珍藏第2讲巧添辅助 妙解竞赛题

第二讲 巧添辅助 妙解竞赛题

在某些数学竞赛问题中,巧妙添置辅助圆常可以沟通直线形和圆的内在联系,通过圆的有关性质找到解题途径.下面举例说明添置辅助圆解初中数学竞赛题的若干思路.

1 挖掘隐含的辅助圆解题

有些问题的题设或图形本身隐含着“点共圆”,此时若能把握问题提供的信息,恰当补出辅助圆,并合理挖掘图形隐含的性质,就会使题设和结论的逻辑关系明朗化. 1.1 作出三角形的外接圆

例1 如图1,在△ABC 中,AB ＝AC ,D 是底边BC

上一点,E 是线段AD 上一点且∠BED ＝2∠CED ＝

∠A .求证：BD ＝2CD .

分析：关键是寻求∠BED ＝2∠CED 与结论的联系.

容易想到作∠BED 的平分线,但因BE ≠ED ,故不能 直接证出BD ＝2CD .若延长AD 交△ABC 的外接圆 于F ,则可得EB ＝EF ,从而获取.

证明：如图1,延长AD 与△ABC 的外接圆相交于点F ,连结CF 与BF ,则∠BFA ＝∠BCA ＝∠ABC ＝∠AFC ,即∠BFD ＝∠CFD .故BF :CF ＝BD :DC .

又∠BEF ＝∠BAC ,∠BFE ＝∠BCA ,从而∠FBE ＝∠ABC ＝∠ACB ＝∠BFE . 故EB ＝EF .

作∠BEF 的平分线交BF 于G ,则BG ＝GF . 因∠GEF ＝

2

1

∠BEF ＝∠CEF ,∠GFE ＝∠CFE ,故△FEG ≌△FEC .从而GF ＝FC . 于是,BF ＝2CF .故BD ＝2CD . 1.2 利用四点共圆 例2 凸四边形ABCD 中,∠ABC ＝60°,∠BAD ＝ ∠BCD ＝90°,

AB ＝2,CD ＝1,对角线AC 、BD 交于点O ,如图2. 则sin ∠AOB ＝____.

分析：由∠BAD ＝∠BCD ＝90°可知A 、B 、C 、D

四点共圆,欲求sin ∠AOB ,联想到托勒密定理,只须求出BC 、AD 即可.

解：因∠BAD ＝∠BCD ＝90°,故A 、B 、C 、D 四点共圆.延长BA 、CD 交于P ,则∠ADP ＝∠ABC ＝60°. 设AD ＝x ,有AP ＝3x ,DP ＝2x .由割线定理得(2＋3x )3x ＝2x (1＋2x ).解得AD ＝

x ＝2

3－2,BC ＝2

1

BP ＝4－3.

由托勒密定理有 BD ·CA ＝(4－

3)(23－2)＋2×1＝103－12.

又S ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝

2

3

3. A B G C

D

F

E 图1A B C D O

图2

故sin ∠AOB ＝

26

3

615+. 例3 已知：如图3,AB ＝BC ＝CA ＝AD ,AH ⊥CD 于H ,CP ⊥BC ,CP 交AH 于P .求证：

△ABC 的面积S ＝4

3

AP ·BD .

分析：因S △ABC ＝

43BC 2＝4

3AC ·BC ,只 须证AC ·BC ＝AP ·BD ,转化为证△APC ∽△BCD .这由A 、B 、C 、Q 四点共圆易证(Q 为

BD 与AH 交点).

证明：记BD 与AH 交于点Q ,则由AC ＝AD ,AH ⊥CD 得∠ACQ ＝∠ADQ . 又AB ＝AD ,故∠ADQ ＝∠ABQ .

从而,∠ABQ ＝∠ACQ .可知A 、B 、C 、Q 四点共圆. ∵∠APC ＝90°＋∠PCH ＝∠BCD ,∠CBQ ＝∠CAQ , ∴△APC ∽△BCD . ∴AC ·BC ＝AP ·BD . 于是,S ＝

43AC ·BC ＝4

3AP ·BD .

2 构造相关的辅助圆解题

有些问题貌似与圆无关,但问题的题设或结论或图形提供了某些与圆的性质相似的信息,此时可大胆联想构造出与题目相关

的辅助圆,将原问题转化为与圆有关的问题加以解决. 2.1 联想圆的定义构造辅助圆

例4 如图4,四边形ABCD 中,AB ∥CD ,AD ＝DC ＝DB ＝p ,BC ＝q .求对角线AC 的长.

分析：由“AD ＝DC ＝DB ＝p ”可知A 、B 、C 在 半径为p 的⊙D 上.利用圆的性质即可找到AC 与 p 、q 的关系.

解：延长CD 交半径为p 的⊙D 于E 点,连结AE .

显然A 、B 、C 在⊙D 上. ∵AB ∥CD ,

∴＝ 从而,BC ＝AE ＝q .

在△ACE 中,∠CAE ＝90°,CE ＝2p ,AE ＝q ,故 AC ＝

22AE CE -＝224q p -.

2.2 联想直径的性质构造辅助圆

例5 已知抛物线y ＝－x 2＋2x ＋8与x 轴交于B 、C 两点，点D 平分BC .若在x 轴上侧的A

A

图3

B

P Q

D

H

C A E D

C B 图4

点为抛物线上的动点,且∠BAC 为锐角,则AD 的取值范围是____.

分析：由“∠BAC 为锐角”可知点A 在以定线段BC 为直径的圆外,又点A 在x 轴上侧,从而可确定动点A 的范围,进而确定AD 的取值范围.

解：如图5,所给抛物线的顶点为A 0(1,9),

对称轴为x ＝1,与x 轴交于两点B (－2,0)、

C (4,0).

分别以BC 、DA 为直径作⊙D 、⊙E ,则 两圆与抛物线均交于两点P (1－22,1)、

Q (1＋2

2,1).

可知,点A 在不含端点的抛物线PA 0Q 内时,∠BAC ＜90°.且有3＝DP ＝DQ ＜AD ≤DA 0＝9,即AD 的取值范围是3＜AD ≤9. 2.3 联想圆幂定理构造辅助圆

例6 AD 是Rt △ABC 斜边BC 上的高,∠B 的平行线交AD 于M ,交AC 于N .求证：AB 2－AN 2＝BM ·BN .

分析：因AB 2－AN 2＝(AB ＋AN )(AB －AN )＝BM ·BN ,而由题设易知AM ＝AN ,联想割线定理,构造辅助圆即可证得结论. 证明：如图6,

∵∠2＋∠3＝∠4＋∠5＝90°,

又∠3＝∠4,∠1＝∠5, ∴∠1＝∠2.从而,AM ＝AN .

以AM 长为半径作⊙A ,交AB 于F ,交 BA 的延长线于E .则AE ＝AF ＝AN .

由割线定理有 BM ·BN ＝BF ·BE ＝(AB ＋AE )(AB －AF ) ＝(AB ＋AN )(AB －AN ) ＝AB 2－AN 2,

即 AB 2－AN 2＝BM ·BN .

