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全国名校2020年高三6月大联考(新课标Ⅰ卷)理科数学(含有答案解析)

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全国名校2020年高三6月大联考（新课标Ⅰ卷）

理科数学

本卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{|||2}P x x =>，2{|230}Q x x x =--≤，则P Q =I A ．(2,)+∞ B ．(1,)+∞ C ．(2,3] D ．[1,2)- 2．已知i 为虚数单位，(2i)67i z -=+，则复平面内与z 对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．若26cos 2cos21αα+=-，则tan α=

A ．2±

B ．3±

C ．2

D ．3- 4．已知实数,,a b c 满足lg 2

22,log ,sin a b a c b ===，则,,a b c 的大小关系是

A ．a b c >>

B ．b c a >>

C ．a c b >>

D ．b a c >>

5．已知函数()sin 3cos f x x x ωω=-（0ω>）的图象与x 轴的交点中，两个相邻交点的距离为π，把函数()f x 的图象上每一点的横坐标缩小到原来的一半，再沿x 轴向左平移

个单位长度，然后纵坐标扩大到原来的2倍得到函数()g x 的图象，则下列命题中正确的是

A ．()g x 是奇函数

B ．()g x 的图象关于直线6

x π

=对称

C ．()g x 在[,]312π-π上是增函数

D ．当[,]66

x π-π

∈时，()g x 的值域是[0,2]

6．函数2

()cos sin(1)31

x f x x =?-+的图象大致为

7．在ABC △中，已知1()2

AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，13AE AD =u u u r u u u r ，若以,AD BE u u u r u u u r 为基底，则DC u u u r

可表示为

A ．2133AD BE +u u u

r u u u r

B ．23AD BE +u u u

r u u u r

C ．13A

D B

E +u u u r u u u r

D ．1233

AD BE +u u u

r u u u r

8．记不等式组21

312y x x y y y kx ≤-??+≤?

?≥-??≥-?表示的平面区域为D ，若平面区域D 为四边形，则实数k 的取值范围是

A ．

11144k << B ．11144k <≤ C ．11133k << D ．11133

k ≤≤ 9．1872年，戴德金出版了著作《连续性与无理数》，在这部著作中以有理数为基础，用崭新的方法定义了无理数，建立起了完整的实数理论．我们借助划分数轴的思想划分有理数，

可以把数轴上的点划分为两类，使得一类的点在另一类点的左边．同样的道理把有理数集划分为两个没有共同元素的集合A 和B ，使得集合A 中的任意元素都小于集合B 中的任意元素，称这样的划分为分割，记为A /B ．以下对有理数集的分割不会出现的类型为 A ．A 中有最大值，B 中无最小值 B ．A 中无最大值，B 中有最小值 C ．A 中无最大值，B 中无最小值 D ．A 中有最大值，B 中有最小值

10．已知双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>的右顶点为A ，O 为坐标原点，A 为OM 的中点，

若C 的渐近线与以AM 为直径的圆相切，则双曲线C 的离心率等于

A 32

B 23

C 3

D 211．已知函数()|2|2f x x =-+，()ln g x ax x =-，若0(0,e)x ?∈，12,(0,e)x x ?∈满足0()f x =

12()()g x g x =，其中12x x ≠，则实数a 的取值范围是

A ．5[,e)e

B ．1(,e)e

C ．1[1,e)e

D ．15

[1,]e e

12．如图，已知平面四边形P'CAB 中，AC BC ⊥，且6AC =，

27BC =，214P'C P'B ==，沿直线BC 将P'BC △折起到PBC △的位置，构成一个四面体，当四面体PABC 的体积最大

时，四面体PABC 的外接球的体积等于

A ．5003

π B ．2563π

C ．50π

D ．96π 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．抛物线2

y x =

上一点M 到焦点的距离是它到x 轴距离的2倍，则M 点的坐标为________． 14．2020年是中国全面建成小康社会目标实现之年，是脱贫攻坚收官之年，为确保脱贫攻坚

任务如期全面完成，某单位根据帮扶对象的实际精确定位，为帮扶对象制定6个农业种植项目和7个农闲时间的务工项目，现需要从中选取2个农业种植项目和4个农闲时间的务工项目，则农业种植项目甲与农闲时间的务工项目乙不同时被选取的方法有________种． 15．在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若6

cos A =

2C A =，2c =，则ABC △的

面积等于________． 16．已知函数()e x f x ax -=-,若方程()20f x x +=没有实数解，则实数a 的取值范围为________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，

