 A 在 中出现的几率与 C i 成正比。原理三 一个微观粒子在直角坐标下的位置 算符 x ? 和相应的正则动量算符 p ? 有如下对易关系： [x ? , x ? ]= 0 ， [p ? , p ? ] = 0 ， [x ?i , p ? j ]= i ij 原理四 在薛定谔图景中，微观体系态矢量 (t ) 随时间变化的规律由薛定谔方程给 i ? ?t (t ) = H ? (t ) 在海森堡图景中，一个厄米算符 A ?(H ) (t ) 的运动规律由海森堡 方程给出： d A ?(H ) (t ) = 1 [A ?(H ), H ? ] 原理五 一个包含多个全同粒子的体系，在 dt i Hillbert 空间中的态矢对于任何一对粒子的交换是对称的或反对称的。服从前者的粒子称为玻色子，服从后者的粒子称为费米子。 2、薛定谔图景的概念？ 答： (x, t ) =< x |(t )>式中态矢随时间而变而 x 不含 t ，结果波函数ψ(x ，t )中的宗量 t 来自 ψ(t ) 而 x 来自 x ，这叫做薛定谔图景. ?1 ? ? 0? 3、 已知 = ?,= ?. 0 1 (1)请写出 Pauli 矩阵的 3 个分量； (2)证明σ x 的本征态 ? ? ? ? 1 ?1 ? 1 | S x ± >= ? = ? 1? (± ). 4、已知：P 为极化矢量，P=<ψ|σ|ψ>，其中ψ=C 1α+C 2β，它的三个分量为： 求 证： 2 2
第一章 量子力学基础知识
《结构化学基础》 讲稿 第一章 孟祥军
第一章 量子力学基础知识 （第一讲） 1.1 微观粒子的运动特征 ☆ 经典物理学遇到了难题： 19世纪末，物理学理论（经典物理学）已相当完善： ? Newton 力学 ? Maxwell 电磁场理论 ? Gibbs 热力学 ? Boltzmann 统计物理学 上述理论可解释当时常见物理现象，但也发现了解释不了的新现象。 1.1.1 黑体辐射与能量量子化 黑体：能全部吸收外来电磁波的物体。黑色物体或开一小孔的空心金属球近似于黑体。 黑体辐射：加热时，黑体能辐射出各种波长电磁波的现象。 ★经典理论与实验事实间的矛盾： 经典电磁理论假定：黑体辐射是由黑体中带电粒子的振动发出的。 按经典热力学和统计力学理论，计算所得的黑体辐射能量随波长变化的分布曲线，与实验所得曲线明显不符。 按经典理论只能得出能量随波长单调变化的曲线： Rayleigh-Jeans 把分子物理学中能量按自由度均分原则用到电磁辐射上，按其公式计算所得结果在长波处比较接近实验曲线。 Wien 假定辐射波长的分布与Maxwell 分子速度分布类似，计算结果在短波处与实验较接近。 经典理论无论如何也得不出这种有极大值的曲线。 ? 1900年，Planck （普朗克）假定： 黑体中原子或分子辐射能量时作简谐振动，只能发射或吸收频率为ν, 能量为 ε=h ν 的整数倍的电磁能，即振动频率为 ν 的振子，发射的能量只能是 0h ν，1h ν，2h ν，……，nh ν（n 为整数）。 ? h 称为Planck 常数，h ＝6.626×10－34J ?S ? 按 Planck 假定，算出的辐射能 E ν 与实验观测到的黑体辐射能非常吻合： ●能量量子化：黑体只能辐射频率为 ν ，数值为 h ν 的整数倍的不连续的能量。 能量波长 黑体辐射能量分布曲线 () 1 /81 3 3 --= kt h c h e E ννπν
作业10量子力学基础( I ) 作业及参考答案
() 一. 选择题 [ C]1.（基础训练2）下面四个图中，哪一个 正确反映黑体单色辐出度 M Bλ (T)随λ 和T的变化关 系，已知T2 > T1． 解题要点: 斯特藩-玻耳兹曼定律：黑体的辐 射出射度M0(T)与黑体温度T的四次方成正比，即 . M0 (T)随温度的增高而迅速增加 维恩位移律：随着黑体温度的升高，其单色辐出度最大值所对应的波长 m λ向短波方向移动。 [ D]2.（基础训练4）用频率为ν 的单色光照射某种金属时，逸出光电子的最大动能 为E K；若改用频率为2ν 的单色光照射此种金属时，则逸出光电子的最大动能为： (A) 2 E K．(B) 2hν - E K．(C) hν - E K．(D) hν + E K． 解题要点: 根据爱因斯坦光电效应方程：2 1 2m h mv A ν=+， 式中hν为入射光光子能量， A为金属逸出功，2 1 2m mv为逸出光电子的最大初动能，即 E K。所以有：0 k h E A ν=+及' 2 K h E A ν=+，两式相减即可得出答案。 [ C]3.（基础训练5）要使处于基态的氢原子受激发后能发射赖曼系(由激发态跃迁 到基态发射的各谱线组成的谱线系)的最长波长的谱线，至少应向基态氢原子提供的能量是 (A) 1.5 eV．(B) 3.4 eV．(C) 10.2 eV．