例7 如图7,ABCD 是⊙O 的内接四边形,延长AB 和DC 相交于E ,延长AB 和DC 相交于E ,延长AD 和BC 相交于F ,EP 和FQ 分别切⊙O 于P 、Q .求证：EP 2＋FQ 2＝EF 2.

分析：因EP 和FQ 是⊙O 的切线,由结论联想到切割线定理,构造辅助圆使EP 、FQ 向EF 转化.

证明：如图7,作△BCE 的外接圆交EF 于G ,连 结CG .

因∠FDC ＝∠ABC ＝∠CGE ,故F 、D 、C 、

G 四点共圆. 由切割线定理,有

EF 2＝(EG ＋GF )·EF ＝EG ·EF ＋GF ·EF ＝EC ·ED ＋FC ·FB

＝EC ·ED ＋FC ·FB

图5

E A N C D B

F

M 12345

图6

＝EP 2＋FQ 2,

即 EP 2＋FQ 2＝EF 2.

2.4 联想托勒密定理构造辅助圆

例8 如图8,△ABC 与△A ＇B ＇ C ＇的三边分别为a 、b 、c 与a ＇、

b ＇、

c ＇,且∠B ＝∠B ＇,∠A ＋∠A ＇＝180°.试证：aa ＇＝bb ＇＋cc ＇. 分析：因∠B ＝∠B ＇,∠A ＋∠A ＇

＝180°,由结论联想到托勒密定理,构造圆内接四边形加以证明.

证明：作△ABC 的外接圆,过C 作CD ∥AB 交圆于D ,连结AD 和BD ,如图9所示. ∵∠A ＋∠A ＇＝180°＝∠A ＋∠D ,

∠BCD ＝∠B ＝∠B ＇,

∴∠A ＇＝∠D ,∠B ＇＝∠BCD . ∴△A ＇B ＇C ＇∽△DCB . 有DC B A ''＝CB C B ''＝DB C A '',

即 DC c '＝a a '＝DB

b '.

故DC ＝''a ac ,DB ＝'

'

a a

b .

又AB ∥DC ,可知BD ＝AC ＝b ,BC ＝AD ＝a .

从而,由托勒密定理,得

AD ·BC ＝AB ·DC ＋AC ·BD , 即 a 2＝c ·

''a ac ＋b ·'

'a ab . 故aa ＇＝bb ＇＋cc ＇.

练习题

1. 作一个辅助圆证明：△ABC 中,若AD 平分∠A ,则

AC AB ＝DC

BD

. (提示：不妨设AB ≥AC ,作△ADC 的外接圆交AB 于E ,证△ABC ∽△DBE ,从而AC AB ＝DE

BD ＝

DC

BD

.) 2. 已知凸五边形ABCDE 中,∠BAE ＝3a ,BC ＝CD ＝DE ,∠BCD ＝∠CDE ＝180°－2a .求证：∠BAC ＝∠CAD ＝∠DAE .

(提示：由已知证明∠BCE ＝∠BDE ＝180°－3a ,从而A 、B 、C 、D 、E 共圆,得∠BAC ＝∠CAD ＝∠DAE .)

3. 在△ABC 中AB ＝BC ,∠ABC ＝20°,在AB 边上取一点M ,使BM ＝AC .求∠AMC 的度数. (提示：以BC 为边在△ABC 外作正△KBC ,连结KM ,证B 、M 、C 共圆,从而∠BCM ＝2

1∠BKM ＝10°,得∠AMC ＝30°.)

4．如图10,AC 是ABCD 较长的对角线,过C 作 CF ⊥AF ,CE ⊥AE .求证：AB ·AE ＋AD ·AF ＝AC 2. (提示：分别以BC 和CD 为直径作圆交AC 于点

(1)(2)

图8A

B A'

C'

c a b a'c'b'A B

C

D

a b

b

c 图9

F D

A

C

G 、H .则CG ＝AH ,由割线定理可证得结论.) 5. 如图11.已知⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B ,直线 CD 过A 交⊙O 1和⊙O 2于C 、D ,且AC ＝AD ,EC 、ED 分别切两圆于C 、D .求证：AC 2＝AB ·AE .

(提示：作△BCD 的外接圆⊙O 3,延长BA 交⊙O 3

于F ,证E 在⊙O 3上,得△ACE ≌△ADF ,从而AE

＝AF ,由相交弦定理即得结论.)

6．已知E 是△ABC 的外接圆之劣弧BC 的中点.

求证：AB ·AC ＝AE 2－BE 2. (提示：以BE 为半径作辅助圆⊙E ,交AE 及其延长线于N 、M ,由△ANC ∽△ABM 证AB ·AC ＝AN ·AM .)

7. 若正五边形ABCDE 的边长为a ,对角线长为b ,试证：

a b －b

a

＝1. (提示：证b 2＝a 2＋ab ,联想托勒密定理作出五边形的外接圆即可证得.)

图11

小学生科学知识竞赛试题(含答案)

小学生科学知识竞赛试题（含答案） 一、选择题 1、温室效应的罪魁祸首是：（B） Ａ、二氧化硫Ｂ、二氧化碳Ｃ、氧气 ２、美洲大陆的发现者是：（A） Ａ、哥伦布Ｂ、牛顿Ｃ、郑和 ３、地球的卫星是：（C） Ａ、太阳Ｂ、土星Ｃ、月球 ４、很多小朋友喜欢看电影，电影是用放映机将图像投影到屏幕上，你们知道是谁发明了第一台放映机吗？（A） Ａ、奥托马尔Ｂ、爱迪生Ｃ、史蒂夫．乔布斯 ５、从飞机上往下看，彩虹是什么形状的？（A） Ａ、平面Ｂ、拱桥Ｃ、圆环 ６、生活在南极的企鹅为什么会经常流鼻涕？（B） Ａ、因为南极非常冷

Ｂ、因为它要排除身体里多余的盐分 Ｃ、因为它要用鼻涕来滋润羽毛 ７、自行车的尾灯会发光是因为（B） Ａ、尾灯内装有电池 Ｂ、尾灯的塑料片能反射任何角度射来的光 Ｃ、自行车行走的动能转化为电能使尾灯发光 ８、月亮有时看起来是一弯月牙，月牙外的月球仍有微微光亮，天文学家称这种“新月抱旧月”的现象为灰光，出现灰光的原因是：（B） Ａ、月球反射太阳光 Ｂ、月球走到了地球背后的阴影中 Ｃ、地球把太阳光反射到月球上 ９、下“鹅毛大雪”时的气温大概是多少度？（B） Ａ、０摄氏度 Ｂ、－１０摄氏度 Ｃ、－２０摄氏度

10、冬天在冰湖上捕鱼，只要在冰上打个窟窿，鱼儿就会自动送上门来，这是为什么呢？（B） Ａ、鱼儿都好奇 Ｂ、鱼儿都想呼吸新鲜空气 Ｃ、鱼儿想要暖暖身子 11、下雪后常常在路上撒盐，这是因为：（B） Ａ、两者发生化学反应 Ｂ、混合后融点降低 Ｃ、混合后融点升高 12、经常牙龈出血，流鼻血是因为缺乏：（C） Ａ、维生素ＡＢ、维生素ＢＣ、维生素Ｃ 13、下面不能发光的是：（B） Ａ、太阳Ｂ、月亮Ｃ、萤火虫 14、把开水和冷水同时放入冰箱，那个先结冰？（A） Ａ、开水Ｂ、冰水Ｃ、一样快 15、鸡在喝水的时候不断地抬头望天，这是为了（C）