每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。 17．（12分）

已知数列{}n a 满足11

a =，且对于任意*,m t ∈N ，都有m t m t a a a +=?．

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）若2(1)log n n b n a =-+?，数列*

1{}()n n b ∈N 的前n 项和为n S ，求证：112

n S ≤<．

18．（12分）

如图，已知矩形11BCC B 与平行四边形11ABB A 所在的平面相互垂直，112AB AB ==，，15BB =．（1）求证：111AB AC ⊥；

（2）若直线1AC 与平面11ABB A 所成的角等于3π

，求二面角

1C AC B --的平面角．

19．（12分）

已知椭圆22

22:

1(0)x y C a b a b +=>>的离心率6

e =，且过点(3,1)N ．（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）过点(3,0)M 的直线l 与椭圆C 有两个不同的交点P 和Q ，点P 关于x 轴的对称点为

P '，判断直线P Q '是否经过定点，若经过，求出该定点的坐标；若不经过，请说明理由． 20．（12分）

已知函数2()ln f x ax x =-．

（1）当12a =

时，求函数()f x 在1

[e]e

,上的最大值和最小值；（2）已知2

1()22ln 2

g x x ax x =+-，若(1+)x ?∈∞,

，()()f x g x <恒成立，求实数a 的取值范围． 21．（12分）

中国国家统计局2019年9月30日发布数据显示，2019年9月中国制造业采购经理指数（PMI ）为49.8%，反映出中国制造业扩张步伐有所加快．以新能源汽车、机器人、增材制造、医疗设备、高铁、电力装备、船舶、无人机等为代表的高端制造业突飞猛进，则进一步体现了中国制造目前的跨越式发展．已知某精密制造企业根据长期检测结果，得到生产的产品的质量差服从正态分布2(,)N μσ，并把质量差在(,)μσμσ-+内的产品称为优等品，质量差在(,2)μσμσ++内的产品称为一等品，优等品与一等品统称为正品，其余范

围内的产品作为废品处理．现从该企业生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差的样本数据统计如下：

（1）根据大量的产品检测数据，检查样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数x 作为μ的近似值，用样本标准差s 作为σ的估计值，记质量差2~(,)X N μσ，求该企业生产的产品为正品的概率P ；（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）

（2）假如企业包装时要求把2件优等品和n （2n ≥，且*n ∈N ）件一等品装在同一个箱子中，质检员从某箱子中摸出两件产品进行检验，若抽取到的两件产品等级相同则该箱产品记为A ，否则该箱产品记为B ．

①试用含n 的代数式表示某箱产品抽检被记为B 的概率p ；

②设抽检5箱产品恰有3箱被记为B 的概率为()f p ，求当n 为何值时，()f p 取得最大值，并求出最大值．

参考数据：若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则：()0.6827P μσξμσ-<≤+≈，(22)0.9545P μσξμσ-<≤+≈，(33)0.9973P μσξμσ-<≤+≈．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4?4：坐标系与参数方程]（10分）

在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为4cos 44sin x y θ

θ=??=+?

（θ为参数），以O 为极

点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线T 的极坐标方程为cos sin 10

t t ρθρθ-++=（t ∈R ）．

（1）求曲线C 的普通方程和直线T 的直角坐标方程；

（2）试判断曲线C 与直线T 的位置关系？若曲线C 与直线T 有两个公共点,M N ，试求||MN 的最小值与最大值；若没有，请说明理由． 23．[选修4?5：不等式选讲]（10分）

已知函数()|2||3|f x x ax =++-．

（1）当3a =时，求不等式()6f x <的解集；

（2）若1

x ?≥，不等式2()3f x x x ≤++恒成立，求实数a 的取值范围．

全国名校2020年高三6月大联考（新课标Ⅰ卷）

理科数学·全解全析

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C

1．C 【解析】由||2x >，解得2x <-或2x >，所以集合{|2P x x =<-或2}x >；由2230x x --≤，即(1)(3)0x x +-≤，解得13x -≤≤，所以集合{|13}Q x x =-≤≤，所以{|23}P Q x x =<≤I ．故选C ．