(D) 13.6 eV． 解题要点: 根据氢原子光谱的实验规律，莱曼系： 2 11 (1 R n ν λ ==- 式中，71 1.09677610 R m- =?，称为里德堡常数，2,3, n= 最长波长的谱线，相应于2 n=，至少应向基态氢原子提供的能量1 2E E h- = ν， 又因为 2 6. 13 n eV E n - =，所以l h E E h- = ν=?? ? ? ? ? - - - 2 21 6. 13 2 6. 13eV eV =10.2 eV [ A]4.（基础训练8）设粒子运动的波函数图线 分别如图19-4(A)、(B)、(C)、(D)所示，那么其中确定粒 子动量的精确度最高的波函数是哪个图？ 解题要点: 根据动量的不确定关系： 2 x x p ???≥ (B) x (A) x (B) x (C) x (D)
量子力学期末考试试卷及答案
量子力学期末试题及答案 红色为我认为可能考的题目 一、填空题： 1、波函数的标准条件：单值、连续性、有限性。 2、|Ψ（r,t）|^2的物理意义：t时刻粒子出现在r处的概率密度。 3、一个量的本征值对应多个本征态，这样的态称为简并。 4、两个力学量对应的算符对易，它们具有共同的确定值。 二、简答题： 1、简述力学量对应的算符必须是线性厄米的。 答：力学量的观测值应为实数，力学量在任何状态下的观测值就是在该状态下的平均值，量子力学中，可观测的力学量所对应的算符必须为厄米算符；量子力学中还必须满足态叠加原理，而要满足态叠加原理，算符必须是线性算符。综上所述，在量子力学中，能和可观测的力学量相对应的算符必然是线性厄米算符。 2、一个量子态分为本征态和非本征态，这种说法确切吗？ 答：不确切。针对某个特定的力学量，对应算符为A，它的本征态对另一个力学量（对应算符为B）就不是它的本征态，它们有各自的本征值，只有两个算符彼此对易，它们才有共同的本征态。 3、辐射谱线的位置和谱线的强度各决定于什么因素？ 答：某一单色光辐射的话可能吸收，也可能受激跃迁。谱线的位置决定于跃迁的频率和跃迁的速度；谱线强度取决于始末态的能量差。 三、证明题。
2、证明概率流密度J不显含时间。 四、计算题。 1、
第二题： 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球， 计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。 解：这种分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响。据题意知 )()(?0 r U r U H -=' 其中)(0r U 是不考虑这种效应的势能分布，即 2004ze U r r πε=-（） )(r U 为考虑这种效应后的势能分布，在0r r ≥区域， r Ze r U 024)(πε-= 在0r r <区域，)(r U 可由下式得出， ?∞ -=r E d r e r U )( ???????≥≤=??=)( 4 )( ,43441 02 003003303 420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε ??∞ --=0 )(r r r Edr e Edr e r U ?? ∞ - - =00 20 2 3 002 144r r r dr r Ze rdr r Ze πεπε )3(84)(82 203 020*********r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤ ?? ???≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(?00022 2030020r r r r r Ze r r r Ze r U r U H πεπε
第一章 量子力学基础和原子结构
第一章 量子力学基础和原子结构 一、填空题 1、若用波函数ψ来定义电子云，则电子云即为_________________。 2、氢原子s ψ1在 r =a 0和 r =2a 0处的比值为_____________。 3、有两个氢原子，第一个氢原子的电子处于主量子数 n =1 的轨道， 第二个氢原子的电子处于n =4 的轨道。 (1)原子势能较低的是______， (2) 原子的电离能较高的是____。 4、设氢原子中电子处在激发态 2s 轨道时能量为E 1， 氦原子处在第一激发态 1s 12s 1时的2s电子能量为E 2，氦离子He + 激发态一个电子处于 2s 轨道时能量为E 3， 请写出E 1，E 2，E 3的从大到小顺序。_____________。 5、对氢原子 1s 态： (1) 2ψ在 r 为_______________处有最高值 (2) 径向分布函数 224ψr π在 r 为____________处有极大值； (3) 电子由 1s 态跃迁至 3d 态所需能量为_____________。 6、H 原子(气态)的电离能为 13.6 eV， He +(气态)的电离能为 _______ eV。 二、选择题 1、波长为662．6pm 的光子和自由电子，光子的能量与自由电子的动能比为何值? （A ）106：3663 （B ）273：1 （C ）1：C （D ）546：1 2、一电子被1000V 的电场所加速．打在靶上，若电子的动能可转化