初中数学巧添辅助线解证几何题完整版

初中数学巧添辅助线解 证几何题 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】

巧添辅助线解证几何题 [引出问题] 在几何证明或计算问题中，经常需要添加必要的辅助线，它的目的可以归纳为以下三点：一是通过添加辅助线，使图形的性质由隐蔽得以显现，从而利用有关性质去解题；二是通过添加辅助线，使分散的条件得以集中，从而利用它们的相互关系解题；三是把新问题转化为已经解决过的旧问题加以解决。值得注意的是辅助线的添加目的与已知条件和所求结论有关。 一、倍角问题 研究∠α＝2∠β或∠β=1 2 ∠α问题通称为倍角问题。倍角问题分两种情形： 1、∠α与∠β在两个三角形中，常作∠α的平分线，得∠1=1 2 ∠α，然后证明∠1= ∠β；或把∠β翻折，得∠2=2∠β，然后证明∠2=∠α（如图一） 2、∠α与∠β在同一个三角形中，这样的三角形常称为倍角三角形。倍角三角形问 例1：如图1AB=AC,BD⊥AC于D。 求证：∠DBC=1 2 ∠BAC. 分析：∠DBC、∠BAC所在的两个三角形有公共角∠C，可利用

三角形内角和来沟通∠DBC 、∠BAC 和∠C 的关系。 证法一：∵在△ABC 中，AB=AC ， ∴∠ABC=∠C= 12（180°-∠BAC ）=90°-12∠BAC ∵BD ⊥AC 于D ∴∠BDC=90° ∴∠DBC=90°-∠C=90°-(90°- 12∠BAC)= 12∠BAC 即∠DBC= 12∠BAC 分析二：∠DBC 、∠BAC 分别在直角三角形和等腰三角形中，由所证的结论“∠ DBC= ∠BAC ”中含有角的倍、半关系，因此，可以做∠A 的平分线，利用等腰三角形三线合一的性质，把∠A 放在直角三角形中求解；也可以把∠DBC 沿BD 翻折构造2∠DBC 求解。 证法二：如图2，作AE ⊥BC 于E ，则∠EAC+∠C=90° ∵AB=AC ∴∠EAG= 12∠BAC ∵BD ⊥AC 于D ∴∠DBC+∠C=90° ∴∠EAC=∠DBC （同角的余角相等） 即∠DBC= 12∠BAC 。 证法三：如图3，在AD 上取一点E ，使DE=CD

2020年大学生自热科学知识竞赛判断题库及答案(共150题)

范文 2020年大学生自热科学知识竞赛判断题库及答案 1/ 10

(共150题) 2020 年大学生自热科学知识竞赛判断题库及答案（共 150 题）1. 岩石圈板块包括地壳和地幔。 （× ） 2. 71、板块构造学说是指大陆的漂移是坚硬的板块运动，海底扩张实际是一对板块沿海岭轴向两侧拉开。 （√ ） 3. 板块在海沟和俯冲带分离、扩张．在洋中脊潜没、消减。 (√ ) 4. 板块构造学说认为，在每个板块的内部，地壳是比较稳定的；板块的边缘、板块之间交接的地方是地壳比较活跃的地带。 （×） 5. 在造山带相邻板块一个俯冲到另一个板块之下，又称俯冲边界。 （√ ） 6. 全球岛弧(含山弧)总长达 40 000 千米，而且大都在大西洋周缘。 （× ） 7. 联合国环境规划署对资源的定义是：((资源，特别是自然资源是指在一定时期、地点条件下能够产生经济价值，以提高人类当前和将来福利的自然因素和条件。 （√ ） 8. 我国自然资源及其利用的基本特征是：资源总量和人均占有量少，资源利用率低且浪费严重。 （×） 9. 劳力经济是指经济发展主要取决于自然资源的占有和配置。 （× ） 10.资源动态平衡观是可持续发展的理论基础。 ( √) 11.所有遗传信息都记载于组成 DNA 的全部核苷酸排列顺

序中。 （√） 12.当今科技进步的主流和各国综合国力竞争的焦点是高技术及其产业的实力。 （√） 3/ 10

13.计算机集成制造系统（CIMS）尽管限制了自动化的高效率，高质量的优势，但具有充分的灵活性。 （×） 14.激光就是将多个普通光源集中放置，通过现代光学系统的聚集、滤光等操作而实现优势互补的光。 （×） 15.可持续发展的基本内容主要包括强调发展、强调协调和强调公平。 （√） 16.多传感器的使用是提高机器人智能和适应性的关键。 （√） 17.以发电效率高、无污染而被誉为第四电力的发电技术是指生物发展。 （×） 18.新材料的发展趋势之一是材料结构的尺度向越来越小的方向发展。 （√） 19.中国空间技术在未来十年发展的目标之一是实现载人航天飞行。 （√） 20.很久以前人们认为海洋生物是取之不尽，用之不竭的。 （√） 21.生物技术被认为是 21 世纪最具前景的核心技术。 （√） 22.科学的对象是研究未知的客观世界，因此它是一条没有止境的历史长河。 （√） 23.哲学是对自然科学和社会科学的概括和总结。 （√） 24.自然科学的四大门类即基础科学、农业科学、工程科学和医学科学。 （√） 25.现代物理学的两大支柱是牛顿力学和量子力学。 （×） 26.软科学是操纵硬科学的科学。

中考数学几何辅助线大全及常考题型解析

2017年中考数学几何辅助线作法及常考题型解析第一部分常见辅助线做法 等腰三角形 1. 作底边上的高，构成两个全等的直角三角形，这是用得最多的一种方法； 2. 作一腰上的高； 3 .过底边的一个端点作底边的垂线，与另一腰的延长线相交，构成直角三角形。 梯形 1. 垂直于平行边 2. 垂直于下底，延长上底作一腰的平行线 3. 平行于两条斜边 4. 作两条垂直于下底的垂线 5. 延长两条斜边做成一个三角形 菱形 1. 连接两对角 2. 做高 平行四边形 1. 垂直于平行边 2. 作对角线——把一个平行四边形分成两个三角形 3. 做高——形内形外都要注意 矩形 1. 对角线 2. 作垂线 很简单。无论什么题目，第一位应该考虑到题目要求，比如AB=AC+BD....这类的就是想办法作出另一条AB等长的线段，再证全等说明AC+BD=另一条AB,就好了。还有一些关于平方的考虑勾股，A 字形等。 三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线（垂线段相等）。 也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。 解几何题时如何画辅助线? ①见中点引中位线，见中线延长一倍 在几何题中，如果给出中点或中线，可以考虑过中点作中位线或把中线延长一倍来解决相关问题。 ②在比例线段证明中，常作平行线。 作平行线时往往是保留结论中的一个比，然后通过一个中间比与结论中的另一个比联系起来。 ③对于梯形问题，常用的添加辅助线的方法有 1、过上底的两端点向下底作垂线 2、过上底的一个端点作一腰的平行线 3、过上底的一个端点作一对角线的平行线 4、过一腰的中点作另一腰的平行线 5、过上底一端点和一腰中点的直线与下底的延长线相交 6、作梯形的中位线 7、延长两腰使之相交 四边形 平行四边形出现，对称中心等分点。 梯形里面作高线，平移一腰试试看。 平行移动对角线，补成三角形常见。 证相似，比线段，添线平行成习惯。 等积式子比例换，寻找线段很关键。 直接证明有困难，等量代换少麻烦。 斜边上面作高线 初中数学辅助线的添加浅谈