2．D 【解析】因为(2i)67i z -=+，所以67i (67i)(2i)520i

14i 2i (2i)(2i)5

z ++++=

===+--+，所以14i z =-，所以复平面内与z 对应的点为(1,4)-，在第四象限．故选D ．

3．B 【解析】由已知可得2

6cos 2(2cos 1)1αα+-=-，∴2

1cos 10α=，29

sin 10

α=，

∴2tan 9α=，即tan α= 3±，故选B ．

4．A 【解析】因为0lg2lg101<<=，所以0lg21222<<，即12a <<．因为2log lg 2b a ==，所以01b <<．记()sin f x x x =-，则()1cos 0f x x '=-≥，所以函数()f x 在R 上单调递增，所以当(0,1)x ∈时，()(0)0f x f >=，即sin x x >，所以lg2sin(lg2)>，即b >c ．综上，a b c >>．故选A ．

5．C 【解析】由题意，知()sin 3cos 2sin()3

f x x x x ωωωπ

=-=-，因为函数()f x 的图象与x

轴的交点中，两个相邻交点的距离为π，所以函数()f x 的最小正周期22T ω

=π，所以

=1ω，所以()2sin()3

f x x π=-；由题意，可得()4sin[2()]4sin(2)3

g x x x πππ=+-=+，是

非奇非偶函数，故A 错误；又π2()4sin

g π

== 232>，所以B ，D 错误；由222232k x k k πππ-+π≤+≤+π(∈)Z ，得1212

k x k k 5ππ

-+π≤≤+π(∈)Z ，所以函数()g x 的单调增区间为[,]1212

k k 5ππ-+π+π，k ∈Z ，所以函数()g x 在[,]312π-π

上是增函数，C 正确．故

选C ．

6．C 【解析】方法一：由题可知函数()f x 的定义域为R ，因为231

13131

x x x --=++，所以()f x -=

31cos()sin()31

x x x ----?=+13cos sin()()13x

x f x -?=-+，所以函数()f x 为奇函数，故可排除选项A 、B ．又cos10>，2sin(1)31-

=+1sin 02>，所以1

(1)cos1sin 02

f =?>，故排除选项D ．故选C ．

方法二：因为1

(1)cos1sin()02f -=?-<，1

(1)cos1sin 02

f =?>，所以观察各选项中的图象可知C 符合题意，故选C ．

7．B 【解析】由1()2

AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，得D 为BC 的中点，由13AE AD =u u u r u u u r ，得23ED AD =u u u r u u u r

，所

以DC BD ==u u u r u u u r

ED BE AD BE +=+u u u r u u u r u u u r u u u r ，故选B ．

8．A 【解析】如图，画出不等式组表示的平面区域．由题意，直线=2y kx -恒过定点(0,2)A -，则若平面区域D 为四边形，k 的取值范围应该满足AB AC k k k <<，又(4,1)B -，45

(,)33

C ，

121

404

AB k -+=

=-，AC

k =

1134403

+=-，所以11144k <<．故选A ．

9．D 【解析】当A ，B 的分界点为某一有理数a 时，a A ∈，则A 中有最大值，B 中无最小值．若

a B ∈，则A 中无最大值，B 中有最小值．当A ，B 的分界点为某一无理数时，A 中无最大

值，B 中无最小值，故选D ．

10．A 【解析】由题意，双曲线C 的右顶点为(,0)A a ，渐近线方程为b

y x a

=±，即0bx ay ±=．由

A 为OM 的中点，可知(2,0)M a ．故以AM 为直径的圆的圆心坐标为3

(,0)2

a ，半径

1||22

r AM =

=．由题意知双曲线的渐近线与圆相切，所以圆心到渐近线的距离等于圆的半径，即

223

|0|

22b a a a a b ?±?=+，整理得223a b b +=，即223c c a =-，22299c c a =-，解得22

298c e a ==，所以32

e =．故选A ．

11．A 【解析】当(0,e)x ∈时，∵()|2|2f x x =-+，∴()f x ∈[2,4)．∵()ln g x ax x =-，∴

()ax g x a x x

-'=-

=，若0a ≤，则()0g x '<，此时()g x 在(0,e)上单调递减，不符合题意，∴0a >．令()0g x '=得1(0,e)x a =

∈，则()g x 在1(0,)a 上单调递减，在1

[,e)a

上单调递增，由题意，得1

(0,e)1

1()1ln 1ln 2(e)e lne e 14a g a a

a g a a ?∈??