为光能，则相应的光波应落在什么区域? （A） X光区(约10-10m) （B）紫外区（约10-7m） （C）可见光区（约10-6m）（D）红外区（约10-5m 3、普通阴极管管径为10-2m数量级．所加电压可使电子获得105ms-1速度，此时电子速度的不确定量为十万分之一，可用经典力学处理．若以上其它条件保持不变则阴极管的管径在哪个数量级时必须用量子力学处理? （A）约10-7m （B）约10-5m （C）约10-4m （D）约10-2m 4、下列条件不是品优函数的必备条件的是 （A）连续（B）单值（C）归一（D）有限或平方可积 5、己知一维谐振子的势能表达式为V＝kx2/2，则该体系的定态薛定谔方程应当为 6、粒子处于定态意味着 （A）粒子处于概率最大的状态 （B）粒子处于势能为0的状态 （C）粒子的力学量平均值及概率密度分布都与时间无关的状态
高等量子力学考试知识点
1、黑体辐射： 任何物体总在吸收投射在它身上的辐射。物体吸收的辐射能量与投射到物体上的辐射能之比称为该物体的吸收系数。如果一个物体能吸收投射到它表面上的全部辐射，即吸收系数为1时，则称这个物体为黑体。 光子可以被物质发射和吸收。黑体向辐射场发射或吸收能量hv的过程就是发射或吸收光子的过程。 2、光电效应（条件）： 当光子照射到金属的表面上时，能量为hv的光子被电子吸收。 临界频率v0满足 （1）存在临界频率v0，当入射光的频率v 7、一维无限深势阱（P31） 8、束缚态：粒子只能束缚在空间的有限区域，在无穷远处波函数为零的状态。 一维无限深势阱给出的波函数全部是束缚态波函数。 从（2.4.6）式还可证明，当n分别是奇数和偶数时，满足 即n是奇数时，波函数是x的偶函数，我们称这时的波函数具有偶宇称；当n是偶数时，波函数是x的奇函数，我们称这时的波函数具有奇宇称。 9、谐振子（P35） 10、在量子力学中，常把一个能级对应多个相互独立的能量本征函数，或者说，多个相互独立的能量本征函数具有相同能量本征值的现象称为简并，而把对应的本征函数的个数称为简并度。但对一维非奇性势的薛定谔方程，可以证明一个能量本征值对应一个束缚态，无简并。 11、半壁无限高（P51例2） 12、玻尔磁子 13、算符 对易子 厄米共轭算符 厄米算符：若，则称算符为自厄米共轭算符，简称厄米算符 性质：（1）两厄米算符之和仍为厄米算符 （2）当且仅当两厄米算符和对易时，它们之积才为厄米算符，因为 只在时，，才有，即仍为厄米算符 第一章 1、简述量子力学基本原理。 答：QM 原理一 描写围观体系状态的数学量是Hilbert 空间中的矢量,只相差一个复数因子的两个矢量，描写挺一个物理状态。QM 原理二 1、描写围观体系物理量的是Hillbert 空间内的厄米算符(A ?)；2、物理量所能取的值是相应算符A ?的本征值；3、一个任意态 总可以用算符A ?的本征态i a 展开如下：ψψi i i i i a C a C ==∑,；而物理量A 在 ψ 中出现的几率与2 i C 成正比。原理三 一个微观粒子在直角坐标下的位置算符i x ?和相应的正则动量算符i p ?有如下对易关系：[]0?,?=j i x x ，[]0?,?=j i p p ，[] ij j i i p x δ =?,? 原理四 在薛定谔图景中，微观体系态矢量()t ψ随时间变化的规律由薛定谔方程给 ()()t H t t i ψψ?=?? 在海森堡图景中，一个厄米算符() ()t A H ?的运动规律由海森堡 方程给出： ()()()[] H A i t A dt d H H ? ,?1? = 原理五 一个包含多个全同粒子的体系，在Hillbert 空间中的态矢对于任何一对粒子的交换是对称的或反对称的。服从前者的粒子称为玻色子，服从后者的粒子称为费米子。 2、薛定谔图景的概念？ 答：()()t x t ψψ|,x =<>式中态矢随时间而变而x 不含t ，结果波函数()t x ，ψ中的宗量t 来自()t ψ而x 来自x ，这叫做薛定谔图景. 3、 已知.10,01??? ? ??=???? ??=βα (1)请写出Pauli 矩阵的3个分量； (2)证明σx 的本征态).(211121|βα±=??? ? ??