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初中数学竞赛专题[配方法] 一、内容提要 1. 配方：这里指的是在代数式恒等变形中，把二次三项式a 2 ±2ab+b 2 写成完全平方式 （a ±b ）2. 有时需要在代数式中添项、折项、分组才能写成完全平方式. 常用的有以下三种： ①由a 2 +b 2 配上2ab ， ②由 2 ab 配上a 2 +b 2 ， ③由a 2 ±2ab 配上b 2 . 2. 运用配方法解题，初中阶段主要有： ① 用完全平方式来因式分解 例如：把x 4 +4 因式分解. 原式＝x 4 +4＋4x 2 －4x 2 =(x 2 +2)2 －4x 2 ＝…… 这是由a 2 +b 2配上2ab. ② 二次根式化简常用公式：a a =2，这就需要把被开方数 写成完全平方式. 例如：化简6 25-. 我们把5－2 6写成 2－232＋3 ＝2)2(－232＋2)3( ＝（ 2－3） 2 . 这是由2 ab 配上a 2 +b 2 .

③ 求代数式的最大或最小值，方法之一是运用实数的平方是非负数，零就是最小值.即∵a 2 ≥0， ∴当a=0时， a 2 的值为0是最小值. 例如：求代数式a 2 +2a －2 的最值. ∵a 2 +2a －2= a 2 +2a+1－3=(a+1)2 －3 当a=－1时, a 2 +2a －2有最小值－3. 这是由a 2 ±2ab 配上b 2 ④ 有一类方程的解是运用几个非负数的和等于零，则每一个非负数都是零，有时就需要配方. 例如:：求方程x 2 +y 2 +2x-4y+5=0 的解x, y. 解：方程x 2 +y 2 +2x-4y+1＋4＝0. 配方的可化为 （x+1）2 +(y －2)2 =0. 要使等式成立，必须且只需? ??=-=+0201y x . 解得 ???=-=2 1 y x 此外在解二次方程中应用根的判别式，或在证明等式、不等式时，也常要有配方的知识和技巧.

2018年航空科普知识竞赛试题(判断题)

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10.飞机诞生之前，在操纵稳定方面做出了突出贡献的是德国的李林达尔。 （答）正确 11.目前世界上最大的旅客机为A380。 （答）正确 12.对敌方雷达和通信设备进行干扰的军用飞机为电子干扰机。 （答）正确 13.专门用于搜集敌方军事情报的飞机为反潜机。 （答）错误（答案）侦察机 14.在现代局部战争中，空中战争的雏形在越南战争中第一次展现出来。 （答）错误（答案）海湾战争 15.从地球表面发射的飞机器环绕地球飞行所需要的最小速度称为第二宇宙速度。 （答）错误（答案）第一宇宙速度 16.从地球表面发射的飞机器脱离地球所需要的最小速度称为第二宇宙速度。 （答）正确 17.从地球表面发射的飞机器飞出太阳系所需要的最小速度称为第四宇宙速度。 （答）错误（答案）第三宇宙速度 18.航天技术的核心是火箭推进技术。

(完整版)初中数学_巧添辅助线__解证几何题

巧添辅助线 解证几何题 [引出问题] 在几何证明或计算问题中，经常需要添加必要的辅助线，它的目的可以 归纳为以下三点：一是通过添加辅助线，使图形的性质由隐蔽得以显现，从而利用有关性质去解题；二是通过添加辅助线，使分散的条件得以集中，从而利用它们的相互关系解题；三是把新问题转化为已经解决过的旧问题加以解决。值得注意的是辅助线的添加目的与已知条件和所求结论有关。 一、倍角问题 研究∠α＝2∠β或∠β=1 2 ∠α问题通称为倍角问题。倍角问题分两种情形： 1、∠α与∠β在两个三角形中，常作∠α的平分线，得∠1=1 2 ∠α，然后证明∠1=∠β；或把 ∠β翻折，得∠2=2∠β，然后证明∠2=∠α（如图一） 2、 ∠α与∠β在同一个三角形中，这样的三角形常称为倍角三角形。倍角三角形问题常用构 造等腰三角形的方法添加辅助线（如图二） [例题解析] 例1：如图1，在△ABC 中，AB=AC,BD ⊥AC 于D 。 求证：∠DBC= 1 2 ∠BAC. 分析：∠DBC 、∠BAC 所在的两个三角形有公共角∠C ，可利用 三角形内角和来沟通∠DBC 、∠BAC 和∠C 的关系。 证法一：∵在△ABC 中，AB=AC ， ∴∠ABC=∠C=12（180°-∠BAC ）=90°-12 ∠BAC 。 ∵BD ⊥AC 于D ∴∠BDC=90 ° ∴∠DBC=90° -∠C=90° -(90° - 12∠BAC)= 1 2 ∠BAC 即∠DBC= 1 2 ∠BAC 分析二：∠DBC 、∠BAC 分别在直角三角形和等腰三角形中，由所证的结论“∠DBC= ?∠BAC ”中含有角的倍、半关系，因此，可以做∠A 的平分线，利用等腰三角形三线合一的性质，把?∠ A 放在直角三角形中求解；也可以把∠DBC 沿BD 翻折构造2∠DBC 求解。 证法二：如图2，作AE ⊥BC 于E ，则∠EAC+∠C=90°