?=-=+

，解得5e e a ≤<．故选A ．

12．A 【解析】如图，取BC 的中点H ，连接PH ，则PH BC ⊥．

因为三角形ABC 的面积为定值，所以当PH ⊥平面ABC 时，四面体PABC 的体积最大．因为ABC △为直角三角形，所以其外接圆圆心为AB 的中点M ，设四面体PABC 的外接球球心为O ，则OM ⊥平面ABC ，易知点O 、点P 位于平面ABC 同侧．又因为PH ⊥平面ABC ，所以OM PH P ．连接MH ，OP ，

故四边形OMHP 为直角梯形，过O 作ON PH ⊥于点N ，则四边形OMHN 为矩形．连接OB ．设四面体的外接球的半径为R ，OM d =．

在ABC △中，1

MH AC ==，22226(27)8AB AC CB =+=+=，所以4M B =．

在OMB △中，22222416d OM OB MB R R ==-=-=-，所以2216R d =+．① 在PBC △中，2

(214)(7)7PH PC CH =-=-=．

在直角梯形OMHP 中，3ON MH ==，NH OM d ==，7PN d =-．在PON △中，222OP ON NP =+，即2223(7)R d =+-．②

解①②组成的方程组，得3d =．所以2231625R =+=，解得5R =（负值舍去）．

所以四面体的外接球的体积3344500

5333

V R =

π=π?=π．故选A ．

13．(2,1)或(2,1)- 【解析】抛物线2

y x =

，即24x y =，其准线方程为1y =-，由抛物线的定义可知点M 到焦点的距离与点M 到准线的距离相等，由题意可得点M 的纵坐标为1，所以把1y =代入抛物线方程可得2x =±，所以M 点的坐标为(2,1)或(2,1)-．

14．425 【解析】方法一（直接法）（1）农业种植项目甲与农闲时间的务工项目乙都不选取

时，不同的选取方法有24

6C C 1015150=?=（种）；（2）选取农业种植项目甲，不选农闲时间的务工项目乙时，不同的选取方法有14

56C C 51575=?=（种）；（3）不选农业种植项

目甲，选取农闲时间的务工项目乙时，不同的选取方法有23

6C C 1020200=?=（种）．所以甲乙不同时被选取的方法共有150********++=（种）．

方法二（排除法）先从6个农业种植项目和7个农闲时间的务工项目中选取2个农业种植

项目和4个农闲时间的务工项目，此时不同的选取方法有24

7C C 1535525=?=（种）；若农业种植项目甲与农闲时间的务工项目乙都选，则不同的选取方法为13

56C C 520100

=?=（种）．

所以农业种植项目甲与农闲时间的务工项目乙不同时被选取的方法有525100425-=（种）． 15．

【解析】由0A <<π，6cos A =

，得3sin A =

，所以

sin sin 22sin cos 2C A A A ===

，221

cos cos22cos 1213

C A A ==-=?-=．

由正弦定理sin sin a c A C =，可得sin sin c A a C ==

2=．在ABC △中，由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，

得

2221223b b =+-

，即2502

b -=

，解得b

或b =（舍去），

所以11sin 222ABC

S bc A ===

△． 16．(2e,2]- 【解析】方程()20f x x +=没有实数解，即方程e (2)0x

a x -+-=没有实数解，

令()e (2)x g x a x -=+-，则(2)e 1

()e 2e x

x x

a g'x a ---=-+-=

．

①当2a =时，()e 0x g x -=>，此时()g x 无零点；

②当2a >时，显然()g x 单调递减，又1

21()e 102

g a -=-<-，且(0)10g =>，此时()g x 有

零点；

③当2a <时，令(2)e 1

()0e x x

a g'x --==，可得ln(2)x a =--，

所以当(,ln(2))x a ∈-∞--时，()0g'x <，函数()g x 单调递减；当(ln(2),)x a ∈--+∞时，()0g'x >，函数()g x 单调递增，

所以当ln(2)x a =--时，函数()g x 取得最小值，为(ln(2))(2)[1ln(2)]g a a a --=---，令(2)[1ln(2)]0a a --->，解得2e 2a -<<，