±>=±x S 4、已知：P 为极化矢量，P=<ψ|σ|ψ>，其中ψ=C 1α+C 2β，它的三个分量为： 求证： 答案：设：C 1=x 1+iy 1,C 2=x 2+iy 2 第一章 量子力学基础与原子结构 一、单项选择题（每小题1分） 1．一维势箱解的量子化由来（ ） ① 人为假定 ② 求解微分方程的结果 ③ 由势能函数决定的 ④ 由微分方程的边界条件决定的。 2．下列算符哪个是线性算符（ ） ① exp ② ▽2 ③ sin ④ 3．指出下列哪个是合格的波函数(粒子的运动空间为 0+)（ ） ① sinx ② e -x ③ 1/(x-1) ④ f(x) = e x ( 0 x 1); f(x) = 1 ( x 1) 4．基态氢原子径向分布函数D(r) ~ r 图表示（ ） ① 几率随r 的变化 ② 几率密度随r 的变化 ③ 单位厚度球壳内电子出现的几率随r 的变化 ④ 表示在给定方向角度上，波函数随r 的变化 5.首先提出微观粒子的运动满足测不准原理的科学家是（ ） ①薛定谔 ② 狄拉克 ③ 海森堡 ③波恩 6．立方势箱中22 810m a h E <时有多少种状态（ ） ① 11 ② 3 ③ 7 ④ 2 7.立方势箱在22 812m a h E ≤的能量范围内，能级数和状态数为（ ） ①5，20 ② 6，6 ③ 5，11 ④ 6，17 8．下列函数哪个是22 dx d 的本征函数（ ） ① mx e ② sin 2x ③ x 2+y 2 ④ (a-x)e -x 9．立方势箱中22 87m a h E <时有多少种状态（ ） ① 11 ② 3 ③ 4 ④ 2 10．立方势箱中22 89m a h E <时有多少种状态（ ） ① 11 ② 3 ③ 4 ④ 2 11.已知x e 2是算符x P ?的本征函数，相应的本征值为（ ） ① i h 2 ② i h 4 ③ 4ih ④ πi h §15.5 量子力学的基本概念和基本原理 描述微观粒子运动的系统理论是量子力学,它是薛定谔、海森伯等人在 1925～1926年期间初步建立起来的.本节介绍量子力学的基本概念和基本方程. 一、波函数极其统计解释 在经典力学中我们已经知道,一个被看作为质点的宏观物体的运动状态,是用 它的位置矢量和动量来描述的.但是,对于微观粒子,由于它具有波动性,根据不确 定关系,其位置和动量是不同时具有确定值的,所以我们就不可能仍然用位置、动 量及轨道这样一些经典概念来描述它的运动状态.微观粒子的运动状态称为量子 态,是用波函数来描述的,这个波函数所反映的微观粒子的波动性,就是德布罗意 波.这是量子力学的一个基本假设. 例如一个沿X 轴正方向运动的不受外力作用的自由粒子,由于能量E 和动量p 都是恒量,由德布罗意关系式可知,其物质波的频率ν和波长λ也都不随时间变化,因此自由粒子的德布罗意波是一个单色平面波. 对机械波和电磁波来说,一个单色平面波的波函数可用复数形式表示为 )(2）x/λνt πi Ae t y(x,--= 但实质是其实部.类似地,在量子力学中,自由粒子的德布罗意波的波函数可表示 为 η)/(0）(Px Et i e t x,--ψ=ψ 式中0ψ是一个待定常数, η/0iPx e ψ相当于x 处波函数的复振幅,而ηiEt/e -则反映波函 数随时间的变化. 对于在各种外力场中运动的粒子,它们的波函数要随着外场的变化而变化.力 场中粒子的波函数可通过下面要讲的薛定谔方程来求解. 经典力学中的波函数总代表某一个物理量在空间的波动,然而量子力学中的 波函数又代表着什么呢？对此,历史上提出了各种不同的看法,但都未能完善的解 释微观粒子的波—粒二象性,直到1926年玻恩(M.Born,1882—1970)提出波函数的 统计解释才完善的解释了微观粒子的波—粒二象性.玻恩认为：实物粒子的德布 罗意波是一种几率波；t 时刻,粒子在空间 r 附近的体积元dV 中出现的几率dW 与该处波函数的模方成正比,即 V t r,Ψt r,ΨV t r,ΨW *d d d 2 )()()(== (15.35) 由式(15.35)可知,波函数的模方2)(t r,Ψ代表t 时刻粒子在空间r 处的单位体积中 出现的几率,称为几率密度.这就是波函数的物理意义,波函数本身没有直接的物 2008~2009郑州大学物理工程学院电子科学与技术专业 光电子方向量子力学试题（A 卷） （说明：考试时间120分钟，共6页，满分100分） 计分人： 复查人： 一、填空题：（每题 4 分，共 40 分） 1. 微观粒子具有 波粒 二象性。 2．德布罗意关系是粒子能量E 、动量P 与频率ν、波长λ之间的关系，其表达式为： E=h ν, p=/h λ 。 3．根据波函数的统计解释，dx t x 2 ),(ψ的物理意义为：粒子在x —dx 范围内的几率 。 4．量子力学中力学量用 厄米 算符表示。 5．