初中数学竞赛专题选讲《观察法》

初中数学竞赛专题选讲观察法 一、内容提要 数学题可以猜测它的结论（包括经验归纳法），但都要经过严谨的论证，才能确定是否正确. 观察是思维的起点，直觉是正确思维的基础. 观察法解题就是用清晰的概念，直觉的思维，根据题型的特点，得出题解或猜测其结论，再加以论证. 敏锐的洞察力来自对概念明晰的理解和熟练的掌握. 例如：用观察法写出方程的解，必须明确方程的解的定义，掌握方程的解与方程的系数这间的关系. 一元方程各系数的和等于零时，必有一个解是1；而奇次项系数的和等于偶次项系数的和时，则有一个根是－1；n 次方程有n 个根，这样才能判断是否已求出全部的根，当根的个数超过方程次数时，可判定它是恒等式. 对题型的特点的观察一般是注意已知数据，式子或图形的特征，分析题设与结论，已知与未知这间的联系，再联想学过的定理，公式，类比所做过的题型，试验以简单的特例推导一般的结论，并探求特殊的解法. 选择题和填空题可不写解题步骤，用观察法解答更能显出优势. 二、例题 例1. 解方程：x+x 1=a+a 1. 解：方程去分母后，是二次的整式方程，所以最多只有两个实数根. 根据方程解的定义，易知 x=a ；或x= a 1. 观察本题的特点是：左边x 11=? x , 右边a 11=?a . （常数1相同）. 可推广到：若方程f(x)+a m a x f m +=)(（am ≠0）， 则f(x)=a ； f(x)= a m . 如：方程x 2+22255a a x +=, x 2+3x －83202=+x x (∵8=10－1020). 都可以用上述方法解. 例2. 分解因式 a 3+b 3+c 3－3abc. 分析：观察题目的特点，它是a, b, c 的齐三次对称式. 若有一次因式，最可能的是a+b+c ；若有因式a+b －c,必有b+c －a, c+a －b ； 若有因式a+b, 必有b+c, c+a ； 若有因式b －c,必有c －a, a －b. 解：∵用a=－b －c 代入原式的值为零， ∴有因式a+b+c. 故可设 a 3+b 3+c 3－3abc=(a+b+c)[m(a 2+b 2+c 2)+n(ab+bc+ca)]. 比较左右两边a 3的系数，得m=1, 比较abc 的系数， 得 n=－1. ∴a 3+b 3+c 3－3abc=(a+b+c) (a 2+b 2+c 2－ab －bc －ca) 例3. 解方程x x =++++3333.

科普知识竞赛题库

1、工笔是哪种绘画形式的技法（D） A.水彩画 B.油画 C.水粉画 D.国画 2、人体含水量百分比最高的器官是（C） A.肝 B.肾 C.眼球 3、人体最大的解毒器官是（C） A.胃 B.肾脏 C.肝脏 D.脾 4、中国民间“送灶神”时要吃粘牙的甜食，这是为了（D） A.容易打发小孩子 B.是灶神喜欢的食品 C.甜为吉利 D.用糖粘住灶神的牙

5、下列哪种邮件如果丢失了，邮局不负赔偿责任（A） A.平信 B.挂号信 C.保价邮件 D.非保价邮包 E.特快专递邮 6、全世界最大的石佛像在(A) A.四川乐山 B.河南洛阳 C.四川屏山 D.四川江津 7、狗热时用什么散热(B) A.皮肤 B.舌头 C.眼睛 D.耳朵 8 、现在美国国旗星条旗上有多少颗星: (C) 颗颗颗颗 9 、鱼、蛙、蛇等冷血动物的体温是(B)

A.固定不变的 B.随外界的温度变化而变化 C.随体形的大小变化而变化 10、按照风俗习惯戒指带在中指上表示(B) A.正在寻找对象 B.正在恋爱之中 C.表示独身 D.表示离婚 E.表示结婚 11、智力的核心是(C) A.机械记忆能力 B.注意力 C.抽象思维能力 D.观察力 12 、预防感冒要（ＡＢＣＤ） A 锻炼身体增强抵抗力 B 经常开窗通风换气

C 随气候变化增减衣服 D 不去病家串门，感冒流行时少去公共场所 13、预防骨折要（ＡＢＣＤ） A 注意遵守交通规则，防止交通事故 B 上下楼梯或高空作业要注意安全 C 要避免攀高取物，防止跌倒骨折 D骨质疏松症者要避免剧烈运动 14、中暑急救处理（ＡＢＣＤ） A 轻度中暑时，应立即撤离高温环境到通风阴凉处休息 B 饮糖盐水及清凉饮料，也可内服人丹 C 迅速为其进行物理降温

初中数学证明题常见辅助线作法规律

初中数学证明题常见辅助线作法规律 初中数学证明题常见辅助线作法记忆歌诀；及几何规律汇编；人们从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的，；初中几何常见辅助线作法歌诀；人说几何很困难，难点就在辅助线；辅助线，如何添？把握定理和概念；还要刻苦加钻研，找出规律凭经验；三角形；图中有角平分线，可向两边作垂线；也可将图对折看，对称以后关系现；角平分线平行线，等腰三角形来添；角平分线加垂线，三线合一试试 初中数学证明题常见辅助线作法记忆歌诀 及几何规律汇编 人们从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的，当问题的条件不够时，添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这是解决问题常用的策略。 初中几何常见辅助线作法歌诀 人说几何很困难，难点就在辅助线。 辅助线，如何添？把握定理和概念。 还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。 三角形

图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。四边形 平行四边形出现，对称中心等分点。梯形里面作高线，平移一腰试试看。平行移动对角线，补成三角形常见。证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。圆

半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆。如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。基本作图很关键，平时掌握要熟练。

奥林匹克数学竞赛内容与方法选讲

奥林匹克数学竞赛内容与方法选讲一、标题分析 （1）奥林匹克——一种精神 （2）数学——一种科学哲学 （3）竞赛——一种生存方式 （4）内容——一种意义生成过程 （5）方法——一种思维的简化形式 （6）选讲——一种最普遍的交流方式 二、主题确定 （1）身、心、思、题、方、践 （2）解读 ?人生就是一场竞赛，身体最终决定成败 ?三分养身七分修心，和谐身心美满一生 ?思维是生存的先锋，智慧是成功的法宝 ?问题是实践的使者，善问是智慧的源泉 ?方法是解题的利斧，策略会赐予你机遇 ?思而无为方略枉然，践行思想始见英雄 三、专题研究 （1）身心健康问题 ?如何监测身体健康状况？ ?如何锻炼身体？ ?如何保持修心养性？

?如何防病、治病？ （2）学习思维问题 ?如何认识学习的分类？从实践中学，从符号中学，从反思中学?如何认识思维的分类？逻辑思维，发散思维，直觉思维 ?如何学习？ ?如何思考？ （4）方法策略问题 （5）实践操作问题 ?如何认识心、言、行的一致性？ ?如何增加计划的可行性？ ?数学解题过程的表述与规范？ ?如何认识社会实践、操作实践、科学实践的关系？ 国际奥林匹克数学竞赛（IMO）的发展

一、国际奥林匹克数学竞赛源于数学家的交流活动，属于一种有意识的比赛，无意识的竞争 在世界上，以数为内容的竞赛有着悠久的历史： 古希腊时就有解几何难题的比赛； 我国战国时期齐威王与大将田忌的赛马，实是一种对策论思想的比赛； 16世纪在意大利有过关于口吃者塔塔利亚求解三次方程的激烈竞争； 17世纪，不少数学家喜欢提出一些问题向其他数学家挑战，法国的费尔马就是其中的佼佼者，他所提出的费尔马大定理（在整数n≥3时，方程X n+Y n=Z n没有正整数解；……）向人类的智慧挑战了300年； 18世纪，法国曾经进行过独立的数学比赛； 19世纪，法国科学院以悬赏的方法征求对数学难题的解答，常常获得一些重要的数学发现。数学王子高斯就是比赛的优胜者，……但是，所有这些事实，都只有局部的性质并且限于在成人之间进行，而专门以中学生为对象的数学竞赛却是现代的时尚。 二、现代意义下的中学生数学竞赛（以下称中学数学竞赛）源于匈牙利。 1894年，为纪念数理学会主席埃沃斯荣任教育大臣，数理学会通过一项决议：举行以埃沃斯命名的，由高中学生参加的数学竞赛，