此时函数()g x 没有零点，即方程e (2)0x a x -+-=没有实数解. 综上，实数a 的取值范围为(2e,2]-. 17．（12分）

【解析】（1）∵对于任意*,m t ∈N ，都有m t m t a a a +=?成立， ∴令,1m n t ==，得11n n a a a +=?，即*11

n n a a n +=∈N ，，（3分） ∴数列{}n a 是首项和公比都为

的等比数列，于是1111

()222

n n n a -=

?=，*n ∈N ．（6分）（2）由（1）得2(1)log (1)n n b n a n n =-+?=+， ∴

1111(1)1

n b n n n n ==-++，（9分） ∴1211111111111122311

n n S b b b n n n =

+++=-+-++-=-++L L ．又易知函数1()11f x x =-+在[1,)+∞上是增函数，且()1f x <，而11

S =，所以1

n S ≤<．（12分） 18．（12分）

【解析】（1）因为平面11BCC B ⊥平面11ABB A ，平面11BCC B I 平面111ABB A BB =，且111C B BB ⊥，

所以11C B ⊥平面11ABB A ，故111C B AB ⊥．（2分）在11AA B △中，11112A B AB AB ===，

，11BB AA == 所以2221111A B AB AA +=，故111A B AB ⊥．（4分）又11111C B A B B =I ，所以1AB ⊥平面111A B C ，又11AC ?平面111A B C ，所以111AB AC ⊥．（6分）（2）由（1）可知，11C B ⊥平面11ABB A ，所以11C AB ∠为1AC 与平面11ABB A 所成的角，由已知可得113C AB π

∠=

，故111

tan 3C B AB π==

11C B =7分）又111A B AB ⊥，如图，以1B 为坐标原点，分别以11111,,B A B A B C 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(0,2,0)A ，(1,2,0)B -

，1C

，(1,2,C -．所以(1,0,0)AB =-u u u r

，1(0,AC =-u u u u r

，(AC =-u u u r

．（8分）

设平面1ABC 的法向量为111(,,)x y z =m ，

则由1AB AC ?⊥??⊥??u u u r

u u u u r m m ，可得111102230AB x AC y z ??=-=???=-+=??u u u r u u u u r

m m ，即1110

30x y z =???=??．令13y =11z =．所以3,1)=m 是平面1ABC 的一个法向量．（9分）设平面1CAC 的法向量为222(,,)x y z =n ，

则由1

AC AC ?⊥??⊥??u u u u r

u u u r n n ，可得12222230230AC y z AC x z ??=-+=???=-+=??u u u u r u u u r n n ，即222

230230y z x z ?-=??-=??．

令21z =，所以(23,3,1)=n 是平面1CAC 的一个法向量．（10分）所以2222233141

cos ,||||242

(3)1(23)(3)1??+=

===??+?++m n m n m n ．

设二面角1C AC B --的平面角为θ，由图可得(0,)2

θπ

∈，

所以1cos cos ,2θ==m n ，所以二面角1C AC B --的平面角为3

．（12分） 19．（12分）

【解析】（1）由6c e a ==22223

1b a c c a a -==-，即3a b =．又因为点(3,1)N 在椭圆上，

2(3)11b +=，解得2

262a b ?=??=??

，

故椭圆C 的标准方程为22

162

x y +

=．（4分）（2）设11(,)P x y 、22(,)Q x y ．直线l 的斜率显然存在，设为k ，则直线l 的方程为(3)y k x =-．

将直线l 与椭圆C 的方程联立得：22(3)

162y k x x y =-??

?+=?

?，

消去y ，整理得2222(31)182760k x k x k +-+-=，（6分）

22222(18)4(31)(276)12(32)0k k k k ?=--?+-=-->，

∴2

k <

．由根与系数之间的关系可得：21221831k x x k +=+，2122276

k x x k -?=+．（8分）

∵点P 关于x 轴的对称点为P '，则11(,)P x y '-． ∴直线P Q '的斜率21

y y k x x +=

-，直线P Q '的方程为：21

1121

()y y y y x x x x ++=--，（9分）即2121112121

()y y x x

y x x y x x y y +-=---+ 21211211

2121()()[]y y y y x x x y x x x y y +++-=

--+ 211221

2121

()y y x y x y x x x y y ++=--+ 2112212121(3)(3)

[](3)(3)y y x k x x k x x x x k x k x +-+-=---+- 211212211223()