坐标的x 分量算符和动量的x 分量算符x p 的对易关系为：[],x p i =h 。 6．量子力学关于测量的假设认为：当体系处于波函数ψ(x)所描写的状态时，测量某力学量 F 所得的数值，必定是算符F ?的 本征值 。 7．定态波函数的形式为： t E i n n e x t x η -=)(),(?ψ。 8．一个力学量A 为守恒量的条件是：A 不显含时间，且与哈密顿算符对易 。 9．根据全同性原理，全同粒子体系的波函数具有一定的交换对称性，费米子体系的波函数是_反对称的_____________,玻色子体系的波函数是_对称的_______ _。 10．每个电子具有自旋角动量S ρ，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值为： 2 η± 。 二、证明题：（每题10分，共20分） 1、（10分）利用坐标和动量算符的对易关系，证明轨道角动量算符的对易关系： 证明： z y x L i L L? ] ?, ?[η = ] ? ? , ? ? [ ] ?, ?[ z x y z y x p x p z p z p y L L- - = ] ? ? , ? [ ] ? ? , ? [ z x y z x z p x p z p z p x p z p y- - - = ] ? , ? [ ] ? , ? [ ] ? , ? [ ] ? , ? [ z y x y z z x z p x p z p z p z p x p y p z p y+ - - = ] ? , ? [ ] ? , ? [ z y x z p x p z p z p y+ = y z z y z x x z p p x z p x p z p p z y p z p y?] ? , [ ] ? , ?[ ?] ? , [ ] ? , ?[+ + + = y z x z p p x z p z p y?] ? , [ ] ? , ?[+ = y z y z x z x z p p x z p p z x p z p y p p yz? ?] , [ ?] ?, [ ?] , ?[ ] ?, ?[+ + + = y x p i x p i y?) ( ?) (η η+ - = ] ? ? [ x y p y p x i- =η z L i?η = 研究生课程教学大纲 高等量子力学 一、课程编码：21-070200-B01-17 课内学时： 64 学分： 4 二、适用学科专业：理学，工学 三、先修课程：数理方法，理论力学，电动力学，量子力学，热力学统计物理 四、教学目标 通过本课程的学习，使研究生掌握希尔伯特空间，量子力学基本理论框架，了解狄拉克 方程，量子力学中的对称性与守恒定律，二次量子化等理论知识，提升在微观体系中运用量 子力学的基本能力。 五、教学方式：课堂讲授 六、主要内容及学时分配 1 希尔伯特空间10学时 1.1 矢量空间 1.2 算符 1.3 本征矢量和本征值 1.4 表象理论 1.5 矢量空间的直和与直积 2 量子力学基本理论框架20学时 2.1 量子力学基本原理 2.2 位置表象和动量表象 2.3 角动量算符和角动量表象 2.4 运动方程 2.5 谐振子的相干态 2.6 密度算符 3 狄拉克方程 6学时 4 量子力学中的对称性 5学时 5 角动量理论简介 5学时 6 二次量子化方法16学时 6.1 二次量子化 6.2 费米子 6.3 玻色子 复习 2学时七、考核与成绩评定：以百分制衡量。 成绩评定依据: 平时作业成绩占30%，期末笔试成绩占70%。 八、参考书及学生必读参考资料 1. 喀兴林，《高等量子力学》，.[M]北京：高等教育出版社，2001 2. Franz Schwabl,《Advanced Quantum Mechanics》，.[M]北京：世界图书出版公司：2012 3. 曾谨言，《量子力学》，.[M]北京：科学出版社：第五版2014或第四版2007 4. https://www.wendangku.net/doc/0617024488.html,ndau, M.E.Lifshitz，《Quantum Mechanics (Non-reativistic Theory)》，.[M]北京：世界 图书出版公司：1999 5. 倪光炯，《高等量子力学》，. [M]上海：复旦大学出版社：2005 九、大纲撰写人：曾天海 高等量子力学复习 主讲老师：张盈 记录整理：王宏辉 开始第一节课我们告诉大家了，什么是高等量子学，它和普通量子学的一个区别。其实按理说这门课学完，我们应该回过头来想一想，为什么？至少你可以通过描述一个问题来回答清楚，比如说量子力学适用于研究怎样的对象？ 这个问题并不是那么好回答，不能简单的说低速的就可以，微观的就行，不是这么简单。那么它有几个层次。 