小学科学知识竞赛试题(答案全)

小学科学知识竞赛试题（答案全） 模块1 1、酒精灯的火焰可以用嘴吹灭吗（不可以） 2、肥料越多，土壤越肥沃吗（不） 3、改变物体的形状，能改变物体的承受能力吗（能） 4、使用机械一定省力吗（不一定） 5、一杯热水的温度是均匀下降的吗（不） 6、把50毫升黄豆与100毫升小米混合，体积是150毫升吗（不） 7、降落伞下降的速度与伞面的制作材料有关吗（没有） 8、小明坐在行驶的汽车里，他说自己是静止的。他的参照物是什么（汽车内的物品） 9、历时40年的研究，能够预测黑猩猩行为的科学家是谁（珍妮） 10、中国的四大发明是什么（火药、指南针、造纸术、活字印刷） 11、透过红色滤光片，看到白色的衣服是黄色的吗（不） 12、水是白色透明的液体吗（不是） 13、太空是一个静悄悄的世界吗（不是） 14、有空气、温度和水，种子一定能发芽吗（不一定） 15、二氧化碳能使食盐水变混浊吗（不能） 16、你认为能增强土壤肥力的最好方法是什么?(种植绿肥) 17、月亮是光源吗？（不是） 18、磁铁中磁性最强的部分叫什么？（磁极） 19、人体中有206块骨头，共同组成人体的支架，这个支架叫什么？（骨骼） 20、正常情况下，人的呼吸次数的多少与人的年龄大小有关系吗？（有） 21、云和雾都是水蒸汽吗？（不是） 22、木头反射光吗？（反） 23、00c的冰比00c的水更冷吗？（不） 24、增大电磁铁的磁力的做法是增加电池吗？（是） 25、土豆我们食用的部分是果实吗？（不） 26、声音是由物体振动引起的，物体振动消失后，声音会消失吗？（会）

27、植物都具有向光性吗？（有） 28、苏联宇航员尤里乘坐的宇宙飞船从太空看地球是哪一年？（1961年） 29、所有气体都不能在水中溶解？（不） 30、早晨8点，小明测的一棵小树在阳光下的影子长6米，上午11点再去测量，小数的影子变长了吗？（变短了） 31、科学就是提出问题并想办法寻求问题答案的过程吗？（是） 32、不稳定的结构可以通过架梁的方式，增加什么样的结构使其变得稳定？（三角形） 33、火药是中国人发明的，子弹也是中国人发明的吗？（不是） 34、1961年苏联宇航员尤里乘坐的宇宙飞船叫什么名字？（东方一号） 35、地球上的淡水很多，是用之不尽的吗？（不是） 36、一天中，气温最高的时刻一定是中午12点吗？（不一定） 37、人体内含有最多的成分是骨头吗？（不是是水） 38、铁很硬，不具有延展行吗？（有） 39、嘴是呼吸器官吗？（不是） 40、昼夜的形成是由于太阳东升西落原因吗？（不是） 41、通电电灯泡或者发光的灯泡是光源吗？（是） 42、在圆盘上涂上七种颜色，快速旋转，看到的颜色分不清吗？（不能） 43、菊花是用种子繁殖的吗？（是） 44、日晷是测量温度的工具吗？（不是） 45、月球在天空中方位的变化和地球的自转方向相同吗？（相同） 46、小磁针停止转动时N极指向北边吗？（是） 47、把杯中的水倒掉，杯中什么物质也没有了吗？（不是） 48、蚂蚁只有四条腿吗？（不是） 49、煮饭时，一揭开锅看到的气体是水蒸气吗？（不是） 50、气味和味道是一回事吗？（不是） 51、太阳是光源吗？（是） 52、在园盘上凃上七种颜色，快速旋转，看到的颜色是黑色吗？（不是） 53、火山喷发的地点是在地壳较薄并有裂缝的地方吗？（是）

(完整)八年级数学上几何证明中的辅助线添加方法

八年级数学（上）几何证明中的辅助线添加方法 数学组 田茂松 八年级数学的几何题，有部分题需要做出辅助线才能完成。有的时候，做不出恰当的辅助线，或者做不出辅助线，就没有办法完成该题的解答。为了能够更好的让学生在做几何题时得心应手，现在将八年级数学中几何题的辅助线添加方法总结如下。 常见辅助线的作法有以下几种： 1.遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。 2.遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。 3.遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理． 4.过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。 5.截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。 6.特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。 常见辅助线的作法举例： 例1 如图1,//AB CD ，//AD BC . 求证：AD BC =. 分析：图为四边形，我们只学了三角形的有关知识，必须把它转化为三角形来解决。 证明：连接AC （或BD ） ∵//AB CD , //AD BC （已知） ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4 （两直线平行，内错角相等） 在ABC ?与CDA ?中 ?????∠=∠=∠=∠)(43) ()(21已证公共边已证CA AC ∴ABC ?≌CDA ?（ASA ） ∴AD BC =（全等三角形对应边相等） 例2 如图2,在Rt ABC ?中，AB AC =，90BAC ∠=?，12∠=∠，CE BD ⊥的延长于E .求证：2BD CE =. 分析：要证2BD CE =，想到要构造线段2CE ，同时CE 与ABC ∠的平分线垂直，想到要将其延长。 证明：分别延长BA ，CE 交于点F . ∵BE CF ⊥ （已知） ∴90BEF BEC ∠=∠=?（垂直的定义） 在BEF ?与BEC ?中， ?????∠=∠=∠=∠)()()(21已证公共边已知BEC BEF BE BE A B C D 1234图1 D A E F 12图2

小学生必备科学知识竞赛测试题集(含答案)

小学生必备科学知识竞赛测试题集（含答案） 一、选择题 1、温室效应的罪魁祸首是：（B） Ａ、二氧化硫Ｂ、二氧化碳Ｃ、氧气 ２、美洲大陆的发现者是：（A） Ａ、哥伦布Ｂ、牛顿Ｃ、郑和 ３、地球的卫星是：（C） Ａ、太阳Ｂ、土星Ｃ、月球 ４、很多小朋友喜欢看电影，电影是用放映机将图像投影到屏幕上，你们知道是谁发明了第一台放映机吗？（A）Ａ、奥托马尔Ｂ、爱迪生Ｃ、史蒂夫．乔布斯 ５、从飞机上往下看，彩虹是什么形状的？（A） Ａ、平面Ｂ、拱桥Ｃ、圆环 ６、生活在南极的企鹅为什么会经常流鼻涕？（B） Ａ、因为南极非常冷 Ｂ、因为它要排除身体里多余的盐分 Ｃ、因为它要用鼻涕来滋润羽毛 ７、自行车的尾灯会发光是因为（B） Ａ、尾灯内装有电池 Ｂ、尾灯的塑料片能反射任何角度射来的光