[]6

y y x x x x x x x x x +-+=

--+- 22

21221

227618233131()18631k k y y k k x k x x k -?-?+++=---+ 21

(2)y y x x x +=

--． ∴直线P Q '过x 轴上的定点(2,0)．（12分） 20．（12分）

【解析】（1）当12a =时，21()ln (0)2f x x x x =->，则211

()=x f x x x x -'=-．

∵1

[e]e

x ∈,，令()0f x '=，得=1x ．（2分）

∴1

[1)e

x ∈,时，()0f x '<，()f x 单调递减；(1e]x ∈,时，()0f x '>，()f x 单调递增．又∵2

211e ()+1(e)1e 2e 2f f =<=-，

∴1[e]e x ∈,时，()f x 的最大值为2

e (e)12

f =-，最小值为11(1)ln122f =-=．（5分）

（2）设()()()h x f x g x =-，则2

1()()2ln 2h x a x ax x =--+，

1(1)[(21)1]()(21)2x a x h x a x a x x

---'=--+

=． (1,)x ?∈+∞，()()f x g x <恒成立，等价于当1x >时，()0h x <恒成立，（7分）

当

112a <<时，在1(1,)21a -上，()0h'x <，函数()h x 单调递减，在1

(

)21

a +∞-，上，()0h'x >，函数()h x 单调递增，又2414444(

)()()2()ln()ln()ln 2021221212121

a a a a a

h a a a a a a a =--+=>>-----，不合题意；当1a ≥时，()0h x '>，()h x 在(1)+∞,上单调递增，又2212224(

)()()2()ln()ln()ln 2011112212222

a a a a a

h a a a a a a a =--+=>>-----，不合题意；（9分）当1

a ≤

时，()0h'x <，()h x 在(1)+∞,上单调递减， ∴当1x >时，()0h x <恒成立11(1)022

h a a ?=--≤?≥-， ∴11

a -

≤≤．（11分）综上所述，a 的取值范围为11

[,]22

-．（12分）

21．（12分）

【

解

析

】

（

）

由

题

意

，

465656666676

0.010100.020100.045100.02010222

x +++=??

+??+??+?? 76868696

0.0051022

+++??70=．（2分）样本方差2100s =

，故10σ≈=，所以2~(70,10)X N ，所以该企业生产的产品为正品的概率

(6090)(6070)(7090)(0.68272

P P X P X P X =<<=<<+<<=

?+ 0.9545)0.8186=．（5分）

（2）①从2n +件正品中任选两个，有22C n +种选法，其中等级相同有22

2C C n +种选法，

∴某箱产品抽检被记为B 的概率为22

222

C C 211C 32324n n n n n p n n n n ++-+=-=-=++++．（7分） ②由题意，一箱产品抽检被记为B 的概率为p ，则5箱产品恰有3箱被记为B 的概率

33232345

5()C (1)10(12)10(2)f p p p p p p p p p =-=-+=-+，

所以234222()10(385)10(385)10(1)(53)f p p p p p p p p p p '=-+=-+=--，（9分）所以当3

(0,)5

p ∈时，()0f p '>，函数()f p 单调递增；

当3

(,1)5

p ∈时，()0f p '<，函数()f p 单调递减．

所以当35p =时，()f p 取得最大值，最大值为3

325333216()C ()(1)555625

f =??-=．（10分）

由

243

325

n n n =++，解得3n =．

∴3n =时，5箱产品恰有3箱被记为B 的概率最大，最大值为216

625

．（12分） 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

【解析】（1）由4cos 44sin x y θθ=??=+?，可得4cos 44sin x y θθ?=?-=?①

②

，22+①②得224()16x y -+=，

所以曲线C 的普通方程为224()16x y -+=，（3分）

将cos sin x

y ρθρθ=??=?

代入cos sin 10t t ρθρθ-++=，可得曲线T 的直角坐标方程为

10tx y t -++=．（5分）

（2）由（1）得直线T 的方程为(1)(1)0t x y +--=，故直线T 恒过点(1,1)P -．曲线C 的圆心为(0,4)C ，半径4r =，

因为||PC r =<，所以点P 在圆C 内，所以圆C 与直线T 恒相交．（8分）

所以||MN

的最小值为==||MN 的最大值为28r =．（10分） 23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

【解析】（1）当3a =时，()|2|3|1|f x x x =++-，不等式()6f x <可化为|2|3|1|6x x ++-<．（1分）

①当2x <-时，不等式可化为2336x x --+-<，即45x -<，无解；

②当21x -≤≤时，不等式可化为2336x x ++-<，即21x -<，解得1

x -<≤；（3分）

③当1x >时，不等式可化为2336x x ++-<，即47x <，解得714

x <<，综上，可得1724x -<<，故不等式()6f x <的解集为17

(,)24

-．（5分）（2）当1

x ≥

时，不等式2()3f x x x ≤++，即22|3|3x ax x x ++-≤++，整理得2|3|1ax x -≤+，

即22131x ax x --≤-≤+，即2224x ax x -+≤≤+，因为1

x ≥

，所以分离参数可得24a x x

a x x ?

≥-+???

?≤+

．（8分）显然函数2()g x x x =-+在1[,)2+∞上单调递减，所以17

()()22

g x g ≤=，

而函数4()4h x x x =+

≥，当且仅当4x x =，即2x =时取等号，

所以实数a 的取值范围为7

[,4]2

．（10分）