一个就是量子力学和薛定谔方程实际上是不一样，不能把薛定谔方程适用的对象看成是量子力学的对象。这个我给大家说过吧，因为你像狄拉克方程啊，克莱因-戈登方程都属于量子力学。所以量子力学适用于研究的对象是量子力学搭建的这个理论构架所适用研究的对象。这是我们说的第一个层次，你要区分量子力学和薛定谔方程。 第二个层次，你要从量子力学的基本原理，或者说薛定谔方程里面，其他的方面看出来，它适用研究的对象，为什么具有这个特点。也就是说，你说它适用于微观，我们从薛定谔方程或者狄拉克方程里面，怎么能看出来它适用微观。你说它适用于也就是这种粒子数不变的体系，你要能说明这一点，这个方程的体系里面，要能把这些东西对应上。这是第二个层次。 所以回答这个问题的时候应该是站在高等量子的高度，从你们学过的这个课程的基础之上来回答，不再是像以前那个量子力学低速微观OK。简单是这样子。所以这个问题有时候蛮复杂的。 首先我们说这门课的时候，你要理清几个大块，也就是我们这几章。 在第一个大章里面，我们给大家介绍的是量子力学的一个理论的构架。在这个理论构架里面，我们先给大家讲了三条基本假设，大家还能举起来吗？第一条：态，就是关于希尔伯特空间的。第二条：厄米算符是力学量的候选者，第三条：统计解释。 那么我们一个一个来回顾一下。 第一条假设，物理的状态对应希尔伯特空间中的一个矢量，更准确的说，实 第15章 量子物理基础习题 15.1 钾的光电效应红限波长为μm 62.00=λ。求（1）钾的逸出功；（2）在波长nm 330=λ的紫外光照射下，钾的遏止电势差。 解：（1）逸出功eV 01.2J 1021.31900=?== =-λνhc h W （2）由光电效应方程W m h m +=221υν及022 1eU m m =υ 可得 V 76.10=-=-=e W e hc e W e h U λν 15.2 铝的逸出功为4.2eV ，今用波长为200nm 的紫外光照射到铝表面上，发射的光电子的最大初动能为多少？遏止电势差为多大？铝的红限波长是多大？ 解：（1）由光电效应方程W m h m +=22 1υν，得 eV 0.2J 1023.321192=?=-=-=-W hc W h m m λ νυ （2）由022 1eU m m =υ，得 V 0.22120==e mv U m （3）由00λνhc h W ==，得 nm 2960==W hc λ 15.3 钨的逸出功是4.52eV ，钡的逸出功是2.50eV ，分别计算钨和钡的截止频率。哪一种金属可以作可见光范围内的光电管阴极材料？ 解：由光电效应方程W m h m +=22 1υν可知，当入射光频率 .02 120===υννm h W 表面，其初动能时，电子刚能逸出金属因此0ν是能产生光电效应的入射光的最低频率（即截止频率），它与材料的种类有关。 钨的截止频率 z h W H 1009.115101?==ν 钡的截止频率 z h W H 10603.015202?== ν 对照可见光的频率范围0.395×1015～0.75×1015z H 可知，钡的截止频率02ν正好处于该范围内，而钨的截止频率01ν大于可见光的最大频率，因而钡可以用于可见光范围内的光电管阴极材料。 15.4 钾的截止频率为4.62×1014z H ，今以波长为435.8nm 的光照射，求钾放出的光电子的初速度。 解：根据光电效应的爱因斯坦方程 W m h m +=22 1υν 其中 0νh W =， λ νc = 所以电子的初速度 152/10s m 1074.5)(2-??=??????-=νλυc m h 由于逸出金属的电子的速度c <<υ，故式中m 取电子的静止质量。 15.5 用波长nm 1.00=λ的光子做康普顿散射实验。求散射角为900的散射波长是多少？（普朗克常量h =6.63×10-34J ·s ，电子静止质量m e =9.11×10-31kg ） 解：(1)康普顿散射光子波长改变为： m 10024.0)cos 1(10-?=-=?θλc m h e m 10024.1100-?=?+=λλλ 第一章 量子力学基础知识 一、概念题 1、几率波：空间一点上波的强度和粒子出现的几率成正比，即，微粒波的强度 反映粒子出现几率的大小，故称微观粒子波为几率波。 2、测不准关系：一个粒子不能同时具有确定的坐标和动量 3、若一个力学量A 的算符A ?作用于某一状态函数ψ后，等于某一常数a 乘以ψ，即，ψψa A =?，那么对ψ所描述的这个微观体系的状态，其力学量A 具有确定的数值a ，a 称为力学量算符A ?的本征值，ψ称为A ?的本征态或本征波函数，式ψψa A =?称为A ?的本征方程。 4、态叠加原理：若n ψψψψ,,,,321????为某一微观体系的可能状态，由它们线性组 合所得的ψ也是该体系可能存在的状态。其中： ∑=+??????