Ｃ、自行车行走的动能转化为电能使尾灯发光 ８、月亮有时看起来是一弯月牙，月牙外的月球仍有微微光亮，天文学家称这种“新月抱旧月”的现象为灰光，出现灰光的原因是：（B） Ａ、月球反射太阳光 Ｂ、月球走到了地球背后的阴影中 Ｃ、地球把太阳光反射到月球上 ９、下“鹅毛大雪”时的气温大概是多少度？（B） Ａ、０摄氏度 Ｂ、－１０摄氏度 Ｃ、－２０摄氏度 １０、冬天在冰湖上捕鱼，只要在冰上打个窟窿，鱼儿就会自动送上门来，这是为什么呢？（B） Ａ、鱼儿都好奇 Ｂ、鱼儿都想呼吸新鲜空气 Ｃ、鱼儿想要暖暖身子 １１、下雪后常常在路上撒盐，这是因为：（B） Ａ、两者发生化学反应 Ｂ、混合后融点降低 Ｃ、混合后融点升高 １２、经常牙龈出血，流鼻血是因为缺乏：（C） Ａ、维生素ＡＢ、维生素ＢＣ、维生素

Ｃ １３、下面不能发光的是：（B） Ａ、太阳Ｂ、月亮Ｃ、萤火虫 １４、把开水和冷水同时放入冰箱，那个先结冰？（A）Ａ、开水Ｂ、冰水Ｃ、一样快１５、鸡在喝水的时候不断地抬头望天，这是为了（C）Ａ、看云识天气Ｂ、注意空中猛禽Ｃ、让水流进胃里 16、冰川作用包括（A）。 A.侵蚀、搬运、堆积 B.搬运、作用、堆积 C.堆积、搬运、移动 17、新疆共有大小冰川1.86万多条，总面积2.4万多平方米，占中国冰川面积的（B）。 A.60% B.40% C. 80% D.90% 18、企鹅是南极的土著居民，生活在南极洲的企鹅有帝企鹅、阿德利企鹅、金图企鹅、( A B C )等7种。 A.帽带企鹅 Ｂ.巴布亚企鹅

中考数几何巧画辅助线的技巧

中考数几何巧画辅助线的技巧 中考数学少不了几何问题的考察，而涉及作图题，一般都要做辅助线完成，马上就要中考了，下面给大家带来辅助线的画法秘籍，在中考考场，祝你一臂之力！ 基本图形的辅助线的画法 1 三角形问题添加辅助线方法 〔1〕有关三角形中线的题目，常将中线加倍。含有中点的题目，常常利用三角形的中位线，通过这种方法，把要证的结论恰当的转移，很容易地解决了问题。 〔2〕含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。 〔3〕结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或利用关于平分线段的一些定理。 2 平行四边形中常用辅助线的添法 平行四边形〔包括矩形、正方形、菱形〕的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有以下几种，举例简解如下： 〔1〕连对角线或平移对角线； 〔2〕过顶点作对边的垂线构造直角三角形； 〔3〕连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线； 〔4〕连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形； 〔5〕过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等。

3 梯形中常用辅助线的添法 梯形是一种特殊的四边形。它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。辅助线的添加成为问题解决的桥梁，梯形中常用到的辅助线有：〔1〕在梯形内部平移一腰； 〔2〕梯形外平移一腰； 〔3〕梯形内平移两腰； 〔4〕延长两腰； 〔5〕过梯形上底的两端点向下底作高； 〔6〕平移对角线； 〔7〕连接梯形一顶点及一腰的中点； 〔8〕过一腰的中点作另一腰的平行线； 〔9〕作中位线。 当然在梯形的有关证明和计算中，添加的辅助线并不一定是固定不变的、单一的。通过辅助线这座桥梁，将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决，这是解决问题的关键。 4 圆中常用辅助线的添法 在平面几何中，解决与圆有关的问题时，常常需要添加适当的辅助线，架起题设和结论间的桥梁，从而使问题化难为易，顺其自然地得到解决，因此，灵活掌握作辅助线的一般规律和常见方法，对提高学生分析问题和解决问题的能力是大有帮助的。 要练说，得练听。听是说的前提，听得准确，才有条件正确模仿，才能不断地掌握高一级水平的语言。我在教学中，注意听说结合，训练幼儿听的能力，课堂上，我特别重视教师的语言，我对幼儿说话，注意声音清楚，高低起伏，抑扬有致，富有吸引力，这样能引起幼儿的注意。当我发现有的幼儿不专心听别人发言时，就随时表扬那些静听的幼儿，或是让他重复别人说过的内容，抓住教育时机，要求他们专心听，用心记。平时我

初中数学竞赛专题选讲配方法(含答案)

初中数学竞赛专题选讲（初三.3） 配方法 一、内容提要 1. 配方：这里指的是在代数式恒等变形中，把二次三项式a 2±2ab+b 2写成完全平方式 （a ±b ）2. 有时需要在代数式中添项、折项、分组才能写成完全平方式. 常用的有以下三种： ①由a 2+b 2配上2ab ， ②由2 ab 配上a 2+b 2， ③由a 2±2ab 配上b 2. 2. 运用配方法解题，初中阶段主要有： ① 用完全平方式来因式分解 例如：把x 4+4 因式分解. 原式＝x 4+4＋4x 2－4x 2=(x 2+2)2－4x 2＝…… 这是由a 2+b 2配上2ab. ② 二次根式化简常用公式：a a =2 ，这就需要把被开方数写成完全平方式. 例如：化简625-. 我们把5－26写成 2－232＋3 ＝2)2(－232＋2)3( ＝（2－3）2. 这是由2 ab 配上a 2+b 2. ③ 求代数式的最大或最小值，方法之一是运用实数的平方是非负数，零就是最小值. 即∵a 2≥0， ∴当a=0时， a 2的值为0是最小值. 例如：求代数式a 2+2a －2 的最值. ∵a 2+2a －2= a 2+2a+1－3=(a+1)2－3 当a=－1时, a 2+2a －2有最小值－3. 这是由a 2±2ab 配上b 2 ④ 有一类方程的解是运用几个非负数的和等于零，则每一个非负数都是零，有时就需 要配方. 例如:：求方程x 2+y 2+2x-4y+5=0 的解x, y.