+++=i i i n n c c c c c ψψψψψψ332211，式中n c c c c ,,,,321???为任意常 数。 5、Pauli 原理：在同一原子轨道或分子轨道上，至多只能容纳两个电子，这两个 电子的自旋状态必须相反。或者说两个自旋相同的电子不能占据相同的轨道。 6、零点能：按经典力学模型，箱中粒子能量最小值为0，但是按照量子力学箱中粒子能量的最小值大于0，最小的能量为228/ml h ，叫做零点能。 二、选择题 1、下列哪一项不是经典物理学的组成部分？ ( ) a. 牛顿(Newton)力学 b. 麦克斯韦(Maxwell)的电磁场理论 c. 玻尔兹曼(Boltzmann)的统计物理学 d. 海森堡(Heisenberg)的测不准关系 2、下面哪种判断是错误的？( ) a. 只有当照射光的频率超过某个最小频率时，金属才能发身光电子 第13章 量子力学基础 13.1 绝对黑体和平常所说的黑色物体有什么区别？ 答：绝对黑体是对照射其上的任意辐射全部吸收而不发生反射和透射的物体，而平常所说的黑色物体是只反射黑颜色的物体。 13.2 普朗克量子假设的内容是什么？ 答：普朗克量子假设的内容是物体发射和吸收电磁辐射能量总是以νεh =为单位进行。 13.3 光电效应有哪些实验规律？用光的波动理论解释光电效应遇到了哪些困难？ 答：光电效应的实验规律为：1）阴极K 在单位时间内所发射的光子数与照射光的强度成正比；2）存在截止频0ν；3）光电子的初动能与照射光的强度无关，而与频率成线性关系； 4）光电效应是瞬时的。 用光的波动理论解释光电效应遇到的困难在于：1）按照波动理论，光波的能量由光强决定，因而逸出光电子的初动能应由光强决定，但光电效应中光电子的初动能却与光强无关；2）若光波供给金属中“自由电子”逸出表面所需的足够能量，光电效应对各种频率的光都能发生，不应存在红限；3）光电子从光波中吸收能量应有一个积累过程，光强越弱，发射光子所需时间就越长。这都与光电效应的实验事实相矛盾。 13.4 波长λ为0.1nm 的X 射线,其光子的能量ε= J 151099.1-?；质量m = kg 321021.2-?；动量p = 1241063.6--???s m kg . 13.5 怎样理解光的波粒二象性？ 答：光即具有波动性，又具有粒子性，光是粒子和波的统一，波动和粒子是光的不同侧面的反映。 13.6 氢原子光谱有哪些实验规律？ 答：氢原子光谱的实验规律在于氢原子光谱都由分立的谱线组成，并且谱线分布符合组合规律 )11()()(~2 2n k R n T k T kn -=-=ν k 取 ,3,2,1，分别对应于赖曼线系，巴耳米线系，帕形线系，. 13.7 原子的核型结构模型与经典理论存在哪些矛盾？ 答：原子的核型结构与经典理论存在如下矛盾：1）按经典电磁辐射理论，原子光谱应是连续的带状光谱；2）不存在稳定的原子。这些结论都与实验事实矛盾。 13.8 如果枪口的直径为5mm,子弹质量为0.01kg,用不确定关系估算子弹射出枪口时的横 福师《结构化学》第一章量子力学基础和原子结构课堂笔记 ◆主要知识点掌握程度 了解测不准关系，掌握和的物理意义；掌握一维势箱模型Schrodinger方程的求解以及该模型在共轭分子体系中的应用；理解量子数n，l，m的取值及物理意义；掌握波函数和电子云的径向分布图，原子轨道等值线图和原子轨道轮廓图；难点是薛定谔方程的求解。 ◆知识点整理 一、波粒二象性和薛定谔方程 1．物质波的证明 德布罗意假设：光和微观实物粒子（电子、原子、分子、中子、质子等）都具有波动性和微粒性两重性质，即波粒二象性，其基本公式为： 对于低速运动，质量为m的粒子： 其中能量E和动量P反映光和微粒的粒性，而频率ν和波长λ反映光和微粒的波性，它们之间通过Plank 常数h联系起来，普朗克常数焦尔·秒。 实物微粒运动时产生物质波波长λ可由粒子的质量m和运动度ν按如下公式计算。 λ=h/P=h/mν 量子化是指物质运动时，它的某些物理量数值的变化是不连续的，只能为某些特定的数值。如微观体系的能量和角动量等物理量就是量子化的，能量的改变为E=hν的整数倍。 2．测不准关系： 内容：海森保指出：具有波粒二象性的微观离子（如电子、中子、质子等），不能同时具有确定的坐标和动量，它们遵循“测不准关系”： （y、z方向上的分量也有同样关系式） ΔX是物质位置不确定度，ΔPx为动量不确定度。该关系是微观粒子波动性的必然结果，亦是宏观物体和微观物体的判别标准。对于可以把h看作O的体系，表示可同时具有确定的坐标和动量，是可用牛顿力学描述的宏观物体，对于h不能看作O的微观粒子，没有同时确定的坐标和动量，需要用量子力学来处理。 3．波函数的物理意义——几率波 实物微粒具有波动性，其运动状态可用一个坐标和时间的函数来描述，称为波函数或状态函数。 1926年波恩对波函数的物理意义提出了统计解释：由电子衍射实验证明，电子的波动性是和微粒的行为的统计性联系在一起的，波函数正是反映了微粒行为的统计规律。这规律表明：对大量电子而言，在衍射强度大 的地方，电子出现的数目多，强度小的地方电子出现的数目少，即波函数的模的平方与电子在空间分布的密度成正比。 《高等量子力学》课程教学大纲 一、课程名称（中英文） 中文名称：高等量子力学 英文名称：Advanced Quantum Mechanics 二、课程代码及性质 课程编码： 课程性质：学科(大类)专业选修课/选修 三、学时与学分 总学时：64（理论学时：64学时） 学分：4 四、先修课程 先修课程：无 五、授课对象 本课程面向物理学各专业学生开设 六、课程教学目的（对学生知识、能力、素质培养的贡献和作用） 量子力学理论是20世纪物理学取得的两个（相对论和量子理论）最伟大的进展之一，以研究微观物质运动规律为基本出发点建立的量子理论开辟了人类认识客观世界运动规律的新途径，开创了物理学的新时代。 本课程是物理学专业本科课程《量子力学》的后续课程，用以弥补量子力学课程与学生实际进入科研前沿之间的知识鸿沟。其内容分为两部分：第一部分是在量子力学课程的基础上归纳阐述量子力学的基本原理（公设）及表述形式。第二部分主要是讲述量子力学的基本方法及其应用。在分析清楚各类基本应用问题的物理内容基础上，掌 握量子力学对一些基本问题的处理方法。 课程的教学目的是使得学生掌握微观粒子的运动规律、量子力学的基本假设、基本原理和基本方法，掌握量子力学的基本近似方法及其对相关物理问题的处理，并了解量子力学所揭示的互补性认识论及其对人类认识论的贡献。 七、教学重点与难点： 课程重点：本课程所讲授的内容均为学生从事前沿科学研究所必备，因此所有内容均为重点 课程难点：本课程所讲授的内容抽象程度较高，理论推导计算量大，因此所有内容均为难点 八、教学方法与手段： 教学方法：采用课堂讲授、讨论、习题等多种授课形式相结合的教学新模式。课堂讲授基本概念、基本原理，通过讨论课加深学生对基本内容的理解，通过习题课提高学生运用基本理论分析问题、解决问题的能力。 教学手段：采用多媒体与板书相结合的教学手段，传统授课手段与现代教育技术手段相互取长补短，相得益彰。特别的，将Mathematica 和Matlab等计算软件引入本课程的教学，以实现抽象复杂的数学物理问题的直观展现，提高学生的学习兴趣。重要理论推导采用板书与多媒体相结合的手段，以形成师生的良好互动。 九、教学内容与学时安排 （一）量子力学的公理体系（教师课堂教学6小时+ 学生课后学习12小时） 教学内容：Hilbert空间、左矢、右矢、算符矩阵表示与表象变换 量子计算机中的量子力学 ——量子力学理论在现代科技中的应用 06级物理学2班 张洪（40606085） 从1946年第一台计算机诞生以来，其在冯·诺依曼体系结构上已经走过了60余年，其采用Alan Turing 于1936年提出的图灵机模型为计算模型。但随着科学的不断发展，以及计算机制造工艺的不断进步，计算机的尺寸也越来越小，其集成度也越来越高。按照摩尔定律，计算机芯片的集成度不久将达到原子分子量级，但是当电子器件小到原子分子量级的时候，这便受到了量子效应的干扰，这便把量子力学引入了计算机。物理学家Feynman 于1982年提出量子计算机的概念，并指出量子计算机在速度上对于传统计算机可能有本质的超越。 所谓量子计算机，是指利用处于多现实态下的原子进行运算的计算机。某种条件下，原子世界存在着多现实态，即原子和亚原子粒子可以同时存在于此处和彼处，可以同时表现出高速和低速，可以同时向上和向下运动。如果用这些不同原子状态分别代表不同的数字或数据，就可以利用一组具有不同潜在状态组合的原子，在同一时间对某一问题的所有答案进行探寻，就可以使代表正确答案的组合快速脱颖而出。 量子计算机的存储原理 传统计算机信息系统采用物理上最容易实现的二进制数据位存储数据或程序，每一个二进制数据位由0或1表示，成为一个比特（bit ）或位，以其作为最小的信息单元。在传统计算机中，每一个数据位要么是0，要么是1，二者必取其一。而量子计算机是根据物理系统的量子力学性质和规律执行计算任务的装置，其计算方式是量子计算。在量子计算机中，量子位（量子计算机的数据位）可以是0或者1，也可以是0和1的任何线性叠加它以一定的概率存在于0和1之间。 为了便于量子系统的表示和运算，狄拉克提出用符号|x>来表示量子态，|x>是一个列向量，称为右矢；其共轭转置用高等量子力学习题汇总
第一章量子力学基础和原子轨道报告
大学物理讲义(第15章量子力学基础)第五节
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高等量子力学复习综述
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