解：方程x 2+y 2+2x-4y+1＋4＝0. 配方的可化为 （x+1）2+(y －2)2=0. 要使等式成立，必须且只需???=-=+0 201y x . 解得 ? ??=-=21y x 此外在解二次方程中应用根的判别式，或在证明等式、不等式时，也常要有配方的知识和技巧. 二、例题 例1. 因式分解：a 2b 2－a 2+4ab －b 2+1. 解：a 2b 2－a 2+4ab －b 2+1＝a 2b 2+2ab+1+(－a 2+2ab －b 2) （折项，分组） ＝（ab+1）2－(a －b)2 （配方） ＝（ab+1+a-b ）(ab+1-a+b) （用平方差公式分解） 本题的关鍵是用折项，分组，树立配方的思想. 例2. 化简下列二次根式： ①347+； ②32-； ③223410+-. 解：化简的关键是把被开方数配方 ①347+＝33224+?+＝2 )32(+ ＝32+＝2＋3. ②32-＝2322-＝2324-＝2 )13(2 - ＝2)13(2-＝2 26-. ③223410+-＝2 )12(410+- ＝） ＋（12410- ＝246-＝22224+?-＝2)22(-

科学知识竞赛选择题100题及答案

低碳生活科普知识竞赛选择题100题及答案 1. 所谓“低碳经济”是以低能耗、( A )、低污染为基础的经济发展模式。A．低排放 B.低标准 C.低效率 2. 造成气候变暖的主要原因是人类生产活动中排放大量（C）等温室气体。A．二氧化硫B.一氧化碳C.二氧化碳 3. 2010年世界环境日主题是：（A） A.多个物种、一颗星球、一个未来 B.营造绿色城市，呵护地球家园 C.转变传统观念，推行低碳经济 4. 判断排污者是否应承担民事责任的依据是( C ) A.环保基础标准 B.环境质量标准 C.污染物排放标准 5. 从“低碳生活”角度，以下哪些是正确使用冰箱的做法？（ B ） A.将温度高于室温的食品放入冰箱 B.尽量减少开门次数 C.经常把插头拔掉 6. 煤烟型大气污染不包括由（B）引起的污染。 A.烟尘 B.粉尘 C.二氧化硫 7. 世界环境日为每年几月几日?( C ) A．3月12日 B. 3月21日 C.6月5日 8. 我国是一个缺水的国家，人均水资源仅为世界人均量的（C）。 A.1/2 B.1/3 C.1/4 9. 被称为感觉性公害的是( C )。 A.大气污染 B.水污染 C.噪声污染 10. 草地在环境保护中具有（ A ）的重要作用。 A.吸收二氧化碳产生氧气 B.吸收二氧化硫产生氧气 C.吸收一氧化碳产生氧气 11. 保护水环境，我们应该选择使用（B）洗衣粉。

A.普通 B.无磷 C.廉价 12. 居室中什么地方污染最重（C）。 A.卧室 B.洗手间 C.厨房 13. 下面属于可再生能源的是（A）。 A.太阳能 B.电力 C.煤炭 14. 废电池乱丢对人体可能造成（ A ）。 A.镉中毒 B.氰中毒 C.铅中毒 15. 人们普遍认为恐龙是大约距今多久前灭绝的？（ C） A. 65万年前 B.650万年前 C.6500万年前 16. 在我国，野生动物资源的所有权属于（A）。 A.国家所有 B.集体所有 C.个人所有 17. 含磷洗衣粉中的（ B）是造成水体富营养化的罪魁祸首。 A.磷酸 B.磷酸盐 C.甲醛 18. 全国统一的环保举报热线电话为（A） A.12369 B.12365 C.12345 19. 中华恐龙园三期内有个项目与一部经典的电影重名，叫什么？B A.侏罗纪公园 B.金刚 C.恐龙来了 20. 以下食品中铅含量最高的是( B )。 A.黄瓜 B.松花蛋 c.面包 21. 人工合成色素的原料大部分是( B )。 A.植物 B.煤焦油 C.动物脂肪 22. 能提高身体排污能力的食品是( B )。 A.高蛋白、高热量、高脂肪的食品 B.粗粮、豆类、海藻 c.各种饮料 23. 以下哪种食品中所含致癌物质最多?( B ) A.水煮鱼 B.烤羊肉串 C.炒面 24. 低碳能源主要包括（ A ）。 A.水能 B.核能 C.电能 25. 应当对本辖区的环境质量负责人的是（C）。

初中几何证明题思路及做辅助线总结.

中考几何题证明思路总结 、证明两线段相等 1. 两全等三角形中对应边相等。 2. 同一三角形中等角对等边。 3. 等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。 4. 平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。 5. 直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。 6. 线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。 7. 角平分线上任一点到角的两边距离相等。 8. 过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。 、证明两角相等 1. 两全等三角形的对应角相等。 2. 同一三角形中等边对等角。 3. 等腰三角形中,底边上的中线（或高平分顶角。 4. 两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。 5. 同角（或等角的余角（或补角相等。 6. 同圆（或圆中,等弦（或弧所对的圆心角相等,圆周角相等,弦切角等于它所夹 的 弧对的圆周角。

三、证明两直线平行

1. 垂直于同一直线的各直线平行。 2. 同位角相等,内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。 3. 平行四边形的对边平行。 4. 三角形的中位线平行于第三边。 5. 梯形的中位线平行于两底。 6. 平行于同一直线的两直线平行。 7. 一条直线截三角形的两边（或延长线所得的线段对应成比例,则这条直线平行于第三边。 四、证明两直线互相垂直 1. 等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。 2. 三角形中一边的中线若等于这边一半,则这一边所对的角是直角。 3. 在一个三角形中,若有两个角互余,则第三个角是直角。 4. 邻补角的平分线互相垂直。 5. 一条直线垂直于平行线中的一条,则必垂直于另一条。 6. 两条直线相交成直角则两直线垂直。 7. 利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。 8. 利用勾股定理的逆定理。 9. 利用菱形的对角线互相垂直。 10. 在圆中平分弦（或弧的直径垂直于弦。

第15讲数学竞赛考试试题选讲

第十五讲数学竞赛试题选讲 例1 计算：（1+3+5+…+1989）-（2+4+6+…+1988）（1988年北京市小学数学奥林匹克邀请赛试题） 解法1： 原式=[（1989+1）÷2]2-（1988÷2）×（1988÷2+1） =9952-994×995 =995×（995-994） =995． 解法2：去括号，得 原式=1+3+5+…+1989-2-4-6-…-1988 =1+（3-2）+（5-4）+…+（1989-1988） =995． 说明：解法1是应用两个常见的公式： 前n个奇数的和 1+3+5+…+（2n-1）=n2． 前n个偶数的和 2+4+6+…+2n=n×（n+1）． 解法2是采用适当分组的方法转化为相同加数的加法问题，即将低级运算（加法）转化为高级运算（乘法）． 例2计算：1+2+3+4…+99+100+99+…+4+3+2+1 解：运用加法的交换律与结合律，得 原式=（1+99）+（99+1）+（2+98）+（98+2）+… +（50+50）+100

=100×100 =10000． 说明：由本例可以推广为一般公式： 1+2+3+…+（n+1）+n+（n-1）+…+3+2+1=n2． 例3计算：1×2+2×3+3×4+…+100×101 分析根据题目数据的特点，把各加数作如下恒等变形： 1×2=（1×2×3）÷3； 2×3=（2×3×4-1×2×3）÷3； 3×4=（3×4×5-2×3×4）÷3； … 100×101=（100×101×102-99×100×101）÷3；然后运用拆项对消的方法即可计算出和式的结果． 解：原式=[1×2×3+（2×3×4-1×2×3）+（3×4×5 -2×3×4）+…+（100×101×102-99 ×100×101）]÷3 =[1×2×3+2×3×4-1×2×3+3×4×5 -2×3×4+…+100×101×102-99×100 ×101]÷3 =100×101×102÷3 =343400． 说明：本题可以推广为一般公式： 1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）=n×（n+1）×（n+2）÷3．